第一篇：數(shù)學(xué)校本課程教案

生活中的立體幾何教案

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、在所學(xué)立體幾何的基礎(chǔ)上研究兩個相連立方體的展開圖。

2、通過這節(jié)學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生動手操作能力，以及學(xué)生的空間想象能力。重點：兩個相連立方體的展開圖。難點：其他幾何體的展開圖。學(xué)習(xí)過程：

1、折疊問題巧解決 :

圖1 一名紙盒制造商要求設(shè)計師設(shè)計一種適當(dāng)?shù)募埌?，使得該紙板折疊以后可隔成兩個立方體，且這兩個正方體上方各有一個蓋子。

有很多種設(shè)計可符合此要求，但是最后制造商決定采用如上圖所示的“十”字形紙板。

根據(jù)設(shè)計師的說法，只要將紙板裁兩刀，就可折疊出所需要的盒子，到底該從何著手？

解答與分析 :順著圖中的粗線將紙盒剪開，再沿著虛線處將A與B兩塊粘合，形成盒子的中央分隔部位，并使兩片蓋子可以以此為底軸任意開關(guān)。接下來便可很輕易地折出題目所要求的盒子。

解題的關(guān)鍵在于兩片蓋子的底軸位于同一處。當(dāng)這個關(guān)鍵問題解決之后，要找出符合要求的設(shè)計并不難。在大部分的設(shè)計中，此答案是最理想的。

圖2

2、辛賽的奧妙:

1982年，有一種稱為“辛賽的奧妙”(Shinsei Mystery)的數(shù)學(xué)玩具上市，它是由兩個相同的部分組成的，每一部分又是由8個互相連接的多面體構(gòu)成。它可以組合成許多奇妙的形狀，其中包括立方體和12個頂點的星狀體。

這個模型的基礎(chǔ)是半個立方體(如圖1)，可以把它看成是3個角錐體(6個這樣的角錐體構(gòu)成立方體)，向內(nèi)折使其頂點會合于立方體的中心。這個半立方體的展開圖見圖2。展開圖中有一個三角形的面出現(xiàn)兩次，可以粘合在一起，以增加強(qiáng)度。

“辛賽的奧妙”每一半都有8個這樣的半立方體，彼此以巧妙的方式連接在一起。它可以疊成如圖3所示有12個頂點的星狀體。為了說明連接的方法，我們可以把星狀體水平分成兩半，再把相同的兩半并排在一起，用比較平面的方式表現(xiàn)。

圖4 圖4是由上方俯視的示意圖，A、B、C對應(yīng)于立方體展開圖(圖2)的標(biāo)示。將8個半立方體的底面DEF按圖所示置于平面上，并用膠帶紙粘貼?，F(xiàn)在你也擁有一個奇妙的模型了，任何把玩它的人都會覺得趣味盎然。用不同顏色的紙板再做一個相同的模型，你會發(fā)現(xiàn)它們可以組合在一起，而且可以使其中一個消失在另一個之中。

三維立體問題:我們通常都可以從二維的圖畫中看出所要表現(xiàn)的三維物體，識圖與繪圖的訓(xùn)練，可以培養(yǎng)我們的空間觀念。然而，就像這里所示的一些圖畫，二維的圖畫也可以在視覺上創(chuàng)造出不可能的事物。在第一張圖中，到底是2根還是3根木栓？階梯是否可以自己相連？你是否能用3根木條做出圖上的三角形？

關(guān)于視覺的認(rèn)知，可能心理學(xué)家要比數(shù)學(xué)家研究得更多一些，但數(shù)學(xué)家也經(jīng)常使用二維圖形作為思考空間問題的參考，因此必須對二維圖形的缺點有所了解。

荷蘭藝術(shù)家埃舍爾(M.C.Escher)在繪畫上運用視錯覺的原理，創(chuàng)造出許多不可能的世界。你可以參閱《埃舍爾繪畫作品》(The Graphic Work of M.C.Escher)一書中的一些圖畫。

作業(yè)：注意并收集那些會欺騙你眼睛的圖畫。

第二篇：數(shù)學(xué)史話校本課程教案

數(shù) 學(xué) 史 話

教 案

長樂二中

鄭艷陽

陳云珍

第1章 數(shù)學(xué)史話概述

課時：2課時

教學(xué)目標(biāo)：了解數(shù)學(xué)發(fā)展的背景，理解重要數(shù)學(xué)事件對數(shù)學(xué)尿的意義。教學(xué)方式：閱讀史料、討論思考、感悟總結(jié) 主題：

數(shù)學(xué)發(fā)展的顯著變化

知識理解：

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。簡單地說，就是研究數(shù)和形的科學(xué)。

由于生活和勞動上的需求，即使是最原始的民族，也知道簡單的計數(shù)，并由用手指或?qū)嵨镉嫈?shù)發(fā)展到用數(shù)字計數(shù)。在中國，最遲在商代，即已出現(xiàn)用十進(jìn)制數(shù)字表示大數(shù)的方法；至秦漢之際，即已出現(xiàn)完滿的十進(jìn)位制。在 不晚于公元一世紀(jì)的《九章算術(shù)》中，已載了只有位值制才有可能進(jìn)行的開平方、開立方的計算法則，并載有分?jǐn)?shù)的各種運算以及解線性聯(lián)立方程組的方法，還引入了負(fù)數(shù)概念。

劉徽在他注解的《九章算術(shù)》中，還提出過用十進(jìn)制小數(shù)表示無理數(shù)平方根的奇零部分，但直至唐宋時期(歐洲則在16世紀(jì)斯蒂文以后)十進(jìn)制小數(shù)才獲通用。在這本著作中，劉徽又用圓內(nèi)接正多邊形的周長逼近圓周長，成為后世求圓周率 的一般方法。

雖然中國從來沒有過無理數(shù)或?qū)崝?shù)的一般概念，但在實質(zhì)上，那時中國已完成了實數(shù)系統(tǒng)的一切運算法則與方法，這不僅在應(yīng)用上不可缺，也為數(shù)學(xué)初期教育所不可少。至于繼承了巴比倫、埃及、希臘文化的歐洲地區(qū)，則偏重于數(shù)的性質(zhì)及這些性質(zhì)間的邏輯關(guān)系的研究。早在歐幾里得的《幾何原本》中，即有素數(shù)的概念和素數(shù)個數(shù)無窮及整數(shù)惟一分解等論斷。古希臘發(fā)現(xiàn)了有非分?jǐn)?shù)的數(shù)，即現(xiàn)稱的無理數(shù)。16世紀(jì)以來，由于解高次方程又出現(xiàn)了復(fù)數(shù)。在近代，數(shù)的概念更進(jìn)一步抽象化，并依據(jù)數(shù)的不同運算規(guī)律，對一般的數(shù)系統(tǒng)進(jìn)行了獨立的理論探討，形成數(shù)學(xué)中的若干不同分支。開平方和開立方是解最簡單的高次方程所必須用到的運算。在《九章算術(shù)》中，已出現(xiàn)解某種特殊形式的二次方程。發(fā)展至宋元時代，引進(jìn)了“天元”(即未知數(shù))的明確觀念，出現(xiàn)了求高次方程數(shù)值解與求多至四個未知數(shù)的高次代數(shù)聯(lián)立方程組的解的方法，通稱為天元術(shù)與四元術(shù)。與之相伴出現(xiàn)的多項式的表達(dá)、運算法則以及消去方法，已接近于近世的代數(shù)學(xué)。

在中國以外，九世紀(jì)阿拉伯的花拉米子的著作闡述了二次方程的解法，通常被視為代數(shù)學(xué)的鼻祖，其解法實質(zhì)上與中國古代依賴于切割術(shù)的幾何方法具有同一風(fēng)格。中國古代數(shù)學(xué)致力于方程的具體求解，而源于古希臘、2 埃及傳統(tǒng)的歐洲數(shù)學(xué)則不同，一般致力于探究方程解的性質(zhì)。

16世紀(jì)時，韋達(dá)以文字代替方程系數(shù)，引入了代數(shù)的符號演算。對代數(shù)方程解的性質(zhì)進(jìn)行探討，是從線性方程組引出的行列式、矩陣、線性空間、線性變換等概念與理論的出現(xiàn)；從代數(shù)方程導(dǎo)致復(fù)數(shù)、對稱函數(shù)等概念的引入以至伽羅華理論與群論的創(chuàng)立。而近代極為活躍的代數(shù)幾何，則無非是高次聯(lián)立代數(shù)方程組解所構(gòu)成的集合的理論研究。

早在歐幾里得的《幾何原本》中，即有素數(shù)的概念和素數(shù)個數(shù)無窮及整數(shù)惟一分解等論斷。古希臘發(fā)現(xiàn)了有非分?jǐn)?shù)的數(shù)，即現(xiàn)稱的無理數(shù)。16世紀(jì)以來，由于解高次方程又出現(xiàn)了復(fù)數(shù)。在近代，數(shù)的概念更進(jìn)一步抽象化，并依據(jù)數(shù)的不同運算規(guī)律，對一般的數(shù)系統(tǒng)進(jìn)行了獨立的理論探討，形成數(shù)學(xué)中的若干不同分支。

開平方和開立方是解最簡單的高次方程所必須用到的運算。在《九章算術(shù)》中，已出現(xiàn)解某種特殊形式的二次方程。發(fā)展至宋元時代，引進(jìn)了“天元”(即未知數(shù))的明確觀念，出現(xiàn)了求高次方程數(shù)值解與求多至四個未知數(shù)的高次代數(shù)聯(lián)立方程組的解的方法，通稱為天元術(shù)與四元術(shù)。與之相伴出現(xiàn)的多項式的表達(dá)、運算法則以及消去方法，已接近于近世的代數(shù)學(xué)。

在中國以外，九世紀(jì)阿拉伯的花拉米子的著作闡述了二次方程的解法，通常被視為代數(shù)學(xué)的鼻祖，其解法實質(zhì)上與中國古代依賴于切割術(shù)的幾何方法具有同一風(fēng)

第2章 中國數(shù)學(xué)史

課時：2課時

教學(xué)目標(biāo)：了解解析數(shù)學(xué)發(fā)展的背景，理解重要數(shù)學(xué)事件的意義。教學(xué)方式：閱讀史料、討論思考、感悟總結(jié) 主題：

中國數(shù)學(xué)顯著變化

過程：數(shù)學(xué)是中國古代科學(xué)中一門重要的學(xué)科，根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)發(fā)展的特點，可以分為五個時期：萌芽；體系的形成；發(fā)展；繁榮和中西方數(shù)學(xué)的融合。

中國古代數(shù)學(xué)的萌芽

原始公社末期，私有制和貨物交換產(chǎn)生以后，數(shù)與形的概念有了進(jìn)一步的發(fā)展，仰韶文化時期出土的陶器，上面已刻有表示1234的符號。到原始公社末期，已開始用文字符號取代結(jié)繩記事了。

西安半坡出土的陶器有用1～8個圓點組成的等邊三角形和分正方形為100個小正方形的圖案，半坡遺址的房屋基址都是圓形和方形。為了畫圓作方，確定平直，人們還創(chuàng)造了規(guī)、矩、準(zhǔn)、繩等作圖與測量工具。據(jù)《史記·夏本紀(jì)》記載，夏禹治水時已使用了這些工具。

商代中期，在甲骨文中已產(chǎn)生一套十進(jìn)制數(shù)字和記數(shù)法，其中最大的數(shù)字為三萬；與此同時，殷人用十個天干和十二個地支組成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60個名稱來記60天的日期；在周 代，又把以前用陰、陽符號構(gòu)成的八卦表示八種事物發(fā)展為六十四卦，表示64種事物。

公元前一世紀(jì)的《周髀算經(jīng)》提到西周初期用矩測量高、深、廣、遠(yuǎn)的方法，并舉出勾股形的勾

三、股

四、弦五以及環(huán)矩可以為圓等例子?！抖Y記·內(nèi)則》篇提到西周貴族子弟從九歲開始便要學(xué)習(xí)數(shù)目和記數(shù)方法，他們要受禮、樂、射、馭、書、數(shù)的訓(xùn)練，作為“六藝”之一的數(shù)已經(jīng)開始成為專門的課程。

春秋戰(zhàn)國之際，籌算已得到普遍的應(yīng)用，籌算記數(shù)法已使用十進(jìn)位值制，這種記數(shù)法對世界數(shù)學(xué)的發(fā)展是有劃時代意義的。這個時期的測量數(shù)學(xué)在生產(chǎn)上有了廣泛應(yīng)用，在數(shù)學(xué)上亦有相應(yīng)的提高。

戰(zhàn)國時期的百家爭鳴也促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，尤其是對于正名和一些命題的爭論直接與數(shù)學(xué)有關(guān)。名家認(rèn)為經(jīng)過抽象以后的名詞概念與它們原來的實體不同，他們提出“矩不方，規(guī)不可以為圓”，把“大一”(無窮大)定義為“至大無外”，“小一”(無窮小)定義為“至小無內(nèi)”。還提出了“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”等命題.而墨家則認(rèn)為名來源于物，名可以從不同方面和不同深度反映物。墨家給出一些數(shù)學(xué)定義。例如圓、方、平、直、次(相切)、端(點)等等。

墨家不同意“一尺之棰”的命題，提出一個“非半”的命題來進(jìn)行反駁：將一線段按一半一半地?zé)o限分割下去，就必將出現(xiàn)一個不能再分割的“非半”，這個“非半”就是點。

名家的命題論述了有限長度可分割成一個無窮序列，墨家的命題則指出了這種無限分割的變化和結(jié)果。名家和墨家的數(shù)學(xué)定義和數(shù)學(xué)命題的討論，對中國古代數(shù)學(xué)理論的發(fā)展是很有意義的。

中國古代數(shù)學(xué)體系的形成

第3章 古希臘數(shù)學(xué)

課時：2課時

教學(xué)目標(biāo)：了解解析數(shù)學(xué)發(fā)展的背景，理解重要數(shù)學(xué)事件的意義。教學(xué)方式：閱讀史料、討論思考、感悟總結(jié) 主題：

希臘數(shù)學(xué)顯著變化

3．古 希 臘 數(shù) 學(xué)

古希臘的地理范圍，除了現(xiàn)在的希臘半島外，還包括整個愛琴海區(qū)域和北面的馬其頓和色雷斯、意大利半島和小亞細(xì)亞等地。公元前5、6世紀(jì)，特別是希、波戰(zhàn)爭以后，雅典取得希臘城邦的領(lǐng)導(dǎo)地位，經(jīng)濟(jì)生活高度繁榮，生產(chǎn)力顯著提高，在這個基礎(chǔ)上產(chǎn)生了光輝燦爛的希臘文化，對后世有深遠(yuǎn)的影響。

希臘數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史可以分為三個時期。第一期從伊奧尼亞學(xué)派到柏拉圖學(xué)派為止，約為公元前七世紀(jì)中葉到公元前三世紀(jì)；第二期是亞歷山大前期，從歐幾里得起到公元前146年，希臘陷于羅馬為止；第三期是亞歷山大后期，是羅馬人統(tǒng)治下的時期，結(jié)束于641年亞歷山大被阿拉伯人占領(lǐng)。

從古代埃及、巴比倫的衰亡，到希臘文化的昌盛，這過渡時期留下來的數(shù)學(xué)史料很少。不過希臘數(shù)學(xué)的興起和希臘商人通過旅行交往接觸到古代東方的文化有密切關(guān)系。

伊奧尼亞位于小亞細(xì)亞西岸，它比希臘其他地區(qū)更容易吸收巴比倫、埃及等古國積累下來的經(jīng)驗和文化。在伊奧尼亞，氏族貴族政治為商人的統(tǒng)治所代替，商人具有強(qiáng)烈的活動性，有利于思想自由而大膽地發(fā)展。城邦內(nèi)部的斗爭，幫助擺脫傳統(tǒng)信念在希臘沒有特殊的祭司階層，也沒有必須遵守的教條，因此有相當(dāng)程度的思想自由。這大大有助于科學(xué)和哲學(xué)從宗教分離開來。

米利都是伊奧尼亞的最大城市，也是泰勒斯的故鄉(xiāng)，泰勒斯是公認(rèn)的希臘哲學(xué)鼻祖。早年是一個商人，曾游訪巴比倫、埃及等地，很快就學(xué)會古代流傳下來的知識，并加以發(fā)揚。以后創(chuàng)立伊奧尼亞哲學(xué)學(xué)派，擺脫宗教，從自然現(xiàn)象中去尋找真理，以水為萬物的根源。

當(dāng)時天文、數(shù)學(xué)和哲學(xué)是不可分的，泰勒斯同時也研究天文和數(shù)學(xué)。他曾預(yù)測一次日食，促使米太(在今黑海、里海之南)、呂底亞(今土耳其西部)兩國停止戰(zhàn)爭，多數(shù)學(xué)者認(rèn)為該次日食發(fā)生在公元前585年5月28日。他在埃及時曾利用日影及比例關(guān)系算出金字塔的高，使法老大為驚訝。

泰勒斯在數(shù)學(xué)方面的貢獻(xiàn)是開始了命題的證明，它標(biāo)志著人們對客觀事物的認(rèn)識從感性上升到理性，這在數(shù)學(xué)史上是一個不尋常的飛躍。伊奧尼亞學(xué)派的著名學(xué)者還有阿納克西曼德和阿納克西米尼等。他們對后來的畢達(dá)哥拉斯有很大的影響。

畢達(dá)哥拉斯公元前580年左右生于薩摩斯，為了擺脫暴政，移居意大利半島南部的克羅頓。在那里組織一個政治、宗教、哲學(xué)、數(shù)學(xué)合一的秘密團(tuán)體。后來在政治斗爭中遭到破壞，畢達(dá)哥拉斯被殺害，但他的學(xué)派還繼續(xù)存在兩個世紀(jì)之久。

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派企圖用數(shù)來解釋一切，不僅僅認(rèn)為萬物都包含數(shù)，而且說萬物都是數(shù)。他們以發(fā)現(xiàn)勾股定理(西方叫做畢達(dá)哥拉斯定理)聞名于世，又由此導(dǎo)致不可通約量的發(fā)現(xiàn)。

這個學(xué)派還有一個特點，就是將算術(shù)和幾何緊密聯(lián)系起來。他們找到用三個正整數(shù)表示直角三角形三邊長的一種公式，又注意到從 1起連續(xù)的奇數(shù)和必為平方數(shù)等等，這既是算術(shù)問題，又和幾何有關(guān)，他們還發(fā)現(xiàn)五種正多面體。

伊奧尼亞學(xué)派和畢達(dá)哥拉斯學(xué)派有顯著的不同。前者研習(xí)數(shù)學(xué)并不單純?yōu)榱苏軐W(xué)的興趣，同時也為了實用。而后者卻不注重實際應(yīng)用，將數(shù)學(xué)和宗教聯(lián)系起來，想通過數(shù)學(xué)去探索永恒的真理。

公元前五世紀(jì)，雅典成為人文薈萃的中心，人們崇尚公開的精神。在公開的討論或辯論中，必須具有雄辯、修辭、哲學(xué)及數(shù)學(xué)等知識，于是“智人學(xué)派”應(yīng)運而生。他們以教授文法、邏輯、數(shù)學(xué)、天文、修辭、雄辯等科目為業(yè)。在數(shù)學(xué)上，他們提出“三大問題”：三等分任意角；倍立方，求作一立方體，使其體積是已知立方體的二 5 倍；化圓為方，求作一正方形，使其面積等于一已知圓。這些問題的難處，是作圖只許用直尺(沒有刻度的尺)和圓規(guī)。

希臘人的興趣并不在于圖形的實際作出，而是在尺規(guī)的限制下從理論上去解決這些問題，這是幾何學(xué)從實際應(yīng)用向系統(tǒng)理論過渡所邁出的重要的一步。

這個學(xué)派的安提豐提出用“窮竭法”去解決化圓為方問題，這是近代極限理論的雛形。先作圓內(nèi)接正方形，以后每次邊數(shù)加倍，得8、16、32、?邊形。安提豐深信“最后”的多邊形與圓的“差”必會“窮竭”。這提供了求圓面積的近似方法，和中國的劉徽的割圓術(shù)思想不謀而合。

公元前三世紀(jì)，柏拉圖在雅典建立學(xué)派，創(chuàng)辦學(xué)園。他非常重視數(shù)學(xué)，但片面強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)在訓(xùn)練智力方面的作用，而忽視其實用價值。他主張通過幾何的學(xué)習(xí)培養(yǎng)邏輯思維能力，因為幾何能給人以強(qiáng)烈的直觀印象，將抽象的邏輯規(guī)律體現(xiàn)在具體的圖形之中。

這個學(xué)派培養(yǎng)出不少數(shù)學(xué)家，如歐多克索斯就曾就學(xué)于柏拉圖，他創(chuàng)立了比例論，是歐幾里得的前驅(qū)。柏拉圖的學(xué)生亞里士多德也是古代的大哲學(xué)家，是形式邏輯的奠基者。他的邏輯思想為日后將幾何學(xué)整理在嚴(yán)密的邏輯體系之中開辟了道路。

這個時期的希臘數(shù)學(xué)中心還有以芝諾為代表的埃利亞學(xué)派，他提出四個悖論，給學(xué)術(shù)界以極大的震動。這四個悖論是：

二分說，一物從甲地到乙地，永遠(yuǎn)不能到達(dá)。因為想從甲到乙，首先要通過道路的一半，但要通過這一半，必須先通過一半的一半，這樣分下去，永無止境。結(jié)論是此物的運動被道路的無限分割阻礙著，根本不能前進(jìn)一步；阿基琉斯(善跑英雄)追龜說，阿基琉斯追烏龜，永遠(yuǎn)追不上。因為當(dāng)他追到烏龜?shù)某霭l(fā)點時，龜已向前爬行了一段，他再追完這一段，龜又向前爬了一小段。這樣永遠(yuǎn)重復(fù)下去，總也追不上；飛箭靜止說，每一瞬間箭總在一個確定的位置上，因此它是不動的；運動場問題，芝諾論證了時間和它的一半相等。

以德謨克利特為代表的原子論學(xué)派，認(rèn)為線段、面積和立體，是由許多不可再分的原子所構(gòu)成。計算面積和體積，等于將這些原子集合起來。這種不甚嚴(yán)格的推理方法卻是古代數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)新結(jié)果的重要線索。

第4章 埃及數(shù)學(xué)

課時：2課時

教學(xué)目標(biāo)：了解解析數(shù)學(xué)發(fā)展的背景，理解重要數(shù)學(xué)事件的意義。教學(xué)方式：閱讀史料、討論思考、感悟總結(jié) 主題：

埃及數(shù)學(xué)顯著變化

4、埃及古代數(shù)學(xué)

埃及是世界上文化發(fā)達(dá)最早的幾個地區(qū)之一，位于尼羅河兩岸，公元前3200年 6 左右，形成一個統(tǒng)一的國家。尼羅河定期泛濫，淹沒全部谷地，水退后，要重新丈量居民的耕地面積。由于這種需要，多年積累起來的測地知識便逐漸發(fā)展成為幾何學(xué)。

公元前2900年以后，埃及人建造了許多金字塔，作為法老的墳?zāi)?。從金字塔的結(jié)構(gòu)，可知當(dāng)時埃及人已懂得不少天文和幾何的知識。

例如基底直角的誤差與底面正方形兩邊同正北的偏差都非常小?，F(xiàn)今對古埃及數(shù)學(xué)的認(rèn)識，主要根據(jù)兩卷用僧侶文寫成的紙草書；一卷藏在倫敦，叫做萊因德紙草書，一卷藏在莫斯科。

埃及最古老的文字是象形文字，后來演變成一種較簡單的書寫體，通常叫僧侶文。除了這兩卷紙草書外，還有一些寫在羊皮上或用象形文字刻在石碑上和木頭上的史料，藏于世界各地。兩卷紙草書的年代在公元前1850～前1650年之間，相當(dāng)于中國的夏代。

埃及很早就用十進(jìn)記數(shù)法，但卻不知道位值制，每一個較高的單位是用特殊的符號來表示的。例如111，象形文字寫成三個不同的字符，而不是將 1重復(fù)三次。埃及算術(shù)主要是加法，而乘法是加法的重復(fù)。他們能解決一些一元一次方程的問題，并有等差、等比數(shù)列的初步知識。占特別重要地位的是分?jǐn)?shù)算法，即把所有分?jǐn)?shù)都化成單位分?jǐn)?shù)(即分子是1的分?jǐn)?shù))的和。萊因德紙草書用很大的篇幅來記載2/N(N從5到101)型的分?jǐn)?shù)分解成單位分?jǐn)?shù)的結(jié)果。為什么要這樣分解以及用什么方法去分解，到現(xiàn)在還是一個謎。這種繁雜的分?jǐn)?shù)算法實際上阻礙了算術(shù)的進(jìn)一步發(fā)展。

紙草書還給出圓面積的計算方法：將直徑減去它的1/9之后再平方。計算的結(jié)果相當(dāng)于用3.1605作為圓周率，不過他們并沒有圓周率這個概念。根據(jù)莫斯科紙草書，推測他們也許知道正四棱臺體積的計算方法?？傊?，古代埃及人積累了一定的實踐經(jīng)驗，但還沒有上升為系統(tǒng)的理論。

第5章 中世紀(jì)歐洲數(shù)學(xué)

課時：2課時

教學(xué)目標(biāo)：了解解析數(shù)學(xué)發(fā)展的背景，理解重要數(shù)學(xué)事件的意義。教學(xué)方式：閱讀史料、討論思考、感悟總結(jié) 主題：

中世紀(jì)歐洲數(shù)學(xué)顯著變化

5．歐洲中世紀(jì)數(shù)學(xué)

中世紀(jì)開始于公元476年西羅馬帝國滅亡，約結(jié)束于15世紀(jì)。這一千年的歷史大致可以分為兩段。十一世紀(jì)之前常稱為黑暗時代，這時西歐在基督教神學(xué)和煩瑣哲學(xué)的教條統(tǒng)治下，人們失去了思想自由，生產(chǎn)墨守成規(guī)，技術(shù)進(jìn)步緩慢，數(shù)學(xué)停滯不 7 前。十一世紀(jì)以后情況稍有好轉(zhuǎn)。

希臘文化通過羅馬人傳到中世紀(jì)的很少，這大部分體現(xiàn)在博伊西斯(約480～524)的著作中。他的《算術(shù)原理》大體上是新畢達(dá)哥拉斯學(xué)派數(shù)學(xué)家尼科馬霍斯《算術(shù)入門》的譯本，但若干精采的命題均被刪去。博伊西斯的《幾何》取材于歐幾里得《幾何原本》，但卻完全沒有證明，因為他認(rèn)為證明是多余的。

公元529年，東羅馬帝國皇帝查士丁尼勒令關(guān)閉雅典的學(xué)校，嚴(yán)禁研究和傳播數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)發(fā)展再一次受到沉重的打擊。此后數(shù)百年，值得稱道的數(shù)學(xué)家屈指可數(shù)，而且多是神職人員。

號稱博學(xué)多才的比德是英國的僧侶學(xué)者，終生在修道院度過。他的本領(lǐng)是會算復(fù)活節(jié)(每年過春分月圓后的第一個星期日)的日期，和用手指來計算。稍后的阿爾昆也是著名的英國神學(xué)家。781年左右，接受查理曼大帝的聘請，到法蘭克王國擔(dān)任宮廷教師和顧問。他所編的算術(shù)書，現(xiàn)在看來是相當(dāng)粗淺的。熱爾貝原是蘭斯的大主教，后被選為教皇，改名西爾威斯特二世。他熱心提倡學(xué)術(shù)，對推動“四藝”(音樂、幾何、算術(shù)、天文)的學(xué)習(xí)有一定的功勞。十字軍遠(yuǎn)征(1096～1291)使歐洲人接觸到阿拉伯國家所保有古代文化寶藏。

他們將大量的阿拉伯文書籍譯成拉丁文。于是希臘、印度和阿拉伯人創(chuàng)造的文化，還有中國的四大發(fā)明便傳到了歐洲。意大利地處東西方交通的要沖，逐漸成為新的經(jīng)濟(jì)和文化中心。12、13世紀(jì)歐洲數(shù)學(xué)界的代表人物是斐波那契，他向歐洲人介紹了印度-阿拉伯?dāng)?shù)碼和位值制記數(shù)法，以及各種算法在商業(yè)上的應(yīng)用。

中國的盈不足術(shù)和《孫子算經(jīng)》的不定方程解法也出現(xiàn)在斐波那契的書中。此外他還有很多獨創(chuàng)性的工作。

14世紀(jì)的法國主教奧爾斯姆引入了分指數(shù)記法和坐標(biāo)制的思想，后者是從天文、地理的 經(jīng)緯度到近代坐標(biāo)幾何的過渡。英國大主教布雷德沃丁的算術(shù)、幾何、力學(xué)的著作影響也很大。歐洲第一本系統(tǒng)的三角學(xué)作者是雷格蒙塔努斯。

文藝復(fù)興以后，人類擺脫了中世紀(jì)束縛思想的精神枷鎖，迎接了一個新時代的到來。

6、十六、十七世紀(jì)數(shù)學(xué) 16、17世紀(jì)的歐洲，漫長的中世紀(jì)已經(jīng)結(jié)束，文藝復(fù)興帶來了人們的覺醒，束縛人們思想自由發(fā)展的煩瑣哲學(xué)和神學(xué)的教條權(quán)威逐步被摧毀了。封建社會開始解體，代之而起的是資本主義社會，生產(chǎn)力大大解放。資本主義工場手工業(yè)的繁榮和向機(jī)器生產(chǎn)的過渡，促使技術(shù)科學(xué)和數(shù)學(xué)急速發(fā)展。

例如在航海方面，為了確定船只的位置，要求更加精密的天文觀測。軍事方面，彈道學(xué)成為研究的中心課題。準(zhǔn)確時計的制造，運河的開鑿，堤壩的修筑，行星的橢圓軌道理論等等，也都需要很多復(fù)雜的計算。古希臘以來的初等數(shù)學(xué)，已漸漸不能滿足當(dāng)時的需要了。

在科學(xué)史上，這一時期出現(xiàn)了許多重大的事件，向數(shù)學(xué)提出新的課題。首先是哥白尼提出地動說，使神學(xué)的重要理論支柱的地心說發(fā)生了根本的動搖。他的弟子雷蒂庫斯見到當(dāng)時天文觀測日益精密，推算詳細(xì)的三角函數(shù)表已成為刻不容緩的事，于是開始制作每隔10"的正弦、正切及正割表。當(dāng)時全憑手算，雷蒂庫斯和他的助手勤奮 8 工作達(dá)12年之久，直到死后才由他的弟子奧托完成。

16世紀(jì)下半葉，丹麥天文學(xué)家第谷進(jìn)行了大量精密的天文觀測，在這個基礎(chǔ)上，德國天文學(xué)家開普勒總結(jié)出行星運動的三大定律，導(dǎo)致后來牛頓萬有引力的發(fā)現(xiàn)。

開普勒的《酒桶的新立體幾何》將酒桶看作由無數(shù)的圓薄片累積而成，從而求出其體積。這是積分學(xué)的前驅(qū)工作。

意大利科學(xué)家伽利略主張自然科學(xué)研究必須進(jìn)行系統(tǒng)的觀察與實驗，充分利用數(shù)學(xué)工具去探索大自然的奧秘。這些觀點對科學(xué)(特別是物理和數(shù)學(xué))的發(fā)展有巨大的影響。他的學(xué)生卡瓦列里創(chuàng)立了“不可分原理”。依靠這個原理他解決了許多現(xiàn)在可以用更嚴(yán)格的積分法解決的問題?！安豢煞帧钡乃枷朊妊坑?620年，深受開普勒和伽利略的影響，是希臘歐多克索斯的窮竭法到牛頓、萊布尼茨微積分的過渡。

第6章 解析幾何的誕生

課時：2課時

教學(xué)目標(biāo)：了解解析幾何發(fā)展的背景，理解重要數(shù)學(xué)事件對解析幾何的意義。

教學(xué)方式：閱讀史料、討論思考、感悟總結(jié) 主題：

解析幾何發(fā)展的顯著變化

知識理解： 線索問題： 斐波那契的主要數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)及其意義是什么？ 2在三四次方程求解方面哪些數(shù)學(xué)家作出了貢獻(xiàn)？ 3 代數(shù)符號化的發(fā)展過程是怎樣的及有哪些代表人物？ 4 歐洲三角學(xué)的發(fā)展過程中哪些主要人物作出了貢獻(xiàn)？ 5 射影幾何的發(fā)展過程及其代表人物是什么？ 6 對數(shù)的發(fā)明及其代表人物是什么？ 7 解析幾何的誕生及其意義？ 概述：

本章概括介紹在向近代數(shù)學(xué)過渡時期的歷史背景和幾個領(lǐng)域的數(shù)學(xué)發(fā)展，重點介紹了在代數(shù)、射影幾何、對數(shù)和解析幾何等方面的發(fā)展。

主要內(nèi)容： 一 中世紀(jì)歐洲數(shù)學(xué)

中世紀(jì)的歐洲，公元5世紀(jì)－11世紀(jì)，天主教會成為歐洲社會的絕對勢力，歐洲文明在整個中世紀(jì)處于停滯狀態(tài)。

12世紀(jì)，歐洲是翻譯的時代，因此數(shù)學(xué)開始復(fù)蘇。斐波那契（1170－1250）：《算經(jīng)》，斐波那契數(shù)列。

數(shù)學(xué)的發(fā)展與科學(xué)的革新緊密結(jié)合在一起，直到15、16世紀(jì)文藝復(fù)興的高潮中，數(shù)學(xué)才真正復(fù)蘇。

二 文藝復(fù)興時期的歐洲數(shù)學(xué)的發(fā)展

（一）代數(shù)學(xué)：三次、四次方程的求解與符號代數(shù)是兩個主要的成就。1 三、四次方程的求解和有關(guān)代數(shù)方程理論的探索（1）三次方程的根式解：

費羅（1465－1520）1515年發(fā)現(xiàn)那形如x3?mx?n(m,n?0)的三次方程的代數(shù)解法；

塔塔尼亞發(fā)現(xiàn)形如x3?mx2?n(m,n?0)的解法。

卡爾丹（1501－1576）將塔氏方法推廣到一般情形的三次方程，并補(bǔ)充了幾何證明。（1545年出版《大法》（Ars Magna））

費拉里（卡爾丹學(xué)生）解決那一般的四次方程ax4?bx3?cx2?dx?e?0求解，不久也被寫入《大法》中。

（2）復(fù)數(shù)引進(jìn)：卡爾丹遇“不可約”，邦貝利引進(jìn)虛數(shù)。（3）代數(shù)基本定理：吉拉德推斷，18C高斯最早證明（4）根與系數(shù)的關(guān)系：卡爾丹、韋達(dá)、牛頓、格列高里（5）因式分解定理：韋達(dá) 2 符號化的發(fā)展

過程：韋達(dá)引進(jìn)，吉拉德、奧特雷德繼承、韋達(dá)改進(jìn)

意義：韋達(dá)系統(tǒng)地引入數(shù)學(xué)符號，數(shù)學(xué)符號體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的高度抽象與簡練，從而導(dǎo)致了代數(shù)性質(zhì)上產(chǎn)生重大變革。他把符號代數(shù)稱作“類的算術(shù)”，代數(shù)成為研究一般類型的形式和方程的學(xué)問，因其抽象而應(yīng)用廣泛。

（二）三角學(xué)的發(fā)展 1 精確正弦表：波伊爾巴赫

2將三角學(xué)獨立天文學(xué)：雷格蒙塔努斯

3 系統(tǒng)化：韋達(dá)

（三）射影幾何的發(fā)展 透視學(xué)：阿爾貝蒂《論繪畫》（1511），數(shù)學(xué)透視法； 射影幾何：德沙格（1591－1661），從數(shù)學(xué)上直接給予解答的第一個人，包含投影變換下的交比不變性質(zhì)，從對合點問題出發(fā)首次討論了調(diào)和點組的理論。帕斯卡（1623－1662），投射與取景法，帕斯卡定理。

計算技術(shù)與對數(shù)：蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾（1550－1617），發(fā)現(xiàn)了對數(shù)方法。瑞士工匠比爾吉（1552－1632）1600年耶獨立地發(fā)明了對數(shù)方法簡化天文計算。

解析幾何：近代數(shù)學(xué)本質(zhì)上可以說是變量數(shù)學(xué)。16世紀(jì)，對運動與變化的研究已變成自然科學(xué)的中心問題。變量數(shù)學(xué)的第一個里程碑就是解析幾何的發(fā)明，其基本思想是在平面上引進(jìn)“坐標(biāo)”運算，點與實數(shù)對對應(yīng)，方程與曲線對應(yīng)，將幾何問題化為代數(shù)問題。解析幾何的前驅(qū)是法國數(shù)學(xué)家奧雷斯姆（1323－1382），《論形態(tài)幅度》，解析幾何的真正發(fā)明者還要歸功于法國另外兩位數(shù)學(xué)家笛卡兒合費馬，他們出發(fā)點不同，但殊途同歸。

笛卡兒（1596－1650）：1637發(fā)明解析幾何，出發(fā)點是一個著名的希臘問題——帕波斯問題。笛卡兒提出了一系列新穎想法，和方法論原則，提出“通用數(shù)學(xué)的思路”：任何問題——數(shù)學(xué)問題——代數(shù)問題——方程求解。

費馬：費馬的出發(fā)點是竭力恢復(fù)失傳的阿波羅尼奧斯的著作，《論平面軌跡》。

第7章 十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)

課時：2課時

教學(xué)目標(biāo)：了解解析十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)的背景，理解重要數(shù)學(xué)事件對解析幾何的意義。

教學(xué)方式：閱讀史料、討論思考、感悟總結(jié) 主題：十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)

7、十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)

將微積分學(xué)深入發(fā)展，是十八世紀(jì)數(shù)學(xué)的主流。這種發(fā)展是與廣泛的應(yīng)用緊密交織在一起的，并且刺激和推動了許多新分支的產(chǎn)生，使數(shù)學(xué)分析形成了在觀念和方法上都具有鮮明特點的獨立的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。在十八世紀(jì)特別是后期，數(shù)學(xué)研究活動和數(shù)學(xué)教育方式也發(fā)生了變革。這一切使十八世紀(jì)成為向現(xiàn)代數(shù)學(xué)過渡的重要時期。

微積分學(xué)的發(fā)展

在十八世紀(jì)，無限小算法的推廣，在英國和歐洲大陸國家是循著不同的路線進(jìn)行 11 的。不列顛數(shù)學(xué)家們在劍橋、牛津、倫敦、愛丁堡等著名的大學(xué)里傳授和研究牛頓的流數(shù)術(shù)，代表人有科茨、泰勒、麥克勞林、棣莫弗和斯特林等。

泰勒發(fā)現(xiàn)的著名公式使人們有可能通過冪級數(shù)展開來研究函數(shù)；馬克勞林的《流數(shù)論》可以說是對微積分最早的系統(tǒng)處理，該書是為反駁伯克利主教《分析學(xué)家》一文而作，后者出于宗教的動機(jī)，對牛頓流數(shù)論中存在的無限小概念混亂提出了尖銳批評，引起了關(guān)于微積分基礎(chǔ)的論戰(zhàn)。

泰勒、馬克勞林之后，英國數(shù)學(xué)陷入了長期停滯、僵化的狀態(tài)。十八世紀(jì)初即已爆發(fā)的微積分發(fā)明權(quán)的爭論，滋長了不列顛數(shù)學(xué)家們濃厚的民族保守情緒，他們囿于牛頓的傳統(tǒng)，難以擺脫其迂回的幾何手法等弱點的束縛。與此相對照，在海峽的另一邊，新分析卻在萊布尼茨的后繼者們的推動下蓬勃發(fā)展起來。

推廣萊布尼茨學(xué)說的任務(wù)，主要由他的學(xué)生、瑞士巴塞爾的雅各布第一·伯努利和約翰第一·伯努利兩兄弟擔(dān)當(dāng)，而這方面最重大的進(jìn)步則是由歐拉作出的。

歐拉于1748年出版了《無窮小分析引論》，這部巨著與他隨后發(fā)表的《微分學(xué)》、《積分學(xué)》標(biāo)志著微積分歷史上的一個轉(zhuǎn)折：以往的數(shù)學(xué)家們都以曲線作為微積分的主要研究對象，而歐拉則第一次把函數(shù)放到了中心的 地位，并且是建立在函數(shù)的微分的基礎(chǔ)之上。函數(shù)概念本身正是由于歐拉等人的研究而大大豐富了。數(shù)學(xué)家們開始明確區(qū)分代數(shù)函數(shù)與超越函數(shù)、隱函數(shù)與顯函數(shù)、單值函數(shù)與多值函數(shù)等；通過一些困難積分問題的求解，諸如B函數(shù)、橢圓不定積分等一系列新的超越函數(shù)被納入函數(shù)的范疇；已有的對數(shù)、指數(shù)和三角函數(shù)的研究不僅進(jìn)一步系統(tǒng)化，而且被推廣到復(fù)數(shù)領(lǐng)域。

在十八世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們對于函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、微分、連續(xù)性和級數(shù)收斂性等概念還沒有形成統(tǒng)一的見解，他們往往不顧基礎(chǔ)問題的薄弱而大膽前進(jìn)。盡管如此，許多人對建立微積分的嚴(yán)格基礎(chǔ)仍作出了重要的嘗試。除了歐拉的函數(shù)理論外，另一位天才的分析大師拉格朗日采取了所謂“代數(shù)的途徑”。他在1797年出版的《解析函數(shù)論》一書中，主張用泰勒級數(shù)來定義導(dǎo)數(shù)，并以此作為整個微分、積分理論之出發(fā)點。

達(dá)朗貝爾則發(fā)展了牛頓的“首末比方法”，但用極限的概念代替了含糊的“最初與最終比”的說法。如果說歐拉和拉格朗日的著作引入了分析的形式化趨勢，那么，達(dá)朗貝爾則為微積分的嚴(yán)格表述提供了合理的內(nèi)核。19世紀(jì)的嚴(yán)格化運動，正是這些不同方向融會發(fā)展的結(jié)果。

數(shù)學(xué)與力學(xué)開始結(jié)合

數(shù)學(xué)同力學(xué)的有機(jī)結(jié)合，是十八世紀(jì)數(shù)學(xué)的另一個鮮明特征。這種結(jié)合，其緊密的程度為數(shù)學(xué)史上任何時期所不能比擬。幾乎所有的數(shù)學(xué)家都以巨大的熱情，致力于運用微積分新工具去解決各種物理、力學(xué)問題。

歐拉的名字同流體力學(xué)和剛體運動的基本方程聯(lián)系著；拉格朗日最享盛名的著作《分析力學(xué)》，“將力學(xué)變成了分析的一個分支”；拉普拉斯則把數(shù)學(xué)看作是研究力學(xué)天文學(xué)的工具，他的許多重要數(shù)學(xué)成果正是包含在他的五大卷《天體力學(xué)》中。

這種廣泛的應(yīng)用成為新的數(shù)學(xué)思想的源泉，而使數(shù)學(xué)本身的發(fā)展大大受惠。一系列新的數(shù)學(xué)分支在十八世紀(jì)成長起來。

達(dá)朗貝爾關(guān)于弦振動的著名研究，導(dǎo)出了弦振動方程及其最早的解，成為偏微分 12 方程論的發(fā)端。另一類重要的偏微分方程——位勢方程，主要通過對引力問題的進(jìn)一步探討而獲得。與偏微分方程相聯(lián)系的一些較為深入的理論問題也開始受到注意。

拉格朗日發(fā)展了解一階偏微分方程的一般理論；對不同類型的二階方程的研究還促使歐拉、達(dá)朗貝爾等具備了將函數(shù)展為三角級數(shù)的概念。

常微分方程的研究進(jìn)展更為迅速。三體問題、擺的運動及彈性理論等的數(shù)學(xué)描述，引出了一系列的常微分方程，其中以三體問題最為重要，二階常微分方程在其中扮演了中心角色。

數(shù)學(xué)家起先是采用各種特殊的技巧對付不同的方程，但漸漸地開始尋找?guī)毡樾缘姆椒?。這樣，歐拉推廣了約翰第一·伯努利的積分因子和常數(shù)變易法；黎卡提在以他的名字命名的非線性方程的研究中，首創(chuàng)了后來成為處理高階方程主要手段的降階法；泰勒最先引起人們對奇異解存在性的注意；歐拉在1750年解出了一般的常系數(shù)

線性方程，他還引進(jìn)超幾何級數(shù)作為解二階線性方程的基礎(chǔ)；對全微分方程的研究亦由歐拉、拉格朗日和蒙日等開展起來。變分法起源于最速降曲線問題和相類似的一些問題，它的奠基人是歐拉。所謂“最速降曲線”問題，是要求出兩點間的一條曲線，使質(zhì)點在重力作用下，沿著它由一點至另一點的降落最快。這問題在1696年被約翰第一·伯努利提出來向其他人挑戰(zhàn)，牛頓、洛必達(dá)和伯努利兄弟不久都分別獲得了正確的解答。

第8章 十九世紀(jì)的數(shù)學(xué)

課時：2課時

教學(xué)目標(biāo)：了解解析十九世紀(jì)的數(shù)學(xué)的背景，理解重要數(shù)學(xué)事件對解析幾何的意義。

教學(xué)方式：閱讀史料、討論思考、感悟總結(jié) 主題：十九世紀(jì)的數(shù)學(xué)

8、十九世紀(jì)的數(shù)學(xué)

十九世紀(jì)是數(shù)學(xué)史上創(chuàng)造精神和嚴(yán)格精神高度發(fā)揚的時代。復(fù)變函數(shù)論的創(chuàng)立和數(shù)學(xué)分析的嚴(yán)格化，非歐幾何的問世和射影幾何的完善，群論和非交換代數(shù)的誕生，是這一世紀(jì)典型的數(shù)學(xué)成就。它們所蘊含的新思想，深刻地影響著二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)。

十九世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的概貌

十八世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的主流是微積分學(xué)的擴(kuò)展，它與力學(xué)和天文學(xué)的問題緊密相聯(lián)。微積分的運用使這些自然科學(xué)領(lǐng)域迅猛發(fā)展，至十八世紀(jì)末，它們達(dá)到了一種相對完美的程度。

然而，將數(shù)學(xué)和這些自然科學(xué)基本上視為一體的觀念，使當(dāng)時一些著名的數(shù)學(xué)家，如拉格朗日、歐拉、達(dá)朗貝爾等對數(shù)學(xué)的前途產(chǎn)生了悲觀情緒，他們覺得數(shù)學(xué)泉源已近枯竭。

而實際上，此時的數(shù)學(xué)正處于興旺發(fā)達(dá)的前夜：18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家忙于獲取微積分的成果與應(yīng)用，較少顧及其概念與方法的嚴(yán)密性，到十八世紀(jì)末，為微積分奠基的工作已緊迫地擺在數(shù)學(xué)家面前；另一方面，處于數(shù)學(xué)中心課題之外的數(shù)學(xué)分支已積累了 13 一批重要問題，如復(fù)數(shù)的意義、歐式幾何中平行公設(shè)的地位，高次代數(shù)方程根式解的可能性等，它們大都是從數(shù)學(xué)內(nèi)部提出的課題；再者，自十八世紀(jì)后期開始，自然科學(xué)出現(xiàn)眾多新的研究領(lǐng)域，如熱力學(xué)、流體力學(xué)、電學(xué)、磁學(xué)、測地學(xué)等等，從數(shù)學(xué)外部給予數(shù)學(xué)以新的推動力。上述因素促成了十九世紀(jì)數(shù)學(xué)充滿活力的創(chuàng)新與發(fā)展。

十九世紀(jì)歐洲的社會環(huán)境也為數(shù)學(xué)發(fā)展提供了適宜的舞臺，法國資產(chǎn)階級大革命所造成的民主精神和重視數(shù)學(xué)教育的風(fēng)尚，鼓勵大批有才干的青年步入數(shù)學(xué)教育和研究領(lǐng)地。法國在十九世紀(jì)一直是最活躍的數(shù)學(xué)中心之一，涌現(xiàn)出一批優(yōu)秀人才，如傅里葉、泊松、彭賽列、柯西、劉維爾、伽羅華、埃爾米特、若爾當(dāng)、達(dá)布、龐加萊、阿達(dá)馬。他們在幾乎所有的數(shù)學(xué)分支中都作出了卓越貢獻(xiàn)。法國革命的影響波及歐洲各國，使整個學(xué)術(shù)界思想十分活躍，突破了一切禁區(qū)。

英國新一代數(shù)學(xué)家克服近一個世紀(jì)以來以牛頓為偶像的固步自封局面，成立了向歐洲大陸數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“分析學(xué)會”，使英國進(jìn)入世界數(shù)學(xué)發(fā)展的潮流。皮科克、格林、哈密頓、西爾維斯特、凱萊、布爾等英國數(shù)學(xué)界的杰出人物，在代數(shù)學(xué)、代數(shù)幾何、數(shù)學(xué)物理方面的成就尤為突出。

德國在1870年統(tǒng)一之前，資本主義發(fā)展比較緩慢，但從十八世紀(jì)下半葉起，它一直是思想意識領(lǐng)域十分活躍的地區(qū)，特別是思辨哲學(xué)強(qiáng)調(diào)事物內(nèi)部矛盾促進(jìn)事物發(fā)展的思想，對純粹數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了有益的影響。

從高斯登上數(shù)學(xué)舞臺至十九世紀(jì)下半葉，德國逐漸發(fā)展成為與法國并駕齊驅(qū)的又一個世界數(shù)學(xué)中心，除高斯外，施陶特、普呂克、雅可比、狄利克雷、格拉斯曼、庫默爾、魏爾斯特拉斯、克羅內(nèi)克、黎曼、戴德金、康托爾、克萊因、希爾伯特都無愧為十九世紀(jì)最重要的數(shù)學(xué)家。

處于數(shù)學(xué)中心之外的國家和地區(qū)，也出現(xiàn)不少優(yōu)秀學(xué)者，最突出的有挪威的阿貝爾和李，捷克的波爾查諾、俄國的羅巴切夫斯基、切比雪夫和柯瓦列夫斯卡婭，匈牙利的波爾約，意大利的貝爾特拉米和里奇等。這種人才輩出的局面在數(shù)學(xué)史上是空前的。

十九世紀(jì)數(shù)學(xué)突破分析學(xué)獨占主導(dǎo)地位的局面，幾何、代數(shù)、分析各分支出現(xiàn)如雨后春筍般的竟相發(fā)展。僅在十九世紀(jì)的前30多年中，一批二三十歲的年輕數(shù)學(xué)家就在數(shù)論、射影幾何、復(fù)變函數(shù)、微分幾何、非歐幾何、群論等領(lǐng)域作出開創(chuàng)性的成績。

隨著眾多新研究方向的開拓和證明嚴(yán)格化的要求，越來越多的學(xué)者開始埋頭于較窄的領(lǐng)域作精細(xì)的研究。如阿貝爾主要從事分析與代數(shù)學(xué)研究，彭賽列專攻射影幾何，伽羅瓦關(guān)心代數(shù)方程的可解性。只有高斯和柯西仍然關(guān)心科學(xué)與數(shù)學(xué)中幾乎所有的問題。

在十九世紀(jì)下半葉，一些數(shù)學(xué)家注意了各分支間的聯(lián)系，最著名的有克萊因的埃爾朗根綱領(lǐng)，在幾何中引進(jìn)群的觀點，取得很大成功，但專門化的研究方式尚處于方興未艾的階段。從十九世紀(jì)晚期開始的將數(shù)學(xué)各分支奠基于公理體系之上的運動，又推進(jìn)了各分支的細(xì)分，這種傾向一直延續(xù)到二十世紀(jì)。

十九世紀(jì)數(shù)學(xué)家的工作方式呈現(xiàn)出全新的、不同于十八世紀(jì)的特色。數(shù)學(xué)成為一項得到全社會承認(rèn)的職業(yè)，數(shù)學(xué)家主要在大量培養(yǎng)人才的新型大學(xué)教書，研究與教學(xué) 14 有機(jī)地聯(lián)系在一起。法國的巴黎綜合工科學(xué)校、巴黎高等師范大學(xué)，德國的柏林大學(xué)、格丁根大學(xué)是當(dāng)時最重要的數(shù)學(xué)研究與教學(xué)中心。

由于數(shù)學(xué)家人數(shù)與成果的劇增交流思想與成果的渠道增多了，數(shù)學(xué)雜志成了重要的傳播媒介。法國的熱爾崗編輯出版了《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)年刊》，是最早的專門數(shù)學(xué)期刊。之后，高水平的數(shù)學(xué)雜志相繼問世，最著名的有克雷爾創(chuàng)辦的德文的《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》，劉維爾創(chuàng)辦的法文的《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》。

到十九世紀(jì)后半葉，隨著各國數(shù)學(xué)會的問世，各種會刊及專門雜志顯著增加。這些數(shù)學(xué)會還在推動本國數(shù)學(xué)發(fā)展和促進(jìn)國際學(xué)術(shù)交流方面發(fā)揮積極作用。最早成立的是倫敦數(shù)學(xué)會，之后創(chuàng)建的有法國數(shù)學(xué)會、美國數(shù)學(xué)會和德國數(shù)學(xué)會。在接近世紀(jì)之末，由各國數(shù)學(xué)會發(fā)起在瑞士蘇黎世召開了第一屆國際數(shù)學(xué)家大會，后成為一項定期舉行的國際學(xué)術(shù)活動。

十九世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展錯綜復(fù)雜，粗略地可以分為四個階段。

第9章 數(shù)學(xué)對現(xiàn)代社會的影響及展望

課時：2課時

教學(xué)目標(biāo)：了解解析新的數(shù)學(xué)的背景，理解重要數(shù)學(xué)事件對解析幾何的意義。

教學(xué)方式：閱讀史料、討論思考、感悟總結(jié) 主題：新世紀(jì)的數(shù)學(xué)

分析的嚴(yán)格化以皮亞諾的自然數(shù)公理體系的建立而告一段落。這種公理化的傾向也同樣在其他數(shù)學(xué)分支蔓延。弗雷格提出了邏輯公理體系，帕施得到了射影幾何的公理體系。最著名的是希爾伯特于1899年在《幾何基礎(chǔ)》中闡述的歐幾里得幾何的公理系統(tǒng)。他考慮了公理系統(tǒng)的獨立性、相容性和完備性，并證明歐幾里得幾何的相容性可歸結(jié)為算術(shù)的相容性。

希爾伯特的工作掀起了公理化的熱潮：一方面，數(shù)學(xué)家為各數(shù)學(xué)分支建立公理體系；另一方面，通過略去否定或其他方式改變所論體系的公理來探索新體系、新問題。公理化運動并沒有限制新思想的萌生和對各種具體課題的研究，后者始終是數(shù)學(xué)發(fā)展中最活躍的因素。群論的應(yīng)用在這一時期特別引人矚目，1872年，克萊因受聘任埃爾朗根大學(xué)教授時，發(fā)表題為《關(guān)于近代幾何研究的比較考察》的講演(即著名的埃爾朗根綱領(lǐng))，他指出每種幾何可由特定的變換群來刻畫，各種幾何的研究內(nèi)容是在相應(yīng)的變換群下的不變量，一種幾何的子幾何則是研究原變換群的子群的不變量。根據(jù)變換群的觀點，克萊因?qū)缀芜M(jìn)行了系統(tǒng)分類，揭示了群的概念在幾何中的統(tǒng)一作用(不包括一般的黎曼幾何和代數(shù)幾何)開拓了研究幾何的一種有效的方法?？巳R因的工作體現(xiàn)了數(shù)學(xué)專門化趨勢中蘊含的統(tǒng)一因素。

1874年，挪威數(shù)學(xué)家李在研究常微分方程與保持這些方程的解不變的變換群之間的關(guān)系時，創(chuàng)建了連續(xù)變換群理論(現(xiàn)稱李群)以及相應(yīng)的代數(shù)(現(xiàn)稱李代數(shù))。有了對具體的群的廣泛研究，抽象群論獲得了新生。1882年，德國數(shù)學(xué)家迪克受凱萊工作的 15 鼓舞，引進(jìn)用生成元和生成元之間關(guān)系來定義群的抽象觀點，開始抽象群論的系統(tǒng)研究。與此相伴的是分析與經(jīng)典代數(shù)方法對群論的應(yīng)用，即群的表示理論應(yīng)運而生。

組合拓?fù)鋵W(xué)作為一門學(xué)科在十九世紀(jì)末登上了數(shù)學(xué)舞臺。龐加萊是這一領(lǐng)域的主要奠基者。龐加萊是當(dāng)時領(lǐng)頭的數(shù)學(xué)家之一，興趣廣泛，研究涉及眾多數(shù)學(xué)分支以至天體力學(xué)和物理科學(xué)。在探討描述行星運動的微分方程周期解時，他采用了拓?fù)溆^點分析奇點及積分曲線的結(jié)構(gòu)，開創(chuàng)了微分方程定性理論。在研究一般”維圖形的結(jié)構(gòu)時，引進(jìn)了一套系統(tǒng)的組合方法，為組合拓?fù)涞於嘶A(chǔ)。拓?fù)浜统橄蟠鷶?shù)的觀點和方法成為二十世紀(jì)最有影響的研究手段。

與龐加萊齊名的另一位著名數(shù)學(xué)家是希爾伯特。他不僅積極創(chuàng)導(dǎo)了公理化方法，而且特別重視數(shù)學(xué)中單個重大問題的研究，認(rèn)為這是數(shù)學(xué)活力之所在。他本人就通過解決一系列具體問題，得到許多重要方法。十九世紀(jì)末，他發(fā)表了兩個報告?！稊?shù)論報告》系統(tǒng)總結(jié)了代數(shù)數(shù)論的全部成果，開辟了類域論的研究方向。

1900年，在第二屆國際數(shù)學(xué)家大會上，希爾伯特作了影響深遠(yuǎn)的題為《數(shù)學(xué)問題》的報告，成為迎接二十世紀(jì)挑戰(zhàn)的宣言。

在數(shù)學(xué)分成幾十個分支各自獨立發(fā)展的形勢下，希爾伯特堅信數(shù)學(xué)科學(xué)是一個不可分割的有機(jī)整體，它的生命力正是在于各部分之間的聯(lián)系。在十九世紀(jì)末，領(lǐng)頭數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)前途充滿了信心，與十八世紀(jì)末的情景形成鮮明對照。龐加萊和希爾伯特的業(yè)績展示了二十世紀(jì)數(shù)學(xué)大發(fā)展的曙光。

第三篇：數(shù)學(xué)校本課程

我校初中數(shù)學(xué)校本課程的開發(fā)與嘗試

湖南省株洲市十六中學(xué)

一、課題研究的目的和意義

2004年秋開始，全國各地初中陸續(xù)進(jìn)入新課程改革的領(lǐng)域。根據(jù)國家課程計劃和課程方案，我校課題組研究進(jìn)行“初中數(shù)學(xué)校本課程的開發(fā)與實驗”的探索和實踐。具體理念如下：

1．落實新課程改革的基本理念

其基本理念為：關(guān)注學(xué)生作為“整體的人”的發(fā)展；回歸學(xué)生的生活世界；尋求個人理解的知識建構(gòu)、創(chuàng)建富有個性的學(xué)校文化。我校數(shù)學(xué)校本課程的建設(shè)過程就是嘗試將上述理念落到操作層面過程。

2．完善校本課程的相關(guān)理念

校本課程建設(shè)將主要采取課程新編，在此過程中需要綜合考慮多方面的因素,這些因素大致可以歸納為4大類,即(1)目的確定；(2)內(nèi)容選擇；(3)內(nèi)容組織；(4)活動設(shè)計。這些因素也是校本課程開發(fā)理論所涉及的核心內(nèi)容,因此，對這些因素的研究也是對校本課程開發(fā)理念的豐富與完善。3．促進(jìn)教師的專業(yè)化成長

教師通過參與本課題的研究將對其專業(yè)發(fā)展具有如下的促進(jìn)作用：(1)改變自己的知識結(jié)構(gòu)。學(xué)習(xí)一些相關(guān)理論，以完善自己的知識結(jié)構(gòu)。(2)提高教師的學(xué)科教學(xué)能力。只有站在整個課程結(jié)構(gòu)的高度，才能對所教學(xué)科有一個全面的、整體的認(rèn)識，也只有站在整個課

程發(fā)展與改革的高度，才能提高自己駕馭課程的能力，從而對所教學(xué)科作出符合學(xué)生實際的安排。4．提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

我校是一所城鄉(xiāng)結(jié)合部公辦初級中學(xué)，受現(xiàn)在私立學(xué)校的影響，生源大量流失，學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)差，底子薄，為激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心和興趣、全面增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。我們提出把數(shù)學(xué)引向?qū)W生，把學(xué)生引向數(shù)學(xué);把數(shù)學(xué)引向生活, 把生活引向數(shù)學(xué)，重視興趣教學(xué)；數(shù)學(xué)校本課程開發(fā)要更多地采用調(diào)查研究及專題研究的教學(xué)方式，促進(jìn)教法和學(xué)法的改變；

具體策略：

（1）處理好學(xué)校所具有的課程權(quán)力與校本課程開發(fā)之間的關(guān)系；（2）處理好校本課程開發(fā)的務(wù)實性與可行性之間的關(guān)系。（3）構(gòu)建民主、開放的校本課程開發(fā)組織機(jī)構(gòu)；

（5）通過多種方式對學(xué)生發(fā)展需求進(jìn)行評估，通過學(xué)生選擇和評價等方式實現(xiàn)學(xué)生參與課程建設(shè)的主體地位；

（6）培訓(xùn)教師，特別要重視教研組和教師同伴間的案例分析、相互交流和啟發(fā)，多渠道培養(yǎng)和提高教師的課程開發(fā)能力，建立教師之間競爭性合作機(jī)制，激勵教師主動參與校本課程建設(shè)。

三、研究方法

通過調(diào)查分析、行動研究和經(jīng)驗總結(jié)等方法進(jìn)行課題研究。

1、調(diào)查分析：通過查閱資料等手段，一切從學(xué)生的發(fā)展出發(fā)，?要求每位教師對自己以往的教學(xué)行為進(jìn)行補(bǔ)充，?并與新課程所倡導(dǎo)的教學(xué)理念進(jìn)行對比。讓每位教師在原有經(jīng)驗得以升華的基礎(chǔ)上豐富自己的課堂教學(xué)內(nèi)容，對自己新的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行確認(rèn)，對課堂教學(xué)進(jìn)行新的內(nèi)容，追求學(xué)生學(xué)習(xí)過程和學(xué)習(xí)情感的完整。

2、行動研究：采取理論聯(lián)系實際的做法，邊實踐、邊探索，邊研究、邊修正。通過學(xué)習(xí)有關(guān)校本教材，讓學(xué)生走出校門，走向社會在實踐中培養(yǎng)興趣，在實踐中培養(yǎng)能力，使課題研究逐漸深入。

3、經(jīng)驗總結(jié)：從優(yōu)秀教師的大量實踐中，總結(jié)出好的經(jīng)驗，并結(jié)合所學(xué)理論研究出一套讓學(xué)生樂于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的可行方案。

四、實施措施：

1、通過家庭、教師了解學(xué)生。

2、課題組內(nèi)共同備課，互相聽課、評課，共同提高研究水平，力求課題研究與日常教學(xué)相結(jié)合。

3、學(xué)習(xí)課改理論、方法，動用文獻(xiàn)資料，調(diào)查分析、行動研究，?經(jīng)驗總結(jié)等方法獲取資料、積累資料，課題組成員定期進(jìn)行研討、交流，拿出階段性成果。

五、研究步驟：

本課題研究為期3年，分為三個階段完成。

1、準(zhǔn)備階段：（2006年9月至2007年1月）理論學(xué)習(xí)制訂方案 ①組織相關(guān)教師進(jìn)行理論學(xué)習(xí)，為研究的展開作好準(zhǔn)備。②調(diào)查學(xué)生的數(shù)學(xué)狀況，初步了學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，制定研究方案。③舉行開題論證會，進(jìn)一步修改課題方案。

2、實踐探索階段：（2007年1月2008年6月）活動開展資料準(zhǔn)備 個案研究 經(jīng)驗交流 問卷調(diào)查

以前期學(xué)習(xí)的理論為指導(dǎo)，以課堂教學(xué)和集體活動為重點，收集有關(guān)資料，及時進(jìn)行經(jīng)驗總結(jié)。組織開展各類競賽活動。定期課題組成員工作經(jīng)驗交流會。收集相關(guān)資料，及時進(jìn)行經(jīng)驗總結(jié)。

3、總結(jié)階段：（2008年7月至2009年5月）材料整理撰寫報告 匯編成果 反思提高 成果鑒定

①對研究材料進(jìn)行分類整理和匯總，撰寫研究報告。

②對研究的成果進(jìn)行匯編，形成系列成果。

③完成課題總結(jié)報告。

六、取得的成果與影響

1、提升了理論素養(yǎng)，夯實了教師的科研內(nèi)涵。

課題領(lǐng)導(dǎo)小組，認(rèn)真組織課題組教師學(xué)習(xí)相關(guān)的教育科研理論知識和課程理論知識，做好教師業(yè)務(wù)學(xué)習(xí)的改革工作。通過學(xué)習(xí)、培訓(xùn)、研究、交流等多種途徑，建立了師德高、業(yè)務(wù)精、功底硬、作風(fēng)實、善于創(chuàng)新的優(yōu)秀教科研教師隊伍。同時課題領(lǐng)導(dǎo)小組為課題收集相關(guān)的理論資料，供課題組學(xué)習(xí)參考，提高課題研究的理論水平，促進(jìn)了課題研究健康有序發(fā)展。

2、培養(yǎng)了學(xué)校教科研骨干隊伍，提高了教師教科研能力。六名數(shù)學(xué)教師有4名高級職稱，兩人為中學(xué)一級教師。

3、促使了教師素質(zhì)的提高

課題組在研究過程中始終把提高教師素質(zhì)，培養(yǎng)過硬的教師隊伍放在首位。圍繞本課題的研究，根據(jù)本校實際和教師狀況，有針對性地進(jìn)行教科研理論和素質(zhì)教育理論的學(xué)習(xí)，不斷強(qiáng)化教師教科研合作、創(chuàng)造、求真的意識和更新教師的教育觀念，樹立現(xiàn)代教育理念，確保教育科研的先進(jìn)性。通過學(xué)習(xí)，使我們教師確立了新的教學(xué)理念，明確了教改方向；掌握了開展教育科研的基本方法；提高了廣大教師的理論學(xué)術(shù)水平，三年來教師撰寫論文多篇，其中，唐志剛、陳利華、侯連現(xiàn)老師的論文多次評為省市一二等獎，數(shù)學(xué)統(tǒng)考成績位于市區(qū)前列，侯連現(xiàn)老師多次指導(dǎo)學(xué)生參加全國、市數(shù)學(xué)競賽成績優(yōu)異，獲全國數(shù)學(xué)競賽優(yōu)秀輔導(dǎo)員稱號。

七、課題展望

我們的研究已進(jìn)行多年，取得了一定成效，在成績面前，我們始終保持清醒頭腦，已進(jìn)行的實驗僅僅是研究的開端，今后還有許多問題等待著我們?nèi)ヌ接?，已有的成果也有待于不斷完善，不斷修改。?shù)學(xué)校本課程的開發(fā)僅從純數(shù)學(xué)的角度出發(fā)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，跨越學(xué)科，分析更大的系統(tǒng)，組織更大規(guī)模的實驗，提出更深發(fā)展全面綜合的校本課程是我們以后研究的的方向。

第四篇：數(shù)學(xué)校本課程

數(shù)學(xué)校本課程

說 明

校本課程開發(fā)是實施素質(zhì)教育的要求。校本課程的開發(fā)，有利于改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，為學(xué)生提供學(xué)習(xí)過程中的方法選擇和內(nèi)容選擇，體現(xiàn)教育內(nèi)容的多元性和選擇性。我校的校本課程開發(fā)堅持以《中共中央、國務(wù)院關(guān)于深化教育改革全面推進(jìn)素質(zhì)教育的決定》和國家《基礎(chǔ)教育課程改革綱要（試行）》為指導(dǎo)，結(jié)合我校整體建設(shè)與發(fā)展的目標(biāo)，探索網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下校本課程開發(fā)的新途徑，反思自身實踐，外部經(jīng)驗，堅持在改革中不斷探索新的思路，追求新的發(fā)展，以校本課程開發(fā)為突破口，使教師參加課程的開發(fā)，贏得繼續(xù)教育的良機(jī)，提高教師的專業(yè)化素質(zhì)，更大程度地滿足社會家長和學(xué)生的需要，盡可能地培養(yǎng)出有個性、有特色、學(xué)業(yè)有所長的未來人才.觀察、體味生活

數(shù)學(xué)校本課程教案

神奇的撲克——撲克是歷法的縮影

撲克是我們生活中的常見的物品。

在撲克中找到一些數(shù)學(xué)的知識。

教學(xué)內(nèi)容：在學(xué)生初步了解，年月日、季度的概念后，尋找歷法與撲克之間的關(guān)系。教學(xué)目標(biāo)：

1、通過對“撲克”有趣的再認(rèn)識，讓學(xué)生了解“撲克”與“歷法”之間有趣的聯(lián)系。2、2、培養(yǎng)起學(xué)生對生活中平常小事的關(guān)注。3、3、調(diào)動學(xué)生豐富的聯(lián)想，養(yǎng)成一種思考的習(xí)慣。

4、教學(xué)重點：

5、“撲克”與“歷法”的聯(lián)系。

6、教學(xué)難點：

7、“撲克”與“歷法”的聯(lián)系。

8、教學(xué)準(zhǔn)備：

9、“撲克”、課件

10、教學(xué)過程：

11、談話引入

師：同學(xué)們，這個你們一定見過吧?。ǔ鍪荆簱淇耍┻@是我們生活中比較常見的“撲克”。誰愿意告訴我們，你對撲克的了解呢？

生：包括“大王”有54張、有52張正牌，有4種花色，每種花色13張......生：打牌、算24點、欣賞（海寧有個小姑娘，就收集了上千幅各種圖案的撲克，進(jìn)行過展出）、美國人還用它來抓不他們的敵人（比如伊拉克時的薩達(dá)姆）......（教師補(bǔ)充，引發(fā)學(xué)生的好奇心。）

師：我呀，覺得“撲克”還有一種作用，而且與數(shù)學(xué)有關(guān)！看看那位同學(xué)知道！生:......新課

1、師：大家有好多的答案，可是都不太對?！皳淇恕迸c歷法有關(guān)。（課件出示）

2、師：歷法是什么呢？（學(xué)生回答，同時課件介紹<四季、12個月、356天等等>）那么，撲克與歷法有什么關(guān)系那？請學(xué)生猜一猜。

3、生：......引導(dǎo)學(xué)生說出：桃、心、梅、方4種花色可以代表一年四季春、夏、秋、冬 4花色=4個季節(jié)

2、還有什么呢？（教師可以提醒：紅、黑=

/大王=（太陽）小王=（月亮））同時課件出示：紅=白天

黑=夜晚 / 紅=......黑=......發(fā)揮學(xué)生的自由的想象

4、現(xiàn)在我在出一些數(shù)字我們一起來找一下，看看這些數(shù)字與我們的立法和撲克之間有什么聯(lián)系。（出示課題）

5、365 3666、4、課件出示提示問題：

7、一年有多少天？

一年有多少個月？

8、有多少個星期？

有多少個季度？.....9、同時出示：撲克牌于數(shù)字的對應(yīng)值。

10、A=1 2=2

3=3

4=4

5=5

6=6

7=7

8=811、9=9 10=10 J=11

Q=12 K=13

大王=1 小王=112、5、學(xué)生自己嘗試練習(xí)（尋找撲克與歷法之間的關(guān)系）

13、◆1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13=9114、91×4=364+小王=365+大王=366

15、所有牌的和+小王=平年的天數(shù)

16、所有牌的和+小王+大王=閏年的天數(shù)

17、撲克中的K、Q、J共有12張，3×4=12，表示一年有12個月18、365÷7≈52一年有52個星期。54張牌中除去大王、小王有52張是正牌，表示一年有52個星期。

19、◆桃、心、梅、方4種花色可以代表一年四季春、夏、秋、冬 20、4花色=4個季節(jié)=4個季度

21、◆1個季度=356÷4≈91天22、1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13=91

一種花色的和=一個季度的天數(shù) 1個季度=356÷4≈91天

91÷7=13個星期

一種花色有13張牌=一個季度又13個星期

在學(xué)生自我常識、與教師適當(dāng)?shù)奶嵝严?，各個小組交流反饋。各小組進(jìn)行交流。

讓學(xué)生說說自己的感覺（多種多樣的，可以是不喜歡的。）以及自己的體會。

四、學(xué)生的新發(fā)現(xiàn)、新的聯(lián)想。

五、小結(jié)

生活中有很多的數(shù)學(xué)，他每時每刻都在我們的身邊出現(xiàn)，只是我們大家沒有注意到。今天我們有趣的再認(rèn)識了“撲克”。我們還有很多的事物可以讓我們這樣有趣的再認(rèn)識。同學(xué)們可以盡情去發(fā)現(xiàn)。當(dāng)你作為一件事物的第一個發(fā)現(xiàn)者的時候，你就和“哥倫布”一樣的偉大了??！

第五篇：五年級上冊數(shù)學(xué)校本課程教案

篇一：五年級上冊校本教案

《水滸傳》導(dǎo)讀

教學(xué)目的：

★了解《水滸傳》的藝術(shù)魅力，學(xué)會閱讀名著。

★★了解我國古典名著的輝煌成就，激發(fā)閱讀古典名著《水滸傳》的興趣。

★★★引導(dǎo)學(xué)生正確看待對名著只?看?不?讀?的現(xiàn)象,養(yǎng)成良好讀書的好習(xí)慣。

教學(xué)思路：

《水滸傳》是我國四大名著之一，是一部偉大的古典名著。在一節(jié)課的時間里向?qū)W生推薦閱讀這部作品，關(guān)鍵要調(diào)動起學(xué)生的閱讀熱情。因此，教學(xué)時應(yīng)從?激趣?入手，激發(fā)學(xué)生對這部名著的興趣。并且，通過賞析中央電視臺的《子午書簡——淺談水滸》了解《水滸傳》的內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生正確看待對名著只?看?不?讀?的現(xiàn)象。

教學(xué)重難點：

重點：賞析《淺談水滸傳》

難點：引導(dǎo)學(xué)生正確看待對名著只?看?不?讀?的現(xiàn)象。教學(xué)活動情境設(shè)計：

運用多媒體設(shè)備，展示水滸人物的圖片，創(chuàng)設(shè)生動的情境；準(zhǔn)備央視《淺談水滸傳》的視頻片段，學(xué)生通過觀看了解大致內(nèi)容。

教學(xué)過程：

精彩之處：

一部《水滸傳》精彩紛呈，故事情節(jié)跌宕起伏，水滸人物不勝枚舉，短短一節(jié)導(dǎo)讀課無論如何也不可能把其中的精彩全部教授給學(xué)生。那么，水滸人物、小說主題、成書背景、藝術(shù)成就等等需要講的好像很多很多，究竟該從哪里入手呢？面面俱到顯然不可能，也確實辦不到。于是我就把重點定在激發(fā)學(xué)生對《水滸》的興趣上，利用一切可以利用的教學(xué)資源，采用盡可能多的教學(xué)手段，讓學(xué)生從多個方面、多個角度去感受《水滸》的精彩，進(jìn)而想去讀、想去品味，這樣就達(dá)到了導(dǎo)讀的目的。

因此，這一節(jié)課我就沒有涉及關(guān)于寫作背景、小說主題等方面的內(nèi)容，甚至對《水滸》的藝術(shù)特色也講的很少。因為將來如果他們認(rèn)真的讀了，這些肯定會接觸到、體會到的。我把這節(jié)課分成了?我講我知道?、?我看我記牢?、?我品我明了?、?老師考考我?等四個板塊，讓學(xué)生去講、去看、去品、去悟。讓他們成為課堂的主人，通過比較、品讀、思考、競爭，閱讀《水滸》成了他們的閱讀目標(biāo)和閱讀需要。

遺憾之處：還有四五個孩子沒有準(zhǔn)備好《水滸傳》，發(fā)動工作做得不夠到位。班上的女生們對《水滸傳》不夠感興趣，提前了解的很少，課堂交流時不在狀態(tài)。

整改之處：引導(dǎo)學(xué)生讀名著，就如同引導(dǎo)學(xué)生與大師共攜手，作為語文教育工作者的我們，一定要多用心、多實踐、多思考、多努力，想盡一切辦法放開手腳激發(fā)學(xué)生閱讀名著的興趣，引領(lǐng)學(xué)生在書籍的海洋里遨游，讓名著閱讀成為學(xué)生放飛?自由的讀書靈魂?的精神家園！

節(jié)，充分調(diào)動起學(xué)生的讀書興趣及積極性，讓每個孩子都沉浸在讀書的樂趣中。

二、談水滸 話英雄

教學(xué)目標(biāo)：

★引導(dǎo)學(xué)生了解《水滸傳》的主要內(nèi)容，感受作品的藝術(shù)魅力，培養(yǎng)學(xué)生閱讀古典名著的興趣。

★★學(xué)會讀書：看前言、看目錄和后記，了解小說思想內(nèi)容、特點、以及后人評價等。

★★★從1－6章中通過故事情節(jié)認(rèn)識英雄人物，能互相介紹自己喜歡的水滸人物及其經(jīng)典的小故事。

教學(xué)準(zhǔn)備： 學(xué)生寫出自己喜歡的人物及小故事、老師準(zhǔn)備根據(jù)名著《水

滸傳》改編的電視連續(xù)?。ㄇ傲鲁霈F(xiàn)的人物）、課件。

學(xué)情分析：五年級的學(xué)生剛剛開始閱讀名著，理解能力不高，閱讀的方法還有所欠缺，閱讀和自覺性還沒養(yǎng)成，所以在課堂中要想各種方法，讓學(xué)生喜歡并能自覺讀書。

教學(xué)過程：

播放電視劇《水滸傳》主題曲《好漢歌》節(jié)選。

1、學(xué)生根據(jù)名著《水滸傳》改編的電視連續(xù)劇，交流感受。

2、課件：喜歡的英雄人物的照片及該人物相關(guān)的一個小故事。學(xué)生閱讀學(xué)習(xí)。

3、四人小組，學(xué)生交流自己喜歡的人物的故事。每組選出一個優(yōu)秀的學(xué)生，全班交流，進(jìn)行評價表揚。

4、學(xué)生交流自己搜集的與水滸傳的英雄人物有關(guān)的歇后語。積累老師搜集的歇后語。（課件）

5、老師發(fā)表格，學(xué)生用自己喜歡的方式畫上自己喜歡的人物，旁邊寫出他們的經(jīng)典小故事。

6、閱讀7—14章節(jié)，課堂上沒有完成的可以利用每天晚上的30分鐘閱讀時間繼續(xù)完成。

把自己每天閱讀的感受寫在家庭作業(yè)本，希望家長也能和你一起讀書。

教學(xué)反思：

精彩之處：學(xué)生從閱讀中了解到英雄人物的性格及發(fā)生在他們身上的一些劫富濟(jì)貧的感人故事，拓展閱讀了許多歇后語，學(xué)生讀書的積極性得到很大的提高，為繼續(xù)閱讀奠定了良好的基礎(chǔ)。

不足之處：學(xué)生交流喜歡的人物的故事時語言有些不通順，還有些本末倒臵，可以看出學(xué)生在說完整話，概括故事內(nèi)容等方面還要加強(qiáng)。

整改之處：隨時和學(xué)生交流自己的讀書收獲，多交流自己心目中的英雄人物。

：在交流時，教師用眼神鼓勵那些不善于表達(dá)的學(xué)生、提示回答有困難的學(xué)生、表揚積極發(fā)言的學(xué)生。讓每個學(xué)生都能體會到成功所帶來的喜悅。

三、閱讀策略指導(dǎo)

教學(xué)目標(biāo)：

★?閱讀方法指導(dǎo)課?是有目的、有計劃地教給學(xué)生閱讀方法的一種課型。

★★目的是讓學(xué)生掌握系統(tǒng)的、科學(xué)的讀書方法，養(yǎng)成習(xí)慣，形成能力，最終達(dá)到?自能讀書?。

★★★其現(xiàn)實性和針對性，是針對學(xué)生好讀書卻不得要領(lǐng)，或只看熱鬧，或純?yōu)楂C奇，讀書不少卻收效不大的現(xiàn)狀而設(shè)臵的。

教學(xué)時間：3月13日

教學(xué)過程：

一、主要讀書方法

21世紀(jì)是信息飛速發(fā)展和快速傳遞的社會。面對琳瑯滿目的書籍報刊，人們既沒時間也完全沒有必要全部精讀細(xì)讀，而應(yīng)依據(jù)書目和實際需要區(qū)別對待，有所選擇。1．三讀法

（1）瀏覽性的泛讀。對大部分淺顯易懂的書或閱讀價值不高的書籍報刊，可采取瀏覽法，即?隨便翻翻?，以大致了解其主要內(nèi)容，或通過看標(biāo)題、目錄、內(nèi)容提要、前言等，以求在有限的時間內(nèi)獲取更多有價值的信息。

（2）探求性的速讀。有時讀書是為了達(dá)到某個特定的目的或完成某項任務(wù)，如尋求某個問題的答案，專門搜集某方面的知識等，這就要求?一目十行??？焖匍喿x的奧秘在于讓大腦跑在眼球前面，掌握快速閱讀的孩子每分鐘能讀200多個字，未受訓(xùn)練的每分鐘只能讀八九十字。

速讀能求得新知識新信息成倍成倍增長，篇二：小學(xué)五年級趣味數(shù)學(xué)校本課程教學(xué)計劃

小學(xué)五年級《趣味數(shù)學(xué)》校本課程教學(xué)計劃

一、指導(dǎo)思想：

數(shù)學(xué)是一個色彩繽紛的萬花筒〃美麗而奇妙。數(shù)學(xué)是神奇的世界〃肯定有不少學(xué)生產(chǎn)生了濃厚的興趣。為此〃訓(xùn)練學(xué)生的思維活動是重中之重。在數(shù)學(xué)教學(xué)中探求問題的思考、推理、論證的過程等一系列數(shù)學(xué)活動都是數(shù)學(xué)教學(xué)中實施思維訓(xùn)練的理論依據(jù)之一。因此〃趣味數(shù)學(xué)能更好的促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展。這學(xué)期通過趣味數(shù)學(xué)校本課程的學(xué)習(xí)〃提高同學(xué)們的學(xué)習(xí)興趣〃訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣,讓學(xué)生通過學(xué)習(xí)深入地理解數(shù)學(xué)知識〃提高學(xué)生的思維能力和分析能力。

二、學(xué)情分析：

五年級學(xué)生已具備良好的分析問題、解決問題的能力?！度の稊?shù)學(xué)》為孩子們提供了一系列數(shù)學(xué)故事、益智問題和數(shù)學(xué)游戲。這些問題和活動為學(xué)生提供探索數(shù)學(xué)奧秘的機(jī)會〃學(xué)生在參與這些數(shù)學(xué)游戲和解決數(shù)學(xué)問題的過程中〃體會數(shù)學(xué)價值〃鍛煉數(shù)學(xué)智慧〃運用所學(xué)的知識與技能〃學(xué)習(xí)解決問題的方法。

三、目的要求：

1、培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和愛好〃讓學(xué)生在探索解法的過程中親身體驗到了數(shù)學(xué)思想的博大精深和數(shù)學(xué)方法的創(chuàng)造力〃從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣〃產(chǎn)生了進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的向往感。使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中獲得成功的體驗〃建立自信心。

2、使學(xué)生掌握一定的學(xué)習(xí)方法、學(xué)習(xí)技能。

3、使學(xué)生獲得一些初步的數(shù)學(xué)實踐活動經(jīng)驗〃能運用所學(xué)知識和方法解決簡單問題 , 感受數(shù)學(xué)在生活中的作用。

4、培養(yǎng)學(xué)生與人合作、與人交流的意識和能力。讓學(xué)生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生濃厚的興趣〃愿意主動去發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象〃在日常學(xué)習(xí)生活中敢于質(zhì)疑〃樂于討論探究生活中各種現(xiàn)象〃喜歡和他人合作解決問題。培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的學(xué)習(xí)態(tài)度和方法〃樹立攀登科學(xué)高峰的志趣和理想。

5、培養(yǎng)學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動、敢于質(zhì)疑、獨立思考、不怕困難等良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。體驗數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的快樂〃知道有付出才會有回報〃并培養(yǎng)吃苦耐勞的精神。

6、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思考能力、觀察能力、動手操作能力創(chuàng)新能力。引導(dǎo)學(xué)生掌握學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思想方法〃培養(yǎng)分析、推理、判斷能力〃拓寬和加深所學(xué)的知識〃充分地拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)才能〃激發(fā)創(chuàng)新思維〃發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造力〃讓學(xué)生在數(shù)學(xué)素養(yǎng)上有較大的發(fā)展與提高〃為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)好數(shù)學(xué)打下堅實的基礎(chǔ)。

四、活動措施： 1.選好人才

先初步設(shè)定趣味數(shù)學(xué)興趣小組人數(shù)〃各班主任利用班會做好宣傳發(fā)動工作〃讓學(xué)生自由報名〃再根據(jù)各班的報名人數(shù)從中選出具有一定愛好數(shù)學(xué)的學(xué)生作為學(xué)員。2.培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

學(xué)習(xí)興趣是學(xué)生基于自己的學(xué)習(xí)需要而表現(xiàn)出來的一種認(rèn)識傾向〃它是學(xué)好一門課的內(nèi)驅(qū)動力。學(xué)好數(shù)學(xué)〃掌握數(shù)學(xué)的思維方式〃是現(xiàn)代社會要求公民必須具備的基本素質(zhì)之一?；顒又小ㄍㄟ^一些大家喜聞樂見的題目〃逐步培養(yǎng)大家的“數(shù)感”〃引導(dǎo)大家喜愛數(shù)學(xué)〃以至于達(dá)到自覺學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的〃實現(xiàn)從“要我學(xué)”到“我要學(xué)”的轉(zhuǎn)變。3.注重思維能力培養(yǎng)

數(shù)學(xué)學(xué)科是一門邏輯性極強(qiáng)的學(xué)科。這就要求我們教師在上課過程中采用“任務(wù)驅(qū)動”教學(xué)法〃明確每節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)〃設(shè)下問題〃讓學(xué)生自己去思考問題、探索解決問題的辦法〃給學(xué)生“主動發(fā)展”的空間〃大力推行“發(fā)現(xiàn)式”教學(xué)〃同時要保證學(xué)生充裕的思考時間〃著重培養(yǎng)和鍛煉學(xué)生的思維能力。4.發(fā)揮“小老師”的作用。

學(xué)生當(dāng)“小老師”改變了傳統(tǒng)的師生間單向傳遞知識的方式〃使學(xué)生由知識的被動接受者轉(zhuǎn)變?yōu)橹R的傳授者〃發(fā)揮了學(xué)生的主體作用。

五、教學(xué)進(jìn)度：

篇三：五年級下校本課程教案

五年級下校本課程教案

第一講：重疊之美

主要內(nèi)容：欣賞文學(xué)中的重疊之美，數(shù)學(xué)中的重疊之妙

教學(xué)目標(biāo)：

1、欣賞文學(xué)中的重疊美，探索數(shù)學(xué)中重疊的奧秘。

2、培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力，激發(fā)學(xué)生探索規(guī)律的興趣。教學(xué)過程：

一、欣賞文學(xué)中的重疊之美

在重疊的地方往往就有美。為什么在新房門窗上貼著的紅色“喜”字，不寫“喜”而一定寫成“囍”？中國民間風(fēng)俗很講究成雙成對，文學(xué)里也有“雙聲”“疊韻”等說法。

介紹：什么是“雙聲”？什么是“疊韻”？

在號稱人間天堂的杭州，就有這樣兩幅對聯(lián)。

其中之一是：翠翠紅紅處處鶯鶯燕燕，風(fēng)風(fēng)雨雨年年暮暮朝朝。另一處則見于孤山中山公園的一座方亭，橫匾題“西湖天下景”五個大字，亭柱上懸掛一副對聯(lián)：水水山山，處處明明秀秀；晴晴雨雨，時時好好奇奇。

據(jù)說此聯(lián)同近代名人康有為有密切關(guān)系。

西湖的山山水水，處處明媚秀麗。這兩幅對聯(lián)寫出了人們對杭州與西湖山水的共同感受，因而引起了讀者的強(qiáng)烈共鳴。

在你以往讀過的文學(xué)作品中，你是否也曾感受到重疊之美？ 學(xué)生舉例。

二、數(shù)學(xué)中的重疊之妙

不過，聯(lián)語的疊字畢竟有限，我們能否把重疊之美推向無限？這就必須借助數(shù)學(xué)的力量了。

出發(fā)點是極其簡單的：3×4=12 接下去，可以寫出第二式：33×34=1122 “重疊”之妙開始露頭了，好比從“喜”字寫成了“囍”字。明眼人當(dāng)然會想到可能有第三式、第四式，指名學(xué)生試說。（333×334=111222，3333×3334=11112222）計算驗證。

經(jīng)過計算，它們居然也是對的。

于是，大膽的人又會猜測下面的無窮無盡的等式也是成立的： 33??3×33??34=11??122??2 這個等式中的第一個乘數(shù)由n個3組成，第二個乘數(shù)由（n-1）個3與1個4組成，積由n個1和n個2組成。

事情真是如此！可為什么會有這種現(xiàn)象呢？

學(xué)生討論并匯報。

第二講數(shù)對

主要內(nèi)容：讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)對確定位置

教學(xué)目標(biāo)：

1、結(jié)合生活情境，使學(xué)生體驗用數(shù)對確定位置的必要性和簡潔性。

2、在具體情境中，能用數(shù)對表示位置，根據(jù)數(shù)對確定位置，并能在方格圖中根據(jù)數(shù)對確定位置。

3、引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由實物到方格圖的抽象過程，滲透坐標(biāo)的思想，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

4、體驗確定物體位置與生活的聯(lián)系。

教具準(zhǔn)備：多媒體課件、練習(xí)紙、方格紙、寫有數(shù)對的紙條。教學(xué)過程：

一、活動鋪墊，認(rèn)識數(shù)對

1、師：上課了，老師站在了講臺中央，我這是描述了自己的什么？ 生：老師的位置。（師板書：位置）

師：以剛才回答問題的這位同學(xué)為例，站在同學(xué)們的角度觀察，誰能幫他介紹一下位置？

生1：從左數(shù)第5排，從前數(shù)第4個。

生2：從右數(shù)第2組，從后數(shù)第3個。?? 師：同學(xué)們講的“排”、“組”指的是什么？第4個、第3個又是什么意思？

生1：豎著看為一排，橫著看從前往后數(shù)是第4個（學(xué)生邊指邊說）。

生2：這樣豎著看是一組，橫著看從后往前數(shù)第3個。

師：在數(shù)學(xué)上，我們一般把一豎排稱作一列，把一橫排稱作一行。（板書：列 行）

師：這位同學(xué)的位置一定，卻有不同的說法，一一解釋很不方便，這就需要表示位置時有一個統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)。通常確定第幾列，一般從左往右數(shù)，確定第幾行，一般從前往后數(shù)。（師板書：從左往右、從前往后）那么站在同學(xué)們的角度觀察，我們的座次哪是一列？哪是一行？哪是第一列？哪是第一行？

現(xiàn)在請第2列的同學(xué)起立，再請第4行的同學(xué)起立，哪個同學(xué)站了兩次？這為什么？（因為他既站在第2列，又站在第4行。）如果再請第3列和第2行的同學(xué)起立，誰又會站兩次？為什么？（因為他既站在第3列，又站在第2行。）

師：按這樣的列、行排列規(guī)則，第一位回答問題的同學(xué)的位置在哪兒呢？

生：他坐在第5列第4行。

{評析：由學(xué)生的生活經(jīng)驗來描述位置，說法不一，感到不便，這時介紹行、列的規(guī)定，自然巧妙，使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)的必要性。}

2、師出示情境圖：

師：去年暑假，我們學(xué)校組織了豐富多彩的夏令營活動，其中少年軍校吸引了許多同學(xué)參加。瞧，他們正在進(jìn)行隊列訓(xùn)練呢！

站在同學(xué)們的角度觀察，哪是第一列？哪是第一行？你是怎樣確定的？

生：從左數(shù)第一豎排是第一列，從前數(shù)第一橫排是第一行。（學(xué)生上臺邊指邊介紹）

師：誰能說出小強(qiáng)的位置？小亮的呢？

生1：小強(qiáng)站在第3列第2行。（師板書）

生2：小剛站在第2列第4行。（師板書）

抽象位置圖，認(rèn)識數(shù)對：

1、師：如果用一個圓點代表一個小戰(zhàn)士，剛才的隊列圖就可以用這樣的點子圖來表示。你認(rèn)為這樣的表示方法有什么好處？ 生1：這樣表示更簡單了。

生2：這樣比剛才更清楚了，很容易的數(shù)出了幾行幾列。生3：?? 師：你能在這幅圖中找到小強(qiáng)的位置嗎？

小亮在第4列第3行，你能找到他嗎？（生上臺按要求分別指出各自的位置）

同學(xué)們能說出其它幾位同學(xué)的位置嗎？誰愿意上臺幫老師做一下記錄？

（學(xué)生說出其它幾個同學(xué)的位置，一同學(xué)在黑板上做記錄，很明顯同學(xué)們說得快，他記錄得慢，表現(xiàn)出著急無措的樣子。）師：你在記錄時有什么感受？

生：這樣表示同學(xué)們在隊列中的位置太麻煩了，如果有種簡便的表示方法就更好了！

2、師：是?。?shù)學(xué)的一大優(yōu)點是簡練。我們能否把表示位置的的方

篇四：數(shù)學(xué)校本課程教案

生活中的立體幾何教案

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、在所學(xué)立體幾何的基礎(chǔ)上研究兩個相連立方體的展開圖。

2、通過這節(jié)學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生動手操作能力，以及學(xué)生的空間想象能力。重點：兩個相連立方體的展開圖。

難點：其他幾何體的展開圖。

學(xué)習(xí)過程：

1、折疊問題巧解決 : 圖1 一名紙盒制造商要求設(shè)計師設(shè)計一種適當(dāng)?shù)募埌?，使得該紙板折疊以后可隔成兩個立方體，且這兩個正方體上方各有一個蓋子。

有很多種設(shè)計可符合此要求，但是最后制造商決定采用如上圖所示的“十”字形紙板。

根據(jù)設(shè)計師的說法，只要將紙板裁兩刀，就可折疊出所需要的盒子，到底該從何著手？

解答與分析 :順著圖中的粗線將紙盒剪開，再沿著虛線處將a與b兩塊粘合，形成盒子的中央分隔部位，并使兩片蓋子可以以此為底軸任意開關(guān)。接下

來便可很輕易地折出題目所要求的盒子。

解題的關(guān)鍵在于兩片蓋子的底軸位于同一處。當(dāng)這個關(guān)鍵問題解決之后，要找出符合要求的設(shè)計并不難。在大部分的設(shè)計中，此答案是最理想的。

圖2

2、辛賽的奧妙: 1982年，有一種稱為“辛賽的奧妙”(shinsei mystery)的數(shù)學(xué)玩具上市，它是由兩個相同的部分組成的，每一部分又是由8個互相連接的多面體構(gòu)成。它可以組合成許多奇妙的形狀，其中包括立方體和12個頂點的星狀體。

這個模型的基礎(chǔ)是半個立方體(如圖1)，可以把它看成是3個角錐體(6個這樣的角錐體構(gòu)成立方體)，向內(nèi)折使其頂點會合于立方體的中心。這個半立方體的展開圖見圖2。展開圖中有一個三角形的面出現(xiàn)兩次，可以粘合在一起，以增加強(qiáng)度。

“辛賽的奧妙”每一半都有8個這樣的半立方體，彼此以巧妙的方式連接在一起。它可以疊成如圖3所示有12 個頂點的星狀體。為了說明連接的方法，我

們可以把星狀體水平分成兩半，再把相同的兩半并排在一起，用比較平面的方式表現(xiàn)。

圖4 圖4是由上方俯視的示意圖，a、b、c對應(yīng)于立方體展開圖(圖2)的標(biāo)示。將8個半立方體的底面def按圖所示置于平面上，并用膠帶紙粘貼?，F(xiàn)在你也擁有一個奇妙的模型了，任何把玩它的人都會覺得趣味盎然。用不同顏色的紙板再做一個相同的模型，你會發(fā)現(xiàn)它們可以組合在一起，而且可以使其中一個消失在另一個之中。

三維立體問題:我們通常都可以從二維的圖畫中看出所要表現(xiàn)的三維物體，識圖與繪圖的訓(xùn)練，可以培養(yǎng)我們的空間觀念。然而，就像這里所示的一些圖畫，二維的圖畫也可以在視覺上創(chuàng)造出不可能的事物。在第一張圖中，到底是2根還是3根木栓？階梯是否可以自己相連？你是否能用3根木條做出圖上的三角形？

關(guān)于視覺的認(rèn)知，可能心理學(xué)家要比數(shù)學(xué)家研究得更多一些，但數(shù)學(xué)家也經(jīng)常使用二維圖形作為思考空間問題的參考，因此必須對二維圖形的缺點有所了解。

作業(yè)：注意并收集那些會欺騙你眼睛的圖畫。

篇五：五年級數(shù)學(xué)校本教材

上 冊

劉徽（生于公元250年左右），是中國數(shù)學(xué)史上一個非常偉大的數(shù)學(xué)家，在世界數(shù)學(xué)史上，也占有杰出的地位．他的杰作《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》，是我國最寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)。

《九章算術(shù)》約成書于東漢之初，共有246個問題的解法。在許多方面：如解聯(lián)立方程，分?jǐn)?shù)四則運算，正負(fù)數(shù)運算，幾何圖形的體積面積計算等，都屬于世界先進(jìn)之列，但因解法比較原始，缺乏必要的證明，而劉徽則對此均作了補(bǔ)充證明。在這些證明中，顯示了他在多方面的創(chuàng)造性的貢獻(xiàn)．他是世界上最早提出十進(jìn)小數(shù)概念的人，并用十進(jìn)小數(shù)來表示無理數(shù)的立方根。

在代數(shù)方面，他正確地提出了正負(fù)數(shù)的概念及其加減運算的法則；改進(jìn)了線性方程組的解法．在幾何方面，提出了割圓術(shù)，即將

圓周用內(nèi)接或外切正多邊形窮竭的一種求圓面積和圓周長的方法．他利用割圓術(shù)科學(xué)地求出了圓周率π=3.14的結(jié)果。他用割圓術(shù)，從直徑為2尺的圓內(nèi)接正六邊形開始割圓，依次得正12邊形、正24邊形??，割得越細(xì)，正多邊形面積和圓面積之差越小，用他的原話說是“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣?！彼嬎懔?072邊形面積并驗證了這個值．劉徽提出的計算圓周率的科學(xué)方法，奠定了此后千余年中國圓周率計算在世界上的領(lǐng)先地位。

劉徽在數(shù)學(xué)上的貢獻(xiàn)極多，在開方不盡的問題中提出“求徽數(shù)”的思想，這方法與后來求無理根的近似值的方法一致，它不僅是圓周率精確計算的必要條件，而且促進(jìn)了十進(jìn)小數(shù)的產(chǎn)生；在線性方程組解法中，他創(chuàng)造了比直除法更簡便的互乘相消法，與現(xiàn)今解法基本一致；并在中國數(shù)學(xué)史上第一次提出了“不定方程問題”；他還建立了等差級數(shù)前n項和公式；提出并定義了許多數(shù)學(xué)概念：如冪（面積）；方程（線性方程組）；正負(fù)數(shù)等等．劉徽還提出了許多公認(rèn)正確的判斷作為證明的前提。他的大多數(shù)推理、證明都合乎邏輯，十分嚴(yán)謹(jǐn)，從而把《九章算術(shù)》及他自己提出的解法、公式建立在必然性的基礎(chǔ)之上．雖然劉徽沒有寫出自成體系的著作，但他注《九章算術(shù)》所運用的數(shù)學(xué)知識實際上已經(jīng)形成了一個獨具特色、包括概念和判斷、并以數(shù)學(xué)證明為其聯(lián)系紐帶的理論體系．

劉徽在割圓術(shù)中提出的割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無所失矣，這可視為中國古代極限觀念的佳

作．《海島算經(jīng)》一書中，劉徽精心選編了九個測量問題，這些題目的創(chuàng)造性、復(fù)雜性和富有代表性，都在當(dāng)時為西方所矚目．劉徽思想敏捷，方法靈活，既提倡推理又主張直觀．他是我國最早明確主張用邏輯推理的方式來論證數(shù)學(xué)命題的人．劉徽的一生是為數(shù)學(xué)刻苦探求的一生．他雖然地位低下，但人格高尚．他不是沽名釣譽(yù)的庸人，而是學(xué)而不厭的偉人，他給我們中華民族留下了寶貴的財富。

第二講 法國數(shù)學(xué)家勒內(nèi)．笛卡爾

勒內(nèi)·笛卡爾

笛卡爾出身于一個地位較低的貴族家庭，父親是布列塔尼議會的議員。1歲多時母親患肺結(jié)核去世，而他也受到傳染，造成體弱多病。母親去世后，父親移居他鄉(xiāng)并再婚，而把笛卡爾留給了他的外祖母帶大，自此父子很少見面，但是父親一直提供金錢方面的幫助，使他能夠受到良好的教育。

在他8歲時笛卡爾就進(jìn)入拉夫賴士(la flèche)的耶穌英語會學(xué)校接受教育，受到良好的古典學(xué)以及數(shù)學(xué)訓(xùn)練。1613年到普瓦捷大學(xué)學(xué)習(xí)法律，1616年畢業(yè)。畢業(yè)后笛卡爾一直對職業(yè)選擇不定，又決心游歷歐洲各地，專心尋求“世界這本大書”中的智慧。因此他于1 618年在荷蘭入伍，隨軍遠(yuǎn)游。

笛卡爾對數(shù)學(xué)的興趣就是在荷蘭當(dāng)兵期間產(chǎn)生的。一次他看到軍營公告欄上用佛萊芒語寫的數(shù)學(xué)問題征答引起了興趣，并且讓一位他當(dāng)兵的朋友，進(jìn)行了翻譯。他的這位朋友在數(shù)學(xué)和物理學(xué)方面有很高造詣，很快成為了他的老師。4個月后，他寫信給這位朋友，“你是將我從冷漠中喚醒的人...”，并且告訴他，自己在數(shù)學(xué)上有了4個重大發(fā)現(xiàn)。可惜的是這些發(fā)現(xiàn)現(xiàn)在已經(jīng)無從知道了。26歲時，笛卡爾變賣掉父親留下的資產(chǎn)，用4年時間游歷歐洲，其中在意大利住了2年，隨后定居巴黎。

1621年笛卡爾退伍，并在1628年移居荷蘭，在那里住了20多年。在此期間，笛卡爾專心致力于哲學(xué)研究，并逐漸形成自己的思想。他在荷蘭發(fā)表了多部重要的文集，包括了《方法論》、《形

一、知識要點：

（一）四則運算的定律、性質(zhì)、法則是進(jìn)行速算與巧算的重要依據(jù)。

1、利用運算定律使計算簡便。

2、利用運算順序的改變使計算簡便。

3、利用運算法則使計算巧妙。

（二）轉(zhuǎn)化是速算與巧算的主要技巧。

1、當(dāng)一個數(shù)接近整

十、整百、整千??的時候，將其轉(zhuǎn)化為整

十、整百、整千的數(shù)，計算比較簡便。

2、利用數(shù)的分解或拆數(shù)，轉(zhuǎn)化后巧算。

3、改變計算方法（變加為減，變減為加，變乘為除，變除為乘）使計算簡便。

（三）認(rèn)真觀察算式及數(shù)的特征，剖析數(shù)于數(shù)之間的關(guān)系，是靈活的選擇和合理運用計算技巧的主要方法。