第一篇：線性代數(shù)教案-第四章 線性方程組

第四章：線性方程組

一、本章的教學目標及基本要求

所謂線性方程組,其形式為

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1,?ax?ax???ax?b,?2112222nn2(4.0.1)? ? ? ? ????am1x1?am2x2???amnxn?bm.其中x1,?,xn代表n個未知量,m是方程個數(shù),aij(i?1,?,m；j?1,?,n)被稱為方程組的系數(shù),bi(i?1,?,m)是常數(shù)項.方程組中未知量個數(shù)n與方程個數(shù)m不一定相等.系數(shù)aij的第一個角標i表示它在第i個方程,第二個角標j表示它是未知量xj的系數(shù).因為未知量的冪次是1,故稱為線性方程組.如果知道了一個線性方程組的全部系數(shù)和常數(shù)項,這個線性方程組就確定了.確切地說,線性方程組(4.0.1)可以用下列矩陣來表示:

?a11?a?21????am1a12a22??a1n?a2n?am2?amnb1?b2??(4.0.2)???bm?實際上,給定矩陣(4.0.2),除去代表未知量的字母外,線性方程組(4.0.1)就確定了,而采用什么字母來代表未知量是無關緊要的.以后如無特別聲明,類似(4.0.2)的矩陣就被看做一個線性方程組.對于線性方程組(4.0.1),設A?[aij]m?n,x?(x1,?,xn)T,b?(b1,?,bm)T,由矩陣乘法的定義知,它可被表為

Ax?b.(4.0.3)

當m?n,A是一個n階方陣.若detA?0,它存在唯一解,可用克萊姆法則求得.若detA?0,或m?n,方程組(4.0.3)在什么條件下有解；如果有解,解是否唯一；如果解不唯一而且有無窮個,這些解是否可用簡要形式表示以及如何表示等等問題,即為本章討論的主要內容.齊次線性方程組

在線性方程組(4.0.3)中,若b?θ?(0,?,0),則有

TAx?θ.(4.1.1)

這被稱為與線性方程組(4.0.3)對應的齊次線性方程組,A被稱為它的系數(shù)矩陣.線性方程組的三種初等變換,與矩陣的三種行初等變換完全對應.任何矩陣均可經有限次行初等變換化為行最簡形.性質1 若x?ξ1,x?ξ2是Ax?θ的解,則x?ξ1?ξ2也是Ax?θ的解.性質2 若x?ξ是Ax?θ的解,k為任意實數(shù),則x?kξ也是Ax?θ的解.Ax?θ的全部解構成一個線性空間,記為S,被稱為齊次線性方程組Ax?θ的解空間.定理4.1.1 齊次線性方程組(4.1.1)有非零解的充要條件是R(A)?n.解空間S的基又被稱為方程組(4.1.1)的基礎解系.求得基礎解系,就求得了全部解.通解.顯然,θ?(0,?,0)T是齊次線性方程組的解,被稱為零解或平凡解.非齊次線性方程組

在線性方程組(4.0.3)中,若b?θ?(0,?,0)T,則它被稱為非齊次線性方程組.與它對應的矩陣

?a11?aB??21????am1a12a22??a1n?a2n?am2?amnb1?b2?? ???bm?是一個m?(n?1)矩陣,它由系數(shù)矩陣A?[aij]m?n加上一列b?(b1,?,bm)T組成,即

B?[A?b].稱B為線性方程組(4.0.3)的增廣矩陣.性質1 若x?η1,x?η2是Ax?b的解,則x?η2?η1是對應齊次線性方程組Ax?θ的解.性質2 若x?η是Ax?b的解,x?ξ是對應齊次線性方程組Ax?θ的解,則x?ξ?η是Ax?b的解.性質3 非齊次線性方程組的通解是對應齊次方程組的通解加上自身的任意一個解.定理4.2.1 非齊次線性方程組Ax?b有解的充要條件是R(A)?R(B),即系數(shù)矩陣和增廣矩陣有相同的秩.定理4.2.2設非齊次線性方程組Ax?b的系數(shù)矩陣A及增廣矩陣B的秩相等:R(A)?R(B)?r,未知量個數(shù)為n.則它有唯一解的充要條件是r?n；它有無窮多解的充要條件是r?n.二、本章教學內容的重點和難點

1、齊次及非齊次線性方程組的解法

2、理解解空間與前面空間的關系。

三、本章內容的深化和拓廣

了解求解方程組在實際問題中的應用。

四、本章教學方式

以講課方式為主。

五、本章的思考題和習題

1(3)(4)2 3(3)(4)4(2)(3)5 6 7 8 9

第二篇：線性方程組教案

第三章 線性方程組 教學安排說明

章節(jié)題目： §3.1 線性方程組的消元解法；§3.2 向量與向量組的線性組合； §3.3 向量的線性相關性；§3.4向量組的秩；§3.5線性方程組解的結構；習題課 學時分配：共12學時。

§3.1 線性方程組的消元解法；

3學時 §3.2 向量與向量組的線性組合 1.5學時 §3.3 向量的線性相關性

1.5學時； §3.4向量組的秩；

3學時 §3.5線性方程組解的結構；習題課

3學時 本章教學目的與要求：：

目的：使學生掌握線性方程組的初等變換和系數(shù)矩陣的初等行變換的關系及線性方程組的求解方法。

要求

1）．理解線性方程組的消元解法與系數(shù)矩陣的初等變換的關系； 2）．熟練運用矩陣的初等變換解線性方程組；

3）．理解并掌握矩陣秩的概念，學會用矩陣的初等變換求矩陣秩的方法； 4）．掌握線性方程組有解的判定定理及應用； 5）．掌握齊次線性方程組有非零解的充分必要條件；

課 堂 教 學 方 案

課程名稱：§3.1 線性方程組的消元解法

授課時數(shù)：3學時 授課類型：理論課 教學方法與手段：講授法

教學目的與要求：使學生掌握線性方程組的初等變換和系數(shù)矩陣的初等行變換的關系，熟練運用矩陣的初等變換解線性方程組；

教學重點、難點：線性方程組的初等變換，矩陣的初等變換，消元法解線性方程組的具體做法，教學內容

§3.1 線性方程組的消元解法

現(xiàn)在討論一般線性方程組.所謂一般線性方程組是指形式為

?a11x1?a12x2??ax?ax??211222????am1x1?am2x2??a1nxn?b1,?a2nxn?b2,?amnxn?bm

(3.1)的方程組，aij(i?1,2，m;j?1,2，n)稱為線性方程組的系數(shù)，bj(j?1,2，m)稱為常數(shù)項.系數(shù)aij的第一個指標i表示它在第i個方程，第二個指標j表示它是xj的系數(shù).其中x1,x2,?,xn代表n個未知量，m是方程的個數(shù)，方程組中未知量的個數(shù)n與方程的個數(shù)m不一定相等.若記：

?a11a12?a21a22?A????am1am2a1n??x1??b1??????a2n?xb2?2???

X?

b?

??????????xamn??bs??n?a1na2namnb1??b2?

（3.2）??bm?而系數(shù)和常數(shù)項又可以排成下表：

?a11a12?a21a22?A????am1am2顯然AX?b，實際上，有了(3.2)之后，除去代表未知量的文字外線性方程組(3.1)就確定了，方程解的情況與采用什么文字來代表未知量沒有關系.這里矩陣A稱為線性方程組的系數(shù)矩陣，A 稱為增廣矩陣。

在中學所學代數(shù)里學過用加減消元法和代入消元法。解二元、三元線性方程組.實際上，這個方法比用行列式解線性方程組更有普遍性.下面就來介紹如何用一般消元法解一般線性方程組.例1，解方程組

?2x1?2x2?x3?6,??x1?2x2?4x3?3, ?5x?7x?x?28.23?1不難看出，在消去未知量的過程中，它實際上是反復地對方程組進行變換，而所用的變換也只是由以下三種基本的變換所構成：

1.互換兩個方程的位置，2.用一非零數(shù)乘某一方程； 3.把一個方程的倍數(shù)加到另一個方程。

以上三種變換1，2，3稱為線性方程組的初等變換.所謂方程組(3.1)的一個解就是指由n個數(shù)k1,k2,?,kn組成的有序數(shù)組(k1,k2,?,kn)，當x1,x2,?,xn分別用k1,k2,?,kn代入后，(3.1)中每個等式都變成恒等式.方程組(3.1)的解的全體稱為它的解集合.解方程組實際上就是找出它全部的解，或者說，求出它的解集合.如果兩個方程組有相同的解集合，它們就稱為同解的.顯然初等變換把一個線性方程組變成一個與它同解的線性方程組

線性方程組有沒有解完全取決于（3.1）的系數(shù)和常數(shù)項，如果知道了一個線性方程組的全部系數(shù)和常數(shù)項，那么這個線性方程組的解就基本上確定了.顯然，消元法求方程組解的過程就是相當于對線性方程組的增廣矩陣反復施行初等變換的過程.線性方程組的初等變換對應于矩陣的初等行變換，因此，以下從矩陣的初等變換入手討論方程的解。

定理3.1 線性方程組(3.1)的增廣矩陣總可以通過矩陣的初等行變換和第一種列變換化為以下形式：

?c11c12??0c21???00?0???0?c1rc2rcr,r?1c1nc2ncrn0d1??d2???dr?（3.3）dr?1???0??相應地，線性方程組(3.1)化為

?c11x1?c12x2???c1rxr???c1nxn?d1,?c22x2???c2rxr???c2nxn?d2,?????????crrxr???crnxn?dr,?

（3.4）?0?d,r?1??0?0,?????0?0.?因此線性方程組（3.1）有解的充要條件是r?A,b??r?A?，并且當r?A,b??n時方程組有唯一解，當r?A,b??n時有無窮多解。簡要證明：對于方程組(3.1)，首先檢查x1的系數(shù).如果x1的系數(shù)a11,a21,?,as1全為零，那么方程組(3.1)對x1沒有任何限制，x1就可以取任何值，而方程組(3.1)可以看作x2,?,xn的方程組來解.如果x1的系數(shù)不全為零，那么利用初等變換1，不妨設a11?0.利用初等變換3，分別把第一個方程的?(i?2,?,n).于是方程組(3.1)就變成

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1,??x2???a2?nxn?b2?,a22?

?????????????a?s2x2???asnxn?bs,?ai1倍加到第i個方程a11其中

??aij?aijai1?a1j,i?2,?,s,j?2,?,n a11相應的，增廣矩陣的第一列除a11?0外，其余元素全變?yōu)? 這樣，解方程組(3.1)的問題就歸結為解方程組

?x2???a2?nxn?b2?,?a22?

??????????a?x???a?x?b?snnn?s22的問題.這樣一步步作下去，最后就得到一個階梯形方程組.為了討論起來方便，不妨設所得的方程組為

?c11x1?c12x2???c1rxr???c1nxn?d1,?c22x2???c2rxr???c2nxn?d2,?????????crrxr???crnxn?dr,?

(3.5)?0?d,r?1??0?0,?????0?0.?相應的矩陣為 ?c11c12??0c21?? ?00?0???0?c1rc2rcr,r?1c1nc2ncrn0d1??d2???dr?(3.6)dr?1???0??其中cii?0,i?1,2,?,r.方程組(3.5)中的“0=0”這樣一些恒等式可能不出現(xiàn)，也可能出現(xiàn)，這時去掉它們也不影響(3.11)的解.而且(3.1)與(3.5)是同解的.現(xiàn)在考慮的解的情況.如(3.5)中有方程0?dr?1，而dr?1?0.這時不管x1,x2,?,xn取什么值都不能使它成為等式.故(3.5)無解，因而(1)無解.當dr?1是零或(3.5)中根本沒有“0=0”的方程時，分兩種情況： 1）r?n.這時階梯形方程組為

?c11x1?c12x2???c1nxn?d1,?c22x2???c2nxn?d2,?

（3.7）?????????cnnxn?dn,?其中cii?0,i?1,2,?,n.由最后一個方程開始，xn,xn?1,?,x1的值就可以逐個地唯一決定了.在這個情形，方程組(3.7)的解也就是方程組(1)有唯一的解.2）r?n.這時階梯形方程組為

?c11x1?c12x2???c1rxr?c1,r?1xr?1???c1nxn?d1,?c22x2???c2rxr?c2,r?1xr?1???c2nxn?d2,? ?????????crrxr?cr,r?1xr?1???crnxn?dr,?其中cii?0,i?1,2,?,r.把它改寫成

?c11x1?c12x2???c1rxr?d1?c1,r?1xr?1???c1nxn,?c22x2???c2rxr?d2?c2,r?1xr?1???c2nxn,?

(3.8)?????????crrxr?dr?cr,r?1xr?1???crnxn.?由此可見，任給xr?1,?,xn一組值，就唯一地定出x1,x2,?,xr的值，也就是定出方程組(3.8)的一個解.一般地，由(3.8)我們可以把x1,x2,?,xr通過xr?1,?,xn表示出來，這樣一組表達式稱為方程組(3.1)的一般解，而xr?1,?,xn稱為一組自由未知量.從這個例子看出，對線性方程組的增廣矩陣實施初等變換，有時不一定是（3.5）的樣子，但總可以適當調換矩陣的列，相當于同時交換方程組中某兩個未知量的位置，這并不影響方程的解。以上就是用消元法解線性方程組的整個過程.總起來說就是，首先用初等變換化線性方程組為階梯形方程組，把最后的一些恒等式“0=0”(如果出現(xiàn)的話)去掉.如果剩下的方程當中最后的一個等式是零等于一非零的數(shù)，那么方程組無解，否則有解.在有解的情況下，如果階梯形方程組中方程的個數(shù)r等于未知量的個數(shù)，那么方程組有唯一的解；如果階梯形方程組中方程的個數(shù)r小于未知量的個數(shù)，那么方程組就有無窮多個解.例2 解線性方程組

?x1?5x2?x3?x4??1,?x?2x?x?3x?3,?1234 ??3x1?8x2?x3?x4?1,??x1?9x2?3x3?7x4?7.例3 解線性方程組

?x1?2x2?3x3?x4?5,?2x?4x?x??3,?124 ???x1?2x2?3x3?2x4?8,??x1?2x2?9x3?5x4??21.課后作業(yè)：P152 1，3

課 堂 教 學 方 案

課程名稱： §3.2向量與向量組的線性相關性 授課時數(shù)：1.5學時 授課類型:理論課

教學方法與手段：講授法

教學目的與要求：掌握向量組的線性相關、無關的定義，掌握有關定理及推論 教學重點、難點：重點是判別向量組的線性相關性；難點是定理的證明 教學內容

§3.2 向量與向量組的線性組合

（一）向量及其線性運算

定義3.1 所謂數(shù)域P上一個n維向量就是由數(shù)域P中n個數(shù)組成的有序數(shù)組

(a1,a2,?,an)

(1)ai稱為向量(1)的第i分量.用小寫希臘字母?,?,?,?來代表向量.向量通常是寫成一行：

??(a1,a2,?,an).有時也可以寫成一列：

?b1???b???2?.?????bn?為了區(qū)別，前者稱為行向量，后者稱為列向量。它們的區(qū)別只是寫法上的不同.如果n維向量

??(a1,a2,?,an),??(b1,b2,?,bn)的對應分量都相等，即

ai?bi(i?1,2,?,n).就稱這兩個向量是相等的，記作???.分量全為零的向量(0,0,?,0)稱為零向量，記為0;向量(?a1,?a2,?,?an)稱為向量??(a1,a2,?,an)的負向量，記為??.定義3.2 向量

??(a1?b1,a2?b2,?,an?bn)

稱為向量

??(a1,a2,?,an),??(b1,b2,?,bn)的和，記為?????

定義3.3 設k為數(shù)域P中的數(shù)，向量(ka1,ka2,?,kan)稱為向量??(a1,a2,?,an)與數(shù)k的數(shù)量乘積，記為k?

定義3.4 所有n維實向量的集合記為Rn，Rn的n維向量的全體，同時考慮到定義在它們上面的加法和數(shù)量乘法，稱為實n維向量空間.顯然線性空間中元素滿足以下規(guī)律：

交換律：

???????.(2)結合律：

??(???)?(???)??.(3)

??0??.(4)

??(??)?0.(5)k(???)?k??k?，(6)(k?l)??k??l?，(7)k(l?)?(kl)?，(8)

1???.(9)(6)—(9)是關于數(shù)量乘法的四條基本運算規(guī)則.由(6)—(9)或由定義不難推出：

0??0，(10)

(?1)????，(11)

k0?0.(12)如果k?0,??0，那么

k??0.(13)例1．計算

11（i）（2，0，-1）+（-1，-1，2）+（0，1，-1）；

321（ii）5（0，1，-1）-3（1，2）+（1，-3，1）．

3例2．證明：如果

a（2，1，3）+ b（0,1,2）+ c（1，-1，4）=（0，0，0），那么a = b = c = 0．

（二）向量組的線性組合

兩個向量之間最簡單的關系是成比例.所謂向量?與?成比例就是說有一數(shù)k使

??k?.定義3.5 向量?稱為向量組?1,?2,的數(shù)k1,k2,?,ks，使

??k1?1?k2?2?如果有數(shù)域P中,?s的一個線性組合，?ks?s, ,?s其中k1,k2,?,ks叫做這個線性組合的系數(shù).當向量?是向量組?1,?2,的一個線性組合時，也說?可以經向量組?1,?2，?s線性表出.例如，任一個n維向量??(a1,a2,?,an)都是下面向量組的一個線性組合.??1?(1,0,?,0),???(0,1,?,0),?2 ?

??????????n?(0,0,?,1)向量?1,?2,?,?n稱為n維單位向量.零向量是任意向量組的線性組合.?a1j??b1?????a2jb2定理3.3設????，向量?i???（j?1,2,????????a??b?m??mj?組?1,?2，n），則向量?可由向量,?n線性表示的充要條件是：以?1,?2，?n為列向量的矩陣與以?1,?2，?n，?為列向量的矩陣有相同的秩

若向量組?1,?2，?s的中每一個向量?i(i?1,2,s,都)可以經向量組?1,?2，?t線性表出，那么向量組?1,?2，?s就稱為可以經向量組?1,?2，?t線性表出.定理3.4如果向量組?1,?2,組?1,?2，?s可以經向量組?1,?2，?t線性表出，向量,?s可以,?t可以經向量組?1,?2,?,?p線性表出，那么向量組?1,?2,經向量組?1,?2,?,?p線性表出.定義3.5如果兩個向量組互相可以線性表出，它們就稱為等價.向量組之間等價具有以下性質：

1）反身性：每一個向量組都與它自身等價.2）對稱性：如果向量組?1,?2,?,?s與?1,?2,?,?t等價，那么向量組?1,?2,?,?t與?1,?2,?,?s等價.3）傳遞性：如果向量組?1,?2,?,?s與?1,?2,?,?t等價，?1,?2,?,?t與?1,?2,?,?p等價，那么向量組?1,?2,?,?s與?1,?2,?,?p等價.課后作業(yè)：P159 4，6（1），8

課 堂 教 學 方 案

課程名稱： §3.3向量組的線性相關性 授課時數(shù)：1.5學時 授課類型:理論課

教學方法與手段：講授法

教學目的與要求：掌握向量組的線性相關、無關的定義，掌握有關定理及推論 教學重點、難點：重點是判別向量組的線性相關性；難點是定理的證明 教學內容

§3.3向量組的線性相關性

定義3.7向量組?1,?2,?,?s(s?1)稱為線性相關的，如果有數(shù)域P中不全為零的數(shù)k1,k2,?,ks，使

k1?1?k2?2???ks?s?0

如果當且僅當k1?k2?線性無關。

從定義可以看出，單獨一個零向量線性相關，單獨一個非零向量線性無關.任意一個包含零向量的向量組一定是線性相關的.向量組?1,?2線性相關就表示

?ks?0上式成立，則稱向量組?,?,?,?(s?1)12s?1?k?2或者?2?k?1(這兩個式子不一定能同時成立).在P為實數(shù)域，并且是三維時，就表示向量?1與?2共線.三個向量?1,?2,?3線性相關的幾何意義就是它們共面.并且如果一向量組線性無關，那么它的任何一個非空的部分組也線性無關.特別地，由于兩個成比例的向量是線性相關的，所以，線性無關的向量組中一定不能包含兩個成比例的向量.不難看出，由n維單位向量?1,?2,?,?n組成的向量組是線性無關的.定理3.5 向量組?1,?2，?n，其中

?a1j???a2j?i???j?1,2,????a???mj?,n，則?1,?2，?n線性相關的充要條件是：以?1,?2，?n為列向量的矩陣的秩小于向量的個數(shù)n。

具體判斷一個向量組是線性相關還是線性無關的問題可以歸結為解方程組的問題.向量組?1,?2，?n線性相關?齊次線性方程組x1?1?x2?2??xn?n?0有非零,?n線,?n解?；蛘哒f齊次線性方程組x1?1?x2?2?性無關。

推論1 設n個向量?i??a1j,a2j,線性相關的充要條件是：

a11a21an1a12a22an2?xn?n?0只有零解??1,?2,，向量組?1,?2，n）,anj?（j?1,2,a1na2nann?0

注：這里把?1,?2，?n應理解為列向量。

也可以說向量組?1,?2，?m線性相關?A?(?1?2?m)的秩小于向量個數(shù)m；向量組線性無關?A?(?1?2?m)的秩為m.從而，如果向量組(2)線性無關，那么在每一個向量上添一個分量所得到的n?1維的向量組

?i?(ai1,ai2,?,ain,ai,n?1),i?1,2,?,s(5)也線性無關.例1 判斷P3的向量

?1?(1,?2,3),?2?(2,1,0),?3?(1,?7,9)

是否線性相關。

例2 若向量組?1,?2,?3線性無關，則向量組2?1??2,?2?5?3,4?3?3?1也線性無關.例3若向量?1,?2，?m的部分組?1,?2，?s(s?m)線性相關,?s線性無關。??1,?2，?m線性相關。反之，?1,?2，?m線性無關??1,?2,證：因為?1,?2，?s線性相關，則存在不全為零的k1,k2,?ks?s?0?s?1?,ks，使

k1?1?k2?2?則?1,?2,（2）記 ?ks?s?0?k1?1??0?m?0 ,?m線性相關。

?a1j??a1j??????,(j?1,?j???,?j???arj??a???rj??a???r?1j?,m)

若?1,?2，?m線性無關??1,?2，?m線性相關。,?m線性無關。反之，若?1,?2，?m線性相關??1,?2,證：1°記A?(?1,?2,?,m),B??(1?,2,?m,，)顯然r(A)?r(B)，因為?1,?2，?m線性無關，知r(A)?m，因而r(B)?m.2°因為B只有m列，所以r(B)?m.由1°和2°知r(B)?m，知?1,?2，?m線性無關。,?m，當n?m時??1,?2，?m線（3）m個n維向量組成的向量組?1,?2,性相關。

證：記An?m?(?1,相關。

（4）設向量組?1,?2，?m)，因為n?m?r(An?m)?n?m，則?1,?2，?m線性,?m線性無關，?1,?2，?m,?線性相關??可由?1,?2，?m表示，且表示法唯一。

證：記A?(?1,?2,1°因為?1,?2,2°因為?1,?2，?m),B?(?1,?2，?m,?)，顯然r(A)?r(B).,?m線性無關，知r(A)?m ,?m,?線性相關，知r(B)?m?1 ,?m)x?b有解且唯一。??可由因此r(B)?m，知，Ax?(?1,?2,?1,?2，?m表示，且表示法唯一?！?/p>

推論1 當向量組中所含向量的個數(shù)大于向量的維數(shù)時，此向量組線性相關。定理3.6 如果一向量組的一部分線性相關，那么這個向量組就線性相關.（二）關于線性組合與線性相關的定理

定理3.7 向量組?1,?2,?,?s(s?2)，線性相關?向量組?1,?2,?,?s中至少存在一個向量能由其余s?1個向量線性表示。

定理3.8 設?1,?2,以由?1,?2,而向量?1,?2，?s?線性相關，則?可,?s線性無關，,?s線性表示，且表示法唯一。,?s與?1,?2，?t是兩個向量組.如果向量組定理3.9 設?1,?2,?1,?2，?t可以經?1,?2，?s線性表出，且t?s，那么向量組?1,?2，?t必線性相關.反之如果向量組?1,?2，?t可以經向量組?1,?2，?s線性表出，且?1,?2，?t線性無關，那么t?s.推論 兩個線性無關的等價的向量組，必含有相同個數(shù)的向量.例4（1）設?1,?2,?3線性無關，證明?1,?1??2,?1??2??3也線性無關；對n個線性無關向量組?1,?2,?,?n，以上命題是否成立？

（2）當?1,?2,?3線性無關，證明?1??1??2,?2??2??3,?3??1??3也線性無關，當?1,?2,?,?n線性無關時，?1??2,?2??3,?,?n?1??n,?n??1是否也線性無關？

解：令x1?1?x2?2?x3?3?0，代入整理得：.因為?1,?2,?3線性無關，則應有

?x3?0?x1??0?x1?x2?x2?x3?0?

（﹡）

(x1?x3)?1?(x1?x2)?2?(x2?x3)?3?0 ?101??101?????A??110?????01?1??B?011??001?????

r(A)?r(B)?3，所以（﹡）式只有零解，由定理5推論1知?1,?2,?3線性無關。

例5 設在向量組?1,?2,?,?n中，?1??0且每個?i都不能表成它的前i?1個向量?1,?2,?,?i?1的線性組合，證明?1,?2,?,?n線性無關.例6 研究下面向量組的線性相關性

?1??0???1???????1???2,??2,??23?????0??3???5??2???????

解：解法1.令k1?1?k2?2?k3?3?0，整理得 ?k3?k1???2k1?2k2?3k?1?5k2?2k3因為線性方程組的系數(shù)行列式

?0?0?0

10?10?02

所以方程組必有非零解，知?1,?2,?3線性相關。

（2）解法2.由

?10?1??10?1???行???220???02?2?????B?3?52??000????? ?223?5知?1,?2,?3線性相關?！?/p>

小結：(1)若所給的向量為行向量，轉置成列向量，再用上面的方法求解即可。（2）解法2一般說來比較好，今后盡可能用解法2.例7已知?1,?2,?3線性無關，?1??1??2，?2??2??3，?3??3??1，證明向量組?1,?2,?3線性無關。

課后作業(yè)P160

11，13，15，16（1）

課 堂 教 學 方 案

課程名稱： §3.4 向量組的秩 授課時數(shù)：3學時 授課類型:理論課

教學方法與手段：講授法

教學目的與要求：掌握向量組的秩的定義，掌握有關定理及推論 教學重點、難點：向量組的秩的定義、有關定理及推論 教學內容

（一）向量組的極大線性無關組

定義3.8 n維向量組?1,?2,?,?s的一個部分組稱為一個極大線性無關組，如果這個部分組本身是線性無關的，并且從這個向量組中任意添一個向量(如果還有的話)，所得的部分向量組都線性相關.一個線性無關向量組的極大線性無關組就是這個向量組本身.極大線性無關組的一個基本性質是，任意一個極大線性無關組都與向量組本身等價.比如看R3的向量組

?1?(1,0,0),?2?(0,1,0),?3?(1,1,0)

在這里｛?1,?2｝線性無關，而?3??1??2，所以｛?1,?2｝是一個極大線性無關組.另一方面，｛?1,?3｝，｛?2,?3｝也都是向量組｛?1,?2,?3｝的極大線性無關組.定理3.10如果 ?j1,?j2，?jr是?1,?2,?,?s的線性無關部分組，它是極大,?jr線性表示。無關組的充要條件是?1,?2,?,?s中每一個向量都可由?j1,?j2,上面的例子可以看出，向量組的極大線性無關組不是唯一的.但是每一個極大線性無關組都與向量組本身等價，因而，一向量組的任意兩個極大線性無關組都是等價的.（二）向量組的秩

一向量組的極大線性無關組都含有相同個數(shù)的向量.因此，極大線性無關組所含向量的個數(shù)與極大線性無關組的選擇無關，它直接反映了向量組本身的性質.因此有

定義3.9 向量組?1,?2,?,?s的極大線性無關組所含向量的個數(shù)稱為這個向量組的秩.一向量組線性無關的充要條件是它的秩與它所含向量的個數(shù)相同.每一向量組都與它的極大線性無關組等價.由等價的傳遞性可知，任意兩個等價向量組的極大線性無關組也等價.所以，等價的向量組必有相同的秩.含有非零向量的向量組一定有極大線性無關組，且任一個線性無關的部分向量都能擴充成一極大線性無關組.全部由零向量組成的向量組沒有極大線性無關組.規(guī)定這樣的向量組的秩為零.例如，矩陣

?1??0A??0??0?的行向量組是

132?100001??4? ?5?0???1?(1,1,3,1),?2?(0,2,?1,4),?3?(0,0,0,5),?4?(0,0,0,0)

它的秩是3.它的列向量組是

?1?(1,0,0,0)?,?2?(1,2,0,0)?,?3?(3,?1,0,0)?,?4?(1,4,5,0)?

它的秩也是3.矩陣A的行秩等于列秩，這點不是偶然的.定理3.11 A為m?n矩陣，r?A??r的充要條件是A的列（行）秩為r。推論：A的列秩與行秩相等。（因為行秩等于列秩，所以下面就統(tǒng)稱為矩陣的秩.）

例1求向量組?1?(2,4,2),?2?(1,1,0),?3?(2,3,1),?4?(3,5,2)的一個極大無關組，并把其余向量用該極大無關組線性表示。

例2設?1,?2,以經?1,?2，?s與?1,?2，?t是兩個向量組.如果向量組?1,?2，?s可,?t線性表出，r??1,?2，?s??r??1,?2，?t?

定理3.11 設向量組?1,?2，?s與?1,?2，?t等價，則：

r??1,?2，?s??r??1,?2，?t?

例3 設A是數(shù)域F上m?n矩陣，B是數(shù)域F上n?s矩陣，于是

r(AB)?min[r(A),r(B)]，即乘積的秩不超過各因子的秩.特別地，當有一個因子是可逆矩陣時，乘積的秩等于另一個因子的秩。

課后作業(yè)P161

17，18，19

課 堂 教 學 方 案

課程名稱： §3.5 線性方程組解的結構 授課時數(shù)：3學時 授課類型:理論課

教學方法與手段：講授法

教學目的與要求：理解基礎解系的概念，掌握線性方程組解的結構 教學重點、難點：線性方程組解的結構 教學內容

§3.5 線性方程組解的結構

設線性方程組為

?a11x1?a12x2??ax?ax??211222????am1x1?am2x2??a1nxn?b1,?a2nxn?b2,?amnxn?bm

當用初等行變換把增廣矩陣A化成如下階梯形

?????????????其中cii?0,i?1,2,c110?000?0c12?c1r?000?0?????crr00?0?c1nc2n?crn00?0c22?c2r?????d1??d2????dr?? 0?0????0??,r時方程組有解.以下討論線性方程組解的結構。所謂解的結構問題就是解與解之間的關系問題.首先討論齊次線性方程組。

一、齊次線性方程組的解的結構 設

?a11x1?a12x2??ax?ax??211222 ????am1x1?am2x2??a1nxn?0,?a2nxn?0,?amnxn?0(1)是一齊次線性方程組，它的解所成的集合具有下面兩個重要性質： 1.兩個解的和還是方程組的解.2.一個解的倍數(shù)還是方程組的解.對于齊次線性方程組，綜合以上兩點即得，解的線性組合還是方程組的解.這個性質說明了，如果方程組有幾個解，那么這些解的所有可能的線性組合就給出了很多的解.基于這個事實，我們要問：齊次線性方程組的全部解是否能夠通過它的有限的幾個解的線性組合給出？

定義3.10 齊次線性方程組(1)的一組解?1,?2,?,?t稱為(1)的一個基礎解系，如果

1）(1)的任一個解都能表成?1,?2,?,?t的線性組合； 2）?1,?2,?,?t線性無關.應該注意，定義中的條件2)是為了保證基礎解系中沒有多余的解.由定義容易看出，任何一個線性無關的與某一個基礎解系等價的向量組都是基礎解系.定理3.13在齊次線性方程組有非零解的情況下，它有基礎解系，并且基礎解系所含解的個數(shù)等于n?r，這里r表示系數(shù)矩陣的秩(n?r是自由未知量的個數(shù)).設齊次線性方程組經過初等變換化為

?x1??k1,r?1xr?1??x??kx??22,r?1r?1????xr??kr,r?1xr?1??knx1?x1??k1r?,x1r??1n，?x??kx??kx,2r?,1r?1n2n,?2?k1,nxn,??k2,nxn,?xr?1??krnx

即

?xr??kr,r?1,n，?x?xr?1?r?1?kr,nxn.?xr?2?xr?2?xn?xn?用矩陣表示即為：

??k1,r?1???k1,r?2?x?1??????k?k???2,r?1??2,r?2?x2?????????????k?k???r,r?1??x?r,r?2??x?x?r?r?1??r?2?0?1?x?????r?1???0??1????????x??????n??0??0???????k1,n????k?2,n??????kr,n??xn??0?

???0??????1?????k1,r?1???k1,r?2??????k?k2,r?12,r?2?????????????k?kr,r?1??r,r?2?，??記?1??2?1??0?????01?????????????0??0??????x1?x2?則???xn????k??k???1122????k1,n????k2,n???????kr,n?,?r???0?稱作原方程組的一個基礎解系

??0???????1????kr?r 二、一般線性方程組的解的結構 如果把一般線性方程組

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1,?ax?ax???ax?b,?2112222nn2(2)????????????as1x1?as2x2???asnxn?bs的常數(shù)項換成0，就得到齊次線性方程組(1).齊次線性方程組(1)稱為方程組(2)的導出組.方程組(2)的解與它的導出組(1)的之間有密切的關系：

1.線性方程組(2)的兩個解的差是它的導出組(1)的解.2.線性方程組(2)的一個解與它的導出組(1)的一個解之和還是這個線性方程組的一個解.定理3.14 如果?是線性方程組(2)的一個特解，?是其導出組的全部解，那么???即為線性方程組(2)的全部解。

定理說明了，為了找出一線性方程組的全部解，只要找出它的一個特殊的解以及它的導出組的全部解就行了.導出組是一個齊次線性方程組，在上面已經看到，一個齊次線性方程組的解的全體可以用基礎解系來表示.因此，根據(jù)定理我們可以用導出組的基礎解系來表出一般線性方程組的一般解；如果?0是線性方程組(2)的一個特解，?1,?2,?,?n?r是其導出組的一個基礎解系，那么(2)的任一個解?都可以表成

???0?k1?1?k2?2???kn?r?n?r

推論 在線性方程組(2)有解的條件下，解是唯一的充要條件是它的導出組(1)只有零解.課后作業(yè)P161 20（1）（3），23（2），26

第三篇：線性代數(shù)教案

第一章

線性方程組的消元法與矩陣的初等變換

教學目標與要求

1.了解線性方程組的基本概念

2.掌握矩陣的三種初等變換 教學重點

運用矩陣的初等變換解一般的線性方程組 教學難點

矩陣的初等變換

§1.1 線性方程組的基本概念

一、基本概念

定義：m個方程n個未知數(shù)的線性方程組為如下形式：

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b?2112222nn(1)????????????????am1x1?am2x2???amnxn?bm稱(1)為非齊次線性方程組；當b1?b2???bm?0時則稱為齊次線性方程組。方程組(1)

a12a22?am2?a1n???a2n?為系????amn???a11??a21TA?的一個解為：x?(c1,c2,?,cn)（或稱為解向量）；此時稱????a?m1?a11a12?a1n??a21a22?a2n數(shù)矩陣，稱B???????a?m1am2?amn

二、線性方程組的消元法

b1??b2?為增廣矩陣。???bm???2x1?x2?3x3?1?例1：解線性方程組?4x1?2x2?5x3?4

?2x?2x?63?1?2x1?x2?3x3?1?2x1?x2?3x3?1?2x1?x2?3x3?1???解：?4x2?x3?2，?x2?x3?5，?x2?x3?5；

?x?x?5?4x?x?2?3x??18?23?23?3?2x1?x2?3x3?1?2x1?x2?19?2x1?18?x1?9????

?x2?x3?5，?x2??1，?x2??1，?x2??1

?x??6?x??6?x??6?x??6?3?3?3?3從上面可以看出，整個消元過程和回代過程都只與x1,x2,x3的系數(shù)有關，且僅用了以下3種變換：①交換兩行；②某行乘k倍；③某行乘k倍加至另一行（即初等行變換）。

故我們隱去x1,x2,x3,?，得到一個數(shù)字陣（即矩陣B），對B進行初等行變換：

?2?131??2?131??2?131???????B??4254???04?12???01?15?

?2026??01?15??04?12???????1??2?131??2?1019??2?13????????01?15???01?15???010?1? ?003?18??001?6??001?6????????20018??1009???????010?1???010?1? ?001?6??001?6?????1??2?13?1009?????其中?01?15?稱為行階梯形矩陣，?010?1?稱為行最簡形矩陣。

?003?18??001?6?????

三、小結

例1告訴我們求解一般的線性方程組的基本方法：對其增廣矩陣B進行3種初等行變換，把它變?yōu)樾须A梯形矩陣，再最終變成行最簡形矩陣，然后從中讀出所需的解。

四、一般解和通解

?x1?2x2?x3?2x4?1?例2：解方程組?2x1?4x2?x3?x4?5

??x?2x?2x?x??4234?1解：

2?121??12?121??12?121??1??????B??24115???003?33???003?33?

??1?2?21?4??00?33?3??00000????????12?121??12012???????001?11???001?11? ?00000??00000?????即??x1?2x2?x4?2?x1?2?2x2?x4，亦即一般解為?，其中x2,x4為自由未知量。

?x3?x4?1?x3?1?x4?x1?2?2c1?c2?x?c?21令x2?c1,x4?c2，得方程組的通解為?

?x3?1?c2??x4?c2注意：自由未知量的取法并不唯一。

?a11x1?a12x2???a1nxn?0?ax?ax???ax?0?2112222nn2、定理：在齊次線性方程組?中，若m?n（即方程

???????????????am1x1?am2x2???amnxn?0的個數(shù)小于未知數(shù)的個數(shù)），則它必有非零解。

五、習題

P11 T1(2)

T2

§1.2 矩陣的初等變換

一、矩陣及其初等變換

1、定義：稱由m?n個數(shù)aij(i?1,2,?,m;j?1,2,?,n)排成的m行n列的數(shù)表

?a11??a21A?????a?m1a12a22?am2?a1n???a2n?為矩陣，簡記為A?(aij)m?n。????amn??

二、矩陣的初等行(列)變換

①交換兩行(列)； ②某行(列)乘k倍；

③某行(列)乘k倍加至另一行(列)。

三、矩陣的標準形

定理：任意一個m?n的矩陣A，總可以經過初等變換（包括行變換和列變換）化為如?1??0???下的標準形：F??0?0?????00?00?0??1?00?0????????Er0?10?0?即Am?n?F???O??0?00?0???????0?00?0?O?? ?O?其中1的個數(shù)r就是行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)。

四、習題

P18

T1(4)(5)

T2(1)

T3 P19 總復習題：T3

T4

第二章

行列式

教學目標與要求

1.會用對角線法則計算二階行列式和三階行列式

2.理解排列、逆序數(shù)的概念，掌握n階行列式的定義及其重要性質 3.理解并會靈活運用行列式的展開公式，掌握范德蒙德行列式的結論 4.掌握克拉默法則及其應用 教學重點

1.n階行列式的重要性質

2.n階行列式展開公式的運用以及范德蒙德行列式的結論

3.克拉默法則的運用 教學難點

1.n階行列式的重要性質及其展開公式 2.克拉默法則的運用

§2.1 二階和三階行列式 一、二階行列式

?a11x1?a12x2?b1?a11a12??

1、引例：對于線性方程組?（1），其系數(shù)矩陣為A?? ???a21x1?a22x2?b2?a21a22?

用消元法解得 ??(a11a22?a12a21)x1?b1a22?b2a12（2）

?(a11a22?a12a21)x2?b2a11?b1a21a12?a11a22?a12a21稱為二階行列式，記D?A?detA

a12a11b1，D2? a22a21b22、定義：D?a11a21a22a11a12b1?Dx1?D1那么（2）可以表示為?，其中D?，D1?aab2Dx?D21222?2從而x1? 二、三階行列式 D1D,x2?2。DD?a11x1?a12x2?a13x3?b1?a11a12??ax?ax?ax?b1、定義：對于三元線性方程組?211a222222332，記A??a21?ax?ax?ax?b?a3?31a32?311322333a11稱D?A?detA?a21a13?? a23?，a33??a12a22a32a13a23?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32 a33a

31?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31 為三階行列式。

a112、三對角線法則（記憶）：D?a21a12a22a32a13a11a23a21a33a31a12a22 a32a31

三、習題

P25 T1(2)(3)(5)

T2

T3

§2.2 n階行列式的定義和性質

一、排列與逆序數(shù)

1.定義1：由1,2,?,n組成的一個有序數(shù)組稱為一個n級排列。（n級排列共有n!個）定義2：在一個排列中，如果一對數(shù)的前后位置與大小順序相反，即前面的數(shù)大于后面的數(shù)，那么它們就稱為一個逆序，一個排列中逆序的總數(shù)稱為這個排列的逆序數(shù)，記作?。)?4?0?2?1?0?7（奇排列）例：?(25431；)?14?1?2?1?0?8（偶排列）

?(5243。

定理：對換改變排列的奇偶性；在全部n級排列中，奇、偶排列的個數(shù)相等，各有

二、n階行列式的定義

n!個。21.定義：n階矩陣A?(aij)n?n?a11??a??21???a?m1a12a22?am2?a1n???a2n?，則n階行列式定義如下： ????amn??a11 D?A?a12?a1np1p2?pna21?an1a22?a2n???an2?ann?(?1)?(p1p2?pn)a1p1a2p2?anpn

這里，?表示對1,2,?,n這n個數(shù)的所有排列p1p2?pn求和。即n階行列式是指n!項取自不同行不同列的n個元素乘積的代數(shù)和。

2、例：（常用結論）

a11（1）

a11a22?ann0?a11a22?ann??0n(n?1)2a12?a1na110?00 ?a22?a2na21?????0?annan1a22???an2?ann?1（2）?2??(?1)?1?2??n

?n3、n階行列式的等價定義

定理：D??1??2(?1)ai1j1ai2j2?ainjn；其中?1為行標排列i1i2?in的逆序數(shù)，?2為列?標排列j1j2?jn的逆序數(shù)。

三、行列式的性質

設n階矩陣A?(aij)n?n的行列式為D?A，則D有如下性質：

T①A?A；

②交換兩行（列），則D變號；

③提公因子：某行(列)所有元素的公因子可以提到D的外面。

特別地，若某行（列）為0，則D?0；若某兩行（列）成比例，則D?0。④拆和：若D中某行（列）的元皆為兩項之和，則D等于兩個行列式的和。⑤某行（列）乘k倍加至另一行（列），則D不變。

123例：②如211111211234??234；③如3?39?3?21?13

***123123④如456?123?333；

1?1?21?1?21?1?2111111111111⑤如?23?3?4?0?1?2?0?1?2?0?1?2?0 45345012000

注意：計算行列式的常用方法：(1)利用定義；

(2)利用性質把行列式化為上(下)三角形行列式，從而算得行列式的值；(3)利用展開公式(下一節(jié))。

四、習題

P36

T1

T4

T5(3)(4)(8)

T6(1)

§2.3 行列式的展開公式

一、余子式與代數(shù)余子式

1、定義：在n階行列式det(aij)中，劃去元aij所在的第i行和第j列的元后，剩下的元按原來的順序所構成的n?1階行列式稱為aij的余子式，記作Mij；又記Aij?(?1)i?jMij，稱Aij為aij的代數(shù)余子式。

142.如：***中，a11?1的余子式為M11?412，代數(shù)余子式為 23411234A11?(?1)1?1M11?M11，a21?4的余子式為M21?412，代數(shù)余子式為

341A21?(?1)2?1M21??M21，二、展開公式

定理：n階行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數(shù)余子式的乘積之和。即可按第i行展開

D?ai1Ai1?ai2Ai2???ainAin(i?1,2,?,n)

或可按第j列展開

D?a1jA1j?a2jA2j???anjAnj(j?1,2,?,n)

14如：322143321443?1?A11?2?A12?3?A13?4?A14?1?A11?4?A21?3?A31?2?A41 21

2、講解P42例2和例3

三、范德蒙德行列式

1x1Dn?x12?x1n?1 1x22x2?n?1x21x32x3?1??1xn2?xn?1?i?j?n?(xj?xi)

n?1n?1x3?xn推論：行列式某行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零。即

ai1Aj1?ai2Aj2???ainAjn(i?j)或

a1iA1j?a2iA2j???aniAnj(i?j)

11例證：如322243331444?1A11?2A12?3A13?4A14?a21A11?a22A12?a23A13?a24A14?0

21四、習題

P46

T2(3)(4)(5)

§2.4 克拉默法則

一、克拉默法則

定理1：含有n個未知數(shù)x1,x2,?,xn與n個方程的線性方程組

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b?2112222nn

2?

(1)

???????????????an1x1?an2x2???annxn?bn

稱(1)為非齊次線性方程組；當b1?b2???bn?0時稱為齊次線性方程組。

如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式D?A?0（這里A?(aij)n?n），那么(1)有唯一解，且解為xj?DjD(j?1,2,?,n)，其中Dj(j?1,2,?,n)是把D中第j列元素用方程組右端的常數(shù)項替代后所得到的n階行列式。

推論：

(1)如果線性方程組(1)無解或至少有兩個不同的解，那么它的系數(shù)行列式D?0。

(2)如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式D?0，那么它只有零解；如果齊次線性方程組有非零解，那么它的系數(shù)行列式D?0。

注意：用克拉默法則解線性方程組的兩個條件：①方程個數(shù)等于未知數(shù)個數(shù)；②系數(shù)行列式不等于零?？死▌t的意義主要在于建立了線性方程組的解和已知的系數(shù)以及常數(shù)項之間的關系。它主要適用于理論推導。

二、習題

P50

T2 T3 ；

P51 總復習題：T1 T2 T3

T6

第三章

矩陣

教學目標與要求

1.理解矩陣的概念，掌握矩陣的3種運算(加法、數(shù)乘、乘法)，以及它們的運算律

2.熟記幾種特殊矩陣(單位陣、對角陣、數(shù)量矩陣、三角陣、轉置矩陣、對稱和反對稱陣)及其性質，掌握方陣行列式的性質

3.掌握伴隨矩陣和逆矩陣的定義及其性質，熟悉逆矩陣的運算規(guī)律 4.了解分塊矩陣的運算律，以及常用結論

5.理解初等矩陣與初等變換之間的關系，掌握初等變換求逆矩陣的方法 6.掌握矩陣的秩的概念及其性質，會用初等變換求矩陣的秩 教學重點

1.矩陣乘法的運算律和方陣行列式的性質

2.逆矩陣和伴隨矩陣的運算性質，以及初等變換法求逆矩陣

3.矩陣的秩的性質，以及初等變換法求矩陣的秩 教學難點

1.逆矩陣的概念，以及求逆的方法 2.矩陣的秩的概念，以及求秩的方法

§3.1 矩陣的概念及其運算

一、矩陣的概念

1、定義：稱由m?n個數(shù)aij(i?1,2,?,m;j?1,2,?,n)排成的m行n列的數(shù)表

?a11??a21A?????a?m1a12a22?am2?a1n???a2n?為矩陣，簡記為A?(aij)m?n?Am?n。????amn??矩陣的相等：Am?n?Bm?n?aij?bij(i?1,2,?,m;j?1,2,?,n)

?b1????b2?行矩陣（行向量）：A?(a1,a2,?,an)；列矩陣（列向量）：A???

????b??n?

二、矩陣的運算

1、矩陣的加法

定義1：設A?(aij)m?n，B?(bij)m?n，則A?B?(aij?bij)m?n

注意：兩個矩陣是同型矩陣時才能進行加法運算。

矩陣的加法滿足下列運算律(設A,B,C都是m?n矩陣)：(1)交換律：A?B?B?A；

(2)結合律：(A?B)?C?A?(B?C)(3)負矩陣A?(?A)?0，規(guī)定減法運算：A?B?A?(?B)

2、矩陣的數(shù)乘

??a11??a21定義2：數(shù)?與矩陣A的乘積記作?A或A?，規(guī)定為?A???????am1?a12??a1n??a22??a2n????am2?????amn?；

矩陣的數(shù)乘滿足下列運算律(設A,B都是m?n矩陣，?,?為數(shù))：(1)(??)A??(?A)；

(2)(???)A??A??A；(3)?(A?B)??A??B；

(4)1?A?A；(5)?A?0???0或A?0

3、矩陣的乘法

定義3：設A?(aij)m?s，B?(bij)s?n,那么矩陣A與矩陣B的乘積是一個m?n矩陣C?(cij)m?n，其中

cij?ai1b1j?ai2b2j???aisbsj??aikbkj(i?1,2,?,m;j?1,2,?,n)

k?1s記為Cm?n?Am?sBs?n（A的列數(shù)等于B的行數(shù)）。

例1：求矩陣A???4???24??2??與B????3?6??的乘積AB與BA。1?2???? 解：AB???4???16?32???24??2???? ???????16??1?2???3?6??8

BA???4???24??00??2???????AB ???????3?6??1?2??00?例1說明：矩陣的乘法不滿足交換律，即一般地AB?BA。若AB?BA，則稱方陣A與B可交換。矩陣的乘法滿足下列運算律：

(1)結合律：(AB)C?A(BC)

(2)?(AB)?(?A)B?A(?B)(3)分配律：A(B?C)?AB?AC，(B?C)A?BA?CA

例2：舉例說明下列命題是錯誤的（1）若A?0，則A?0；

2（2）若A?A，則A?0或A?E； 2（3）若AX?AY，且A?0，則X?Y。

?11??10??10??10?

解：（1）A??（2）A??（3）A?X????1?1??；?00??；?00??,Y???01??。

????????

三、方陣的冪及方陣多項式

1、定義：設A是n階方陣，則A1?A,A2?A?A,?,Ak?1?Ak?A

klk?lklkl方陣的冪滿足的運算律：(1)AA?A；(2)(A)?A

2、方陣多項式

設f(x)?a0xm?a1xm?1???am?1x?am(a0?0)為m次多項式，A為n階方陣，則 稱f(A)為方陣A的多項式。f(A)?a0Am?a1Am?1???am?1A?amE仍為一個n階方陣，四、習題

P61 T2(3)(4)(5)(8)

T3

T4

T6

§3.2 特殊矩陣與方陣行列式

一、特殊矩陣

1、單位矩陣

?1??0En?????0???1??0??????0?0?0??1?0?，性質：EA?AE?A ????0?1??n?n0?

2、對角矩陣

0???2?0??diag(?1,?2,?,?n)

????0??n??mm

性質：[diag(?1,?2,?,?n)]m?diag(?1,?m2,?,?n)，m為正整數(shù)。

3、數(shù)量矩陣

??0???0???E??E??????00??

4、三角矩陣

0??0?，性質：?EA??AE??A ??????a12?a1n??a11??a22?a2n??a21或????????0?ann???an

1性質：A?a11a22?ann

5、轉置矩陣 ?a11??0A?????0?0?0??a22?0? ????an2?ann??如果A?(aij)m?n，則AT?(aij)n?m。

性質：(1)(A)?A；

(2)(A?B)?A?B；

(3)(?A)??A；

(4)穿脫原理：(AB)?BA

6、對稱矩陣和反對稱矩陣

TT設A?(aij)n?n，如果A?A，則稱A為對稱矩陣；如果A??A，則稱A為反對稱TTTTTTTTTT矩陣。

二、方陣行列式

性質：①AB?AB?BA（A,B都是n階方陣）

n

②A?A n

③kA?knA

三、伴隨矩陣

定義：n階行列式A的各個元素的代數(shù)余子式Aij所構成的如下矩陣

?A11??A12????A?1n稱為A的伴隨矩陣。

A21?An1??A22?An2?

????A2n?Ann??n?1*

例1：試證：（1）AA??A?A?AE；

（2）當A?0時，A?A

證明：（1）因為

?a11??a21*故AA?????a?n1?A,i?jai1Aj1?ai2Aj2???ainAjn??(i,j?1,2,?,n)

?0,i?ja12?a1n??A11A21?An1??A0?0??????a22?a2n??A12A22?An2??0A?0????AE ?????????????????????an2?ann??A1nA2n?Ann??00?A??同理可得A*A?AE。

?（2）對A*A?AE兩邊取行列式，得AA?AE

*

即 AA?AE?A，所以當A?0時，A?A?nnn?1。

四、習題

P69 T1

T2

T6

T7

T8(2)

§3.3 逆矩陣

一、逆矩陣

1、定義：對于n階方陣A，如果有一個n階方陣B，使

AB?BA?E

?則稱A是可逆的，并把矩陣B稱為A的逆矩陣，記為B?A。

2、可逆的判定定理

定理：方陣A可逆?A?0；當A可逆時，A??11? A，其中A?為A的伴隨矩陣。

A?E。證明：必要性.因為A可逆，即存在A，使AA?1?1?1?

1故AA?AA?E?1，所以A?0

充分性.由§3.3的例1可知 AA?AA?AE；因為A?0，故有

??A1?1?A?AA?E AA?1?A。

A按照逆矩陣的定義，即有

A?1注意：當A?0時，稱A為非奇異矩陣，否則稱A為奇異矩陣?？梢?，可逆矩陣就是非奇異矩陣。同時，定理也提供了一種求逆矩陣的方法——伴隨矩陣法（公式法）。

?13、推論：若AB?E（或BA?E），則B?A。

證明：A?B?AB?E?1，故A?0，從而A存在，于是

?1B?EB?(A?1A)B?A?1(AB)?A?1E?A?1

二、逆矩陣的運算律

方陣的逆矩陣滿足下列運算律：

①若n階方陣A可逆，則A也可逆，且(A)②若A可逆，數(shù)??0，則?A可逆，且??A??1?1?1?1?A；

1??A?1；

?1③若A,B均為n階可逆方陣，則AB也可逆，且(AB)④若A可逆，且AB?AC，則B?C； ⑤若A可逆，則A也可逆，且(A)T； ?B?1A?1（穿脫原理）

T?1?(A?1)T；

⑥若A可逆，則A也可逆，且(A*)?1?(A?1)*；

⑦若A可逆，則(A*)T?(AT)*；

?1⑧若A可逆，則A?A?1*

⑨若A,B均為n階可逆方陣，則(AB)*?B*A*（穿脫原理）

證明： ①因為AA?1?E，由推論可知，(A?1)?1?A

②因為?A?1?A?1?AA?1?E，由推論可知，??A???11?A?1

?1③(AB)(B?1A?1)?A(BB?1)A?1?AEA?1?AA?1?E，由推論有，(AB)?1?1④因為A可逆，則AAB?AAC，即EB?EC，故B?C

?B?1A?1

⑤AT(A?1)T?(A?1A)T?ET?E，由推論有，(A)⑥因為A可逆，故A?1T?1?(A?1)T

?1*AA1A，且A??A??E，從而(A*)?1?A； AAAA?

1又A(A)?(A)A?1?1*?1*?A?1E，即(A?1)*?AA?1E?1A A

所以(A)*?1?(A?1)*。

T*TT?1?1T⑦因為(A*)T?(AA?1)T?A(A?1)T，(A)?A(A)?A(A)

所以(A)?(A)

?1?1?1⑧因為AA?E?1，即AA?1，所以A?*TT*1?1?A A⑨由AB?AB?0可知，AB也可逆。又(AB)(AB)*?ABE，所以(AB)*?AB(AB)?1?ABB?1A?1?BB?1AA?1?B*A*

?ab??1例

1、問A???cd??滿足什么條件時可逆，并求A。

??解：A?ad?bc，A????c???d?b??，當A?ad?bc?0時，A可逆； ?a?且

A

?1?1?d?b??? ??ad?bc??ca?例

2、設A是三階方陣，且A?解：(3A)?1?18A*?1?1*，求(3A)?18A 271?112A?18AA?1?A?1?A?1 333?(?1)A?1?(?1)3A?11? 33??27A??1

例

3、解矩陣方程?25????719?13???X?????411??? 解：X???25??1?719??3?5??719???1?13??????411????????12??????411???????1

三、習題

P75 T2

T3(3)

T6

T7

T9

2?3??? §3.4 分塊矩陣和初等矩陣

一、分塊矩陣

設An?n???O??A1O??B1??，B?n?n??OA2??O??，其中Ai與Bi(i?1,2)是同階的子方塊，則 ?B2?O?? A2B2??O?? ?1?A2??1?A2? O???A1?B1①A?B???O??A1k③A???O?k?A1B1??；

②AB???OA2?B2???O?A1?1O??1?；

④A??k??OA2???1?O?⑤A?A；

⑥A12?A?2A1??O??1???AO???1

二、初等矩陣

1、定義：由n階單位陣E經過一次初等變換得到的矩陣稱為n階初等矩陣。

2、三種初等變換對應三種初等矩陣

(1)交換第i行和第j行；

對應En(i,j)(2)第i行乘k倍；

對應En(i(k))(3)第j行乘k倍加至第i行；

對應En(i,j(k))

?24?例

1、將A???13??化為標準形。

??解：A????24??13??13??13??10???????????????B ??????????13??24??0?2??01??01?則

??0??10??01??1?3??1????0?1/2?????21????10??A?B 01????????12即 E2(1,2(?3))E2(2(?))E2(2,1(?2))E2(1,2)A?B

3、初等變換與初等矩陣的關系

定理1：設A是一個m?n矩陣，對A施行一次初等行變換，相當于對A左乘一個相應的m階初等矩陣；對A施行一次初等列變換，相當于對A右乘一個相應的n階初等矩陣。

三、初等變換求逆矩陣

定理2：對任意一個m?n矩陣A，總存在有限個m階初等矩陣P1,P2,?,Ps和n階初等矩陣Ps?1,Ps?2,?,Pk，使得P1?PsAPs?1?Pk???O?

?ErO???Fm?n ?O?m?n定理3：對于n階可逆矩陣A，總存在有限個n階初等矩陣P1,?,Ps,Ps?1,?,Pk，使得P1?PsAPs?1?Pk?En?n

定理4：設A為可逆矩陣，則有限個初等矩陣P1,P2,?,Pk，使得A?P1P2?Pk 推論：m?n矩陣A與B等價?存在m階可逆矩陣P和n階可逆矩陣Q，使

PAQ?B，記為A?B。（等價關系具有反身性、對稱性、傳遞性）

因此，由定理3可知，方陣A可逆?A?E

由定理4可知，方陣A可逆?A?P,2,?,k為初等矩陣)1P2?Pk(Pi,i?

1由推論可知，A?B?存在可逆矩陣P,Q，使PAQ?B1、求逆方法的推導：

?1?1?1由定理4的A?P1P2?Pk，得

Pk?P2P1A?E

（1）?1?1?1?1（1）式兩端分別右乘A，得

Pk?P2P1E?A

（2）

?

1上述兩式表明，用一樣的初等行變換將A變成E的同時，會將E變成A。

2、求逆矩陣的基本方法

初等變換法：(A|E)?初等行變換????(E|A?1)或（3、解矩陣方程AX?B或XA?B（A可逆）

初等變換法：(A|B)?初等行變換????(E|A?1B)或()?????（四、習題

P91 T1

T2(1)(2)

T3

?1AE)?初等列變換????(?1)EAAB初等列變換E)BA?1§3.5 矩陣的秩

一、k階子式的概念

2m,n})，其交叉處的k個元素定義：在m?n矩陣A中，任取k行k列(1?k?min{按原來的位置構成的一個k階行列式，稱為矩陣A的一個k階子式。

?1111???1111例：A??1234?，?1,?0等都是A的一個2階子式。

1200?0000???kk可知，m?n矩陣A的k階子式共有Cm個。Cn

二、矩陣的秩

定義：矩陣A的非零子式的最高階數(shù)，稱為矩陣A的秩，記為R(A)。若R(A)?r，則A中至少有一個r階子式不為0，且所有r?1階子式都為0。

三、矩陣秩的性質

m,n} ① 1?R(A)?min{② R(A)?R(A)

③ R(A)?r?A的行階梯形含r個非零行?A的標準形F???O?④ 若A~B則R(A)?R(B)（矩陣的初等變換不改變矩陣的秩）

⑤ 若P,Q可逆，則R(PAQ)?R(A)

⑥ max{A,B}?R(A,B)?R(A)?R(B)；

特別地，當B為列向量b時，有R(A)?R(A,b)?R(A)?

1⑦ R(A?B)?R(A)?R(B)

⑧ R(AB)?min{R(A),R(B)}

⑨ 若Am?nBn?s?O，則R(A)?R(B)?n

例

1、設A為n階矩陣A的伴隨矩陣，證明 *T?ErO?? ?O?R(A)?n?n,?R(A*)??1,R(A)?n?1

?0,R(A)?n?1?

證明：

**(1)當R(A)?n時，則A可逆，即A?0；由AA?AE知A?An?1?0。故A*可逆，從而R(A)?n

(2)若R(A)?n?1，則AA?AE?0。故R(A)?R(A)?n，R(A)?n?R(A)?1。又由R(A)?n?1知矩陣A中至少有一個n?1階子式不為零，也就是說A中至少有一個元素不為零。所以R(A)?1，從而有R(A)?1。

*(3)若R(A)?n?1，則A的任意一個n?1階子式都為零。故A?0，即R(A)?0。

********?2?11?13???例

2、求A??4?2?232?的秩

?2?15?61????2?11?13??2?11?13??2?11?13???????解：?4?2?232???00?45?4???0045?4?

?2?15?61??00??4?5?2??????0000?6?

故R(A)?3

?1??2例

3、已知矩陣A??1??2?12a3??2314?的秩為3，求a的值

0115??3554??a3??112a3??112?????00?11?2a?2??00?11?2a?2?解：A?? ????0?1?11?a20?1?11?a2?????0115?2a?2??0006?3a0?????a3??112??0?1?11?a2??

因為R(A)?3，所以6?3a?0，即a?2 ???00?11?2a?2???0006?3a0???

四、習題

P96 T2

T3(2)

T7

T8

P97 總復習題：T1 T2

T3

T4

T5

第四章

線性方程組理論

教學目標與要求

1.掌握齊次和非齊次線性方程組解的判定定理和解的結構定理

2.理解向量組的線性相關與線性無關的概念，以及它們的判定方法

3.掌握向量組的秩和最大無關組的概念，會求向量組的秩

4.理解基礎解系的概念，會求齊次與非齊次線性方程組的通解 教學重點

1.齊次與非齊次線性方程組解的判定定理以及通解的求法 2.向量組線性相關與線性無關的判定方法

3.向量組的最大無關組的求法和秩的求法 教學難點

1.齊次與非齊次線性方程組解的判定方法

2.向量組秩的概念及其求法

3.基礎解系的概念及其求法

§4.1 線性方程組有解的條件

一、線性方程組解的判定

1、非齊次線性方程組

定理1：對于非齊次線性方程組Am?nx?b（1），則

① 有唯一解?R(A)?R(A,b)?n

② 有無窮多解?R(A)?R(A,b)?n

③ 無解?R(A)?R(A,b)

2、齊次線性方程組

定理2：對于齊次線性方程組Am?nx?0（2），則 ① 僅有零解?R(A)?n ② 有非零解?R(A)?n

推論：當m?n時，An?nx?0有非零解?R(A)?n?A?0

定理3：矩陣方程AX?B有解?R(A)?R(A,B)

二、線性方程組的解法

?x1?2x2?3x3?0?例

1、求下列線性方程組的通解?2x1?5x2?3x3?0

?x?8x?04?130??1090??1230??12??????解：?2530???01?30???01?30?

?1008??0?2?38??00?98???????0??1008??109????0???010?8/3?

??01?3?001?8/9??001?8/9???????x1??8x4?x1???8?

?????x8/38?2?????x2?x4，令x4?1，得通解為：???k??(k?R)x8/93??3???

?1??x?8????4?x3?x4?9?

例

2、問?取何值時，下列線性方程組(1)有唯一解；(2)無解；(3)有無窮多解？并在有無窮多解時求其通解。

??x1??x2?2x3?

1???x1?(2??1)x2?3x3?1

???x1??x2?(??3)x3?2??1??2??2解：A??2??13?0??11??(??1)(??1)????300??1由克拉默法則知，當??0,???1,??1時，方程組有唯一解。

?當??0時，B??0021??0?131???0?1?0?131?????0021????00???003?1????003?1????00因R(A)?2，R(B)?3，R(A)?R(B)，所以方程組無解。

??1?121???1?12當???1時，B????1?331????1??0?210??

???1?12?3????000?4??因R(A)?2，R(B)?3，R(A)?R(B)，所以方程組無解。

?1121??1121??當??1時，B???1131??????0010????1101??0010???1141????0020????0000??因R(A)?R(B)?2?3，所以方程組有無窮多解。

即??x?x?x1?1?k1?12x?0，令x?2?k，得其通解為：?x2?k（k?R）?3??x3?0

三、習題

P106 T1 T2 T3(2)T4 T5 T6 T7

31??21?0?5?

2??

§4.2 向量組的線性相關性

一、n維向量及其線性運算

1.定義：由n個數(shù)a1,a2,?,an組成的有序數(shù)組稱為n維向量。稱n?1矩陣

?a1????a2?a???為n維列向量；其轉置aT??a1,a2,?,an?稱為n維行向量。其中ai稱為a的第i????a??n?個分量(i?1,2,?,n)。

2.運算

①n維向量的相等；②零向量；③負向量；④加法；⑤數(shù)乘

二、向量組的線性組合

1.向量組

定義：由若干個同維的列向量(或行向量)所組成的集合，稱為一個向量組。

2.向量組與矩陣

?a1j????a2j?(j?1,2,?,n)為矩陣A的列設A?(aij)m?n，則A???1,?2,?,?n?，其中?j???????a??mj???1?????2?向量組；或A??，其中?i??ai1,ai2,?,ain?(i?1,2,?,m)為矩陣A的行向量組。

????????m?3.向量組與線性方程組

一個線性方程組Am?nx?b可以寫成：x1?1?x2?2???xn?n?b

4.向量組的線性組合

定義：設向量組A:?1,?2,?,?m，對于數(shù)k1,k2,?,km，我們稱k1?1?k2?2???km?m為向量組A的一個線性組合，k1,k2,?,km稱為這個線性組合的系數(shù)。

5.線性表示

給定向量組A:?1,?2,?,?m和向量b，若存在一組數(shù)?1,?2,?,?m，使得

b??1?1??2?2????m?m 則稱向量b是向量組A的線性組合，也稱向量b可以由向量組A線性表示。

例：任何一個n維向量a??a1,a2,?,an?都可以由n維單位向量組：

Te1?(1,0,0,?,0)T，e2?(0,1,0,?,0)T，?，en?(0,0,?,0,1)T

線性表示。即a?a1e1?a2e2???anen。

顯然，向量b能由向量組A線性表示，也就線性方程組：x1?1?x2?2???xn?n?b有解。

6.定理1：向量b能由向量組A:?1,?2,?,?m線性表示的充要條件是R(A)?R(A,b)，其中A?(?1,?2,?,?m)。

三、向量組的線性相關與線性無關

設齊次線性方程組Am?nx?0，寫成向量形式：x1?1?x2?2???xn?n?0。若它有非零解，即存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,?,kn，使得k1?1?k2?2???kn?n?0。因此，我們引入如下概念。

1.線性相關與線性無關

定義：設有n維向量組A:?1,?2,?,?m，如果存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,?,km使

k1?1?k2?2???kn?n?0

則稱向量組A線性相關；否則稱它線性無關。

注意：（特殊情形）

① 只有一個向量a的向量組線性相關?a?0

② 兩個向量a,b的向量組線性相關?a??b(即兩向量共線：對應分量成比例)③ 三個向量線性相關：幾何意義是三個向量共面。

④ 含有零向量的向量組一定線性相關。

定理2：向量組?1,?2,?,?m(m?2)線性相關的充要條件是其中至少有一個向量可由其余m?1個向量線性表示。

定理3：設向量組A:?1,?2,?,?m構成矩陣A?(?1,?2,?,?m)，則向量組A線性相關的充要條件是R(A)?m；向量組A線性無關的充要條件是R(A)?m。

推論1：當向量的個數(shù)等于向量的維數(shù)時，向量組A線性相關的充要條件是A?0；向量組A線性無關的充要條件是A?0。

推論2：m(m?n)個n維向量組成的向量組一定線性相關。推論3：任一個n維向量組中線性無關的向量最多有n個。

定理4：

(1)設向量組A:?1,?2,?,?m線性無關，而向量組B:?1,?2,?,?m,b線性相關，則向量b必能由向量組A線性表示，且表示法是唯一的。

(2)若向量組?1,?2,?,?r線性相關，則向量組?1,?2,?,?r,?r?1,?,?n(n?r)必線性相關；反之，若向量組?1,?2,?,?r,?r?1,?,?n(n?r)線性無關，則向量組?1,?2,?,?r必線性無關。（部分相關，整體相關；整體無關，部分無關。）

(3)若m個n維向量?1,?2,?,?m線性相關，同時去掉其第i個分量(1?i?n)得到的m個n?1維向量也線性相關；反之，若m個n?1維向量?1,?2,?,?m線性無關，同時增加其第i個分量(1?i?n)得到的m個n維向量也線性無關。

四、習題

P116 T1(3)(4)T2 T3 T4(1)(2)T5 T6 T7 T8 T9(1)(3)

§4.3 向量組的秩

一、向量組的等價

定義1：設有向量組A:?1,?2,?,?m；向量組B:?1,?2,?,?s，若向量組A中的每一個向量都能由向量組B線性表示，則稱向量組A能由向量組B線性表示。如果向量組A和向量組B能相互線性表示，則稱這兩個向量組等價。

命題1：若A,B為有限個列向量組成的向量組，則向量組B能由向量組A線性表示的充要條件是矩陣方程B?AX有解。

命題2：若矩陣A經過初等行(列)變換變成B，則矩陣A的列(行)向量組與矩陣B的列(行)向量組等價。

定理1：設向量組A:?1,?2,?,?m和向量組B:?1,?2,?,?s均為列向量組成的向量組，則向量組B能由向量組A線性表示的充要條件為R(A)?R(A,B)

推論：向量組A:?1,?2,?,?m和向量組B:?1,?2,?,?s等價的充要條件是

R(A)?R(B)?R(A,B)

其中A和B是向量組A和向量組B所構成的矩陣。

講教材P118例1

二、向量組的秩 1.最大無關組

定義2設向量組A0:?1,?2,?,?r是向量組A:?1,?2,?,?m(m?r)的一個部分組，若(1)向量組A0:?1,?2,?,?r線性無關；

(2)A中的任意向量均可由向量組A0:?1,?2,?,?r線性表示； 則稱A0:?1,?2,?,?r為A的一個最大線性無關向量組（簡稱最大無關組）。

顯然，最大無關組一般不唯一；任意向量組都與它的最大無關組等價。

2.最大無關組的求法

定理：矩陣的初等行變換不改變(部分或全部)列向量之間的線性關系； 矩陣的初等列變換不改變(部分或全部)行向量之間的線性關系。

注意：上述定理提供了求向量組最大無關組的方法 定理2：設向量組B:?1,?2,?,?r可由向量組A:?1,?2,?,?s線性表示，(1)若向量組B線性無關，則r?s；(2)若r?s，則向量組B線性相關。

推論1：兩個等價的線性無關的向量組必含有相同個數(shù)的向量。推論2：兩個等價的向量組的最大無關組含有相同個數(shù)的向量。推論3：一個向量組的任意兩個最大無關組所含向量個數(shù)相等。

3.向量組的秩

定義3：向量組的最大無關組所含向量的個數(shù)，稱為該向量組的秩。

定理2'：若向量組B能由向量組A線性表示，則向量組B的秩不大于向量組A的秩。

三、矩陣的秩與向量組的秩的關系

定理3：對矩陣A?(aij)m?n，則 R(A)?A的行秩?A的列秩。即矩陣的秩等于它的行向量組的秩也等于它的列向量組的秩。

四、矩陣的秩的性質

性質1：R(A?B)?R(A)?R(B)

性質2：R(AB)?min{R(A),R(B)}

性質3：若P,Q可逆，則R(PAQ)?R(PA)?R(AQ)?R(A)

五、習題

P124 T1

T2

T3

T9

§4.4 線性方程組解的結構

一、齊次線性方程組解的結構

1.解的性質

對于齊次線性方程組

Am?nx?0

(1)性質1：若?1,?2都是Ax?0的解，則?1??2也是Ax?0的解。性質2：若?是Ax?0的解，則k?也是Ax?0的解。

2.解的結構

定義1：設?1,?2,?,?k是Ax?0的非零解，且滿足

(1)?1,?2,?,?k線性無關；

(2)Ax?0的任一個解?都可由?1,?2,?,?k線性表示，即??c1?1?c2?2???ck?k 則稱?1,?2,?,?k是齊次線性方程組Ax?0的基礎解系；且Ax?0的通解可表示為如下形式：??c1?1?c2?2???ck?k(c1,c2,?,ck為任意常數(shù))。

定理1：若n元齊次線性方程組Ax?0的系數(shù)矩陣A的秩R(A)?r?n，則Ax?0的基礎解系恰含有n?r個線性無關的解向量。

講教材P128 例1和例2

二、非齊次線性方程組解的結構

1.解的性質

對于非齊次線性方程組

Am?nx?b

(2)性質1：若?1,?2都是Ax?b的解，則?1??2是Ax?0的解。

性質2：若?是Ax?0的解，?是Ax?b的解，則???是Ax?b的解。

2.解的結構

*定理2：設?是非齊次線性方程組Ax?b的一個解，?1,?2,?,?n?r是對應的導出組Ax?0的基礎解系，則Ax?b的通解為

???*?k1?1?k2?2???kn?r?n?r

其中k1,k2,?,kn?r為任意常數(shù)。

講教材P132 例3和例4

三、習題

P134 T1 T2(1)T3 T4 T5 T6 T7 T8 P141 總復習題：T1 T2 T4 T5 T6至T13

第五章 特征值和特征向量

矩陣的對角化

教學目標與要求

1.理解內積和正交向量組的概念，掌握施密特正交化方法和正交矩陣的性質 2.理解特征值與特征向量的定義，掌握它們的性質及其求法 3.理解相似矩陣的定義，掌握相似矩陣的性質

4.掌握矩陣可對角化的條件，熟悉實對稱矩陣的對角化方法 教學重點

1.施密特正交化方法的運用 2.特征值與特征向量的求法 3.實對稱矩陣的對角化方法 教學難點

1.施密特正交化方法

2.特征值與特征向量的性質及其求法 3.實對稱矩陣的對角化方法

§5.1 預備知識

一、向量的內積

定義1：設有n維向量x??x1,x2,?,xn?，y??y1,y2,?,yn?，令

TT?x,y??x1y1?x2y2???xnyn，稱?x,y?為向量x與y的內積。

內積的性質：

(1)?x,y???y,x?

(2)??x,y????x,y?

(3)?x?y,z???x,z???y,z?

(4)?x,x??0，當且僅當x?0時等號成立

定義2：令x??x,x??22x12?x2???xn，稱為n維向量x的長度（或范數(shù)）。當x?1時，稱x為單位向量。

向量的長度具有以下性質：

(1)非負性：x?0

(2)齊次性：

定義3：當x?0，y?0時，稱??arccos?x???x

(3)三角不等式：x?y?x?y

(4)柯西不等式：?x,y??x?y

?x,y?x?y為n維向量x與y的夾角。

定義4：當?x,y??0時，稱向量x與y正交。

定義5：若一個向量組中任意兩個向量都正交，則稱此向量組為正交向量組。若正交向量組中的每一個向量都是單位向量，則稱此向量組為規(guī)范正交向量組或標準正交向量組。

定理1：若n維向量?1,?2,?,?r是一組兩兩正交的非零向量，則?1,?2,?,?r線性無關。

二、施密特正交化方法 施密特正交化方法是將一組線性無關的向量?1,?2,?,?r，化為一組與之等價的正交向量組?1,?2,?,?r的方法。令

??2,?1??；?；

??1,?1?1??,????,????r,?r?1??。?r??r?r1?1?r2?2?????1,?1???2,?2???r?1,?r?1?r?1?1??1； ?2??2?

講教材P147 例2和例3

三、正交矩陣

定義6：如果方陣A滿足AA?AA?E（即A?cos?例如：En，??sin???AT），則稱A為正交矩陣。

?01/2?1/2????sin???，??2/61/61/6?都是正交陣。?cos????1/31/31/3????TT?1

定理2：A為正交矩陣?A的行(列)向量組為規(guī)范正交向量組。即

?1,i?jATA?E??iT?j??(i,j?1,2,?,n)（其中A?(?1,?2,?,?n)）

0,i?j?

定理3：設A,B都是n階正交方陣，則

(1)A??1；(2)A,A,AB也是正交方陣。

定義7：若P為正交矩陣，則線性變換y?Px稱為正交變換。

四、習題

P149 T1(2)T2(2)T3 T4 T5

§5.2 特征值和特征向量

T?

1一、特征值與特征向量的概念

定義1：設A是n階方陣，如果存在數(shù)?和非零列向量x，使得Ax??x，稱?為方陣A的特征值，非零列向量x稱為A的屬于特征值?的特征向量。

特征方程：Ax??x?(A??E)x?0 或者(?E?A)x?0

(A??E)x?0有非零解?A??E?0?特征矩陣：(A??E)或者(?E?A)

?E?A?0

a11??特征多項式：A??E?a12?an2??a1na2n???(?)

a21?an1a22????ann??nn?1?a??a????an?1??an0[a0?(?1)n]

二、求n階方陣A的特征值與特征向量的步驟

(1)求出特征方程?(?)?A??E?0的全部根?1,?2,...,?n，即是A的特征值；(2)對于每個特征值?i求解線性方程組?A??iE?x?0，得出的基礎解系就是A的屬于特征值?i的特征向量；基礎解系的線性組合就是A的屬于特征值?i的全部特征向量。

講教材P152 例3和例4

三、特征值與特征向量的性質

性質1：設A是n階方陣，則A與A有相同的特征值。性質2：設?是方陣A的特征值，k,m?N，則(1)?是方陣A的特征值；

(2)f(?)?a0?a1????am?是f(A)?a0E?a1A???amA的特征值。

性質3：設n階方陣A?(aij)n?n的n個特征值為?1,?2,...,?n，則(1)

mmkkT????aii?1i?1nnii，其中

?ai?1nii?tr(A)稱為A的跡；

(2)??i?A

i?1n

證明： 由特征值的定義可得

a11??

a12?a1na2n? ?(?)?A??E?a21?an1a22?????an2?ann??

?(a11??)(a22??)?(ann??)??

?(?1)n?n?(?1)n?1(a11?a22???ann)?n?1??

由題設可知 ?(?)?A??E?(?1??)(?2??)?(?n??)

?(?1)n?n?(?1)n?1(?1??2????n)?n?1???(?1?2??n)比較多項式同次冪的系數(shù)可得

a11?a22???ann??1??2????n，A??(0)??1?2??n

推論：A?0? 0是A的特征值；A可逆?A?0?A不含零特征值。

講教材P154 例5和例6

性質4：?1,?2,?,?m是方陣A的互異特征值，其對應的特征向量依次為

p1,p2,?,pm，則向量組p1,p2,?,pm線性無關。

四、習題

P157 T1

T2

T3

T4

§5.3 相似矩陣

一、相似矩陣的概念

定義1：設A,B都是n階方陣，若存在可逆矩陣P，使PAP?B，則稱矩陣A與B相似，記為A~B，可逆矩陣P稱為相似變換矩陣。

相似矩陣的基本性質：

1、(1)反身性：對任意方陣A，都有A~A

(2)對稱性：若A~B，則B~A

(3)傳遞性：若A~B，B~C，則A~C

2、定理1：若A~B，則

① A與B有相同的特征多項式和特征值；

② A?B； ③ R(A)?R(B)；

mm④ A與B也相似（m為正整數(shù)）；

?1⑤ tr(A)?tr(B)

二、矩陣可對角化的條件

定義：n階方陣A可以相似于一個對角矩陣?，則稱A可對角化。

定理2：n階方陣A可對角化?A有n個線性無關的特征向量。

推論：n階方陣A有n個互異的特征值?A可對角化。

定理3：n階方陣A可對角化?A的每個k重特征值?對應有k個線性無關的特征向量（或R(A??E)?n?k）。即A的幾何重數(shù)n?R(A??E)等于代數(shù)重數(shù)k。

講教材P160 例1和例2

三、小結

n階方陣A對角化的步驟：

(1)解特征方程A??E?0，求出A的全部特征值?1,?2,...,?s，其中?i是ni重特征值（i?1,2,?,s），s?ni?1i?n。

(2)對每個?i，解齊次線性方程組?A??iE?x?0，得基礎解系?i1,?i2,...,?ini；(3)令P?(?11,?12,?,?1n1,?21,?22,?,?2n2,?,?s1,?s2,?,?sns)，則PAP??，其中??diag(?1,?,?1,?2,?,?2,?,?s,?,?s)，這里?i的個數(shù)為ni個（i?1,2,?,s）。

四、習題

P162 T1

T2

T3

T4

T5

T6

§5.4 實對稱矩陣的相似矩陣

?

1一、實對稱矩陣的特征值性質

定理1：實對稱矩陣的特征值都是實數(shù)。

定理2：實對稱矩陣A的屬于不同特征值的特征向量相互正交。

定理3：設?是n階實對稱矩陣A的r重特征值，則R(A??E)?n?r，即對應特征值?恰有r個線性無關的特征向量。

二、實對稱矩陣的相似理論

定理4：任意實對稱矩陣A都與對角矩陣相似。即實對稱陣一定可以對角化。

?1T定理5：設A是n階實對稱矩陣，則存在正交矩陣P，使PAP?PAP??。其中??diag(?1,?2,?,?n)，且?1,?2,...,?n是A的n個特征值。

三、實對稱矩陣對角化方法

n階實對稱矩陣A對角化的步驟：

(1)解特征方程A??E?0，求出A的全部特征值?1,?2,...,?s，其中?i是ni重特征值（i?1,2,?,s），s?ni?1i?n。

(2)對每個?i，解齊次線性方程組?A??iE?x?0，得基礎解系?i1,?i2,...,?ini；(3)利用施密特正交化方法將?i1,?i2,...,?ini正交化，得正交向量組?i1,?i2,...,?ini，再單位化得規(guī)范正交向量組?i1,?i2,...,?ini（i?1,2,?,s）；

(4)令P?(?11,?12,?,?1n1,?21,?22,?,?2n2,?,?s1,?s2,?,?sns)，則P為正交矩陣，且P?1AP?PTAP??，其中??diag(?1,?,?1,?2,?,?2,?,?s,?,?s)，這里?i的個數(shù)為。ni個（i?1,2,?,s）

講教材P164 例1和例2

四、習題

P167 T1

T2

T4 P167 總復習題：T1 T2 T3 T4 T5 T6；

T8 T9 T10 T11

T12 T13 T14 T15 T16

第六章 特征值和特征向量

矩陣的對角化 教學目標與要求

1.理解二次型及其秩的相關概念，了解矩陣的合同關系

2.掌握二次型的標準形，以及用配方法、正交變換法和初等變換法化二次型為標準型

3.理解慣性定理和二次型的規(guī)范形，掌握二次型正定的判別方法 教學重點

1.用正交變換法化二次型為標準型 2.二次型正定的判別方法 教學難點

1.用正交變換法化二次型為標準型 2.二次型正定的判別方法

§6.1 二次型及其矩陣表示 一、二次型及其矩陣表示

定義1：含有n個變量的二次齊次函數(shù)：

22f(x1,x2,...,xn)?a11x12?a22x2???annxn? ?2a12x1x2?2a13x1x3???2an?1,nxn?1xn稱為二次型。當aij全為實數(shù)時，f稱為實二次型。

為了便于用矩陣討論二次型，令aij?aji，則二次型為：

f(x1,x2,...,xn)?a11x12?a12x1x2???a1nx1xn?2 a21x2x1?a22x2???a2nx2xn?.................................................2 an1xnx1?an2xnx2???annxn

??a11??a21記

A?????a?n1a12a22?an2i,j?1?anijxixj

?a1n??x1?????a2n??x2?x?，???，???????x???ann??n?T則二次型f(x1,x2,?,xn)?xAx，其中A為對稱矩陣。

由此可見，對稱矩陣A與二次型f是一一對應關系，故稱對稱矩陣A為二次型f的矩陣，也稱二次型f為對稱矩陣A的二次型，R(A)也稱為二次型f的秩。

講教材P173 例1和例2

二、線性變換 ?x1?c11y1?c12y2???c1nyn?x?cy?cy???cy?22112222nn

定義2：稱?為由變量x1,x2,?,xn到變量y1,y2,?,yn.......................................?..........??xn?cn1y1?cn2y2???cnnyn的一個線性變量替換，簡稱線性變換。

?c11??c21其中，矩陣C?????c?n1?c1n??c22?c2n?稱為線性變換的矩陣。?????cn2?cnn??c12?x1??y1?????x?2??y2?記x???，y???，則線性變換可用矩陣形式表示：x?Cy。

???????x??y??n??n?若C?0，則稱線性變換x?Cy為非退化的(或滿秩變換)；否則，稱為退化的(或降秩變換)。若C是正交矩陣，則稱線性變換x?Cy為正交變換。因此，我們有

f(x)?xTAx?(Cy)TA(Cy)?yTCTACy?yTBy，其中B?CTAC，而且 BT?(CTAC)T?CTATC?CTAC?B

三、矩陣的合同

1．定義3：設A,B為兩個n階方陣，如果存在n階可逆矩陣C，使得CAC?B，則

T?B。稱矩陣A與B合同，記為：A~?B（合同）定理：若A~，則A?B（等價），且R(A)?R(B)。

2．合同的性質

?A

① 反身性：對任意方陣A，都有A~?B，則B~?A

② 對稱性：若A~?C ?B,B~?C，則A~③ 傳遞性：若A~3．定理：任何一個實對稱矩陣A都合同于一個對角陣?（?是以A的n個特征根為對角元的對角陣），即存在可逆矩陣C，使得CAC??。

四、習題

P175 T1

T3

T4

§6.2 二次型的標準形

T一、二次型的標準形

222定義：形如d1x1的二次型稱為二次型的標準形。?d2x2???dnxn

二、化二次型為標準形

（1）配方法

對任意一個二次型f?xTAx，都可用配方法找到滿秩變換x?Cy，將f化為標準形。步驟：若f中含變量項xi的平方項，則先將所有含xi的項合并在一起配成完全平方，依次類推直到都配成完全平方項；若f中不含任何平方項，則令x1?y1?y2,x2?y1?y2，xk?yk，使f中出現(xiàn)平方項，再按照前面的思路進行配方。

（2）正交變換法

定理：任給二次型f(x)?xTAx，總存在正交矩陣Q，使QTAQ?Q?1AQ??，其中??diag(?1,?2,?,?n)，?1,?2,?,?n是A的全部特征值。

22即存在正交變換x?Qy使f化為標準形：（其中?1,?2,?,?n?1x12??2x2????nxn是對稱矩陣A的全部特征根）

講書上P176 例1

（3）初等變換法

由于任意對稱陣A都存在可逆矩陣C，使CAC為對角陣；由于C是可逆陣，故可表

TTTT示一系列初等矩陣的乘積。設C?P1P2?PS，則C?Ps?P2P1，因此

TCTAC?PsT?P2TP1AP1P2?Ps

①

T

C?P1P2?PS?EP1P2?PS

②

①式表示對實對稱矩陣A施行初等列變換的同時也施行相應的行變換，將A化為對角陣；②表示單位陣E在相同的初等列變換下就化為C。即（三、習題

P181

T1

T3

T4

§6.3 慣性定理和二次型的正定性

A?)?合同變換????()EC

一、慣性定理和規(guī)范形

定理1：設實二次型f?xTAx的秩為r，有兩個實滿秩線性變換x?Cy及x?Pz，222使得 f?k1y1???kpy2,2,?,r)

（1）p?kp?1yp?1???kryr(ki?0,i?12222及

f??1z1????qzq??q?1zq,2,?,r)?1????rzr(?i?0,i?1則p?q；且稱p為二次型f的正慣性指數(shù)，r?p為二次型f的負慣性指數(shù)。

對二次型f的標準形（1）式再作滿秩線性變換

(y1,?,yr,yr?1,?,yn)T?diag(11,?，1,?,1)(t1,?,tr,tr?1,?,tn)T k1kr2222則有f?t1???tp?tp?1???tr，稱之為二次型f的規(guī)范形。

慣性定理的等價表述：任意一個秩為r的實二次型f都可以經過滿秩線性變換化為規(guī)范形，且其規(guī)范形是唯一的。即規(guī)范形中正項的個數(shù)p與負項的個數(shù)r?p都是唯一確定的。

定理2：實對稱陣A與B合同?A與B的正負慣性指數(shù)相同

?A與B的規(guī)范形相同?R(A)?R(B)，且A與B的正慣性指數(shù)相同 二、二次型的正定性

定義1：設實二次型f(x)?f(x1,x2,?,xn)?xTAx，若對任意x?0，都有f(x)?0，則稱f為正定二次型，并稱其對稱矩陣A為正定矩陣。三、二次型正定的判別方法

定理3：設A是n階實對稱矩陣，則

f?xTAx正定（或A正定）?A的n個特征值全為正；

?f的標準形的n個系數(shù)全為正?f的正慣性指數(shù)p?n； ?存在可逆矩陣P，使A?PTP?A與單位矩陣合同； ?A的各階順序主子式全為正，即

a11?a1na11a12??0

a11?0，?0，?，?a21a22an1?ann講教材P184 例3

四、習題

P185 T1(1)(3)

T2(3)

T3

T4

T5

T6 P186 總復習題： T4

T5

T6

T7 ；

T9

T12

T13

第四篇：高等代數(shù)教案第四章線性方程組

第四章

線性方程組

一 綜述

線性方程組是線性代數(shù)的主要內容之一.本章完滿解決了關于線性方程組的三方面的問題,即何時有解、有解時如何求解、有解時解的個數(shù),這在理論上是完美的.作為本章的核心問題是線性方程組有解判定定理（相容性定理）,為解決這個問題,從中學熟知的消元法入手,分析了解線性方程組的過程的實質是利用同解變換,即將方程的增廣矩陣作行變換和列的換法變換化為階梯形（相應得同解方程組）,由此相應的簡化形式可得出有無解及求其解.為表述由此得到的結果,引入了矩陣的秩的概念,用它來表述相容性定理.其中實質上也看到了一般線性方程組有解時,也可用克萊姆法則來求解（由此得所謂的公式解——用原方程組的系數(shù)及常數(shù)項表示解）.內容緊湊,方法具體.其中矩陣的秩的概念及求法也比較重要,也體現(xiàn)了線性代數(shù)的重要思想（標準化方法）.線性方程組內容的處理方式很多,由于有至少五種表示形式,其中重要的是矩陣形式和線性形式,因而解線性方程組的問題與矩陣及所謂線性相關性關系密切；本教材用前者（矩陣）的有關問題討論了有解判定定理,用后者討論了（有無窮解時）解的結構.實際上線性相關性問題是線性代數(shù)非常重要的問題,在以后各章都與此有關.另外,從教材內容處理上來講,不如先講矩陣及線性相關性,這樣關于線性方程組的四個問題便可同時討論.二 要求

掌握消元法、矩陣的初等變換、秩、線性方程組有解判定定理、齊次線性方程組的有關理論.重點：線性方程組有解判別法,矩陣的秩的概念及求法.4.1 消元法

一 教學思考

本節(jié)通過具體例子分析解線性方程組的方法——消元法,實質是作方程組的允許變換（同解變換）化為標準形,由此得有無解及有解時的所有解.其理論基礎是線性方程組的允許變換（換法、倍法、消法）是方程組的同解變換.而從形式上看,施行變換的過程僅有方程組的系數(shù)與常數(shù)項參與,因而可用矩陣（線性方程組的增廣矩陣）表述,也就是對（增廣）矩陣作矩陣的行（或列換法）初等變換化為階梯形,進而化為標準階梯形,其體現(xiàn)了線性代數(shù)的一種重要的思想方法——標準化的方法.二 內容要求

主要分析消元法解線性方程組的過程與實質,以及由同解方程組討論解的情況（存在性與個數(shù)）,為下節(jié)作準備,同時指出引入矩陣的有關問題（初等變換等）的必要性,矩陣的初等變換和方程組的同解變換間的關系.三 教學過程

1?1x??213x2?x3?1?5?1．引例：解方程組?x1?x2?3x3?

3（1）

3??2x?4x?5x?2123?3?定義：我們把上述三種變換叫做方程組的初等變換,且依次叫換法變換、倍法變換、消法變換.2．消元法的理論依據(jù)

TH4.1.1初等變換把一個線性方程組變?yōu)榕c它同解的線性方程組（即線性方程組的初等變換是同解變換.）

3．轉引

在上面的討論中,我們看到在對方程組作初等變換時,只是對方程組的系數(shù)與常數(shù)項進行了運算,而未知數(shù)沒有參加運算,也就是說線性方程組有沒有解以及有什么樣的解完全決定于它的系數(shù)和常數(shù)項,因

?a11??a21A??a12a22?a1n???a2n?,則A可經過一系列行初等變換和第一種列初等變換化為如下形式：

????????am1a?a?m2mn????1?????????01?????????????????????000?1brr?1????； ?000?00?0??????????????000?00?0??進而化為以下形式：

??100?0c1r?1?c1n??010?0c?c??2r?12n?????????????000?1crr?1?c?rn?.其中r?0,r?m,r?n,“?”表示不同的元素.?000?00?0??????????????000?00?0??5）用矩陣的初等變換解線性方程組

?a11x1?對線性方程組：?a12x2???a1nxn?b1???ax1?a22x2???a2nxn?b?212?

（1）???????am1x1?am2x2???amnxn?bm????a11a12?a1n?由定理1其系數(shù)矩陣A??aa?a??21222n???????可經過行初等變換和列換法變換化為 ??am1am2?a?mn????100?0c1r?1?c1n??010?0c?c??2r?12n?????????????000?1crr?1?c?rn?；則對其增廣矩陣 ?000?00?0??????????????000?00?0??

?y1?d1?c1r?1kr?1???c1nkn?y?d?ck???ck22r?1r?12nn?2????,這也是（1）的解,由kr?1,?,kn的任意性（1）有無窮多解.?yr?dr?crr?1kr?1???crnkn?yr?1?kr?1?????yn?kn??x1?2x2?3x3?x4?5?2x?4x?x??3?124例1 解線性方程組?.??x1?2x2?5x3?2x4?8??x1?2x2?9x3?5x4??21解：對增廣矩陣作行初等變換：

?2315??1?1???40?1?3???2A???0?1?2528?????0?12?9?5?21?????020?0100001212003???2?13? 6?0??0?13?x?2x?x??24?122同解,故原方程組的一般解為所原方程組與方程組?113?x3?x4?26?31?x???2x?x42?122.?131?x3??x462?4.2 矩陣的秩

線性方程組可解判別法

一 教學思考

1．本節(jié)在上節(jié)消元法對線性方程組的解的討論的基礎上,引入了矩陣的秩的概念,以此來表述有解判定定理,在有解時從系數(shù)矩陣的秩與未知數(shù)的個數(shù)間的關系可討論解的個數(shù),其中在有無數(shù)解時引入了一般解與通解的概念.2．矩陣的秩的概念是一個重要的概念,學生易出問題.定義的表述不易理解,應指出秩是一個數(shù)（非負整數(shù)）r,其含義是至少有一個r階非零子式,所有大于r階（若有時）子式全為0.重要的是“秩”的性質——初等變換下不變,提供了求秩的另一方法——初等變換法.3．本節(jié)內容與上一節(jié)和下一節(jié)互有聯(lián)系,結論具體,方法規(guī)范,注意引導總結歸納.二 內容要求

1． 內容：矩陣的秩、線性方程組可解判定定理

2． 要求：掌握矩陣的秩的概念、求法及線性方程組求解判定定理 二 教學過程

1．矩陣的秩（1）定義

??x1?x2?x3?1??x1??x2?x3?? ?x?x??x??23?124.3 線性方程組的公式解

一 教學思考

1．本節(jié)在理論上解決了當線性方程組有解時,用原方程組的系數(shù)和常數(shù)項將解表示出來——即公式解,結論的實質是克拉默法則的應用.其中過程是在有解判定的基礎上選擇r個適當方程而得,可歸納方法步驟（方程的選擇、自由未知量的選擇）,內容規(guī)范完整,理論作用較大,實用性較小.2．作為特殊的線性方程組——齊次線性方程組的解的理論有特殊的結果,易于敘述和理解,需注意其特殊性（與一般的區(qū)別,解的存在性、解的個數(shù)等）.二 內容要求

1．內容：線性方程組的公式解,齊次線性方程組的解

2．要求：了解線性方程組的公式解,掌握齊次線性方程組的解的結論 三 教學過程

1．線性方程組的公式解

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b2112222nn2

（1）有解時,用方程組的系數(shù)和常數(shù)項把解本節(jié)討論當方程組???????am1x1?am2x2???amnxn?bm表示出來的問題——公式解.處理這個問題用前面的方法——消元法是不行的,因為這個過程使得系數(shù)和常數(shù)項發(fā)生了改變,但其思想即化簡得同解線性方程組的思想是重要的,所以現(xiàn)今能否用其它方法把（1）化簡得同解方程組且系數(shù)和常數(shù)項不變,才可能尋求公式解.?x1?2x2?x3?2,(G1)?為此看例,考察?2x1?3x2?x3?3,(G2)

（2）

?4x?x?x?7,(G)3?123顯然G1,G2,G3間有關系G3?2G1?G2,此時稱G3是G1,G2的結果（即可用G1,G2線性表示）.則方程組（2）與??x1?2x2?x3?2(G1)同解.2x?3x?x?3(G)232?1同樣地,把（1）中的m個方程依次用G1,G2,?,Gm表示,若在這m個方程中,某個方程Gi是其它若干個方程的結果,則可把（1）中的Gi舍去,從而達到化簡的目的.即現(xiàn)在又得到化簡（1）的方法：不考慮（1）中那些是其它若干個方程的結果,而剩下的方程構成與（1）同解的方程組.現(xiàn)在的問題是這樣化簡到何種程度為止,或曰這樣化簡的方程組最少要保留原方程組中多少個方程.由初等變換法,若（1）的r(A)?r,則可把（1）歸結為解一個含有r個方程的線性方程組.同樣

TH4.3.1設方程組（1）有解,r(A)?r(A)?r(?0),則可以在（1）中的m個方程中選取r個方程,使得剩下的m?r個方程是這r個方程的結果.因而解（1）歸結為解由這r個方程組成的方程組.下看如何解方程組：

第五篇：線性代數(shù)教案第一章

線性代數(shù)教案第一章 第一章 行列式（12學時）

教學時數(shù)：12學時

教學目的與要求：理解并掌握行列式的概念和性質，行列式按行（列）展開定理，行列式的計算，克萊姆法則解方程組。

教學重點：行列式的性質，行列式按行（列）展開，克萊姆法則解方程組。教學難點：行列式按行按列展開。本章主要閱讀文獻資料：

1.吳贛昌主編，《線性代數(shù)》(第4版)，中國人民大學出版社，2008年2月。2.戴斌祥主編，《線性代數(shù)》，北京郵電大學出版社，2005年10月。3.陳維新主編，《線性代數(shù)》（第二版），科學出版社，2010年8月。

4.趙樹嫄主編，《線性代數(shù)學習與考試指導》，中國人民大學出版社，2008年5月。

教學內容：

第一節(jié) 二階與三階行列式

一．二階行列式

引入新課：

我們從二元方程組的解的公式，引出二階行列式的概念。

在線性代數(shù)中，將含兩個未知量兩個方程式的線性方程組的一般形式寫為

（1）

用加減消元法容易求出未知量x1，x2的值，當

時，有

（2）這就是二元方程組的解的公式。但這個公式不好記，為了便于記這個公式，于是引進二階行列式的概念。

（一）定義：我們稱記號

為二階行列式，它表示兩項的代數(shù)和：

即定義

（3）

二階行列式所表示的兩項的代數(shù)和，可用下面的對角線法則記憶：從左上角到右下角兩個元素相乘取正號，從右上角到左下角兩個元素相乘取負號，即

－ ＋

由于公式（3）的行列式中的元素就是二元方程組中未知量的系數(shù)，所以又稱它為二元方程組的系數(shù)行列式，并用字母D表示，即有

如果將D中第一列的元素a11，a21 換成常數(shù)項b1，b2，則可得到另一個行列式，用字母D1表示，于是有

按二階行列式的定義，它等于兩項的代數(shù)和：，這就是公式（2）中x1 的表達式的分子。同理將D中第二列的元素a a b2，12，22 換成常數(shù)項b1，可得到另一個行列式，用字母D2表示，于是有

按二階行列式的定義，它等于兩項的代數(shù)和：a11b2-b1a21，這就是公式（2）中x2的表達式的分子。

于是二元方程組的解的公式又可寫為

其中D≠0

例1 計算5?1=5×2-（-1）×3=13 32例2 設D??2?31

問：(1)當λ為何值時D=0(2)當λ為何值時D≠0 解：D??2?31=?2?3?

(1)當λ=0或3時，D=0(1)當λ≠0且λ≠3時，D≠0

二.三階行列式

含有三個未知量三個方程式的線性方程組的一般形式為

（1）

還是用加減消元法，即可求得方程組（1）的解的公式，當

時，有

（2）

這就是三元方程組的解的公式。這個公式更不好記，為了便于記它，于是引進三階行列式的概念。

（二）定義： 我們稱記號

為三階行列式。三階行列式所表示的6項的代數(shù)和，也用對角線法則來記憶：從左上角到右下角三個元素相乘取正號，從右上角到左下角三個元素取負號，即

（3）

由于公式（3）的行列式中的元素是三元方程組中未知量的系數(shù)，所以稱它為三元方程組的系數(shù)行列式，也用字母D來表示，即有

同理將D中第一列、第二列、第三列的元素分別換成常數(shù)項得到另外三個三階行列式，分別記為

于是有

就可以

按照三階行列式的定義，它們都表示6項的代數(shù)和；并且分別是公式（2）中x1，x2，x3 的表達式的分子，而系數(shù)行列式D是它們的分母。

123例3 405

?106解：原式=-58 例4 實數(shù)a，b滿足什么條件時

ab0?ba0?0 101ab0解：?ba0?a2?b2

a，b為實數(shù)，若要a2?b2?0，則a，b需同時等于零。

a10例5 1a0＞0的充分必要條件是什么？

411a10a10解：1a0=a2?1，即a＞1時，1a0＞0，411411a10所以1a0＞0的充分必要條件a＞1 411作業(yè)：課本35頁，1,2,3,4,5