第一篇：線性代數(shù)電子教案LA2-2B

6.伴隨矩陣：A?(aij)n?n, detA中元素aij的代數(shù)余子式為Aij．

?a11?a21

A??????an1a12a22?an2?a1n??A11?A?a2n??，A*??12???????ann??A1nA21A22?A2n?An1??An2??

????Ann?

重要性質(zhì)：AA*?A*A?(detA)E

7.共軛矩陣：復(fù)矩陣A?(aij)m?n的共軛矩陣記作A?(aij)m?n．

算律：(1)(A?B)?A?B

(2)(kA)?kA

(3)(AB)?AB

(4)(A)?(A)?AH

§2.3 逆矩陣

定義：對于An?n, 若有Bn?n滿足AB?BA?E, 則稱A為可逆矩陣，且B為A的逆矩陣, 記作A?1?B．

定理1 若An?n為可逆矩陣, 則A的逆矩陣唯一．

證

設(shè)B與C都是A的逆矩陣, 則有

AB?BA?E, AC?CA?E

B?BE?B(AC)?(BA)C?EC?C

定理2 An?n為可逆矩陣?detA?0；

An?n為可逆矩陣?A?1?

證

必要性．已知A?1存在，則有

AA?1?E?detAdetA?1?1?detA?0

充分性．已知detA?0，則有

A*A*?A?E

AA?AA?(detA)E?AdetAdetA1A*．

由定義知A為可逆矩陣，且A?1?detA**TT記作1A*． deAt 7 [注]detA?0時(shí), 亦稱A為非奇異矩陣；

detA?0時(shí), 亦稱A為奇異矩陣．

推論1 對于An?n, 若有Bn?n滿足AB?E, 則A可逆, 且A?1?B．

證 AB?E?detAdetB?1?detA?0?A可逆

A?1?A?1E?A?1(AB)?(A?1A)B?EB?B

推論2 對于An?n, 若有Bn?n滿足BA?E, 則A可逆, 且A?1?B．

算律：

(1)A可逆?A?1可逆, 且(A?1)?1?A．

對于A?1, 取B?A, 有A?1B?A?1A?E．

(2)A可逆, k?0?kA可逆, 且(kA)?1?A?1．

k11

對于kA, 取B?A?1, 有(kA)B?(kA)(A?1)?AA?1?E．

kk

(3)An?n與Bn?n都可逆?AB可逆, 且(AB)?1?B?1A?1．

對于AB, 取C?B?1A?1, 有

(AB)C?(AB)(B?1A?1)?A(BB?1)A?1?E．

(4)A可逆?AT可逆, 且(AT)?1?(A?1)T．

對于AT, 取B?(A?1)T, 有ATB?AT(A?1)T?(A?1A)T?E．

(5)A可逆?detA?1?1． detA

(6)An?n與Bn?n都可逆?(AB)*?B*A*．

證(AB)*?[det(AB)](AB)?1?[(detA)(detB)][B?1A?1]

?[(deBt)B?1][(deAt)A?1]?B*A*

負(fù)冪：A可逆, 定義A0?E, A?k?(A?1)k(k?1,2,?), 則有

AkAl?Ak?l,(Ak)l?Akl

(k,l為整數(shù))?3?10??54?1??, A?1?1A*?1?1012?3?

例1 A???211???55???1??1?14???01?

例2 設(shè)An?n滿足A2?2A?4E?O, 求(A?E)?1． 解

A2?2A?4E?O?A2?2A?3E?E

?(A?E)(A?3E)?E?(A?E)?1?A?3E

應(yīng)用：

(1)n階線性方程組求解 An?nx?b, detA?0?x?A?1b

(2)求線性變換的逆變換 y?An?nx, detA?0?x?A?1y

(3)矩陣方程求解

設(shè)Am?m可逆, Bn?n可逆, 且Cm?n已知, 則

AX?C?X?A?1C

XB?C?X?CB?1

AXB?C?X?A?1CB?1

?21??5?10??, C??20? 滿足AX?C?2X, 求X．

例3 設(shè)A???231???????35???2?16??

解

并項(xiàng)：(A?2E)X?C

計(jì)算：X?(A?2E)?1C

0??54?1??21??31

??1012?3??20???7?1?

?????5??1?1??01???35????1?1?1??1? 滿足A*X?A?1?2X, 求X．

例4 設(shè)A???111???1??1?1? 9

解

并項(xiàng)：

(A*?2E)X?A?1

左乘A： [(detA)E?2A]X?E

t?4

計(jì)算：

deA

X?(4E?2A)?1?1(2E?A)?12?110?1? ??011?4?

密碼問題：

a?1, b?2,c?3, ? ,z?26

?123??01?1?

A???112? , A?1??2?2?1????

?012??????111??

action：1, 3, 20, 9, 15, 14 ?1??67??9??81?

加密：A??3???44????? , A??15???52?

?20????43???????14????43??發(fā)出∕接收密碼：67, 44, 43, 81, 52, 43 ?

解密：A?1?67??44?????1??3??? , A?1?81??52??9?????15??

??43????20????43????14??明碼：1, 3, 20, 9, 15, 14表示action

??101??§2.4 分塊矩陣

?1??1

A???0??0?1??1

A???0??00?11?010????A1102?1???A21?00?3?0?11?010????B102?1??00?3?A12? ?A22?B2B3B4?

用若干條橫線與縱線將矩陣A劃分為若干個(gè)小矩陣, 稱這些小矩陣 為A的子矩陣, 以子矩陣為其元素的矩陣稱為分塊矩陣．

特點(diǎn)：同行上的子矩陣有相同的“行數(shù)”；

同列上的子矩陣有相同的“列數(shù)”．

?A11?A1r??B11?B1r?????????B??, m?n????

???As1?Asr???Bs1?Bsr??

1.加法：Am?n?A11?B11?A1r?B1r?????

A?B??? ??As1?Bs1?Asr?Bsr?? 要求：A與B同階, 且分塊方式相同．

2.數(shù)乘：kAm?n?kA11?kA1r????????

??kAs1?kAsr??

3.乘法：Am?l?A11?A1t??B11?B1r?????????B??, l?n????

???As1?Ast???Bt1?Btr??

Cij??Ai1?B1j????Ait?????Ai1B1j???AitBtj

?Btj??? 11 ?C11?C1r????

AB???? ??Cs1?Csr?? 要求：A的列劃分方式與B的行劃分方式相同．

?1?0

例1 A????1??1012100100?0????E0???A21?1?10420?1????B111???B21?0?O? E??0?1??12

B???10???1?1E? B22??B11?

AB???A21B11?B21?1?E???1??A21?B22???2???1024110330?1?? 3??1?

4.轉(zhuǎn)置：Am?nT?A11?A11?A1r???T????A?, ?????A1Tr??As1?Asr????AsT1???? T??Asr? 特點(diǎn)：“大轉(zhuǎn)”+“小轉(zhuǎn)”

5.準(zhǔn)對角矩陣：設(shè)A1,A2,?,As都是方陣, 記

?A1?A1,A2,?,As)??

A?dia(g?????? ???As?A2

性質(zhì)：(1)detA?(detA1)(detA2)?(detAs)

(2)A可逆?Ai(i?1,2,?,s)可逆

(3)Ai(i?1,2,?,s)可逆?A?1?A1?1????????1A2??? ???As?1???500??A1??

例2 A?031????O????021??A1?1?1

A???OO? A2??00??15?O?0? ?1?1?1???A2??0?23????AO??1M

例3 設(shè)Am?m與Bn?n都可逆, Cn?m, M??, 求． ??CB? 解 detM?(detA)(detB)?0?M可逆

?X1

M?1???X3X2? , X4???AO??X1?CB??X???3?X1??X2??X3??X4X2??Em???X4??O?A?1?O??BCA?B?1?1?1O? ?En??AX1?Em?AX?O?2

?

?CX1?BX3?O??CX2?BX4?En

M

?1?A?1O? ???1?1???BCAB?課后作業(yè)：習(xí)題二 7(1)(3)(5), 8(2)(4), 10～14

第二篇：線性代數(shù)電子教案LA3-1B

第三章

矩陣的初等變換

§3.1 矩陣的秩

1.子式：在Am?n中, 選取k行與k列, 位于交叉處的k2個(gè)數(shù)按照原來的 相對位置構(gòu)成k階行列式, 稱為A的一個(gè)k階子式, 記作Dk．

k

對于給定的k, 不同的k階子式總共有CkmCn個(gè)．

2.矩陣的秩：在Am?n中，若

(1)有某個(gè)r階子式Dr?0；

(2)所有的r?1階子式Dr?1?0（如果有r?1階子式的話）．

稱A的秩為r, 記作rankA?r, 或者 r(A)?r．規(guī)定：rankO?0

性質(zhì)：(1)rankAm?n?min{m,n}

A

(2)k?0時(shí)rank(kA)?rankAT?rankA

(3)rankA?r

(4)A中的一個(gè)Dr?0?rankA?r

(5)A中所有的Dr?1?0?rank82??2?3 例1 A??212?212?, 求r(A)． ???314??1? 解

位于1,2行與1,2列處的一個(gè)2階子式D2?2?3?30?0

212

計(jì)算知, 所有的3階子式D3?0, 故r(A)?2． [注] Am?n, 若rankA?m, 稱A為行滿秩矩陣；

若rankA?n, 稱A為列滿秩矩陣．

An?n, 若rankA?n, 稱A為滿秩矩陣（可逆矩陣, 非奇異矩陣）；

若rankA?n, 稱A為降秩矩陣（不可逆矩陣, 奇異矩陣）．

§3.2 矩陣的初等變換

1.初等變換

行變換

列變換

① 對調(diào)

ri?rj

ci?cj

② 數(shù)乘(k?0)kri kci

③ 倍加 ri?krj ci?kcj

Am?n經(jīng)過初等變換得到Bm?n, 記作Am?n?Bm?n．

2.等價(jià)矩陣：若Am?n?Bm?n, 稱Am?n與Bm?n等價(jià), 記作Am?n?Bm?n．

(1)自反性：A?A

(2)對稱性：Am?n?Bm?n?Bm?n?Am?n

(3)傳遞性：Am?n?Bm?n, Bm?n?Cm?n?Am?n?Cm?n

定理1 Am?n?Bm?n?rankA?rankB．

1次有限次k?ranBk．

證

只需證明Am?n?Bm?n?ranAk?r, 僅證行變換之(3)的情形：

設(shè)ranA?????????i??ri?krj?i

A???????????j?????????{m,n}, 則有

(1)若r?min???k?j?????B

??j????B)(B)(A)

Dr(?1不含ri：Dr?1?Dr?1?0

B)(B)(A)(A)

Dr(?含, 不含：rD?D?kDrir?1r?1r?1?0 1j 2

D(B)r?1含ri, 且含rj：D(B)r?1倍加A)?Dr(?1?0

B)k?r?ranAk

故B中所有的r?1階子式Dr(?1?0?ranBri?krjk?ranBk, 于是可得rankA?rankB．

B?A?ranA

(2)若r?m或者r?n, 構(gòu)造矩陣

?AO??BO?

A1??, B1?? ??OOOO??(m?1)?(n?1)??(m?1)?(n?1)

由(1)可得A1?B1?rankA1?rankB1

ranAk1?ranAk?k?ranBk ??ranAranBk1?ranBk?ri?krj

其余情形類似．

82??2?3 例2 A??212?212?, 求r(A)． ???314??1?6?6?14??0?9?13行???06?44?, 故r(A)?2．

解

A??06?44??????314?00??1??00?行14??1032??13行

行最簡形：A??01?2323???01?2323??B

?????00?00??00???00?行?1000?

標(biāo)準(zhǔn)形：A??0100??H

????0000??行與列

定理2 若rankAm?n?r(r?0), 則

?0?0b1i1???行?

A????????b1i2b2i1??b1ir??b2ir??brir0?0??????*?*?????*??B：行階梯形 0????0??

[i1][i2][ir]

?0?01?0??0?*???1??0?*????????行??

A??1?*??H：行最簡形

?0?0????????0?0????E 定理3 若rankAm?n?r(r?0), 則A??r?O 推論1 若An?n滿秩, 則A?En．

A?rankB．

推論2 Am?n?Bm?n?rankO?, 稱為A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形． ?O?

§3.3 解線性方程組的消元法

?2x1?x2?3x3?1?

例如

?4x1?2x2?5x3?4?2x?2x3?6?1?2x1?x2?3x3?1(2)?2(1)?4x2?x3?2

?(3)?(1)?x2?x3?5?(1)(2)(3)(4)(5)(6)?2x1?x2?3x3?1(5)?4(6)?x2?x3?5

?(5)?(6)?3x3??18??x1?9?(8)

?x2??1

?x??6(9)?3(7)解線性方程組的初等變換：(1)互換兩個(gè)方程的位置(2)用非零數(shù)乘某個(gè)方程

(3)將某個(gè)方程的若干倍加到另一個(gè)方程

用矩陣的初等變換表示方程組的求解過程如下：

31??2?131??2?1行???0?

?Ab???42544?12??????026?1?15??2??0?31?9??2?1?100行???010?1?

??01?15??????03?18??0??001?6??行

?a11?a21

方程組：

?????am1a12a22?am2?a1n??a2n??????amn??x1??b1??x??b??2???2?

或者 Ax?b ???????????xn??bm?~

增廣矩陣：A??Ab?

k?r, 且A的左上角r階子式Dr?0, 則

設(shè)ranA?1?0???行~?

A??0?0????0?0?0b1,r?1?b1n1?0b2,r?1?b2n???0?0???0?00?1br,r?1?brn0?0??0?0d1?d2?????dr?： 行最簡形 dr?1????0??

Ax?b的同解方程組為

?x1?b1,r?1xr?1???b1nxn?d1?x?b22,r?1xr?1???b2nxn?d2?????

?

(3.4)?x?br,r?1xr?1???brnxn?dr?r?0?dr?1? 5

~

若dr?1?0, 則方程組(3.4)無解：rankA?r?1?r?rankA ~

若dr?1?0, 則方程組(3.4)有解：rankA?r?rankA

(1)r?n時(shí), 方程組(3.4)成為

x1?d1, x2?d2, …, xn?dn 是其唯一解

(2)r?n時(shí), 方程組(3.4)成為

?x1?d1?b1,r?1xr?1???b1nxn?x?d?b?222,r?1xr?1???b2nxn

?

??????xr?dr?br,r?1xr?1???brnxn

一般解為

?x1?d1?b1,r?1k1???b1nkn?r?x?d?b22,r?1k1???b2nkn?r?2?????

?xr?dr?br,r?1k1???brnkn?r

?x?k1?r?1?????kn?r?xn?

其中k1,k2,?,kn?r為任意常數(shù)．

~

定理4 Am?n, A??Ab?

~

(1)Ax?b有解?rankA?rankA；

(2)Ax?b有解時(shí), 若rankA?n, 則有唯一解；

若rankA?n, 則有無窮多組解．

定理5(1)Am?nx?0有非零解?rankA?n；

(2)An?nx?0有非零解?detA?0．

課后作業(yè)：習(xí)題三

1, 2, 3, 4

第三篇：線性代數(shù)電子教案LA1-2B

§1.4 行列式的性質(zhì)

a11?a1na11?an1?, DΤ???, 則DΤ?D．

性質(zhì)1 設(shè)D??an1?anna1n?ann

證 令bij?aji(i,j?1,2,?,n), 則

b11?bn1

DΤ?????(?1)?b1p1b2pbp2?bnpn

1n?b(p12?pn)nn

??(?1)?apapp11(22?apnn?D

1p2?pn)?????ai1?ainaj1?

性質(zhì)2 設(shè)i?j,D????, D1???aj1?ajnai1??????

證 bik?ajk,bjk?aik(k?1,2,?,n)

l?i,j:blk?alk(k?1,2,?,n)

???bi1?bin

D1??????(?1)?(?bipi?bjpj?)bj1?bjn???

??(?1)t(?1)(?bjpj?bipi?)

?(?1)?(?1)t(?aipj?ajpi?)

?(?1)?(?1)t(?aiqi?ajqj?)??D

推論1 D對調(diào)兩列得D2?D2??D．

???(p1p2?pn)(根據(jù)Th2)

?ajn?, 則D1??D．a(chǎn)in?

?(?pi?pj?)

t(?pj?pi?)

qi?pj,qj?pil?i,j:ql?pl

t(?qi?qj?)

T

證 因?yàn)镈對調(diào)兩列得D2, 相當(dāng)于DT對調(diào)兩行得D2 T

所以D2?D2??DT??D

推論2 D中某兩行(列)元素對應(yīng)相等?D?0．

證 因?yàn)閷φ{(diào)此兩行(列)后,D的形式不變

所以D??D?D?0

123

例如, 對于任意的a,b,c, 都有abc?0．

123a11?a1n?a1n??kD ?ann???a11?ka1j?

性質(zhì)3 kai1?kain?kD, ?an1?kanj???an1?ann

證(1)左端??(?1)?[a1p1?(kaipi)?anpn]

?(p1?pi?pn)

?k?(?1)?(a1p1?aipi?anpn)?kD

推論1 D中某行(列)元素全為0?D?0．

推論2 D中某兩行(列)元素成比例?D?0．

性質(zhì)4 若對某個(gè)i, 有aij?bij?cij(j?1,2,?,n), 則

a11?a1na11?a1n????a11?a1n????cin ???????

ai1?ain?bi1????an1?annan1?bin?ci1?annan1?ann

證 左端??(?1)?(a1p1?aipi?anpn)

?(p1?pi?pn)

??(?1)?(a1p1?bipi?anpn)??(?1)?(a1p1?cipi?anpn)

?右端(1)+ 右端(2)[注] 性質(zhì)4對于列的情形也成立．

??????ai1?ainrai?krji1?aj1?ain?ajn

性質(zhì)5 ???????(i?j)

aj1?ajnaj1?ajn?????? [注] 性質(zhì)5對于列的情形也成立．

1?53?3

例5 計(jì)算D?201?131?12.413?11?53?31?53?31?5

解 D?010?55016?1011?502?110100?23?(?5)00021?9110111021?53?31?53?3

?(?5)0111011100?23?(?5)00?23??5500?3?1000?112xa?a

例6 計(jì)算Dax?an????．

aa?x11?1

解 rD1?(r2???rn)ax?an?[x?(n?1)a]??? aa?x11?1

?[x?(n?1)a]0x?a?0???

00?x?a

?[x?(n?1)a](x?a)n?1

3?311?23?11 123?n210?0

例7 計(jì)算Dn?301?0．

????n00?1t23?n

解 Dnc1?jcjj?2,?,n?010?0001?0?1?(22???n2)????000?1

§1.5 行列式按行（列）展開

余子式：在n階行列式中，將元素aij所在的行與列上的元素劃去，其余

元素按照原來的相對位置構(gòu)成的n?1階行列式，稱為元素aij的余子式，記作Mij．

代數(shù)余子式：元素aij的代數(shù)余子式Aij?(?1)i?jMij．

a11a21

定理3 D??an1a12a22??a1n?a2n ?an2?ann

?ai1Ai1?ai2Ai2???ainAin

(i?1,2,?,n)

?a1jA1j?a2jA2j???anjAnj

(j?1,2,?,n)

證

證明第一式, 分以下3步．

a11?a1,n?1?

第1步：Mnn????(?1)?(p1?pn?1)a1p1?an?1,pn?1

an?1,1?an?1,n?1

(1?pi?n?1)

a11?a1,n?1?a1n?an?1,nann

?0?an?1,1?an?1,n?10??(?1)?(p1?pn?1pn)a1p1?an?1,pn?1an,pn

?

pn?n?(?1)??(?1)?(p1?pn?1pn)a1p1?an?1,pn?1an,pn+ a1p1?an?1,pn?1an,pn(p1?pn?1pn)pn?n

?ann?(?1)?(p1?pn?1n)a1p1?an?1,pn?1

?(p1?pn?1n)??(p1?pn?1)

?annMnn?ann(?1)n?nMnn?annAnn

a1jD1

第2步： D(i,j)?0?ai?1,j0aijai?1,j?anj0D2?D4a1jD1D2?ai?1,jai?1,j ?anj0aij0

?D3

?(?1)(n?i)?(n?j)D30?00D4?

?(?1)?(i?j)aijMij?aijAij

第3步：D?D(i,1)?D(i,2)???D(i,n)

?ai1Ai1?ai2Ai2???ainAin

1?53?3201?1

例8 計(jì)算D?．

31?12413?1 162

解 D?310?2716?2701?1?(?1)3?221?1

1?1214?304?32005205??55

?(?1)21?1?(?1)(?1)2?2?71?701aa?

例9 計(jì)算D2n?b?b?abcd?c?dd00?(?1)1?2nb(2n?1)．

cD2(n?1)0?

解 D2n?(?1)1?1a?00d?0c0D2(n?1)?0(2n?1)

?(?1)(2n?1)?(2n?1)ad?D2(n?1)?(?1)(?1)(2n?1)?1bc?D2(n?1)

?(ad?bc)D2(n?1)???(ad?bc)n?1D2

D2?ab?ad?bc

cd

D2n?(ad?bc)n

11122103??3?0n?

例10 計(jì)算Dn???．

100?n?1n?1100? 12

解 Dn?nDn?1?(?1)n?1(n?1)!

?n(n?1)Dn?2?(?1)(n?1)?1(n?1?1)!?(?1)n?1(n?1)!

?n(n?1)Dn?2?(?1)n

??

?n(n?1)?3?D?(?1)4n!n!n!???(?1)n?(?1)n?1 n!n!?(?1)n?1 n?1n??23n?1

D2?112?2?1?(?1)2?2?(?1)31?1

D??(?1)2(?1)3(?1)4(?1)n?1

?n?(n!)?1?2?3???n??

課后作業(yè)：習(xí)題一(1)(2)(1)(2)(3)(1)(2)

n

第四篇：線性代數(shù)電子教案LA1-1B

線性代數(shù)講稿

講稿編者：使用教材：《線性代數(shù)》

教學(xué)參考：《線性代數(shù)典型題分析解集》張 凱 院

西北工業(yè)大學(xué)出版社 西工大數(shù)學(xué)系編 西北工業(yè)大學(xué)出版社 徐 仲 等編

第一章

n階行列式

§1.2 排列及其逆序數(shù)

1．排列：n個(gè)依次排列的元素．

例如, 自然數(shù)1,2,3,4構(gòu)成的不同排列有4!=24種．

1234, 1342, 1423, 1432, 1324, 1243

2134, 2341, 2413, 2431, 2314, 2143

3124, 3241, 3412, 3421, 3214, 3142

4123, 4231, 4312, 4321, 4213, 4132

例1 互異元素p1,p2,?,pn構(gòu)成的不同排列有n!種．

解 在n個(gè)元素中選取1個(gè)

n種取法

在剩余n?1個(gè)元素中選取1個(gè)

n?1種取法

在剩余n?2個(gè)元素中選取1個(gè)

n?2種取法

??????

????

在剩余2個(gè)元素中選取1個(gè)

2種取法

在剩余1個(gè)元素中選取1個(gè)

1種取法

------------------

總共n!種取法

2．標(biāo)準(zhǔn)排列：n個(gè)不同的自然數(shù)從小到大構(gòu)成的排列．

n個(gè)不同的元素按照某種約定次序構(gòu)成的排列．

3．逆序數(shù)：

(1)某兩個(gè)數(shù)（元素）的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時(shí), 稱這兩個(gè)數(shù)（元素）

之間有1個(gè)逆序．

(2)排列p1p2?pn中逆序的總和稱為排列的逆序數(shù), 記作?(p1p2?pn)．

算法：固定i(?2,?,n), 當(dāng)j?i時(shí)，滿足pj?pi的“pj”的個(gè)數(shù)記作?i（稱為pi的逆序數(shù)），那么?(p1p2?pn)??2????n．

例2 排列6372451中, ???2????7?1?0?3?2?2?6?14．

例3 排列13?(2n?1)(2n)(2n?2)?42, 求逆序數(shù)．

解

記作p1p2?pnpn?1pn?2?p2n?1p2n

?2?0, ?,?n?1?0

?n?2?2?2?1, ?n?3?4?2?2, ?, ?2n?2?(n?1)

??2[1?2???(n?1)]?n(n?1)

4．奇偶性：排列p1p2?pn

?(p1p2?pn)?奇數(shù)時(shí), 稱為奇排列；

?(p1p2?pn)?偶數(shù)時(shí), 稱為偶排列．

5．對換：

相鄰對換：p1?pipi?1?pn?p1?pi?1pi?pn

一般對換：p1?pi?pj?pn?p1?pj?pi?pn(i?j)

定理1 排列經(jīng)過1次對換, 其奇偶性改變．

證

先證相鄰對換：(1)a1?alabb1?bm

(2)a1?albab1?bm

a?b：對換后?a增加1, ?b不變, 故t2?t1?1；

a?b：對換后?a不變, ?b減少1, 故t2?t1?1．

所以t2與t1的奇偶性相反．

再證一般對換：(1)a1?alab1?bmbc1?cn

(2)a1?alb1?bmabc1?cn

(3)a1?albb1?bmac1?cn

(1)?(2)經(jīng)過m次相鄰對換

(2)?(3)經(jīng)過m?1次相鄰對換

(1)?(3)經(jīng)過2m?1次相鄰對換, 所以t3與t1的奇偶性相反．

推論 奇排列?標(biāo)準(zhǔn)排列, 對換次數(shù)為奇數(shù)．

偶排列?標(biāo)準(zhǔn)排列, 對換次數(shù)為偶數(shù)．

§1.3 n階行列式的定義

1．二階： a11a21a11a12a22a12a22a32?a11a22?a12a21

a13a23?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32 a33 2．三階： a21a

?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31

(1)乘積中三個(gè)數(shù)不同行、不同列：?a1p1a2p2a3p3

行標(biāo)(第1個(gè)下標(biāo))：標(biāo)準(zhǔn)排列 123

列標(biāo)(第2個(gè)下標(biāo))：p1p2p3是1,2,3的某個(gè)排列(共6種)

(2)正項(xiàng)：123, 231, 312為偶排列

負(fù)項(xiàng)：132, 213, 321為奇排列

a11a12a22a32a13a23??(?1)?a1p1a2p2a3p3, ???(p1p2p3)．

(p1p2p3)a33

于是 a21a31 3．n階：n2個(gè)數(shù)aij(i,j?1,2,?,n), 稱

a11a12a22??a1n?a2n ?

D?a21?an1an2?ann

為n階行列式, 它表示數(shù)值

(p1p2?pn)?(?1)?a1p1a2p2?anpn, ???(p1p2?pn)

其中, 求和式中共有n!項(xiàng)．

a11a12a22?a1na11?a1,n?1a1n

例3 計(jì)算D1??a2na21?a2,n?1, D2?????annan1.解 D1中只有一項(xiàng)a11a22?ann不顯含0, 且列標(biāo)構(gòu)成排列的逆序數(shù)為

?(12?n)?0, 故D1?(?1)?a11a22?ann?a11a22?ann．

D2中只有一項(xiàng)a1na2,n?1?an1不顯含0, 且列標(biāo)構(gòu)成排列的逆序數(shù)為

?(n?21)?1?2???(n?1)?

故D2?(?1)a1na2,n?1?an1?(?1)?n(n?1)2n(n?1)2a1na2,n?1?an1．

結(jié)論：以主對角線為分界線的上(下)三角行列式的值等于主對角線上元素的乘積．

以副對角線為分界線的上(下)三角行列式的值等于副對角線上元素的乘積, 并冠以符號(?1)

特例：

n(n?1)2．

?1

?1?2???1?2??n，?2??(?1)n(n?1)2?1?2??n

?na11a21

定理2 D??an1a12a22??a1n?n?a2n??(?1)?(q1q2?qn)aq11aq22?aqnn

(2)?(q1q2?qn)an2?ann(p1p2?pn)

證

由定義知

D??(?1)?(p1p2?pn)a1p1a2p2?anpn

(1)

先證(2)中的項(xiàng)都是(1)中的項(xiàng)：交換乘積次序可得

(?1)?(q1q2?qn)aq11aq22?aqnn?(?1)?(q1q2?qn)a1p1a2p2?anpn

(3)5

① ?(q1q2?qn)?偶數(shù)

q1q2?qn?12?n

偶數(shù)次對換

12?n?p1p2?pn

偶數(shù)次對換

所以?(p1p2?pn)?偶數(shù)

② ?(q1q2?qn)?奇數(shù)

q1q2?qn?12?n

奇數(shù)次對換

12?n?p1p2?pn

奇數(shù)次對換

所以?(p1p2?pn)?奇數(shù)

因此(?1)?(q1q2?qn)?(?1)?(p1p2?pn), 由(3)可得

(?1)?(q1q2?qn)aq11aq22?aqnn?(?1)?(p1p2?pn)a1p1a2p2?anpn

同理可證(1)中的項(xiàng)都是(2)中的項(xiàng)．

課后作業(yè)：習(xí)題一

1，2，3

第五篇：線性代數(shù)電子教案LA5-1B

第五章

矩陣的相似變換

§5.1 矩陣的特征值與特征向量

定義： 對于n階方陣A, 若有數(shù)?和向量x?0滿足Ax??x, 稱?為A的特征值, 稱x為A的屬于特征值?的特征向量．

特征方程：Ax??x?(A??E)x?0 或者(?E?A)x?0

(A??E)x?0有非零解?de(tA??E)?0

?E?A)?0

?de(t

特征矩陣：A??E 或者 ?E?A

a11??a12?a1na2n?

特征多項(xiàng)式：?(?)?det(A??E)?a21?an1a22?????an2

?ann??

?a0?n?a1?n?1???an?1??an[a0?(?1)n]

?122?

例1 求A??212? 的特征值與特征向量． ????221??1??

解 ?(?)?22221??2?(5??)(??1)2 21??

?(?)?0??1?5,?2??3??1

求?1?5的特征向量：

22??1???4?10?1?行???01?1?, p??1?

A?5E??2?421?????????2?4?0??1???2??00?

x?k1p1(k1?0)

求?2??3??1的特征向量：

?222?行?111???1???1???1?, p??0? 000

A?(?1)E??222???, p?23????????????000???222????0???1??

x?k2p2?k3p3

（k2,k3不同時(shí)為0）

??110???

例2 求A???430? 的特征值與特征向量．

??102???1??

解 ?(?)?13??000?(2??)(??1)2 2???41

?(?)?0??1?2,?2??3?1

求?1?2的特征向量：

?0???310?行?100?????

A?2E???410???010?, p1??0?

?????000???1???100???

x?k1p1(k1?0)

求?2??3?1的特征向量：

??210?行?101???1???

A?1E???420???012?, p2???2?

???????000???101????1??

x?k2p2(k2?0)

[注] 在例1中, 對應(yīng)2重特征值???1有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量；

在2中, 對應(yīng)2重特征值??1只有一個(gè)線性無關(guān)的特征向量．

一般結(jié)論：對應(yīng)r重特征值?的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)?r．

定理1 設(shè)A?(aij)n?n的特征值?1,?2,?,?n, trA?a11?a22???ann, 則

(1)trA??1??2????n；

(2)detA??1?2??n．

證 由特征值的定義可得

a11??a12?an2??a1na2n?a21?an1a22???

?(?)?det(A??E)?

?ann??

?(a11??)(a22??)?(ann??)?fn?2(?)

?(?1)n?n?(?1)n?1(a11?a22???ann)?n?1?gn?2(?)?fn?2(?)

其中g(shù)n?2(?),fn?2(?)都是次數(shù)不超過n?2的多項(xiàng)式．由題設(shè), 又有

?(?)?det(A??E)?(?1??)(?2??)?(?n??)

?(?1)n?n?(?1)n?1(?1??2????n)?n?1???(?1?2??n)

比較多項(xiàng)式同次冪的系數(shù)可得

a11?a22???ann??1??2????n

deAt??(0)??1?2??n

t?0? 0是A的特征值．

推論

deA

一元多項(xiàng)式：f(t)?c0?c1t?c2t2???cmtm

矩陣多項(xiàng)式：f(A)?c0E?c1A?c2A2???cmAm

(An?n,En)

定理2 設(shè)Ax??x(x?0), 則

(1)f(A)x?f(?)x；

(2)f(A)?O?f(?)?0．

證(1)因?yàn)?Ax??x?Akx??kx

（k?1,2,?）

所以 f(A)x?c0Ex?c1Ax?c2A2x???cmAmx

?c0x?c1?x?c2?2x???cm?mx?f(?)x

(2)f(A)?O?f(?)x?f(A)x?Ox?0?f(?)?0

(?x?0)

[注] 一般結(jié)論：若A的全體特征值為?1,?2,?,?n,則f(A)的全體特征值

為f(?1),f(?2),?,f(?n)．

例3 設(shè)A3?3的特征值為?1?1,?2?2,?3??3, 求 det(A3?3A?E)．

解

設(shè)f(t)?t3?3t?1, 則f(A)?A3?3A?E的特征值為

f(?1)??1,f(?2)?3,f(?3)??17

故

det(A3?3A?E)?(?1)?3?(?17)?51

定理3 設(shè)An?n的互異特征值為?1,?2,?,?m, 對應(yīng)的特征向量依次為

p1,p2,?,pm, 則向量組p1,p2,?,pm線性無關(guān)．

證 采用數(shù)學(xué)歸納法．

m?1時(shí), p1?0?p1線性無關(guān)．

設(shè)m?l時(shí), p1,?,pl線性無關(guān), 下面證明p1,?,pl,pl?1線性無關(guān)．

設(shè)數(shù)組k1,?,kl,kl?1使得

k1p1???klpl?kl?1pl?1?0

(1)

左乘A, 利用Api??ipi可得

k1?1p1???kl?lpl?kl?1?l?1pl?1?0

(2)

(2)??l?1(1)：

k1(?1??l?1)p1???kl(?l??l?1)pl?0

因?yàn)閜1,?,pl線性無關(guān)（歸納法假設(shè)）, 所以

k1(?1??l?1)?0,?,kl(?l??l?1)?0?k1?0,?,kl?0

代入(1)可得 kl?1pl?1?0?kl?1?0．故p1,?,pl,pl?1線性無關(guān)．

根據(jù)歸納法原理, 對于任意正整數(shù)m, 結(jié)論成立．

定理4 設(shè)An?n的互異特征值為?1,?2,?,?m, 重?cái)?shù)依次為r1,r2,?,rm，(i)(i)

對應(yīng)?i的線性無關(guān)的特征向量為p1,p2,?,pl(ii)(i?1,2,?,m),(1)(m)m)

則向量組p1線性無關(guān)．（自證）,?,pl(11),??,p1,?,pl(m

§5.2 相似對角化

1．相似矩陣：對于n階方陣A和B, 若有可逆矩陣P使得P?1AP?B，稱A相似于B, 記作A~B．

(1)A~A：

E?1AE?A

(2)A~B?B~A：(P?1)?1B(P?1)?A

(3)A~B,B~C?A~C

性質(zhì)1 A~B?detA?detB．

性質(zhì)2 A可逆, A~B?B可逆, 且A?1~B?1．

性質(zhì)3 A~B?kA~kB,Am~Bm

（m為正整數(shù)）．

性質(zhì)4 f(t)為多項(xiàng)式, A~B?f(A)~f(B)．

性質(zhì)5 A~B?det(A??E)?det(B??E)

?A與B的特征值相同

證

由P?1AP?B可得 B??E?P?1AP??E?P?1(A??E)P

de(tB??E)?dePt?1?detA(??E)?dePt

?(dePt)?1?detA(??E)?dePt?detA(??E)

2．相似對角化：若方陣A能夠與一個(gè)對角矩陣相似, 稱A可對角化．

定理5 n階方陣A可對角化?A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量．

證

必要性．設(shè)可逆矩陣P使得

??1?def???1?

PAP????? ??n???

即AP?P?．劃分P??p1?pn?, 則有

A?p1?pn???p1?pn??

??Ap1?Apn????1p1??npn?

?Api??ipi(i?1,2,?,n)

因?yàn)镻為可逆矩陣, 所以它的列向量組p1,?,pn線性無關(guān)．

上式表明：p1,?,pn是A的n個(gè)線性無關(guān)的特征向量．

充分性．設(shè)p1,?,pn線性無關(guān), 且滿足Api??ipi

則P??p1?pn?為可逆矩陣, 且有

AP??Ap1?Apn????1p1??npn?

??p1?pn???P?

即P?1AP??．

[注] A~???的主對角元素為A的特征值．

推論1 An?n有n個(gè)互異特征值?A可對角化．

推論2 設(shè)An?n的全體互異特征值為?1,?2,?,?m, 重?cái)?shù)依次為r1,r2,?,rm，則A可對角化的充要條件是, 對應(yīng)于每個(gè)特征值?i,A有ri個(gè)線性

無關(guān)的特征向量．

(i?1,2,?,n)，例4 判斷下列矩陣可否對角化：

10??0?,(2)A?

(1)A??001?????6?11?6??

解(1)?(?)??(??1)(??2)(??3)

?122??212?,(3)A?????221????110???430??? ??102??

A有3個(gè)互異特征值 ?A可對角化

對應(yīng)于?1??1,?2??2,?3??3的特征向量依次為

?1??1??1?

p1???1?, p2???2?, p3???3?

??????????1???4???9??11??1??1??

構(gòu)造矩陣 P???1?2?3?, ????2??????49??3??1???

則有 P?1AP??．

(2)?(?)??(??5)(??1)2

例1求得A有3個(gè)線性無關(guān)的特征向量 ?A可對角化

對應(yīng)于?1?5,?2??3??1的特征向量依次為

?1???1???1???

p1??1?, p2??1?, p3??0?

????????1???0???1??

?1?1?1??5??, ????1?

構(gòu)造矩陣 P??110??????01??1??1???

則有 P?1AP??．

(3)?(?)??(??2)(??1)2, 例2求得, 對應(yīng)于2重特征值?2??3?1，A只有1個(gè)線性無關(guān)的特征向量 ?A不可對角化．

?122?

例5 設(shè)A??212?, 求Ak(k?2,3,?)． ????221???1?1?1??5??, ????1?, 使得

解

例4求得 P??110??????01??1??1???

P?1AP??：A?P?P?1,Ak?P?kP?1

k?1?1?1??5???110

故 Ak??????01??1???(?1)k??111??1?? ??12?1???k?3(?1)??2???1?1??5k?2?1?

??5k??3k?5???5k??5k?2?5k??5k????5k???

（??(?1)k）5k?2???