第一篇：方差初中數(shù)學教案

素質(zhì)教育目標

（一）知識教學點

使學生了解方差、標準差的意義，會計算一組數(shù)據(jù)的方差與標準差.（二）能力訓練點

1．培養(yǎng)學生的計算能力.2．培養(yǎng)學生觀察問題、分析問題的能力，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維能力.（三）德育滲透點

1．培養(yǎng)學生認真、耐心、細致的學習態(tài)度和學習習慣.2．滲透數(shù)學來源于實踐，又反過來作用于實踐的觀點.（四）美育滲透點

通過本節(jié)課的教學，滲透了數(shù)學知識的抽象美及反映在圖像上的形象美，激發(fā)學生對美好事物的追求，提高學生對數(shù)學美的鑒賞力.重點·難點·疑點及解決辦法

1．教學重點：方差概念.2．教學難點：方差概念.3．教學疑點：學生不易理解為什么要用方差去描述一組數(shù)據(jù)的波動大小，為什么不可以用各數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的差的來和來衡量這組數(shù)據(jù)的波動大小呢？為什么對各數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的差不取其絕對值，而將其平方呢？對這些問題教師在剖析方差定義時要講清楚.4．解決辦法：教師要講清方差，標準差的意義，即它們都是用來描述一組數(shù)據(jù)波動情況的特征數(shù)，常用來比較兩組數(shù)據(jù)的波動大小，我們所研究的僅是這兩組數(shù)據(jù)的個數(shù)相等，平均數(shù)相等或比較接近時的情況.教學步驟

（一）明確目標

前面我們學習了平均數(shù)、眾數(shù)及中位數(shù)，它們都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的量，這節(jié)課我們將進一步學習衡量樣本（或一組數(shù)據(jù)）和總體的另一類特征數(shù)——方差、標準差及其計算.這種開門見山式引入課題，能迅速將學生的注意力集中起來，進入新課講解.（二）整體感知

對于一組數(shù)據(jù)來說，我們除了關(guān)心它的集中趨勢以外，還關(guān)心它的波動大小.衡量這個波動大小的最常用的特征數(shù)，就是方差和標準差.（三）教學過程

1．請同學們看下面的問題：（用幻燈出示）

兩臺機床同時生產(chǎn)直徑是40毫米的零件，為了檢驗產(chǎn)品質(zhì)量，從產(chǎn)品中各抽出10件進行測量，結(jié)果如下（單位：毫米）width=40>機床甲 width=39>40 width=39>39．8 width=39>40．1 width=39>40．2 width=39>39．9 width=39>40 width=39>40．2 width=39>39．8 width=39>40．2 width=39>39．8 width=40>機床乙 width=39>40 width=39>40 width=39>39．9 width=39>40 width=39>39．9 width=39>40．2 width=39>40 width=39>40．1 width=39>40 width=39>39．9

上面表中的數(shù)據(jù)如圖所示

教師引導學生觀察表格中的數(shù)據(jù)和圖，提出問題：怎樣能說明在使所生產(chǎn)的10個零件的直徑符合規(guī)定方面，哪個機床做得好呢？

對于這個問題，學生會馬上想到計算它們的平均數(shù)．教師可把學生分成兩級分別計算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)．（請兩名同學到黑板計算）

計算的結(jié)果說明兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都等于規(guī)定尺寸40毫米．這時教師引導學生思考，這能說明兩個機床做的一樣好嗎？不能！我們再觀察上圖（給學生充分的時間觀察，找出左右兩圖的區(qū)別）從圖中看到，機床甲生產(chǎn)的零件的直徑與規(guī)定尺寸偏差較大，偏離40毫米線較多；機床乙生產(chǎn)的零件的直徑與規(guī)定尺寸偏差較小，比較集中在40毫米線的附近．這

說明，在使所生產(chǎn)的10個零件的直徑符合規(guī)定方面，機床乙比機床甲要好．

教師說明：從上面看到，對于一組數(shù)據(jù)，除需要了解它們的平均水平外，還常常需要了解它們的波動大?。雌x平均數(shù)的大小）．

通過引例的學習，使學生理解為什么要研究數(shù)據(jù)波動的大小，為提出方差概念做好了準

備．

2．方差概念

教師講解，為了描述一組數(shù)據(jù)的波動大小，可以采用不止一種辦法，例如，可以先求得各個數(shù)據(jù)與這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的差的絕對值，再取其平均數(shù)，用這個平均數(shù)來衡量這組數(shù)據(jù)的波動大小，通常，采用的是下面的做法：

設(shè)在一組數(shù)據(jù) 中，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù) 的差的平方分別是，那么我們用它們的平均數(shù)，即用

③

來衡量這組數(shù)據(jù)的波動大小，并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差．一組數(shù)據(jù)方差越大，說明這組數(shù)據(jù)波動越大．教師要剖析公式中每一個元素的意義，以便學生理解和掌握．

在學生理解方差概念時，可能會提出疑問：為什么要這樣定義方差？（教師說明，在表示各數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的倔離程度時，為了防止正偏差與負偏差的相互抵消）為什么對各數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的差不取其絕對值，而要將它們平方？（教師說明，這主要是因為在很多問題里，含有絕對值的式子不便于運算，且在衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的“功能”上，方差更強些）為什么要除以數(shù)據(jù)個數(shù)n？（是為了消除數(shù)據(jù)個數(shù)的影響）．

在學生理解了方差概念之后，再回到了引例中，通過計算機床甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差，再根據(jù)理論說明哪個機床做得更好．

教師范解

從 知道，機床甲生產(chǎn)的10個零件直徑比機床乙生產(chǎn)的10個零件直徑波動要大.這樣做使學生深刻體會到數(shù)學來源于實踐，又反過來作用實踐，不僅使學生對學習數(shù)學產(chǎn)生濃厚的興趣，而且培養(yǎng)了學生應用數(shù)學的意識.3．例1（用幻燈出示）已知兩組數(shù)據(jù)：

甲：9.9 10.3 9.8 10.1 10.4 10 9.8 9.7

乙：10.2 10 9.5 10.3 10.5 9.6 9.8 10.1

分別計算這兩組數(shù)據(jù)的方差.讓學生自己動手計算，求平均數(shù)時激發(fā)學生用簡化公式計算，找一名好學生到黑板計算.解：根據(jù)公式②（?。?，有

從 知道，乙組數(shù)據(jù)比甲組數(shù)據(jù)波動大.4．標準差概念

在有些情況下，需要用到方差的算術(shù)平方根

④

第二篇：方差和標準差

4.4

方差和標準差

〖教學目標〗

◆1、了解方差、標準差的概念.◆2、會求一組數(shù)據(jù)的方差、標準差，并會用他們表示數(shù)據(jù)的離散程度．

◆3、能用樣本的方差來估計總體的方差．

◆4、通過實際情景，提出問題，并尋求解決問題的方法，培養(yǎng)學生應用數(shù)學的意識和能力．

〖教學重點與難點〗

◆教學重點：本節(jié)教學的重點是方差的概念和計算。.◆教學難點：方差如何表示數(shù)據(jù)的離散程度，學生不容易理解，是本節(jié)教學的難點.〖教學過程〗

一、創(chuàng)設(shè)情景，提出問題

甲、乙兩名射擊手的測試成績統(tǒng)計如下表：

第一次

第二次

第三次

第四次

第五次

甲命中環(huán)數(shù)

乙命中環(huán)數(shù)

①請分別

算出甲、乙兩名射擊手的平均成績；

②請根據(jù)這兩名射擊手的成績在圖中畫出折線圖；

二、合作交流，感知問題

請根據(jù)統(tǒng)計圖，思考問題：

①、甲、乙兩名射擊手他們每次射擊成績與他們的平均成績比擬，哪一個偏離程度較低？

②、射擊成績偏離平均數(shù)的程度與數(shù)據(jù)的離散程度與折線的波動情況有怎樣的聯(lián)系？

③、用怎樣的特征數(shù)來表示數(shù)據(jù)的偏離程度？可否用各個數(shù)據(jù)與平均的差的累計數(shù)來表示數(shù)據(jù)的偏離程度？

④、是否可用各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的平方和來表示數(shù)據(jù)的偏離程度？

⑤、數(shù)據(jù)的偏離程度還與什么有關(guān)？要比擬兩組樣本容量不相同的數(shù)據(jù)的偏離平均數(shù)的程度，應如何比擬？

三、概括總結(jié)，得出概念

1、根據(jù)以上問題情景，在學生討論，教師補充的根底上得出方差的概念、計算方法、及用方差來判斷數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性。

2、方差的單位和數(shù)據(jù)的單位不統(tǒng)一，引出標準差的概念。

〔注意：在比擬兩組數(shù)據(jù)特征時，應取相同的樣本容量，計算過程可借助計數(shù)器〕

3、現(xiàn)要挑選一名射擊手參加比賽，你認為挑選哪一位比擬適宜？為什么？

〔這個問題沒有標準答案，要根據(jù)比賽的具體情況來分析，作出結(jié)論〕

四、應用概念，穩(wěn)固新知

1、某樣本的方差是4，那么這個樣本的標準差是。

2、一個樣本1，3，2，X，5，其平均數(shù)是3，那么這個樣本的標準差是。

3、甲、乙兩名戰(zhàn)士在射擊訓練中，打靶的次數(shù)相同，且中環(huán)的平均數(shù)X甲=X乙，如果甲的射擊成績比擬穩(wěn)定，那么方差的大小關(guān)系是S2甲

S2乙

4、一個樣本的方差是S=[〔X1—4〕2+〔X2—4〕2+…+〔X5—4〕2]，那么這個樣本的平均數(shù)是，樣本的容量是。

５、八年級〔５〕班要從黎明和張軍兩位侯選人中選出一人去參加學科競賽，他們在平時的５次測試中成績?nèi)缦隆矄挝唬悍帧?/p>

黎明：　652

653

654

652

654

張軍：

667

662

653

640

643

如果你是班主任，在收集了上述數(shù)據(jù)后，你將利用哪些統(tǒng)計的知識來決定這一個名額？〔解題步驟：先求平均數(shù)，再求方差，然后判斷得出結(jié)論〕

五、穩(wěn)固練習，反應信息

１、課本“課內(nèi)練習〞第１題和第２題。

２、課本“作業(yè)題〞第３題。

3、甲、乙兩人在相同條件下各射靶

（1

〕

次，每次射靶的成績情況如下圖．

（1

〕請?zhí)顚懴卤恚?/p>

（2)請你就以下四個不同的角度對這次測試結(jié)果進行分析：

①

從平均數(shù)和方差相結(jié)．合看，誰的成績較好？

②

從平均數(shù)和命中

環(huán)以上的次數(shù)相結(jié)合看，誰的成績較好？

③

從折線圖上兩人射擊命中環(huán)數(shù)的走勢看，誰更有潛力？

六、通過探究，找出規(guī)律

兩組數(shù)據(jù)1，2，3，4，5和101，102，103，104，105。

1、求這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差和標準差。

2、將這兩組數(shù)據(jù)畫成折線圖，并用一條平行于橫軸的直線來表示這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，觀察你畫的兩個圖形，你發(fā)現(xiàn)了哪些有趣的結(jié)論？

3、假設(shè)兩組數(shù)據(jù)為1，2，3，4，5和3，6，9，12，15。你要能發(fā)現(xiàn)哪些有趣的結(jié)論？

4、用你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論來解決以下的問題：

數(shù)據(jù)X1，X２，X３，…Xn的平均數(shù)為a，方差為b，標準差為c。那么

①

數(shù)據(jù)X1＋３，X２＋３，X３＋３…，Xn＋３的平均數(shù)為，方差為，標準差為。

②

數(shù)據(jù)X1—３，X２—３，X３—３…Xn—３的平均數(shù)為，方差為，標準差為。

③

數(shù)據(jù)４X1，４X２，４X３，…４Xn的平均數(shù)為，方差為，標準差為。

④

數(shù)據(jù)２X1—３，２X２—３，２X３—３，…２Xn—３的平均數(shù)為，方差為，標準差為。

七、小結(jié)回憶，反思提高

１、這節(jié)課我們學習了方差、標準差的概念，方差的實質(zhì)是各數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)。方差越大，說明數(shù)據(jù)的波動越大，越不穩(wěn)定。

２、標準差是方差的一個派生概念，它的優(yōu)點是單位和樣本的數(shù)據(jù)單位保持一致，給計算和研究帶來方便。

３、利用方差比擬數(shù)據(jù)波動大小的方法和步驟：先求平均數(shù)，再求方差，然后判斷得出結(jié)論。

八、分層作業(yè)，延伸拓展

１、必做題：作業(yè)本底頁。

２、選做題：

在某旅游景區(qū)上山的一條小路上有一些斷斷續(xù)續(xù)的臺階，如以下圖是其中的甲、乙段臺階路的示意圖〔圖中的數(shù)字表示每一級臺階的高度〕．請你用所學過的統(tǒng)計量〔平均數(shù)、中位數(shù)、方差等〕進行分析，答復以下問題：

（1

〕兩段臺階路每級臺階的高度有哪些相同點和不同點？

（2

〕哪段臺階路走起來更舒服？為什么？

（3

〕為方便游客行走，需要重新整修上山的小路，對于這兩段臺階路，在臺階數(shù)不變的情況下，請你提出合理的整修建議．

第三篇：樣本方差證明

一弛，你好！

樣本方差有2種表達方式：

S2

n1n??(Xi?)2-----（1）ni?1

1n

Sn?1?(Xi?)2-----（2）?n?1i?12

從理論上說這2種定義都是可行的，現(xiàn)實生活中更經(jīng)常使用方程（2），是因為方程（2）是總體方差真實值?2的無偏估計量，而（1）是有偏估計量。無偏性在應用中非常重要，估計量只有無偏才能保證在樣本數(shù)目足夠大時無限趨近于真實值，估計才有意義。證明方程（2）的無偏性如下，思路是對估計量求期望，看是否等于總體方差：

n1E(Sn?1)?E[(Xi?)2]?n?1i?1

n1?E{?[(Xi??)?(??)]2}n?1i?1

nn12?E{?[(Xi??)?2?(Xi??)(??)?n(??)2}n?1i?1i?12

n1?{?E(Xi??)2?2nE(??)2?nE(??)2}n?1i?1

n1?{?E(Xi??)2?nE(??)2}n?1i?1

?212?{n??n()}n?1n

??2

證畢。

如果有問題，可隨時聯(lián)系我。

祝好！

陳謝晟

第四篇：方差 教案設(shè)計

方差 教案設(shè)計

教學設(shè)計示例1 第一課時 素質(zhì)教育目標(一)知識教學點

使學生了解方差、標準差的意義，會計算一組數(shù)據(jù)的方差與標準差.(二)能力訓練點 1.培養(yǎng)學生的計算能力.2.培養(yǎng)學生觀察問題、分析問題的能力，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維能力.(三)德育滲透點

1.培養(yǎng)學生認真、耐心、細致的學習態(tài)度和學習習慣.2.滲透數(shù)學來源于實踐，又反過來作用于實踐的觀點.(四)美育滲透點

通過本節(jié)課的教學，滲透了數(shù)學知識的抽象美及反映在圖像上的形象美，激發(fā)學生對美好事物的追求，岣哐???STRONG數(shù)學美的鑒賞力.重點難點疑點及解決辦法 1.教學重點：方差概念.2.教學難點 ：方差概念.3.教學疑點：學生不易理解為什么要用方差去描述一組數(shù)據(jù)

第 1 頁 的波動大小，為什么不可以用各數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的差的來和來衡量這組數(shù)據(jù)的波動大小呢?為什么對各數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的差不取其絕對值，而將其平方呢?對這些問題教師在剖析方差定義時要講清楚.4.解決辦法：教師要講清方差，標準差的意義，即它們都是用來描述一組數(shù)據(jù)波動情況的特征數(shù)，常用來比較兩組數(shù)據(jù)的波動大小，我們所研究的僅是這兩組數(shù)據(jù)的個數(shù)相等，平均數(shù)相等或比較接近時的情況.教學步驟(一)明確目標

前面我們學習了平均數(shù)、眾數(shù)及中位數(shù)，它們都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的量，這節(jié)課我們將進一步學習衡量樣本(或一組數(shù)據(jù))和總體的另一類特征數(shù)方差、標準差及其計算.這種開門見山式引入課題，能迅速將學生的注意力集中起來，進入新課講解.(二)整體感知

對于一組數(shù)據(jù)來說，我們除了關(guān)心它的集中趨勢以外，還關(guān)心它的波動大小.衡量這個波動大小的最常用的特征數(shù)，就是方差和標準差.(三)教學過程

1.請同學們看下面的問題：(用幻燈出示)

第 2 頁 兩臺機床同時生產(chǎn)直徑是40毫米的零件，為了檢驗產(chǎn)品質(zhì)量，從產(chǎn)品中各抽出10件進行測量，記錄

教師引導學生做出表格，觀察表里的數(shù)據(jù)和圖，提出問題：怎樣能說明在使所生產(chǎn)的10個零件的直徑符合規(guī)定方面，哪個機床做得好呢? 對于這個問題，學生會馬上想到計算它們的平均數(shù).教師可把學生分成兩級分別計算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù).(請兩名同學到黑板計算)計算的結(jié)果說明兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都等于規(guī)定尺寸40毫米.這時教師引導學生思考，這能說明兩個機床做的一樣好嗎?不能!我們再觀察上圖(給學生充分的時間觀察，找出左右兩圖的區(qū)別)從圖中看到，機床甲生產(chǎn)的零件的直徑與規(guī)定尺寸偏差較大，偏離40毫米線較多;機床乙生產(chǎn)的零件的直徑與規(guī)定尺寸偏差較小，比較集中在40毫米線的附近.這 說明，在使所生產(chǎn)的10個零件的直徑符合規(guī)定方面，機床乙比機床甲要好.教師說明：從上面看到，對于一組數(shù)據(jù)，除需要了解它們的平均水平外，還常常需要了解它們的波動大小(即偏離平均數(shù)的大小).通過引例的學習，使學生理解為什么要研究數(shù)據(jù)波動的大小，為提出方差概念做好了準 備.第 3 頁 2.方差概念

教師講解，為了描述一組數(shù)據(jù)的波動大小，可以采用不止一種辦法，例如，可以先求得各個數(shù)據(jù)與這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的差的絕對值，再取其平均數(shù)，用這個平均數(shù)來衡量這組數(shù)據(jù)的波動大小，通常，采用的是下面的做法：

設(shè)在一組數(shù)據(jù) 中，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù) 的差的平方分別是，那么我們用它們的平均數(shù)，即用

來衡量這組數(shù)據(jù)的波動大小，并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差.一組數(shù)據(jù)方差越大，說明這組數(shù)據(jù)波動越大.教師要剖析公式中每一個元素的意義，以便學生理解和掌握.在學生理解方差概念時，可能會提出疑問：為什么要這樣定義方差?(教師說明，在表示各數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的倔離程度時，為了防止正偏差與負偏差的相互抵消)為什么對各數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的差不取其絕對值，而要將它們平方?(教師說明，這主要是因為在很多問題里，含有絕對值的式子不便于運算，且在衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的功能上，方差更強些)為什么要除以數(shù)據(jù)個數(shù)n?(是為了消除數(shù)據(jù)個數(shù)的影響).在學生理解了方差概念之后，再回到了引例中，通過計算機床甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差，再根據(jù)理論說明哪個機床做得更好.教師范解

從 知道，機床甲生產(chǎn)的10個零件直徑比機床乙生產(chǎn)的10

第 4 頁 個零件直徑波動要大.這樣做使學生深刻體會到數(shù)學來源于實踐，又反過來作用實踐，不僅使學生對學習數(shù)學產(chǎn)生濃厚的興趣，而且培養(yǎng)了學生應用數(shù)學的意識.3.例1(用幻燈出示)已知兩組數(shù)據(jù)： 甲：9.9 10.3 9.8 10.1 10.4 10 9.8 9.7 乙：10.2 10 9.5 10.3 10.5 9.6 9.8 10.1 分別計算這兩組數(shù)據(jù)的方差.讓學生自己動手計算，求平均數(shù)時激發(fā)學生用簡化公式計算，找一名好學生到黑板計算.解：根據(jù)公式②(取)，有

從 知道，乙組數(shù)據(jù)比甲組數(shù)據(jù)波動大.4.標準差概念

在有些情況下，需要用到方差的算術(shù)平方根

并把它叫做這組數(shù)據(jù)的標準差.它也是一個用來衡量一組數(shù)據(jù)的波動大小的重要的量.教師引導學生分析方差與標準差的區(qū)別與聯(lián)系：

計算標準差要比計算方差多開一次平方，但它的度量單位與原數(shù)據(jù)一致，有時用它比較方便.課堂練習教材P165中(1)、(2)(四)總結(jié)、擴展

知識小結(jié)：通過這節(jié)課的學習，使我們知道了對于一組數(shù)據(jù)，第 5 頁 有時只知道它的平均數(shù)還不夠，還需要知道它的波動大小;而描述一組數(shù)據(jù)的波動大小的量不止一種，最常用的是方差和標準差.方差與標準差這兩個概念既有聯(lián)系又有區(qū)別.方法小結(jié)：求一組數(shù)據(jù)方差的方法;先求平均數(shù)，再利用③求方差，求一組數(shù)據(jù)標準差的方法：先求這組數(shù)據(jù)的方差，然后再求方差的算術(shù)平方根.布置作業(yè)

教材P173中1，2(1)(2)板書設(shè)計 14.3 方差(一)方差公式③ 引例 例1 標準差公式④ 教學設(shè)計示例2

一、教學目的

1.使學生了解方差、標準差的意義，會計算一組數(shù)據(jù)的方差與標準差.2.使學生了解樣本方差、樣本標準差、總體方差的意義.二、教學重點、難點

重點：方差、標準差、樣本方差、樣本標準差、總體方差的意義.難點：樣本方差、樣本標準差的計算.三、教學過程

第 6 頁 復習提問

計算一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)有哪些方法? 引入新課

在很多實際問題中，只知道一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是不夠的，還需要知道這組數(shù)據(jù)的波動大小.如何了解數(shù)據(jù)的波動大小?這正是我們要解決的問題.新課

引例 兩臺機床同時生產(chǎn)直徑是40毫米的零件.為了檢驗產(chǎn)品質(zhì)量，從產(chǎn)品中抽出10件進行測量，結(jié)果如下(單位：毫米)：

表中數(shù)據(jù)表成如下形式：

可在此處讓學生用公式②分別計算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)(還可提問學生a取什么值最好，這樣學生能在教師的啟發(fā)下得到a=40最合適).當學生算出如下平均數(shù)：

讓學生思考，兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都等于規(guī)定尺寸40毫米時，甲、乙兩機床性能是否都一樣好?提出問題讓學生議議后，再引導學生看圖1，讓學生認識到機床甲生產(chǎn)的零件的直徑與規(guī)定尺寸編差較大，偏離40毫米線較多;機床乙生產(chǎn)的零件的直徑與規(guī)定尺寸的偏差較小，比較集中在40毫米線的附近.這說明，在使所生產(chǎn)的10個零件的直徑符合規(guī)定方面，機床乙比機床甲要好.這反映出，對一組數(shù)據(jù)，除需要了解它們的平均水平以外，第 7 頁 還常常需要了解它們的波動大小(即偏離平均數(shù)的大小).在此處要告訴學生：描述一組數(shù)據(jù)的波動大小，可以采用不止一種辦法.本課介紹方差即是一種方法.即：

來衡量這組數(shù)據(jù)的波動大小，并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差.要強調(diào)一組數(shù)據(jù)方差越大，說明這組數(shù)據(jù)波動越大.條件許可時，還可介紹③式可表示為：

接下來可以請兩個學生計算引例中機床甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差.從0.0260.008可以比較出，機床甲生產(chǎn)的10個零件直徑比機床乙生產(chǎn)的10個零件直徑波動要大.(接下來教師再給出如下例題.)例1 已知兩組數(shù)據(jù)： 分別計算這兩組數(shù)據(jù)的方差.講此例后，要強調(diào)求解步驟為：

(1)求平均數(shù);(2)求方差;(3)比較方差得出結(jié)論.此后接前面問題說，用來衡量一組數(shù)據(jù)的波動的方法還可用一組數(shù)據(jù)的標準差，即

公式④(即標準差)也是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的重要的量.在本節(jié)引例中，兩組數(shù)據(jù)的標準差，可讓學生算一下，得出： 說明：計算標準差要比計算方差多開一次平方，但它的度量單位與原數(shù)據(jù)一致，有時用它比較方便.第 8 頁 小結(jié)

1.本課學了計算一組數(shù)據(jù)的方差的公式③.2.本課在方差的基礎(chǔ)上又學了計算一組數(shù)據(jù)的標準差的公式④.練習：選用課本練習題.作業(yè) ：選用課本習題.四、教學注意問題

要注意通過例題講好求方差題目的解題格式.教學設(shè)計示例3

一、教學目的

1.使學生進一步理解方差、標準差的意義.2.使學生掌握利用簡化公式計算一組數(shù)據(jù)的方差的方法.3.使學生會根據(jù)同類問題兩組數(shù)據(jù)的方差(或標準差)比較兩組數(shù)據(jù)的波動情況.二、教學重點、難點

重點：簡化計算一組數(shù)據(jù)的方差公式.難點：利用方差(或標準差)比較兩組數(shù)據(jù)的波動情況.三、教學過程 復習提問

1.什么是一組數(shù)據(jù)的方差、標準差? 2.一組數(shù)據(jù)的方差和標準差應如何計算? 引入新課

第 9 頁 我們看到，用公式③計算一組數(shù)據(jù)的方差比較麻煩.那么，有否較簡便的計算方法呢? 新課

教師應在黑板上進行如下推導：

推導上述公式后，可讓學生仿①～④四個公式的方法歸納推理出如下結(jié)論：

一般地，如果一組數(shù)據(jù)的個數(shù)是n，那么它們的方差可以用下面的公式計算：

在這時，教師要強調(diào)：當一組數(shù)據(jù)中的數(shù)較小時，用公式⑤計算方差比公式③計算少了求各數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差一步，因此比較方便.例2 計算下面數(shù)據(jù)的方差(結(jié)果保留到小數(shù)點后第1位)： 3-1 2 1-3 3 教師可讓學生共同來完成此例.接下來教師按教材指出，當一組數(shù)據(jù)較大時，可按下述公式計算方差：

其中x1=x1-a，x2=x2-a，xn=xn-a，x1，x2，xn是原已知的n個數(shù)據(jù)，a是接近這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的一個常數(shù).為使學生對公式⑥加深印象，可讓學生用公式⑥解下例.例3 甲、乙兩個小組各10名學生的英語口語測驗成績?nèi)缦?單位：分)：

哪個小組學生的成績比較整齊?

第 10 頁 解后，指出解題步驟有如下三步：(3)代入公式⑥計算方差并比較得解.小結(jié)

1.本課介紹了當一組數(shù)據(jù)中的數(shù)值較小時，用以計算方差的簡化計算公式⑤.2.本課又學習了當一組數(shù)據(jù)中的數(shù)值較大時，用以計算方差的簡化公式⑥.練習：選用課本練習題.作業(yè) ：選用課本習題.補充作業(yè)

2.甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差之和為13，標準差之和為5，且甲的波動比乙的波動大，求它們各自的標準差.(答案：S甲=3，S乙=2.)3.在某次數(shù)學考試中，甲、乙兩校各8個班，不及格的人數(shù)分別如下：

分別計算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差.四、教學注意問題

要注意給學生講如下三點：

1.方差與標準差是衡量樣本和總體波動大小的特征數(shù).2.用簡化計算公式求方差較為方便.3.對同類問題的兩組數(shù)據(jù)，方差小的波動小、方差大的波動大

第 11 頁

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第五篇：初中數(shù)學教案

初中數(shù)學教案

教學建議

一、知識結(jié)構(gòu)

二、重點、難點分析

本節(jié)的重點是：單項式乘法法則的導出．這是因為單項式乘法法則的導出是對學生已有的數(shù)學知識的綜合運用，滲透了“將未知轉(zhuǎn)化為已知”的數(shù)學思想，蘊含著“從特殊到一般”的認識規(guī)律，是培養(yǎng)學生思維能力的重要內(nèi)容之一．

本節(jié)的難點是：多種運算法則的綜合運用．是因為單項式的乘法最終將轉(zhuǎn)化為有理數(shù)乘法、同底數(shù)冪相乘、冪的乘方、積的乘方等運算，對于初學者來說，由于難于正確辯論和區(qū)別各種不同的運算以及運算所使用的法則，易于將各種法則混淆，造成運算結(jié)果的錯誤．

三、教法建議

本節(jié)課在教學過程中的不同階段可以采用了不同的教學方法，以適應教學的需要．

（1）在新課學習階段的單項式的乘法法則的推導過程中，可采用引導發(fā)現(xiàn)法．通過教師精心設(shè)計的問題鏈，引導學生將需要解決的問題轉(zhuǎn)化成用已經(jīng)學過的知識可以解決的問題，充分體現(xiàn)了教師的主導作用和學生的主體作用，學生始終處在觀察思考之中．

（2）在新課學習的例題講解階段，可采用講練結(jié)合法．對于例題的學習，應圍繞問題進行，教師引導學生通過觀察、思考，尋求解決問題的方法，在解題的過程中展開思維．與此同時還進行多次有較強針對性的練習，分散難點．對學生分層進行訓練，化解難點．并注意及時矯正，使學生在前面出現(xiàn)的錯誤，不致于影響后面的學習，為后而后學習掃清障礙．通過例題的講解，教師給出了解題規(guī)范，并注意對學生良好學習習慣的培養(yǎng)．

（3）本節(jié)課可以師生共同小結(jié)，旨在訓練學生歸納的方法，并形成相應的知識系統(tǒng)，進一步防范學生在運算中容易出現(xiàn)的錯誤．

教學設(shè)計示例

一、教學目的

1．使學生理解并掌握單項式的乘法法則，能夠熟練地進行單項式的乘法計算．

2．注意培養(yǎng)學生歸納、概括能力，以及運算能力．

3．通過單項式的乘法法則在生活中的應用培養(yǎng)學生的應用意識．

二、重點、難點

重點：掌握單項式與單項式相乘的法則．

難點：分清單項式與單項式相乘中，冪的運算法則．

三、教學過程

復習提問：

什么是單項式？什么叫單項式的系數(shù)？什么叫單項式的次數(shù)？

引言 我們已經(jīng)學習了冪的運算性質(zhì)，在這個基礎(chǔ)上我們可以學習整式的乘法運算．先來學最簡單的整式乘法，即單項式之間的乘法運算(給出標題)．

新課 看下面的例子：計算

(1)2x2y·3xy2；(2)4a2x2·(-3a3bx)．

同學們按以下提問，回答問題：

(1)2x2y·3xy2

①每個單項式是由幾個因式構(gòu)成的，這些因式都是什么？

2x2y·3xy2=(2·x2·y)·(3·x·y2)

②根據(jù)乘法結(jié)合律重新組合 2x2y·3xy2=2·x2·y·3·x·y2

③根據(jù)乘法交換律變更因式的位置

2x2y·3xy2=2·3·x2·x·y·y2

④根據(jù)乘法結(jié)合律重新組合 2x2y·3xy2=(2·3)·(x2·x)·(y·y2)

⑤根據(jù)有理數(shù)乘法和同底數(shù)冪的乘法法則得出結(jié)論

2x2y·3xy2=6x3y3

按以上的分析，寫出(2)的計算步驟：

(2)4a2x2·(-3a3bx)

=4a2x2·(-3)a3bx

=[4·(-3)]·(a2·a3)·(x2·x)·b

=(-12)·a5·x3·b

=-12a5bx3．

通過以上兩題，讓學生總結(jié)回答，歸納出單項式乘單項式的運算步驟是：

①系數(shù)相乘為積的系數(shù)；

②相同字母因式，利用同底數(shù)冪的乘法相乘，作為積的因式；

③只在一個單項式里含有的字母，連同它的指數(shù)也作為積的一個因式；

④單項式與單項式相乘，積仍是一個單項式；

⑤單項式乘法法則，對于三個以上的單項式相乘也適用．

看教材，讓學生仔細閱讀單項式與單項式相乘的法則，邊讀邊體會邊記憶．

利用法則計算以下各題． 例1 計算以下各題：

(1)4n2·5n3；

(2)(-5a2b3)·(-3a)；

(3)(-5an+1b)·(-2a)；

(4)(4×105)·(5×106)·(3×104)．

解：(1)4n2·5n3

=(4·5)·(n2·n3)

=20n5；

(2)(-5a2b3)·(-3a)

=[(-5)·(-3)]·(a2·a)·b3

=15a3b3；

(3)(-5an+1b)·(-2a)

=[(-5)·(-2)]·(an+1·a)b

=10an+2b；

(4)(4·105)·(5·106)·(3·104)

=(4·5·3)·(105·106·104)

=60·1015

=6·1016．

例2 計算以下各題(讓學生回答)：

(3)(-5amb)·(-2b2)；

(4)(-3ab)(-a2c)·6ab2．

=3x3y3；

(3)(-5amb)·(-2b2)；

=[(-5)·(-2)]·am·(b·b2)

=10amb3

(4)(-3ab)·(-a2c)·6ab2

=[(-3)·(-1)·6]·(aa2a)·(bb2)·c

=18a4b3c．

小結(jié) 單項式與單項式相乘是整式乘法中的重要內(nèi)容，它的運算法則的導出主要依據(jù)是，乘法的交換律與結(jié)合律以及冪的運算性質(zhì)．