《正弦定理的證明》微課教學(xué)設(shè)計

一、教學(xué)內(nèi)容分析

“正弦定理”是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書·數(shù)學(xué)（必修5）》（人教B版）第一章第一節(jié)的主要內(nèi)容，它既是初中“解直角三角形”內(nèi)容的直接延拓，也是三角函數(shù)一般知識和平面向量等知識在三角形中的具體運用，是解可轉(zhuǎn)化為三角形計算問題的其它數(shù)學(xué)問題及生產(chǎn)、生活實際問題的重要工具，因此具有廣泛的應(yīng)用價值。為什么要研究正弦定理？正弦定理是怎樣發(fā)現(xiàn)的？其證明方法是怎樣想到的？還有別的證法嗎？這些都是教材沒有回答，而確實又是學(xué)生所關(guān)心的問題。

本節(jié)課是“正弦定理”教學(xué)的第一課時，其主要任務(wù)是引入并證明正弦定理，在課型上屬于“定理教學(xué)課”。因此，做好“正弦定理”的教學(xué)，不僅能復(fù)習(xí)鞏固舊知識，使學(xué)生掌握新的有用的知識，體會聯(lián)系、發(fā)展等辯證觀點，而且通過對定理的探究，能使學(xué)生體驗到數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生提出問題、解決問題等研究性學(xué)習(xí)的能力。

二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析

學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了解直角三角形的內(nèi)容，在必修4中，又學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識和平面向量的有關(guān)內(nèi)容，對解直角三角形、三角函數(shù)、平面向量已形成初步的知識框架，這不僅是學(xué)習(xí)正弦定理的認(rèn)知基礎(chǔ)，同時又是突破定理證明障礙的強(qiáng)有力的工具。正弦定理是關(guān)于任意三角形邊角關(guān)系的重要定理之一，《課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)在教學(xué)中要重視定理的探究過程，并能運用它解決一些實際問題，可以使學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)在實際中的應(yīng)用，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，也為學(xué)習(xí)正弦定理提供一種親和力與認(rèn)同感。

三、設(shè)計思想

培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)、學(xué)會探究是全面發(fā)展學(xué)生能力的重要前提，是高中新課程改革的主要任務(wù)。如何培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)、學(xué)會探究呢？建構(gòu)主義認(rèn)為：“知識不是被動吸收的，而是由認(rèn)知主體主動建構(gòu)的。”這個觀點從教學(xué)的角度來理解就是：知識不是通過教師傳授得到的，而是學(xué)生在一定的情境中，運用已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，并通過與他人（在教師指導(dǎo)和學(xué)習(xí)伙伴的幫助下）協(xié)作，主動建構(gòu)而獲得的，建構(gòu)主義教學(xué)模式強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為中心，視學(xué)生為認(rèn)知的主體，教師只對學(xué)生的意義建構(gòu)起幫助和促進(jìn)作用。本節(jié)“正弦定理”的教學(xué)，將遵循這個原則而進(jìn)行設(shè)計。

四、教學(xué)目標(biāo)

1、知識與技能：通過對任意三角形的邊與其對角的關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法。

2、過程與方法：讓學(xué)生從已有的知識出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、歸納、猜想、證明，由特殊到一般得到正弦定理等方法，體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程。

3、情感態(tài)度與價值觀：在平等的教學(xué)氛圍中，通過學(xué)生之間、師生之間的交流、合作和評價，實現(xiàn)共同探究、教學(xué)相長的教學(xué)情境。

五、教學(xué)重點與難點

重點：正弦定理的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)

難點：正弦定理的推導(dǎo)

教學(xué)準(zhǔn)備：制作多媒體課件，學(xué)生準(zhǔn)備計算器，直尺，量角器。

六、教學(xué)過程設(shè)計

（一）設(shè)置情境

教師：展示情景圖如圖1，船從港口B航行到港口C，測得BC的距離為，船在港口C卸貨后繼續(xù)向港口A航行，由于船員的疏忽沒有測得CA距離，如果船上有測角儀我們能否計算出A、B的距離？

學(xué)生：思考提出測量角A，C。

教師：若已知測得，如何計算A、B兩地距離？

師生共同回憶解直角三角形，①直角三角形中，已知兩邊，可以求第三邊及兩個角。②直角三角形中，已知一邊和一角，可以求另兩邊及第三個角。

教師引導(dǎo)：是斜三角形，能否利用解直角三角形，精確計算AB呢？

學(xué)生：（思考交流）得出過作于（如圖2），把分為兩個直角三角形，解題過程，學(xué)生闡述，教師板書。

解：過作于

在中，在中，教師繼續(xù)引導(dǎo)：在上述問題中，若，能否用、、表示呢？

學(xué)生：發(fā)現(xiàn)，教師：引導(dǎo)，在剛才的推理過程中，你能想到什么？你能發(fā)現(xiàn)什么？

學(xué)生：發(fā)現(xiàn)即然有，那么也有。

教師：引導(dǎo)，，我們習(xí)慣寫成對稱形式，，因此我們可以發(fā)現(xiàn)，是否任意三角形都有這種邊角關(guān)系呢？

設(shè)計意圖：興趣是最好的老師。如果一節(jié)課有良好的開頭，那就意味著成功的一半。因此，我通過從學(xué)生日常生活中的實際問題引入，激發(fā)學(xué)生思維，激發(fā)學(xué)生的求知欲，引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，在解決問題后，對特殊問題一般化，得出一個猜測性的結(jié)論——猜想，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般思想意識，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維能力。

（二）數(shù)學(xué)實驗，驗證猜想

教師：給學(xué)生指明一個方向，我們先通過特殊例子檢驗是否成立，舉出特例。

（1）在△ABC中，∠A，∠B，∠C分別為，，對應(yīng)的邊長a：b：c為1：1：1，對應(yīng)角的正弦值分別為，，引導(dǎo)學(xué)生考察，的關(guān)系。（學(xué)生回答它們相等）

（2）、在△ABC中，∠A，∠B，∠C分別為，，對應(yīng)的邊長a：b：c為1：1：，對應(yīng)角的正弦值分別為，1；（學(xué)生回答它們相等）

（3）、在△ABC中，∠A，∠B，∠C分別為，，對應(yīng)的邊長a：b：c為1：：2，對應(yīng)角的正弦值分別為，1。（學(xué)生回答它們相等）（圖3）

教師：對于呢？

學(xué)生：思考交流得出，如圖4，在RtABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,則有，又,則

從而在直角三角形ABC中，教師：那么任意三角形是否有呢？

借助于電腦與多媒體，利用《幾何畫板》軟件，演示正弦定理教學(xué)課件。邊演示邊引導(dǎo)學(xué)生觀察三角形形狀的變化與三個比值的變化情況。

結(jié)論：對于任意三角形都成立。

設(shè)計意圖：通過《幾何畫板》軟件的演示，使學(xué)生對結(jié)論的認(rèn)識從感性逐步上升到理性。

（三）證明猜想，得出定理

師生活動：

教師：我們雖然經(jīng)歷了數(shù)學(xué)實驗，多媒體技術(shù)支持，對任意的三角形，如何用數(shù)學(xué)的思想方法證明呢？前面探索過程對我們有沒有啟發(fā)？學(xué)生分組討論，每組派一個代表總結(jié)。（以下證明過程，根據(jù)學(xué)生回答情況進(jìn)行敘述）

學(xué)生：思考得出

(1)在中，成立，如前面檢驗。

(2)在銳角三角形中，如圖5設(shè)，作：，垂足為

在中，在中，同理，在中，(3)在鈍角三角形中，如圖6設(shè)為鈍角，，作交的延長線于

在中，在中，同銳角三角形證明可知

教師：我們把這條性質(zhì)稱為正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即

教師：還有其它證明方法嗎？

學(xué)生：思考得出，分析圖形（圖7），對于任意△ABC，由初中所學(xué)過的面積公式可以得出：，而由圖中可以看出：，=

=

等式中均除以后可得，即。

教師邊分析邊引導(dǎo)學(xué)生，同時板書證明過程。

在剛才的證明過程中大家是否發(fā)現(xiàn)三角形高，三角形的面積：，能否得到新面積公式

學(xué)生：

得到三角形面積公式

設(shè)計意圖：經(jīng)歷證明猜想的過程，進(jìn)一步引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生利用已有的數(shù)學(xué)知識論證猜想，力圖讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程。

（四）利用定理，解決引例

師生活動：

教師：現(xiàn)在大家再用正弦定理解決引例中提出的問題。

學(xué)生：馬上得出

在中，（五）了解解三角形概念

設(shè)計意圖：讓學(xué)生了解解三角形概念，形成知識的完整性。

教師：一般地，把三角形的三個角、、和它們的對邊、、叫做三角形的元素，已知，三角形的幾個元素，求其他元素的過程叫做解三角形。

設(shè)計意圖：利用正弦定理，重新解決引例，讓學(xué)生體會用新的知識，新的定理，解決問題更方便，更簡單，激發(fā)學(xué)生不斷探索新知識的欲望。

（六）運用定理，解決例題

師生活動：

教師：引導(dǎo)學(xué)生從分析方程思想分析正弦定理可以解決的問題。

學(xué)生：討論正弦定理可以解決的問題類型：

（1）如果已知三角形的任意兩個角與一邊，求三角形的另一角和另兩邊，如；

（2）如果已知三角形任意兩邊與其中一邊的對角，求另一邊與另兩角，如。

師生：例1的處理，先讓學(xué)生思考回答解題思路，教師板書，讓學(xué)生思考主要是突出主體，教師板書的目的是規(guī)范解題步驟。

例1：在中，已知，，解三角形。

分析“已知三角形中兩角及一邊，求其他元素”，第一步可由三角形內(nèi)角和為求出第三個角∠C，再由正弦定理求其他兩邊。

例2：在中，已知，，解三角形。

例2的處理，目的是讓學(xué)生掌握分類討論的數(shù)學(xué)思想，可先讓中等學(xué)生講解解題思路，其他同學(xué)補(bǔ)充交流。

學(xué)生：反饋練習(xí)（教科書第5頁的練習(xí)）

用實物投影儀展示學(xué)生中解題步驟規(guī)范的解答。

設(shè)計意圖：自己解決問題，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情和動力，使學(xué)生體驗到成功的愉悅感，變“要我學(xué)”為“我要學(xué)”，“我要研究”的主動學(xué)習(xí)。

（七）嘗試小結(jié)：

教師：提示引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容。

學(xué)生：思考交流，歸納總結(jié)。

師生：讓學(xué)生嘗試小結(jié)，教師及時補(bǔ)充，要體現(xiàn)：

（1）正弦定理的內(nèi)容（）及其證明思想方法。

（2）正弦定理的應(yīng)用范圍：①已知三角形中兩角及一邊，求其他元素；②已知三角形中兩邊和其中一邊所對的角，求其他元素。

（3）分類討論的數(shù)學(xué)思想。

設(shè)計意圖：通過學(xué)生的總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)能力和語言表達(dá)能力。

（八）作業(yè)設(shè)計

作業(yè)：第10頁[習(xí)題1.1]A組第1、2題。