第一篇：二項式定理應用2

二項式定理及其應用

一、求某項的系數(shù)：

【例1】（1）在（1-x3）（1+x）10的展開式中，x5的系數(shù)是多少？（407）

（2）求（1+x-x2）6展開式中含x5的項．（6x5）

二、證明組合數(shù)等式：

練習

（12345）

例2 計算：1.9975（精確到0.001）．

師：按生戊所談的方法，大家在自己的筆記本上計算一下． 例3：（1996年全國高考有這樣一道應用題）

某地現(xiàn)有耕地10 000公頃，規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加22％，人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10％．如果人口年增長率為1％，那么耕地平均每年至多只能減少多少公頃（精確到1公頃）？

例3 如果今天是星期一，那么對于任意自然數(shù)n，經(jīng)過23n+3＋7n＋5天后的那一天是星期幾？

生庚：先將此題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，即本題實際上尋求對于任意自然數(shù)n，23n+3+7n＋5被7除的余數(shù)．

受近似計算題目啟發(fā)，23n+3=8n+1=（7＋1）n+1，這樣可以運用

數(shù)，7n也是7的倍數(shù)，最后余數(shù)是1加上5，是6了．

師：請同學們在筆記本上完成此題的解答

（教師請一名同學板演）

解：由于23n+3＋7n＋5=8n+1＋7n＋5=（7＋1）n+1＋7n+5

則 23n+3＋7n＋5被7除所得余數(shù)為6 所以對于任意自然數(shù)n，經(jīng)過23n+3＋7n＋5后的一天是星期日． 師：請每位同學在筆記本上完成這樣一個習題：7777-1能被19整除嗎？（教師在教室內(nèi)巡視，3分鐘后找學生到黑板板演）解：7777-1=（76+1）77

由于76能被19整除，因此7777-1能被19整除． 師：請生辛談談他怎樣想到這個解法的？

生辛：這是個冪的計算問題，可以用二項式定理解決．如果把7777改成（19＋58）77，顯然展開式中最后一項5877仍然不易判斷是否能被19整除，于是我想到若7777-1能被38，或能被57，或能被76，或能被95整除，必能被19整除，而76與77只差1，故欲證7777-1被19整除，只需證（76+1）77被76整除．得到了以上的解法．

師：二項式定理解決的是乘方運算問題，因此冪的問題可以考慮二項式定理．下面我們解一些綜合運用的習題

例4 求證：3n＞2n-1（n＋2）（n∈N，且n≥2）．

師：仍然由同學先談談自己的想法．

生壬：我覺得這道題仍可以用二項式定理解，為了把左式與右式發(fā)生聯(lián)系，將3換成2＋1．

注意到：

① 2n+n·2n-1=2n-1（2＋n）=2n-1（n+2）； ② n≥2，右式至少三項；

這樣，可以得到3n＞2n-1（n＋2）（n∈N，且n≥2）．

生癸：根據(jù)題設條件有n∈N，且n≥2．用數(shù)學歸納法應當可以證明．

師：由于觀察習題時思維起點不同，得到了習題不同解法，生×同學從乘方運算這點考慮，想到二項式定理，生×同學從題設條件n∈N考慮，想到數(shù)學歸納法．大家要養(yǎng)成習慣，每遇一題，從不同角度觀察思考，得到更多解法，使我們思考問題更全面．

用二項式定理證明，生×同學已經(jīng)講清楚了證明過程，大家課下在筆記本上整理好，現(xiàn)在請同學們在筆記本上完成數(shù)學歸納法的證明．

（教師請一名同學板演）

證明：①當n=2時，左式=32=9，右式=22-1（2＋2）=2×4=8，顯然9＞8．故不等式成立． ②假設n=k（k∈N且k≥2）時，不等式成立，即3k＞2k-1（k＋2），則當n=k＋1時，由于 左式=3k+1=3·3k＞3·2k-1（k＋2）=3k·2k-1＋3·2k． 右式=2(k+1)-1[（k＋1）＋2]=2k（k＋3）=k·2k＋3·2k，則 左式-右式=（3k·2k-1＋3·2k）-（k·2k＋3·2k）

=3k·2k-1-2k·2k-1=k·2k-1＞0． 所以 左式＞有式．故當n=k＋1時，不等式也成立．

由①，②不等式對n≥2，n∈N都成立．

師：為了培養(yǎng)綜合能力，同學們在筆記本再演算一道習題：

設n∈N且n＞1，求證：

（證明過程中可以運用公式：對n個正數(shù)a1，a2，…，an，總有

（教師在教室巡視，過2分鐘找一名同學到黑板板演第（1）小題，再過3分鐘找另一名同學板演第（2）小題）

師：哪位同學談一談此題應怎樣分析？

生寅：第（1）小題左式與右式?jīng)]有直接聯(lián)系，應把它們分別轉(zhuǎn)化，列前n項的和，由求和公式也能得到2n-1．因此得到證明． 第（2）小題左式與右式也沒有直接聯(lián)系．根據(jù)題目給出的公式要

師：根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)想有關(guān)知識和思考方法是分析問題的一種重要方法，要在解題實踐中掌握．

本節(jié)課討論了二項式定理主要應用，包括組合數(shù)的計算、近似計算、整除和求余數(shù)的計算以及與其他數(shù)學知識的綜合應用．當然，二項式定理的運用不止這些，凡是涉及到乘方運算（指數(shù)是自然數(shù)或轉(zhuǎn)化為自然數(shù)）都可能用到二項式定理．認真分析習題的結(jié)構(gòu)，類比、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化是重要的找到解題途徑的思考方法，希望引起同學們的重視．

作業(yè)

1．課本習題：P253習題三十一：6，7，10； 2．課本習題：P256復習參考題九：15（2）． 3．補充題：

課堂教學設計說明

1．開始練習起著承上啟下的作用．這三題既復習了二項式定理及其性質(zhì)，又考查了數(shù)學基本思想，如等價變換、未知轉(zhuǎn)化已知，取特殊值，利于本節(jié)課進行，又培養(yǎng)了學生預習復習的學習習慣．

2．只有學生自己動手、動腦、動口才能真正把知識學到手，才能培養(yǎng)思維能力、計算能力、表達能力、分析問題解決問題能力．因此課堂教學一定以學生為主體，體現(xiàn)主體參與．

3．學生的回答不會像教案寫的那樣標準，教師要因勢利導，幫助學生提高分析能力．

第二篇：二項式定理二項式定理的應用教案（范文模版）

排列、組合、二項式定理·二項式定理的應用·教案

教學目標

1．利用二項式定理及二項式系數(shù)的性質(zhì)解決某些關(guān)于組合數(shù)的恒等式的證明；近似計算；求余數(shù)或證明某些整除或余數(shù)的問題等．

2．滲透類比與聯(lián)想的思想方法，能運用這個思想處理問題． 3．培養(yǎng)學生運算能力，分析能力和綜合能力． 教學重點與難點

數(shù)學是一門工具，學數(shù)學的目的就是為了應用．怎樣建立起要解決的問題與數(shù)學知識之間的聯(lián)系（如一個近似計算問題與二項式定理有沒有聯(lián)系，怎樣聯(lián)系），是這節(jié)課的難點，也是重點所在．

教學過程設計

師：我們已經(jīng)學習了二項式定理及二項式系數(shù)，請大家用6分時間完成以下三道題：

（1）在（1-x3）（1+x）10的展開式中，x5的系數(shù)是多少？（2）求（1+x-x2）6展開式中含x5的項．

（全體學生參加筆試練習）

6分鐘后，用投影儀公布以上三題的解答：

（1）原式=（1+x）10-x3（1+x）10，可知x5的系數(shù)是（1+x）

（2）原式=[1+（x-x2）]6=1+6（x-x2）+15（x-x2）2+20（x-x2）3+15（x-x2）4+6（x-x2）5+（x-x2）6．

其中含x5的項為：20·3x5+15（-4）x5+6x5=6x5．

師：解（1），（2）兩題運用了變換和化歸思想，第（2）題把三項式化為二項式，創(chuàng)造了使用二項式定理的條件．

第（3）題的解法是根據(jù)恒等式的概念，a，b取任何數(shù)時，等式都成立．根據(jù)習題結(jié)構(gòu)特征選擇a，b的取值．這種用概念解題的思想經(jīng)常使用．

下面我們看二項式定理的一些應用．

師：請同學們想一想，例1怎樣解？

生甲：從結(jié)構(gòu)上觀察，則與練習的第（3）題有相似之處，只是組合數(shù)的系數(shù)成等比數(shù)列，是否根據(jù)二項式定理令a=1，b=3，即可得到證明．

師：請同學們根據(jù)生甲所講，寫出證明．（找一位同學板演）

證明：在（a+b）n的展開式中令a=1，b=3得：

師：顯然，適當選取a，b之值是解這一類題的關(guān)鍵，再看練習題． 練習

生乙：這題與例1類比有共同點，仍是組合數(shù)的運算，不同點是缺

我考慮如能用二項式定理解，應對原題做以下變換：

師：分析得很透徹．這種敢想、會想精神是每位同學都要培養(yǎng)的．首先是敢字，不要一見題目有些生疏就采取放棄態(tài)度；要敢于分析，才能善于分析，將來才敢于創(chuàng)新，善于創(chuàng)新．

請大家把解題過程寫在筆記本上．（教師請一名同學板演）

在（a＋b）6的展開式中令a=1，b=3，得

師：解題過程從“在（a+b）6的展開式中令 a=1，b=3”寫起就可以了．希望同學們再接再勵，完成下個練習．

練習

師：大家議論一下，這道題能用二項式定理來解嗎？

生丙：初步觀察，與上節(jié)課我們學刁的：“在（a＋b）n的展開式

解決．我們注意到組合數(shù)代數(shù)和的值為余弦值或正弦值，又注意到正項

?）或r=4m＋1（m=0，1，2，?），負項出現(xiàn)在r=4m＋2（m=0，1，2，?）或r=4m＋3（m=0，1，2，?），而虛數(shù)單位i有以下性質(zhì)：

i4m=1，i4m+1=i，i4m+2=-1，i4m+3=-i（m∈Z）． 于是想在（a＋b）n的展開式中令a=1，b=i．

師：分析得有道理，請同學們按生丙同學的意見進行演算．（教師找一位同學板演）

證明：設i是虛數(shù)單位，在（a＋b）n的展開式中令a=1，b=i中得：

另一方面，又有

由此得到

根據(jù)復數(shù)相等定義，有

師：認真分析習題的結(jié)構(gòu)，運用類比與聯(lián)想的思想方法，可以幫助我們找到解題的思路，下面我們研究二項式定理在數(shù)字計算方面的應用．

例2 計算：1.9975（精確到0.001）．

生?。哼@道題若用二項式定理計算，必須把1.997看作1+0.997，這樣，1.9975=（1+0.997）5．

師：計算簡單嗎？

生戊：把1.9975化為（2-0.003）5，再展開，由于精確到0.001，不必各項都計算．

師：按生戊所談的方法，大家在自己的筆記本上計算一下．（教師找一位同學板演）解：1.9975=（2-0.003）5

=25-5×24×0.003+10×23×0.0032-10×22×0.003＋?

由于|T6|＜|T5|＜|T4|≈1.08×10-6，則|T4|＋T5＋T6|＜0.000004． 所以1.9975≈32-0.24+0.000 72≈31.761． 師：1996年全國高考有這樣一道應用題：（用投影儀示出，老師讀題）

某地現(xiàn)有耕地10 000公頃，規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加22％，人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10％．如果人口年增長率為1％，那么耕地平均每年至多只能減少多少公頃（精確到1公頃）？

稍候，教師問：

誰想出解法了，請講一講．

生己：設該地區(qū)現(xiàn)有人口為P人，糧食單產(chǎn)為M噸/公頃，耕地平均每年至多只能減少x公頃．

十年后耕地畝數(shù)：104-10x，十年后總產(chǎn)量：M×（1+22％）（104-10x）． 十年后人口：P×（1＋1％）10，依題意可以得到不等式

師：實際計算時，會遇到（1＋0.01）10的計算問題，請全體同學在筆記本上迅速計算出來．

（教師請一同學板演）

師：真迅速?。≌埻瑢W們課下把這道高考題完成．（答案：按規(guī)劃該地區(qū)耕地平均每年至多只能減少4公頃）現(xiàn)在，我們再討論一個新的問題．

例3 如果今天是星期一，那么對于任意自然數(shù)n，經(jīng)過23n+3＋7n＋5天后的那一天是星期幾？

生庚：先將此題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，即本題實際上尋求對于任意自然數(shù)n，23n+3+7n＋5被7除的余數(shù)．

受近似計算題目啟發(fā)，23n+3=8n+1=（7＋1）n+1，這樣可以運用

數(shù)，7n也是7的倍數(shù)，最后余數(shù)是1加上5，是6了． 師：請同學們在筆記本上完成此題的解答（教師請一名同學板演）

解：由于23n+3＋7n＋5=8n+1＋7n＋5=（7＋1）n+1＋7n+5

則 23n+3＋7n＋5被7除所得余數(shù)為6 所以對于任意自然數(shù)n，經(jīng)過23n+3＋7n＋5后的一天是星期日．

師：請每位同學在筆記本上完成這樣一個習題：7777-1能被19整除嗎？（教師在教室內(nèi)巡視，3分鐘后找學生到黑板板演）解：7777-1=（76+1）77

由于76能被19整除，因此7777-1能被19整除． 師：請生辛談談他怎樣想到這個解法的？ 生辛：這是個冪的計算問題，可以用二項式定理解決．如果把7777改成（19＋58）77，顯然展開式中最后一項5877仍然不易判斷是否能被19整除，于是我想到若7777-1能被38，或能被57，或能被76，或能被95整除，必能被19整除，而76與77只差1，故欲證7777-1被19整除，只需證（76+1）77被76整除．得到了以上的解法．

師：二項式定理解決的是乘方運算問題，因此冪的問題可以考慮二項式定理．下面我們解一些綜合運用的習題

例4 求證：3n＞2n-1（n＋2）（n∈N，且n≥2）． 師：仍然由同學先談談自己的想法．

生壬：我覺得這道題仍可以用二項式定理解，為了把左式與右式發(fā)生聯(lián)系，將3換成2＋1．

注意到：

① 2n+n·2n-1=2n-1（2＋n）=2n-1（n+2）； ② n≥2，右式至少三項；

這樣，可以得到3n＞2n-1（n＋2）（n∈N，且n≥2）．

生癸：根據(jù)題設條件有n∈N，且n≥2．用數(shù)學歸納法應當可以證明． 師：由于觀察習題時思維起點不同，得到了習題不同解法，生×同學從乘方運算這點考慮，想到二項式定理，生×同學從題設條件n∈N考慮，想到數(shù)學歸納法．大家要養(yǎng)成習慣，每遇一題，從不同角度觀察思考，得到更多解法，使我們思考問題更全面．

用二項式定理證明，生×同學已經(jīng)講清楚了證明過程，大家課下在筆記本上整理好，現(xiàn)在請同學們在筆記本上完成數(shù)學歸納法的證明．

（教師請一名同學板演）

證明：①當n=2時，左式=32=9，右式=22-1（2＋2）=2×4=8，顯然9＞8．故不等式成立． ②假設n=k（k∈N且k≥2）時，不等式成立，即3k＞2k-1（k＋2），則當n=k＋1時，由于 左式=3k+1=3·3k＞3·2k-1（k＋2）=3k·2k-1＋3·2k． 右式=2(k+1)-1[（k＋1）＋2]=2k（k＋3）=k·2k＋3·2k，則 左式-右式=（3k·2k-1＋3·2k）-（k·2k＋3·2k）=3k·2k-1-2k·2k-1=k·2k-1＞0．

所以 左式＞有式．故當n=k＋1時，不等式也成立． 由①，②不等式對n≥2，n∈N都成立．

師：為了培養(yǎng)綜合能力，同學們在筆記本再演算一道習題： 設n∈N且n＞1，求證：

（證明過程中可以運用公式：對n個正數(shù)a1，a2，?，an，總有

（教師在教室巡視，過2分鐘找一名同學到黑板板演第（1）小題，再過3分鐘找另一名同學板演第（2）小題）

師：哪位同學談一談此題應怎樣分析？

生寅：第（1）小題左式與右式?jīng)]有直接聯(lián)系，應把它們分別轉(zhuǎn)化，列前n項的和，由求和公式也能得到2n-1．因此得到證明． 第（2）小題左式與右式也沒有直接聯(lián)系．根據(jù)題目給出的公式要

師：根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)想有關(guān)知識和思考方法是分析問題的一種重要方法，要在解題實踐中掌握．

本節(jié)課討論了二項式定理主要應用，包括組合數(shù)的計算、近似計算、整除和求余數(shù)的計算以及與其他數(shù)學知識的綜合應用．當然，二項式定理的運用不止這些，凡是涉及到乘方運算（指數(shù)是自然數(shù)或轉(zhuǎn)化為自然數(shù)）都可能用到二項式定理．認真分析習題的結(jié)構(gòu)，類比、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化是重要的找到解題途徑的思考方法，希望引起同學們的重視．

作業(yè) 1．課本習題：P253習題三十一：6，7，10； 2．課本習題：P256復習參考題九：15（2）． 3．補充題：

課堂教學設計說明

1．開始練習起著承上啟下的作用．這三題既復習了二項式定理及其性質(zhì)，又考查了數(shù)學基本思想，如等價變換、未知轉(zhuǎn)化已知，取特殊值，利于本節(jié)課進行，又培養(yǎng)了學生預習復習的學習習慣．

2．只有學生自己動手、動腦、動口才能真正把知識學到手，才能培養(yǎng)思維能力、計算能力、表達能力、分析問題解決問題能力．因此課堂教學一定以學生為主體，體現(xiàn)主體參與．

3．學生的回答不會像教案寫的那樣標準，教師要因勢利導，幫助學生提高分析能力．

第三篇：二項式定理教學設計

《二項式定理》教學設計

1．教學目標

知識技能：理解二項式定理，記憶二項展開式的有關(guān)特征，能對二項式定理進行簡單應用．

過程方法：通過從特殊到一般的探究活動，經(jīng)歷“觀察—歸納—猜想—證明”的思維方法，養(yǎng)成合作的意識，獲得學習和成功的體驗．

情感、態(tài)度和價值觀：通過對二項式定理的研究，掌握展開式的結(jié)構(gòu)特點，體驗數(shù)學公式的對稱美、和諧美，了解楊輝、牛頓等數(shù)學家做出的巨大貢獻．

2.教學過程

探索研究二項式定理的內(nèi)容

從學生比較熟悉的完全平方公式入手，去觀察，猜想

02122(a?b)2?a2?2ab?b2?C2a?C2ab?C2b

三次方的讓學生按照多項式乘法進行運算在合并，不合并之前是幾項，為什么？

（分步乘法計數(shù)原理）

0312233(a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3?C3a?C3ab?C3ab2?C3b

每一項中字母a，b的指數(shù)和相同,項的個數(shù)有n?1項

00每個都不取b的情況有1種，即C4種，所以a4的系數(shù)是C4； 11恰有1個取b的情況下有C4種，所以a3b的系數(shù)是C4； 22恰有2個取b的情況下有C4種，所以a2b2的系數(shù)是C4； 33恰有3個取b的情況下有C4種，所以ab3的系數(shù)是C4； 444個都取b的情況下有C4種，所以b4的系數(shù)是C4； 0413222344因此(a?b)4?C4a?C4ab?C4ab?C4ab3?C4b．

歸納、猜想(a?b)n?

0n1n?12n?22(a?b)n?Cna?Cnab?Cnab?kn?kk?Cnab?nnCnb(n?N?)

設問：

（1）將(a?b)n展開，有多少項？

（2）每一項中，字母a，b的指數(shù)有什么特點？（3）字母a，b指數(shù)和始終是多少？（4）如何確定an?kbk的系數(shù)？

教師引導學生觀察二項式定理，從以下幾方面強調(diào)：（1）項數(shù)規(guī)律：n?1項；

（2）次數(shù)規(guī)律：字母a，b的指數(shù)和為n，字母a的指數(shù)由n遞減至0，同時，字母b的指數(shù)由0遞增至n；

（3）二項式系數(shù)規(guī)律：下標為n，上標由0遞增至n；

kn?kk（4）通項：Tk?1?Cnab指的是第k?1項，不是第k項，該項的二項式系k數(shù)是Cn

板書以上幾點 3.例題處理

51??例1：（1）在?2x??的展開式中

x??（1）請寫出展開式的通項。（2）求展開式的第4項。

（3）請指出展開式的第4項的系數(shù)，二項式系數(shù)。

3（4）求展開式中含 x 的項。

課件展示解題過程

自主探究：在?1?2x?的展開式中，求第4項，并指出它的二項式系數(shù)和系數(shù)

7是什么？

獨立完成，爬黑板

01合作探究：設n為自然數(shù)，化簡Cn?2n?Cn?2n?1???????1?Cnk?2n?k???????1??Cnn?

kn

分組討論，交流想法

4.歸納小結(jié)

學生的學習體會與感悟； 教師強調(diào)：

（1）主要探究方法：從特殊到一般再回到特殊的思想方法

（2）從特殊情況入手，“觀察——歸納——猜想——證明”的思維方法，是人們發(fā)現(xiàn)事物規(guī)律的重要方法之一，要養(yǎng)成“大膽猜想，嚴謹論證”的良好習慣．

（3）二項式定理每一項中字母a，b的指數(shù)和為n，a的指數(shù)從n遞減至0同時b的指數(shù)由0遞增至n，體現(xiàn)數(shù)學的對稱美、和諧美．二項式系數(shù)還有哪些規(guī)律呢？希望同學們在課下繼續(xù)研究、能夠有新的發(fā)現(xiàn)． 5.作業(yè)（1）鞏固型作業(yè)：

課本36頁習題1.3 A組 1、3、4（1）（2）5（2）思維拓展型作業(yè)：（查閱相關(guān)資料）查閱有關(guān)楊輝一生的主要成就。

012探究二項式系數(shù)Cn,Cn,Cn,n 有何性質(zhì).,Cn3

第四篇：二項式定理教學設計

二項式定理（第一課時）

一、教學目標： 1．知識技能：

（1）理解二項式定理的推導-------分步乘法計數(shù)原理的使用（2）掌握二項式定理極其簡單應用 2．過程與方法

培養(yǎng)學生觀察、分析、歸納猜想的能力，以及化歸的意識與方法遷移的能力，體會從特殊到一般的思維方式

二、教學重點、難點

重點：二項式定理的發(fā)現(xiàn)、理解和初步應用及通項公式 難點：展開式中某一項的二項式系數(shù)與該項的系數(shù)的區(qū)別

三、教學方法：師生互動，講練結(jié)合

四、教 具：多媒體、電子白板

五、教學過程

(一)創(chuàng)設問題情境：

今天是星期二，8天后是星期幾?82天后是星期幾?8100天后是星期幾呢？ 前面兩個問題全班所有學生都能回答出來，最后一個問題大家都很迷惑，覺得很復雜，今天我們學習的這節(jié)課就是告訴我們?nèi)绾慰焖贉蚀_知道答案，并且我們不用查日歷就能知道未來任何一天是星期幾。解決這一問題我們應用的就是二項式定理。

(二)引出問題：二項式定理研究的是(a?b)n的展開式。

我們知道(a?b)2?a2?2ab?b2，那么：(a?b)3=?(a?b)4=?

(a?b)100=?

更進一步：(a?b)n=？(1)對(a?b)2展開式的分析:(a?b)2?(a?b)(a?b)展開后其項的形式為：a2,ab,b2

00考慮b，每個都不取b的情況有1種，即c2 ,則a2前的系數(shù)為c2 1恰有1個取b的情況有c12種，則ab前的系數(shù)為c2 22恰有2個取b的情況有c2 種，則b2前的系數(shù)為c2 0222所以(a?b)2?a2?2ab?b2?c2a?c12ab?c2b

(2)探究1：推導(a?b)3的展開式

(a?b)3?(a?b)(a?b)(a?b)① 項：

a3

a2b

ab2

b3

013② 系數(shù)：C3

C3

C32

C3 0312233③ 展開式(a?b)3?c3a?c3ab?c3ab2?c3b

(3)探究2：仿照上述過程，推導(a?b)4的展開式

0432223344(a?b)4?c4a?c14ab?c4ab?c4ab?c4b 0312233與(a?b)3?c3a?c3ab?c3ab2?c3b

0222和(a?b)2?c2a?c12ab?c2b

一起比較猜想：

0nn?12n?22kn?kknn(a?b)n?cna?c1ab?cab?...cab?...cnnnnb(n?N?)

但這種歸納猜想是不完全歸納。

(4)探究3：請分析(a?b)n的展開過程，證明猜想

...ab

...b ②系數(shù)：C

C

...C

...C ①項：

an

an?1b

0n1nn?kknknnn0nn?12n?22kn?kknn③展開式：(a?b)n?cna?c1b?cnab?...cnab?...cnb(n?N?)na(三)二項式定理的分析

0nn?12n?22kn?kknn(a?b)n?cna?c1b?cnab?...cnab?...cnb(n?N?)na①項數(shù)：共有n?1項；

②次數(shù)：各項的次數(shù)都是n；

k③二項式系數(shù)：Cn(k??0,1,2,...n?)

kn?kk④ 二項展開式的通項：Tk?1?Cnab,(k??0,1,2,...n?)

（四）課堂練習1.寫出(1?x)n得展開式.2.寫出(a?b)n得展開式.（五）例題 例1.求(2x?1x)6得展開式.（1）強調(diào)：對于形式較復雜的二項式，應先化簡再展開.（2）針對(2x?1x)6得展開式，提出下列問題

思考1：展開式的第二項的系數(shù)是多少？

思考2：展開式的第二項的二項式系數(shù)是多少？ 思考3：你能否直接求出展開式的第二項？ 思考4：你能否直接求出展開式的常數(shù)項？ 引出例2 例2（1）求(1?2x)7的展開式的第4項的系數(shù)和第4項的二項式系數(shù)

1??

（2）?x??的展開式中x3的系數(shù)

x??

（六）小結(jié)

（七）作業(yè)（提前板書）1.P374,5題

2.思考：8100天后星期幾？

第五篇：二項式定理教學設計

二項式定理

一、教學目標

1．知識目標：掌握二項式定理及其簡單應用

2．過程與方法：培養(yǎng)學生觀察、歸納、猜想能力，發(fā)現(xiàn)問題，探求問題的能力，邏輯推理能力以及科學的思維方式。

3．情感態(tài)度和價值觀：培養(yǎng)學生勇于探索，勇于創(chuàng)新的個性品質(zhì)，感受和體驗數(shù)學的簡潔美、和諧美和對稱美。

二、教學重點、難點

重點：二項式定理的發(fā)現(xiàn)、理解和初步應用及通項公式 難點：展開式中某一項的二項式系數(shù)與該項的系數(shù)的區(qū)別

三、教學過程

創(chuàng)設問題情境：

今天是星期三，15天后星期幾，30天后星期幾，8100天后星期幾呢？

前面幾個問題全班所有學生都大聲地回答出來了，最后一個問題大家都很迷惑，有些學生試圖用計算器算，還是覺得很復雜，學習完這節(jié)課我們就知道答案了，并且我們不用查日歷就能知道未來任何一天是星期幾

新課講解：

問題

1?a?b?d??c?的展開式有多少項？有無同類項可以合并？

由于這一節(jié)是在學生學習了兩個計數(shù)原理和排列組合知識之后學習的，所以學生能夠快速的說出答案。

問題

2?a?b??b的?a?b?原始展開式有多少項？有幾項是同類項？項是怎樣構(gòu)成??a的？有規(guī)律嗎？

學生根據(jù)乘法展開式也很快得出結(jié)論 問題

3?a?b???b?a??a2b?a?b??的3原始展開式有多少項？經(jīng)合并后又只能有幾項？是哪幾項？

學生仍然根據(jù)乘法公式算出了答案 問題

4?a?b???b?a??a??b?a?的b?a?b?的原始展開式有多少項？

44問題

5你能準確快速地寫出?a?b?的原始展開式的16項嗎？經(jīng)合并后，又只能有哪幾項？

此時，學生能說出其中的一兩項，并不能全部回答出來所有的項，思維覺察到麻煩，困難，易出錯——借此“憤悱”之境，有效的實現(xiàn)思維的烘熱）

啟發(fā)類比：4個袋中有紅球a，白球b各一個，每次從4個袋子中各取一個球，有什么樣的取法？各種取法有多少種？ 在4個括號（袋子）中 問題6

其個數(shù)，為何恰好應為該項的系數(shù)？

n?rr問題7 ?a?b?在合并后的展開式中，ab的系數(shù)應該是多少？有理由嗎？ n問題8

那么，該如何將?a?b?輕松、清晰地展開？請同學們歸納猜想 學生們快速地說出

n?a?b?n0n1n?1n2n?22kn?kknn?Cna?Cnab?Cnab???Cnab???Cnb?n?N*?

我們數(shù)學講究邏輯地嚴密性和知識的嚴謹性，大家猜想地很正確，那么我們怎么來證明呢？

思路：證明中主要運用了計數(shù)原理！

① 展開式中為什么會有那幾種類型的項？

?a?b?n是n個?a?b?相乘，展開式中的每一項都是從這n個?a?b?中各任取一個字母相

n?k乘得到的，每一項都是n次的。故每一項都是a② 展開式中各項的系數(shù)是怎么來的？

bk的形式，k?0,1,2,?,n

kan?kbk是從n個?a?b?中取k個b，和余下n?k個a相乘得到的，有Cn種情況可以得到

kan?kbk，因此，該項的系數(shù)為Cn

定義：一般地，對于任意正整數(shù)n，上面的關(guān)系式也成立，即有

?a?b?n0n1n?1n2n?22kn?kknn?Cna?Cnab?Cnab???Cnab???Cnb?n?N*?

n注：（1）公式左邊叫做二項式，右邊叫做?a?b?的二項展開式

（2）定理中的a,b僅僅是一種符號，它可以是任意的數(shù)或式子什么的，只要是兩項相加的n次冪，就能用二項式定理展開

例：把b換成?b，則

?a?b?n0n1n?1n2n?22kn?kknn?Cna?Cnab?Cnab?????1?Cnab?????1?Cnb?n?N*?

kn練習：令a?1,b?x，則

?1?x?n01122kknn?Cn?Cnx?Cnx???Cnx???Cnx?n?N*?

問題9 二項式定理展開式中項數(shù)、指數(shù)、系數(shù)特點是什么？哪一項最有代表性

公式特征：

（1）項數(shù)：共有n?1項

（2）指數(shù)規(guī)律：

① 各項的次數(shù)都等于二項式的系數(shù)n（關(guān)于a與b的齊次多項式）

② 字母a按降冪排列，次數(shù)由n遞減到0；字母b按升冪排列，次數(shù)由0遞增到n

kn?kk（3）二項式展開式的通項：Tk?1?Cnab，k?0,1,2,?,n

012knk（4）二項式系數(shù)：依次為Cn。這里Cn（k?0,1,2,?,n）稱為二,Cn,Cn,?Cn?,Cn項式系數(shù)

現(xiàn)在同學們能告訴老師8100天后星期幾嗎？

思考了一會兒，馬上有同學大聲喊：把8寫成7+1，再進行展開，余數(shù)是多少，就是星期幾 老師故意問：為什么要寫成7+1，這時，所有學生都明白了，因為一個星期7天，所以

n8100??7?1?展開式中除了最后一項外，其余的項都是7的倍數(shù)，因此余數(shù)為Cn?1，故100應為星期四。

1??例

1求?2x??的展開式

x??方法一：直接展開

1???1技巧：將根式先化成冪的形式，再進行計算，要簡單很多。即原式變成?2x2?x2?

??66方法二：先合并化簡，再展開

建議用第二種方法簡單些。

變式一：展開式中的常數(shù)項是多少？ 變式二：展開式中的第3項是多少？

變式三：展開式中的第3項的系數(shù)是多少？ 變式四：展開式中的第3項二項式系數(shù)是多少？

注意：二項式系數(shù)和系數(shù)是兩個不同的概念，二項式系數(shù)就是一個組合數(shù)，與a,b無關(guān)；系數(shù)與a,b有關(guān)。

例

2（1）求(1?2x)7的展開式的第4項的系數(shù)和第4項的二項式系數(shù)

1??

3（2）?x??的展開式中x的系數(shù)和中間項

x??例3

求(x?a)12的展開式中的倒數(shù)第4項 小結(jié)：（1）注意二項式定理中二項展開式的特征

（2）區(qū)別二項式系數(shù)、項的系數(shù)

（3）掌握用通項公式求二項式系數(shù)、項的系數(shù)及項。作業(yè)：P37 4，5 教學反思：本節(jié)課先用今天星期幾的問題創(chuàng)設問題情境，一下子把全班學生的學習積極性都調(diào)動起來了，當大家不知道老師葫蘆里賣的什么藥時，老師由淺入深的提問，最后問到81009天后星期幾，從而引出今天的課題：二項式定理。給大家設置這個懸念后，緊接著又進行一系列的問題教學，讓學生自己去探究去回答，最后學生之間合作交流歸納猜想出二項式定理的展開式，整個過程順理成章地完成。