第一篇：高二數(shù)學(xué)教案：二項式定理

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http://004km.cn與第r?1項的系數(shù)是不同的概念。

三、教學(xué)重點、難點：二項式定理及二項展開式的通項公式的靈活運用。

四、教學(xué)過程：

（一）復(fù)習(xí)：

1．二項式定理及其特例：

0n1nrn?rrnn

（1）(a?b)n?Cna?Cnab???Cnab???Cnb(n?N?)，1rr

（2）(1?x)n?1?Cnx???Cnx???xn.rn?rr2．二項展開式的通項公式：Tr?1?Cnab.（二）新課講解：

例1（1）求(1?2x)7的展開式的第四項的系數(shù)；（2）求(x?)的展開式中x的系數(shù)及二項式系數(shù)。19x3解：(1?2x)7的展開式的第四項是T3?1?C7(2x)3?280x3，∴(1?2x)的展開式的第四項的系數(shù)是280． 7

（2）∵(x?)的展開式的通項是Tr?1?C9x191r9?r(?)r?(?1)rC9rx9?2r，xx∴9?2r?3，r?3，333∴x的系數(shù)(?1)3C9??84，x3的二項式系數(shù)C9?84．

4例2 求(x?3x?4)的展開式中x的系數(shù)。

分析：要把上式展開，必須先把三項中的某兩項結(jié)合起來，看成一項，才可以用二項式定理展開，然后再用一次二項式定理，也可以先把三項式分解成兩個二項式的積，再用二項式定理展開。

解：（法一）(x?3x?4)?[(x?3x)?4]

01?C4(x2?3x)4?C4(x2?3x)3?4

234?C4(x2?3x)2?42?C4(x2?3x)?43?C4?44，顯然，上式中只有第四項中含x的項，33∴展開式中含x的項的系數(shù)是?C4?3?4??768

24444（法二）：(x?3x?4)?[(x?1)(x?4)]?(x?1)(x?4)

04132234?(C4x?C4x?C4x?C4x?C4)04132234(C4x?C4x?4?C4x?42?C4x?43?C4?44)

3433∴展開式中含x的項的系數(shù)是?C44?C44??768． 22424

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http://004km.cn?4x?(2Cm?4Cn)x mn2211∴(2Cm?4Cn)?36，即m?2n?18，?1?2x?m??1?4x?展開式中含x2的項的系數(shù)為 n22222?Cn4?2m2?2m?8n2?8n，t?Cm∵m?2n?18，∴m?18?2n，∴t?2(18?2n)?2(18?2n)?8n?8n?16n?148n?612

3715337時，t取最小值，?16(n2?n?)，∴當(dāng)n?448*2但n?N，∴ n?5時，t即x項的系數(shù)最小，最小值為272，此時n?5,m?8．

例4 已知(x?1)n的展開式中，前三項系數(shù)的絕對值依次成等差數(shù)列，24x

（1）證明展開式中沒有常數(shù)項；（2）求展開式中所有的有理項。

解：由題意：2Cn?r82221112?1?Cn?()2，即n2?9n?8?0，∴n?8(n?1舍去）221r16?3rrrr?1rr8?rC8?0?r?8? 24 ∴Tr?1?Cx?(?4)?(?)?C8x?x???1?r?x4??222x?r?Z?①若Tr?1是常數(shù)項，則16?3r?0，即16?3r?0，∵r?Z，這不可能，∴展開

4式中沒有常數(shù)項； ??8?r②若Tr?1是有理項，當(dāng)且僅當(dāng)16?3r為整數(shù)，∴0?r?8,r?Z，∴ r?0,4,8，4即展開式中有三項有理項，分別是：T1?x4，T5?35x，T9?1x?2.8256

五、課堂練習(xí)：課本第107頁練習(xí)第5，6題。

六、課堂小結(jié)：1．三項或三項以上的展開問題，應(yīng)根據(jù)式子的特點，轉(zhuǎn)化為二項式來解決，轉(zhuǎn)化的方法通常為集項、配方、因式分解，集項時要注意結(jié)合的合理性和簡捷性；

2．求常數(shù)項、有理項和系數(shù)最大的項時，要根據(jù)通項公式討論對r的限制；求有理項時要注意到指數(shù)及項數(shù)的整數(shù)性。

七、作業(yè)：課本第143頁 復(fù)習(xí)參考題十第12題，補充： 1．已知?x?3a?8的展開式中x的系數(shù)是?ax?1?9展開式中倒數(shù)第四項的系數(shù)的2倍，求

a,a,a,?a,?前n項的和；

12．(xx?4)n的展開式中第3項的二項式系數(shù)比第2項的二項式系數(shù)大44，則展開式中

x

常數(shù)項。

-23n3

第二篇：數(shù)學(xué) -排列、組合、二項式定理-基本原理 -數(shù)學(xué)教案

教學(xué)目標(biāo)

（1）正確理解加法原理與乘法原理的意義，分清它們的條件和結(jié)論；

（2）能結(jié)合樹形圖來幫助理解加法原理與乘法原理；

（3）正確區(qū)分加法原理與乘法原理，哪一個原理與分類有關(guān)，哪一個原理與分步有關(guān)；

（4）能應(yīng)用加法原理與乘法原理解決一些簡單的應(yīng)用問題，提高學(xué)生理解和運用兩個原理的能力；

（5）通過對加法原理與乘法原理的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生周密思考、細(xì)心分析的良好習(xí)慣。

教學(xué)建議

一、知識結(jié)構(gòu)

二、重點難點分析

本節(jié)的重點是加法原理與乘法原理，難點是準(zhǔn)確區(qū)分加法原理與乘法原理。

加法原理、乘法原理本身是容易理解的，甚至是不言自明的。這兩個原理是學(xué)習(xí)排列組合內(nèi)容的基礎(chǔ)，貫穿整個內(nèi)容之中，一方面它是推導(dǎo)排列數(shù)與組合數(shù)的基礎(chǔ)；另一方面它的結(jié)論與其思想在方法本身又在解題時有許多直接應(yīng)用。

兩個原理回答的，都是完成一件事的所有不同方法種數(shù)是多少的問題，其區(qū)別在于：運用加法原理的前提條件是，做一件事有n類方案，選擇任何一類方案中的任何一種方法都可以完成此事，就是說，完成這件事的各種方法是相互獨立的；運用乘法原理的前提條件是，做一件事有n個驟，只要在每個步驟中任取一種方法，并依次完成每一步驟就能完成此事，就是說，完成這件事的各個步驟是相互依存的。簡單的說，如果完成一件事情的所有方法是屬于分類的問題，每次得到的是最后結(jié)果，要用加法原理；如果完成一件事情的方法是屬于分步的問題，每次得到的該步結(jié)果，就要用乘法原理。

三、教法建議

關(guān)于兩個計數(shù)原理的教學(xué)要分三個層次：

第一是對兩個計數(shù)原理的認(rèn)識與理解．這里要求學(xué)生理解兩個計數(shù)原理的意義，并弄清兩個計數(shù)原理的區(qū)別．知道什么情況下使用加法計數(shù)原理，什么情況下使用乘法計數(shù)原理．（建議利用一課時）．

第二是對兩個計數(shù)原理的使用．可以讓學(xué)生做一下習(xí)題（建議利用兩課時）：

①用0，1，2，……，9可以組成多少個8位號碼；

②用0，1，2，……，9可以組成多少個8位整數(shù)；

③用0，1，2，……，9可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的4位整數(shù)； ④用0，1，2，……，9可以組成多少個有重復(fù)數(shù)字的4位整數(shù)； ⑤用0，1，2，……，9可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的4位奇數(shù)；

⑥用0，1，2，……，9可以組成多少個有兩個重復(fù)數(shù)字的4位整數(shù)等等．

第三是使學(xué)生掌握兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用，這個過程應(yīng)該貫徹整個教學(xué)中，每個排列數(shù)、組合數(shù)公式及性質(zhì)的推導(dǎo)都要用兩個計數(shù)原理，每一道排列、組合問題都可以直接利用兩個原理求解，另外直接計算法、間接計算法都是兩個原理的一種體現(xiàn)．教師要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真地分析題意，恰當(dāng)?shù)姆诸?、分步，用好、用活兩個基本計數(shù)原理． 教學(xué)設(shè)計示例

加法原理和乘法原理

教學(xué)目標(biāo)

正確理解和掌握加法原理和乘法原理，并能準(zhǔn)確地應(yīng)用它們分析和解決一些簡單的問題，從而發(fā)展學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力． 教學(xué)重點和難點

重點：加法原理和乘法原理．

難點：加法原理和乘法原理的準(zhǔn)確應(yīng)用． 教學(xué)用具

投影儀． 教學(xué)過程設(shè)計

（一）引入新課

從本節(jié)課開始，我們將要學(xué)習(xí)中學(xué)代數(shù)內(nèi)容中一個獨特的部分——排列、組合、二項式定理．它們研究對象獨特，研究問題的方法不同一般．雖然份量不多，但是與舊知識的聯(lián)系很少，而且它還是我們今后學(xué)習(xí)概率論的基礎(chǔ)，統(tǒng)計學(xué)、運籌學(xué)以及生物的選種等都與它直接有關(guān)．至于在日常的工作、生活上，只要涉及安排調(diào)配的問題，就離不開它．

今天我們先學(xué)習(xí)兩個基本原理．

（二）講授新課

1．介紹兩個基本原理

先考慮下面的問題：

問題1：從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船．一天中，火車有4個班次，汽車有2個班次，輪船有3個班次．那么一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地，共有多少種不同的走法？

因為一天中乘火車有4種走法，乘汽車有2種走法，乘輪船有3種走法，每種走法都可以完成由甲地到乙地這件事情．所以，一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有4+2+3=9種不同的走法．

這個問題可以http://jiaoan.cnkjz.com/Article/Index.html>總結(jié)為下面的一個基本原理（打出片子——加法原理）：

加法原理：做一件事，完成它可以有幾類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法．那么，完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法．

請大家再來考慮下面的問題（打出片子——問題2）：

問題2：由A村去B村的道路有3條，由B村去C村的道路有2條（見下圖），從A村經(jīng)B村去C村，共有多少種不同的走法？

這里，從A村到B村，有3種不同的走法，按這3種走法中的每一種走法到達(dá)B村后，再從B村到C村又各有2種不同的走法，因此，從A村經(jīng)B村去C村共有3×2=6種不同的走法．

一般地，有如下基本原理（找出片子——乘法原理）：

乘法原理：做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法．那么，完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法． 2．淺釋兩個基本原理

兩個基本原理的用途是計算做一件事完成它的所有不同的方法種數(shù)．

比較兩個基本原理，想一想，它們有什么區(qū)別？

兩個基本原理的區(qū)別在于：一個與分類有關(guān)，一個與分步有關(guān)．

看下面的分析是否正確（打出片子——題1，題2）：

題1：找1～10這10個數(shù)中的所有合數(shù)．第一類辦法是找含因數(shù)2的合數(shù)，共有4個；第二類辦法是找含因數(shù)3的合數(shù)，共有2個；第三類辦法是找含因數(shù)5的合數(shù)，共有1個． 1～10中一共有N=4＋2＋1=7個合數(shù)．

題2：在前面的問題2中，步行從A村到B村的北路需要8時，中路需要4時，南路需要6時，B村到C村的北路需要5時，南路需要3時，要求步行從A村到C村的總時數(shù)不超過12時，共有多少種不同的走法？

第一步從A村到B村有3種走法，第二步從B村到C村有2種走法，共有N=3×2=6種不同走法．

題2中的合數(shù)是4，6，8，9，10這五個，其中6既含有因數(shù)2，也含有因數(shù)3；10既含有因數(shù)2，也含有因數(shù)5．題中的分析是錯誤的．

從A村到C村總時數(shù)不超過12時的走法共有5種．題2中從A村走北路到B村后再到C村，只有南路這一種走法．

（此時給出題1和題2的目的是為了引導(dǎo)學(xué)生找出應(yīng)用兩個基本原理的注意事項，這樣安排，不但可以使學(xué)生對兩個基本原理的理解更深刻，而且還可以培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力）

進(jìn)行分類時，要求各類辦法彼此之間是相互排斥的，不論哪一類辦法中的哪一種方法，都能單獨完成這件事．只有滿足這個條件，才能直接用加法原理，否則不可以．

如果完成一件事需要分成幾個步驟，各步驟都不可缺少，需要依次完成所有步驟才能完成這件事，而各步要求相互獨立，即相對于前一步的每一種方法，下一步都有m種不同的方法，那么計算完成這件事的方法數(shù)時，就可以直接應(yīng)用乘法原理．

也就是說：類類互斥，步步獨立．

（在學(xué)生對問題的分析不是很清楚時，教師及時地歸納小結(jié)，能使學(xué)生在應(yīng)用兩個基本原理時，思路進(jìn)一步清晰和明確，不再簡單地認(rèn)為什么樣的分類都可以直接用加法，只要分步而不管是否相互聯(lián)系就用乘法．從而深入理解兩個基本原理中分類、分步的真正含義和實質(zhì)）

（三）應(yīng)用舉例

現(xiàn)在我們已經(jīng)有了兩個基本原理，我們可以用它們來解決一些簡單問題了．

例1 書架上放有3本不同的數(shù)學(xué)書，5本不同的語文書，6本不同的英語書．

（1）若從這些書中任取一本，有多少種不同的取法？

（2）若從這些書中，取數(shù)學(xué)書、語文書、英語書各一本，有多少種不同的取法？

（3）若從這些書中取不同的科目的書兩本，有多少種不同的取法？

（讓學(xué)生思考，要求依據(jù)兩個基本原理寫出這3個問題的答案及理由，教師巡視指導(dǎo)，并適時口述解法）

（1）從書架上任取一本書，可以有3類辦法：第一類辦法是從3本不同數(shù)學(xué)書中任取1本，有3種方法；第二類辦法是從5本不同的語文書中任取1本，有5種方法；第三類辦法是從6本不同的英語書中任取一本，有6種方法．根據(jù)加法原理，得到的取法種數(shù)是 N＝m1＋m2＋m3＝3＋5＋6＝14．故從書架上任取一本書的不同取法有14種．

（2）從書架上任取數(shù)學(xué)書、語文書、英語書各1本，需要分成三個步驟完成，第一步取1本數(shù)學(xué)書，有3種方法；第二步取1本語文書，有5種方法；第三步取1本英語書，有6種方法．根據(jù)乘法原

第三篇：二項式定理教學(xué)設(shè)計

《二項式定理》教學(xué)設(shè)計

1．教學(xué)目標(biāo)

知識技能：理解二項式定理，記憶二項展開式的有關(guān)特征，能對二項式定理進(jìn)行簡單應(yīng)用．

過程方法：通過從特殊到一般的探究活動，經(jīng)歷“觀察—歸納—猜想—證明”的思維方法，養(yǎng)成合作的意識，獲得學(xué)習(xí)和成功的體驗．

情感、態(tài)度和價值觀：通過對二項式定理的研究，掌握展開式的結(jié)構(gòu)特點，體驗數(shù)學(xué)公式的對稱美、和諧美，了解楊輝、牛頓等數(shù)學(xué)家做出的巨大貢獻(xiàn)．

2.教學(xué)過程

探索研究二項式定理的內(nèi)容

從學(xué)生比較熟悉的完全平方公式入手，去觀察，猜想

02122(a?b)2?a2?2ab?b2?C2a?C2ab?C2b

三次方的讓學(xué)生按照多項式乘法進(jìn)行運算在合并，不合并之前是幾項，為什么？

（分步乘法計數(shù)原理）

0312233(a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3?C3a?C3ab?C3ab2?C3b

每一項中字母a，b的指數(shù)和相同,項的個數(shù)有n?1項

00每個都不取b的情況有1種，即C4種，所以a4的系數(shù)是C4； 11恰有1個取b的情況下有C4種，所以a3b的系數(shù)是C4； 22恰有2個取b的情況下有C4種，所以a2b2的系數(shù)是C4； 33恰有3個取b的情況下有C4種，所以ab3的系數(shù)是C4； 444個都取b的情況下有C4種，所以b4的系數(shù)是C4； 0413222344因此(a?b)4?C4a?C4ab?C4ab?C4ab3?C4b．

歸納、猜想(a?b)n?

0n1n?12n?22(a?b)n?Cna?Cnab?Cnab?kn?kk?Cnab?nnCnb(n?N?)

設(shè)問：

（1）將(a?b)n展開，有多少項？

（2）每一項中，字母a，b的指數(shù)有什么特點？（3）字母a，b指數(shù)和始終是多少？（4）如何確定an?kbk的系數(shù)？

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察二項式定理，從以下幾方面強(qiáng)調(diào)：（1）項數(shù)規(guī)律：n?1項；

（2）次數(shù)規(guī)律：字母a，b的指數(shù)和為n，字母a的指數(shù)由n遞減至0，同時，字母b的指數(shù)由0遞增至n；

（3）二項式系數(shù)規(guī)律：下標(biāo)為n，上標(biāo)由0遞增至n；

kn?kk（4）通項：Tk?1?Cnab指的是第k?1項，不是第k項，該項的二項式系k數(shù)是Cn

板書以上幾點 3.例題處理

51??例1：（1）在?2x??的展開式中

x??（1）請寫出展開式的通項。（2）求展開式的第4項。

（3）請指出展開式的第4項的系數(shù)，二項式系數(shù)。

3（4）求展開式中含 x 的項。

課件展示解題過程

自主探究：在?1?2x?的展開式中，求第4項，并指出它的二項式系數(shù)和系數(shù)

7是什么？

獨立完成，爬黑板

01合作探究：設(shè)n為自然數(shù)，化簡Cn?2n?Cn?2n?1???????1?Cnk?2n?k???????1??Cnn?

kn

分組討論，交流想法

4.歸納小結(jié)

學(xué)生的學(xué)習(xí)體會與感悟； 教師強(qiáng)調(diào)：

（1）主要探究方法：從特殊到一般再回到特殊的思想方法

（2）從特殊情況入手，“觀察——歸納——猜想——證明”的思維方法，是人們發(fā)現(xiàn)事物規(guī)律的重要方法之一，要養(yǎng)成“大膽猜想，嚴(yán)謹(jǐn)論證”的良好習(xí)慣．

（3）二項式定理每一項中字母a，b的指數(shù)和為n，a的指數(shù)從n遞減至0同時b的指數(shù)由0遞增至n，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的對稱美、和諧美．二項式系數(shù)還有哪些規(guī)律呢？希望同學(xué)們在課下繼續(xù)研究、能夠有新的發(fā)現(xiàn)． 5.作業(yè)（1）鞏固型作業(yè)：

課本36頁習(xí)題1.3 A組 1、3、4（1）（2）5（2）思維拓展型作業(yè)：（查閱相關(guān)資料）查閱有關(guān)楊輝一生的主要成就。

012探究二項式系數(shù)Cn,Cn,Cn,n 有何性質(zhì).,Cn3

第四篇：二項式定理教學(xué)設(shè)計

二項式定理（第一課時）

一、教學(xué)目標(biāo)： 1．知識技能：

（1）理解二項式定理的推導(dǎo)-------分步乘法計數(shù)原理的使用（2）掌握二項式定理極其簡單應(yīng)用 2．過程與方法

培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納猜想的能力，以及化歸的意識與方法遷移的能力，體會從特殊到一般的思維方式

二、教學(xué)重點、難點

重點：二項式定理的發(fā)現(xiàn)、理解和初步應(yīng)用及通項公式 難點：展開式中某一項的二項式系數(shù)與該項的系數(shù)的區(qū)別

三、教學(xué)方法：師生互動，講練結(jié)合

四、教 具：多媒體、電子白板

五、教學(xué)過程

(一)創(chuàng)設(shè)問題情境：

今天是星期二，8天后是星期幾?82天后是星期幾?8100天后是星期幾呢？ 前面兩個問題全班所有學(xué)生都能回答出來，最后一個問題大家都很迷惑，覺得很復(fù)雜，今天我們學(xué)習(xí)的這節(jié)課就是告訴我們?nèi)绾慰焖贉?zhǔn)確知道答案，并且我們不用查日歷就能知道未來任何一天是星期幾。解決這一問題我們應(yīng)用的就是二項式定理。

(二)引出問題：二項式定理研究的是(a?b)n的展開式。

我們知道(a?b)2?a2?2ab?b2，那么：(a?b)3=?(a?b)4=?

(a?b)100=?

更進(jìn)一步：(a?b)n=？(1)對(a?b)2展開式的分析:(a?b)2?(a?b)(a?b)展開后其項的形式為：a2,ab,b2

00考慮b，每個都不取b的情況有1種，即c2 ,則a2前的系數(shù)為c2 1恰有1個取b的情況有c12種，則ab前的系數(shù)為c2 22恰有2個取b的情況有c2 種，則b2前的系數(shù)為c2 0222所以(a?b)2?a2?2ab?b2?c2a?c12ab?c2b

(2)探究1：推導(dǎo)(a?b)3的展開式

(a?b)3?(a?b)(a?b)(a?b)① 項：

a3

a2b

ab2

b3

013② 系數(shù)：C3

C3

C32

C3 0312233③ 展開式(a?b)3?c3a?c3ab?c3ab2?c3b

(3)探究2：仿照上述過程，推導(dǎo)(a?b)4的展開式

0432223344(a?b)4?c4a?c14ab?c4ab?c4ab?c4b 0312233與(a?b)3?c3a?c3ab?c3ab2?c3b

0222和(a?b)2?c2a?c12ab?c2b

一起比較猜想：

0nn?12n?22kn?kknn(a?b)n?cna?c1ab?cab?...cab?...cnnnnb(n?N?)

但這種歸納猜想是不完全歸納。

(4)探究3：請分析(a?b)n的展開過程，證明猜想

...ab

...b ②系數(shù)：C

C

...C

...C ①項：

an

an?1b

0n1nn?kknknnn0nn?12n?22kn?kknn③展開式：(a?b)n?cna?c1b?cnab?...cnab?...cnb(n?N?)na(三)二項式定理的分析

0nn?12n?22kn?kknn(a?b)n?cna?c1b?cnab?...cnab?...cnb(n?N?)na①項數(shù)：共有n?1項；

②次數(shù)：各項的次數(shù)都是n；

k③二項式系數(shù)：Cn(k??0,1,2,...n?)

kn?kk④ 二項展開式的通項：Tk?1?Cnab,(k??0,1,2,...n?)

（四）課堂練習(xí)1.寫出(1?x)n得展開式.2.寫出(a?b)n得展開式.（五）例題 例1.求(2x?1x)6得展開式.（1）強(qiáng)調(diào)：對于形式較復(fù)雜的二項式，應(yīng)先化簡再展開.（2）針對(2x?1x)6得展開式，提出下列問題

思考1：展開式的第二項的系數(shù)是多少？

思考2：展開式的第二項的二項式系數(shù)是多少？ 思考3：你能否直接求出展開式的第二項？ 思考4：你能否直接求出展開式的常數(shù)項？ 引出例2 例2（1）求(1?2x)7的展開式的第4項的系數(shù)和第4項的二項式系數(shù)

1??

（2）?x??的展開式中x3的系數(shù)

x??

（六）小結(jié)

（七）作業(yè)（提前板書）1.P374,5題

2.思考：8100天后星期幾？

第五篇：二項式定理教學(xué)設(shè)計

二項式定理

一、教學(xué)目標(biāo)

1．知識目標(biāo)：掌握二項式定理及其簡單應(yīng)用

2．過程與方法：培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、猜想能力，發(fā)現(xiàn)問題，探求問題的能力，邏輯推理能力以及科學(xué)的思維方式。

3．情感態(tài)度和價值觀：培養(yǎng)學(xué)生勇于探索，勇于創(chuàng)新的個性品質(zhì)，感受和體驗數(shù)學(xué)的簡潔美、和諧美和對稱美。

二、教學(xué)重點、難點

重點：二項式定理的發(fā)現(xiàn)、理解和初步應(yīng)用及通項公式 難點：展開式中某一項的二項式系數(shù)與該項的系數(shù)的區(qū)別

三、教學(xué)過程

創(chuàng)設(shè)問題情境：

今天是星期三，15天后星期幾，30天后星期幾，8100天后星期幾呢？

前面幾個問題全班所有學(xué)生都大聲地回答出來了，最后一個問題大家都很迷惑，有些學(xué)生試圖用計算器算，還是覺得很復(fù)雜，學(xué)習(xí)完這節(jié)課我們就知道答案了，并且我們不用查日歷就能知道未來任何一天是星期幾

新課講解：

問題

1?a?b?d??c?的展開式有多少項？有無同類項可以合并？

由于這一節(jié)是在學(xué)生學(xué)習(xí)了兩個計數(shù)原理和排列組合知識之后學(xué)習(xí)的，所以學(xué)生能夠快速的說出答案。

問題

2?a?b??b的?a?b?原始展開式有多少項？有幾項是同類項？項是怎樣構(gòu)成??a的？有規(guī)律嗎？

學(xué)生根據(jù)乘法展開式也很快得出結(jié)論 問題

3?a?b???b?a??a2b?a?b??的3原始展開式有多少項？經(jīng)合并后又只能有幾項？是哪幾項？

學(xué)生仍然根據(jù)乘法公式算出了答案 問題

4?a?b???b?a??a??b?a?的b?a?b?的原始展開式有多少項？

44問題

5你能準(zhǔn)確快速地寫出?a?b?的原始展開式的16項嗎？經(jīng)合并后，又只能有哪幾項？

此時，學(xué)生能說出其中的一兩項，并不能全部回答出來所有的項，思維覺察到麻煩，困難，易出錯——借此“憤悱”之境，有效的實現(xiàn)思維的烘熱）

啟發(fā)類比：4個袋中有紅球a，白球b各一個，每次從4個袋子中各取一個球，有什么樣的取法？各種取法有多少種？ 在4個括號（袋子）中 問題6

其個數(shù)，為何恰好應(yīng)為該項的系數(shù)？

n?rr問題7 ?a?b?在合并后的展開式中，ab的系數(shù)應(yīng)該是多少？有理由嗎？ n問題8

那么，該如何將?a?b?輕松、清晰地展開？請同學(xué)們歸納猜想 學(xué)生們快速地說出

n?a?b?n0n1n?1n2n?22kn?kknn?Cna?Cnab?Cnab???Cnab???Cnb?n?N*?

我們數(shù)學(xué)講究邏輯地嚴(yán)密性和知識的嚴(yán)謹(jǐn)性，大家猜想地很正確，那么我們怎么來證明呢？

思路：證明中主要運用了計數(shù)原理！

① 展開式中為什么會有那幾種類型的項？

?a?b?n是n個?a?b?相乘，展開式中的每一項都是從這n個?a?b?中各任取一個字母相

n?k乘得到的，每一項都是n次的。故每一項都是a② 展開式中各項的系數(shù)是怎么來的？

bk的形式，k?0,1,2,?,n

kan?kbk是從n個?a?b?中取k個b，和余下n?k個a相乘得到的，有Cn種情況可以得到

kan?kbk，因此，該項的系數(shù)為Cn

定義：一般地，對于任意正整數(shù)n，上面的關(guān)系式也成立，即有

?a?b?n0n1n?1n2n?22kn?kknn?Cna?Cnab?Cnab???Cnab???Cnb?n?N*?

n注：（1）公式左邊叫做二項式，右邊叫做?a?b?的二項展開式

（2）定理中的a,b僅僅是一種符號，它可以是任意的數(shù)或式子什么的，只要是兩項相加的n次冪，就能用二項式定理展開

例：把b換成?b，則

?a?b?n0n1n?1n2n?22kn?kknn?Cna?Cnab?Cnab?????1?Cnab?????1?Cnb?n?N*?

kn練習(xí)：令a?1,b?x，則

?1?x?n01122kknn?Cn?Cnx?Cnx???Cnx???Cnx?n?N*?

問題9 二項式定理展開式中項數(shù)、指數(shù)、系數(shù)特點是什么？哪一項最有代表性

公式特征：

（1）項數(shù)：共有n?1項

（2）指數(shù)規(guī)律：

① 各項的次數(shù)都等于二項式的系數(shù)n（關(guān)于a與b的齊次多項式）

② 字母a按降冪排列，次數(shù)由n遞減到0；字母b按升冪排列，次數(shù)由0遞增到n

kn?kk（3）二項式展開式的通項：Tk?1?Cnab，k?0,1,2,?,n

012knk（4）二項式系數(shù)：依次為Cn。這里Cn（k?0,1,2,?,n）稱為二,Cn,Cn,?Cn?,Cn項式系數(shù)

現(xiàn)在同學(xué)們能告訴老師8100天后星期幾嗎？

思考了一會兒，馬上有同學(xué)大聲喊：把8寫成7+1，再進(jìn)行展開，余數(shù)是多少，就是星期幾 老師故意問：為什么要寫成7+1，這時，所有學(xué)生都明白了，因為一個星期7天，所以

n8100??7?1?展開式中除了最后一項外，其余的項都是7的倍數(shù)，因此余數(shù)為Cn?1，故100應(yīng)為星期四。

1??例

1求?2x??的展開式

x??方法一：直接展開

1???1技巧：將根式先化成冪的形式，再進(jìn)行計算，要簡單很多。即原式變成?2x2?x2?

??66方法二：先合并化簡，再展開

建議用第二種方法簡單些。

變式一：展開式中的常數(shù)項是多少？ 變式二：展開式中的第3項是多少？

變式三：展開式中的第3項的系數(shù)是多少？ 變式四：展開式中的第3項二項式系數(shù)是多少？

注意：二項式系數(shù)和系數(shù)是兩個不同的概念，二項式系數(shù)就是一個組合數(shù)，與a,b無關(guān)；系數(shù)與a,b有關(guān)。

例

2（1）求(1?2x)7的展開式的第4項的系數(shù)和第4項的二項式系數(shù)

1??

3（2）?x??的展開式中x的系數(shù)和中間項

x??例3

求(x?a)12的展開式中的倒數(shù)第4項 小結(jié)：（1）注意二項式定理中二項展開式的特征

（2）區(qū)別二項式系數(shù)、項的系數(shù)

（3）掌握用通項公式求二項式系數(shù)、項的系數(shù)及項。作業(yè)：P37 4，5 教學(xué)反思：本節(jié)課先用今天星期幾的問題創(chuàng)設(shè)問題情境，一下子把全班學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性都調(diào)動起來了，當(dāng)大家不知道老師葫蘆里賣的什么藥時，老師由淺入深的提問，最后問到81009天后星期幾，從而引出今天的課題：二項式定理。給大家設(shè)置這個懸念后，緊接著又進(jìn)行一系列的問題教學(xué)，讓學(xué)生自己去探究去回答，最后學(xué)生之間合作交流歸納猜想出二項式定理的展開式，整個過程順理成章地完成。