高一數(shù)學(xué)必修1各章知識點總結(jié)

（拂曉搜集整理）

第一章

集合與函數(shù)概念

一、集合有關(guān)概念

1.集合的含義

2.集合的中元素的三個特性：

(1)

元素的確定性如：世界上最高的山

(2)

元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合{H,A,P,Y}

(3)

元素的無序性:

如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個集合3.集合的表示：{

…

}

如：{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

(1)

用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}

(2)

集合的表示方法：列舉法與描述法。

u

注意：常用數(shù)集及其記法：

非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集）

記作：N

正整數(shù)集

N*或

N+

整數(shù)集Z

有理數(shù)集Q

實數(shù)集R

1）

列舉法：{a,b,c……}

2）

描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。{x?R|

x-3>2},{x|

x-3>2}

3）

語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

4）

Venn圖:

4、集合的分類：

(1)

有限集

含有有限個元素的集合(2)

無限集

含有無限個元素的集合(3)

空集

不含任何元素的集合　　例：{x|x2=－5｝

二、集合間的基本關(guān)系

1.“包含”關(guān)系—子集

注意：有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。

反之:

集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA

2．“相等”關(guān)系：A=B

(5≥5，且5≤5，則5=5)

實例：設(shè)

A={x|x2-1=0}

B={-1,1}

“元素相同則兩集合相等”

即：①

任何一個集合是它本身的子集。AíA

②真子集:如果AíB,且A1

B那就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)

③如果

AíB,BíC,那么

AíC

④

如果AíB

同時

BíA

那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ

規(guī)定:

空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

u

有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-1個真子集

三、集合的運算

運算類型

交

集

并

集

補

集

定

義

由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集．記作AB（讀作‘A交B’），即AB=｛x|xA，且xB｝．

由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，叫做A,B的并集．記作：AB（讀作‘A并B’），即AB

={x|xA，或xB})．

設(shè)S是一個集合，A是S的一個子集，由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集（或余集）

S

A

記作，即

CSA=

韋

恩

圖

示

S

A

性

質(zhì)

AA=A

AΦ=Φ

AB=BA

ABA

ABB

AA=A

AΦ=A

AB=BA

ABＡ

ABB

(CuA)

(CuB)

=

Cu

(AB)

(CuA)

(CuB)

=

Cu(AB)

A

(CuA)=U

A

(CuA)=

Φ．

例題：

1.下列四組對象，能構(gòu)成集合的是

（）

A某班所有高個子的學(xué)生

B著名的藝術(shù)家

C一切很大的書

D

倒數(shù)等于它自身的實數(shù)

2.集合{a，b，c

}的真子集共有

個

3.若集合M={y|y=x2-2x+1,xR},N={x|x≥0}，則M與N的關(guān)系是

.4.設(shè)集合A=，B=，若AB，則的取值范圍是

5.50名學(xué)生做的物理、化學(xué)兩種實驗，已知物理實驗做得正確得有40人，化學(xué)實驗做得正確得有31人，兩種實驗都做錯得有4人，則這兩種實驗都做對的有

人。

6.用描述法表示圖中陰影部分的點（含邊界上的點）組成的集合M=

.7.已知集合A={x|

x2+2x-8=0},B={x|

x2-5x+6=0},C={x|

x2-mx+m2-19=0},若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值

二、函數(shù)的有關(guān)概念

1．函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)．記作：

y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|

x∈A

}叫做函數(shù)的值域．

注意：

1．定義域：能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域。

求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是：

(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零；

(3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；

(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1.(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6)指數(shù)為零底不可以等于零，(7)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義.u

相同函數(shù)的判斷方法：①表達式相同（與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)）；②定義域一致

(兩點必須同時具備)

(見課本21頁相關(guān)例2)

2．值域

:

先考慮其定義域

(1)觀察法

(2)配方法

(3)代換法

3.函數(shù)圖象知識歸納

(1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù)

y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標(biāo)，函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點P(x，y)的集合C，叫做函數(shù)

y=f(x),(x

∈A)的圖象．C上每一點的坐標(biāo)(x，y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對x、y為坐標(biāo)的點(x，y)，均在C上

.(2)

畫法

A、描點法：

B、圖象變換法

常用變換方法有三種

1)

平移變換

2)

伸縮變換

3)

對稱變換

4．區(qū)間的概念

（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間

（2）無窮區(qū)間

（3）區(qū)間的數(shù)軸表示．

5．映射

一般地，設(shè)A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：AB為從集合A到集合B的一個映射。記作“f（對應(yīng)關(guān)系）：A（原象）B（象）”

對于映射f：A→B來說，則應(yīng)滿足：

(1)集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；

(2)集合A中不同的元素，在集合B中對應(yīng)的象可以是同一個；

(3)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。

6.分段函數(shù)

(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數(shù)。

(2)各部分的自變量的取值情況．

(3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集．

補充：復(fù)合函數(shù)

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則

y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)

稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。

二．函數(shù)的性質(zhì)

1.函數(shù)的單調(diào)性(局部性質(zhì))

（1）增函數(shù)

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2，當(dāng)x1

時，都有f(x1)＞f(x2)，那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間.注意：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)；

（2）

圖象的特點

如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.(3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法

(A)

定義法：

任取x1，x2∈D，且x1

作差f(x1)－f(x2)；

變形（通常是因式分解和配方）；

定號（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負(fù)）；

下結(jié)論（指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）．

(B)圖象法(從圖象上看升降)

(C)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x)，y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律：“同增異減”

注意：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.8．函數(shù)的奇偶性（整體性質(zhì)）

（1）偶函數(shù)

一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數(shù)．

（2）．奇函數(shù)

一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函數(shù)．

（3）具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征

偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱．

利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：

首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其是否關(guān)于原點對稱；

確定f(－x)與f(x)的關(guān)系；

作出相應(yīng)結(jié)論：若f(－x)

=

f(x)

或

f(－x)－f(x)

=

0，則f(x)是偶函數(shù)；若f(－x)

=－f(x)

或

f(－x)＋f(x)

=

0，則f(x)是奇函數(shù)．

注意：函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件．首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，若不對稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對稱，(1)再根據(jù)定義判定;

(2)由

f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1來判定;

(3)利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定

.9、函數(shù)的解析表達式

（1）.函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系時，一是要求出它們之間的對應(yīng)法則，二是要求出函數(shù)的定義域.（2）求函數(shù)的解析式的主要方法有：

1)

湊配法

2)

待定系數(shù)法

3)

換元法

4)

消參法

10．函數(shù)最大（小）值（定義見課本p36頁）

利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（?。┲?/p>

利用圖象求函數(shù)的最大（?。┲?/p>

利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（小）值：

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；

例題：

1.求下列函數(shù)的定義域：

⑴

⑵

2.設(shè)函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為_

_

3.若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域是

4.函數(shù)，若，則=

5.求下列函數(shù)的值域：

⑴

⑵

(3)

(4)

6.已知函數(shù)，求函數(shù)，的解析式

7.已知函數(shù)滿足，則=。

8.設(shè)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，則當(dāng)時=

在R上的解析式為

9.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：

⑴

⑵

⑶

10.判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明你的結(jié)論．

11.設(shè)函數(shù)判斷它的奇偶性并且求證：．

第二章

基本初等函數(shù)

一、指數(shù)函數(shù)

（一）指數(shù)與指數(shù)冪的運算

1．根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中>1，且∈*．

u

負(fù)數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作。

當(dāng)是奇數(shù)時，當(dāng)是偶數(shù)時，2．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定：，u

0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義

3．實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)

（1）·；

（2）；

（3）

．

（二）指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域為R．

注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和1．

2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

a>1

0

定義域

R

定義域

R

值域y＞0

值域y＞0

在R上單調(diào)遞增

在R上單調(diào)遞減

非奇非偶函數(shù)

非奇非偶函數(shù)

函數(shù)圖象都過定點（0，1）

函數(shù)圖象都過定點（0，1）

注意：利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象還可以看出：

（1）在[a，b]上，值域是或；

（2）若，則；取遍所有正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)；

（3）對于指數(shù)函數(shù)，總有；

二、對數(shù)函數(shù)

（一）對數(shù)

1．對數(shù)的概念：一般地，如果，那么數(shù)叫做以為底的對數(shù)，記作：（—

底數(shù)，—

真數(shù)，—

對數(shù)式）

說明：

注意底數(shù)的限制，且；；

注意對數(shù)的書寫格式．

兩個重要對數(shù)：

常用對數(shù)：以10為底的對數(shù)；

自然對數(shù)：以無理數(shù)為底的對數(shù)的對數(shù)．

u

指數(shù)式與對數(shù)式的互化

冪值

真數(shù)

＝

N＝

b

底數(shù)

指數(shù)

對數(shù)

（二）對數(shù)的運算性質(zhì)

如果，且，，那么：

·＋；

－；

．

注意：換底公式

（，且；，且；）．

利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論

（1）；（2）．

（二）對數(shù)函數(shù)

1、對數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù)，且叫做對數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域是（0，+∞）．

注意：

對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意辨別。如：，都不是對數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對數(shù)型函數(shù)．

對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制：，且．

2、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：

a>1

0

定義域x＞0

定義域x＞0

值域為R

值域為R

在R上遞增

在R上遞減

函數(shù)圖象都過定點（1，0）

函數(shù)圖象都過定點（1，0）

（三）冪函數(shù)

1、冪函數(shù)定義：一般地，形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中為常數(shù)．

2、冪函數(shù)性質(zhì)歸納．

（1）所有的冪函數(shù)在（0，+∞）都有定義并且圖象都過點（1，1）；

（2）時，冪函數(shù)的圖象通過原點，并且在區(qū)間上是增函數(shù)．特別地，當(dāng)時，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)時，冪函數(shù)的圖象上凸；

（3）時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù)．在第一象限內(nèi)，當(dāng)從右邊趨向原點時，圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸，當(dāng)趨于時，圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸．

例題：

1.已知a>0，a0，函數(shù)y=ax與y=loga(-x)的圖象只能是

（）

2.計算：

①

;②=

；=

;

③

=

3.函數(shù)y=log(2x2-3x+1)的遞減區(qū)間為

4.若函數(shù)在區(qū)間上的最大值是最小值的3倍，則a=

5.已知，（1）求的定義域（2）求使的的取值范圍

第三章

函數(shù)的應(yīng)用

一、方程的根與函數(shù)的零點

1、函數(shù)零點的概念：對于函數(shù)，把使成立的實數(shù)叫做函數(shù)的零點。

2、函數(shù)零點的意義：函數(shù)的零點就是方程實數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標(biāo)。

即：方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點．

3、函數(shù)零點的求法：

（代數(shù)法）求方程的實數(shù)根；

（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點．

4、二次函數(shù)的零點：

二次函數(shù)．

（1）△＞０，方程有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個零點．

（2）△＝０，方程有兩相等實根，二次函數(shù)的圖象與軸有一個交點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點．

（3）△＜０，方程無實根，二次函數(shù)的圖象與軸無交點，二次函數(shù)無零點．

5.函數(shù)的模型

收集數(shù)據(jù)

畫散點圖

選擇函數(shù)模型

求函數(shù)模型

用函數(shù)模型解釋實際問題

符合實際

不符合實際

檢驗