第一篇：離散數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心得
離散數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心得
姓名：周燕
班級(jí)：12計(jì)本（2）班
學(xué)號(hào)：1204012032
當(dāng)老師說(shuō)這門課快要結(jié)束的時(shí)候，我才發(fā)現(xiàn)這門課的學(xué)習(xí)以經(jīng)接近尾聲了。通過(guò)這一學(xué)期的學(xué)習(xí)，我覺(jué)得離散數(shù)學(xué)是一們很有意思的課程，不同于以往學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)類知識(shí)的大量的運(yùn)算，離散數(shù)學(xué)更多的是培養(yǎng)邏輯推理方面的，掌握基本的方法并加以運(yùn)用就能很好地掌握。下面我來(lái)整理一下我這個(gè)學(xué)期的學(xué)習(xí)思路。
第一章學(xué)習(xí)的是命題邏輯的基本概念，介紹了命題的定義，連接詞以及命題公式的賦值。然后學(xué)習(xí)了命題邏輯的等值演算，等值式即兩個(gè)命題公式為重言式。判斷等值式的方法通常有列真值表，等值演算等。本章還給出了命題公式的兩種規(guī)范的表示方法。析取范式和合取范式，本章還介紹了連結(jié)詞的完備集。第三章介紹的是命題邏輯的推理理論，在自然推理系統(tǒng)中，命題的推理證明。第四章是對(duì)前面推理證明的補(bǔ)充與完備，前三章中，命題邏輯具有一定的局限性，有時(shí)候無(wú)法判斷一些常見的簡(jiǎn)單推理，于是我們引進(jìn)了一階邏輯命題。第五章便是一階邏輯等值演算的推理。第二部分學(xué)習(xí)集合論，介紹了集合論的基本概念，集合的運(yùn)算集合恒等式，第七章關(guān)于二元關(guān)系，關(guān)系的性質(zhì)，著重介紹了自反性，對(duì)稱性，傳遞性。第三部分學(xué)習(xí)圖論，圖的基本概念，通路與回路，以及圖的連通性，然后學(xué)習(xí)了樹，樹的性質(zhì)樹的生成。最后是代數(shù)系統(tǒng)。
以上就是本學(xué)期離散數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的所有內(nèi)容，很開心能有華老師帶我們學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)。華老師可以說(shuō)是我上大學(xué)以來(lái)遇到的最負(fù)責(zé)任的老師了，教書很認(rèn)真，每次上課聲音都很洪亮，可以照顧到后座的同學(xué)。最喜歡老師的幽默了，大學(xué)的學(xué)生并不再是高中時(shí)候埋頭苦干的書呆子了，很需要在課堂上調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。所以我很支持老師能夠?qū)⒖贪宓闹R(shí)講解的精彩生動(dòng)，偶爾的幽默是很好的方法。
我對(duì)于老師的教學(xué)并沒(méi)有太多的建議，因?yàn)槔蠋熞呀?jīng)做得很好了。希望老師繼續(xù)保持這種良好的狀態(tài)，最后希望老師越來(lái)越可愛！
第二篇：本學(xué)期離散數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)心得
本學(xué)期離散數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)也過(guò)一般的課程，說(shuō)要頗有成就、深有體會(huì)的話那簡(jiǎn)直就是讓我感到慚愧；要說(shuō)一點(diǎn)體會(huì)都沒(méi)有的話也是不可能的。只是在這半個(gè)學(xué)期對(duì)離散數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中有一些個(gè)人會(huì)想想與大家分享哈。接下來(lái)先說(shuō)說(shuō)我現(xiàn)在的學(xué)習(xí)情況。
談到學(xué)習(xí)情況，我都有點(diǎn)不好意思說(shuō)出口了，這個(gè)學(xué)期我做的讓自己感到很慚愧啊。不但上課沒(méi)有好好聽老師講課，多數(shù)是自己看書。有事還逃一兩節(jié)課玩玩?？梢哉f(shuō)沒(méi)有一個(gè)好的學(xué)習(xí)態(tài)度啊。不過(guò)事業(yè)至此，我就直說(shuō)了，希望自己接下來(lái)有所改進(jìn)。我們都聽老師說(shuō)過(guò)學(xué)習(xí)不就是一個(gè)過(guò)程么，來(lái)到大學(xué)要想跟高中時(shí)那樣拼命的學(xué)習(xí)真還有點(diǎn)做不到啊，不過(guò)最基本的知識(shí)我們得必須學(xué)習(xí)，這是毫無(wú)疑問(wèn)的。目前的離散學(xué)習(xí)啊，真還有點(diǎn)不懂了。追其原因，可能是因?yàn)樽约簺](méi)有聽課太多了吧，一開始的時(shí)候都好學(xué)，到了后面就越來(lái)越難了，老師托在后面，今天老師講的是第二章。我就是才看到第一章，老是托在老師的后面，可是吶，到了后面的課程越難了。自己就看不懂了，老是還是加速向前。自己就面臨學(xué)習(xí)上的最帶問(wèn)題了。不過(guò)到了今天這個(gè)地步，還是自己的錯(cuò)啊，我就不說(shuō)風(fēng)涼話了。下面最重要的是想出一切辦法去弄懂才是。為此，我找到了離散學(xué)習(xí)的一些方法。也可以供大家分享。
離散數(shù)學(xué)是一門計(jì)算機(jī)專業(yè)的基礎(chǔ)課程，也是比較難學(xué)的一門課程。這門課程里有太多的概念需要記憶。那么是不是要把所有的概念和定義都要完完整整的背下來(lái)呢？我個(gè)人認(rèn)為大可不必。要想在一學(xué)期中的那么一點(diǎn)有限的時(shí)間里。背完所有的概念和定義是不太現(xiàn)實(shí)的，況且也沒(méi)有那個(gè)必要！當(dāng)然這里我個(gè)人觀念強(qiáng)點(diǎn)了，你全背得也不是件壞事。不過(guò)我覺(jué)得學(xué)理工科的靠的就是理解。只有真正的理解了概念的內(nèi)在涵義，才能真正的掌握這個(gè)概念。理解了概念的內(nèi)涵，就為學(xué)好這門課程打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。
在理解概念的基礎(chǔ)上，再形成適合于離散數(shù)學(xué)本身的思維模式。例如，學(xué)習(xí)物理，要用物理思維模式；學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，要用高數(shù)的思維模式；學(xué)習(xí)線性代數(shù)，也要用線性代數(shù)的思維模式。所以吶學(xué)習(xí)任何一門課程都要適合與該課程的思維模式。當(dāng)然離散數(shù)學(xué)也不例外，它也有自己獨(dú)特的思考問(wèn)題的思維方式。只有找到了，并理解了這種思維方式，才能為以后的后繼學(xué)習(xí)做好鋪墊。
最后最重要的就是要找到合適自己解決問(wèn)題的方法。學(xué)習(xí)任何課程，都是為了解決實(shí)際問(wèn)題。離散數(shù)學(xué)也是如此，有了對(duì)概念的理解。有了正確的思考問(wèn)題的方式，解決問(wèn)題的時(shí)候歐普就不會(huì)走彎路了，也就說(shuō)基本的解決問(wèn)題的方 法就自然而然地掌握了。
學(xué)習(xí)這門課程的目的，我認(rèn)為并不是說(shuō)要學(xué)的如何的精通，因?yàn)檫@是不可能的。課時(shí)有限嘛，真正的目的就是讓你打好基礎(chǔ)，為以后更深、更廣的方向發(fā)展墊定基礎(chǔ)，最后我想說(shuō)，有了這三方面的認(rèn)識(shí)，這個(gè)學(xué)期離散數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的就達(dá)到了。
第三篇：離散數(shù)學(xué)
離散數(shù)學(xué)課件作業(yè)
第一部分 集合論
第一章集合的基本概念和運(yùn)算
1-1 設(shè)集合 A ={1，{2}，a，4，3}，下面命題為真是[ B ]
A．2 ∈A；B．1 ∈ A；C．5 ∈A；D．{2} ? A。
1-2 A,B,C 為任意集合，則他們的共同子集是[ D ]
A．C；B．A；C．B；D．?。
1-3 設(shè) S = {N，Z，Q，R}，判斷下列命題是否成立 ？
（1）N ? Q，Q ∈S，則 N ? S［不成立］
（2）-1 ∈Z，Z ∈S，則-1 ∈S［不成立］
1-4 設(shè)集合 A ={3，4}，B = {4，3} ∩ ?，C = {4，3} ∩{ ? }，D ={ 3，4，? }，2E = {x│x ∈R 并且 x-7x + 12 = 0}，F(xiàn) = { 4，?，3，3}，試問(wèn)哪兩個(gè)集合之間可用等號(hào)表示 ？
答：A = E；B = C；D = F
1-5 用列元法表示下列集合（1）A = { x│x ∈N 且 x2 ≤ 9 }
（2）A = { x│x ∈N 且 3－x 〈 3 }
答：（1）A = { 0，1，2，3 }；
（2）A = { 1，2，3，4，……} = Z+；
第二章二元關(guān)系
2-1 給定 X =（3, 2，1），R 是 X 上的二元關(guān)系，其表達(dá)式如下：
R = {〈x，y〉x，y ∈X 且 x≤ y }
求：(1)domR =?;(2)ranR =?;(3)R 的性質(zhì)。
答：R = {<2，3>，<1,2>，<1,3>}；
DomR={R中所有有序?qū)Φ膞}={2,1,1}={2,1};
RanR={R中所有有序?qū)Φ膟}={3,2,3}={3,2}；
R 的性質(zhì):反自反,反對(duì)稱,傳遞性質(zhì).2-2 設(shè) R 是正整數(shù)集合上的關(guān)系，由方程 x + 3y = 12 決定，即
R = {〈x，y〉│x，y∈Z+ 且 x + 3y= 12}，試求：
（1）R 的列元表達(dá)式；（2）給出 dom（R。R）。
答：根據(jù)方程式有：y=4-x/3，x 只能取 3，6,9。
（1）R = {〈3，3〉,〈6，2〉,〈9，1〉}；
至于(2),望大家認(rèn)真完成合成運(yùn)算 R。R={<3,3>}.然后,給出 R。R 的定義域,即
（2）dom（R。R）= {3}。
2-3 判斷下列映射 f 是否是 A 到 B 的函數(shù)；并對(duì)其中的 f：A→B 指出他的性質(zhì)，即
是否單射、滿射和雙射，并說(shuō)明為什么。
（1）A = {1，2，3}，B = {4，5}，f = {〈1，4〉〈2，4〉〈3，5〉}。
（2）A = {1，2，3} = B，f = {〈1，1〉〈2，2〉〈3，3〉}。
（3）A = B = R，f=x。
（4）A = B = N，f=x2。
（5）A = B = N，f = x + 1。
答：（1）是 A 到 B 的函數(shù)，是滿射而不是單射；
（2）是雙射；
（3）是雙射；
（4）是單射，而不是滿射；
（5）是單射而不是滿射。
2-4 設(shè) A ={1，2，3，4}，A 上的二元關(guān)系
R ={〈x，y〉︱（x-y）能被3整除}，則自然映射 g：A→A/R使 g(1)=[C]
A．｛1,2｝；B．｛1,3｝；C．｛1,4｝；D．｛1｝。
2-5 設(shè) A ={1，2，3}，則商集A/IA =[D]
A．｛3｝；B．｛2｝；C．｛1｝；D．｛｛1｝，｛2｝，｛3｝｝。
2-6．設(shè)ｆ(x)＝x+1，ｇ(x)＝x-1 都是從實(shí)數(shù)集合Ｒ到Ｒ的函數(shù)，則ｆ。ｇ＝[C]
A．x+1；B．x-1；C．x；D．x2。
第三章 結(jié)構(gòu)代數(shù)(群論初步)
3-1 給出集合及二元運(yùn)算，闡述是否代數(shù)系統(tǒng)，何種代數(shù)系統(tǒng) ？
（1）S1 = {1，1/4,1/3,1/2,2，3，4}，二元運(yùn)算 *是普通乘法。
（2）S2 = {a1，a2，……，an}，ai ∈R，i = 1，2，……，n ；
二元運(yùn)算。定義如下：對(duì)于所有 ai，aj ∈S2，都有 ai。aj = ai。
（3）S3 = {0，1}，二元運(yùn)算 * 是普通乘法。
答：（1）二元運(yùn)算*在S1上不封閉．所以，＂S1，*＂不能構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng)。
（2）由二元運(yùn)算的定義不難知道。在 S2 內(nèi)是封閉的，所以，〈S2。〉構(gòu)成代數(shù)
系統(tǒng)；然后看該代數(shù)系統(tǒng)的類型：該代數(shù)系統(tǒng)只是半群。
（3）很明顯，〈{0，1}，*〉構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng)；滿足結(jié)合律，為半群；1是幺元，為獨(dú)異
點(diǎn)；而 0 為零元；結(jié)論：僅為獨(dú)異點(diǎn)，而不是群。
3-2 在自然數(shù)集合上，下列那種運(yùn)算是可結(jié)合的［A］
A．x*y = max(x,y)；B．x*y = 2x+y ；
C．x*y = x2+y2 ；D．x*y =︱x-y︱..3-3 設(shè) Z 為整數(shù)集合，在 Z 上定義二元運(yùn)算。，對(duì)于所有 x，y ∈Z都有
x。y=x + y，試問(wèn)〈Z?！的芊駱?gòu)成群，為什麼 ？
答：由題已知，集合Z滿足封閉性；二元運(yùn)算滿足結(jié)合律，依此集合Z為半群；有幺元為 －5，為獨(dú)異點(diǎn).假設(shè)代數(shù)系統(tǒng)的幺元是集合中的元素 e,則一個(gè)方程來(lái)自于二元運(yùn)算定義, 即e。x= e + x，一個(gè)方程來(lái)自該特殊元素的定義的性質(zhì),即e。x = x.由此而來(lái)的兩個(gè)方程聯(lián)立結(jié)果就有: e+x=x 成立.削去 x,e=0 的結(jié)果不是就有了嗎!；每個(gè)元素都有逆.求每個(gè)元素的逆元素,也要解聯(lián)方程,如同求幺元一樣的道理；結(jié)論是：代數(shù)系統(tǒng)〈 Z?！禈?gòu)成群。
第二部分圖論方法
第四章 圖
4-1 10 個(gè)頂點(diǎn)的簡(jiǎn)單圖 G 中有 4 個(gè)奇度頂點(diǎn)，問(wèn) G 的補(bǔ)圖中有幾個(gè)偶數(shù)度頂點(diǎn) ？ 答：因?yàn)?0階完全圖的每個(gè)頂點(diǎn)的度數(shù)都是n-1=9――為奇數(shù)。這樣一來(lái)，一個(gè)無(wú)向簡(jiǎn)單圖 G 的某頂點(diǎn)的度數(shù)是奇數(shù)，其補(bǔ)圖的相應(yīng)頂點(diǎn)必偶數(shù)，因?yàn)橐粋€(gè)偶數(shù)與一個(gè)奇數(shù)之和才是奇數(shù)．所以，Ｇ的補(bǔ)圖中應(yīng)有 10-4＝6 個(gè)奇數(shù)度頂點(diǎn)。
4-2 是非判斷：無(wú)向圖G中有10條邊,4個(gè)3度頂點(diǎn),其余頂點(diǎn)度數(shù)全是2,共有 8 個(gè)頂點(diǎn).[是]
4-3 填空補(bǔ)缺：1條邊的圖 G 中，所有頂點(diǎn)的度數(shù)之和為[2]
第五章樹
5-1握手定理的應(yīng)用（指無(wú)向樹）
（1）在一棵樹中有 7 片樹葉，3 個(gè) 3 度頂點(diǎn)，其余都是 4 度頂點(diǎn)，問(wèn)有(有1個(gè)4度頂點(diǎn))個(gè)？
（2）一棵樹有兩個(gè) 4 度頂點(diǎn)，3 個(gè) 3 度頂點(diǎn)，其余都是樹葉，問(wèn)有(9個(gè)1度頂點(diǎn))片？
5-2 一棵樹中有 i 個(gè)頂點(diǎn)的度數(shù)為 i（i=2，…k），其余頂點(diǎn)都是樹葉(即一度頂點(diǎn))，問(wèn)樹葉多少片？設(shè)有x片,則 x=
答：假設(shè)有 x 片樹葉，根據(jù)握手定理和樹的頂點(diǎn)與邊數(shù)的關(guān)系，有關(guān)于樹葉的方程，解方程得到樹葉數(shù) x = Σi（i—2）i + 2，（i = 2，3，……k）。
5-3 求最優(yōu) 2 元樹：用 Huffman 算法求帶權(quán)為 1，2，3，5，7，8 的最優(yōu) 2 元樹 T。試問(wèn)：（1）T 的權(quán) W（T）？（2）樹高幾層 ？
答：用 Huffman 算法，以 1，2，3，5，7，8 為權(quán)，最優(yōu) 2 元樹 T ；然后，計(jì)算并回答所求問(wèn)題：（1）T 的權(quán) W（T）= 61；（2）樹高幾層：4 層樹高。
5-4以下給出的符號(hào)串集合中，那些是前綴碼？將結(jié)果填入[]內(nèi).B1 = {0，10，110，1111}[是]B2 = {1，01，001，000}[是]B3 = {a，b，c，aa，ac，aba，abb，abc}[非]B4 = {1，11，101，001，0011}[非]
5-5(是非判斷題)11階無(wú)向連通圖G中17條邊，其任一棵生成樹 T 中必有6條樹枝 [非]
5-6(是非判斷題)二元正則樹有奇數(shù)個(gè)頂點(diǎn)。[是]
5-7 在某次通信中 a，b，c，d，e 出現(xiàn)的頻率分別為 5%;10%;20%;30%;35%.求傳輸他們的最佳前綴碼。
1、最優(yōu)二元樹 T；2.每個(gè)字母的碼字；
答：每個(gè)字母出現(xiàn)頻率分別為：G、D、B、E、Y：14%，O：28%；(也可以不歸一,某符號(hào)
出現(xiàn)次數(shù)即為權(quán)，如右下圖).。100（近似）7.。563..4。282..2..2。..1..14141414111
1所以，得到編碼如下：G（000），D（001），B（100），E（101），Y（01），O（11）。
第三部分邏輯推理理論
第六章 命題邏輯
6-1 判斷下列語(yǔ)句是否命題，簡(jiǎn)單命題或復(fù)合命題。
（1）2月 17 號(hào)新學(xué)期開始。[真命題]
（2）離散數(shù)學(xué)很重要。[真命題]
（3）離散數(shù)學(xué)難學(xué)嗎 ？[真命題]
（4）C 語(yǔ)言具有高級(jí)語(yǔ)言的簡(jiǎn)潔性和匯編語(yǔ)言的靈活性。[復(fù)合命題]
（5）x + 5 大于 2。[真命題]
（6）今天沒(méi)有下雨，也沒(méi)有太陽(yáng)，是陰天。[復(fù)合命題]
6-2 將下列命題符號(hào)化.（1）2 是偶素?cái)?shù)。
（2）小李不是不聰明，而是不好學(xué)。
（3）明天考試英語(yǔ)或考數(shù)學(xué)。（兼容或）
（4）你明天不去上海，就去北京。（排斥或）
答：（1）符號(hào)化為： p ∧ q。
（2）符號(hào)化為：p ∧ ﹃q。
（3）符號(hào)化為：p ∨ q。
（4）符號(hào)化為：（﹃p ∧ q）∨（p ∧ ﹃q）。
6-3分別用等值演算法,真值表法,主析取范式法,判斷下列命題公式的類型.（1）﹃（p→q）∧ q；（2）（（p→q）∧ p）→q；（3）（p→q）∧ q。答：（1）0；
（2）Σ（0，1，2，3）；
（3）Σ（1，3）。
以下兩題(6-4;6-5)為選擇題,將正確者填入[]內(nèi).6-4 令 p：經(jīng)一塹；q：長(zhǎng)一智。命題’’只有經(jīng)一塹，才能長(zhǎng)一智’’符號(hào)化為[B]
A． p→q；B．q→p；C．p∧q；D．﹁q→﹁p
6-5 p：天氣好；q：我去游玩．命題 ”如果天氣好，則我去游玩” 符號(hào)化為［B］
A． p→q；B．q→p；C．p∧q；D．﹁q→p
6-6證明題:用不同方法(必須有構(gòu)造證明法)判斷推理結(jié)果是否正確。
如果今天下雨，則明天不上體育課。今天下雨了。所以，明天沒(méi)有上體育課。答：將公式分成前提及結(jié)論。
前提：（p→﹃q），p；
結(jié)論：﹃q；
證明：（1）（p→﹃q）前提引入
（2）p前提引入
（3）（p→﹃q）∧p（1）（2）假言推理
（4）﹃q
要證明的結(jié)論與證明結(jié)果一致，所以推理正確。
第七章謂詞邏輯
7-1 在謂詞邏輯中用 0 元謂詞將下列命題符號(hào)化
（1）這臺(tái)機(jī)器不能用。
（2）如果 2 ＞ 3，則 2 ＞ 5。
答：（1）﹃F（a）。
（2）L（a，b）→ H（a，z）。
7-2 填空補(bǔ)缺題：設(shè)域?yàn)檎麛?shù)集合Ｚ，命題?x?y彐z（x-y=z）的真值為（0）
7-3在謂詞邏輯中將下列命題符號(hào)化
（1）有的馬比所有的牛跑得慢。
（2）人固有一死。
答：（1）符號(hào)化為：彐x（F（x）∧ 彐y（G（y）∧ H（x，y）））。
（2）與（1）相仿，要注意量詞、聯(lián)結(jié)詞間的搭配：
x（F（x）→y（G（y）→ H（x，y）））。
《附錄》習(xí)題符號(hào)集
? 空集, ∪ 并, ∩ 交,⊕ 對(duì)稱差,～ 絕對(duì)補(bǔ),∑ 累加或主析取范式表達(dá)式縮寫 , － 普通減法, ÷ 普通除法, ㏑ 自然對(duì)數(shù), ㏒ 對(duì)數(shù)，﹃ 非，?量詞 ”所有”，”每個(gè)”，∨ 析取聯(lián)結(jié)詞，∧ 合取聯(lián)結(jié)詞，彐 量詞”存在”，”有的”。
2010年8月12號(hào)。
第四篇：淺談離散數(shù)學(xué)專題
淺談離散數(shù)學(xué)
【摘要】離散數(shù)學(xué)是一門理論性強(qiáng),知識(shí)點(diǎn)多,概念抽象的基礎(chǔ)課程,學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)普遍感到難度很高。本文從離散數(shù)學(xué)內(nèi)容、學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的激發(fā)、教學(xué)內(nèi)容的安排、教學(xué)方式方法的使用等方面,探討了如何上好、學(xué)好離散數(shù)學(xué)課。
【關(guān)鍵詞】離散數(shù)學(xué)教學(xué)方法教師 學(xué)生
離散數(shù)學(xué)研究的是離散量，是計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系各專業(yè)的核心課程。課程內(nèi)容具有知識(shí)點(diǎn)多、散、抽象等特點(diǎn),加之學(xué)生不能認(rèn)識(shí)到該課程的重要性,缺乏學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)主動(dòng)性,不僅忽視該課程的學(xué)習(xí),甚至害怕這門課程。因此,創(chuàng)新教學(xué)方法,提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)的積極性,對(duì)提高學(xué)生的能力、提升教學(xué)質(zhì)量和水平具有重要的意義。通過(guò)一學(xué)期的學(xué)習(xí)和專研,我積累了少許經(jīng)驗(yàn),總結(jié)了一些關(guān)于離散數(shù)學(xué)的教學(xué)方法，僅供大家參考。
一、離散數(shù)學(xué)的特點(diǎn)
本課程介紹計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系各專業(yè)所需要的離散數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí),主要有以下兩點(diǎn)特點(diǎn)：
1、知識(shí)點(diǎn)集中，概念和定理多：《離散數(shù)學(xué)》是建立在大量概念之上的邏輯推理學(xué)科，概念的理解是我們學(xué)習(xí)這門學(xué)科的核心。掌握、理解和運(yùn)用這些概念和定理是學(xué)好這門課的關(guān)鍵。要特別注意概念之間的聯(lián)系，而描述這些聯(lián)系的則是定理和性質(zhì)。
2、方法性強(qiáng)：離散數(shù)學(xué)的特點(diǎn)是抽象思維能力的要求較高。培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力、邏輯推理能力、縝密概括能力以及分析和解決實(shí)際問(wèn)題能力的主干課程,對(duì)學(xué)習(xí)其他諸多課程,具有重要的指導(dǎo)作用?！峨x散數(shù)學(xué)》的證明題多，不同的題型會(huì)需要不同的證明方法，同一個(gè)題也可能有幾種方法，具有很強(qiáng)的方法性。
二、教學(xué)困難所在1、離散數(shù)學(xué)是一門理論性強(qiáng),知識(shí)點(diǎn)多,概念抽象的基礎(chǔ)課程, 內(nèi)容具有知
識(shí)點(diǎn)多、散、抽象等特點(diǎn)，學(xué)生學(xué)者困難；
2、學(xué)生不能認(rèn)識(shí)到該課程的重要性,缺乏學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)主動(dòng)性,不僅忽視該課程的學(xué)習(xí),甚至害怕這門課程。
3、離散數(shù)學(xué)課程在課堂教學(xué)難度、教學(xué)時(shí)間等方面的原因,很多學(xué)校都出現(xiàn)師生、學(xué)生之間的交流較少，從而使學(xué)生學(xué)習(xí)困難。
三、離散數(shù)學(xué)的教學(xué)方法引導(dǎo)學(xué)生提高對(duì)離散數(shù)學(xué)課程應(yīng)用性的認(rèn)識(shí),激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和愛好,增強(qiáng)汲取知識(shí)的自主性
離散數(shù)學(xué)課程是一門基礎(chǔ)性課程,學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)課程對(duì)學(xué)生今后的學(xué)習(xí)和工作,具有重要的作用,例如培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力和縝密的邏輯推理能力,為學(xué)生今后處理離散信息,提高專業(yè)理論水平,從事計(jì)算機(jī)的實(shí)際工作提供必備的數(shù)學(xué)工具;通過(guò)學(xué)習(xí),可以掌握數(shù)理邏輯,集合論,代數(shù)結(jié)構(gòu)和圖論的基本概念和原理,并會(huì)運(yùn)用離散數(shù)學(xué)的方法,分析和解決計(jì)算機(jī)理論和應(yīng)用中的一些問(wèn)題等。學(xué)習(xí)主動(dòng)性是學(xué)生的力量之源,因此,引導(dǎo)學(xué)生充分認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)課程的作用,能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的愛好和熱情,提升學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性,從而使學(xué)生學(xué)有成效。認(rèn)真?zhèn)湔n,合理準(zhǔn)備教學(xué)內(nèi)容和安排教學(xué)環(huán)節(jié),優(yōu)化教學(xué)方式方法
備好課是教學(xué)取得預(yù)期效果的前提和基礎(chǔ),針對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)具體情況,合理準(zhǔn)備教學(xué)內(nèi)容和安排教學(xué)環(huán)節(jié),使用恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法,在教學(xué)中可以起到事半功倍的效果。
(1)合理地準(zhǔn)備教學(xué)內(nèi)容。根據(jù)課程教學(xué)大綱和離散數(shù)學(xué)課程定理定義比較多、知識(shí)比較抽象的特點(diǎn)以及學(xué)生的實(shí)際情況,準(zhǔn)備深度和廣度適合學(xué)生特點(diǎn)的教學(xué)內(nèi)容。
(2)合理地講解課程內(nèi)容,重難點(diǎn)突出講解,注意輕重緩急。對(duì)于離散數(shù)學(xué)中比較重要、比較抽象的概念和定理,如邏輯的推理理論、關(guān)系的性質(zhì)、群、圖等,認(rèn)真分析,用多種方式和方法深入
講解,可以使用解析法、圖示法、矩陣法舉實(shí)例等多種方法講解。對(duì)于比較容易理解和掌握的內(nèi)容,可以一筆帶過(guò)。這樣,學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容就會(huì)有重點(diǎn)地學(xué)習(xí),主次分明,學(xué)生不僅可以對(duì)所學(xué)內(nèi)容掌握透徹,更能熟練把握離散數(shù)學(xué)中分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的思路、方式和方法。
(3)啟發(fā)式教學(xué)和教師講授相結(jié)合。很多人認(rèn)為,大學(xué)教學(xué)課時(shí)緊,內(nèi)容多,關(guān)鍵靠學(xué)生自主學(xué)習(xí),我卻認(rèn)為并不完全是這樣的。如果教師不顧學(xué)生的理解情況,只顧在講臺(tái)上講授知識(shí),課堂氛圍會(huì)很沉悶,很多同學(xué)不能專注于該門課程的學(xué)習(xí),經(jīng)常走神,教學(xué)很難達(dá)到預(yù)期的效果。因此,有針對(duì)性地提問(wèn)和展開討論,不僅能夠培養(yǎng)學(xué)生的思考能力,更能調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和積極性,從而使教學(xué)達(dá)到最佳效果。也可以引進(jìn)有趣生動(dòng)的例子說(shuō)明概念，既活躍課堂，又鞏固了學(xué)生的記憶。3 合理布置作業(yè),認(rèn)真批改作業(yè),有針對(duì)性地安排習(xí)題課和課后答疑
學(xué)數(shù)學(xué)就要做數(shù)學(xué)，《離散數(shù)學(xué)》的學(xué)習(xí)也不例外。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅限于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的還在于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思維方法。為了強(qiáng)化學(xué)生能力的訓(xùn)練,培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力、實(shí)際問(wèn)題的解決能力等,在保證作業(yè)數(shù)量的同時(shí),更要提高布置作業(yè)的質(zhì)量,增加典型簡(jiǎn)答題、討論題、推理題、實(shí)際應(yīng)用題等習(xí)題在作業(yè)中的分量,使學(xué)生在掌握各種基本知識(shí)和基本技能的同時(shí),提高自身的綜合能力。
認(rèn)真檢查和批改作業(yè),是督促學(xué)生學(xué)習(xí)的主要途徑,也是教師了解學(xué)生理解和掌握所學(xué)課程情況的主渠道。必要時(shí),教師可以批改一部分作業(yè),其他作業(yè)讓同學(xué)們之間互相檢查和批改,不僅可以督促學(xué)生學(xué)習(xí),更能讓學(xué)生在批改其他同學(xué)作業(yè)時(shí)逐步認(rèn)識(shí)到自身的缺陷和不足,以備今后更有針對(duì)性地學(xué)習(xí)。
教師在作業(yè)檢查和批改過(guò)程中發(fā)現(xiàn)的主要問(wèn)題和疑難以及學(xué)生提出的有代表性的問(wèn)題,有必要安排習(xí)題課進(jìn)行講解,幫助學(xué)生對(duì)解決疑難,加深對(duì)所知識(shí)的理解。對(duì)于學(xué)生比較爭(zhēng)論的問(wèn)題,可以展開討論,鼓勵(lì)學(xué)生大膽發(fā)言,培養(yǎng)學(xué)生探索未知的精神和創(chuàng)造性解決實(shí)際問(wèn)題的能力。
四、總結(jié)
從此上看，上好離散數(shù)學(xué)課,關(guān)鍵是根據(jù)學(xué)生具體實(shí)際,有針
對(duì)性地安排教學(xué)內(nèi)容,合理使用教學(xué)方式方法,最大限度地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用,達(dá)到教與學(xué)和諧。
參考文獻(xiàn)
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第五篇：離散數(shù)學(xué)
離散數(shù)學(xué)試題（A卷答案）
一、（10分）
（1）證明(P?Q)∧(Q?R)?(P?R)（2）求(P∨Q)?R的主析取范式與主合取范式，并寫出其相應(yīng)的成真賦值和成假賦值。解：（1）因?yàn)?(P?Q)∧(Q?R))?(P?R)??((?P∨Q)∧(?Q∨R))∨(?P∨R)?(P∧?Q)∨(Q∧?R)∨?P∨R ?(P∧?Q)∨((Q∨?P∨R)∧(?R∨?P∨R))?(P∧?Q)∨(Q∨?P∨R)?(P∨Q∨?P∨R)∧(?Q∨Q∨?P∨R)?T 所以，(P?Q)∧(Q?R)?(P?R)。
（2）(P∨Q)?R??(P∨Q)∨R?(?P∧?Q)∨R ?(?P∨(Q∧?Q)∨R)∧((P∧?P)∨?Q∨R)?(?P∨Q∨R)∧(?P∨?Q∨R)∧(P∨?Q∨R)∧(?P∨?Q∨R)?M2∧M4∧M6 ?m0∨m1∨m3∨m5
所以，其相應(yīng)的成真賦值為000、001、011、101、111：成假賦值為：010、100、110。
二、（10分）分別找出使公式?x(P(x)??y(Q(y)∧R(x，y)))為真的解釋和為假的解釋。
解：設(shè)論域?yàn)閧1，2}。
若P(1)＝P(2)＝T，Q(1)＝Q(2)＝F，R(1，1)＝R(1，2)＝R(2，1)＝R(2，2)＝F，則 ?x(P(x)??y(Q(y)∧R(x，y)))??x(P(x)?((Q(1)∧R(x，1))∨(Q(2)∧R(x，2))))?(P(1)?((Q(1)∧R(1，1))∨(Q(2)∧R(1，2))))∧(P(2)?((Q(1)∧R(2，1))∨(Q(2)∧R(2，2))))?(T?((F∧F)∨(F∧F)))∧(T?((F∧F)∨(F∧F)))?(T?F)∧(T?F)?F 若P(1)＝P(2)＝T，Q(1)＝Q(2)＝T，R(1，1)＝R(1，2)＝R(2，1)＝R(2，2)＝T，則 ?x(P(x)??y(Q(y)∧R(x，y)))??x(P(x)?((Q(1)∧R(x，1))∨(Q(2)∧R(x，2))))?(P(1)?((Q(1)∧R(1，1))∨(Q(2)∧R(1，2))))∧(P(2)?((Q(1)∧R(2，1))∨(Q(2)∧R(2，2))))?(T?((T∧T)∨(T∧T)))∧(T?((T∧T)∨(T∧T)))?(T?T)∧(T?T)?T
三、（10分）
在謂詞邏輯中構(gòu)造下面推理的證明：每個(gè)喜歡步行的人都不喜歡做汽車，每個(gè)人或者喜歡坐汽車或者喜歡騎自行車。有的人不喜歡騎自行車，因而有的人不喜歡步行。
解
論域：所有人的集合。A(x)：x喜歡步行；B(x)：x喜歡坐汽車；C(x)：x喜歡騎自行車；則推理化形式為：
?x(A(x)??B(x))，?x(B(x)∨C(x))，??xC(x)?x?A(x)下面給出證明：(1)??xC(x)
P(2)?x?C(x)
T(1)，E(3)?C(c)
T(2)，ES(4)?x(B(x)∨C(x))
P(5)B(c)∨C(c)
T(4)，US(6)B(c)
T(3)(5)，I(7)?x(A(x)??B(x))
P(8)A(c)??B(c)
T(7)，US(9)?A(c)
T(6)(8)，I(10)?x?A(x)
T(9)，EG
四、（10分）
下列論斷是否正確？為什么？(1)若A∪B＝A∪C，則B＝C。(2)若A∩B＝A∩C，則B＝C。(3)若A?B＝A?C，則B＝C。
解(1)不一定。例如，令A(yù)＝{1}，B＝{1，2}，C＝{2}，則A∪B＝A∪C，但B＝C不成立。(2)不一定。例如，令A(yù)＝{1}，B＝{1，2}，C＝{1，3}，則A∩B＝A∩C，但B＝C不成立。(3)成立。因?yàn)槿鬉?B＝A?C，對(duì)任意的x∈B，當(dāng)x∈A時(shí)，有x∈A∩B?x?A?B?x?A?C＝(A∪C)－(A∩C)?x∈A∩C?x∈C，所以B?C；當(dāng)x?A時(shí)，有x?A∩B，而x∈B?x∈A∪B，所以x∈A∪B－A∩B＝A?B?x∈A?C，但x? A，于是x∈C，所以B?C。
同理可證，C ?B。
因此，當(dāng)A?B＝A?C時(shí)，必有B＝C。
五、（10分）若R是集合A上的自反和傳遞關(guān)系，則對(duì)任意的正整數(shù)n，R＝R。
證明 當(dāng)n＝1時(shí)，結(jié)論顯然成立。設(shè)n＝k時(shí)，Rk＝R。當(dāng)n＝k＋1時(shí)，Rk+1＝Rk*R＝R*R。下面由R是自反和傳遞的推導(dǎo)出R*R＝R即可。
由傳遞性得R*R?R。另一方面，對(duì)任意的
由數(shù)學(xué)歸納法知，對(duì)任意的正整數(shù)n，Rn＝R。
n
六、（15分）設(shè)函數(shù)f：R×R?R×R，f定義為：f(
(1)證明f是單射。(2)證明f是滿射。(3)求逆函數(shù)f。
(4)求復(fù)合函數(shù)f－1?f和f?f。
證明(1)對(duì)任意的x，y，x1，y1∈R，若f(
(2)對(duì)任意的∈R×R，令x＝u?w2u?w2－
1，y＝
u?w2，則f(
u?w2＋
u?w2，u?w2－>＝，所以f是滿射。
u?w2－1(3)f()＝<－1，u?w2>。
x?y?x?y2x?y?(x?y)2(4)f?f(
七、（15分）設(shè)X＝{1，2，3，4}，R是X上的二元關(guān)系，R＝{<1，1>，<3，1>，<1，3>，<3，3>，<3，2>，<4，3>，<4，1>，<4，2>，<1，2>}(1)畫出R的關(guān)系圖。(2)寫出R的關(guān)系矩陣。
(3)說(shuō)明R是否是自反、反自反、對(duì)稱、傳遞的。解(1)R的關(guān)系圖如圖所示：(2)R的關(guān)系矩陣為：
?1??0M(R)??1??1?101110110??0? 0??0??(3)對(duì)于R的關(guān)系矩陣，由于對(duì)角線上不全為1，R不是自反的；由于對(duì)角線上存在非0元，R不是反自反的；由于矩陣不對(duì)稱，R不是對(duì)稱的；
經(jīng)過(guò)計(jì)算可得 ?1??02M(R)??1??1?101110110??0??M(R)，所以R是傳遞的。?0?0??
八、（10分）若
對(duì)于任意的a、b∈H，有a*b＝a*(b)∈H，即a*b∈H。又因?yàn)镠是G非空子集，所以*在H上滿足結(jié)合律。綜上可知，
九、（10分）給定二部圖G＝
證明 設(shè)|V1|＝m1，則|V2|＝m－m1，于是n≤m1(m－m1)＝m1m－m22
2－
1－1
－1
m12。因?yàn)?m2?m1)2?0，即4?mm1?m1，所以n≤m2/4。離散數(shù)學(xué)試題（B卷答案）
一、（20分）用公式法判斷下列公式的類型：(1)(?P∨?Q)?(P??Q)(2)(P?Q)?(P∧?(Q∨?R))解：（1）因?yàn)??P∨?Q)?(P??Q)??(?P∨?Q)∨(P∧?Q)∨(?P∧Q)
?(P∧Q)∨(P∧?Q)∨(?P∧Q)?m1∨m2∨m3 ?M0
所以，公式(?P∨?Q)?(P??Q)為可滿足式。
（2）因?yàn)?P?Q)?(P∧?(Q∨?R))??(?(P∨Q))∨(P∧?Q∧R))
?(P∨Q)∨(P∧?Q∧R))
?(P∨Q∨P)∧(P∨Q∨?Q)∧(P∨Q∨R)?(P∨Q)∧(P∨Q∨R)
?(P∨Q∨(R∧?R))∧(P∨Q∨R)?(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨?R)∧(P∨Q∨R)?M0∧M1
?m2∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7
所以，公式(P?Q)?(P∧?(Q∨?R))為可滿足式。
二、（15分）在謂詞邏輯中構(gòu)造下面推理的證明：每個(gè)科學(xué)家都是勤奮的，每個(gè)勤奮又身體健康的人在事業(yè)中都會(huì)獲得成功。存在著身體健康的科學(xué)家。所以，存在著事業(yè)獲得成功的人或事業(yè)半途而廢的人。
Q(x)：x是勤奮的；x是科學(xué)家；C(x)：解：論域：所有人的集合。H(x)：x是身體健康的；S(x)：x是事業(yè)獲得成功的人；F(x)：x是事業(yè)半途而廢的人；則推理化形式為：
?x(S(x)?Q(x))，?x(Q(x)∧H(x)?C(x))，?x(S(x)∧H(x))
?x(C(x)∨F(x))下面給出證明：
(1)?x(S(x)∧H(x))
P(2)S(a)∧H(a)
T(1)，ES(3)?x(S(x)?Q(x))
P(4)S(a)?Q(a)
T(1)，US(5)S(a)
T(2)，I(6)Q(a)
T(4)(5)，I(7)H(a)
T(2)，I(8)Q(a)∧H(a)
T(6)(7)，I(9)?x(Q(x)∧H(x)?C(x))
P(10)Q(a)∧H(a)?C(a)
T(9)，Us(11)C(a)
T(8)(10)，I(12)?xC(x)
T(11)，EG(13)?x(C(x)∨F(x))
T(12)，I
三、（10分）設(shè)A＝{?，1，{1}}，B＝{0，{0}}，求P(A)、P(B)－{0}、P(B)?B。解
P(A)＝{?，{?}，{1}，{{1}}，{?，1}，{?，{1}}，{1，{1}}，{?，1，{1}}} P(B)－{0}＝{?，{0}，{{0}}，{0，{0}}－{0}＝{?，{0}，{{0}}，{0，{0}} P(B)?B＝{?，{0}，{{0}}，{0，{0}}?{0，{0}}＝{?，0，{{0}}，{0，{0}}
四、（15分）設(shè)R和S是集合A上的任意關(guān)系，判斷下列命題是否成立？(1)若R和S是自反的，則R*S也是自反的。(2)若R和S是反自反的，則R*S也是反自反的。(3)若R和S是對(duì)稱的，則R*S也是對(duì)稱的。(4)若R和S是傳遞的，則R*S也是傳遞的。(5)若R和S是自反的，則R∩S是自反的。(6)若R和S是傳遞的，則R∪S是傳遞的。
解
(1)成立。對(duì)任意的a∈A，因?yàn)镽和S是自反的，則
(2)不成立。例如，令A(yù)＝{1，2}，R＝{<1，2>}，S＝{<2，1>}，則R和S是反自反的，但R*S＝{<1，1>}不是反自反的。
(3)不成立。例如，令A(yù)＝{1，2，3}，R＝{<1，2>，<2，1>，<3，3>}，S＝{<2，3>，<3，2>}，則R和S是對(duì)稱的，但R*S＝{<1，3>，<3，2>}不是對(duì)稱的。
(4)不成立。例如，令A(yù)＝{1，2，3}，R＝{<1，2>，<2，3>，<1，3>}，S＝{<2，3>，<3，1>，<2，1>}，則R和S是傳遞的，但R*S＝{<1，3>，<1，1>，<2，1>}不是傳遞的。
(5)成立。對(duì)任意的a∈A，因?yàn)镽和S是自反的，則∈R，∈S，于是
五、（15分）令X＝{x1，x2，…，xm}，Y＝{y1，y2，…，yn}。問(wèn)(1)有多少個(gè)不同的由X到Y(jié)的函數(shù)？
(2)當(dāng)n、m滿足什么條件時(shí)，存在單射，且有多少個(gè)不同的單射？(3)當(dāng)n、m滿足什么條件時(shí)，存在雙射，且有多少個(gè)不同的雙射？
解
(1)由于對(duì)X中每個(gè)元素可以取Y中任一元素與其對(duì)應(yīng)，每個(gè)元素有n種取法，所以不同的函數(shù)共n個(gè)。
(2)顯然當(dāng)|m|≤|n|時(shí)，存在單射。由于在Y中任選m個(gè)元素的任一全排列都形成X到Y(jié)的不同的單射，故不同的單射有Cnm!＝n(n－1)(n―m―1)個(gè)。
(3)顯然當(dāng)|m|＝|n|時(shí)，才存在雙射。此時(shí)Y中元素的任一不同的全排列都形成X到Y(jié)的不同的雙射，mm故不同的雙射有m!個(gè)。
六、（5分）集合X上有m個(gè)元素，集合Y上有n個(gè)元素，問(wèn)X到Y(jié)的二元關(guān)系總共有多少個(gè)？ 解
X到Y(jié)的不同的二元關(guān)系對(duì)應(yīng)X×Y的不同的子集，而X×Y的不同的子集共有個(gè)2mn，所以X到Y(jié)的二元關(guān)系總共有2mn個(gè)。
七、（10分）若
證明 設(shè)e是群
若x?∈G也是a*x＝b的解，則x?＝e*x?＝(a*a)*x?＝a*(a*x?)＝a*b＝x。所以，x＝a*b是a*x
－
1－1
－1
－1＝b的惟一解。
八、（10分）給定連通簡(jiǎn)單平面圖G＝
由偶拉公式得|V|－|E|＋|F|＝2，所以|F|＝2－|V|＋|E|＝8，于是?d(f)＝2|E|＝24。若存在f∈
f?FF，使得d(f)＞3，則3|F|＜2|E|＝24，于是|F|＜8，與|F|＝8矛盾。故對(duì)任意f∈F，d(f)＝3。
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