第一篇：概率論數(shù)理統(tǒng)計(jì)(經(jīng)管類)重點(diǎn)及性質(zhì)總結(jié)

第一章 隨機(jī)事件與概率

（1）事件的包含和相等

包含：設(shè)A，B為二事件，若A發(fā)生必然導(dǎo)致B發(fā)生，則稱事件B包含事件A，或事A包含于事件B，記作相等：若且，或

性質(zhì)：，則稱事件A與事件B相等，記作A＝B。

（2）和事件

概念：稱事件“A與B至少有一個(gè)發(fā)生”為事件A與事件B的和事件，或稱為事件A與事件B的并，記作

或A＋B。

解釋：

包括三種情況①A發(fā)生，但B不發(fā)生，②A不發(fā)生，但B發(fā)生，③A與B都發(fā)生。

性質(zhì)：①，；②若

；則

（3）積事件

概念：稱“事件A與事件B同時(shí)發(fā)生”為事件A與事件B的積事件，或稱為事件A與B的交，記作A∩B或AB。

解釋：A∩B只表示一種情況，即A與B同時(shí)發(fā)生。

性質(zhì)：①，；② 若，則AB＝A。

（4）差事件

概念：稱“事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生”為事件A與事件B的差事件，記作A－B.性質(zhì)：① A－（5）互不相容事件

概念：若事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生，即AB＝，則稱事件A與事件B互不相容。；② 若，則A－B＝

推廣：n個(gè)事件A1，A2，?，An兩兩互不相容，即AiAj＝，i≠j，i，j＝1，2，?n。

（6）對(duì)立事件：

概念：稱事件“A不發(fā)生”為事件A的對(duì)立事件，記做

.解釋：事件A與B互為對(duì)立事件，滿足：①AB＝ф；②A∪B＝Ω 性質(zhì)：①；

②，；

③A－B＝

＝A－AB ④A與B相互對(duì)立A與B互不相容.小結(jié)：關(guān)系：包含，相等，互不相容，互為對(duì)立；

運(yùn)算：和，積，差，對(duì)立.（7）事件的運(yùn)算性質(zhì)

①（和、積）交換律 A∪B＝B∪A，A∩B＝B∩A；

②（和、積）結(jié)合律（A∪B）∪C＝A∪（B∪C），（A∩B）∩C＝A∩（B∩C）；

③（和、積）分配律 A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）；A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C）

④對(duì)偶律 ；

.由頻率的性質(zhì)推出概率的性質(zhì)

①推出①

②，推出②P（ф）＝0，P（Ω）＝1

推出③P（A∪B）=P（A）＝P（B），可推

③A，B互不相容，廣到有限多個(gè)和無(wú)限可列多個(gè).2.古典概型

概念：具有下面兩個(gè)特點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型，稱為古典概型：

①基本事件的總數(shù)是有限個(gè)，或樣本空間含有有限個(gè)樣本點(diǎn)；

②每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同。

計(jì)算公式：

概率的定義與性質(zhì)

（1）定義：設(shè)Ω是隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間，對(duì)于E的每一個(gè)事件A賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，記為

P（A），稱P（A）為事件A的概率，如果它滿足下列條件：

①P（A）≥0；

②P（Ω）＝1；

③設(shè)，?，?是一列互不相容的事件，則有，；

； ；

④

..（2）性質(zhì) ①

②對(duì)于任意事件A，B有

③條件概率與乘法公式

定義：設(shè)A，B為兩個(gè)事件，在已知事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，稱為事件B發(fā)生條件下事件A發(fā)生的條件概率，記做P（A|B）

計(jì)算公式：設(shè)AB為兩個(gè)事件，且P（B）>0，則。

乘法公式：當(dāng)P（A）>0時(shí)，有P（AB）＝P（A）P（B|A）；

當(dāng)P（B）>0時(shí)，有P（AB）＝P（B）P（A|B）推廣：

①設(shè)P（AB）>0，則P（ABC）＝P（A）P（B|A）P（C|AB）

②設(shè)，則

2.全概率公式與貝葉斯公式

（1）劃分：設(shè)事件

①

②，?，，?，滿足如下兩個(gè)條件：，i＝1，2，?，n；，?，至少有一個(gè)發(fā)生，則稱，?，互不相容，且，即，為樣本空間Ω的一個(gè)劃分。

當(dāng)，?，為樣本空間Ω的一個(gè)劃分時(shí)，每次試驗(yàn)有且僅有其中一個(gè)發(fā)生。

（2）全概公式：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為Ω，，?，為樣本空間Ω的一個(gè)劃分，B為任意一個(gè)事件，則注意：當(dāng)0

.就是Ω的一個(gè)劃分，對(duì)任意事件B則有全概公式的最，?，為樣本空間Ω的（3）貝葉斯公式：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為Ω，一個(gè)劃分，B為任意一個(gè)事件，且P（B）>0，則

，i＝1，2，?，n.注意：①在使用貝葉斯公式時(shí)，往往先利用全概公式計(jì)算P（B）；

②理解貝葉斯公式“后驗(yàn)概率”的意義.事件的獨(dú)立性

（1）概念：若P（AB）＝P（A）P（B），則稱事件A與事件B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱A，B獨(dú)立。

（2）性質(zhì)：① 設(shè)P（A）>0，則A與B相互獨(dú)立的充分必要條件是。

② 若A與B相互獨(dú)立，則A與，與B，與都相互獨(dú)立。（3）推廣：① 3個(gè)事件相互獨(dú)立：設(shè)A，B，C為3個(gè)事件，若滿足

P（AB）＝P（A）P（B），P（AC）＝P（A）P（C），P（BC）＝P（B）P（C），P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）則稱A，B，C相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱A，B，C獨(dú)立。

② 3個(gè)事件兩兩相互獨(dú)立：設(shè)A，B，C為3個(gè)事件，若滿足

P（AB）＝P（A）P（B），P（AC）＝P（A）P（C），P（BC）＝P（B）P（C），則稱A，B，C兩兩相互獨(dú)立。

顯然，3事件相互獨(dú)立必有3事件兩兩相互獨(dú)立，反之未必。

③ n個(gè)事件相互獨(dú)立：設(shè)A1，A2，?，An為n個(gè)事件，若對(duì)于任意整數(shù)k

（1≤k≤n）和任意k個(gè)整數(shù)1≤i1< i2

則稱A1，A2，?，An相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱A1，A2，?，An獨(dú)立 n重貝努利試驗(yàn)

概念：如果一次試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果：事件A發(fā)生或不發(fā)生，且P（A）＝p（0

計(jì)算：在n重貝努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)事件A發(fā)生的概率為p，則事件A恰好發(fā)生k次的概率Ｐn（k）為，k＝0，1，2，?，n。

第二章 隨機(jī)變量及其概率分布

隨機(jī)變量的概念 定義：設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，樣本空間為Ω，如果對(duì)于每一個(gè)樣本點(diǎn)ω∈Ω，有一個(gè)實(shí)數(shù)X（ω）與之對(duì)應(yīng)，則稱X＝X（ω）為隨機(jī)變量，記做X, Y, Z,?。

（4）解釋：① 隨機(jī)變量不是普通變量，它的取值不是任意的，它是以一定的可能性（概率）取某一個(gè)值的，即具有隨機(jī)性，因此稱為“隨機(jī)變量”；

② 在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，可以根據(jù)不同的需要來(lái)定義不同的隨機(jī)變量。

③ 引入隨機(jī)變量后，可用隨機(jī)變量來(lái)描述事件，如擲骰子，設(shè)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為隨機(jī)變量X，則“出現(xiàn)4點(diǎn)”可表示為{X＝4}，“不少于4點(diǎn)”可表示為{X≥4},等等 離散型隨機(jī)變量定義：若隨機(jī)變量X只取有限多個(gè)或可列無(wú)限多個(gè)值，則稱X為離散型隨機(jī)變量。

離散型隨機(jī)變量的分布律：設(shè)X為離散型隨機(jī)變量，可能取值為x1，x2，?，xk，?，且P{X＝xk }＝pk，k＝1，2，?，則稱{ pk }為X的分布律（或分布列，概率分布）。

分布律也可以用表格形式表示：

（3）分布律{pk}的性質(zhì)：① pk≥0，k＝1，2，?；②.反之，若一個(gè)數(shù)列{pk}具有以上兩條性質(zhì)，則它可以作為某隨機(jī)變量的分布律。

（4）用途：可用分布律求任意事件的概率

三種常用的離散型隨機(jī)變量的分布

（1）0－1分布（兩點(diǎn)分布）

定義：若隨機(jī)變量X只取兩個(gè)可能值0，1，且P{X＝1}＝p，P{X＝0}＝q, 其中0

（2）二項(xiàng)分布

定義：若隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，?，n，而X的分布律為，k＝0，1，2，?，n其中0

解釋：n＝1時(shí)，二項(xiàng)分布即為0－1分布，所以，二項(xiàng)分布是服從0－1分布的隨機(jī)試驗(yàn)進(jìn)行n次的情況。

泊松定理：設(shè)λ>0是常數(shù)，n是任意正整數(shù)，且，則對(duì)于任意取定的非負(fù)整數(shù)k，有。

泊松定理的應(yīng)用：當(dāng)n很大，p很小時(shí)，二項(xiàng)分布可以用泊松逼近來(lái)近似計(jì)算。

在實(shí)際計(jì)算中，當(dāng)n≥20，p≤0.05時(shí)計(jì)算效果頗佳（3）泊松分布

定義：設(shè)隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，?，n，?，而X的分布律為，k＝0，1，2，?，其中λ>0，則稱X服從參數(shù)為λ的泊松分布，記做X ～ P（λ）分布函數(shù)的概念

定義：設(shè)X為隨機(jī)變量，稱函數(shù)F（x）=P（X≤x），x∈（-∞,+∞）為X的分布函數(shù)。

離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

分布函數(shù)的性質(zhì)

（1）0≤F（x）≤1。

（2）F（x）是不減函數(shù)，即對(duì)于任意的x1

（3）F（-∞）=0，F(xiàn)（+∞）=1，即

（4）F（x）右連續(xù)，即。

用分布函數(shù)表示事件的概率：設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F（x）, 則

（1）P{X≤b}=F（b）；

（2）P{a

（3）P{X>b}=1-F（b）連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度

（1）定義：設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F（x），若存在非負(fù)函數(shù)f（x），使得對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，并稱f（x）為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度（或密度函數(shù)）。

解釋：連續(xù)型隨機(jī)變量的“連續(xù)”指的是其密度函數(shù)在某區(qū)間或整個(gè)實(shí)軸上是連續(xù)函數(shù)。

（2）概率密度的性質(zhì)：① f（x）≥0；

②

③④ 設(shè)x為f（x）的連續(xù)點(diǎn)，則存在三種常用連續(xù)型隨機(jī)變量的分布

Ⅰ.均勻分布

，且

；

（1）定義：若隨機(jī)變量X的概率密度為上的均勻分布，記做X～U（a,b），則稱X服從區(qū)間[a,b]（2）分布函數(shù)為 Ⅱ.指數(shù)分布

（1）定義：若隨機(jī)變量X的概率密度為稱X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，記做X～E（λ）.，其中λ>0為常數(shù)，則

（2）指數(shù)分布的分布函數(shù)為Ⅲ.正態(tài)分布

，（1）定義：若隨機(jī)變量X的概率密度為

22，－∞

2μ,σ為常數(shù)，－∞<μ<+∞，σ>0，則稱X服從參數(shù)為μ,σ的正態(tài)分布，記做X～N（μ,σ）

（2）概率密度函數(shù)的性質(zhì)：

①曲線關(guān)于直線x=μ對(duì)稱，則對(duì)于任意h>0，有P（μ-h

②當(dāng)x=μ時(shí)取得最大值.在x=μ±σ處曲線有拐點(diǎn)，曲線以x軸為漸近線.③當(dāng)σ給定，μ1<μ2時(shí)，對(duì)應(yīng)的密度函數(shù)的圖象可沿x軸互相平移得到.④當(dāng)μ給定，σ1<σ2時(shí)，對(duì)應(yīng)的密度函數(shù)的圖象如圖下圖所示，σ越小，圖象越尖銳，σ越大，圖象越平緩.（3）分布函數(shù)為.（4）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：當(dāng)μ=0，σ=1時(shí)的正態(tài)分布N（0,1），稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其概率密度和分布函數(shù)分別記做和Φ（x），即，，（5）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)的性質(zhì)

①Φ（-x）=1-Φ（x）；

②.（6）正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系

設(shè)X～N（μ,σ），分布函數(shù)為F（x），標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)為Φ（x），則

①

②

③.Ⅳ.上側(cè)α分位數(shù)

（1）定義：設(shè)X～N（0,1），若uα滿足條件P{X>uα}=α，0<α<1，則稱點(diǎn)uα為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)α分位數(shù)。（2）求法：反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表

隨機(jī)變量函數(shù)的概念：設(shè)

是已知連續(xù)函數(shù)，為隨機(jī)變量，則函數(shù)也是一個(gè)隨機(jī)變量，稱之為隨機(jī)變量的函數(shù).設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布律為

則在隨機(jī)變量的取值,，不同的情況下，其分布律為

但是，若

有相同的情況，則需要合并為一項(xiàng).連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度

定理：設(shè)為連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為其值域?yàn)椋?/p>

.記

.設(shè)的反函數(shù)，則

是嚴(yán)格單調(diào)的可導(dǎo)函數(shù)，的概率密度為

.兩個(gè)重要結(jié)論：當(dāng) 時(shí)，,且隨機(jī)變量稱為X的標(biāo)準(zhǔn)化。另外，正態(tài)隨機(jī)變量的線性變換，這兩個(gè)結(jié)論十分有用，必須記住

仍是正態(tài)隨機(jī)變量，即aX+b～第三章 多維隨機(jī)變量及概率分布

設(shè)（，）為一個(gè)二維隨機(jī)變量，記為二維隨機(jī)變量（，）的聯(lián)合分布函數(shù)，或稱為（＝

＝

，則稱函數(shù)

和，稱二元函數(shù)函數(shù).記函數(shù)，）的分布為二維隨機(jī)變量（，）的兩個(gè)分量 和 的邊緣分布函數(shù).二維隨機(jī)變量分布函數(shù)的性質(zhì)：

（1）

（2）0，（3）是變量（或）的不減函數(shù)；

1，對(duì)任意給定的，；

.；對(duì)任意給定的，；關(guān)于和關(guān)于均右連續(xù)，即，有（4）對(duì)任意給定的二維離散型隨機(jī)變量

設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的所有可能取值為（各個(gè)可能取值的概率為（＝1，2，?）為（X，Y）的分布律，（），（＝1，2，?），（X，Y）的，＝1，2，?），稱（X，Y）分布律的性質(zhì)

[1]，（＝1，2，?）；

[2]

二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度

（1）設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)為F（x,y），若存在非負(fù)可積函數(shù)使得對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，有量；并稱，則稱（X，Y）為二維連續(xù)型隨機(jī)變?yōu)椋╔，Y）的概率密度或X與Y的聯(lián)合密度函數(shù).的性質(zhì)：

；

（2）概率密度

① 非負(fù)；

②

③ 若在 處連續(xù)，則有

； ④ 兩種二維連續(xù)型隨機(jī)變量分布

（1）均勻分布

①定義：設(shè)D為平面上的有界區(qū)域，其面積為S且S＞0，如果二維隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為

則稱（X,Y）服從區(qū)域D上的均勻分布（或稱（X,Y）在D上服從均勻分布），記作（X,Y）～UD。

②兩種特殊區(qū)域的情況：

ⅰ.D為矩形區(qū)域a≤x≤b，c≤y≤d，此時(shí)

ⅱ.D為圓形區(qū)域，如（X,Y）在以原點(diǎn)為中心，R為半徑的圓形區(qū)域上服從均勻分布，則（X,Y）概率密度為

二維隨機(jī)變量的邊緣分布

（1）定義：對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量（X,Y），分量X（或Y）的概率密度稱為（X,Y）關(guān)于X（或Y）的邊緣概率密度，簡(jiǎn)稱邊緣密度，記為

（2）求法：它們可由（X,Y）的概率密度f(wàn)（x，y）求出，P71

定義：設(shè)F（x,y），F(xiàn)X（x）和FY（y）分別是二維隨機(jī)變量（x,y）的分布函數(shù)和兩個(gè)邊緣分布函數(shù)，若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，有F（x,y）= FX（x）FY（y），則稱X與Y相互獨(dú)立.（2）等價(jià)關(guān)系：P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}

設(shè)（X,Y）為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f（x,y）及關(guān)于X和Y的邊緣概率密度為和 則X與Y相互獨(dú)立的充分必要條件是等式

幾乎處處成立

P81 兩個(gè)相互獨(dú)立且都服從泊松分布（參數(shù)分別為 和）的隨機(jī)變量之和仍服從泊松分布，且具有參數(shù)（泊松分布可加性）

求Z=X+Y的概率密度

設(shè)（X，Y）為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為f（x，y），關(guān)于X，Y的邊緣概率

分別為fx（x），fY（y），又設(shè)X與Y相互獨(dú)立，求Z=X+Y的概率密度：

這就是二維連續(xù)型獨(dú)立隨機(jī)變量和的卷積公式

第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征

離散型隨機(jī)變量的期望

定義：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為P{X=xk}=pk，k＝1，2，?.若級(jí)數(shù)（即級(jí)數(shù)收斂），則定義X的數(shù)學(xué)期望（簡(jiǎn)稱均值或期望）為三種離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

① 兩點(diǎn)分布

設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為

② 二項(xiàng)分布 設(shè)X～B（n,p），即③ 泊松分布

（i＝0,1，2，?，n），q=1-p，則E（X）=np.絕對(duì)收斂

其中0

設(shè)X～P（λ）其分布律為，i＝0，1，2，?，則E（X）= λ.定理4－1 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為P{X=xk}=pk，k＝1，2，? 令Y=g（X），若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則隨機(jī)變量Y的數(shù)學(xué)期望為

連續(xù)型隨機(jī)變量的期望

（1）定義：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度f(wàn)（x），若廣義積分稱該積分為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望（簡(jiǎn)稱期望或均值），記為E（X），即（2）三種連續(xù)型隨機(jī)變量的期望

① 均勻分布

絕對(duì)收斂，則

.設(shè)X～U（a,b），其概率密度為

② 指數(shù)分布

，則.設(shè)X～E（λ），其概率密度為③ 正態(tài)分布

，則.設(shè)X～N（μ,σ），其概率密度為 2，-∞

二維隨機(jī)變量分量的期望

定理4－3：（1）若（X,Y）為離散型隨機(jī)變量，其分布律為分布律為，則，邊緣

說(shuō)明：也可以先求Y的概率，.（2）若（X,Y）為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度與邊緣概率密度分別為f（x,y），fX（x），fY（y），則

二維隨機(jī)變量函數(shù)的期望，.定理4－4： 設(shè)g（x,y）為二元連續(xù)函數(shù)，對(duì)于二維隨機(jī)變量（X,Y）的函數(shù)Z=g（X,Y），（1）若（X,Y）為離散型隨機(jī)變量，級(jí)數(shù)則

；

絕對(duì)收斂，則

.絕對(duì)收斂，（2）若（X，Y）為連續(xù)型隨機(jī)變量，且積分

期望的性質(zhì)

（1）常數(shù)的期望等于該常數(shù)，即E（C）=C，C為常數(shù)；

（2）常數(shù)與隨機(jī)變量X乘積的期望等于該常數(shù)與隨機(jī)變量期望的乘積，即E（CX）=CE（X）；

（3）隨機(jī)變量和的期望等于隨機(jī)變量期望之和，即E（X+Y）=E（X）+E（Y）；

綜合性質(zhì)（2）和（3），則有E（C1X+C2Y）=C1E（X）+C2E（Y），其中C1,C2為常數(shù).一般地，其中Ci為常數(shù).（4）兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的乘積的期望等于隨機(jī)變量期望的乘積，即若X,Y為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則E（XY）=E（X）E（Y）

4.2節(jié) 方差

定義：設(shè)隨機(jī)變量X，且（X-E（X））的期望存在，則稱E（X-E（X））為隨機(jī)變量X 的方差，記為D（X），即D（X）=E（X-E（X））；又稱 若離散型隨機(jī)變量X的分布律為P（X=xk）=pk，k＝1，2，?，則

若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f（x），則

為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差...方差計(jì)算公式：①D（X）=E（X）-（E（X））即X的方差等于X的期望—X的期望的平方 ② 若離散型隨機(jī)變量X的分布律為P{X=xk}=pk，k＝1，2，?，則③若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f（x），則 常用隨機(jī)變量的方差

（1）0－1分布

設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為

（2）二項(xiàng)分布 設(shè)X～B（n,p），即（3）泊松分布

（i＝1，2，?，n），q=1-p，則 D（X）=npq.其中0

..設(shè)X～P（λ），其分布律為（4）均勻分布，i＝0，1，2，?，則 D（X）=λ.設(shè)X～U（a,b），即概率密度為

（5）指數(shù)分布

，則.設(shè)X～E（λ），即概率密度為（6）正態(tài)分布

，則.設(shè)X～N（μ，σ），即概率密度為2，-∞

（1）常數(shù)的方差等于零，隨機(jī)變量與常數(shù)之和的方差等于隨機(jī)變量的方差，即

D（C）=0，D（X+C）=D（X）

2.常數(shù)與隨機(jī)變量乘積的方差等于該常數(shù)的平方與隨機(jī)變量方差的乘積，即D（CX）=CD（X）.（3）兩個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量之和的方差等于它們方差之和，即若X，Y相互獨(dú)立，則

D（X+Y）=D（X）+D（Y）

下表是六種常見(jiàn)分布的期望和方差的結(jié)果。

4.3 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)

定義：設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y），且E（X），E（Y）存在，如果E[（X-E（X））（Y-E（Y））]存在，則稱之為X與Y的協(xié)方差，記為cov（X,Y），即cov（X,Y）=E[（X-E（X））（Y-E（Y））].（2）若離散型二維隨機(jī)變量（X,Y）的分布律為

則.（3）若連續(xù)型二維隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為f（x,y），則

.，（i,j＝1，2，?），（4）計(jì)算公式：cov（X,Y）=E（XY）-E（X）E（Y）特例：當(dāng)X=Y時(shí)，cov（X,X）=D（X）（5）協(xié)方差的性質(zhì)

① cov（X,Y）=cov（Y,X）； ② cov（aX,bY）=abcov（X,Y），其中a,b為任意常數(shù)；

③

④ 若X與Y相互獨(dú)立，則cov（X,Y）=0.f（x,y）≠fX（x）·fY（y）,知X，Y一定不相互獨(dú)立。可見(jiàn)Cov（X,Y）=0是X與Y相互獨(dú)立的必要非充分條件。2.相關(guān)系數(shù)

（1）定義：若D（X）>0，D（Y）>0，稱為X與Y的相關(guān)系數(shù)，記為，即（2）性質(zhì)

①

.② 相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值=1的充分必要條件是存在常數(shù)a，b，使 P{Y=aX+b}=1且a≠0.（3）不相關(guān)定義：若相關(guān)系數(shù)ρXY=0，則稱X與Y不相關(guān).（4）相關(guān)系數(shù)的意義：兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)是它們之間線性關(guān)系程度的度量：，表示它們之間存在完全線性關(guān)系，即一次函數(shù)關(guān)系；

ρXY=0，表示它們之間無(wú)線性相關(guān)關(guān)系，但是，不表示它們之間不存在其他相關(guān)關(guān)系；，表示它們之間存在一定的線性相關(guān)關(guān)系.若ρXY>0，表示它們之間存在正線性相關(guān)關(guān)系，即上式中a>0； 若ρXY<0，表示它們之間存在負(fù)線性相關(guān)關(guān)系，即上式中a<0.（5）兩個(gè)重要結(jié)論

① 隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立

X與Y不相關(guān)；反之未必.② 若二維隨機(jī)變量（X,Y）服從二維正態(tài)分布，則ρXY=ρ，且二維隨機(jī)變量（X,Y）的兩個(gè)分量不相關(guān)兩個(gè)分量相互獨(dú)立.ρ=0.3.矩、協(xié)方差矩陣

kk

（1）矩的定義：設(shè)X為隨機(jī)變量，k為正整數(shù)，① 如果E（X）存在，則稱E（X）為X的k階原點(diǎn)矩，記為vk=E（X）；② 如果X的k階中心矩，記為

＝

.k

存在，則稱 為（2）兩種隨機(jī)變量的矩

① 離散型隨機(jī)變量的矩：若離散型隨機(jī)變量X的分布律為P{X=xi}=pi，i＝1，2，?，則，②連續(xù)型隨機(jī)變量的矩：若連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為，則，.顯然，一階原點(diǎn)矩是期望，二階中心矩是方差.（3）混合矩定義：設(shè)X，Y為隨機(jī)變量，① 若為X和Y的階混合原點(diǎn)矩；②若

（k,l＝1，2，?）存在，則稱其

存在，則稱其為X和Y的階混合中心矩.顯然，協(xié)方差是二階混合中心矩.（4）協(xié)方差矩陣

① 二維隨機(jī)變量的協(xié)方差矩陣定義：設(shè)二維隨機(jī)變量（X1,X2）的4個(gè)二階中心矩為

C11=E[X1-E（X1）]=cov（X1 ,X1）=D（X1），C12=E[（X1-E（X1））（X2-E（X2））] =cov（X1 ,X2），C21=E[（X2-E（X2））（X1-E（X1））] =cov（X2 ,X1），

2C22=E[（X2-E（X2））] =cov（X2 ,X2）= D（X2），則稱矩陣

為二維隨機(jī)變量（X1,X2）的協(xié)方差矩陣.② n維隨機(jī)變量（X1,X2,?,Xn）的協(xié)方差矩陣定義：設(shè)n維隨機(jī)變量（X1,X2,?,Xn）的二階中心矩為矩陣

（i,j＝1，2，?，n），則稱為維隨機(jī)變量（X1,X2,?,Xn）的協(xié)方差矩陣.第五章 大數(shù)定律及中心極限定理

切比雪夫不等式定理：設(shè)隨機(jī)變量X的期望E（X）及方差D（X）存在，則對(duì)任意小正數(shù)

ε＞0，有 因?yàn)槭录?/p>

與事件

是對(duì)立事件，所以 貝努利大數(shù)定律

定理：設(shè)m是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A的概率，則對(duì)于任意正數(shù)ε，有

獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列的切比雪夫大數(shù)定律

定理：設(shè)X1, X2，?，Xn，?是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，E（Xi）=μ，D（Xi）=σ，（i

2＝1，2，?）均存在，則對(duì)于任意ε＞0有

獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列的中心極限定理

定理：設(shè)X1, X2，?，Xn，?是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，且具有相同數(shù)學(xué)期望和方差E（Xi）=μ，D（Xi）=σ，（i＝1，2，?）均存在；再設(shè)隨機(jī)變量 2的分布函數(shù)為F（，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x有nx）其中Φ（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù) 兩個(gè)結(jié)論

① 定理說(shuō)明，當(dāng)n充分大時(shí)，不論獨(dú)立同分布隨機(jī)變量服從什么分布，其和近似服從正態(tài)分布；

② 定理說(shuō)明：當(dāng)n充分大時(shí)，不論獨(dú)立同分布隨機(jī)變量服從什么分布，其平均值

棣莫弗-拉普拉斯D－L中心極限定理

定理：設(shè)隨機(jī)變量Zn是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x有，其中q=1-p，Φ（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù).由D-L定理得到 計(jì)算公式

兩個(gè)結(jié)論：

①當(dāng)n充分大時(shí)，②當(dāng)n充分大時(shí)，；

第六章 統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布

統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布

定義：設(shè)x1, x2，?，xn為總體X的樣本，若樣本函數(shù)T=T（x1, x2，?，xn）中不含任何未知參數(shù)，則稱T為統(tǒng)計(jì)量；統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布.2.經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù) 定義：設(shè)x1, x2，?，xn為總體X的樣本，總體X的分布函數(shù)為F（x），若將樣本觀察值x1, x2，?，xn按由小到大排列為x（1），x（2），?，x（n），則稱之為有序樣本；用有序樣本定義函數(shù)，k＝1，2，?，n-1，則稱Fn（x）為經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù).顯然，F(xiàn)n（x）是一個(gè)非減右連續(xù)函數(shù)，且滿足Fn（-∞）=0，F(xiàn)n（+∞）=1 樣本均值及其抽樣分布

（1）樣本均值的定義：設(shè)x1, x2，?，xn為總體X的樣本，其算術(shù)平均值稱為樣本均值，一般記為，即.在將樣本分為k組的情況下，樣本均值的計(jì)算公式為

fi為第i組的頻數(shù).樣本均值的性質(zhì)，其中，k為組數(shù)，xi為第i組的組中值，① 若稱樣本的數(shù)據(jù)與樣本均值的差為偏差，則樣本偏差之和為零，即

② 偏差平方和最小，即對(duì)任意常數(shù)c，函數(shù)樣本均值的抽樣分布，當(dāng)時(shí)取得最小值.定理：設(shè)x1, x2，?，xn為總體X的樣本，為樣本均值，（1）若X～N（μ，σ），則的精確分布為

22（2）若總體X的分布未知或不是正態(tài)分布，且E（X）= μ，D（X）= σ，則當(dāng)樣本容量n較大時(shí)，的漸近分布為樣本方差與樣本標(biāo)準(zhǔn)差

.這里的漸近分布是指n較大時(shí)的近似分布。

（1）定義：設(shè)x1, x2，?，xn為總體X的樣本，則它關(guān)于的平均偏差平方和

稱為樣本方差；其算術(shù)根稱為樣本標(biāo)準(zhǔn)差.在上面的定義中，稱為樣本偏差平方和，它有3個(gè)不同的表達(dá)式：

＝

樣本均值的數(shù)學(xué)期望和方差, 以及樣本方差的期望

定理：設(shè)x1, x2，?，xn為總體X的樣本，具有二階矩，即E（X）= μ，D（X）= σ，和

2s分別為樣本的均值和方差，則2，E（s）=σ此定理表明，樣本均值

22的均值與總體均值相同，而樣本均值的方差是總體方差的1/n.樣本矩及其函數(shù)

定義：設(shè)x1, x2，?，xn為總體X的樣本，則稱統(tǒng)計(jì)量為樣本k階原點(diǎn)矩；

稱統(tǒng)計(jì)量2

為樣本k階中心矩.樣本均值是樣本一階原點(diǎn)矩，但本書(shū)中樣本

表示，以示區(qū)別 方差s不是樣本k階中心矩，而用順序統(tǒng)計(jì)量

定義：設(shè)總體X的分布函數(shù)為F（x），分布密度為f（x），樣本為x1, x2，?，xn，則稱 x（1）=min{x1, x2，?，xn}和x（n）=max{x1, x2，?，xn}為此樣本的極小順序統(tǒng)計(jì)量和極大順序統(tǒng)計(jì)量

定理：設(shè)總體X的分布函數(shù)為F（x），分布密度為f（x），樣本為x1, x2，?，xn，x（1），x（n）為樣本的極小、極大順序統(tǒng)計(jì)量，則x

（1）的分布密度為f1（x）=n（1-F（x））

n-1f（x），x（n）的分布密度為fn（x）=nFn-1（x）f（x）

正態(tài)總體的抽樣分布（1）分布

① 定義：設(shè)X1, X2，?，Xn為相互獨(dú)立且服從同分布N（0,1）的隨機(jī)變量，則統(tǒng)計(jì)量的分布稱為自由度為n的分布，記為

.②

求法：反查（2）F分布 分布的α分位點(diǎn)：當(dāng)隨機(jī)變量的分布表

時(shí)，對(duì)給定的α∈（0，1），稱滿足

分布的α分位點(diǎn).為自由度為n的① 定義：設(shè)X1，X2相互獨(dú)立，且，則稱的分布為自由度為m與n的F分布，記為F～F（m,n）, 其中m稱為分子自由度，n稱為分母自由度.② F分布的α分位點(diǎn)：當(dāng)隨機(jī)變量F～F（m,n）時(shí)，對(duì)給定的α∈（0，1），稱滿足

P{F>Fα（m,n）}= α 的Fα（m,n）為自由度為m與n的F分布的α分位點(diǎn).③ F分布的α分位點(diǎn)的性質(zhì)：若F～F（m,n），則1/F～F（n,m）.從這個(gè)性質(zhì)可以推出

④ 求法：當(dāng)α較小時(shí)，分位點(diǎn)Fα（m,n）可直接從附表5中查得，而分位點(diǎn)F1-α（m,n）可通過(guò)上式查得（3）t分布

① 定義：設(shè)X1，X2相互獨(dú)立，且X1～N（0,1），為自由度為n的t分布，記為t～t（n），則稱的分布

② t分布的α分位點(diǎn)：當(dāng)隨機(jī)變量t～t（n）時(shí)，對(duì)給定的α∈（0，1），稱滿足 P{t>tα（n）}= α的tα（n）為自由度為n的t分布的α分位點(diǎn).③ t分布α分位點(diǎn)的性質(zhì)：由于t分布的密度函數(shù)關(guān)于0對(duì)稱，則有t1-α（n）=-t α（n）.④ 求法：同上

（4）一些重要結(jié)論

定理：設(shè)x1, x2，?，xn是來(lái)自正態(tài)總體N（μ，σ）樣本，其樣本均值與方差分別為

和，則有 ①與s相互獨(dú)立；

②；

③.（推論6－1）

推理6－2 設(shè)x1, x2，?，xm是來(lái)自的樣本，y1, y2，?，yn是來(lái)自的樣本，記，其中，則有；特別的，若，則 推理6－3 在推理6－2的條件下，設(shè)，并記

則

第七章 參數(shù)估計(jì)

點(diǎn)估計(jì)的兩種常用方法

（1）替換原理和矩法估計(jì)

① 替換原理：替換原理常指如下兩句話：一是：用樣本矩替換總體矩；二是：用樣本矩的函數(shù)替換相應(yīng)的總體矩的函數(shù).② 矩估計(jì)的方法：根據(jù)替換原理，用樣本矩或樣本矩的函數(shù)對(duì)總體的矩或矩的函數(shù)進(jìn)行估計(jì)。例如： 用樣本均值估計(jì)總體均值E（X），即用樣本二階中心矩估計(jì)總體方差，即；

；

用事件A的頻率估計(jì)事件A的概率等 極大似然估計(jì)

設(shè)總體的概率函數(shù)為p（x,θ），是參數(shù)θ，其中θ是一個(gè)未知參數(shù)或未知參數(shù)向量，的取值范圍，x1,x2,?xn是該總體的樣本，將樣本聯(lián)合概率函數(shù)記為，簡(jiǎn)記為存在統(tǒng)計(jì)量，使得

則稱為樣本的似然函數(shù).如果，則稱為θ的極大似然估計(jì) 計(jì)算方法：

① 構(gòu)造似然函數(shù)；② 求似然函數(shù)的對(duì)數(shù).由于似然函數(shù)是以乘積形式構(gòu)成，對(duì)數(shù)函數(shù)是的單調(diào)增加函數(shù)，則似然函數(shù)的對(duì)數(shù)與其有相同的極值點(diǎn)，所以在求導(dǎo)數(shù)之前先求似然函數(shù)的對(duì)數(shù)；③ 用導(dǎo)數(shù)求似然函數(shù)對(duì)數(shù)的極值，得極大似然估計(jì)值

分別給出離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量的極大似然估計(jì)求未知參數(shù) 的估計(jì) 的步驟

（一）離散型隨機(jī)變量

第一步，從總體X取出樣本x1,x2,?,xn 第二步，構(gòu)造似然函數(shù)

L（x1,x2,?,xn，）＝P（X＝x1）P（X＝x2）?P（X＝xn）第三步，計(jì)算ln L（x1,x2,?,xn，）并化簡(jiǎn) 第四步，當(dāng)＝時(shí)ln L（x1,x2,?,xn，）取最大值則?。?常用方法是微積分求最值的方法。

（二）連續(xù)型隨機(jī)變量

若X～f（x,）

第一步 從總體X取出樣本x1,x2,?,xn 第二步 構(gòu)造似然函數(shù)

L（x1,x2,?,xn，）＝f（x1，）f（x2，）?f（xn，）第三步 計(jì)算ln L（x1,x2,?,xn，）并化簡(jiǎn)

第四步 當(dāng)＝時(shí)ln L（x1,x2,?,xn，）取最大值則?。?常用方法是微積分求最值的方法

二項(xiàng)分布：設(shè)總體X～B（1，P）即

抽樣x1,x2,?,xn，問(wèn)最大似然法求

設(shè)P（A）＝，從總體X中

是最大點(diǎn) ∴取

例抽樣n次A發(fā)生m次，則在x1，x2?xn中有m個(gè)1，其余為0，∴設(shè)總體X服從泊松分布p（），求的極大似然估計(jì)；

p（X=k）=解得的極大似然估計(jì)易知的矩估計(jì)亦為

設(shè)總體X服從指數(shù)分布E（），求的極大似然估計(jì)

X～E（）∴

設(shè)，即從中取樣x1，x2?xn，試用最大似然法求

若,從中抽樣x1，x2?xn，試用最大似然估計(jì)法求：，駐點(diǎn)，的極大似然估計(jì)為，給出的極大似然估計(jì)

極大似然估計(jì)的一個(gè)簡(jiǎn)單而有用的性質(zhì)：若是θ的極大似然估計(jì)，則對(duì)任一θ的函數(shù)

g（θ）, 它的極大似然估計(jì)為相合性 定義：設(shè)為未知參數(shù)，這就是極大似然估計(jì)的不變性。

是θ的一個(gè)估計(jì)量，n是樣本容量，若對(duì)

，則稱

為參數(shù)θ的相合估計(jì) 任何ε>0，有

是μ的相合估計(jì)； 是σ的相合估計(jì)；

也是σ的相合估計(jì)。

2相合性判定定理：設(shè)，則稱無(wú)偏性 定義：設(shè)

是θ

為參數(shù)θ的相合估計(jì).的一個(gè)估計(jì)量，若，是θ的一個(gè)估計(jì)，θ的參數(shù)空間為，若對(duì)任意，有，則稱為θ的無(wú)偏估計(jì)；否則稱為有偏估計(jì).解釋：無(wú)偏估計(jì)表示估計(jì)值與被估計(jì)量之間沒(méi)有系統(tǒng)偏差.幾個(gè)有用的結(jié)論 ①是的無(wú)偏估計(jì) ②

即

是σ的漸進(jìn)無(wú)偏估計(jì)；③s是σ的無(wú)偏估計(jì)；

不是gθ的無(wú)偏估計(jì).2

2④ 若為θ的無(wú)偏估計(jì)，一般地，除gθ是θ的線性函數(shù)外，所以，無(wú)偏性沒(méi)有不變性。

有效性 定義：設(shè)一個(gè)，是θ的兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)，如果對(duì)任意的比

有效.有，且至少有使上式的不等號(hào)嚴(yán)格成立，則稱解釋：這是在無(wú)偏估計(jì)中選擇更好的估計(jì)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。7.3 參數(shù)的區(qū)間估計(jì)

點(diǎn)估價(jià)的兩點(diǎn)不足：① 很難準(zhǔn)確；② 沒(méi)有用數(shù)量表示的可信度。為此，引入?yún)^(qū)間估計(jì) 置信區(qū)間的定義：設(shè)θ為總體的未知參數(shù)，是由樣本x1，x2，?，xn給出的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量，若對(duì)于給定的概率1－α（0<α<1），有，則隨機(jī)區(qū)間[稱為置信下限，稱為置信上限.]稱為參數(shù)θ的置信度為1－α的置信區(qū)間，（3）解釋：參數(shù)θ落入?yún)^(qū)間[]的概率為1－α

（4）置信度與精度的關(guān)系

① 在樣本容量固定的條件下，置信度增大，將引起置信區(qū)間長(zhǎng)度增大，使區(qū)間估計(jì)的精度降低；置信度減小，將引起置信區(qū)間長(zhǎng)度減小，使區(qū)間估計(jì)的精度提高；

② 在置信度固定不變的條件下，樣本容量增大，將引起置信區(qū)間長(zhǎng)度減小，區(qū)間估計(jì)的精度提高；反之，精度降低.步驟：① 選取合適的估計(jì)函數(shù)；② 根據(jù)置信度查表求上置信區(qū)間公式，求出置信區(qū)間.分位點(diǎn)；③ 根據(jù)樣本及相應(yīng)的單正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間： 設(shè)總體X～N（μ，σ），x1，x2，?，xn為其樣本.2（1）σ已知時(shí)，μ的置信度為1－α的區(qū)間估計(jì)（2）σ未知時(shí)，μ的置信度為1－α的區(qū)間估計(jì)

.選擇統(tǒng)計(jì)量～，得到μ的置信度為1－α的置信區(qū)間為，其中，是σ的無(wú)偏估計(jì)

23.μ未知，σ的置信區(qū)間 2

.第八章 假設(shè)檢驗(yàn)

統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)中的一些基本概念

（1）參數(shù)檢驗(yàn)與非參數(shù)檢驗(yàn)

如果需要檢驗(yàn)的量?jī)H僅涉及總體分布的未知參數(shù)，則稱之為參數(shù)檢驗(yàn).這是本章講解的主要內(nèi)容；如果涉及分布函數(shù)形式等時(shí)，則稱之為非參數(shù)檢驗(yàn).（2）原假設(shè)與備擇假設(shè)

引例中的假設(shè)H0，即正常情況下放棄H0是小概率事件，則稱H0為原假設(shè)或零假設(shè)；

與之相對(duì)立的是假設(shè)H1，稱之為備擇假設(shè).兩個(gè)假設(shè)有且僅有一個(gè)為真.（3）檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

引例中的，稱為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量.對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行加工并用來(lái)判斷是否接受原假設(shè)的統(tǒng)計(jì)量稱為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量.檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量應(yīng)滿足：①必須與統(tǒng)計(jì)假設(shè)有關(guān)；②當(dāng)H0為真時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布是已知的.（4）顯著水平

假設(shè)檢驗(yàn)的基本理論根據(jù)是小概率原理，即小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生，根據(jù)這一原理，如果小概率事件不發(fā)生，則接受原假設(shè)，否則拒絕原假設(shè)。那么，確定多大范圍算作小概率呢？選擇一個(gè)小數(shù)α（0<α<1）作為標(biāo)準(zhǔn)，通常取0.05,0.01等，稱之為顯著水平，所以，假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題要規(guī)定一個(gè)顯著水平α.（5）接受域與拒絕域

應(yīng)用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其分布和顯著水平，可以求出小概率事件發(fā)生和不發(fā)生的臨界值，即引例中的.此數(shù)值將統(tǒng)計(jì)量可能取值劃分為兩部分，一部分是原假設(shè)成立的取值范圍，稱為接受域；另一部分是使小概率事件發(fā)生的統(tǒng)計(jì)量取值范圍，即拒絕原假設(shè)的范圍，稱為拒絕域，本書(shū)用W表示.3.假設(shè)檢驗(yàn)中的兩類錯(cuò)誤

第一類錯(cuò)誤是：在H0為真的情況下，樣本值落入拒絕域W，因而拒絕H0.這種錯(cuò)誤也稱為“拒真”錯(cuò)誤，犯這類錯(cuò)誤的概率是α.第二類錯(cuò)誤是：在H0為不真的情況下，樣本值落入接受域，因而接受H0.這種錯(cuò)誤也稱為“取偽”錯(cuò)誤，犯這類錯(cuò)誤的概率是β.（2）如何減小犯錯(cuò)誤的可能？

①犯兩類錯(cuò)誤的概率是相互關(guān)聯(lián)的.當(dāng)樣本容量n固定時(shí)，犯一類錯(cuò)誤的概率的減小將導(dǎo)致犯另一類錯(cuò)誤的概率增加.②要同時(shí)降低犯兩類錯(cuò)誤的概率，只有增大樣本容量n.在實(shí)際使用中，只能采取折中方案.一般地，先控制α值，再盡可能減少β值，并把這一檢驗(yàn)方法稱為顯著性水平為α的顯著性檢驗(yàn)，簡(jiǎn)稱水平為α的檢驗(yàn).4.假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟（1）提出假設(shè)：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題提出原假設(shè)H0和備擇假設(shè)H1，要求H0與H1有且僅有一個(gè)為真.（2）選統(tǒng)計(jì)量：選擇適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并在原假設(shè)H0成立的條件下確定該檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布.（3）求拒絕域：根據(jù)給定的顯著水平α，查檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布表，求出對(duì)應(yīng)于α的臨界值，從而得到對(duì)原假設(shè)H0的拒絕域W.（4）作出決策：計(jì)算樣本的統(tǒng)計(jì)量的值，若落入拒絕域W，則認(rèn)為H0不真，拒絕H0，接受備擇假設(shè)H1；否則，接受H0.1.u檢驗(yàn)（在其他書(shū)上也稱Z檢驗(yàn)）

（1）單正態(tài)總體，方差已知，均值的檢驗(yàn)(小樣本情況下)

22設(shè)x1，x2，?，xn為正態(tài)總體N（μ，σ）的一個(gè)樣本，σ已知，欲檢驗(yàn)假設(shè)H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0，其中，μ0為已知數(shù).可選擇統(tǒng)計(jì)量，并且，在H0成立的條件下，u～N（0，1）.當(dāng)給定的顯著水平為α?xí)r，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表求得臨界值絕域

.，從而得到拒（2）雙正態(tài)總體，方差已知，均值差的檢驗(yàn)(小樣本情況下)

設(shè)總體X～，Y～，其中，已知，又x1，x2，?，xm和y1，y2，?，yn分別為X和Y的樣本，且相互獨(dú)立.欲檢驗(yàn) H0：μ1=μ2，H1：μ1≠μ2.～.當(dāng)給定的顯著水平為α?xí)r，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表求得臨界值

.，從而得到拒絕域

（1）（2）由樣本觀察值計(jì)算統(tǒng)計(jì)量u的觀察值，若此數(shù)值落入拒絕域W內(nèi)，則作出拒絕H0的決策，否則，接受H0.2.t檢驗(yàn)

（1）單正態(tài)總體，方差未知，均值的檢驗(yàn)

22設(shè)x1，x2，?，xn為正態(tài)總體N（μ，σ）的一個(gè)樣本，σ未知，欲檢驗(yàn)假設(shè) H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0.其中，μ0為已知數(shù).2222由于σ未知，不能應(yīng)用u檢驗(yàn).但是，由點(diǎn)估計(jì)知，s是σ的無(wú)偏估計(jì)，考慮用s代替σ，構(gòu)造新的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 2

.當(dāng)給定的顯著水平為α?xí)r，查t分布表求得臨界值

.，從而得到拒絕域

由樣本觀察值計(jì)算統(tǒng)計(jì)量t的觀察值，若此數(shù)值落入拒絕域W內(nèi)，則作出拒絕H0的決策，否則，接受H0.（2）雙正態(tài)總體，方差未知，均值差的檢驗(yàn)

設(shè)總體X～Y的樣本，且相互獨(dú)立.① 方差未知，但

.欲檢驗(yàn)H0：μ1=μ2，H1：μ1≠μ2.構(gòu)造如下檢驗(yàn)統(tǒng)，Y～，x1，x2，?，xm和y1，y1，?，yn分別為X和計(jì)量

著水平為α?xí)r，查t分布表求得臨界值

～，從而得到拒絕域..當(dāng)給定的顯

由樣本觀察值計(jì)算統(tǒng)計(jì)量t的觀察值，若此數(shù)值落入拒絕域W內(nèi)，則作出拒絕H0的決策，否則，接受H0.（2）方差未知，但m=n（配對(duì)問(wèn)題）.欲檢驗(yàn)

H0：μ1=μ2，H1：μ1≠μ2.令 Zi=Xi-Yi，i＝1，2，?，n，由正態(tài)分布的可加性，Zi也服從正態(tài)分布總體的樣本，則有

E（Zi）=E（Xi-Yi）=μ1-μ2=d，2，上式中所設(shè)的d，σ均未知，但所設(shè)的假設(shè)等價(jià)于下述假設(shè)：H0：d=0，H1：d≠0.可構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，其中，.在H0為真，從而得到時(shí)，t～t（n-1）.當(dāng)給定的顯著水平為α?xí)r，查t分布表求得臨界值拒絕域

.由樣本觀察值計(jì)算統(tǒng)計(jì)量t的觀察值，若此數(shù)值落入拒絕域W內(nèi)，則作出拒絕H0的決策，否則，接受H0.1.檢驗(yàn)

單正態(tài)總體，均值未知，方差的檢驗(yàn)

設(shè)x1，x2，?，xn為正態(tài)總體N（μ，σ）的一個(gè)樣本，μ未知，欲檢驗(yàn)假設(shè)

HO：，H1：，其中，為已知數(shù).由點(diǎn)估計(jì)知，s是σ的無(wú)偏估計(jì)，2

2即當(dāng)HO為真時(shí)，s應(yīng)該在σ附近波動(dòng)，則22

應(yīng)該在1附近波動(dòng)；如果的值與1相比過(guò)大或過(guò)小，都應(yīng)否定HO，因此構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量.由§6.3定理可知，當(dāng)HO為真時(shí)，～.當(dāng)給定的顯著水平為α?xí)r，查 分布表求得臨界值

.與，從而得拒絕域

由樣本觀察值計(jì)算統(tǒng)計(jì)量策，否則，接受HO.2.F檢驗(yàn)

雙正態(tài)總體，均值未知，方差是否相等的檢驗(yàn)

設(shè)總體X～，Y～

：的觀察值，若此數(shù)值落入拒絕域W內(nèi)，則作出拒絕HO的決，x1，x2，?，xm和y，y2，?，yn分別為X和Y，：

.由于

和

分別為

和的樣本，且相互獨(dú)立.欲檢驗(yàn)假設(shè)的無(wú)偏估計(jì)，當(dāng)HO為真時(shí)，由§6.3定理的推論6－4可得到檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，當(dāng)HO為真時(shí)

.當(dāng)給定的顯著水平為α?xí)r，查F分布表求得臨界值與，從而得拒絕域.由樣本觀察值計(jì)算統(tǒng)計(jì)量F的觀察值，若此數(shù)值落入拒絕域W內(nèi)，則作出拒絕HO的決策，否則，接受HO.下面，討論單邊檢驗(yàn)問(wèn)題.（1）單正態(tài)總體，方差已知，均值μ的單邊檢驗(yàn)

設(shè)x1，x2，?，xn為正態(tài)總體X～N（μ，σ）的一個(gè)樣本，σ已知，欲檢驗(yàn)假設(shè)

HO：μ≤μO，H1：μ>μO，其中，μO為已知數(shù).由于是μ的無(wú)偏估計(jì)，故當(dāng)HO為真時(shí)，不應(yīng)過(guò)大，若u過(guò)大，應(yīng)拒絕HO，即，uα待定.根據(jù)前面講過(guò)的內(nèi)容知，～，故待定數(shù)值，即臨界值uα應(yīng)滿足

，其中，α為顯著水平，O<α<1.顯然，uα是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上，+∞）.α分位點(diǎn)，通過(guò)查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表求得，從而得到拒絕域 W=（類似地，對(duì)于單邊假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題： H0：μ≤μ0，H1：μ>μ0，仍取計(jì)量，得到拒絕域?yàn)?W=（-∞，）.為檢驗(yàn)統(tǒng)（2）對(duì)于單正態(tài)總體，方差未知的情況。

設(shè)x1，x2，?，xn為正態(tài)總體X～N（μ，σ）的一個(gè)樣本，σ未知，欲檢驗(yàn)假設(shè)

H0：，H1：

及 H0：，H1：，其中，為已知數(shù).仍選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量～，分別得到拒絕域 及.（3）兩個(gè)正態(tài)總體方差未知的情況。假設(shè)檢驗(yàn)見(jiàn)表8－4.第九章 回歸分析，這就是Y與x之間的線性關(guān)系經(jīng)驗(yàn)公式.我們稱此式為Y關(guān)于x的一元線性回歸方程，稱此方程的直線為回歸直線，稱線的截距

為回歸系數(shù)，稱

為回歸常數(shù)，它是回歸直

則有

其中，.若引進(jìn)記號(hào)，容易驗(yàn)證，β0，β1的最小二乘估計(jì)

（i），；，有如下性質(zhì)：

（ii），.由此結(jié)果知

，.

第二篇：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)重點(diǎn)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)重點(diǎn)

第一章：概率的性質(zhì)（尤其兩個(gè)事件的和，差公式和對(duì)立事件公式，獨(dú)立和互不相容的關(guān)系），全概率公式和貝葉斯公式（大題），獨(dú)立性。

第二章：離散型隨機(jī)變量的分布律的性質(zhì)，；連續(xù)性隨機(jī)變量的概率密度的性質(zhì)，分布函數(shù)的性質(zhì)，隨機(jī)變量的函數(shù)的分布（大題）。

第三章：給定聯(lián)合概率密度求未知參數(shù)，求邊緣概率密度，判斷獨(dú)立性，求落在某區(qū)域內(nèi)的概率（大題）。獨(dú)立的正態(tài)分布的線性組合仍然服從正態(tài)分布。

第四章：期望的性質(zhì)，方差的性質(zhì)，協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，獨(dú)立不相關(guān)的關(guān)系，六個(gè)基本分布的期望方差，切比雪夫不等式做估計(jì)，離散型二維分布求相關(guān)系數(shù)（大題）。

第五章：中心極限定理近似計(jì)算（Laplace中心極限定理）（大題）

第六章：三個(gè)抽樣分布的構(gòu)造，正態(tài)總體均值和方差的分布

第七章：點(diǎn)估計(jì)（尤其矩估計(jì)）（大題），單個(gè)正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)（大題），估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)（無(wú)偏性，有效性）

第八章：區(qū)分第一類、第二類錯(cuò)誤，單個(gè)正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)（大題）。

第三篇：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，運(yùn)籌學(xué)，計(jì)算數(shù)學(xué)，統(tǒng)計(jì)學(xué)，還有新增的應(yīng)用數(shù)學(xué)，每個(gè)學(xué)校情況不太一樣，每個(gè)導(dǎo)師研究的方向也不太一樣?？茨銏?bào)的哪個(gè)學(xué)校了~~ 贊同

數(shù)學(xué)的方向還是比較多的，比如金融，計(jì)算機(jī)，理科的方向 贊同

參看08年該校碩士招生簡(jiǎn)章中的專業(yè)目錄及參考書(shū)目，先做到心里有數(shù) 09年的在08年7、8月份才能出 每年新的招生簡(jiǎn)章都是在上一年的研究生招生錄取工作結(jié)束之后才能公布的 所以不要急 最早也要等到7月份 現(xiàn)在不要急 先按照08的看 一般兩三年之內(nèi)不會(huì)有什么變化 即使有 也是在原有基礎(chǔ)上 增加或改動(dòng)一兩本參考書(shū)的版本 不會(huì)有實(shí)質(zhì)性的變動(dòng) 而且 你如果現(xiàn)在就開(kāi)始準(zhǔn)備考研復(fù)習(xí)那就算比較早的了 一般從暑假開(kāi)始復(fù)習(xí)就可以的 所以這個(gè)時(shí)期是基礎(chǔ)段復(fù)習(xí)可把精力主要放在英語(yǔ)上 強(qiáng)化英語(yǔ)考研詞匯是非常必要的 至于專業(yè)課 可以先按08的指定參考書(shū)初步復(fù)習(xí)等新的招生簡(jiǎn)章出來(lái) 再進(jìn)行有針對(duì)性地復(fù)習(xí)不用擔(dān)心萬(wàn)一改動(dòng)了我會(huì)不會(huì)白白看了 以一個(gè)過(guò)來(lái)人的經(jīng)驗(yàn) 知識(shí)儲(chǔ)備的越多越好 名校的試題往往不局限于指定參考書(shū)的范圍（樓主既然這么問(wèn)了，這要好好慢慢的回答）

建議樓主考清華的經(jīng)濟(jì)學(xué)研究生，清華的工科類要強(qiáng)于北大（個(gè)人意見(jiàn)）；2，清華現(xiàn)在要考考A版的數(shù)學(xué)對(duì)你的有點(diǎn)好處，但影響不大，復(fù)試對(duì)你有利。3，清華的專業(yè)課考的難都因人而異，初試復(fù)試考一樣的專業(yè)課,包括金融學(xué)（含國(guó)際金融、證券投資、投資市場(chǎng)、保險(xiǎn)精算等，本專業(yè)所招人數(shù)最多）、國(guó)際經(jīng)貿(mào)（研究生階段叫做世界經(jīng)濟(jì)）、西方經(jīng)濟(jì)學(xué)、財(cái)政學(xué)、政治經(jīng)濟(jì)學(xué)專業(yè);報(bào)考時(shí)可以隨意報(bào)考自己喜歡的專業(yè)，錄取時(shí)先全院統(tǒng)一錄?。ò捶?jǐn)?shù)高低），再按分?jǐn)?shù)與志愿選擇；專業(yè)課考的不是很難；（建議樓主去看下金融學(xué)基礎(chǔ)，復(fù)旦大學(xué)出版社簡(jiǎn)稱白皮書(shū)，或許對(duì)你有幫助）4，清華經(jīng)濟(jì)就業(yè)形勢(shì)就目前環(huán)境下就業(yè)非常棒，中國(guó)才處于開(kāi)始階段，每年畢業(yè)生到各大銀行、金融機(jī)構(gòu)、保險(xiǎn)機(jī)構(gòu)、證券公司、財(cái)政貨幣機(jī)關(guān)、國(guó)家機(jī)關(guān)及高校任職，待遇非常之高！

網(wǎng)站，你可以試試去這里看看。在頁(yè)面中部的對(duì)話框輸入學(xué)?；?qū)I(yè)就可以任意查。在這里，你還可以查到任意學(xué)校的招生簡(jiǎn)章，復(fù)習(xí)指導(dǎo)，網(wǎng)上報(bào)名及其它重要信息。全國(guó)各校公布分?jǐn)?shù)線的時(shí)間也在這里最早發(fā)布。你可以試試，相信不會(huì)讓你失望。。

因你是轉(zhuǎn)專業(yè)，再給你一點(diǎn)個(gè)人建議吧

一、慎重選擇：不要輕易下決定

不斷地學(xué)習(xí)不同領(lǐng)域的知識(shí)，是所有有求知欲的人們的美好愿望，然而，這同樣會(huì)成為朝三暮四的借口。

其實(shí)，很多考研人本來(lái)就存有逃避現(xiàn)實(shí)社會(huì)的壓力，而選擇繼續(xù)呆在學(xué)校的心理;而在跨專業(yè)考研的人中，更有許多人根本就沒(méi)有好好學(xué)過(guò)原來(lái)的專業(yè)，甚至從沒(méi)認(rèn)真考慮過(guò)是否自己適合它，只為了逃避，才選個(gè)看起來(lái)容易的專業(yè)去考。

如果是這樣，請(qǐng)先停下來(lái)想想自己到底想要什么再說(shuō)。因?yàn)橐活w對(duì)待生活從不認(rèn)真的心，是不會(huì)因?yàn)閾Q了個(gè)專業(yè)就能有起色的。

如果不是這樣，那么，也請(qǐng)三思。就因?yàn)橐恢闭J(rèn)真，這次更要謹(jǐn)慎。

首先，考研復(fù)習(xí)將是艱巨的歷程。隔行如隔山——這句古諺將貫穿之后的整個(gè)求學(xué)過(guò)程。自己原來(lái)的專業(yè)，再不濟(jì)也學(xué)了三四年，耳濡目染，基礎(chǔ)知識(shí)一定比沒(méi)學(xué)過(guò)的扎實(shí)，細(xì)節(jié)也許沒(méi)鉆研，但大的格局和概念、思維方式是存在于腦海中的，即使是每次考前一個(gè)月的突擊，突擊了四年，也不是沒(méi)有用的。這就是本專業(yè)對(duì)于外專業(yè)的一大優(yōu)勢(shì)。反過(guò)來(lái)，即是跨專業(yè)者相對(duì)于本專業(yè)者的劣勢(shì)。

復(fù)習(xí)的時(shí)候，要花更多的時(shí)間在專業(yè)課上，使得基礎(chǔ)課很容易就被擱置了，而任何一科的掉隊(duì)，都會(huì)影響整個(gè)復(fù)習(xí)過(guò)程的心態(tài)和考試結(jié)果。

其次，備考中可能出現(xiàn)意想不到的困難。

不熟悉專業(yè)試題的答題慣例，會(huì)莫名其妙丟掉不該丟的分。而且，筆試通過(guò)了，復(fù)試中存在的不確定性因素，使跨專業(yè)者總是難以擁有“盡在掌握”的自信，而它確實(shí)也是難以“盡在掌握”的。

最后，也是最重要的，考上之后三年的研究生生活。

不管是面對(duì)基本功扎實(shí)的同學(xué)們，還是面對(duì)有一定要求和標(biāo)準(zhǔn)的導(dǎo)師，還是面對(duì)也許讓自己一時(shí)找不到坐標(biāo)點(diǎn)的新求學(xué)生涯——如何給自己定位，如何重拾自信，如何建立對(duì)新專業(yè)的“新感情”，如何規(guī)劃以后的職業(yè)和人生，這都是需要付出比別人更多心力去克服的問(wèn)題。所以，是否要轉(zhuǎn)變方向，換一個(gè)專業(yè)，需要尖銳嚴(yán)格地審視自身，而不是盲目跟風(fēng)，可以考慮以下幾點(diǎn)：

是否真正熱愛(ài)將要為之付出心血的新專業(yè)?

長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)看，這個(gè)新領(lǐng)域是否有自己的天賦和性格發(fā)揮的空間?

是否可以肯定學(xué)習(xí)三年之后真能豐富完善自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)，而不是剃頭擔(dān)子兩頭塌?最后也是最基本最當(dāng)前的問(wèn)題：基礎(chǔ)課是否有自身優(yōu)勢(shì)?沒(méi)有優(yōu)勢(shì)怎么撥得出更多的時(shí)間給專業(yè)課的復(fù)習(xí)?

二、審時(shí)度勢(shì)：了解自己，踏實(shí)去做

經(jīng)過(guò)了自我的拷問(wèn)，還堅(jiān)定地要跨專業(yè)考研的朋友——相信你一定是個(gè)頭腦清醒、夢(mèng)想堅(jiān)定的人。

在此，我們不得不再次強(qiáng)調(diào)跨專業(yè)考研的理由和標(biāo)準(zhǔn)：第一，熱愛(ài);第二，基于對(duì)自身才智和優(yōu)勢(shì)短處進(jìn)行全面評(píng)估而做出的決定;第三，要自信，更要不怕苦不怕累。

可以舉個(gè)例子。一個(gè)在學(xué)校并非不認(rèn)真對(duì)待自己學(xué)業(yè)的考研人，在經(jīng)過(guò)四年的學(xué)習(xí)之后，發(fā)現(xiàn)仍然不喜歡自己所學(xué)的數(shù)學(xué)專業(yè)，而愛(ài)好文史哲。如果基礎(chǔ)課英語(yǔ)政治還不錯(cuò)，那么他就具備了考慮跨專業(yè)考研的最低要求。那么，接下來(lái)怎么確定專業(yè)呢?首先，看愛(ài)好。對(duì)新聞傳播、考古、文學(xué)皆有興趣，怎么辦?一個(gè)一個(gè)排除。對(duì)于新聞，多搜集資料，看作為一個(gè)新聞工作者需要什么樣的素質(zhì)，比如，敏銳的新聞感、強(qiáng)烈的爭(zhēng)取和參與意識(shí)、健康的身體。直面自己的優(yōu)缺點(diǎn)，如果有敏銳的新聞感，卻沒(méi)有強(qiáng)烈的爭(zhēng)取和參與意識(shí)，甚至都無(wú)法面對(duì)需要長(zhǎng)時(shí)間的工作強(qiáng)度，那么放棄。對(duì)于考古，作同樣評(píng)估;另外，如果這時(shí)你的父母親反對(duì)你的考古夢(mèng)想，請(qǐng)把他們的憂慮考慮進(jìn)去，一意孤行并不可取，要考慮到家庭的實(shí)際情況;并且，父母也是了解你的人，他們對(duì)你的性格、天分其實(shí)很了解。那么如果你認(rèn)為父母意見(jiàn)的可接受性大過(guò)你對(duì)于考古的熱忱，考古這一項(xiàng)，也被劃去。最后剩下文學(xué)，如果經(jīng)過(guò)一系列評(píng)估，覺(jué)得可行，那么它之下還有很多專業(yè)細(xì)分，是中國(guó)文學(xué)還是世界、比較文學(xué)，是古代文學(xué)還是現(xiàn)當(dāng)代文學(xué)?要根據(jù)自己平時(shí)看書(shū)的偏好、積累的多少、考試試題能否應(yīng)付等等內(nèi)在和外在的因素來(lái)決定。這些將和下一部分聯(lián)系起來(lái)談。

這只是一個(gè)例子，跨專業(yè)的方向轉(zhuǎn)變五花八門，幾頁(yè)紙不可能描述詳盡，我們只能通過(guò)這個(gè)例子，了解一下需要考慮和平衡的各方面因素。

當(dāng)然，請(qǐng)牢記，內(nèi)心的熱愛(ài)和對(duì)自己學(xué)習(xí)能力的自信在選擇中最為重要。有了這兩點(diǎn)，相

信你的選擇會(huì)是對(duì)你而言最好的選擇。這將是一個(gè)美麗的決定，決定之后，一定有云開(kāi)見(jiàn)日的感覺(jué)。方向確定了，就朝著那兒毫不回頭地走吧。

三、報(bào)考準(zhǔn)備：眼觀六路，耳聽(tīng)八方

讓我們直接進(jìn)入主題。

第一，細(xì)分專業(yè)和學(xué)校，確定報(bào)考目標(biāo)。一定要看自己喜歡哪個(gè)城市，既然想借助這次的考研改變現(xiàn)狀開(kāi)始一段新的求學(xué)歷程，一直想去哪個(gè)(或哪些)城市念書(shū)就不要將就。圈出大致范圍，再找到那里學(xué)校的招生簡(jiǎn)章、專業(yè)招生表——網(wǎng)上查找或動(dòng)用一切關(guān)系。特別要注意的是，你有意向的專業(yè)是否拒絕跨專業(yè)考生。在進(jìn)行認(rèn)真細(xì)致的對(duì)比之下確定兩到三個(gè)你想去的名校和你喜歡的專業(yè)。這一步可以和前面確定城市同時(shí)進(jìn)行，每個(gè)人情況不同，自行制定每一步適合自己的計(jì)劃是必要的，而且能從中得到極大的充實(shí)感，總之，它讓我們感到：一切都在自己的控制之下。

然后，盡可能地多找一些這幾個(gè)可選學(xué)?？蛇x專業(yè)的歷年試題，仔細(xì)研究，看看哪一類的試題自己更有把握。這一步至關(guān)重要，這一步不可省略也不可推后，它將直接影響到以后的考試發(fā)揮。經(jīng)過(guò)這一步，學(xué)校和細(xì)分專業(yè)幾乎都能定下來(lái)了。

這一階段什么時(shí)候進(jìn)行呢?越早越好。我們不提倡把戰(zhàn)線拉得太長(zhǎng)，真正有效的復(fù)習(xí)從4月到次年1月足矣;然而跨專業(yè)不同，需要“醞釀”?？梢圆挥眠^(guò)早開(kāi)始真正的復(fù)習(xí)，但至少要比別人早兩個(gè)月到半年開(kāi)始尋找學(xué)校、涉獵與新專業(yè)相關(guān)的期刊、書(shū)籍、尋找對(duì)于新專業(yè)的親近感和對(duì)于新學(xué)校新未來(lái)的向往感——這是真正復(fù)習(xí)開(kāi)始的前站，用這段時(shí)間彌補(bǔ)跨專業(yè)的不足，在真正的戰(zhàn)役打響時(shí)，我們將更加堅(jiān)定更有信心。

第二，專業(yè)課教材到位。前面把工作真正做到細(xì)致，4月份到5月份一定要定下最終要考的學(xué)校和專業(yè)。定下之后，就要相信自己的判斷，不要猶疑，快去買專業(yè)課教材!按照學(xué)校列出的書(shū)目買全專業(yè)課教材，還要找出一兩個(gè)能幫上忙師兄師姐、找同學(xué)、找親戚，甚至找網(wǎng)友去打聽(tīng)沒(méi)有列出的那些。

這里有兩個(gè)問(wèn)題：買書(shū)和找?guī)熜謳熃恪约耗苜I到的書(shū)，盡量自己去買，有學(xué)?？梢脏]購(gòu)，有書(shū)店可以搜尋，再不行，去圖書(shū)館系統(tǒng)或網(wǎng)上找出這本書(shū)的出版社，找到出版社電話，打電話、匯款去郵購(gòu)。不要一開(kāi)始就事事麻煩別人，自己能解決的自己找渠道解決。后面有更重要的事去麻煩他們。實(shí)在不行了，去找?guī)熜謳熃悖钪匾氖菃?wèn)題要明確。隨便說(shuō)：“我要考你們學(xué)校某專業(yè)，請(qǐng)幫助我”是沒(méi)用的。要明確說(shuō)出你的具體問(wèn)題，要考哪些書(shū)，重點(diǎn)看哪些泛讀看哪些，打聽(tīng)到哪里能買到自己卻沒(méi)辦法，請(qǐng)他們幫忙——聽(tīng)到這么明確的問(wèn)題，人人都會(huì)樂(lè)意幫忙。6月底之前，主要的專業(yè)課教材一定要到位。

第三，復(fù)習(xí)時(shí)要注意的問(wèn)題。

首先，基礎(chǔ)課不能偏廢。前面說(shuō)了，基礎(chǔ)課要有一定把握，才可能跨專業(yè)考研，否則到關(guān)鍵時(shí)刻就會(huì)感到分身乏術(shù)。在主攻專業(yè)課時(shí)，基礎(chǔ)課一天都不能停?？梢杂迷绯俊⒊晕顼埱?、吃晚飯前以及睡覺(jué)前的時(shí)間去復(fù)習(xí)英語(yǔ)：閱讀、單詞、聽(tīng)力，一個(gè)都不能少。如果每天堅(jiān)持，就是這些邊邊角角的時(shí)間都足夠英語(yǔ)的復(fù)習(xí)準(zhǔn)備。政治也一樣，最好報(bào)一個(gè)秋季班，幾個(gè)月上下來(lái)，有老師領(lǐng)著復(fù)習(xí)，比自己摸索更有效率，大致的知識(shí)脈絡(luò)也會(huì)清晰起來(lái)了。請(qǐng)相信自己，從初中就開(kāi)始學(xué)的這門課，不會(huì)差到哪里去，但也要在心里培養(yǎng)對(duì)它的興趣，一討厭它、擱置一段日子，一切都晚了;反過(guò)來(lái)，每天花兩個(gè)小時(shí)，只要堅(jiān)持，就會(huì)既輕松又有成就感。

跨專業(yè)考生往往把一腔熱情放在專業(yè)課上，有意無(wú)意地就偏廢了基礎(chǔ)課，等發(fā)覺(jué)時(shí)間緊迫的時(shí)候，回頭一看基礎(chǔ)課落下一大截，這會(huì)大大影響后面沖刺和考試的信心。

其次，專業(yè)課復(fù)習(xí)。11月份報(bào)名之前一定要把專業(yè)書(shū)踏踏實(shí)實(shí)至少細(xì)讀一遍。這一遍不要欺騙自己，質(zhì)量至上，一定要全部弄通弄懂。這樣在后面的兩個(gè)月才會(huì)更有底。

筆記一定要做。當(dāng)11月報(bào)名時(shí)間來(lái)臨時(shí)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)越來(lái)越多的人們討論起復(fù)習(xí)進(jìn)度。那時(shí)候本專業(yè)考生和別的跨專業(yè)考生所做的準(zhǔn)備和進(jìn)度會(huì)讓你大驚失色——有那么多人準(zhǔn)備得那么好!本來(lái)就對(duì)不熟悉的專業(yè)容易產(chǎn)生的“心虛”這個(gè)時(shí)候會(huì)更加強(qiáng)烈，那么回過(guò)頭總結(jié)一下自己的成果，只有實(shí)實(shí)在在密密麻麻的幾本筆記會(huì)成為自己的強(qiáng)心劑，數(shù)數(shù)看，幾本筆記，七八萬(wàn)字是少不了的。加上政治英語(yǔ)，你會(huì)為自己所做的上10萬(wàn)字的筆記而驚訝的。這是積聚信心、抬頭挺胸的重要來(lái)源。

四、全力復(fù)習(xí)：堅(jiān)持到底，毫不畏懼

首先，研究歷年試題，自己劃重點(diǎn)。歷年試題非常非常重要，報(bào)名之前即11月初，一定要把學(xué)校相關(guān)專業(yè)的歷年試題弄到手。這需要積極調(diào)動(dòng)網(wǎng)絡(luò)資源，自己能下載的下載，能買到的去買，最后一招：求助師兄師姐。這時(shí)提出的請(qǐng)求也一樣要盡可能明確。有一個(gè)女生，考某大學(xué)某專業(yè)，通過(guò)同學(xué)的同學(xué)的姐姐，找到一位師姐，打電話給她：“我知道你們學(xué)校圖書(shū)館五樓的閱覽室有歷年試題的專柜，可以借出來(lái)復(fù)印。請(qǐng)幫忙復(fù)印某年到某年某專業(yè)的??”該師姐大驚：“我都不知道有這樣一個(gè)地方，你怎么知道的?”這個(gè)女生慢慢說(shuō)來(lái)，怎么從網(wǎng)上找到該學(xué)校專欄討論、怎么了解到的，師姐大開(kāi)眼界，興趣高漲，幫她把相關(guān)專業(yè)能找到的試題全都復(fù)印一通寄去。

接下來(lái)就是更仔細(xì)地研究試題。只需要一個(gè)晚上時(shí)間，把歷年試題全都擺在桌面，總結(jié)規(guī)律和重點(diǎn)難點(diǎn)，老師出題的習(xí)慣等等。借此可以劃出下一步復(fù)習(xí)的重點(diǎn)(甚至是考試的重點(diǎn))，不再一律通讀，而是有頭腦的、有目標(biāo)的復(fù)習(xí)。不要怕系內(nèi)老師改朝換代，再改也有一脈相承的科研風(fēng)格，掌握了大體，以不變應(yīng)萬(wàn)變。

劃完重點(diǎn)，一股“運(yùn)籌帷幄”的氣勢(shì)油然而生，趁著這股氣勢(shì)，投入到更深入的復(fù)習(xí)中去，一定事半功倍。

其次，為考試做準(zhǔn)備，掌握專業(yè)答題習(xí)慣。在剩下的兩個(gè)月當(dāng)中，一定要找點(diǎn)時(shí)間去學(xué)校的自己要考的專業(yè)宿舍混混，目的是了解專業(yè)答題有什么慣例、有什么特殊要求和需要注意的地方。隨便哪個(gè)學(xué)校都行，自己方便找的、正規(guī)的大學(xué)就可以;當(dāng)然，方便的話，最佳選擇就是所考學(xué)校研一同專業(yè)學(xué)生宿舍，這樣就不僅了解試題情況，還可以挖掘更多這兩個(gè)月應(yīng)該注意的問(wèn)題。

考試的時(shí)候，和復(fù)習(xí)中所強(qiáng)調(diào)的一樣——一定要自信。要相信自己經(jīng)過(guò)了周密的計(jì)劃、萬(wàn)全的準(zhǔn)備。拿到試卷的時(shí)候，要像熱愛(ài)專業(yè)書(shū)籍一樣熱愛(ài)它們，冷靜的頭腦，熱情的心靈，一定戰(zhàn)無(wú)不勝。

最后，就是復(fù)試了。關(guān)于導(dǎo)師是否要找，各有各的說(shuō)法，能找到最好，沒(méi)找過(guò)的也不用惴惴不安。相信自己最重要。

其實(shí)接到復(fù)試通知書(shū)的時(shí)候，一般都沒(méi)有更多時(shí)間去擴(kuò)展知識(shí)面了，這些是最初就應(yīng)該做的。這時(shí)候跨專業(yè)考生常常擔(dān)心自己的基礎(chǔ)不夠，再次心虛。那么與其瞎抓一把，不如把以前看過(guò)的書(shū)拿出來(lái)再翻一遍，總有用得上的，做生不如做熟。對(duì)于某些領(lǐng)域的熟悉或精通，比泛泛而談更能顯出自己的特色。用真誠(chéng)的微笑和哪怕是使勁鼓才能鼓起的信心和勇氣，去直面導(dǎo)師。好歹經(jīng)過(guò)這一年的學(xué)習(xí)，我們也算復(fù)合型人才了，怕什么!

說(shuō)到這里，整個(gè)過(guò)程看起來(lái)完了——其實(shí)沒(méi)有!拿到錄取通知書(shū)的時(shí)候，是一個(gè)開(kāi)始。

進(jìn)入研究生階段的學(xué)習(xí)，是一個(gè)更自主、更專業(yè)的學(xué)習(xí)過(guò)程，跨專業(yè)學(xué)生一踏入這片天地，肯定會(huì)受到?jīng)_擊。不熟悉的領(lǐng)域，老師覺(jué)得應(yīng)該是常識(shí)自己卻聞所未聞的知識(shí)，難以找到的新生活定位??這些都要有心理準(zhǔn)備。建議在5月到8月這段天堂般的生活中也不要忘記看看與專業(yè)相關(guān)的書(shū)籍(并非專業(yè)課本)，繼續(xù)打基礎(chǔ)，進(jìn)入研究生生活根本沒(méi)有時(shí)間給你去打基礎(chǔ)。

總之，對(duì)于勇敢的考研人，繼續(xù)用韌性和信心，在開(kāi)學(xué)前調(diào)養(yǎng)好身心，并不放棄不斷學(xué)習(xí)的好習(xí)慣，為進(jìn)入一個(gè)新的求學(xué)生涯做好準(zhǔn)備，都是必要的。相信這樣貫穿始終的準(zhǔn)備，一定會(huì)迎來(lái)新的局面，實(shí)現(xiàn)挑戰(zhàn)人生充實(shí)自己的夢(mèng)想。對(duì)生活認(rèn)真，生活也會(huì)認(rèn)真地回報(bào)你。要相信，要堅(jiān)持。

第四篇：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》公共基礎(chǔ)課教學(xué)實(shí)踐

1012502-31 湯建波

概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)在現(xiàn)實(shí)的牛產(chǎn)和生活中有著廣泛的應(yīng)用，因此，《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》作為公共課是很多專業(yè)所必修的。但是，由于這門課的學(xué)習(xí)方法與《微積分》《線性代數(shù)》等其他課程有著極大的差異，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中感到難以把握概念與理論，在遇到問(wèn)題時(shí)不知如何人手。因此，筆者在總結(jié)這幾年教學(xué)實(shí)踐的基礎(chǔ)上，提出以下思考。

一、適度引入案例。形成生動(dòng)教學(xué)及啟發(fā)性教學(xué)

概率論源于博弈，是賭博中的很多問(wèn)題催生了概率論這門數(shù)學(xué)學(xué)科。在開(kāi)課伊始，教師就適度引入觸發(fā)概率論的一些問(wèn)題，如“De．mere”問(wèn)題，“分賭金問(wèn)題”等等，使學(xué)生在故事中不僅得到r課本里所沒(méi)有的歷史知識(shí)，而且無(wú)形中可以提高學(xué)習(xí)興趣，消弭一部分同學(xué)的畏難情緒。另外，再在隨后的教學(xué)過(guò)程中引入“彩票中獎(jiǎng)問(wèn)題”“蒙特卡羅法求訂法”“保險(xiǎn)付賠問(wèn)題”等等，引導(dǎo)學(xué)生了解、探索這門學(xué)科在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用，使學(xué)乍實(shí)現(xiàn)由知識(shí)向能力的轉(zhuǎn)化，從而增強(qiáng)學(xué)，F(xiàn)利用概率統(tǒng)計(jì)解決實(shí)際問(wèn)題的“欲望”，促使他們更好地認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界。

概念是概率課程中最基本的內(nèi)容，對(duì)概念的理解程度直接影響學(xué)生對(duì)這門課程的學(xué)習(xí)與掌握程度。在教學(xué)中，應(yīng)盡量從實(shí)際問(wèn)題入手，先提出問(wèn)題，接著在問(wèn)題的分析和解決中抽象出概念，讓學(xué)生清楚概念的來(lái)龍去脈，而不是硬性給出定義，讓學(xué)生死記硬背。例如，在講述“事件”這個(gè)定義時(shí)，引入“衛(wèi)瞿嫦娥二號(hào)將于2010年10月1日發(fā)射”這一現(xiàn)實(shí)中的“事件”在概率論中應(yīng)該是“實(shí)驗(yàn)”，而其結(jié)果“發(fā)射成功”才能算是概率論所定義的“事件”，這樣，在區(qū)別現(xiàn)實(shí)的“事件”與概率論所研究的“事件”基礎(chǔ)上，學(xué)生加深了對(duì)“事件”這一定義的理解。在闡明相互獨(dú)立和互不相容之間的區(qū)別有P(A)>0，P(B)>0時(shí)，A、B相瓦獨(dú)屯與互不相容是不能同時(shí)成立的，直觀上可以這樣解釋：相互獨(dú)立意味這

4、B其中一方發(fā)生與否并不影響另一方的發(fā)生，而互不相容意味著A、B只要其中一方發(fā)生了，另一方就一定不發(fā)生，所以這兩個(gè)關(guān)系不能同時(shí)存在。從公式上解釋是：P(A)>0，P(B)>0且A、B相互獨(dú)立，則P(AB)=P(A)P(B)>0，而如果A、B互不相容，則P(AB)=P(西)=0。但是只要有一方的概率為0，如，如果A=西，則A與B既相互獨(dú)立又互不相容，因?yàn)榇藭r(shí)P(AB)=P(A)P(B)=0。綜上所述，相互獨(dú)立與互不相容并沒(méi)有必然的聯(lián)系。

而在區(qū)別“不相關(guān)”與“相互獨(dú)立”的區(qū)別時(shí)，可以通過(guò)舉例得知J]|f、y不相關(guān)不一定就獨(dú)立，因?yàn)閄、l，之間有可能存在其他的函數(shù)關(guān)系，但是存在函數(shù)關(guān)系的隨機(jī)變量是否就不獨(dú)立了呢？答案是未必，例子如下：

考察隨機(jī)變量X、l，和Z：假定x與l，獨(dú)立月．都服從參數(shù)為P的(0—1)分布，令z為x與y的函數(shù)：

可以得到當(dāng)P=1／2時(shí)，Z與X相互獨(dú)立。轉(zhuǎn)載于 無(wú)憂論文網(wǎng) http://004km.cn

通過(guò)這些舉例，避免了學(xué)生將“獨(dú)立”和“互不相容”等同起來(lái)，又說(shuō)明了“獨(dú)立”與“函數(shù)關(guān)系”之間的聯(lián)系。

二、課堂教學(xué)中注重?cái)?shù)學(xué)思想的教育。培養(yǎng)學(xué)生建模能力

概率統(tǒng)計(jì)中的很多問(wèn)題都可以歸結(jié)為同一類問(wèn)題，數(shù)學(xué)模型就是這類事物共同本質(zhì)的抽象?！皵?shù)學(xué)建?！笔侵笇?duì)于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對(duì)象，為了一個(gè)特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)模型在概率統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用隨處可見(jiàn)，模型化方法貫穿本課程全過(guò)程，因此，在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)該注意培養(yǎng)學(xué)生抽象出問(wèn)題的本質(zhì)以建立起一般的數(shù)學(xué)模型的能力。

如“將n只球隨機(jī)地放入Ⅳ(N大于等于n)個(gè)盒子中去，求每個(gè)盒子至多有一只球的概率”與“班級(jí)同學(xué)生日各不相同”具有相同的數(shù)學(xué)模型。另外，還有古典概型、貝努利概型、正態(tài)分布等等這些都是生產(chǎn)生活中抽象出來(lái)的，在很多問(wèn)題中都可以歸結(jié)為以上的模型。如以下兩個(gè)

：

例1，設(shè)有80臺(tái)同類型設(shè)備，各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率都是0．01，且一臺(tái)設(shè)備的故障能由一個(gè)人處理?？紤]兩種配備維修工人的方法，其一是由4人維護(hù)，每人負(fù)責(zé)20臺(tái)；其二是由3人共同維護(hù)80臺(tái)。試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率的大小。

例2，保險(xiǎn)公司在一天內(nèi)承保了5000張相同年齡、為期1年的壽險(xiǎn)保單，每人一份。在合同有效期內(nèi)若投保人死亡，則公司賠付3萬(wàn)元。設(shè)在一年內(nèi)，該年齡段的死亡率為0．0015，且各個(gè)投保人是否死亡相互獨(dú)立。求該公司對(duì)于這批投保人的賠付總額不超過(guò)30萬(wàn)元的概率。

以上兩個(gè)例子雖然不同，但都可以歸結(jié)為伯努利概型，利用二項(xiàng)分布解決。對(duì)這類模型，不應(yīng)簡(jiǎn)單地給出它的結(jié)果，而應(yīng)注秀模型的建立、模型的應(yīng)用范圍以及如何把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有關(guān)的數(shù)學(xué)模型去解決。

三、適度引入多媒體教學(xué)及數(shù)據(jù)處理軟件。促進(jìn)課堂教學(xué)手段多樣化

在概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中，實(shí)際題目信息及文字很多，“一支粉筆、一塊黑板，以講授為主”的傳統(tǒng)教學(xué)方法顯然已經(jīng)跟不上現(xiàn)代化的教學(xué)要求，不利于培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì)和創(chuàng)新能力。因此，有必要借助于現(xiàn)代化媒體技術(shù)和統(tǒng)計(jì)軟件，制作內(nèi)容、圖形、聲音、圖像等結(jié)合起來(lái)的多媒體課件?！矫妫捎枚嗝襟w教學(xué)手段進(jìn)行輔助教學(xué)，能夠?qū)⒔處煆暮芏嘀貜?fù)性的勞動(dòng)中解脫出來(lái)，教師可以將更多的精力和時(shí)間投入到如何分析和解釋問(wèn)題，以提高課堂效率，與學(xué)生有效地進(jìn)行課堂交流。另一方面，用圖形動(dòng)畫和模擬實(shí)驗(yàn)等多媒體作為輔助教學(xué)手段，便于學(xué)生對(duì)概念、圖形等的理解。如投幣試驗(yàn)、高爾頓板釘實(shí)驗(yàn)等小動(dòng)畫在不占用太多課堂時(shí)間的同時(shí)，又增添了課堂的趣味性。又如在利用Mathematica軟件演示大數(shù)定律和中心極限定理時(shí)，就能將抽象的定理化為形象的直觀認(rèn)識(shí)，達(dá)到一定的教學(xué)效果。在處理概率統(tǒng)計(jì)問(wèn)題中，教師也會(huì)面對(duì)大量的數(shù)據(jù)，另外，集數(shù)學(xué)計(jì)算、處理與分析為一身的數(shù)據(jù)處理軟件如：Excel，Matlab，Mathematic，SAS，SPSS等，在計(jì)算一些冗長(zhǎng)數(shù)據(jù)時(shí)可以簡(jiǎn)化計(jì)算，降低理論難度。而且，在教師的演示過(guò)程中，能讓學(xué)生初步了解如何應(yīng)用計(jì)算機(jī)及軟件，將所學(xué)的知識(shí)用于解決生產(chǎn)生活中的實(shí)際問(wèn)題，從而激發(fā)他們學(xué)習(xí)概率知識(shí)的熱情，提高他們利用計(jì)算機(jī)解決問(wèn)題的能力。

最后，在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)該考慮到各個(gè)專業(yè)的學(xué)生今后學(xué)習(xí)與發(fā)展的需要，在滿足教學(xué)大綱的要求下，選擇與其專業(yè)關(guān)系緊密的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行重點(diǎn)講授。同時(shí)，在講授過(guò)程中，本著以人為本的教學(xué)理念，注意多種方法靈活應(yīng)用，建立積極的互動(dòng)教學(xué)模式，盡量避免教師在課堂上滿堂灌、填鴨式地教學(xué)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，挖掘?qū)W生的學(xué)習(xí)潛能，最大限度地發(fā)揮和發(fā)展學(xué)生的聰明才智，使學(xué)生能理解概率統(tǒng)計(jì)這一學(xué)科領(lǐng)域思想方法的精髓。

論文參考文獻(xiàn)：

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[3] 徐鐘濟(jì)．蒙特卡羅方法[M]．上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1985：171—188．

[4] 郝曉斌，董西廣．?dāng)?shù)學(xué)建模思想在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)中的應(yīng)用[J]．經(jīng)濟(jì)研究導(dǎo)刊，2010，90(16)：244—245．

[5]徐榮聰，游華．(概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì))課程案例教學(xué)法[J]．寧德師專學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2008(2)：145—147．

第五篇：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

一、隨機(jī)事件和概率

考試內(nèi)容

隨機(jī)事件與樣本空間 事件的關(guān)系與運(yùn)算 完備事件組 概率的概念 概率的基本性質(zhì) 古典型概率 幾何型概率 條件概率 概率的基本公式 事件的獨(dú)立性 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)

考試要求

1．了解樣本空間(基本事件空間)的概念，理解隨機(jī)事件的概念，掌握事件的關(guān)系及運(yùn)算．

2．理解概率、條件概率的概念，掌握概率的基本性質(zhì)，會(huì)計(jì)算古典型概率和幾何型概率，掌握概率的加法公式、減法公式、乘法公式、全概率公式，以及貝葉斯(Bayes)公式．

3．理解事件獨(dú)立性的概念，掌握用事件獨(dú)立性進(jìn)行概率計(jì)算；理解獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概念，掌握計(jì)算有關(guān)事件概率的方法.二、隨機(jī)變量及其分布

考試內(nèi)容

隨機(jī)變量 隨機(jī)變量分布函數(shù)的概念及其性質(zhì) 離散型隨機(jī)變量的概率分布 連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度 常見(jiàn)隨機(jī)變量的分布 隨機(jī)變量函數(shù)的分布

考試要求

1．理解隨機(jī)變量的概念，理解分布函數(shù)的概念及性質(zhì)，會(huì)計(jì)算與隨機(jī)變量相聯(lián)系的事件的概率．

2．理解離散型隨機(jī)變量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二項(xiàng)分布、幾何分布、超幾何分布、泊松（Poisson）分布 及其應(yīng)用．

3.了解泊松定理的結(jié)論和應(yīng)用條件，會(huì)用泊松分布近似表示二項(xiàng)分布.4．理解連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度的概念，掌握均勻分布、正態(tài)分布、指數(shù)分布及其應(yīng)用，其中參數(shù)為 的指數(shù)分布 的概率密度為

5．會(huì)求隨機(jī)變量函數(shù)的分布．

三、多維隨機(jī)變量及其分布

考試內(nèi)容

多維隨機(jī)變量及其分布 二維離散型隨機(jī)變量的概率分布、邊緣分布和條件分布 二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度、邊緣概率密度和條件密度隨機(jī)變量的獨(dú)立性和不相關(guān)性 常用二維隨機(jī)變量的分布 兩個(gè)及兩個(gè)以上隨機(jī)變量簡(jiǎn)單函數(shù)的分布

考試要求

1．理解多維隨機(jī)變量的概念，理解多維隨機(jī)變量的分布的概念和性質(zhì).理解二維離散型隨機(jī)變量的概率分布、邊緣分布和條件分布，理解二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度、邊緣密度和條件密度，會(huì)求與二維隨機(jī)變量相關(guān)事件的概率．

2．理解隨機(jī)變量的獨(dú)立性及不相關(guān)性的概念，掌握隨機(jī)變量相互獨(dú)立的條件.3．掌握二維均勻分布，了解二維正態(tài)分布的概率密度，理解其中參數(shù)的概率意義．

4．會(huì)求兩個(gè)隨機(jī)變量簡(jiǎn)單函數(shù)的分布，會(huì)求多個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量簡(jiǎn)單函數(shù)的分布.四、隨機(jī)變量的數(shù)字特征

考試內(nèi)容

隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（均值）、方差、標(biāo)準(zhǔn)差及其性質(zhì) 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 矩、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)及其性質(zhì)

考試要求

1．理解隨機(jī)變量數(shù)字特征（數(shù)學(xué)期望、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、矩、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)）的概念，會(huì)

運(yùn)用數(shù)字特征的基本性質(zhì)，并掌握常用分布的數(shù)字特征．

2.會(huì)求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望.五、大數(shù)定律和中心極限定理

考試內(nèi)容

切比雪夫（Chebyshev）不等式 切比雪夫大數(shù)定律 伯努利（Bernoulli)大數(shù)定律 辛欽（Khinchine）大數(shù)定律 棣莫弗－拉普拉斯（De Moivre－laplace）定理 列維－林德伯格（Levy-Lindberg）定理

考試要求

1．了解切比雪夫不等式．

2．了解切比雪夫大數(shù)定律、伯努利大數(shù)定律和辛欽大數(shù)定律(獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列的大數(shù)定律)．

3．了解棣莫弗-拉普拉斯定理(二項(xiàng)分布以正態(tài)分布為極限分布)和列維-林德伯格定理(獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列的中心極限定理)．

六、數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念

考試內(nèi)容

總體 個(gè)體 簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本 統(tǒng)計(jì)量 樣本均值 樣本方差和樣本矩分布分布分布 分位數(shù) 正態(tài)總體的常用抽樣分布

考試要求

1．理解總體、簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本、統(tǒng)計(jì)量、樣本均值、樣本方差及樣本矩的概念，其中樣本方差定義為：

2．了解 分布、分布和 分布的概念及性質(zhì)，了解上側(cè) 分位數(shù)的概念并會(huì)查表計(jì)算．

3．了解正態(tài)總體的常用抽樣分布．

七、參數(shù)估計(jì)

考試內(nèi)容

點(diǎn)估計(jì)的概念 估計(jì)量與估計(jì)值 矩估計(jì)法 最大似然估計(jì)法 估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn) 區(qū)間估計(jì)的概念 單個(gè)正態(tài)總體的均值和方差的區(qū)間估計(jì) 兩個(gè)正態(tài)總體的均值差和方差比的區(qū)間估計(jì)

考試要求

1．理解參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)、估計(jì)量與估計(jì)值的概念．

2．掌握矩估計(jì)法（一階矩、二階矩）和最大似然估計(jì)法．

3．了解估計(jì)量的無(wú)偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并會(huì)驗(yàn)證估計(jì)量的無(wú)偏性．

4、理解區(qū)間估計(jì)的概念，會(huì)求單個(gè)正態(tài)總體的均值和方差的置信區(qū)間，會(huì)求兩個(gè)正態(tài)總體的均值差和方差比的置信區(qū)間.八、假設(shè)檢驗(yàn)

考試內(nèi)容

顯著性檢驗(yàn) 假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤 單個(gè)及兩個(gè)正態(tài)總體的均值和方差的假設(shè)檢驗(yàn)

考試要求

1．理解顯著性檢驗(yàn)的基本思想，掌握假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟，了解假設(shè)檢驗(yàn)可能產(chǎn)生的兩類錯(cuò)誤．

2．掌握單個(gè)及兩個(gè)正態(tài)總體的均值和方差的假設(shè)檢驗(yàn)．

數(shù)學(xué)大綱和去年相比變化之處

從拿到大綱的情況來(lái)說(shuō)，今年的大綱和往年是沒(méi)有什么變化，這一點(diǎn)和我前面所預(yù)測(cè)的是基本上一致的。當(dāng)然大綱沒(méi)有變化，對(duì)大家也有一個(gè)好處，也就是大家可以按照原先的計(jì)劃，按步就班的走，不用考慮有一些計(jì)劃

調(diào)整等等這樣一類的東西。

2011年考試的難度是有一個(gè)怎樣的趨勢(shì)

至于難度，咱們要說(shuō)2011年的難度，可以看一下這幾年的難度水平。數(shù)一2008，2009年的難度水平基本上是一致的，2010年的考試難度有一定的上升，我認(rèn)為2011年難度水平應(yīng)該有所下降。大綱沒(méi)有變，而考研是一個(gè)選拔性的考試，要求有一定的穩(wěn)定性。所以，數(shù)一的同學(xué)，2011年的考試試題難度可能有所下降，水平和2008，2009是一致的。對(duì)數(shù)二和數(shù)三來(lái)說(shuō)，水平應(yīng)該和往年基本上是一致的。

2011年的考察重點(diǎn)會(huì)在哪個(gè)方面

由于今年考研大綱沒(méi)有變化，我們可以根據(jù)考試的一些要求，還有歷年考試真題的情況，咱們可以看一下歷

年考試的重難點(diǎn)。

咱們看高等數(shù)學(xué)部分，高等數(shù)學(xué)部分第一部分函數(shù)、極限連續(xù)這一塊，重點(diǎn)要求掌握兩個(gè)重要極限，未定式的極限、等價(jià)無(wú)窮小代換，這樣一些東西，還有一些極限存在性問(wèn)題，間斷點(diǎn)的類型，這些東西在歷年的考察中都比較高，而我上課的時(shí)候一直給大家強(qiáng)調(diào)，考極限的話，主要考的是洛必達(dá)法則加等價(jià)無(wú)窮小代換，特別針對(duì)

數(shù)三的同學(xué)，這兒可能出大題。

第二部分是一元函數(shù)微分學(xué)，這塊大家主要處理這幾個(gè)關(guān)系，連續(xù)性，可導(dǎo)性和可微性的關(guān)系，掌握各種函數(shù)的求導(dǎo)方法。比如隱函數(shù)求導(dǎo)，參數(shù)方程求導(dǎo)等等這一類的，還有注意一元函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，這也是歷年考試的一個(gè)重點(diǎn)。數(shù)三的同學(xué)這兒結(jié)合經(jīng)濟(jì)類的一些試題進(jìn)行考察。

一元函數(shù)微分學(xué)涉及面非常廣，題型比較多，而且這一部分還有一個(gè)比較重點(diǎn)的內(nèi)容，就是出證明題。咱們知道中值定理是歷年經(jīng)?？嫉囊粋€(gè)考點(diǎn)，所用的主要方式就是構(gòu)造輔助函數(shù)的方法進(jìn)行證明。當(dāng)然，這里還包含

一部分等式和不等式的證明，零點(diǎn)問(wèn)題，以及極值和凹凸性。

多元函數(shù)微分學(xué)，這一塊內(nèi)容實(shí)際上也是按照一元函數(shù)微分學(xué)的形式進(jìn)行考察的，比如咱們求偏導(dǎo)數(shù)，先固定一個(gè)變量，給另一個(gè)變量求導(dǎo)數(shù)，歸根到底還是考察一元函數(shù)微分學(xué)。對(duì)多元函數(shù)微分學(xué)，大家還有一個(gè)內(nèi)容

要掌握，連續(xù)性、偏導(dǎo)性和可微性，特別是抽象函數(shù)求二階導(dǎo)數(shù)和二階混合偏導(dǎo)這一類的題。

當(dāng)然，還有一個(gè)問(wèn)題，多元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用，主要牽扯兩方面，一個(gè)是條件極值，一個(gè)是最值問(wèn)題。這兩

塊。

積分學(xué)包含兩塊，也就是一元函數(shù)積分學(xué)和多元函數(shù)積分學(xué)，對(duì)于一元函數(shù)積分學(xué)一個(gè)是不定積分和定積分的計(jì)算，對(duì)不定積分一定要非常熟練掌握基本運(yùn)算，對(duì)于定積分除了掌握用不定積分計(jì)算的方式，還要注意用定

積分的性質(zhì)，比如定積分的奇偶性，周期性，單調(diào)性等等。

還有一塊，定積分應(yīng)用，主要考察面積問(wèn)題，體積問(wèn)題，或者說(shuō)這塊和微積分的結(jié)合等等。對(duì)于數(shù)一的同學(xué)來(lái)說(shuō)，咱們還牽扯到一塊，三重積分，曲線和曲面積分這兩塊，對(duì)于三重積分來(lái)說(shuō)，大家主要掌握一些基本的，比如對(duì)球體、錐體、圓柱的積分，對(duì)于曲線和曲面積分主要掌握格林公式和高斯公式，利用格林公式把第二類曲線積分轉(zhuǎn)化成二重積分，利用高斯公式把曲面積分轉(zhuǎn)化成三重積分進(jìn)行運(yùn)算，這里有一個(gè)比較常考的知識(shí)點(diǎn)，曲

線積分與路徑無(wú)關(guān)，這個(gè)要作為一個(gè)主要的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行掌握。

第四部分，就是微分方程，微分方程有兩個(gè)重點(diǎn)，一個(gè)是一元線性微分方程，第二個(gè)是二階常系數(shù)齊次/非齊次線性微分方程，對(duì)第一部分，大家掌握九種小類型，針對(duì)每一種小類型有不同的解題方式，針對(duì)每個(gè)不同的方程，套用不同的公式就行了。對(duì)于二階常系數(shù)線性微分方程大家一定要理解解的結(jié)構(gòu)。另一塊對(duì)于非齊次的方程來(lái)說(shuō)，大家要注意它和特征方程的聯(lián)系，有齊次為方程可以求它的通解，當(dāng)然給出的通解大家也要寫出它的特征

方程，這個(gè)變化是咱們這幾年的一個(gè)趨勢(shì)。這一類問(wèn)題就是逆問(wèn)題。

對(duì)于二階常系數(shù)非齊次的線性方程大家要分類掌握。當(dāng)然，這一塊對(duì)于數(shù)三的同學(xué)來(lái)說(shuō)，還有一個(gè)差分方程的問(wèn)題，差分方程不作為咱們的一個(gè)重點(diǎn)，而且提醒大家一下，學(xué)習(xí)的時(shí)候要注意，差分方程的解題方式和微方

程是相似的，學(xué)習(xí)的時(shí)候要注意這一點(diǎn)。

第五個(gè)，級(jí)數(shù)問(wèn)題，主要針對(duì)數(shù)一和數(shù)三，有兩個(gè)重點(diǎn)，一個(gè)是常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)，包括斂散性。

第二塊，牽扯到冪級(jí)數(shù)，大家要熟練掌握冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間的計(jì)算，收斂半徑與和函數(shù)，冪級(jí)數(shù)展開(kāi)的問(wèn)題，要掌握一個(gè)熟練的方法來(lái)進(jìn)行計(jì)算。對(duì)于冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)它可能直接給咱們一個(gè)冪級(jí)數(shù)求它的和函數(shù)或者給出一

個(gè)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)讓咱們求它的和，要轉(zhuǎn)化成適當(dāng)?shù)膬缂?jí)數(shù)來(lái)進(jìn)行求和。

關(guān)于線性代數(shù)這一塊，有這樣幾個(gè)重點(diǎn)的內(nèi)容，一個(gè)是逆矩陣和矩陣的秩。第二個(gè)，向量的線性相關(guān)性和向量的線性表示。向量組合的相關(guān)性，這一塊極有可能考的類似于計(jì)算的證明題。比如讓咱們證明幾個(gè)向量線性無(wú)關(guān)。第三塊是方程組的解的討論，其中還包括有待定參數(shù)的解的討論，這塊的問(wèn)題，往年也考得比較多。

第四塊特征值和特征向量的性質(zhì)，以及矩陣的對(duì)角化。

第五塊，正定二次型的判斷。大家在學(xué)線代的時(shí)候，還要注意一個(gè)方向，就是線性代數(shù)各個(gè)章節(jié)的連貫性是比較強(qiáng)的，我們?cè)趶?fù)習(xí)總結(jié)的時(shí)候，特別是后期，對(duì)于這一塊內(nèi)容要自己有一個(gè)總結(jié)，然后還可以看一看比如咱

們的復(fù)習(xí)全書(shū)或者復(fù)習(xí)指南這之類的書(shū)，在腦海中對(duì)線性參數(shù)的知識(shí)點(diǎn)要形成一個(gè)知識(shí)性框架。

概率統(tǒng)計(jì)這塊（數(shù)二不考），概率統(tǒng)計(jì)要注重這幾塊內(nèi)容，一個(gè)是概率的性質(zhì)與概率的公式，這一塊要求咱們非常熟練的掌握，比方說(shuō)加法公式，減法公式，乘法公式，全概率公式和Bayes公式，這塊要非常熟悉的掌握。

還有一部分，古典概率和幾何概率，這塊大家掌握中等難度的題就可以了。

第二塊，一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布，這個(gè)要重點(diǎn)掌握連續(xù)性變量的這一塊。這里面有個(gè)難點(diǎn)，一維隨機(jī)變量函數(shù)這是一個(gè)難點(diǎn)，求一元隨機(jī)變量函數(shù)的分布有兩種方式，一個(gè)是分布函數(shù)法，這是最基本要掌握的。另外是

公式法，公式法相對(duì)比較便捷，但是應(yīng)用范圍有一定的局限性。

第三塊，多維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布和邊緣分布還有條件分布，多維隨機(jī)變量的獨(dú)立性，這塊是考試的重點(diǎn)，當(dāng)然也是一個(gè)難點(diǎn)。這塊還有一個(gè)問(wèn)題要求大家掌握的，隨機(jī)變量的和函數(shù)和最值函數(shù)的分布。

第四塊，隨機(jī)變量的數(shù)字特征，這塊很重要，要記住一維隨機(jī)變量的數(shù)字特征都要記熟，數(shù)字特征很少單獨(dú)性考察，往往和前面的一維隨機(jī)變量函數(shù)和多維隨機(jī)變量函數(shù)和第六章的數(shù)理統(tǒng)計(jì)結(jié)合進(jìn)行考察。特別針對(duì)數(shù)一的同學(xué)來(lái)說(shuō)，考察矩估計(jì)和最大似然估計(jì)的時(shí)候會(huì)考察無(wú)偏性。

第五塊，參數(shù)估計(jì)這一點(diǎn)是咱們經(jīng)常出大題的地方，這一塊對(duì)咱們數(shù)一，數(shù)二，數(shù)三的同學(xué)，包含兩塊知識(shí)點(diǎn)，一個(gè)是矩估計(jì)，一個(gè)是最大似然估計(jì)，這兩個(gè)集中出大題。數(shù)一的同學(xué)，咱們特別強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)，考這個(gè)矩估計(jì)

或者最大似然估計(jì)，極有可能結(jié)合無(wú)偏性或者有效性進(jìn)行考察。