第一篇：線性代數(shù)教案 第一節(jié)：低階行列式

《線性代數(shù)》教案

第一章：行列式 本章重點(diǎn)：行列式的計(jì)算及其性質(zhì)的應(yīng)用

本章難點(diǎn)：行列式的幾條性質(zhì)的證明及利用這些性質(zhì)計(jì)算行列式 基本要求：

1． 會(huì)用對(duì)角線法則計(jì)算2階行列式和3階行列式 2． 了解n階行列式的概念

3． 了解行列式的性質(zhì)并掌握4階行列式的計(jì)算，會(huì)計(jì)算簡(jiǎn)單的n階行列式 4． 了解克萊姆法則

第二篇：線性代數(shù)教案-第三章 行列式及其應(yīng)用

第三章行列式及其應(yīng)用

本在線性代數(shù)應(yīng)用于幾何、分析等領(lǐng)域時(shí),行列式理論起著重要的作用,線性代數(shù)范疇的矩陣?yán)碚摰倪M(jìn)一步深化,也要以行列式作工具.本章研究行列式理論以及它的一些作用.一、教學(xué)目標(biāo)與基本要求

（一）知識(shí)

1n階行列式的定義及性質(zhì)

現(xiàn)將這些性質(zhì)作為公理體系來定義n階行列式.設(shè)A?[aij]是任意一個(gè)n階方陣,用Ai記其第i行元素為分量的n元向量,即

2,?,n, Ai?(ai1,ai2,?,ain),i?1,并稱其為行向量.有序向量組{A1,?,An}所定義的實(shí)值函數(shù)d(A1,?,An)被稱為n階行列式函數(shù),如果它滿足下列公理: 公理1 對(duì)每行具有齊性,即對(duì)任意實(shí)數(shù)t,有

?,n.d(?,tAk,?)?td(?,Ak,?),k?1,公理2 對(duì)每行都具加性.即對(duì)任意n元向量B,有

d(?,Ak?B,?)?d(?,Ak,?)?d(?,Ak?1,B,Ak?1,?), k?1,?,n.公理3若任意相鄰兩行相等,則行列式為零.即若Ak?Ak?1(k?1,?,n?1),則d(A1,?,An)?0.公理4 對(duì)于R中常用基{e1,?,en},有 nd(e1,?,en)?1.當(dāng){A1,?,An}取定,則稱d(A1,?,An)為一個(gè)n階行列式.有時(shí)也簡(jiǎn)稱為n階行列式函數(shù)為n階行列式.n行列式常被記為detA,|A|,或

a11a21?an1a12a22??a1n?a2n?.an2?ann公理4意味著,對(duì)于n階單位方陣E,有 detE?|E|?1.前兩個(gè)公理意味著,行列式函數(shù)是它每一行的線性函數(shù),即對(duì)任意一行(如第1行)而言,若t1,?,tp是任意p個(gè)實(shí)數(shù),B1,?,Bp是任意p個(gè)n元向量(p是任意正整數(shù)),有

d(?tkBk, A2,?,An)??tkd(Bk,A2,?,An)

k?1k?1pp定理3.1.1滿足公理1,2,3的行列式函數(shù)d(A1,?,An)具有以下性質(zhì):(1)若行列式某一行為零,則此行列式為零.(2)對(duì)調(diào)行列式任意兩行,則行列式變號(hào).(3)若行列式任意兩行相等,則此行列式為零.(4)若向量組{A1,?,An}是相關(guān)的,則行列式d(A1,?,An)?0.(5)把行列式某行乘以數(shù)加到另一行去,行列式值不改變.行列式的計(jì)算

例3.2.2設(shè)A是形如下式的n階對(duì)角方陣

?a11?0?????00a22?00??0??(a?0,i?j)

??ij??ann??則detA?a11a22?ann.由該例可得到: 例3.2.3設(shè)A是形如下式的n階上三角方陣

?a11??0??????0a12a22?0?a1n???a2n??(主對(duì)角線下方各元素為零)????ann??則detA?a11a22?ann.定理3.2.1 設(shè)d是滿足行列式公理1～4的n階行列式函數(shù),f是滿足行列式公理1～3的n階行列式函數(shù),則對(duì)任意選定的n元向量A1,?,An及R中常用基{e1,?,en},有

nf(A1,?,An)?d(A1,?,An)f(e1,?,en).(3.2.2)若f還滿足行列式公理4,則有

f(A1,?,An)?d(A1,?,An).?1定理3.2.2 若A是一個(gè)非奇異方陣(即A存在),則detA?0,且

detA?1?1 detA定理3.2.3 設(shè)A1,?,An是n個(gè)n元向量.該向量獨(dú)立的充要條件是d(A1,?,An)?0.本節(jié)最后,討論分塊對(duì)角方陣的行列式的簡(jiǎn)便算法.定理3.2.3 形如式(3.2.10)的分塊對(duì)角方陣成立著

?AO?det???detAdetB ??OB??本定理可以推廣到一般情形:若C是一個(gè)具有對(duì)角子塊A1,?,An的分塊對(duì)角方陣,即

?A1????C????????OA2?O??????, ????An??則detC?(detA1)(detA2)?(detAn).行列式的展開公式

定義3.3.1給定n階方陣A?[akj](n≥2).去掉其元素akj所在的第k行和第j列后,余下元素按原來位置構(gòu)成的n?1階方陣,被稱為元素akj的余子陣,記為Akj.而稱detAkj為akj的余子式.定理3.3.1對(duì)任意n階方陣A?[akj](n≥2),有

??(?1)k?jdetAkj,k?1,?,n.(3.3.2)detAkj從而有

n?,n.(3.3.3)detA??akj(?1)k?jdetAkj,k?1,j?1此式被稱為行列式按第k行的展開式.定義3.3.2對(duì)行列式detA而言,稱(?1)k?jdetAkj為元素akj的代數(shù)余子式,記為cofakj.下面將利用數(shù)學(xué)歸納法來證明n階行列式函數(shù)的存在性,從而在理論上確立了n階行列式函數(shù)的存在唯一性.與此同時(shí),可得到行列式按列展開的公式.定理3.3.2設(shè)n?1階行列式函數(shù)存在.對(duì)任意n階方陣A?[akj],定義函數(shù)

f(A1,?,An)??(?1)k?1ak1detAk1,(3.3.4)k?1n則它是n階行列式函數(shù)

定理3.3.3對(duì)任意n階方陣A?[akj],有

?(?1)j?1nni?j i?k?detA,(3.3.6)akjdetAij?? 0, i?k? i?k?detA,i?j(3.3.7)(?1)adetA???jkji i?kj?1? 0,定理3.3.4對(duì)任意n階方陣A?[akj],有

detA?detAT.4 伴隨陣及方陣的逆

定義3.4.1給定n階方陣A?[aij],稱n階方陣[cofaij]為A的伴隨陣,記為

TA*.據(jù)此定義知: A的伴隨陣A*位于第j行第i列的元素,就是A的元素aij的代數(shù)余子式

cofaij?(?1)i?jdetAij.定理3.4.1對(duì)任意n階方陣A?[aij](n≥2),有

AA*?(detA)E.?1又:若detA?0,則A存在,且有

A?1?1A*.detA?1定理3.4.2對(duì)任意n階方陣A而言,A存在得充分必要條件是detA?0.當(dāng)detA?0,就有

A?1?11A*,detA?1? detAdetA5

矩 陣 的 秩

定義3.5.1在一個(gè)m?n矩陣A中,任取k行k列(k≤min(m,n)),位于這些行列交叉處的元素按原來位置構(gòu)成的k階行列式,被稱為矩陣A的k階子式.A中不為零的子式.A中不為零的子式的最高階數(shù),被稱為矩陣A的秩,記為R(A).若A沒有不為零的子式(等價(jià)的說法是: A是零矩陣),則認(rèn)為其秩為零.推論 若A有一個(gè)r階子式不為零,而所有r?1階子式全為零,則R(A)?r.定理3.5.1初等變換不改變矩陣的秩.等價(jià)的說法是:若A～B(即A與B等價(jià)),則R(A)?R(B).若A是n階方陣且R(A)?n,則稱A為滿秩方陣.顯然,下列命題等價(jià):(1)A是滿秩方陣.(2)detA?0.(3)A是可逆的(非奇異的).克萊姆法則

定理3.6.1對(duì)于含有n個(gè)未知量x1,?,xn的n個(gè)線性代數(shù)方程構(gòu)成的方程組

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1,?ax?ax???ax?b,?2112222nn2(3.6.1)?? ? ? ? ???an1x1?an2x2???annxn?bn,(或?qū)憺?aj?1nij?,n.)xj?bi,i?1,如果其系數(shù)方陣A?[aij]是非奇異的(即detA?0),則它是唯一解.這里cofakj是方陣A的元素akj的代數(shù)余子式.式(3.6.2)表示的線性代數(shù)方程組(3.6.1)的解亦可表示為

xj?detCjdetA,j?1,?,n.(3.6.3)這里方陣Cj是A中第j列換為列陣b所成的n階方陣.讀者容易驗(yàn)證(3.6.3)式右端與(3.6.2)式右端相等.二本章重點(diǎn)及難點(diǎn)

1、理解用公理定義行列式概念中的數(shù)學(xué)原理

2、利用公理4進(jìn)行行列式計(jì)算

3、方陣的行列式及方陣可逆之間的關(guān)系

4、矩陣的秩

5、利用伴隨陣求解方陣的逆

6、克萊母法則

三：本章教學(xué)內(nèi)容的深化和拓寬

１． ２． 若第四個(gè)公理改變,行列式的值如何改變 當(dāng)克萊母法則法則的相關(guān)條件改變又如何? 四：思考題和習(xí)題

1(3)(4)

3(1)5(2)

7(3)

10(2)15 16(2)

五、教學(xué)方式（手段）

本章主要采用講授新課的方式。

第三篇：線性代數(shù) 第一單元(行列式)試卷(專升本)

第1題 標(biāo)準(zhǔn)答案：D 1-3-1 計(jì)算行列式

，結(jié)果＝（）。

A、60

B、70

C、80

D、90

第2題 標(biāo)準(zhǔn)答案：C 1-1-1 排列32145的逆序數(shù)是（）。

A、1

B、2

C、3

D、4

第3題 標(biāo)準(zhǔn)答案：B 1-2-1 已知3階行列式

計(jì)算：

的值，結(jié)果＝（）。

A、10 B、20

C、30

D、40

第四篇：線性代數(shù) §1.2 n階行列式習(xí)題與答案

第一章

行列式 ——

§1.2 n階行列式

§1.2 n階行列式

為了得到更為一般的線性方程組的求解公式，我們需要引入n階行列式的概念。為此，先介紹排列的有關(guān)知識(shí)。

㈠排列與逆序：(課本P4)

１、排列的定義：由數(shù)碼1，2，…，n，組成一個(gè)有序數(shù)組i1i2?in，稱為一個(gè)n級(jí)排列。

【例1】1234是一個(gè)4級(jí)排列，3412也是一個(gè)4級(jí)排列，而52341是一個(gè)5級(jí)排列。(課本P4中例)

【例2】由數(shù)碼1，2，3 組成的所有3級(jí)排列為：123，132，213，231，312，321共有3!= 6個(gè)。

【例3】數(shù)字由小到大的n級(jí)排列1234…n 稱為自然序排列。

２、逆序的定義：在一個(gè)n級(jí)排列i1i2?in中，如果有較大的數(shù)it排在is的前面，則稱it與is構(gòu)成一個(gè)逆序。(課本P4)

【例4】在4 級(jí)排列3412中，31，32，41，42，各構(gòu)成一個(gè)逆序，在5 級(jí)排列34152中，31，32，41，42，52，共構(gòu)成5個(gè)逆序。

3、逆序數(shù)的定義：一個(gè)n級(jí)排列i1i2?in中逆序的總數(shù)，稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)，記為N(i1i2?in)。(課本P4)【例5】排列3412的逆序數(shù)為N(3412)= 4，排列52341的逆序數(shù)為N(52341)= 7，自然序排列的逆序數(shù)為0。

4、奇、偶排列的定義：如果排列i1i2?in的逆序數(shù)N(i1i2?in)是奇數(shù)，第一章

行列式 ——

§1.2 n階行列式

則將i1i2?in稱為奇排列；如果排列i1i2?in的逆序數(shù)N(i1i2?in)是偶數(shù)，則將i1i2?in稱為偶排列。(課本P4)

【例6】由于N(3412)= 4，知排列3412是偶排列，由于N(52341)=7，知排列52341是奇排列，由于N(123…n)= 0，知自然排列123…n是偶排列。

【例7】由數(shù)碼1，2，3組成的所有3級(jí)排列為：123，132，213，231，312，321共有3!= 6個(gè)，其中，奇排列有132，213，321三個(gè)，偶排列有123，312，231三個(gè)。奇偶排列各占一半。

5、對(duì)換的定義：在一個(gè)n級(jí)排列i1?it?is?in中，如果其中某兩個(gè)數(shù)it與is對(duì)調(diào)位置，其余各數(shù)位置不變，就得到另一個(gè)新的n級(jí)排列i1?is?it?in，這樣的變換稱為一個(gè)對(duì)換，記作(it,is)。(課本P5)

【例8】在排列3412中，將4與2對(duì)換，得到新的排列3214?！纠?】偶排列3412經(jīng)過4與2的對(duì)換后，變成了奇排列3214；

反之，奇排列3214經(jīng)過2與4的對(duì)換后，變成了偶排列3412。定理1.任意一個(gè)排列經(jīng)過一個(gè)對(duì)換后，其奇偶性改變。(課本P5)定理的證明見課本P5。

【例10】奇排列132經(jīng)對(duì)換(3，2)得到偶排列123，偶排列312經(jīng)對(duì)換(1，2)得到奇排列321。

定理1.n個(gè)數(shù)碼(n?2)共有n！個(gè)n 級(jí)排列，其中奇、偶排列各占一半。(課本P6)

定理的證明見課本P6。

【例11】由數(shù)碼1，2，3組成的所有3級(jí)排列為：123，132，213，231，312，321共有3!= 6個(gè)，其中，奇排列有132，213，321三個(gè)，偶排列有 2 第一章

行列式 ——

§1.2 n階行列式

123，312，231三個(gè)。

相應(yīng)練習(xí)見課本

【第四版】習(xí)題一(A)中的8大題。

= ㈡ n階行列式的定義：(課本P6)

我們從觀察二階、三階行列式的特征入手，引出n階行列式的定義。二階行列式為a11a21a12a22?a11a22?a12a21，a11三階行列式為a21a12a22a32a13a23?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32 a33?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31，a31我們可以從二階、三階行列式中發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律：

(1)二階行列式是2！項(xiàng)的代數(shù)和，三階行列式是3！項(xiàng)的代數(shù)和；(2)二階行列式中每一項(xiàng)是兩個(gè)元素的乘積，它們分別取自不同的行和不同的列，三階行列式中的每一項(xiàng)是三個(gè)元素的乘積，它們也是取自不同的行和不同的列；

(3)每一項(xiàng)的符號(hào)是：當(dāng)這一項(xiàng)中元素的行標(biāo)是按自然序排列時(shí)，如果元素的列標(biāo)為偶排列，則取正號(hào)；為奇排列，則取負(fù)號(hào)。

作為二、三階行列式的推廣，我們給出n階行列式的定義。定義1.2 用n個(gè)元素aij（i,j?1,2,?,n）和雙豎線組成的記號(hào) 2 3 第一章

行列式 ——

§1.2 n階行列式

a11a21?an1a12?a1n

a22?a2n???an2?ann稱為n階行列式。有時(shí)簡(jiǎn)記為aij。(課本P7)

n階行列式的定義包含如下的內(nèi)容：

⑴構(gòu)成：n階行列式的橫排稱為行，縱排稱為列。元素aij的第一個(gè)下標(biāo)i表示這個(gè)元素位于第i行，稱為行標(biāo)，第二個(gè)下標(biāo)j表示這個(gè)元素位于第j列，稱為列標(biāo)。(課本P7)

258【例12】三階行列式 A?147有3行3列共32 = 9個(gè)元素。

369其中，第二行元素為 1，4，7；第二列元素為5，4，6，元素7的位置為第2行第3列。

⑵含義：n階行列式是n!個(gè)項(xiàng)的代數(shù)和，其中每一項(xiàng)是取自不同行和不同列的n個(gè)元素的乘積。(課本P8)

由于一個(gè)項(xiàng)中的n個(gè)乘積元素來自不同的行，而乘法滿足交換率，故為方便分析，可以將n個(gè)元素按行碼的自然數(shù)順序排列，再分析列碼的狀態(tài)。

當(dāng)行碼按自然序列排列后，列碼的不同排列即對(duì)應(yīng)不同的項(xiàng)，由于n個(gè)元素共有不同排列n!個(gè)，從而n階行列式中共有n!個(gè)不同的項(xiàng)?！纠?3】一階行列式│a│= a只有1個(gè)項(xiàng)?！纠?4】三階行列式

a11A?a21a31a12a22a32a13a23?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32 a33 4 第一章

行列式 ——

§1.2 n階行列式

?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31，共有3?。?個(gè)不同的項(xiàng)，a11a22a33和a13a21a32的元素都來自不同行且不同列，都可能是A中的一個(gè)項(xiàng)，而a11a21a33中的a11與a21同來自第1列，不是其中的一個(gè)項(xiàng)，a13a21a22中的a21與a22同來自第2行，也不是其中的一個(gè)項(xiàng)，a11a22a33與a22a11a33是同一個(gè)項(xiàng)，a11a23a32與a11a22a33是不同的項(xiàng)。

⑶各項(xiàng)符號(hào)：n階行列式中各項(xiàng)符號(hào)的確定有兩種方法：

①只考察列標(biāo)的排列：若該項(xiàng)中各元素的行標(biāo)按自然數(shù)順序排列，則列標(biāo)構(gòu)成的排列為偶排列時(shí)，該項(xiàng)取正號(hào)；為奇排列時(shí)，該項(xiàng)取負(fù)號(hào)。

亦即，將某項(xiàng)中各元素的行標(biāo)按自然數(shù)順序排列后得到a1i1a2i2?anin，含ai1j1ai2j2?ainjn的項(xiàng)應(yīng)帶符號(hào)為(?1)N(i1i2?in)。

于是n階行列式所表示的代數(shù)和中的一般項(xiàng)為

(?1)N(i1i2?in)a1i1a2i2?anin。(課本P7)

【例15】在5階行列式中，a12a23a35a41a54與a12a21a35a43a54這兩項(xiàng)各取什么符號(hào)？

【解】由于該兩項(xiàng)的行標(biāo)已按自然數(shù)順序排列，故

a12a23a35a41a54應(yīng)取符號(hào)為(?1)N(23514)?(?1)4??1，為正號(hào)，a12a21a35a43a54應(yīng)取符號(hào)為(?1)N(21534)?(?1)3??1，為負(fù)號(hào)。

第一章

行列式 ——

§1.2 n階行列式

②綜合考察行標(biāo)與列標(biāo)的排列：若該項(xiàng)中各元素的行標(biāo)構(gòu)成的排列的逆序數(shù)為S，列標(biāo)構(gòu)成的排列的逆序數(shù)為T，則S+T為偶數(shù)時(shí)，該項(xiàng)取正號(hào)；S+T為為奇數(shù)時(shí)，該項(xiàng)取負(fù)號(hào)。

亦即，含ai1j1ai2j2?ainjn的項(xiàng)應(yīng)帶符號(hào)為(?1)N(i1i2?in)?N(j1j2?jn)。

于是n階行列式所表示的代數(shù)和中的一般項(xiàng)為

(?1)N(i1i2?in)?N(j1j2?jn)ai1j1ai2j2?ainjn。(課本P10)

顯見，①為②的特例。

【例16】在5階行列式中，含a32a23a15a41a54或含a12a41a55a24a33的兩項(xiàng)各取什么符號(hào)？

【解】由于該兩項(xiàng)的行標(biāo)未按自然數(shù)順序排列，故

含a32a23a15a41a54的項(xiàng)應(yīng)取符號(hào)為

(?1)N(32145)?N(23514)?(?1)3?4??1，為負(fù)號(hào)，含a12a41a55a24a33的項(xiàng)應(yīng)取符號(hào)為

(?1)N(14523)?N(21543)?(?1)4?4??1，為正號(hào)。

⑷ n階行列式的展開式：(課本P10)

n階行列式的展開式有兩種表達(dá)方式，一種較為簡(jiǎn)單，是將各項(xiàng)元素的行標(biāo)按自然數(shù)順序排列形式的表達(dá)式，另一種是各項(xiàng)元素任意排列的表達(dá)式。具體分別敘述如下：

①各項(xiàng)元素的行標(biāo)按自然數(shù)順序排列時(shí)：

第一章

行列式 ——

§1.2 n階行列式

a11a21?an1其中，(?1)這里，a12?a1na22?a2n???an2?annN(i1i2?in)?1?i1,i2,?,in?n?(?1)N(i1i2?in)a1i1a2i2?anin。

a1i1a2i2?anin稱為n階行列式的一般項(xiàng)。

?為連加號(hào)，表示對(duì)該符號(hào)下的所有項(xiàng)求和。

于是，n階行列式展開后是n!個(gè)項(xiàng)的和，各項(xiàng)都含兩個(gè)因素：

1》n個(gè)來自不同行和不同列的元素的乘積，2》將一個(gè)項(xiàng)的n個(gè)元素的行標(biāo)按自然數(shù)順序排列后，該項(xiàng)的符號(hào)由列標(biāo)的排列數(shù)的奇偶性確定為(?1)②一般情況下：

N(i1i2?in)。

a11a21?an1a11?a1na22?a2n???an2?ann?j1j2?jn遍取所有n級(jí)排列?(?1)N(j1j2?jn)a1j1a2j2?anjn

?i1i2?in遍取所有n級(jí)排列j1j2?jn?(?1)N(i1i2?in)?N(j1j2?jn)ai1j1ai2j2?ainjn

其中，(?1)的普通形式。N(i1i2?in)?N(j1j2?jn)ai1j1ai2j2?ainjn是n階行列式的一般項(xiàng)于是，n階行列式展開后是n!個(gè)項(xiàng)的和，各項(xiàng)都含兩個(gè)因素：

1》n個(gè)來自不同行和不同列的元素的積。

2》一個(gè)項(xiàng)的符號(hào)由行標(biāo)的排列數(shù)與列標(biāo)的排列數(shù)的和的奇偶性確定為(?1)N(i1i2?in)?N(j1j2?jn)。

【例17】求4階行列式中帶負(fù)號(hào)且包含因子a11和a23的所有項(xiàng)。

第一章

行列式 ——

§1.2 n階行列式

【解】4階行列式中，當(dāng)行標(biāo)按自然數(shù)順序排列后，包含因子a11和a23的項(xiàng)為(?1)a11a23a3ia4j其中，i,j可以分別是2，4之一。

由于2，4兩個(gè)數(shù)可以產(chǎn)生兩個(gè)不同的排列24和42，所以，4階行列式中包含因子a11和a23的所有項(xiàng)可以為(?1)N(1324)Na11a23a32a44或(?1)N(1342)a11a23a34a42兩項(xiàng)，但題目要求的是帶負(fù)號(hào)的項(xiàng)，而因?yàn)镹(1324)?1為奇數(shù)，N(1342)?2為偶數(shù)，故4階行列式中帶負(fù)號(hào)且包含因子a11和a23的所有項(xiàng)只有一個(gè)，為(?1)N(1324)a11a23a32a44??a11a23a32a44。

【例18】判斷a14a23a31a42，a11a23a32a44，a11a24a33a44以及a31a24a43a12是a11否為四階行列式D?a12a22a32a42a13a23a33a43a14a24a34a44中的一項(xiàng)？ a21a31a41【解】①a14a23a31a42的行標(biāo)為1234，這4個(gè)元素來自不同的行，列標(biāo)為4312，這4個(gè)元素來自不同的列。由于行標(biāo)已按自然數(shù)順序排列，其符號(hào)應(yīng)為(?1)N(4312)?(?1)5??1，故a14a23a31a42不是4階行列式中的一項(xiàng)；

②a11a23a32a44的行標(biāo)為1234，這4個(gè)元素來自不同的行，列標(biāo)為1324，這4個(gè)元素來自不同的列。由于行標(biāo)已按自然數(shù)順序排列，其符號(hào)應(yīng)為(?1)N(1324)?(?1)1??1，故a11a23a32a44不是4階行列式中的一項(xiàng)；

③a11a24a33a44的行標(biāo)為1234，這4個(gè)元素來自不同的行，列標(biāo)為1434，這4個(gè)元素中a24和a44都來自相同的第4列。故a11a24a33a44不是4 8 第一章

行列式 ——

§1.2 n階行列式

階行列式中的一項(xiàng)；

④a31a24a43a12的行標(biāo)為3241，這4個(gè)元素來自不同的行，列標(biāo)為1432，這4個(gè)元素來自不同的列。其符號(hào)應(yīng)為(?1)故a31a24a43a12不是4階行列式中的一項(xiàng)；

N(3241)?N(1432)?(?1)4?3??1，)【例19】若(?1N(i432k)?N(521j4)ai5a42a3ja21a4k是五階行列式aij的一項(xiàng)，則j,j,k應(yīng)為何值？此時(shí)該項(xiàng)的符號(hào)是什么？（課本P11例2）

【解】①由于行列式定義規(guī)定每一項(xiàng)的元素來自不同行不同列，故五階行列式的項(xiàng)中，行標(biāo)和列標(biāo)都只能是1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字的排列，從而，該項(xiàng)的列標(biāo)52j14中的j只能是3，該項(xiàng)的行標(biāo)i432k中的i和k只能從1和5中選擇，于是i?1,k?5或i?5,k?1，綜合起來，應(yīng)得兩組答案：i?1,j?3,k?5或i?5,j?3,k?1。

②當(dāng)i?1,j?3,k?5時(shí)，該項(xiàng)的符號(hào)是

(?1)N(14325)?N(52314)?(?1)3?6??1，即?a15a42a33a21a54是五階行列式aij的一項(xiàng)；

當(dāng)i?5,j?3,k?1時(shí)，該項(xiàng)的符號(hào)是

(?1)N(54321)?N(52314)?(?1)10?6??1，即a55a42a33a21a14是五階行列式aij的一項(xiàng)。

a【例20】計(jì)算行列式

b0h0e000f0。00gcd 9 第一章

行列式 ——

§1.2 n階行列式

【解】由于該4階行列式的各項(xiàng)中，只要含有一個(gè)0元素，該項(xiàng)就為0，所以，要計(jì)算該4階行列式，只須找到其由不同行不同列的4個(gè)非0元素相乘的所有項(xiàng)。

考慮到來自不同行及不同列的要求，該4階行列式不為0的項(xiàng)，使行標(biāo)按自然數(shù)順序排列后，只有含adfh及含bdfg的兩個(gè)，而含adfh的項(xiàng)，其符號(hào)為(?1)N(1342)?(?1)2??1，知該項(xiàng)為adfh，?(?1)3??1，知該項(xiàng)為含bdfg的項(xiàng)，其符號(hào)為(?1)N(2341)?bdfg，a從而，b0h0e000f***11?adfh?bdfg。00gcd【例21】用行列式定義計(jì)算。（課本P11）

【解】用aij表示行列式中第i行第j列元素，由于該4階行列式的各項(xiàng)中，只要含有一個(gè)0元素，該項(xiàng)就為0，所以，要計(jì)算該4階行列式，只須找到其不為0的所有項(xiàng)。而要得到非0項(xiàng)，項(xiàng)中各元素必須非0！

【解法一】第一行若取a12，這樣第二行無論取a21還是a23，第三行都必然取到0，這樣無法得到非0項(xiàng)；

第一行若取a14，這樣第二行無論取a21還是a23，第三行都必然取a32，10 第一章

行列式 ——

§1.2 n階行列式

這時(shí)，當(dāng)?shù)诙腥21時(shí)，取完第三行后得到a14a21a32，第四行可取a43，當(dāng)?shù)诙腥23時(shí)，取完第三行后得到a14a23a32，第四行必然取到0，綜上知，該行列式中僅有含a14a21a32a43的一項(xiàng)非0，該項(xiàng)符號(hào)為(?1)N(4123)?(?1)3??1，于是，由于a14?a21?a32?a43?1，得

***1【解法二】由于第三行只有一個(gè)非零元，故可以從它入手，按不同行不同列的原則去確定展開式中的項(xiàng)的構(gòu)成：

取定a32后，第一行就只能取a14了，從而第四行也就只能取a43了，于是，最后確定第二行只能取a21了。于是確定展開式中僅有一個(gè)非零項(xiàng)，它由a14，a21，a32，a43構(gòu)成，而含這四個(gè)元素的項(xiàng)的符號(hào)由逆序數(shù)N(4123)?3確定，為負(fù)號(hào)，??1。

0101即知，101001000011??1。

【例22】計(jì)算上、下三角形行列式和對(duì)角形行列式。

【補(bǔ)充定義】上三角形行列式就是主對(duì)角線下方元素全為0的行列式，下三角形行列式就是主對(duì)角線上方元素全為0的行列式，對(duì)角形行列式就是主對(duì) 11 第一章

行列式 ——

§1.2 n階行列式

角線以外元素全為0的行列式。【解】先計(jì)算上三角形行列式的值：

a1100?0a12a220?0a13?a1na23?a2na33?a3n ???0?ann要得到其非零項(xiàng)，第一列元素只能取a11，這時(shí)，第二列元素只能取a22，從而，第三列元素只能取a33，…，最后，第n列元素只能取ann，于a110是，0a12a220?0a13?a1na23?a2na33?a3n?a11a22a33?ann。???0?ann?0結(jié)論：上三角形行列式的值等于其主對(duì)角線上元素的相乘積。同樣道理，下三角形行列式和對(duì)角形行列式的值都等于其主對(duì)角線上元素的相乘積。

a11a21a31?an1a1100?00a22a32?an20a220?000??000?a11a22a33?ann，a33????an3?ann00??000?a11a22a33?ann。

a33?0????ann結(jié)論是：上三角形、下三角形、對(duì)角形行列式的計(jì)算結(jié)果，都是主對(duì)角 12 第一章

行列式 ——

§1.2 n階行列式

線上元素的相乘積。

相應(yīng)練習(xí)見課本

【第四版】課本習(xí)題一(A)中的⒏⒐⒑⒒12.大題。

第五篇：考研輔導(dǎo)--線性代數(shù)--第1章行列式

考研輔導(dǎo)《線性代數(shù)》教案-1

第一章 行列式

◆ 基礎(chǔ)知識(shí)概要

1.n階行列式的定義

二階行列式

a11a21a11a21a31a12a22a12a22a32?a11a22?a12a21.三階行列式.a13a23a33?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31.對(duì)角線法則：

n階行列式的定義

a11a12?a1naa22?a2nD?21?????an1an2?anntj1,j2,???,jn???1?at1j1a2j2...anjn, 它是取自不同行不同列的n個(gè)數(shù)的乘積a1j1a2j2...anjn的代數(shù)和（共n!項(xiàng)），其中各項(xiàng)的符號(hào)為??1?，t代表排列j1,j2,???,jn的逆序數(shù)，簡(jiǎn)記為detaij.??n階行列式也可定義為D????1?tai1ai2...ain，其中t為行標(biāo)i1,i2,???,in排

i1,i2,???,in12n列的逆序數(shù).例1.1 計(jì)算行列式

?1（1）?2?；

?n?1（2）?2?.?n-1

考研輔導(dǎo)《線性代數(shù)》教案-1 a11D?a21???an1a12a22???an2???a1i???a2i???ani???a1n????a11a21???an1a12a22???an2???a2n???ann?i???a1n???a1?i???a2n???a2????????????????ann???ani?????????.（6）把行列式的某一行(列)的各元素的k倍加到另一行(列)的對(duì)應(yīng)元素上，行列式的值不變.注：（1）交換行列式的第i,j兩行（或列），記作ri?ri（或ci?cj）；（2）第i行（列）提出公因子k，記作ri?k（或ci?k）；

（3）以數(shù)k乘第j行（列）加到第i行（列）上，記作ri?krj（或ci?kcj）.范德蒙（Vandermonde）行列式

1x1Vn?x12?x1n?11x22x2?n?1x21x32x3?2???xi?xj? ???xn1?j?i?n????1???xnn?1n?1x3???xn注 右邊是“大指標(biāo)減小指標(biāo)”.例1.2 計(jì)算行列式

11?1?1?12D?25213122

練習(xí)：計(jì)算行列式

3133.（答：）42131?12?513?4（1）D?；（答：40）

201?11?53?3-3

考研輔導(dǎo)《線性代數(shù)》教案-1 D?ai1Ai1?ai2Ai2?????ainAin??aikAik?i?1,2,???,n?，k?1n或

D?a1jA1j?a2jA2j?????anjAnj??akjAkj?j?1,2,???,n?.k?1n注：此定理的主要作用是——降階.推論 行列式的任一行（列）的各元素與另一行（列）對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即

nD?ai1Aj1?ai2Aj2?????ainAjn??aikAjk?0?i?j?，k?1或

D?a1iA1j?a2iA2j?????aniAnj??akiAkj?0?i?j?.k?1n例1.3 用降階的方法解例1.2.練習(xí)：用降階的方法求解上面練習(xí)第（1）題.1?2例1.4 設(shè)A?3?413422?141，求

1206（1）A12?2A22?3A32?4A42；（2）A31?2A32?A34.解（1）A12?2A22?3A32?4A42?a12A12?a21A22?a31A32?a41A42?0.（2）因?yàn)锳ij的大小與元素aij無關(guān)，因此，1?2A31?2A32?A34?1?4 練習(xí)： 13222?1141?4?01106?411222?1?41303??2121?40.01?42606-5

考研輔導(dǎo)《線性代數(shù)》教案-1 D?1?i1?i2?????ik?n??ii???i??ii???i?A?12k???Ac?12k?.?j1j2???jk??j1j2???jk??i1i2???ik???i1i2???ik?A???Ac??.jj???jjj???jk?k??12?12類似地，任意選定k行1?i1?i2?????ik?n，則

D?證（略）

1?j1?j2?????jk?n?注 這是定理1.2的推廣，它仍然是一種——降階的思想.例1.4 在行列式

120?1D?1001中取定1，2行，得到6個(gè)子式

121341 31?1,2?12?1,2?1A?????1，A????1,2?0?1?1,3?0212?1,2??1,2?A???5，A????2,3?122,4?????1對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式分別是

1?1,2?14?2，A????1，2?1,4?014?1,2?14?6，A?????7.1?3,4?21?1,2??1?2???1?2??Ac?????1??1,2??1,2??1?2???1?4??Ac?????1??1,4?13301?1,2??1?2???2?4?1?Ac?????1?2,40??由Laplace展開定理可知

?1,2??1?2???1?3?03??8，?Ac?????1??3，111?1,3?1?1,2??1?2???2?3?13??1，?Ac???1?1，???301?2,3?1?1,2??1?2???3?4?10?，??3Ac??1.????1?301?3,4?D???1????8??2?3?1???1??5?1?6???3????7??1??7.例1.5 證明

考研輔導(dǎo)《線性代數(shù)》教案-1

◆ 行列式的計(jì)算舉例

xaa?aaxa?a例1.6 計(jì)算n階行列式Dn?aax?a

?????aaa?x解法1

x?(n?1)aaa?ax?(n?1)ax?(n?1)axa?ar?r0i1?x?(n?1)aax?a0i?2,3,?n??????x?(n?1)aaa?x0n?1DnC1?Cii?2,3,?n?ax?a0?0a0x?a?0?a?0?0 ???x?a ??x?(n?1)a??x?a?解法2

0a?a0x?a?0??????aaa?xn0xaxaa?a1.axaaa?aa?ari?r11?1i?2,3,?n?1?1??n?1a00?0a0a0??a000?aDn?a?1x?aaxa?aaax?a?????aaa?xx?a0?0x?a????00

?1?x?an?1①如果x?a，則

1?1Dn??1?1?1a0000a0000a0000?????a0000?0

??????n?1②如果x?a，則

1?xna?aDnCC1?x?iaax?a00?0a0x?a0?0a?a000na)(x?a)nx?ai?2,3,?n?1?000?00?0?x?a??0-9

000000

?x?1?考研輔導(dǎo)《線性代數(shù)》教案-1 a?aD2n?a?ccbd??b0??0a???ac0bdb???b(?1)1?2n??d?0??0c ?0d0?????0dc0?????0 ?adD2(n?1)?bc(?1)2n?1?1D2(n?1)?(ad?bc)D2(n?1), D2n?(ad?bc)D2(n?1)?(ad?bc)2D2(n?2)???(ad?bc)n?1D2?(ad?bc)n?1acbd?(ad?bc)n.解法2 利用Laplace展開定理，選定第1行和第2n行展開，則

D2n?1?j1?j2?2n??1,2n???1,2n?A???Ac??

j,jj,j?12??12??1,2n???1,2n???Ac?? ?1,2n??1,2n?ab?1?2n???1?2n? ????1?D2?n?1?

cd ?A? ??ad?bc??D2?n?1????? ?(ad?bc)n?1acb d ?(ad?bc)n.練習(xí)：計(jì)算n階行列式

12（1）Dn?2222222?2?3?2?222n；（答：?2?n?2?!）

?????a0111a10（2）Dn?10a2???100????100，其中a1???an?1?n?1?1?a???aa?（答：1 ?0；?）?n?1?0ai?1i???an?1-11

；