第一篇：高中數(shù)學1.2點線面之間的位置關(guān)系1.2.1平面的基本性質(zhì)與推論教案

1.2.1平面的基本性質(zhì)與推論

示范教案 整體設(shè)計

教學分析

教材通過實例歸納和抽象出了平面的基本性質(zhì)與推論，以及異面直線的概念，并類比集合給出了點、直線和平面之間的關(guān)系的符號表示．在教學中，要留給學生足夠的時間，引導學生歸納和抽象平面的基本性質(zhì)與推論．

三維目標

1．掌握平面的基本性質(zhì)及推論，提高學生的歸納、抽象能力．

2．掌握異面直線的概念，能用集合符號表示點、直線、平面的位置關(guān)系，提高學生抽象思維和類比能力，培養(yǎng)空間想象能力．

重點難點

教學重點：平面的基本性質(zhì)與推論，以及異面直線的概念． 教學難點：歸納平面的基本性質(zhì)與推論． 課時安排

1課時

教學過程 導入新課

設(shè)計1.(情境導入)大家都看過電視劇《西游記》吧，如來佛對孫悟空說：“你一個跟頭雖有十萬八千里，但不會跑出我的手掌心”．結(jié)果孫悟空真沒有跑出如來佛的手掌心，孫悟空可以看作是一個點，他的運動成為一條直線，大家說如來佛的手掌像什么？對，像一個平面，今天我們開始認識數(shù)學中的平面．

設(shè)計2.(實例導入)觀察長方體(下圖)，你能發(fā)現(xiàn)長方體的頂點、棱所在的直線，以及側(cè)面、底面之間的關(guān)系嗎？

長方體由上、下、前、后、左、右六個面圍成．有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在的直線與面平行，有些棱所在的直線與面相交；每條棱所在的直線都可以看成是某個面內(nèi)的直線等等．怎樣用符號表示空間中的點、直線、平面之間的位置關(guān)系呢？本節(jié)我們將討論這些問題．

推進新課

新知探究

提出問題

在幾何學中，我們用點標記位置.在日常生活中，一位同學從一個位置走到另一個位置，他經(jīng)過路徑，就用一條線段來表示，連結(jié)兩點的線中，什么線最短？

把一根直尺邊緣上的任意兩點放在平整的桌面上，可以看到直尺邊緣與桌面重合，這是顯而易見的事實，這說明了平面具有什么性質(zhì)？

在日常生活中，照相機的腳架，施工用的撐腳架，天文望遠鏡的腳架等都制成三個腳，這樣，可以使這些物體放置得很平穩(wěn).這說明了平面具有什么性質(zhì)？

長方體表面中的任意兩個面，要么平行，要么交于一條直線，其實空間任意兩個不重合的平面都有這樣的性質(zhì).那么，兩個平面在什么情況下相交？這說明了平面具有什么性質(zhì)？

討論結(jié)果：

(1)連接兩點的線中，線段最短；過兩點有一條直線，并且只有一條直線．

(2)基本性質(zhì)1 如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點都在這個平面內(nèi)(如左下圖)．

這時我們說，直線在平面內(nèi)或平面經(jīng)過直線．

(3)基本性質(zhì)2 經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面(如右上圖)．這也可以簡單地說成，不共線的三點確定一個平面．

(4)基本性質(zhì)3 如果不重合的兩個平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過這個點的公共直線．(如左下圖)．

為了簡便，以后說到兩個平面，如不特別說明，都是指不重合的兩個平面． 如果兩個平面有一條公共直線，則稱這兩個平面相交．這條公共直線叫做這兩個平面的交線．如下圖，平面α與β相交，交線是a；平面δ與γ相交，交線是b.在畫兩個平面相交時，如果其中一個平面被另一個平面遮住，應把表示平面的平行四邊形被遮住的部分畫成虛線或不畫．

提出問題

經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，可以確定一個平面嗎？經(jīng)過兩條相交直線，可以確定一個平面嗎？經(jīng)過兩條平行直線，可以確定一個平面嗎？在空間中，存在既不平行又不相交的兩條直線嗎？閱讀教材，怎樣用集合符號表示點、直線、平面的位置關(guān)系？討論結(jié)果：

(1)推論1 經(jīng)過一條直線和直線外的一點，有且只有一個平面(如下圖(1))．

圖(1)

圖(2)

圖(3)

事實上，如上圖(1)所示，直線BC外一點A和直線BC上的兩點B，C不共線，根據(jù)基本性質(zhì)2，A，B，C三點確定一個平面ABC.并且，點A和直線BC都在平面ABC內(nèi)．

(2)推論2 經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面(如上圖(2))．

事實上，如上圖(2)所示，兩條相交直線AB，AC相交于點A，三點A，B，C確定的平面就是直線AB和AC確定的平面

(3)推論3 經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面(如上圖(3))．

事實上，根據(jù)平行線的定義，這兩條平行線在同一平面內(nèi)，又如上圖(3)所示，這個平面含有一條直線上的點A和另一條線上的兩點B，C，由基本性質(zhì)2可知，這個平面是確定的．

(4)在空間，兩條直線還可能有既不相交也不平行的情況．如下圖所示，直線AB與平面α相交于點B，點A在α外，直線l在α內(nèi)，但不過點B.這時直線l與直線AB，既不相交也不平行，它們不可能在同一平面內(nèi)，否則點A在α內(nèi)．這與點A在α外矛盾．因此我們把這類既不相交又不平行的直線叫做異面直線．

由以上分析，我們可以得到判斷兩條直線為異面直線的一種方法：與一平面相交于一點的直線與這個平面內(nèi)不經(jīng)過交點的直線是異面直線．

(5)點A在平面α內(nèi)，記作A∈α，點A不在α內(nèi)，記作α；直線l在平面α內(nèi)，記作l?α；直線l不在平面α內(nèi)，記作l

α；平面α與平面β相交于直線a，記作α∩β＝a；直線l和直線m相交于點A，記作l∩m＝{A}，簡記作l∩m＝A.基本性質(zhì)1可以用集合語言描述為：如果點A∈α，點B∈α，那么直線AB?α.應用示例

思路1

例1 如下圖，用符號語言表示下列圖形中點、直線、平面之間的位置關(guān)系．

活動：學生自己思考或討論，再寫出(最好用實物投影儀展示寫的正確的答案)．教師在學生中巡視，發(fā)現(xiàn)問題及時糾正，并及時評價．

解：在上圖(1)中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B.在上圖(2)中，α∩β＝l，a?α，b?β，a∩l＝P，b∩l＝P.變式訓練

1．畫圖表示下列由集合符號給出的關(guān)系：(1)A∈α，B?α，A∈l，B∈l；

(2)a?α，b?β，a∥c，b∩c＝P，α∩β＝c.解：如下圖．

2．根據(jù)下列條件，畫出圖形．

(1)α∩β＝l，直線AB?α，AB∥l，E∈AB，直線EF∩β＝F，F(xiàn)?l；

(2)α∩β＝a，△ABC的三個頂點滿足條件：A∈a，B∈α，B?a，C∈β，C?a.答案：如下圖．

點評：圖形語言與符號語言的轉(zhuǎn)換是本節(jié)的重點，主要有兩種題型：

(1)根據(jù)圖形，先判斷點、直線、平面的位置關(guān)系，然后用符號表示出來．(2)根據(jù)符號，想象出點、直線、平面的位置關(guān)系，然后用圖形表示出來．

思路2

例2對兩條不相交的空間直線a與b，必存在平面α，使得()A．a(chǎn)?α，b?α B．a(chǎn)?α，b∥α

C．a(chǎn)⊥α，b⊥α D．a(chǎn)?α，b⊥α

解析：若a、b異面，A、C選項錯；若a、b不垂直，D選項錯，故選B.答案：B 例3 如下圖，將無蓋正方體紙盒展開，直線AB，CD在原正方體中的位置關(guān)系是()

A．平行 B．相交且垂直 C．異面直線 D．相交成60°

解析：如上圖，將上面的展開圖還原成正方體，點B與點D重合．容易知道AB＝BC＝CA，從而△ABC是等邊三角形，所以選D.答案：D 點評：解決立體幾何中的翻折問題時，要明確在翻折前后，哪些量發(fā)生了變化，哪些量沒有變化．

變式訓練

1.如下圖，表示一個正方體表面的一種展開圖，圖中的四條線段AB、CD、EF和GH在原正方體中相互異面的有__________對．

答案：三

2．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別為棱AA1、CC1的中點，則在空間中與三條直線A1D1、EF、CD都相交的直線()A．不存在 B．有且只有兩條 C．有且只有三條 D．有無數(shù)條

解析：在A1D1延長線上取一點H，使A1D1＝D1H，在DC延長線上取一點G.使CG＝2DC，延長EF，連結(jié)HG與EF交于一點．

連結(jié)D1F必與DC延長線相交，延長D1A1，連結(jié)DE必與D1A1延長線相交． 連結(jié)A1C與EF交于EF中點，故選D.答案：D 知能訓練

1．畫一個正方體ABCD—A′B′C′D′，再畫出平面ACD′與平面BDC′的交線，并且說明理由．

解：如下圖，連結(jié)BD、AC交于點E，CD′、DC′交于點F，直線EF即為所求．

∵F∈CD′，∴F∈平面ACD′.∵E∈AC，∴E∈平面ACD′.∵E∈BD，∴E∈平面BDC′.∵F∈DC′，∴F∈平面BDC′.∴EF為所求．

2．已知△ABC三邊所在直線分別與平面α交于P、Q、R三點，求證：P、Q、R三點共線．

證明：如下圖，∵A、B、C是不在同一直線上的三點，∴過A、B、C有一個平面β.又∵AB∩α＝P，且AB?β，∴點P既在β內(nèi)又在α內(nèi)．設(shè)α∩β＝l，則P∈l，同理可證：Q∈l，R∈l.∴P、Q、R三點共線．

3．O1是正方體ABCD—A1B1C1D1的上底面的中心，過D1、B1、A作一個截面，求證：此截面與對角線A1C的交點P一定在AO1上．

證明：如下圖，連結(jié)A1C1、AC，因AA1∥CC1，則AA1與CC1可確定一個平面AC1，易知截面AD1B1與平面AC1有公共點A、O1，所以截面AD1B1與平面AC1的交線為AO1.又P∈A1C，得P∈平面AC1，而P∈截面AB1D1，故P在兩平面的交線上，即P∈AO1.點評：證明共點、共線問題關(guān)鍵是利用兩平面的交點必在交線上．

拓展提升

求證：兩兩相交且不共點的四條直線在同一平面內(nèi)．

證明：如下圖，直線a、b、c、d兩兩相交，交點分別為A、B、C、D、E、F，∵直線a∩直線b＝A，∴直線a和直線b確定平面設(shè)為α，即a，α.∵B、C∈a，E、F∈b，∴B、C、E、F∈α.而B、F∈c，C、E∈d，∴c、α，即a、b、c、d在同一平面內(nèi)．

點評：在今后的學習中經(jīng)常遇到證明點和直線共面問題，除公理2外，確定平面的依據(jù)還有：(1)直線與直線外一點；(2)兩條相交直線；(3)兩條平行直線．

課堂小結(jié)

本節(jié)課學習了：

1．平面的基本性質(zhì)與推論； 2．異面直線；

3．用符號表示空間位置關(guān)系．

作業(yè)

本節(jié)練習A 2,3,4,5題．

設(shè)計感想

由于本節(jié)是學習位置關(guān)系的起始課，所以在設(shè)計時注重從不完全歸納入手，以培養(yǎng)學生的空間想象能力為核心，激發(fā)學生的發(fā)散思維．

備課資料

備選習題

1．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，A1C與面DBC1交于O

點，AC、BD交于M，如下圖． 求證：C1、O、M三點共線．

證明：∵C1、O、M∈平面BDC1，又C1、O、M∈平面A1ACC1，由公理2，C1、O、M在平面BDC1與平面A1ACC1的交線上，∴C1、O、M三點共線．

2．已知一條直線與三條平行直線都相交，求證：這四條直線共面． 證明：已知直線a∥b∥c，直線l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求證：l與a、b、c共面．

證明：如下圖，∵a∥b，∴a、b確定一個平面，設(shè)為α.∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.又∵A∈l，B∈l，∴AB?α，即l?α.同理，b、c確定一個平面β，l?β.∴平面α與β都過兩相交直線b與l.∵兩條相交直線確定一個平面，∴α與β重合．故l與a、b、c共面．

3．α∩β＝l，a?α，b?β，試判斷直線a、b的位置關(guān)系，并畫圖表示．

活動：學生自己思考或討論，再寫出正確的答案．教師在學生中巡視，發(fā)現(xiàn)問題及時糾正，并及時評價．

解：如下圖，直線a、b的位置關(guān)系是平行、相交、異面．

第二篇：空間點線面之間的位置關(guān)系教案

空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

考情分析

1．本講以考查點、線、面的位置關(guān)系為主，同時考查邏輯推理能力與空間想象能力．

2．有時考查應用公理、定理證明點共線、線共點、線共面的問題． 3．能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡單命題．

基礎(chǔ)知識

1．平面的基本性質(zhì)

(1)公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi)．

(2)公理2：經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面．

(3)公理3：如果兩個平面(不重合的兩個平面)有一個公共點，那么它們還有其他公共點，且所有這些公共點的集合是一條過這個公共點的直線． 推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面． 推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面． 推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面． 2．直線與直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類

(2)異面直線所成的角

①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的銳角或直角叫做異面直線a，b所成的角(或夾角)． ②范圍：.3．直線與平面的位置關(guān)系有平行、相交、在平面內(nèi)三種情況． 4．平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況．

5．平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．

6．等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補．

注意事項

1異面直線的判定方法：

(1)判定定理：平面外一點A與平面內(nèi)一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線．

(2)反證法：證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面，從而可得兩線異面．

2.(1)公理1的作用：①檢驗平面；②判斷直線在平面內(nèi)；③由直線在平面內(nèi)判斷直線上的點在平面內(nèi)．

(2)公理2的作用：公理2及其推論給出了確定一個平面或判斷“直線共面”的方法．

(3)公理3的作用：①判定兩平面相交；②作兩平面相交的交線；③證明多點共線． 題型一平面的基本性質(zhì) 【例1】正方體ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R分別是AB、AD、B1C1的中點，那么，正方體的過P、Q、R的截面圖形是（）．

A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形 解析

如圖所示，作RG∥PQ交C1D1于G，連接QP并延長與CB交于M，連接MR交BB1于E，連接PE、RE為截面的部分外形．

同理連PQ并延長交CD于N，連接NG交DD1于F，連接QF，F(xiàn)G.∴截面為六邊形PQFGRE.答案 D

【變式1】 下列如圖所示是正方體和正四面體，P、Q、R、S分別是所在棱的中點，則四個點共面的圖形是________．

解析

在④圖中，可證Q點所在棱與面PRS平行，因此，P、Q、R、S四點不共面．可證①中四邊形PQRS為梯形；③中可證四邊形PQRS為平行四邊形；②中如圖所示取A1A與BC的中點為M、N可證明PMQNRS為平面圖形，且PMQNRS為正六邊形．

答案 ①②③

題型二 異面直線

【例2】4．已知異面直線a，b分別在平面α，β內(nèi)，且α∩β＝c，那么直線c一定()

A．與a，b都相交

B．只能與a，b中的一條相交 C．至少與a，b中的一條相交 D．與a，b都平行

解析：若c與a、b都不相交，則c與a、b都平行．根據(jù)公理4，則a∥b.與a、b異面矛盾．

答案：C

【訓練2】 在下圖中，G、H、M、N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH、MN是異面直線的圖形有________(填上所有正確答案的序號)．

解析 如題干圖(1)中，直線GH∥MN；

圖(2)中，G、H、N三點共面，但M?面GHN，因此直線GH與MN異面； 圖(3)中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面； 圖(4)中，G、M、N共面，但H?面GMN，∴GH與MN異面．所以圖(2)、(4)中GH與MN異面． 答案(2)(4)

題型三 異面直線所成的角

【例3】如圖，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，將△ABD沿對角線BD折起到△A′BD的位置，使點A′在平面BCD內(nèi)的射影點O恰好落在BC邊上，則異面直線A′B與CD所成角的大小為________．

解析：如題圖所示，由A′O⊥平面ABCD，可得平面A′BC⊥平面ABCD，又由DC⊥BC可得DC⊥平面A′BC，DC⊥A′B，即得異面直線A′B與CD所成角的大小為90°.【變式3】 A是△BCD平面外的一點，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點．(1)求證：直線EF與BD是異面直線；

(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF與BD所成的角．(1)證明 假設(shè)EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以A、B、C、D在同一平面內(nèi)，這與A是△BCD平面外的一點相矛盾．故直線EF與BD是異面直線．(2)解

如圖，取CD的中點G，連接EG、FG，則EG∥BD，所以相交直線EF與EG所成的角，即為異面直線EF與BD所成的角．

在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG＝45°，即異面直線EF與BD所成的角為45°.題型四 點共線、點共面、線共點的證明 【例4】?正方體

ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是AB和AA1的中點．求證：(1)E、C、D1、F四點共面；(2)CE、D1F、DA三線共點．

證明(1)如圖，連接EF，CD1，A1B.∵E、F分別是AB、AA1的中點，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E、C、D1、F四點共面．(2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，∴CE與D1F必相交，設(shè)交點為P，則由P∈CE，CE?平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直線DA，∴CE、D1F、DA三線共點．

【變式4】 如圖所示，已知空間四邊形ABCD中，E、H分別是邊AB、AD的中點，F(xiàn)、G分別是邊BC、CD上的點，且＝＝，求證：三條直線EF、GH、AC交于一點

證明 ∵E、H分別為邊AB、AD的中點，∴EH綉B(tài)D，而＝＝，∴＝，且FG∥BD.∴四邊形EFGH為梯形，從而兩腰EF、GH必相交于一點P.∵P∈直線EF，EF?平面ABC，∴P∈平面ABC.同理，P∈平面ADC.∴P在平面ABC和平面ADC的交線AC上，故EF、GH、AC三直線交于一點．

【例5】l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是（）

A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3 B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3

C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面

D．l1，l2，l3共點?l1，l2，l3共面

解析 在空間中，垂直于同一直線的兩條直線不一定平行，故A錯；兩平行線中的一條垂直于第三條直線，則另一條也垂直于第三條直線，B正確；相互平行的三條直

線不一定共面，如三棱柱的三條側(cè)棱，故C錯；共點的三條直線不一定共面，如三棱錐的三條側(cè)棱，故D錯． 答案 B

鞏固提高

1．設(shè)A、B、C、D是空間四個不同的點，在下列命題中，不正確的是

（）A．若AC與BD共面，則AD與BC共面

B．若AC與BD是異面直線，則AD與BC是異面直線 C．若AB＝AC，DB＝DC，則AD＝BC D．若AB＝AC，DB＝DC，則AD⊥BC

解析：A中，若AC與BD共面，則A、B、C、D四點共面，則AD與BC共面；

B中，若AC與BD是異面直線，則A、B、C、D四點不共面，則AD與BC是異面直線；

C中，若AB＝AC，DB＝DC，AD不一定等于BC； D中，若AB＝AC，DB＝DC，可以證明AD⊥BC.答案：C

2．已知a、b、c、d是空間四條直線，如果a⊥c，b⊥c，a⊥d，b⊥d，那么()

A．a(chǎn)∥b且c∥d

B．a(chǎn)、b、c、d中任意兩條可能都不平行 C．a(chǎn)∥b或c∥d

D．a(chǎn)、b、c、d中至多有一對直線互相平行 解析：若a與b不平行，則存在平面β，使得a?β且b?β，由a⊥c，b⊥c，知c⊥β，同理d⊥β，所以c∥d.若a∥b，則c與d可能平行，也可能不平行．結(jié)合各選項知選C.答案：C

3．對兩條不相交的空間直線a與b，必存在平面α，使得（）A．a(chǎn)?α，b?α

B．a(chǎn)?α，b∥α

C．a(chǎn)⊥α，b⊥α D．a(chǎn)?α，b⊥α 解析：不相交的直線a，b的位置有兩種：平行或異面．當a，b異面時，不存在平面α滿足A、C；又只有當a⊥b時，D才可能成立．

答案：B

4．已知空間中有三條線段AB、BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直線AB與CD的位置關(guān)系是()

A．AB∥CD

B． AB與CD異面 C．AB與CD相交

D．AB∥CD或AB與CD異面或AB與CD相交

解：若三條線段共面，如果AB、BC、CD構(gòu)成等腰三角形，則直線AB與CD相交，否則直線AB與CD平行；若不共面，則直線AB與CD是異面直線，故選D.答案：D

5．a(chǎn)，b，c是空間中的三條直線，下面給出三個命題： ①若a∥b，b∥c，則a∥c；

②若a與b相交，b與c相交，則a與c相交； ③若a，b與c成等角，則a∥b.上述命題中正確的命題是________(只填序號)

解析：由基本性知①正確；當a與b相交，b與c相交時，a與c可以相交、平行，也可以異面，故②不正確；當a，b與c成等角時，a與b可以相交、平行，也可以異面，故③不正確．

答案：① 答案：90°

第三篇：1.2《點線面之間的位置關(guān)系--線面垂直的判定和性質(zhì)2》教案(蘇教版必修2)

第17課時 直線與平面垂直的判定和性質(zhì)

（二）教學目標：

使學生掌握直線和平面垂直的性質(zhì)，點到面的距離，線到面的距離；對學生進行轉(zhuǎn)化思想滲透，培養(yǎng)學生空間想象能力；使學生從問題解決過程，認識事物的發(fā)展、變化、規(guī)律。

教學重點：

直線和平面垂直的性質(zhì)。

教學難點：

性質(zhì)定理的證明、等價轉(zhuǎn)化思想的滲透。

教學過程：

1．復習回顧：

1.判定直線和平面垂直的方法有幾種？ ［生］定義，例1的結(jié)論、判定定理.2.各判定方法在何種條件或情形下方可熟練運用？

［生］若能確定直線和平面內(nèi)任意一線垂直，則運用定義說明.若能說明所證直線和平面的一條垂線平行，則可運用例題結(jié)論說明之.若能說明直線和平面內(nèi)兩相交線垂直，則運用判定定理去完成判定.2．講授新課：

［師］直線和平面是否垂直的判定方法上節(jié)課已研究過，這節(jié)課我們來共同探討：直線和平面如果垂直，則其應具備的性質(zhì)是什么？

下面先思考一個問題：

例1：已知:a⊥α，b⊥α.求證：b∥a.［師］此問題是在a⊥α，b⊥α的條件下，研究a和b是否平行，若從正面去證明b∥a，則較困難，而利用反證法來完成此題，相對要容易，但難在輔助線b′的做出，這也是立體幾何開始這部分較難的一個證明.在師的指導下，學生嘗試證明，待后給出過程.證明：假定b不平行于a，設(shè)b∩α＝O，b′是經(jīng)過點O與

直線a平行的直線

∵a∥b′，a⊥α

∴b′⊥α

即經(jīng)過同一點O的兩條直線b、b′都垂直于平面α，而這是不可能的，因此，b∥a.有了上述證明，師生可共同得到結(jié)論：

直線和平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行，也可簡記為線面垂直、線線平行.［師］下面給出點到面的距離.從平面外一點引這個平面的垂線，這個點和垂足間距離叫做這個點到這個平面的距離.應明白，點到面的距離是一線段.A．a(chǎn)∥β，b∥β

B．a(chǎn)⊥β,b⊥β C．a(chǎn)⊥c，b⊥c

D．a(chǎn)與c，b與c所成角相等 2）平面α外的點A到平面α內(nèi)各點的線段中，以O(shè)A最短，那么OAα的關(guān)系是

（）A.B.C.在α內(nèi)

D.不確定 3關(guān)系是

（）A.B.C.平行或相交

D.一定垂直 4）矩形ABEF和矩形EFCD不共面，已知EF＝4，BD＝5，求平行直線AB與CD之間的距離.解答：

1.排除法找滿足題意的選擇支B

［對于選擇支A，平行于同一面的兩線可能相交，也 可能異面，故不一定推出a∥b，排除A.對于選擇支C，因垂直于同一線的兩線可能異面、故排除C.對于選擇支D，若a、b、c三線能圍成三角形.且a與c、b與c成角相等，則a與b不平行，排除D，故選B.而B利用性質(zhì)定理可驗證其正確.］ 2.此題也可用排除法找到正確選擇支B ［滿足題目的線段，其一個端點在平面外，故A、C應排除，因該線不會和平面又平行，也不會在平面α內(nèi)，而滿足OA最短的線只有一條，故應選B，或依平面外一點和平面內(nèi)各點的連線垂線段最短，從而選B.］

3.利用分類討論找選擇支C ［平面外的直線上有兩點到這個平面的距離相等，這條直線和這個平面的位置取決于點與平面的關(guān)系，與這兩點在平面的同側(cè)時，直線和平面平行，當這兩點在平面的異側(cè)時，直線和平面相交.］

4.［此題的解決主要是充分利用直線和平面垂直判定及平行線間的距離完成.］ 解：因ABEF及EFCD都是矩形，故應有

EF⊥BE，EF⊥CE，而BE∩CE＝E

故EF⊥面BEC 而AB∥EF，CD∥EF

則AB⊥面BEC，CD⊥面BEC BC?面BEC

那么

AB⊥BC，CD⊥BC BC就是AB與CD間的距離

BC2＝BD2－CD2＝25－16＝9

即BC＝3.4．課時小結(jié)：

1.能正確利用性質(zhì)定理解題.2..5．課后作業(yè)：

課本P38

習題第5，7，8，9題.-

第四篇：直線與平面之間的位置關(guān)系教學設(shè)計

一、教學目標

1、知識與技能：（1）了解空間中直線與平面的位置關(guān)系；（2）了解空間中平面與平面的位置關(guān)系；（3）培養(yǎng)學生的空間想象能力。

2、過程與方法：（1）學生通過觀察與類比加深了對這些位置關(guān)系的理解、掌握；（2）讓學生利用已有的知識與經(jīng)驗歸納整理本節(jié)所學知識。

二、教學重點、難點

重點：空間直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系。

難點：用圖形表達直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系。

三、學法與教法

1、學法：學生借助實物，通過觀察、類比、思考等，較好地完成本節(jié)課的教學目標。

2、教法：觀察類比，探究交流。

四、教學過程

（一）復習引入：空間兩直線的位置關(guān)系：（1）相交；（2）平行；（3）異面

2.公理4 ：平行于同一條直線的兩條直線互相平行 推理模式： ．

3.等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等。

4.等角定理的推論:如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行,那么這兩條直線所成的銳角(或直角)相等.5.空間兩條異面直線的畫法

6．異面直線定理：連結(jié)平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，和這個平面內(nèi)不經(jīng)過此點的直線是異面直線。推理模式： 與 是異面直線

7．異面直線所成的角：已知兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點 作直線，所成的角的大小與點 的選擇無關(guān)，把 所成的銳角（或直角）叫異面直線 所成的角（或夾角）．為了簡便，點 通常取在異面直線的一條上

8．異面直線垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，則叫兩條異面直線垂直．兩條異面直線 垂直，記作 ．

（二）研探新知

1、引導學生觀察、思考身邊的實物，從而直觀、準確地歸納出直線與平面有三種位置關(guān)系：

（1）直線在平面內(nèi) —— 有無數(shù)個公共點

（2）直線與平面相交 —— 有且只有一個公共點

（3）直線在平面平行 —— 沒有公共點

指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用a α來表示

a α a∩α=A a∥α

例1下列命題中正確的個數(shù)是（）

?內(nèi)，則L∥?⑴若直線L上有無數(shù)個點不在平面

內(nèi)的任意一條直線都平行?平行，則L與平面?(2)若直線L與平面

（3）如果兩條平行直線中的一條與一個平面平行，那么另一條也與這個平面平行

內(nèi)任意一條直線都沒有公共點?平行，則L與平面?（4）若直線L與平面

（A）0(B)1(C)2(D)

32、探析平面與平面的位置關(guān)系：

① 以長方體為例，探究相關(guān)平面之間的位置關(guān)系？ 聯(lián)系生活中的實例找面面關(guān)系.② 討論得出：相交、平行。

→定義：平行：沒有公共點；相交：有一條公共直線?！柋硎荆害痢桅?、α∩β＝b

→舉實例：…

③ 畫法：相交：……。平行：使兩個平行四邊形的對應邊互相平行

④ 練習： 畫平行平面；畫一條直線和兩個平行平面相交；畫一個平面和兩個平行平面相交

探究：A.分別在兩平行平面的兩條直線有什么位置關(guān)系？

B.三個平面兩兩相交，可以有交線多少條？ C.三個平面可以將空間分成多少部分？

D.若，則

（三）、鞏固練習

1．選擇題，則a∥b??，b? ④若a∥?，則a∥?，則a∥b ③若a∥b，b∥?，b∥? ②若a∥?，則a∥??表示平面）①若a∥b，b?（1）以下命題（其中a，b表示直線，其中正確命題的個數(shù)是（）

（A）0個（B）1個（C）2個（D）3個，則直線a，b的位置關(guān)系①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且不相交.其中可能成立的有（）?，b∥?（2）已知a∥

（A）2個（B）3個（C）4個（D）5個的位置關(guān)系一定是（）?的距離都是a，則直線AB和平面?外有兩點A、B，它們到平面?（3）如果平面

??（A）平行（B）相交（C）平行或相交（D）AB

=l，則l（）?∩?，?，n∥平面?（4）已知m，n為異面直線，m∥平面

（A）與m，n都相交（B）與m，n中至少一條相交

（C）與m，n都不相交（D）與m，n中一條相交

教材P51 練習學生獨立完成后教師檢查、指導

（四）歸納整理、整體認識

教師引導學生歸納，整理本節(jié)課的知識脈絡(luò)，提升他們掌握知識的層次。

（五）作業(yè)：

1、讓學生回去整理這三節(jié)課的內(nèi)容，理清脈絡(luò)。

2、教材P51習題2.1 A組第5題

第五篇：高中數(shù)學圓與圓的位置關(guān)系教案

4.2.2圓與圓的位置關(guān)系

教學要求：能根據(jù)給定圓的方程，判斷圓與圓的位置關(guān)系； 教學重點：能根據(jù)給定圓的方程，判斷圓與圓的位置關(guān)系 教學難點：用坐標法判斷兩圓的位置關(guān)系 教學過程：

一、復習準備

1． 兩圓的位置關(guān)系有哪幾？ 2．設(shè)兩圓的圓心距為d.當d?R?r時，兩圓

，當d?R?r時，兩圓

當|R?r|?d?R?r 時，兩圓，當d?|R?r|時，兩圓

當d?R?r|時，兩圓

３．如何根據(jù)圓的方程，判斷兩圓之間的位置關(guān)系？(探討)

二、講授新課：

1.兩圓的位置關(guān)系利用半徑與圓心距之間的關(guān)系來判斷

例1.已知圓C1:x2?y2?2x?8y?8?0，圓C2:x2?y2?4x?4y?2?0，試判斷圓C1與圓C2的關(guān)系？

C2方法

（一）（配方→圓心與半徑→探究圓心距與兩半徑的關(guān)系）方法

（二）解方程組

探究：相交兩圓公共弦所在直線的方程。

2． 兩圓的位置關(guān)系利用圓的方程來判斷

方法：通常是通過解方程或不等式和方法加以解決（以例1為例說明）

AOBC1圖1例2．圓C1的方程是:x2?y2?2mx?4y?m2?5?0圓C2的方程是: x2?y2?2x?2my?m2?3?0, m為何值時,兩圓(1)相切.(2)相交(3)相離(4)內(nèi)含

思路：聯(lián)立方程組→討論方程的解的情況（消元法、判別式法）→交點個數(shù)→位置關(guān)系）

練習：已知兩圓x?y?6x?0與x?y?4y?m，問m取何值時，兩圓相切。

例3．已知兩圓C1:x2?y2?4x?2y?0和圓C2:x?y2?2y?4?0的交點為A、B,（1）求AB的長；（2）求過A、B兩點且圓心在直線l:2x?4y?1?0上的圓的方程.22222

3.小結(jié)：判斷兩圓的位置關(guān)系的方法:(1)由兩圓的方程組成的方程組有幾組實數(shù)解確定.(2)依據(jù)連心線的長與兩半徑長的和r1?r2或兩半徑的差的絕對值的大小關(guān)系.三、鞏固練習：

22221．求經(jīng)過點M(2,-2),且與圓x?y?6x?0與x?y?4交點的圓的方程

2．已知圓C與圓x2?y2?2x?0相外切,并且與直線x?3y?0相切于點Q(3,-3),求圓C的方程.22x?3??y2?4x?y?1?3．求兩圓和的外公切線方程

2四、作業(yè)：P133習題4.2A組9