第一篇：離散數(shù)學(xué)第一章命題邏輯知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
數(shù)理邏輯部分
第1章
命題邏輯 1.1 命題符號(hào)化及聯(lián)結(jié)詞
命題: 判斷結(jié)果惟一的陳述句
命題的真值: 判斷的結(jié)果
真值的取值: 真與假 真命題: 真值為真的命題 假命題: 真值為假的命題
注意: 感嘆句、祈使句、疑問(wèn)句都不是命題，陳述句中的悖論以及判斷結(jié)果不惟一確定的也不是命題。
簡(jiǎn)單命題(原子命題)：簡(jiǎn)單陳述句構(gòu)成的命題
復(fù)合命題：由簡(jiǎn)單命題與聯(lián)結(jié)詞按一定規(guī)則復(fù)合而成的命題
簡(jiǎn)單命題符號(hào)化
用小寫(xiě)英文字母 p, q, r, … ,pi,qi,ri(i≥1）表示 簡(jiǎn)單命題
用“1”表示真，用“0”表示假
例如，令 p：
是有理數(shù)，則 p 的真值為 0 q：2 + 5 = 7，則 q 的真值為 1
聯(lián)結(jié)詞與復(fù)合命題 1.否定式與否定聯(lián)結(jié)詞“?”
定義 設(shè)p為命題，復(fù)合命題 “非p”（或 “p的否定”）稱(chēng)
為p的否定式，記作?p.符號(hào)?稱(chēng)作否定聯(lián)結(jié)詞，并規(guī)定?p 為真當(dāng)且僅當(dāng)p為假.2.合取式與合取聯(lián)結(jié)詞“∧”
定義 設(shè)p,q為二命題,復(fù)合命題“p并且q”(或“p與q”)稱(chēng)為p與q的合取式，記作p∧q.∧稱(chēng)作合取聯(lián)結(jié)詞，并規(guī)定 p∧q為真當(dāng)且僅當(dāng)p與q同時(shí)為真
注意：描述合取式的靈活性與多樣性
分清簡(jiǎn)單命題與復(fù)合命題
例 將下列命題符號(hào)化.(1)王曉既用功又聰明.(2)王曉不僅聰明，而且用功.(3)王曉雖然聰明，但不用功.(4)張輝與王麗都是三好生.(5)張輝與王麗是同學(xué).解 令
p：王曉用功，q：王曉聰明，則
(1)p∧q
(2)p∧q
(3)p∧?q.令 r : 張輝是三好學(xué)生，s :王麗是三好學(xué)生
(4)r∧s.(5)令 t : 張輝與王麗是同學(xué)，t 是簡(jiǎn)單命題.說(shuō)明:
(1)~(4)說(shuō)明描述合取式的靈活性與多樣性.(5)中“與”聯(lián)結(jié)的是兩個(gè)名詞，整個(gè)句子是一個(gè)簡(jiǎn)單命題.3.析取式與析取聯(lián)結(jié)詞“∨”
定義 設(shè) p,q為二命題，復(fù)合命題“p或q”稱(chēng)作p與q的析取式，記作p∨q.∨稱(chēng)作析取聯(lián)結(jié)詞，并規(guī)定p∨q為假當(dāng)且僅當(dāng)p與q同時(shí)為假.例
將下列命題符號(hào)化
(1)2或4是素?cái)?shù).(2)2或3是素?cái)?shù).(3)4或6是素?cái)?shù).(4)小元元只能拿一個(gè)蘋(píng)果或一個(gè)梨.(5)王曉紅生于1975年或1976年.解 令 p:2是素?cái)?shù), q:3是素?cái)?shù), r:4是素?cái)?shù), s:6是素?cái)?shù)，則(1),(2),(3)均為相容或.分別符號(hào)化為: p∨r , p∨q, r∨s，它們的真值分別為 1, 1, 0.而(4),(5)為排斥或.令 t :小元元拿一個(gè)蘋(píng)果，u:小元元拿一個(gè)梨，則(4)符號(hào)化為
(t∧?u)∨(?t∧u).令v :王曉紅生于1975年,w:王曉紅生于1976年,則(5)既可符號(hào)化為(v∧?w)∨(?v∧w), 又可符號(hào)化為 v∨w , 為什么? 4.蘊(yùn)涵式與蘊(yùn)涵聯(lián)結(jié)詞“?” 定義 設(shè) p,q為二命題，復(fù)合命題 “如果p,則q” 稱(chēng)作p與q的蘊(yùn)涵式，記作p?q，并稱(chēng)p是蘊(yùn)涵式的前件，q為蘊(yùn)涵式的后件.?稱(chēng)作蘊(yùn)涵聯(lián)結(jié)詞，并規(guī)定，p?q為假當(dāng)且僅當(dāng) p 為真 q 為假.p?q 的邏輯關(guān)系：q 為 p 的必要條件
“如果 p，則 q ” 的不同表述法很多：
若 p，就 q
只要 p，就 q
p 僅當(dāng) q
只有 q 才 p
除非 q, 才 p 或
除非 q, 否則非 p.當(dāng) p 為假時(shí)，p?q 為真
常出現(xiàn)的錯(cuò)誤：不分充分與必要條件
5.等價(jià)式與等價(jià)聯(lián)結(jié)詞“?”
定義 設(shè)p，q為二命題，復(fù)合命題 “p當(dāng)且僅當(dāng)q”稱(chēng)作p與q的等價(jià)式，記作p?q.?稱(chēng)作等價(jià)聯(lián)結(jié)詞.并規(guī)定p?q為真當(dāng)且僅當(dāng)p與q同時(shí)為真或同時(shí)為假.說(shuō)明:
(1)p?q 的邏輯關(guān)系:p與q互為充分必要條件
(2)p?q為真當(dāng)且僅當(dāng)p與q同真或同假
聯(lián)結(jié)詞優(yōu)先級(jí):(),?, ?, ?, ?, ?
同級(jí)按從左到右的順序進(jìn)行
以上給出了5個(gè)聯(lián)結(jié)詞：?, ?, ?, ?, ?，組成 一個(gè)聯(lián)結(jié)詞集合{?, ?, ?, ?, ?}，聯(lián)結(jié)詞的優(yōu)先順序?yàn)椋?, ?, ?, ?, ?;如果出 現(xiàn)的聯(lián)結(jié)詞同級(jí)，又無(wú)括號(hào)時(shí)，則按從左到右 的順序運(yùn)算;若遇有括號(hào)時(shí)，應(yīng)該先進(jìn)行括號(hào) 中的運(yùn)算.注意: 本書(shū)中使用的 括號(hào)全為園括號(hào).? 命題常項(xiàng)
? 命題變項(xiàng)
1.2 命題公式及分類(lèi)
? 命題變項(xiàng)與合式公式 ? 命題常項(xiàng)：簡(jiǎn)單命題
? 命題變項(xiàng)：真值不確定的陳述句
? 定義 合式公式(命題公式, 公式)遞歸定義如下： ?(1)單個(gè)命題常項(xiàng)或變項(xiàng) p,q,r,…,pi ,qi ,ri ,…,0,1 ?
是合式公式
?(2)若A是合式公式，則(?A)也是合式公式
?(3)若A, B是合式公式，則(A?B),(A?B),(A?B),(A?B)也是合式公式 ?(4)只有有限次地應(yīng)用(1)~(3)形成的符號(hào)串才是合式公式 ? 說(shuō)明: 元語(yǔ)言與對(duì)象語(yǔ)言，外層括號(hào)可以省去
合式公式的層次 定義
(1)若公式A是單個(gè)的命題變項(xiàng), 則稱(chēng)A為0層公式.(2)稱(chēng)A是n+1(n≥0)層公式是指下面情況之一：
(a)A=?B, B是n層公式；
(b)A=B?C, 其中B,C分別為i層和j層公式，且
n=max(i, j)；
(c)A=B?C, 其中B,C的層次及n同(b)；
(d)A=B?C, 其中B,C的層次及n同(b)；
(e)A=B?C, 其中B,C的層次及n同(b).例如
公式
p ?p
?p?q
?(p?q)?r
((?p?q)?r)?(?r?s)
公式的賦值
定義 給公式A中的命題變項(xiàng) p1, p2, … , pn指定
一組真值稱(chēng)為對(duì)A的一個(gè)賦值或解釋
成真賦值: 使公式為真的賦值
成假賦值: 使公式為假的賦值
說(shuō)明：
0層
1層
2層
3層
4層
???????
賦值?=?1?2…?n之間不加標(biāo)點(diǎn)符號(hào)，?i=0或1.?
A中僅出現(xiàn) p1, p2, …, pn，給A賦值?1?2…?n是 ? 指 p1=?1, p2=?2, …, pn=?n
?
A中僅出現(xiàn) p, q, r, …, 給A賦值?1?2?3…是指 ? p=?1,q=?2 , r=?3 …
?
含n個(gè)變項(xiàng)的公式有2n個(gè)賦值.? 真值表
真值表: 公式A在所有賦值下的取值情況列成的表
例 給出公式的真值表
A=(q?p)?q?p 的真值表
例
B = ?(?p?q)?q 的真值表
例
C=(p?q)??r 的真值表
命題的分類(lèi)
重言式
矛盾式
可滿(mǎn)足式
定義 設(shè)A為一個(gè)命題公式
(1)若A無(wú)成假賦值，則稱(chēng)A為重言式(也稱(chēng)永真式)
(2)若A無(wú)成真賦值，則稱(chēng)A為矛盾式(也稱(chēng)永假式)
(3)若A不是矛盾式，則稱(chēng)A為可滿(mǎn)足式
注意：重言式是可滿(mǎn)足式，但反之不真.上例中A為重言式，B為矛盾式，C為可滿(mǎn)足式
A=(q?p)?q?p，B =?(?p?q)?q，C=(p?q)??r
1.3 等值演算
? 等值式 定義 若等價(jià)式A?B是重言式，則稱(chēng)A與B等值，記作A?B，并稱(chēng)A?B是等值式
說(shuō)明：定義中，A,B,?均為元語(yǔ)言符號(hào), A或B中 可能有啞元出現(xiàn).例如，在(p?q)?((?p?q)?(?r?r))中，r為左邊 公式的啞元.用真值表可驗(yàn)證兩個(gè)公式是否等值 請(qǐng)驗(yàn)證：p?(q?r)?(p?q)?r
p?(q?r)
(p?q)?r
? 基本等值式
雙重否定律 : ??A?A
等冪律：
A?A?A, A?A?A
交換律:
A?B?B?A, A?B?B?A
結(jié)合律:
(A?B)?C?A?(B?C)
(A?B)?C?A?(B?C)分配律:
A?(B?C)?(A?B)?(A?C)
A?(B?C)?(A?B)?(A?C)德·摩根律:
?(A?B)??A??B
?(A?B)??A??B
吸收律:
A?(A?B)?A，A?(A?B)?A
零律:
A?1?1，A?0?0 同一律:
A?0?A，A?1?A
排中律:
A??A?1 矛盾律:
A??A?0
? 等值演算:
由已知的等值式推演出新的等值式的過(guò)程
置換規(guī)則：若A?B, 則?(B)??(A)等值演算的基礎(chǔ)：
(1)等值關(guān)系的性質(zhì)：自反、對(duì)稱(chēng)、傳遞
(2)基本的等值式
(3)置換規(guī)則
應(yīng)用舉例——證明兩個(gè)公式等值 例1 證明 p?(q?r)?(p?q)?r
證
p?(q?r)
??p?(?q?r)
（蘊(yùn)涵等值式，置換規(guī)則）
?(?p??q)?r
（結(jié)合律，置換規(guī)則）
??(p?q)?r
（德?摩根律，置換規(guī)則）
?(p?q)?r
（蘊(yùn)涵等值式，置換規(guī)則）說(shuō)明:也可以從右邊開(kāi)始演算（請(qǐng)做一遍）
因?yàn)槊恳徊蕉加弥脫Q規(guī)則，故可不寫(xiě)出
熟練后，基本等值式也可以不寫(xiě)出
應(yīng)用舉例——證明兩個(gè)公式不等值 例2 證明: p?(q?r)
(p?q)?r
用等值演算不能直接證明兩個(gè)公式不等值,證明兩 個(gè)公式不等值的基本思想是找到一個(gè)賦值使一個(gè)成 真,另一個(gè)成假.方法一
真值表法（自己證）
方法二
觀(guān)察賦值法.容易看出000, 010等是左邊的 的成真賦值，是右邊的成假賦值.方法三
用等值演算先化簡(jiǎn)兩個(gè)公式，再觀(guān)察.應(yīng)用舉例——判斷公式類(lèi)型
例3 用等值演算法判斷下列公式的類(lèi)型
(1)q??(p?q)解
q??(p?q)
? q??(?p?q)
（蘊(yùn)涵等值式）
? q?(p??q)
（德?摩根律）
? p?(q??q)
（交換律，結(jié)合律）
? p?0
（矛盾律）
? 0
（零律）
由最后一步可知，該式為矛盾式.(2)(p?q)?(?q??p)解
(p?q)?(?q??p)
?(?p?q)?(q??p)
（蘊(yùn)涵等值式）
?(?p?q)?(?p?q)
（交換律）
? 1 由最后一步可知，該式為重言式.問(wèn)：最后一步為什么等值于1？
(3)((p?q)?(p??q))?r)
解
((p?q)?(p??q))?r)
?(p?(q??q))?r
（分配律）
? p?1?r
（排中律）
? p?r
（同一律）
這不是矛盾式，也不是重言式，而是非重言式的可 滿(mǎn)足式.如101是它的成真賦值,000是它的成假賦值.總結(jié)：A為矛盾式當(dāng)且僅當(dāng)A?0 A為重言式當(dāng)且僅當(dāng)A?1 說(shuō)明：演算步驟不惟一,應(yīng)盡量使演算短些
1.5 對(duì)偶與范式 對(duì)偶式與對(duì)偶原理
定義 在僅含有聯(lián)結(jié)詞?, ∧,∨的命題公式A中，將 ∨換成∧, ∧換成∨，若A中含有0或1，就將0換成 1，1換成0，所得命題公式稱(chēng)為A的對(duì)偶式，記為A*.從定義不難看出，(A*)* 還原成A
定理 設(shè)A和A*互為對(duì)偶式，p1,p2,…,pn是出現(xiàn)在A和
A*中的全部命題變項(xiàng)，將A和A*寫(xiě)成n元函數(shù)形式，則(1)? A(p1,p2,…,pn)? A*(? p1, ? p2,…, ? pn)
(2)A(? p1, ? p2,…, ? pn)? ? A*(p1,p2,…,pn)定理（對(duì)偶原理）設(shè)A，B為兩個(gè)命題公式，若A ? B，則A* ? B*.析取范式與合取范式
文字:命題變項(xiàng)及其否定的總稱(chēng)
簡(jiǎn)單析取式:有限個(gè)文字構(gòu)成的析取式
如 p, ?q, p??q, p?q?r, …
簡(jiǎn)單合取式:有限個(gè)文字構(gòu)成的合取式
如 p, ?q, p??q, p?q?r, …
析取范式:由有限個(gè)簡(jiǎn)單合取式組成的析取式
A1?A2???Ar, 其中A1,A2,?,Ar是簡(jiǎn)單合取式
合取范式:由有限個(gè)簡(jiǎn)單析取式組成的合取式
A1?A2???Ar , 其中A1,A2,?,Ar是簡(jiǎn)單析取式 范式:析取范式與合取范式的總稱(chēng)
公式A的析取范式: 與A等值的析取范式
公式A的合取范式: 與A等值的合取范式 說(shuō)明：
單個(gè)文字既是簡(jiǎn)單析取式，又是簡(jiǎn)單合取式
p??q?r, ?p?q??r既是析取范式，又是合取范式(為什么?)
命題公式的范式
定理
任何命題公式都存在著與之等值的析取范式 與合取范式.求公式A的范式的步驟：
(1)消去A中的?, ?（若存在）
(2)否定聯(lián)結(jié)詞?的內(nèi)移或消去
(3)使用分配律
?對(duì)?分配（析取范式）
?對(duì)?分配（合取范式）
公式的范式存在，但不惟一
求公式的范式舉例
例 求下列公式的析取范式與合取范式
(1)A=(p??q)??r
解
(p??q)??r
?(?p??q)??r
（消去?）
? ?p??q??r
（結(jié)合律）
這既是A的析取范式（由3個(gè)簡(jiǎn)單合取式組成的析 取式），又是A的合取范式（由一個(gè)簡(jiǎn)單析取式 組成的合取式）
(2)B=(p??q)?r
解
(p??q)?r
?(?p??q)?r
（消去第一個(gè)?）
? ?(?p??q)?r
（消去第二個(gè)?）
?(p?q)?r
（否定號(hào)內(nèi)移——德?摩根律）
這一步已為析取范式（兩個(gè)簡(jiǎn)單合取式構(gòu)成）
繼續(xù)：
(p?q)?r
?(p?r)?(q?r)
（?對(duì)?分配律）
這一步得到合取范式（由兩個(gè)簡(jiǎn)單析取式構(gòu)成）
極小項(xiàng)與極大項(xiàng)
定義 在含有n個(gè)命題變項(xiàng)的簡(jiǎn)單合取式(簡(jiǎn)單析取式)中，若每個(gè)命題變項(xiàng)均以文字的形式在其中出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一 次，而且第i（1?i?n）個(gè)文字出現(xiàn)在左起第i位上，稱(chēng)這樣 的簡(jiǎn)單合取式（簡(jiǎn)單析取式）為極小項(xiàng)（極大項(xiàng)）.說(shuō)明：n個(gè)命題變項(xiàng)產(chǎn)生2n個(gè)極小項(xiàng)和2n個(gè)極大項(xiàng)
2n個(gè)極小項(xiàng)（極大項(xiàng)）均互不等值
用mi表示第i個(gè)極小項(xiàng)，其中i是該極小項(xiàng)成真賦值的十進(jìn)制表示.用Mi表示第i個(gè)極大項(xiàng)，其中i是該極大項(xiàng)成假賦值的十進(jìn)制表示, mi(Mi)稱(chēng)為極小項(xiàng)(極大項(xiàng))的名稱(chēng).mi與Mi的關(guān)系:
?mi ? Mi ，?Mi ? mi
主析取范式與主合取范式
主析取范式: 由極小項(xiàng)構(gòu)成的析取范式
主合取范式: 由極大項(xiàng)構(gòu)成的合取范式
例如，n=3, 命題變項(xiàng)為p, q, r時(shí)，(?p??q?r)?(?p?q?r)? m1?m3 是主析取范式
(p?q??r)?(?p?q??r)? M1?M5 是主合取范式
A的主析取范式: 與A等值的主析取范式 A的主合取范式: 與A等值的主合取范式.定理
任何命題公式都存在著與之等值的主析取范 式和主合取范式, 并且是惟一的.用等值演算法求公式的主范式的步驟：
(1)先求析取范式（合取范式）
(2)將不是極小項(xiàng)（極大項(xiàng)）的簡(jiǎn)單合取式（簡(jiǎn)
單析取式）化成與之等值的若干個(gè)極小項(xiàng)的析
取（極大項(xiàng)的合?。枰猛宦桑?/p>
律）、排中律（矛盾律）、分配律、冪等律等.(3)極小項(xiàng)（極大項(xiàng)）用名稱(chēng)mi（Mi）表示，并 按角標(biāo)從小到大順序排序.求公式的主范式
例 求公式 A=(p??q)?r的主析取范式與主合取范式.(1)求主析取范式
(p??q)?r
?(p?q)?r ，（析取范式）
①
(p?q)
?(p?q)?(?r?r)
?(p?q??r)?(p?q?r)
? m6?m7 ，r
?(?p?p)?(?q?q)?r
?(?p??q?r)?(?p?q?r)?(p??q?r)?(p?q?r)
? m1?m3?m5?m7
③
②, ③代入①并排序，得
(p??q)?r ? m1?m3?m5? m6?m7（主析取范式）
(2)求A的主合取范式
(p??q)?r
?(p?r)?(q?r)，（合取范式）
①
p?r
? p?(q??q)?r
?(p?q?r)?(p??q?r)
? M0?M2, q?r
?(p??p)?q?r
?(p?q?r)?(?p?q?r)
? M0?M4
②, ③代入①并排序，得
(p??q)?r ? M0?M2?M4
（主合取范式）主范式的用途——與真值表相同(1)求公式的成真賦值和成假賦值
例如
(p??q)?r ? m1?m3?m5? m6?m7，其成真賦值為001, 011, 101, 110, 111，其余的賦值 000, 010, 100為成假賦值.類(lèi)似地，由主合取范式也可立即求出成
②③
假賦值和成真賦值.(2)判斷公式的類(lèi)型
設(shè)A含n個(gè)命題變項(xiàng)，則
A為重言式?A的主析取范式含2n個(gè)極小項(xiàng)
?A的主合取范式為1.A為矛盾式? A的主析取范式為0
? A的主合取范式含2n個(gè)極大項(xiàng)
A為非重言式的可滿(mǎn)足式
?A的主析取范式中至少含一個(gè)且不含全部極小項(xiàng)
?A的主合取范式中至少含一個(gè)且不含全部極大項(xiàng)
例 某公司要從趙、錢(qián)、孫、李、周五名新畢 業(yè)的大學(xué)生中選派一些人出國(guó)學(xué)習(xí).選派必須 滿(mǎn)足以下條件：
(1)若趙去，錢(qián)也去；
(2)李、周兩人中至少有一人去；
(3)錢(qián)、孫兩人中有一人去且僅去一人；
(4)孫、李兩人同去或同不去；
(5)若周去，則趙、錢(qián)也去.試用主析取范式法分析該公司如何選派他們出 國(guó)？
解此類(lèi)問(wèn)題的步驟為：
① 將簡(jiǎn)單命題符號(hào)化
② 寫(xiě)出各復(fù)合命題
③ 寫(xiě)出由②中復(fù)合命題組成的合取式
④ 求③中所得公式的主析取范式
解 ① 設(shè)p：派趙去，q：派錢(qián)去，r：派孫去，s：派李去，u：派周去.②(1)(p?q)
(2)(s?u)
(3)((q??r)?(?q?r))
(4)((r?s)?(?r??s))
(5)(u?(p?q))
③(1)~(5)構(gòu)成的合取式為
A=(p?q)?(s?u)?((q??r)?(?q?r))?
((r?s)?(?r??s))?(u?(p?q))④
A ?(?p??q?r?s??u)?(p?q??r??s?u)結(jié)論：由④可知，A的成真賦值為00110與11001，因而派孫、李去（趙、錢(qián)、周不去）或派趙、錢(qián)、周去（孫、李不去）.A的演算過(guò)程如下:
A ?(?p?q)?((q??r)?(?q?r))?(s?u)?(?u?(p?q))?
((r?s)?(?r??s))
（交換律)B1=(?p?q)?((q??r)?(?q?r))
?((?p?q??r)?(?p??q?r)?(q??r))（分配律）
B2=(s?u)?(?u?(p?q))
?((s??u)?(p?q?s)?(p?q?u))
（分配律）
B1?B2 ?(?p?q??r?s??u)?(?p??q?r?s??u)
?(q??r?s??u)?(p?q??r?s)?(p?q??r?u)再令 B3 =((r?s)?(?r??s))得 A ? B1?B2?B3
?(?p??q?r?s??u)?(p?q??r??s?u)注意：在以上演算中多次用矛盾律
要求：自己演算一遍
1.6 推理理論 推理的形式結(jié)構(gòu)
推理的形式結(jié)構(gòu)—問(wèn)題的引入
推理舉例:
(1)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂當(dāng)且僅當(dāng)部分和有上界.(2)若
推理: 從前提出發(fā)推出結(jié)論的思維過(guò)程 上面(1)是正確的推理，而(2)是錯(cuò)誤的推理.證明: 描述推理正確的過(guò)程.判斷推理是否正確的方法 ? 真值表法
? 等值演算法
判斷推理是否正確 ? 主析取范式法
? 構(gòu)造證明法
證明推理正確
說(shuō)明：當(dāng)命題變項(xiàng)比較少時(shí)，用前3個(gè)方法比較方 便, 此時(shí)采用形式結(jié)構(gòu)“造證明時(shí)，采用“前提:
”.而在構(gòu) , 結(jié)論: B”.推理定律與推理規(guī)則 推理定律——重言蘊(yùn)涵式
構(gòu)造證明——直接證明法 例 構(gòu)造下面推理的證明：
若明天是星期一或星期三，我就有課.若有課，今天必備課.我今天下午沒(méi)備課.所以，明天不是星期一和星期三.解 設(shè) p：明天是星期一，q：明天是星期三，r：我有課，s：我備課 推理的形式結(jié)構(gòu)為
例 構(gòu)造下面推理的證明:
2是素?cái)?shù)或合數(shù).若2是素?cái)?shù)，則
是無(wú)理數(shù).若
是無(wú)理數(shù)，則4不是素?cái)?shù).所以，如果4是
素?cái)?shù)，則2是合數(shù).用附加前提證明法構(gòu)造證明 解 設(shè) p：2是素?cái)?shù)，q：2是合數(shù)，r：
是無(wú)理數(shù)，s：4是素?cái)?shù) 推理的形式結(jié)構(gòu)
前提：p∨q, p?r, r??s
結(jié)論：s?q 證明
① s
附加前提引入
②p?r
前提引入
③r??s
前提引入
④p??s
②③假言三段論
⑤?p
①④拒取式
⑥p∨q
前提引入
⑦q
⑤⑥析取三段論 請(qǐng)用直接證明法證明之
第二篇：離散數(shù)學(xué)總結(jié)
一、課程內(nèi)容介紹：
1．集合論部分： 離散數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)總結(jié)
集合論是離散數(shù)學(xué)中第一個(gè)抽象難關(guān)，在老師的生動(dòng)講解下，深入淺出，使得集合論成了相當(dāng)有趣的知識(shí)。只是對(duì)于以后的應(yīng)用還不是很了解，感覺(jué)學(xué)好它很重要。直觀(guān)地說(shuō)，把一些事物匯集到一起組成一個(gè)整體就叫集合，而這些事物就是這個(gè)集合的元素或成員。例如： 方程x2－1＝0的實(shí)數(shù)解集合；
26個(gè)英文字母的集合；
坐標(biāo)平面上所有點(diǎn)的集合；
集合通常用大寫(xiě)的英文字母來(lái)標(biāo)記，例如自然數(shù)集合N(在離散數(shù)學(xué)中認(rèn)為0也是自然數(shù))，整數(shù)集合Z，有理數(shù)集合Q，實(shí)數(shù)集合R，復(fù)數(shù)集合C等。
表示一個(gè)集合的方法有兩種：列元素法和謂詞表示法，如果兩個(gè)集合的交集為，則稱(chēng)這兩個(gè)集合是不相交的。例如B和C是不相交的。
兩個(gè)集合的并和交運(yùn)算可以推廣成n個(gè)集合的并和交： A1∪A2∪…∪An＝{x|x∈A1∨x∈A2∨…∨x∈An} A1∩A2∩…∩An＝{x|x∈A1∧x∈A2∧…∧x∈An}
2．關(guān)系
二元關(guān)系也可簡(jiǎn)稱(chēng)為關(guān)系。對(duì)于二元關(guān)系R，如果
例如R1={<1,2>,
給出一個(gè)關(guān)系的方法有三種:集合表達(dá)式，關(guān)系矩陣和關(guān)系圖。設(shè)R是A上的關(guān)系，我們希望R具有某些有用的性質(zhì)，比如說(shuō)自反性。如果R不具有自反性，我們通過(guò)在R中添加一部分有序?qū)?lái)改造R，得到新的關(guān)系R'，使得R'具有自反性。但又不希望R'與R相差太多，換句話(huà)說(shuō)，添加的有序?qū)σM可能的少。滿(mǎn)足這些要求的R'就稱(chēng)為R的自反閉包。通過(guò)添加有序?qū)?lái)構(gòu)造的閉包除自反閉保外還有對(duì)稱(chēng)閉包和傳遞閉包。
3．代數(shù)系統(tǒng)
代數(shù)結(jié)構(gòu)也叫做抽象代數(shù)，主要研究抽象的代數(shù)系統(tǒng)。抽象的代數(shù)系統(tǒng)也是一種數(shù)學(xué)模型，可以用它表示實(shí)際世界中的離散結(jié)構(gòu)。例如在形式語(yǔ)言中常將有窮字符表記為∑，由∑上的有限個(gè)字符（包括0個(gè)字符）可以構(gòu)成一個(gè)字符串，稱(chēng)為∑上的字?！粕系娜w字符串構(gòu)成集合∑*。設(shè)α,β是∑*上的兩個(gè)字，將β連接在α后面得到∑*上的字αβ。如果將這種連接看作∑*上的一種運(yùn)算，那么這種運(yùn)算不可交換，但是可結(jié)合。集合∑*關(guān)于連接運(yùn)算就構(gòu)成了一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，它恰好是抽象代數(shù)系統(tǒng)--半群的一個(gè)實(shí)例。抽象代數(shù)在計(jì)算機(jī)中有著廣泛的應(yīng)用，例如自動(dòng)機(jī)理論、編碼理論、形式語(yǔ)義學(xué)、代數(shù)規(guī)范、密碼學(xué)等等都要用到抽象代數(shù)的知識(shí)。代數(shù)結(jié)構(gòu)的主要研究對(duì)象就是各種典型的抽象代數(shù)系統(tǒng)。
構(gòu)成一個(gè)抽象代數(shù)系統(tǒng)有三方面的要素：集合、集合上的運(yùn)算以及說(shuō)明運(yùn)算性質(zhì)或運(yùn)算之間關(guān)系的公理。請(qǐng)看下面的例子。
整數(shù)集合Z和普通加法＋構(gòu)成了代數(shù)系統(tǒng)〈Z,＋〉，n階實(shí)矩陣的集合Mn(R)與矩陣加法＋構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng)〈Mn(R),＋〉。冪集P(B)與集合的對(duì)稱(chēng)差運(yùn)算也構(gòu)成了代數(shù)系統(tǒng)
。類(lèi)似這樣的代數(shù)系統(tǒng)可以列舉出許多許多，他們都是具體的代數(shù)系統(tǒng)。考察他們的共性，不難發(fā)現(xiàn)他們都含有一個(gè)集合，一個(gè)二元運(yùn)算，并且這些運(yùn)算都具有交換性和結(jié)合性等性質(zhì)。為了概括這類(lèi)代數(shù)系統(tǒng)的共性，我們可以定義一個(gè)抽象的代數(shù)系統(tǒng)
為了研究抽象的代數(shù)系統(tǒng)，我們需要先定義一元和二元代數(shù)運(yùn)算以及二元運(yùn)算的性質(zhì)，并通過(guò)選擇不同的運(yùn)算性質(zhì)來(lái)規(guī)定各種抽象代數(shù)系統(tǒng)的定義。在此基礎(chǔ)上再深入研究這些抽象代數(shù)系統(tǒng)的內(nèi)在特性和應(yīng)用。
4．圖論部分
圖論是作為我們計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)的一門(mén)很有用處的知識(shí)，也是新興的一個(gè)數(shù)學(xué)分支，在計(jì)算機(jī)迅速發(fā)展的同時(shí)，圖論也迅速發(fā)展。因此，圖論給我們以一種神奇的感覺(jué)，在學(xué)習(xí)圖論中，老師總是把圖論分析得很透徹，學(xué)起來(lái)很有趣，同時(shí)也很簡(jiǎn)單。圖論在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)方面的應(yīng)用極其廣泛，對(duì)我們學(xué)計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)的人來(lái)說(shuō)，是一門(mén)必須要學(xué)好的知識(shí)。
一個(gè)圖可以用一個(gè)圖形表示，定義中的結(jié)點(diǎn)對(duì)可以是有序的，也可以是無(wú)序的，若邊所對(duì)誤碼的結(jié)點(diǎn)對(duì)（a,b）是有序的，剛稱(chēng)L是有向邊，a稱(chēng)為L(zhǎng)的起點(diǎn)，b稱(chēng)為L(zhǎng)的終點(diǎn)，若邊L所對(duì)應(yīng)的結(jié)點(diǎn)對(duì)（a,b）是無(wú)序的，則稱(chēng)L是無(wú)向邊。
5．?dāng)?shù)理邏輯部分
數(shù)理邏輯作為離散數(shù)學(xué)的最后一部分，充滿(mǎn)著對(duì)邏輯思維的挑戰(zhàn)，同時(shí)鍛煉了我們思考問(wèn)題的嚴(yán)密性，當(dāng)然最重要的是學(xué)會(huì)如何用數(shù)學(xué)方法去分析邏輯問(wèn)題。
數(shù)理邏輯又稱(chēng)符號(hào)邏輯，它是用數(shù)學(xué)方法支研究抽象思維的規(guī)律的應(yīng)用學(xué)科，1.命題：把能判斷真假的陳述句稱(chēng)為命題，作為命題的陳述句表達(dá)的判斷結(jié)果稱(chēng)為命題的真值。命題公式、對(duì)偶與范式、命題演算的推理等等。
二、學(xué)習(xí)總結(jié)與體會(huì)
在本學(xué)期一開(kāi)始學(xué)習(xí)這門(mén)課程時(shí)，老師就明確的告訴我們這門(mén)課程很重要，是我們大學(xué)中專(zhuān)業(yè)課程的核心課程，同時(shí)由于難度系數(shù)較高，故本門(mén)課程較為難學(xué)。總的來(lái)說(shuō)，一個(gè)學(xué)期下來(lái)，自認(rèn)為比較好地掌握了離散數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，并在平時(shí)的各方面得到了很好的應(yīng)用。
對(duì)于離散數(shù)學(xué)，在剛開(kāi)始學(xué)習(xí)的不知道他的重要性，以為他與高等數(shù)學(xué)一樣，或者學(xué)習(xí)的時(shí)候的時(shí)候，一定要有高等數(shù)學(xué)的知道，其實(shí)不然，當(dāng)我開(kāi)始學(xué)習(xí)之后才知道，只有掌握了高等數(shù)學(xué)以及線(xiàn)性代數(shù)等相關(guān)知道才能更好的學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)。而且，作為計(jì)算機(jī)科學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生，離散數(shù)學(xué)當(dāng)中所涉及到相關(guān)知道，對(duì)于我們是至關(guān)重要的。比如，關(guān)系、群、路徑、圖的矩陣表示、樹(shù)等內(nèi)容，都是在計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)以及相關(guān)
信息當(dāng)中要用到的內(nèi)容。
所以學(xué)習(xí)了離散數(shù)學(xué)課之后，我的收獲是很多的。對(duì)于一些數(shù)學(xué)相關(guān)的知識(shí)有了不同的理解，學(xué)會(huì)了用不同的方法去解決程序設(shè)計(jì)方法以及將計(jì)算機(jī)和數(shù)學(xué)有機(jī)聯(lián)系起來(lái)，不過(guò)在學(xué)習(xí)的過(guò)程中也遇到了一些難題，最為突出的，就是書(shū)本上的和老師講解的都還是比較的簡(jiǎn)單，自己在課堂上也能聽(tīng)懂，但是到具體的應(yīng)用就很困難了。
特別是不看書(shū)，就很多的東西都還給了老師，所以，我會(huì)嚴(yán)格的要求自己，學(xué)過(guò)的東西，都要下來(lái)練習(xí)，盡量的多做一些習(xí)題，盡量的把學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)練熟悉，這樣才能夠提高自己專(zhuān)業(yè)知識(shí)，提高自己解決問(wèn)題的能力。
有一點(diǎn)讓我遺憾的是沒(méi)有學(xué)完這門(mén)課程，但在這門(mén)課程快要結(jié)束的時(shí)候，我總結(jié)了學(xué)習(xí)中遇到的一些問(wèn)題，最為突出的是，書(shū)本上的知識(shí)與老師講的都比較容易懂，可是在真正運(yùn)到實(shí)際生活中時(shí)，就不能將老師所講的知識(shí)點(diǎn)與書(shū)上所羅列的。因此，針對(duì)這一情況，在以后的學(xué)習(xí)中我會(huì)嚴(yán)格要求自己，多參加實(shí)踐，只有這樣，才能夠提高運(yùn)用知識(shí)，解決問(wèn)題的能力。
三、教學(xué)建議
1.在課程開(kāi)設(shè)方面，對(duì)于離散數(shù)學(xué)等相關(guān)基礎(chǔ)、重要的課程，應(yīng)當(dāng)在大一或大二開(kāi)設(shè)，不應(yīng)放在大三下期，這樣對(duì)于我們學(xué)習(xí)時(shí)也有一定的幫助。我希望這一本書(shū)上能多一些練習(xí)題，以便我們學(xué)過(guò)了，下課了也有很多的練習(xí)題做，來(lái)鞏固課堂上的新內(nèi)容。同時(shí)，我也希望在有些程序部分，能給出詳細(xì)的注釋語(yǔ)句。
2.相互學(xué)習(xí)，教師應(yīng)當(dāng)努力使現(xiàn)代教學(xué)手段與傳統(tǒng)教學(xué)手段有機(jī)結(jié)合，相互取長(zhǎng)補(bǔ)短。在教學(xué)實(shí)施中既能發(fā)揮教學(xué)手段的優(yōu)勢(shì)，又能善于運(yùn)用傳統(tǒng)方式，使教學(xué)效果達(dá)到最佳。建議能給一些學(xué)生練習(xí)的時(shí)間，這樣我們才能對(duì)學(xué)過(guò)的新內(nèi)容有一個(gè)鞏固的時(shí)間，其實(shí)這樣更有助于以后的教學(xué)，前面的基礎(chǔ)知識(shí)打牢了，后面的學(xué)習(xí)更愉快。
3.提升技能：教師應(yīng)重新認(rèn)識(shí)離散數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)聯(lián)系。同時(shí)，要始終把學(xué)生放在講課對(duì)象的中心位置，特別是在課余時(shí)間，建議由老師組
織學(xué)生進(jìn)行分組，大家共同學(xué)習(xí)，由于現(xiàn)今的大學(xué)學(xué)習(xí)較為分散，很多時(shí)候同學(xué)們都不同在課堂上完成任務(wù)，只能下來(lái)之后繼續(xù)完成，所以組建學(xué)習(xí)小組后，通過(guò)完成任務(wù)等方式，讓學(xué)生學(xué)習(xí)到更多的知識(shí)點(diǎn)。學(xué)會(huì)更多的內(nèi)容。
4.任務(wù)引領(lǐng)：充分調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)積極性讓學(xué)習(xí)在完成任務(wù)的過(guò)程當(dāng)中，充分學(xué)習(xí)到多媒體課件的制作以及多媒體信息的處理等等。
第三篇：《離散數(shù)學(xué)》課程總結(jié)
《離散數(shù)學(xué)》學(xué)期總結(jié)
轉(zhuǎn)眼之間，這學(xué)期要結(jié)束了。我們的離散數(shù)學(xué)，這門(mén)課程的學(xué)習(xí)也即將接近尾聲。下面就是我對(duì)這門(mén)課一些認(rèn)識(shí)及自己的學(xué)習(xí)心得。
首先我們這門(mén)課程離散數(shù)學(xué)到底包含了哪幾大部分？每部分具體又有什么內(nèi)？這門(mén)課程在計(jì)算機(jī)科學(xué)中有什么地位？這門(mén)課程在我們以后的學(xué)習(xí)生活中，以及在將來(lái)的工作中有什么幫助？下面我將以上幾個(gè)方面具體談一談并將總結(jié)一下自己本人在這門(mén)課程學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到的一些問(wèn)題和心得體會(huì)。
這門(mén)課程有數(shù)理邏輯，集合論，代數(shù)系統(tǒng)和圖論四部分。這四大部分通常被稱(chēng)為離散數(shù)學(xué)的四大體系。其中每一部分都是一個(gè)獨(dú)立的學(xué)科，內(nèi)容豐富。而我們離散數(shù)學(xué)中的內(nèi)容是其中最基本，最重要且和計(jì)算機(jī)科學(xué)最密切相關(guān)的內(nèi)容吸收到離散數(shù)學(xué)中來(lái)，并使它們前后貫通，形成一個(gè)有機(jī)整體。這門(mén)課的主要內(nèi)容有命題邏輯、謂詞邏輯，屬于數(shù)理邏輯部分，集合論中有集合、二元關(guān)系、函數(shù)，代數(shù)系統(tǒng)包含代數(shù)系統(tǒng)基礎(chǔ)、群、環(huán)、域以及格和布爾代數(shù)的知識(shí)（這部分我們沒(méi)有涉及）。
那么這門(mén)課程在計(jì)算機(jī)科學(xué)中有著什么樣的地位呢，這門(mén)課程是計(jì)算機(jī)科學(xué)專(zhuān)業(yè)中重要的專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課程，核心課程，可以這么說(shuō)，離散數(shù)學(xué)，既是一門(mén)專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課，是一門(mén)工具性學(xué)科。這門(mén)課講授的內(nèi)容，與后續(xù)專(zhuān)學(xué)習(xí)業(yè)密切相關(guān)。在這門(mén)課里我們講授了大量的計(jì)算機(jī)學(xué)科專(zhuān)業(yè)必要的基本概念，基本理論和基本方法。為我們以后的學(xué)習(xí)，工作打下良好基礎(chǔ)。在算法設(shè)計(jì)，人工智能，計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，智能計(jì)算等學(xué)科中有著重要的作用。在計(jì)算機(jī)科學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。通過(guò)這門(mén)課可以對(duì)我們計(jì)算機(jī)算法的理解和邏輯思維得到提高。
那么我們具體學(xué)了什么內(nèi)容呢？
（一）首先集合論是整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，（不管是離散數(shù)學(xué)還是連續(xù)數(shù)學(xué)）如果沒(méi)有專(zhuān)門(mén)學(xué)過(guò)，那么出現(xiàn)在離散數(shù)學(xué)中還是很合適的。至于由集合論引出的二元關(guān)系，函數(shù)的內(nèi)容，也是理所應(yīng)當(dāng)?shù)摹?/p>
數(shù)理邏輯是一個(gè)讓人眼前一亮的東西。我第一次發(fā)現(xiàn)，原來(lái)有些復(fù)雜的推理問(wèn)題是可以通過(guò)“計(jì)算”的方法解決的。
數(shù)理邏輯，又叫符號(hào)邏輯。就是依靠專(zhuān)門(mén)的數(shù)學(xué)符號(hào)去推導(dǎo)過(guò)程對(duì)的科學(xué)。在推導(dǎo)過(guò)程中，我們探索出一套完整的規(guī)則。這個(gè)規(guī)格就是我們的推理規(guī)則。竟然為了確保這套規(guī)則的，準(zhǔn)確性。防止二義性，以至于可以將公理理論公式化，依據(jù)各項(xiàng)規(guī)則，證得論證的有效性。
這一章里，我們首先學(xué)習(xí)了，命題邏輯的基本概念。并和一些邏輯連接詞。包括真值連接詞的否定，真值連接詞合取，析取。我們可以用，符號(hào)形式寫(xiě)出各種命題，并利用真值表來(lái)判斷命題的真假。用真值表來(lái)判斷，命題是十分有效方便的。所以，對(duì)于真值表的記憶是十分重要的。命題公式的表示，也是用符號(hào)話(huà)的需要來(lái)給出的。隨后我們學(xué)習(xí)了永真式和永假式，對(duì)于永真式和永假式的證明，用制表技術(shù)可以方便的給出。對(duì)于永真式，因?yàn)樵用}變?cè)徽摫硎臼裁疵}，是真的還是假的，它總是真的。所以它反映的是命題邏輯的邏輯規(guī)律。所以我們著重研究永真式。下面，在一個(gè)公式中，如果用另外的是替換其中某個(gè)或某些原子命題變?cè)?，就?huì)得到全新的公式，這個(gè)全新的公式，和原公式什么關(guān)系呢？進(jìn)而引出了我們的代入規(guī)則和替換規(guī)則。為了更方便的證明各種命題，我們學(xué)習(xí)了，等價(jià)和蘊(yùn)涵的各種定理，還有范式和范式的判定問(wèn)題，其中主要是主析取范式和合取范式的概念，定理，證明。證明過(guò)程我們?cè)谡n上都已經(jīng)證明過(guò)了。在這一章還學(xué)習(xí)了三段式的證明，此證明方法在以后的學(xué)習(xí)過(guò)程中經(jīng)常使用。
謂詞邏輯就是對(duì)命題和推理做深一步的研究的學(xué)習(xí)。在謂詞演算中，原子命題分為謂詞和個(gè)體兩部分。謂詞邏輯就是將命題的內(nèi)涵，通過(guò)個(gè)體和謂詞中的表現(xiàn)出來(lái)，把同一類(lèi)命題，用命題函數(shù)表示，增強(qiáng)其表達(dá)能力。在這里要注意的是，命題還是不是命題，因?yàn)槠錄](méi)有確定的真假異議，但是可以將一個(gè)命題函數(shù)轉(zhuǎn)化為問(wèn)題，方法有二，（1）用個(gè)體域中的特定個(gè)體去替換個(gè)體變?cè)?；?）這個(gè)體域上，將命題函數(shù)量化。所謂量化，就是用量詞的命題函數(shù)中的個(gè)體變?cè)M(jìn)行約束，由此引入了量詞的概念。量詞分為全稱(chēng)，量詞與存在量詞，量詞反映了個(gè)體域與量詞間的真假關(guān)系。此外，在謂詞邏輯中，個(gè)體的個(gè)體域也是很重要的。將一個(gè)命題用謂詞，邏輯符號(hào)化時(shí)，通常經(jīng)以下步驟（1）確定特性謂詞及其他謂詞。（2）確定量詞。（3）量詞與邏輯連接詞的搭配。有了量詞的概念后，謂詞邏輯表達(dá)能力就讓廣泛了，它所刻畫(huà)的語(yǔ)句也也更為普遍，更為深刻。
代數(shù)系統(tǒng)，在計(jì)算機(jī)科學(xué)中也非常重要。在計(jì)算機(jī)科學(xué)中帶出系統(tǒng)科，用作研究，抽象數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的性能及操作，也是程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言的理論基礎(chǔ)。
圖論這一章里，我們學(xué)習(xí)的圖并不是幾何學(xué)中的圖形。而是客觀(guān)世界中某些事物具體聯(lián)系的一個(gè)數(shù)學(xué)抽象。用點(diǎn)代表事物，用邊表示各事物間的二元關(guān)系。這一章剛開(kāi)始學(xué)的概念很多，讓我感覺(jué)有些亂。所以在課后要自己多下功夫了。
然后就是我在學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的一些問(wèn)題及解決方法了，今天，在學(xué)習(xí)數(shù)理邏輯的時(shí)候，覺(jué)得離散數(shù)學(xué)這門(mén)課程很簡(jiǎn)單。但是隨著學(xué)習(xí)的進(jìn)一步深入，我發(fā)現(xiàn)我的想法是錯(cuò)誤的。對(duì)于后面的一些推理論證，自己缺乏思路。雖然，老師在課上也教給了我們推理的方法，但是，還是忍不住去看書(shū)上的證明。這一點(diǎn)在隨后的學(xué)習(xí)中，我一般盡量克服，也是在老師的幫助下，在證明時(shí)盡量自己想，憋自己一下，讓自己的思維得到訓(xùn)練，自己的推理論證能力得到提高。進(jìn)而使綜合素質(zhì)，都要提高。
再說(shuō)一下李勇老師的講課吧，講的非常棒。首先它會(huì)對(duì)每一部分的內(nèi)容，及，基本概念給大家進(jìn)行講解。然后就是強(qiáng)調(diào)自己的推理能力。每節(jié)課都會(huì)讓我們自己推理，驗(yàn)證定理。從基礎(chǔ)出發(fā)，從小定理驗(yàn)證到大定理，由特殊推廣到一般。一般都會(huì)讓我們從兩三個(gè)開(kāi)始驗(yàn)證，逐步得到結(jié)論，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。一次，李勇老師對(duì)，課堂教學(xué)有著自己深刻的理解，對(duì)這門(mén)課的教學(xué)方法，教學(xué)模式有著獨(dú)特的看法。還有就是李勇老師，朋輩式的教學(xué)方法，在教學(xué)過(guò)程中，我們共同進(jìn)步，教學(xué)相長(zhǎng)，這樣是非常好的。
對(duì)于老師每節(jié)課讓我們自己推理的使用模式，我表示非常贊同。我認(rèn)為，最好的學(xué)習(xí)辦法就是找到合適自己解決問(wèn)題的方法。學(xué)習(xí)任何課程都是為了解決實(shí)際問(wèn)題。離散數(shù)學(xué)也是如此，有了對(duì)概念的理解，有了正確的思考問(wèn)題的方式，解決問(wèn)題的時(shí)候就不會(huì)走彎路了，也就是說(shuō)，基本的解決問(wèn)題的方法就自然而然的掌握了。對(duì)于我們從小缺乏鍛煉的推理能力，在這里得到了非常高的提升。
第四篇：學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)總結(jié)范文
學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)的心得體會(huì)
姓名：
學(xué)號(hào)：1
班級(jí)：計(jì)算機(jī)
離散數(shù)學(xué)，對(duì)絕大多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)應(yīng)該都會(huì)是一門(mén)十分困難的課程，當(dāng)然也包括我在內(nèi)。通過(guò)這一學(xué)期的學(xué)習(xí)，我對(duì)這門(mén)課程有一些初步的了解，現(xiàn)在的心情和當(dāng)初也很不相同。
在還沒(méi)有接觸的時(shí)候，看見(jiàn)課本就想退縮，心想：這是什么課程啊，這叫數(shù)學(xué)嗎，這些符號(hào)都是之前沒(méi)有見(jiàn)過(guò)的呢！但是既然都說(shuō)是挑戰(zhàn)就沒(méi)有退縮的道理。雖然不能說(shuō)是抱著“視死如歸”的精神，至少能說(shuō)是忐忑不安。在聽(tīng)老師講課的時(shí)候有些定義性的東西總會(huì)混淆，我自認(rèn)為是個(gè)越挫越勇的人，并沒(méi)有因此退縮。超乎想象的是，老師講課好仔細(xì)，好詳細(xì)，因?yàn)榍懊娴闹R(shí)是為后面做鋪墊，所以在后面老師經(jīng)常強(qiáng)調(diào)。
而且老師每?jī)纱握n都會(huì)布置作業(yè)，這讓我們?cè)谕瓿勺鳂I(yè)的時(shí)候?qū)ι线^(guò)的內(nèi)容進(jìn)行了加深，有利于我們更好的學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)。而且每次作業(yè)老師都很認(rèn)真批改，錯(cuò)誤的地方都會(huì)給你圈出來(lái)，以便于我們自己更好的完成訂正。錯(cuò)誤的地方，經(jīng)過(guò)老師認(rèn)真仔細(xì)的講解，更讓我們對(duì)知識(shí)點(diǎn)及解題技巧有了一定的認(rèn)知。當(dāng)一題題目本來(lái)不會(huì)做錯(cuò)了但是經(jīng)過(guò)老師講解聽(tīng)講到會(huì)做這題題目的時(shí)候，這種成就感還是相當(dāng)不錯(cuò)的呢。難得有這么認(rèn)真又負(fù)責(zé)的老師，讓我本來(lái)對(duì)數(shù)學(xué)沒(méi)什么興趣的人居然也會(huì)漸漸地對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了興趣。有了這些認(rèn)知，我覺(jué)得這門(mén)課的難點(diǎn)在于課程比較枯燥，好多理論的知識(shí)需要我們?nèi)ダ斫狻?/p>
前三章主要是認(rèn)識(shí)邏輯語(yǔ)言符號(hào)，了解了數(shù)理邏輯的特點(diǎn)，并做一些簡(jiǎn)單的邏輯推理和運(yùn)算。這些知識(shí)都是以前所學(xué)的進(jìn)一步轉(zhuǎn)換，只要將數(shù)學(xué)的函數(shù)符號(hào)邏輯化就行。也就是說(shuō)，那些符號(hào)知識(shí)形式上的不同，實(shí)質(zhì)上是一樣的。不同的是，之前的數(shù)學(xué)只需要運(yùn)用結(jié)論證明其他的案例等。但是邏輯數(shù)學(xué)不僅要知其然還要知其所以然，運(yùn)用結(jié)論正結(jié)論。即使如此，我還是覺(jué)得這幾章學(xué)著很輕松，只要熟練掌握公式定理就會(huì)覺(jué)得離散數(shù)學(xué)并不像之前想象的那么困難。
第四章講的是關(guān)系。這一章，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)、運(yùn)用數(shù)理邏輯語(yǔ)言，熟練強(qiáng)化練習(xí)，深入理解。這一章的難度相較于前幾章要繁瑣些，有很多的符號(hào)轉(zhuǎn)換，運(yùn)算，運(yùn)算過(guò)程很復(fù)雜。對(duì)于計(jì)算能力不強(qiáng)的我來(lái)說(shuō)，這一章或許是最吃力的，即使知道原理也需要通過(guò)大量的練習(xí)強(qiáng)化鞏固，而這其中用到的還有線(xiàn)性代數(shù)里面的矩陣。
第五章學(xué)的是函數(shù)，定義和高中所學(xué)一樣，只不過(guò)是把它轉(zhuǎn)換運(yùn)用于數(shù)理邏輯，并用邏輯符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算。雖說(shuō)如此，但是這其中仍然有更深層次的概念和邏輯公式，如果單純的用原有的思維是很難想透徹的。
第六章“圖”和第七章“樹(shù)及其應(yīng)用”可以歸為“圖論”。在剛接觸到“圖”這一章的時(shí)候我是抱著好奇之心去學(xué)習(xí)的，因?yàn)檫@章都是關(guān)于“圖”，想了解一下和幾何圖形的差別，所以覺(jué)得善長(zhǎng)幾何的我應(yīng)該能夠把它學(xué)好。但是不可否認(rèn)，隨著知識(shí)的深入，這一章一定會(huì)比前面的更難理解，更難學(xué)。因此，上課的時(shí)候聽(tīng)得格外認(rèn)真，課后還找了一些相關(guān)書(shū)籍閱覽。在看過(guò)這些書(shū)籍以后，我才真正了解到它并不是枯燥乏味的，它的用途非常廣泛，并且應(yīng)用于我們整個(gè)日常生活中。比如：怎樣布線(xiàn)才能使每一部電話(huà)互相連通，并且花費(fèi)最?。繌氖赘矫恐葜莞淖疃搪肪€(xiàn)是什么？n項(xiàng)任務(wù)怎樣才能最有效地由n個(gè)人完成？管道網(wǎng)絡(luò)中從源點(diǎn)到集匯點(diǎn)的單位時(shí)間最大流是多少？一個(gè)計(jì)算機(jī)芯片需要多少層才能使得同一層的路線(xiàn)互不相交？怎樣安排一個(gè)體育聯(lián)盟季度賽的日程表使其在最少的周數(shù)內(nèi)完成？一位流動(dòng)推銷(xiāo)員要以怎樣的順序到達(dá)每一個(gè)城市才能使得旅行時(shí)間最短？我們能用4種顏色來(lái)為每張地圖的各個(gè)區(qū)域著色并使得相鄰的區(qū)域具有不同的顏色嗎？這些問(wèn)題以及其他一些實(shí)際問(wèn)題都涉及“圖論”。
這里所說(shuō)的圖并不是幾何學(xué)中的圖形，而是客觀(guān)世界中某些具體事物間聯(lián)系的一個(gè)數(shù)學(xué)抽象，用頂點(diǎn)代表事物，用邊表示各式物間的二元關(guān)系，如果所討論的事物之間有某種二元關(guān)系，我們就把相應(yīng)的頂點(diǎn)練成一條邊。這種由頂點(diǎn)及連接這些頂點(diǎn)的邊所組成的圖就是圖論中所研究的圖。由于它關(guān)系著客觀(guān)世界的事物，所以對(duì)于解決實(shí)際問(wèn)題是相當(dāng)有效的。哥尼斯堡橋問(wèn)題（七橋問(wèn)題），這個(gè)著名的數(shù)學(xué)難題，在經(jīng)過(guò)如此漫長(zhǎng)的時(shí)間最終還是瑞士數(shù)學(xué)家歐拉利用圖論解決了它，并得出沒(méi)有一種方法使得從這塊陸地中的任意一塊開(kāi)始，通過(guò)每一座橋恰好一次再回到原點(diǎn)。
樹(shù)是指沒(méi)有回路的連通圖。它是連通圖中最簡(jiǎn)單的一類(lèi)圖，許多問(wèn)題對(duì)一般連通圖未能解決或者沒(méi)有簡(jiǎn)單的方法，而對(duì)于樹(shù)，則已圓滿(mǎn)解決，且方法較為簡(jiǎn)單。而且在許多不同領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用。例如家譜圖就是其中之一。如果將每個(gè)人用一個(gè)頂點(diǎn)來(lái)表示，并且在父子之間連一條邊，便得到一個(gè)樹(shù)狀圖。
圖論中最著名的應(yīng)該就是圖的染色問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題的研究來(lái)源于著名的四色問(wèn)題。四色問(wèn)題是圖論中也許是全部數(shù)學(xué)中最出名、最難得一個(gè)問(wèn)題之一。所謂四色猜想就是在平面上任何一張地圖，總可以用至多四種顏色給每一個(gè)國(guó)家染色，使得任何相鄰國(guó)家的顏色是不同的。四色問(wèn)題粗看起來(lái)似乎與我們所討論的圖沒(méi)有什么聯(lián)系。其實(shí)也是可以轉(zhuǎn)化為圖論中的問(wèn)題來(lái)討論。首先從地圖出發(fā)來(lái)構(gòu)作一個(gè)圖，讓每一個(gè)頂點(diǎn)代表地圖的一個(gè)區(qū)域，如果兩個(gè)區(qū)域有一段公共邊界線(xiàn)，就在相應(yīng)的頂點(diǎn)之間連上一條邊。由于地圖中每一塊區(qū)域?qū)?yīng)圖的一個(gè)頂點(diǎn)，兩個(gè)相鄰頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)兩個(gè)相鄰的區(qū)域。所以對(duì)地圖染色使相鄰的區(qū)域染以不同的顏色相當(dāng)于對(duì)圖的每個(gè)頂點(diǎn)染以相應(yīng)的一種顏色，使得相鄰的頂點(diǎn)有不同的顏色。總之，圖論是數(shù)學(xué)科學(xué)的一個(gè)分支，而四色問(wèn)題是典型的圖論課題。
通過(guò)對(duì)圖論的初步理解和認(rèn)識(shí)，我深深地認(rèn)識(shí)到，圖論的概念雖然有其直觀(guān)、通俗的方面，但是這許多日常生活用語(yǔ)被引入圖論后就都有了其嚴(yán)格、確切的含義。我們既要學(xué)會(huì)通過(guò)術(shù)語(yǔ)的通俗含義更快、更好地理解圖論概念，又要注意保持術(shù)語(yǔ)起碼的嚴(yán)格。
本以為枯燥乏味的離散數(shù)學(xué)竟然會(huì)是貼近生活，這些歷史難題等等，都讓我對(duì)它產(chǎn)生了一定的興趣，雖然不可否認(rèn)的是，對(duì)我來(lái)說(shuō)它確實(shí)是一門(mén)很難很深?yuàn)W很抽象的課程，但是仍然不減我對(duì)圖論產(chǎn)生的興趣，或許這也就是我選擇這門(mén)課程最大的收獲吧。
第五篇：離散數(shù)學(xué)學(xué)期總結(jié)
200820174036何志伍計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)
離散數(shù)學(xué)學(xué)期總結(jié)
離散數(shù)學(xué)是描繪一些離散量與量之間的相互邏輯結(jié)構(gòu)及關(guān)系的學(xué)科。它的思想方法及內(nèi)容滲透到計(jì)算機(jī)學(xué)科的各個(gè)領(lǐng)域中。因此它成為計(jì)算機(jī)及相關(guān)專(zhuān)業(yè)的一門(mén)重要專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課。主要內(nèi)容包括：集合論、關(guān)系、代數(shù)系統(tǒng)、圖論和數(shù)理邏輯五個(gè)部分。結(jié)構(gòu)上，從集合論入手，后介紹數(shù)理邏輯，便于學(xué)生學(xué)習(xí)。為了能很好的消化理解內(nèi)容，列舉了大量的較為典型、易于接受、說(shuō)明問(wèn)題的例題，配備了相當(dāng)數(shù)量的習(xí)題，也列舉了部分實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題。
一． 知識(shí)點(diǎn)
第一章.集合論
集合論或集論是研究集合（由一堆抽象物件構(gòu)成的整體）的數(shù)學(xué)理論，包含集合、元素和成員關(guān)系等最基本數(shù)學(xué)概念。在大多數(shù)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的公式化中，集合論提供了要如何描述數(shù)學(xué)物件的語(yǔ)言。
本章主要介紹集合的基本概念、運(yùn)算及冪集合和笛卡爾乘積。這章是本書(shū)的基礎(chǔ)部分，要學(xué)好離散數(shù)學(xué)就必須很好的掌握集合的內(nèi)容。集合論的概念和方法已經(jīng)滲透到所有的數(shù)學(xué)分支，因而各數(shù)學(xué)分支的完整體系，都是在所取集合上。
第二章．關(guān)系
關(guān)系在我們?nèi)粘Ｉ钪薪?jīng)常會(huì)遇到關(guān)系這一概念。但在數(shù)學(xué)中關(guān)系表示集合中元素間的聯(lián)系。本章主要學(xué)習(xí)關(guān)系的基本概念、關(guān)系的性質(zhì)、閉包運(yùn)算、次序關(guān)系、等價(jià)關(guān)系，本章學(xué)習(xí)的重點(diǎn)：關(guān)系的性質(zhì)、閉包運(yùn)算、次序關(guān)系。
關(guān)系這一章是集合論這一章的延伸，對(duì)集合論的理解程度對(duì)學(xué)習(xí)關(guān)系這一章是非常有影響的。而關(guān)系又是學(xué)習(xí)下一章代數(shù)系統(tǒng)必不可少的，所以本章是非常重要的章節(jié)。
第三章．代數(shù)系統(tǒng)
代數(shù)結(jié)構(gòu)也叫做抽象代數(shù)，主要研究抽象的代數(shù)系統(tǒng)。抽象代數(shù)研究的中
心問(wèn)題就是一種很重要的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)--代數(shù)系統(tǒng)：半群、群等等。
本章主要學(xué)習(xí)了運(yùn)算與半群、群。學(xué)習(xí)本章需要學(xué)會(huì)判斷是否是代數(shù)系統(tǒng)、群和半群，以及判斷代數(shù)系統(tǒng)具有哪些運(yùn)算規(guī)律，如：結(jié)合、交換律等及單位元、逆元。這些都在我們計(jì)算機(jī)編碼中體現(xiàn)出重要的作用。
第四章．圖論
圖論〔Graph Theory〕起源于著名的柯尼斯堡七橋問(wèn)題，以圖為研究對(duì)象。圖論中的圖是由若干給定的點(diǎn)及連接兩點(diǎn)的線(xiàn)所構(gòu)成的圖形，這種圖形通常用來(lái)描述某些事物之間的某種特定關(guān)系，用點(diǎn)代表事物，用連接兩點(diǎn)的線(xiàn)表示相應(yīng)兩個(gè)事物間具有這種關(guān)系。
本章主要學(xué)習(xí)圖的基本概念、路徑與回路、圖的矩陣表示、平面圖和二部圖、以及樹(shù)。學(xué)習(xí)的重點(diǎn)：圖的矩陣表示、平面圖和二部圖、以及樹(shù)。
第五章．?dāng)?shù)理邏輯
數(shù)理邏輯又稱(chēng)符號(hào)邏輯、理論邏輯。它既是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，也是邏輯學(xué)的一個(gè)分支。是用數(shù)學(xué)方法研究邏輯或形式邏輯。數(shù)理邏輯是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的一個(gè)不可缺少的組成部分。雖然名稱(chēng)中有邏輯兩字，但并不屬于單純邏輯學(xué)范疇。數(shù)理邏輯與計(jì)算機(jī)科學(xué)有著密切的關(guān)系，它已成為計(jì)算機(jī)科學(xué)的基礎(chǔ)理論。
本章學(xué)習(xí)的重點(diǎn)：命題及聯(lián)結(jié)詞、命題公式及公式的等值和蘊(yùn)含關(guān)系、對(duì)偶與范式、命題演算的推理規(guī)則、謂詞邏輯簡(jiǎn)介。
二．學(xué)習(xí)情況
離散數(shù)學(xué)作為一門(mén)必修課，其地位是非常重要的。學(xué)習(xí)好這門(mén)課對(duì)于我們也是頗有益處。而且離散數(shù)學(xué)還是一門(mén)有很深內(nèi)涵的學(xué)科。
集合論是本書(shū)的這一章節(jié)，我們?cè)谝郧耙呀?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)集合，為什么現(xiàn)在還要學(xué)習(xí)呢，這就足見(jiàn)集合在離散數(shù)學(xué)這門(mén)課程中的重要，把集合的知識(shí)作為一個(gè)基礎(chǔ)的知識(shí)點(diǎn)，來(lái)作鋪墊。所以說(shuō)要想學(xué)習(xí)好離散數(shù)學(xué)就必須先將集合的知識(shí)掌握好。
關(guān)系是集合知識(shí)點(diǎn)的延伸，關(guān)系是相對(duì)于集合而言的。關(guān)系也是一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)也有重要的作用。后面的代數(shù)系統(tǒng)就必須依賴(lài)關(guān)系才存在的。如果一個(gè)系統(tǒng)里不存在關(guān)系，那么這個(gè)系統(tǒng)也是不存在的。系統(tǒng)里必然存在某種關(guān)系，這才使系統(tǒng)存在有意義。
代數(shù)系統(tǒng)的學(xué)習(xí)是對(duì)前面的集合論與關(guān)系的以個(gè)總結(jié)。學(xué)習(xí)了集合論與關(guān)系有什么用，在這一章節(jié)我們就可以看出來(lái)。通過(guò)學(xué)習(xí)這一章，對(duì)前面兩章有了更深的理解，也對(duì)前面所學(xué)知識(shí)有了一個(gè)總結(jié)。但同時(shí)本章也是本書(shū)中比較難以了理解的章節(jié)，在本章的學(xué)習(xí)中遇到一些問(wèn)題，但是在同學(xué)的幫助下都一一解決了。
圖論的學(xué)習(xí)對(duì)于我們計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生來(lái)說(shuō)是非常的重要的，因?yàn)樗c我們
計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)的關(guān)系最密切。在學(xué)習(xí)中，圖不再是我們以前接觸的圖，而是學(xué)習(xí)的事如何在點(diǎn)與點(diǎn)之間連結(jié)的問(wèn)題。這對(duì)于發(fā)散我們的思維有很大的幫助。
數(shù)理邏輯是本書(shū)最重要的章節(jié)，它是培養(yǎng)我們的抽象思維，讓我們能在其他學(xué)科能夠運(yùn)用一定的思維方式來(lái)解決問(wèn)題。對(duì)于計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)來(lái)說(shuō)，數(shù)理邏輯提高了計(jì)算機(jī)的工作效率。數(shù)理邏輯在計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)方面起到了重要的作用。
三．學(xué)習(xí)體會(huì)
學(xué)習(xí)了離散數(shù)學(xué)這門(mén)課程，對(duì)于一個(gè)愛(ài)好數(shù)學(xué)的人來(lái)說(shuō)，我是非常受益的。同時(shí)，離散數(shù)學(xué)作為一門(mén)與計(jì)算機(jī)學(xué)科相關(guān)的專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課，對(duì)我學(xué)專(zhuān)業(yè)知識(shí)也有很大的幫助。
學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)，可以培養(yǎng)我們的邏輯思維方式，對(duì)于我們學(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)方向的學(xué)生來(lái)說(shuō)是非常有用的。尤其是在計(jì)算機(jī)編程方面對(duì)邏輯思維就有一定的要求。離散數(shù)學(xué)這門(mén)課程，是一門(mén)比較難學(xué)的課程，它有太多的概念、定義，需要我們有很好的記憶力，但是要完全記住這么多的概念、定義是非常困難的。所以說(shuō)我們?cè)谟泻玫挠洃浟χ?，還要運(yùn)用理解記憶的方法來(lái)解決，這樣我們就不必花費(fèi)過(guò)多的時(shí)間和精力去記憶這么多的概念和定義了。離散數(shù)學(xué)作為一門(mén)理科學(xué)科，在我看來(lái)最好的學(xué)習(xí)方法就是多動(dòng)手、多做題，在做題得過(guò)程中，慢慢積累做題得經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)也可以對(duì)概念和定義有一個(gè)更深層次的理解。
學(xué)習(xí)各個(gè)學(xué)科都有其各自的學(xué)習(xí)方法與思維方式，只有運(yùn)用對(duì)了學(xué)習(xí)方法才能更好的學(xué)習(xí)這門(mén)課程。學(xué)習(xí)一門(mén)課程都是為了解決實(shí)際問(wèn)題，學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)也不例外。學(xué)通了一門(mén)課程才能在解決問(wèn)題的時(shí)候不會(huì)走彎路。
上面說(shuō)到了離散數(shù)學(xué)是一門(mén)比較難學(xué)的課程，在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，也肯定會(huì)遇到許多的問(wèn)題，比如在第三章學(xué)習(xí)的代數(shù)系統(tǒng)中的半群與運(yùn)算，關(guān)于單位元與逆元素這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)遇到一些問(wèn)題。但是通過(guò)反復(fù)的理解概念及做練習(xí)題和與同學(xué)交流，最后還是解決了這些問(wèn)題。當(dāng)解決問(wèn)題的時(shí)候心中有一種成就感。
學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)的過(guò)程中，也有許多的樂(lè)趣。但在輕松學(xué)習(xí)的過(guò)程中，還得從中學(xué)到東西，學(xué)到道理。我在學(xué)習(xí)這門(mén)課程之后，對(duì)我的專(zhuān)業(yè)知識(shí)方面有了很大的幫助，讓我的思維有了進(jìn)一步的發(fā)散，使我在其他的學(xué)科中受益匪淺。
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