第一篇：高二數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)與反思必修5余弦定理

愚者用肉體監(jiān)視心靈，智者用心靈監(jiān)視肉體。

高二數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)與反思必修5余弦定理

一、教學(xué)內(nèi)容與內(nèi)容解析：

人教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·必修

（五）》（第2版）第一章《解三角形》第一單元第二課《余弦定理》

通過(guò)利用向量的數(shù)量積方法推導(dǎo)余弦定理 正確理解其結(jié)構(gòu)特征和表現(xiàn)形式

解決“邊、角、邊”和“邊、邊、邊”問(wèn)題 初步體會(huì)余弦定理解決“邊、邊、角” 體會(huì)方程思想 激發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)的潛能

二、教學(xué)目標(biāo)與目標(biāo)解析：

掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法

并會(huì)運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問(wèn)題；利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論 并通過(guò)實(shí)踐演算掌握運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問(wèn)題；培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問(wèn)題的運(yùn)算能力；通過(guò)三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的關(guān)系 來(lái)理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一

三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析：

余弦定理是關(guān)于三角形的邊角關(guān)系的結(jié)論 利用向量數(shù)量積推導(dǎo)余弦定理是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn) 學(xué)生不容易想到和理解起來(lái)困難因此 應(yīng)注意加強(qiáng)前后知識(shí)的聯(lián)系

重視與內(nèi)容密切相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)

并且在提出問(wèn)題、思考解決問(wèn)題的策略等方面對(duì)學(xué)生進(jìn)行具體示范、引導(dǎo) 總體上學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的意識(shí)不強(qiáng) 創(chuàng)造力較弱

看待與分析問(wèn)題不深入 知識(shí)的系統(tǒng)性不完善

使得學(xué)生在余弦定理推導(dǎo)方法的探求上有一定的難度 在發(fā)掘出余弦定理的結(jié)構(gòu)特征、表現(xiàn)形式的數(shù)學(xué)美時(shí)

能夠激發(fā)學(xué)生熱愛(ài)數(shù)學(xué)的思想感情；從具體問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)的本質(zhì) 應(yīng)用方程的思想去審視

解決問(wèn)題是學(xué)生學(xué)習(xí)的一大難點(diǎn)

四、教學(xué)支持條件分析：

“余弦定理”是人教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·必修

（五）》（第2版）第一章《解三角形》第一單元第二課

是解決有關(guān)斜三角形問(wèn)題的兩個(gè)重要定理之一 也是初中“勾股定理”內(nèi)容的直接延拓

它是三角函數(shù)一般知識(shí)和平面向量知識(shí)在三角形中的具體運(yùn)用

是解可轉(zhuǎn)化為三角形計(jì)算問(wèn)題的其它數(shù)學(xué)問(wèn)題及生產(chǎn)、生活實(shí)際問(wèn)題的重要工具 因此具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值

本節(jié)課是“正弦定理、余弦定理”教學(xué)的第二節(jié)課 其主要任務(wù)是引入并證明余弦定理 在課型上屬于“定理教學(xué)課” 本課之前

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、向量基 用向量方法探求余弦定理 學(xué)生已有一定的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)興趣 做好“余弦定理”的教學(xué) 不僅能復(fù)習(xí)鞏固舊知識(shí) 使學(xué)生掌握新的有用的知識(shí) 體會(huì)聯(lián)系、發(fā)展等辯證觀點(diǎn)

而且能培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和實(shí)踐操作能力 以及提出問(wèn)題、解決問(wèn)題等研究性學(xué)習(xí)的能力

五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)： 教 學(xué) 過(guò) 程

Ⅰ課題導(dǎo)入

如圖1．1-4 在ABC中 設(shè)BC=a AC=b AB=c 已知a b和C 求邊c C b a

A c B

(圖1．1-4)Ⅱ.講授新課 [探索研究]

聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過(guò)知識(shí)和方法 可用什么途徑來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題？ 用正弦定理試求 發(fā)現(xiàn)因A、B均未知 所以較難求邊c 由于涉及邊長(zhǎng)問(wèn)題

從而可以考慮用向量來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題

A

C B(圖1．1-5)如圖1．1-5 設(shè)

那么

則

從而 同理可證

于是得到以下定理

余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍 即

思考：這個(gè)式子中有幾個(gè)量？從方程的角度看已知其中三個(gè)量 可以求出第四個(gè)量 能否由三邊求出一角？（由學(xué)生推出）從余弦定理 又可得到以下推論： ；；

[理解定理]

從而知余弦定理及其推論的基本作用為：

①已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊； ②已知三角形的三條邊就可以求出其它角

思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系 余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系 如何看這兩個(gè)定理之間的關(guān)系？（由學(xué)生總結(jié)）若ABC中 C= 則 這時(shí)

由此可知余弦定理是勾股定理推廣 勾股定理是余弦定理特例

[例題分析] 例1．在ABC中 已知

求b及A ⑴解：∵

=cos

==∴ 求可以利用余弦定理 也可以利用正弦定理： ⑵解法一： cos ∴

解法二：∵sin 又∵＞＜ ∴＜ 即＜＜∴

評(píng)述：解法二應(yīng)注意確定A的取值范圍

例2．在ABC中 已知

解三角形（見(jiàn)課本第8頁(yè)例4 可由學(xué)生通過(guò)閱讀進(jìn)行理解）解：由余弦定理的推論得：

cos ；

cos ；

Ⅲ.課堂練習(xí)：第8頁(yè)練習(xí)第1（1）、2（1）題

[補(bǔ)充練習(xí)]在ABC中 若 求角A

Ⅳ.課時(shí)小結(jié)

（1）余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律 勾股定理是余弦定理的特例；

（2）余弦定理的應(yīng)用范圍：①．已知三邊求三角；②．已知兩邊及它們的夾角 求第三邊

課后反思

附表：（板書設(shè)計(jì)）

六、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)：

正弦定理是否能解決已知兩邊和夾角求其它邊角的問(wèn)題嗎？ 預(yù)測(cè)結(jié)果: 不能

因?yàn)槿我坏忍?hào)兩邊都有兩個(gè)未知量

所以正弦定理不能解決已知兩邊和夾角求其它第三邊的問(wèn)題

七、反思預(yù)期效果：

1.本課從解三角形的問(wèn)題出發(fā) 提出解題需要 引發(fā)認(rèn)知沖突

激起學(xué)生的求知欲望

調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性；2.在定理證明的教學(xué)中

引導(dǎo)學(xué)生從平面幾何、向量知識(shí)、坐標(biāo)法等方面進(jìn)行分析討論 引導(dǎo)學(xué)生用向量知識(shí)推導(dǎo)出公式 之后又對(duì)知識(shí)進(jìn)行了歸納比較 發(fā)現(xiàn)特征 便于學(xué)生識(shí)記

同時(shí)指出了勾股定理是余弦定理的特殊情形 提高了學(xué)生的思維層次

但是由于學(xué)生對(duì)向量知識(shí)的遺忘 所以在推導(dǎo)余弦定理時(shí)

學(xué)生理解起來(lái)相對(duì)比較困難；3.教學(xué)目標(biāo)能基本完成 學(xué)生能做到獨(dú)立完成課后習(xí)題 但在公式的應(yīng)用上還欠缺靈活性 涉及的三角函數(shù)求值還需加強(qiáng)

第二篇：《余弦定理》教學(xué)反思

本節(jié)課是高中數(shù)學(xué)教材北師大版必修5第二章《解三角形》余弦定理的第一課時(shí)內(nèi)容，《課程標(biāo)準(zhǔn)》和教材把解三角形這部分內(nèi)容安排在必修5，位置相對(duì)靠后，在此前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、平面向量、直線和圓的方程等與本章知識(shí)聯(lián)系密切的內(nèi)容，使得這部分知識(shí)的處理有了比較多的工具，某些內(nèi)容處理的更加簡(jiǎn)潔。學(xué)數(shù)學(xué)的最終目的是應(yīng)用數(shù)學(xué)，可是比較突出的是，學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)不強(qiáng)，創(chuàng)造能力弱，往往不能把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，不能把所學(xué)的知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中去，盡管對(duì)一些常見(jiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題解法的能力較強(qiáng)，但當(dāng)面臨一種新的問(wèn)題時(shí)卻辦法不多，對(duì)于諸如觀察、分析、歸納、類比、抽象、概括、猜想等發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的思維方法了解不夠，針對(duì)這些情況，教學(xué)中要重視從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，引入數(shù)學(xué)課題，最后把數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題。

余弦定理是關(guān)于任意三角形邊角之間的另一定理，是解決有關(guān)三角形問(wèn)題與實(shí)際問(wèn)題（如測(cè)量等）的重要定理，它將三角形的邊角有機(jī)的結(jié)合起來(lái)，實(shí)現(xiàn)了邊與角的互化，從而使三角和幾何有機(jī)的結(jié)合起來(lái)，為求與三角形有關(guān)的問(wèn)題提供了理論依據(jù)。

教科書直接從三角形三邊的向量出發(fā)，將向量等式轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，得到余弦定理，言簡(jiǎn)意賅，簡(jiǎn)潔明快，但給人感覺(jué)似乎跳躍較大，不夠自然，因此在創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境中加了一個(gè)鋪墊，即讓學(xué)生想用向量方法證明勾股定理，再由特殊到一般，將直角三角形推廣為任意三角形，余弦定理水到渠成，并與勾股定理統(tǒng)一起來(lái)，這一嘗試是想回答：一個(gè)結(jié)論源自何處，是怎樣想到的。正弦定理和余弦定理源于向量的加減法運(yùn)算，其實(shí)向量的加減法的三角法則和平行四四邊形法則從形上揭示了三角形的邊角關(guān)系，而正弦定理與余弦定理是從數(shù)量關(guān)系上揭示了三角形的邊角關(guān)系，向量的數(shù)量積則打通了三角形邊角的數(shù)形聯(lián)系，因此用向量方法證明正、余弦定理比較簡(jiǎn)潔，在證明余弦定理時(shí)，讓學(xué)生自主探究，尋找新的證法，拓展思維，打通余弦定理與正弦定理、向量、解析幾何、平面幾何的聯(lián)系，在比較各種證法后體會(huì)到向量證法的優(yōu)美簡(jiǎn)潔，使知識(shí)交融、方法熟練、能力提升。

數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目標(biāo)是激發(fā)學(xué)生的潛能，教會(huì)學(xué)生思考，讓學(xué)生變得聰明，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，具有創(chuàng)新品質(zhì)，具備數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)是題中之義，想一想，成人工作以后，有多少人會(huì)再用到余弦定理，但圍繞余弦定理學(xué)生學(xué)到的發(fā)現(xiàn)方法、思維方式、探究創(chuàng)造與數(shù)學(xué)精神則會(huì)受用不盡。數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)首先應(yīng)圍繞培養(yǎng)學(xué)生興趣、激發(fā)原動(dòng)力，讓學(xué)生想學(xué)數(shù)學(xué)這門課，同時(shí)指導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般方法，具備終身學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。教師要不斷提出好的數(shù)學(xué)問(wèn)題，還要教會(huì)學(xué)生提出問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的意識(shí)和方法，并逐步將發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的意識(shí)變成直覺(jué)和習(xí)慣，在本節(jié)課中，通過(guò)余弦定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、類比、發(fā)現(xiàn)、推理的能力，學(xué)生在教師引導(dǎo)下，自主思考、探究、小組合作相互交流啟發(fā)、思維碰撞，尋找不同的證明方法，既培養(yǎng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，同時(shí)掌握了學(xué)習(xí)概念、定理的基本方法，增強(qiáng)了學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)。其次，掌握正確的學(xué)習(xí)方法，沒(méi)有正確的學(xué)習(xí)方法，興趣不可能持久，概念、定理、公式、法則的學(xué)習(xí)方法是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要方法，學(xué)習(xí)的過(guò)程就是知其然，知其所以然、舉一反三的過(guò)程，學(xué)習(xí)余弦定理的過(guò)程正是指導(dǎo)學(xué)生掌握學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的良好學(xué)習(xí)方法的范例，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)余弦定理的來(lái)龍去脈，掌握余弦定理證明方法，理解余弦定理與其他知識(shí)的密切聯(lián)系，應(yīng)用余弦定理解決其他問(wèn)題。在余弦定理教學(xué)中，尋求一題多解，探究證明余弦定理的多種方法，指導(dǎo)一題多變，改變余弦定理的形式，如已知兩邊夾角求第三邊的公式、已知三邊求角的余弦值的公式，啟發(fā)學(xué)生一題多想，引導(dǎo)學(xué)生思考余弦定理與正弦定理的聯(lián)系，與勾股定理的聯(lián)系、與向量的聯(lián)系、與三角知識(shí)的聯(lián)系以及與其他知識(shí)方法的聯(lián)系，通過(guò)不斷改變方法、改變形式、改變思維方式，夯實(shí)了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，打通了知識(shí)聯(lián)系，掌握了數(shù)學(xué)的基本方法，豐富了數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，激發(fā)了數(shù)學(xué)創(chuàng)造思維和潛能。

教學(xué)中也會(huì)有很多遺憾，有許多的漏洞，在創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)推導(dǎo)方法、鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑提問(wèn)、猜想等方面有很多遺憾，比如：如何引入向量，解釋的不夠。最后，希望各位同仁批評(píng)指正。

第三篇：余弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、內(nèi)容及其解析

1.內(nèi)容: 余弦定理

2.解析: 余弦定理是繼正弦定理教學(xué)之后又一關(guān)于三角形的邊角關(guān)系準(zhǔn)確量化的一個(gè)重要定理。在初中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了相關(guān)邊角關(guān)系的定性的結(jié)果，就是“在任意三角形中大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角”，“如果已知兩個(gè)三角形的兩條對(duì)應(yīng)邊及其所夾的角相等，則這兩個(gè)三角形全等”。同時(shí)學(xué)生在初中階段能解決直角三角形中一些邊角之間的定量關(guān)系。在高中階段，學(xué)生在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)任意三角形邊角關(guān)系的探究，發(fā)現(xiàn)并掌握任意三角形中邊角之間的定量關(guān)系，從而進(jìn)一步運(yùn)用它們解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，使學(xué)生能更深地體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，數(shù)學(xué)服務(wù)于生活。

二、目標(biāo)及其解析

目標(biāo)：

1、使學(xué)生掌握余弦定理及推論，并會(huì)初步運(yùn)用余弦定理及推論解三角形。

2、通過(guò)對(duì)三角形邊角關(guān)系的探究，能證明余弦定理，了解從三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途徑證明余弦定理。解析：

1、在發(fā)現(xiàn)和證明余弦定理中，通過(guò)聯(lián)想、類比、轉(zhuǎn)化等思想方法比較證明余弦定理的不同 方法，從而培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。

2、能用余弦定理解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，可以培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)是有用的。

三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析

1、通過(guò)前一節(jié)正弦定理的學(xué)習(xí)，學(xué)生已能解決這樣兩類解三角形的問(wèn)題：

①已知三角形的任意兩個(gè)角與邊，求其他兩邊和另一角；②已知三角形的任意兩個(gè)角與其中一邊的對(duì)角，計(jì)算另一邊的對(duì)角，進(jìn)而計(jì)算出其他的邊和角。

而在已知三角形兩邊和它們的夾角，計(jì)算出另一邊和另兩個(gè)角的問(wèn)題上，學(xué)生產(chǎn)生了認(rèn)知沖突，這就迫切需要他們掌握三角形邊角關(guān)系的另一種定量關(guān)系。所以，教學(xué)的重點(diǎn)應(yīng)放在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明上。

2、在以往的教學(xué)中存在學(xué)生認(rèn)知比較單一，對(duì)余弦定理的證明方法思考也比較單一，而

本節(jié)的教學(xué)難點(diǎn)就在于余弦定理的證明。如何啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過(guò)聯(lián)想、類比、轉(zhuǎn)化多角度地對(duì)余弦定理進(jìn)行證明，從而突破這一難點(diǎn)。

3、學(xué)習(xí)了正弦定理和余弦定理，學(xué)生在解三角形中，如何適當(dāng)?shù)剡x擇定理以達(dá)到更有效地解題，也是本節(jié)內(nèi)容應(yīng)該關(guān)注的問(wèn)題，特別是求某一個(gè)角有時(shí)既可以用余弦定理，也可以用正弦定理時(shí)，教學(xué)中應(yīng)注意讓學(xué)生能理解兩種方法的利弊之處，從而更有效地解題。

四、教學(xué)支持條件分析

為了將學(xué)生從繁瑣的計(jì)算中解脫出來(lái)，將精力放在對(duì)定理的證明和運(yùn)用上，所以本節(jié)中復(fù)雜的計(jì)算借助計(jì)算器來(lái)完成。當(dāng)使用計(jì)算器時(shí)，約定當(dāng)計(jì)算器所得的三角函數(shù)值是準(zhǔn)確數(shù)時(shí)用等號(hào)，當(dāng)取其近似值時(shí)，相應(yīng)的運(yùn)算采用約等號(hào)。但一般的代數(shù)運(yùn)算結(jié)果按通常的運(yùn)算規(guī)則，是近似值時(shí)用約等號(hào)。

五、教學(xué)過(guò)程

（一）教學(xué)基本流程

教學(xué)過(guò)程：

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

問(wèn)題1：在△ABC中，∠C = 90°，則用勾股定理就可以得到c2=a2+b

2?！驹O(shè)計(jì)意圖】：引導(dǎo)學(xué)生從最簡(jiǎn)單入手，從而通過(guò)添加輔助線構(gòu)造直角三角形。師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生從特殊入手，用已有的初中所學(xué)的平面幾何的有關(guān)知識(shí)來(lái)研究這一問(wèn)題，從而尋找出這些量之間存在的某種定量關(guān)系。

學(xué)生1：在△ABC中，如圖4，過(guò)C作CD⊥AB，垂足為D。在Rt△ACD中，AD=bsin∠1,CD= bcos∠1;在Rt△BCD中，BD=asin∠2, CD=acos∠2;c=(AD+BD)=b-CD+a-CD+2AD?BD

= a?b?2abcos?1?cos?2?2absin?1?sin?2=a?b?2abcos(?1??2)?a?b?2abcosC

A

D圖

4學(xué)生2：如圖5，過(guò)A作AD⊥BC，垂足為D。

A

圖

5則：c?AD?BD

2?b?CD?(a?CD)?a?b?2a?CD?a?b?2abcosC

學(xué)生3：如圖5，AD = bsinC，CD = bcosC，∴c2 =（bsinC）2+（a-bcosC）2 = a2 +b2-2abcosC

類似地可以證明b= a+c-2accosB，c= a+b-2abcosC。

【設(shè)計(jì)意圖】：首先肯定學(xué)生成果，進(jìn)一步的追問(wèn)以上思路是否完整，可以使學(xué)生的思維更加嚴(yán)密。

師生活動(dòng)：得出了余弦定理，教師還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想、類比、轉(zhuǎn)化，思考是否還有其他方法證明余弦定理。

教師：在前面學(xué)習(xí)正弦定理的證明過(guò)程種，我們用向量法比較簡(jiǎn)便地證明了正弦定理，那么在余弦定理的證明中，你會(huì)有什么想法？

【設(shè)計(jì)意圖】：通過(guò)類比、聯(lián)想，讓學(xué)生的思維水平得到進(jìn)一步鍛煉和提高，體驗(yàn)到成功的樂(lè)趣。

學(xué)生4：如圖6，????????????記AB?c,CB?a,CA?b????????????則c?AB?CB?CA?a?b???2

2?（c）?（a?b）

?2?2??

?a?b?2a?b?2?2?2??

即c?a?b?2a?b?cosC?c?a?b?2abcosC

A

圖6

【設(shè)計(jì)意圖】：由向量又聯(lián)想到坐標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生從直角坐標(biāo)中用解析法證明定理。

學(xué)生7：如圖7，建立直角坐標(biāo)系，在△ABC中，AC = b，BC = a.且A（b，0），B（acosC，asinC），C（0，0），則 c?AB

?(acosC?b)?(asinC)

?a?b?2abcosC

【設(shè)計(jì)意圖】：通過(guò)以上平面幾何知識(shí)、向量法、解析法引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)證明余弦定理，更好地讓學(xué)生主動(dòng)投入到整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力，拓展學(xué)生思維空

間的深度和廣度。

二、探究定理 余弦定理：

a

2222222

2?b?c?2bccosA,b?a?c?2accosB,c?a?b?2abcosC

余弦定理推論： cosA?

b?c?a

2bc，cosB?

a?c?b

2ac

222，cosC?

a?b?c

2ab

222

解決類型：（1）已知三角形的三邊，可求出三角；

（2）已知三角形的任意兩邊與兩邊的夾角，可求出另外一邊和兩角。

三、例題

例1：①在△ABC中，已知a = 2，b = 3，∠C = 60°，求邊c。

②在△ABC中，已知a = 7，b = 3，c = 5，求A、B、C。

【設(shè)計(jì)意圖】：讓學(xué)生理解余弦定理及推論解決兩類最基本問(wèn)題，既①已知三角形兩邊及夾角，求第三邊；②已知三角形三邊，求三內(nèi)角。

四、目標(biāo)檢測(cè)

1、若三角形的三邊為2，4，23，那么這個(gè)三角形的形狀為（）A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰直角三角形 2．已知三角形的三邊為3、4、6，那么此三角形有（）

A．三個(gè)銳角 B．兩個(gè)銳角，一個(gè)直角 C．兩個(gè)銳角，一個(gè)鈍角 D．以上都不對(duì) 3．在△ABC中，若其三邊的比是a∶b∶c = 3∶5∶7，則三個(gè)內(nèi)角正弦值的比是______．

4．在△ABC中，已知a = 4，b = 6，C = 120°，求sinA．

五、小結(jié)

本節(jié)課的主要內(nèi)容是余弦定理的證明，從平面幾何、向量、坐標(biāo)等各個(gè)不同的方面進(jìn)行探究，得出的余弦定理無(wú)論在什么形狀的三角形中都成立，勾股定理也只不過(guò)是它的特例。所以它很“完美”，從式子上又可以看出其具“簡(jiǎn)捷、和諧、對(duì)稱”的美，其變式即推論也很協(xié)調(diào)。

【設(shè)計(jì)意圖】：在學(xué)生探究數(shù)學(xué)美，欣賞美的過(guò)程中，體會(huì)數(shù)學(xué)造化之神奇，學(xué)生可以

興趣盎然地掌握公式特征、結(jié)構(gòu)及其他變式。

學(xué)案

1．2 余弦定理

班級(jí)學(xué)號(hào)

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、使學(xué)生掌握余弦定理及推論，并會(huì)初步運(yùn)用余弦定理及推論解三角形。

2、通過(guò)對(duì)三角形邊角關(guān)系的探究，能證明余弦定理，了解從三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途徑證明余弦定理。

二、例題與問(wèn)題

例1：①在△ABC中，已知a = 2，b = 3，∠C = 60°，求邊c。

②在△ABC中，已知a = 7，b = 3，c = 5，求A、B、C。

三、目標(biāo)檢測(cè)

1、若三角形的三邊為2，4，23，那么這個(gè)三角形的形狀為（）A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰直角三角形 2．已知三角形的三邊為3、4、6，那么此三角形有（）

A．三個(gè)銳角 B．兩個(gè)銳角，一個(gè)直角 C．兩個(gè)銳角，一個(gè)鈍角 D．以上都不對(duì) 3．在△ABC中，若其三邊的比是a∶b∶c = 3∶5∶7，則三個(gè)內(nèi)角正弦值的比是______．

4．在△ABC中，已知a = 4，b = 6，C = 120°，求sinA．

配餐作業(yè)

一、基礎(chǔ)題(A組)

1.在△ABC中，若acosA?bcosB，則△ABC的形狀是（）A.等腰三角形C.等腰直角三角形

B.直角三角形D.等腰或直角三角形

2.△ABC中，sinA:sinB:sinC?3:2:4，那么cosC?（）

A.4B.3C.?

D.?

3.在△ABC中，已知a?2，b?3，C=120°，則sinA的值為（）

2157

A.38B.7 C.19 D.3

4.在△ABC中，B=135°，C=15°，a?5，則此三角形的最大邊長(zhǎng)為。5.△ABC中，如果a?6，b?63，A=30°，邊c?。

二、鞏固題(B組)

6.在△ABC中，化簡(jiǎn)bcosC?ccosB?（）

b?c

a?c

a?b

A.a

B.C.D.7.已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、a?ab?b，則三角形的最大內(nèi)角是（）A.135°

B.120°

C.60°

D.90°

8.三角形的兩邊分別為5和3，它們夾角的余弦是方程5x?7x?6?0的根，則另一邊長(zhǎng)為（）

A.52B.16

C.4D.2

9.（06年北京卷，理12）在△ABC中，若sinA:sinB:sinC?5:7:8，則∠B的大小是。

三、提高題(C組

tanB

?2a?cc

10.在△ABC中，a,b,c分別是角A、B、C的對(duì)邊，且tanCa?b?c?，2ab，（1）求C；（2）求A。

cosB

b2a?c

11.在△ABC中，a,b,c分別是A、B、C的對(duì)邊，且cosC（1）求角B的大?。唬?）若b?

??，a?c?4，求a的值；

第四篇：余弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)

1.1《正弦定理與余弦定理》教案（新人教版必修5）（原創(chuàng)）

余弦定理

一、教材依據(jù)：人民教育出版社（A版）數(shù)學(xué)必修5第一章 第二節(jié)

二、設(shè)計(jì)思想：

1、教材分析：余弦定理是初中“勾股定理”內(nèi)容的直接延拓，是解三角形這一章知識(shí)的一個(gè)重要定理，揭示了任意三角形邊角之間的關(guān)系，是解三角形的重要工具，余弦定理與平面幾何知識(shí)、向量、三角形有著密切的聯(lián)系。因此，做好“余弦定理”的教學(xué)，不僅能復(fù)習(xí)鞏固舊知識(shí)，使學(xué)生掌握新的有用的知識(shí)，體會(huì)聯(lián)系、發(fā)展等辯證觀點(diǎn)，而且能培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和實(shí)踐操作能力，以及提出問(wèn)題、解決問(wèn)題等研究性學(xué)習(xí)的能力。

2、學(xué)情分析：這節(jié)課是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了正弦定理及有關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上，轉(zhuǎn)入對(duì)余弦定理的學(xué)習(xí)，此時(shí)學(xué)生已經(jīng)熟悉了探索新知識(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程，具備了一定的分析能力。

3、設(shè)計(jì)理念：由于余弦定理有較強(qiáng)的實(shí)踐性，所以在設(shè)計(jì)本節(jié)課時(shí)，創(chuàng)設(shè)了一些數(shù)學(xué)情景，讓學(xué)生從已有的幾何知識(shí)出發(fā)，自己去分析、探索和證明。激發(fā)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。

4、教學(xué)指導(dǎo)思想：根據(jù)當(dāng)前學(xué)生的學(xué)習(xí)實(shí)際和本節(jié)課的內(nèi)容特點(diǎn)，我采用的是“問(wèn)題教學(xué)法”，精心設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容，提出探究性問(wèn)

找到解決問(wèn)題的方法。

三、教學(xué)目標(biāo)：

1、知識(shí)與技能：

理解并掌握余弦定理的內(nèi)容，會(huì)用向量法證明余弦定理，能用余弦定理解決一些簡(jiǎn)單的三角度量問(wèn)題

2．過(guò)程與方法：

通過(guò)實(shí)例，體會(huì)余弦定理的內(nèi)容，經(jīng)歷并體驗(yàn)使用余弦定理求解三角形的過(guò)程與方法，發(fā)展用數(shù)學(xué)工具解答現(xiàn)實(shí)生活問(wèn)題的能力。

3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀：

探索利用直觀圖形理解抽象概念，體會(huì)“數(shù)形結(jié)合”的思想。通過(guò)余弦定理的應(yīng)用，感受余弦定理在解決現(xiàn)實(shí)生活問(wèn)題中的意義。

四、教學(xué)重點(diǎn)：

通過(guò)對(duì)三角形邊角關(guān)系的探索，證明余弦定理及其推論，并能應(yīng)用它們解三角形及求解有關(guān)問(wèn)題。

五、教學(xué)難點(diǎn)：余弦定理的靈活應(yīng)用

六、教學(xué)流程：

(一)創(chuàng)設(shè)情境，課題導(dǎo)入：

1、復(fù)習(xí)：已知A=300,C=450,b=16解三角形。（可以讓學(xué)生板練）

2、若將條件C=450改成c=8如何解三角形？

設(shè)計(jì)意圖：把研究余弦定理的問(wèn)題和平面幾何中三角形全等判定的方法建立聯(lián)系，溝通新舊知識(shí)的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)量化

師生活動(dòng)：用數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表達(dá)“已知三角形的兩邊及其夾角解三角形”：已知△ABC，BC=a,AC=b,和角C，求解c,B,A 引出課題：余弦定理

（二）設(shè)置問(wèn)題，知識(shí)探究

1、探究：我們可以先研究計(jì)算第三邊長(zhǎng)度的問(wèn)題，那么我們又從那些角度研究這個(gè)問(wèn)題能得到一個(gè)關(guān)系式或計(jì)算公式呢？ 設(shè)計(jì)意圖：期望能引導(dǎo)學(xué)生從各個(gè)不同的方面去研究、探索得到余弦定理。

師生活動(dòng)：從某一個(gè)角度探索并得出余弦定理

2、①考慮用向量的數(shù)量積：如圖 A

C

??????設(shè)CB?a,CA?b,AB?c,那么，c?a?b?2???????2?2?c?c?c?(a?b)(a?b)?a?b?2abcosCB 即cab222?a?b?2abcosC,引導(dǎo)學(xué)生證明22222

?b?c?2bccosA?c?a?2cacosB2②還 引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用此法來(lái)進(jìn)行證明

3、余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的（可以讓學(xué)生自己總結(jié)，教師補(bǔ)充完整）

（三）典型例題剖析：

1、例1：在△ABC中，已知b=2cm,c=2cm,A=1200,解三角形。

教師分析、點(diǎn)撥并板書證明過(guò)程

總結(jié)：已知三角形的兩邊和它們的夾角解三角形，基本思路是先由余弦定理求出第三邊，再由正弦定理求其余各角。變式引申：在△ABC中，已知b=5,c=

53,A=300,解三角形。

2、探究：余弦定理是關(guān)于三角形三邊和一個(gè)角的一個(gè)關(guān)系式，把這個(gè)關(guān)系式作某些變形，是否可以解決其他類型的解三角形問(wèn)題？

設(shè)計(jì)意圖：（1）引入余弦定理的推論（2）對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)式子作某種變形，從而得到解決其他類型的數(shù)學(xué)問(wèn)題，這是一種基本的研究問(wèn)題的方法。

師生活動(dòng)：對(duì)余弦定理作某些變形，研究變形后所得關(guān)系式的應(yīng)用。因此應(yīng)把重點(diǎn)引導(dǎo)到余弦定理的推論上去，即討論已知三邊求角的問(wèn)題。

引入余弦定理的推論：cosA=cosB=a?c?b2ac222b?c?a2bc2222 , , cosC=

a?b?c2ab22

公式作用：（1）、已知三角形三邊，求三角。

（2）、若A為直角，則cosA=0，從而b2+c2=a2

若A為銳角，則 cosA>0, 從而b2+c2>a2

若A為鈍角，則 cosA﹤0, 從而b2+c2﹤a2

6?2,求A、B、C例2:已知在?ABC中,a?23,b?22,c?

先讓學(xué)生自己分析、思索，老師進(jìn)行引導(dǎo)、啟發(fā)和補(bǔ)充，最后師生一起求解。

總結(jié)：對(duì)于已知三角形的三邊求三角這種類型，解三角形的基本思路是先由余弦定理求出兩角，再用三角形內(nèi)角和定理求出第三角。（可以先讓學(xué)生歸納總結(jié)，老師補(bǔ)充）變式引申：在△ABC中，a:b:c=2:讓學(xué)生板練，師生共同評(píng)判

3、三角形形狀的判定：

例3：在△ABC中，acosA=bcosB,試確定此三角形的形狀。

（教師引導(dǎo)學(xué)生分析、思考，運(yùn)用多種方法求解）

求解思路：判斷三角形的形狀可有兩種思路，一是利用邊之間的關(guān)系來(lái)判定，在運(yùn)算過(guò)程中，盡可能地把角的關(guān)系化為邊的關(guān)系；二是利用角之間的關(guān)系來(lái)判定，將邊化成角。

變式引申：在△ABC中，若（a+b+c）(b+c-a)=3bc,并且sinA=2sinBcosC,判斷△ABC的形狀。

讓學(xué)生板練，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題進(jìn)行糾正。

（四）課堂檢測(cè)反饋：

1、已知在△ABC中，b=8,c=3,A=600,則a=()A 2 B 4 C 7 D 9

6:（3+1),求A、B、C。、在△ABC中，若a=

3+1,b=

3-1,c=

10,則△ABC的最大角的度數(shù)為（）A 1200 B 900 C 600 D 1500

3、在△ABC中，a:b:c=1:

3:2,則A：B：C=（）

A 1：2：3 B 2：3：1 C 1：3：2 D 3：1：2

4、在不等邊△ABC中，a是最大的邊，若a2

5、在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=8，則△ABC的形狀是（）A銳角三角形 B直角三角形 C鈍角三角形 D非鈍角三角形

（五）課時(shí)小結(jié)：

（學(xué)生自己歸納、補(bǔ)充，培養(yǎng)學(xué)生的口頭表達(dá)能力和歸納概括能力，教師總結(jié)）

運(yùn)用多種方法推導(dǎo)出余弦定理，并靈活運(yùn)用余弦定理解決解三角形的兩種類型及判斷三角形的形狀問(wèn)題。

（六）課后作業(yè)：課本第10頁(yè)A組3（2）、4（2）；B組第2題

（七）教學(xué)反思：

本堂課的設(shè)計(jì)，立足于所創(chuàng)設(shè)的情境，注重提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生自主探索、合作交流，親身經(jīng)歷了提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程，學(xué)生成為余弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，切身感受到了創(chuàng)造的苦和樂(lè)，知識(shí)目標(biāo)、能力目標(biāo)、情感目標(biāo)均得到了較好的落實(shí)。

第五篇：高二數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)與反思的要求

高二數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)與反思的要求

課題：選修1-1第二章 第一節(jié) 橢圓的定義及方程（第一課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì).設(shè)計(jì)者：王艷坤

思想方法：運(yùn)用類比方法研究橢圓圖形和方程，用實(shí)驗(yàn)的方法進(jìn)行教學(xué)，用數(shù)形結(jié)合方法研究橢圓的性質(zhì).教學(xué)目標(biāo)：

1．通過(guò)本節(jié)課課前及課堂上復(fù)習(xí)圓的定義和研究方法的類比研究過(guò)程，使學(xué)生探索、理解橢圓的定義，掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求法.2．能夠完成由實(shí)驗(yàn)到數(shù)學(xué)的抽象過(guò)程，復(fù)習(xí)和鞏固求曲線軌跡方程的基本方法.3．能夠理解數(shù)形結(jié)合的基本思想，理解橢圓軌跡和方程之間的關(guān)系，進(jìn)一步提高學(xué)生解析能力.教學(xué)重點(diǎn)：

1．橢圓的定義和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法.2．?dāng)?shù)形結(jié)合的基本思想，理解解析法，橢圓曲線和方程之間的相互關(guān)系.教學(xué)難點(diǎn)：

1．?dāng)?shù)形結(jié)合的基本思想.2．建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.教學(xué)關(guān)鍵：創(chuàng)設(shè)直觀情境，運(yùn)用好類比思想以及數(shù)學(xué)結(jié)合思想.教學(xué)方式：體驗(yàn)式探索.教學(xué)手段：實(shí)驗(yàn)，多媒體演示.學(xué)生特點(diǎn)：本節(jié)課的教學(xué)對(duì)象為普通高中文科學(xué)生，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)很弱.教學(xué)過(guò)程 1．創(chuàng)設(shè)情境

實(shí)驗(yàn)：把一個(gè)小重物系在繩子的一端，然后握住繩子的另一端，把重物旋轉(zhuǎn)起來(lái)，觀察重物運(yùn)行到軌跡.學(xué)生完成：討論結(jié)果、進(jìn)行總結(jié).在平面內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)所形成到軌跡是一個(gè)圓.在空間內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)所形成的軌跡是一個(gè)球.2．復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)思想

圓是平面幾何圖形，在歐式幾何中已有系統(tǒng)的研究，人們?cè)谝阎c(diǎn)（即圓心），定長(zhǎng)（即半徑）條件下，研究了周長(zhǎng)和半徑的關(guān)系由此得到了圓周率，還有面積、體積和其它的許多性質(zhì)。想一想，在圓的軌跡形成的過(guò)程中，滿足什么樣的條件才能形成圓？

學(xué)生回答：到圓心距離等于半徑.復(fù)習(xí)總結(jié)圓的定義：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡.老師在黑板上按照條件做出圓的軌跡來(lái)，接下來(lái)，讓同學(xué)把剛才的實(shí)驗(yàn)轉(zhuǎn)移到練習(xí)本上，在練習(xí)本地畫出由條件“到定點(diǎn)的距離等與定長(zhǎng)的點(diǎn)”限制下的圖形——圓，讓學(xué)生慢慢地體會(huì)概念的由來(lái)，對(duì)概念有更深刻印象.怎樣更加精確研究這個(gè)動(dòng)點(diǎn)呢？因?yàn)樾枰_的原因，就需要數(shù)據(jù)的支持，怎么樣用數(shù)來(lái)表示圖形呢？這個(gè)轉(zhuǎn)化可是數(shù)學(xué)史上一個(gè)非常重要的思想——數(shù)學(xué)結(jié)合思想.在直角坐標(biāo)系下，把動(dòng)點(diǎn)Ｐ引入二元數(shù)x，ｙ來(lái)限定表述Ｐ(x，y)，顯然我們可以用x，ｙ二元數(shù)來(lái)分析這個(gè)圖形上的每一個(gè)點(diǎn).這樣我們就需要建立直角坐標(biāo)系，建立直角坐標(biāo)系后，任意的動(dòng)點(diǎn)Ｐ就有了坐標(biāo)（x，y），動(dòng)點(diǎn)不論在任何位置都可以用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來(lái).從上面一系列的分析來(lái)看，在直角坐標(biāo)系下，圖形要經(jīng)過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化變成用兩個(gè)變數(shù)x，y表示的式子（即方程）；反過(guò)來(lái)方程的數(shù)量關(guān)系，完全可以反映圖形的一切性質(zhì)上，這就是數(shù)與形的結(jié)合，又稱為數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.把圓的定義滿足的幾何條件OP=r轉(zhuǎn)換成代數(shù)方程，得x2?y2?r，化簡(jiǎn)得圓心在原點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：x2+y2= r2。

數(shù)轉(zhuǎn)化????OP=r?代數(shù)轉(zhuǎn)化????圓心在原點(diǎn)的圓?形x2+y2= r2

數(shù)形轉(zhuǎn)化代數(shù)轉(zhuǎn)化圓心在原點(diǎn)的圓?????OP=r?????x2+y2= r2

x2?y2?r?代數(shù)轉(zhuǎn)化????

代數(shù)轉(zhuǎn)化x2?y2?r?????

當(dāng)把圓圖形不變圓心平移至C（a，b）時(shí)，我們可以用兩種方法來(lái)求圓的方程，一種是：把幾何條件PC=r直譯成代數(shù)方程(x?a)2?(y?b)2?r，化簡(jiǎn)方程得（x-a）2+（y-b）2= r2；另一種方法是：由方程x2+y2= r2按向量（a，b）進(jìn)行平移，同樣可以得到圓的方程（x-a）2+（y-b）2= r2.（一題多解是轉(zhuǎn)化的載體）

數(shù)形轉(zhuǎn)化???（x-a）2+（y-b）2= r2 x2+y2= r2??平移轉(zhuǎn)化???（x-a）2+（y-b）2= r2 x2+y2= r2??下面我們要就利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想來(lái)研究其它曲線的性質(zhì)，這一節(jié)課我們類比圓的研究方法來(lái)研究橢圓的方程和性質(zhì).（數(shù)學(xué)思想的教學(xué)，由實(shí)驗(yàn)抽象出數(shù)學(xué)形式，定性研究）

3．新課類比學(xué)習(xí)橢圓定義

在學(xué)習(xí)圓錐曲線的時(shí)候，我們首先學(xué)習(xí)的是橢圓的方程和幾何性質(zhì)，那么我們類比圓的定義和性質(zhì)來(lái)研究，首先來(lái)做一個(gè)實(shí)驗(yàn).實(shí)驗(yàn)過(guò)程由老師與學(xué)生的共同參與活動(dòng)：在上面實(shí)驗(yàn)研究的基礎(chǔ)上，啟發(fā)學(xué)生開放思想，大膽把條件進(jìn)行變換，如果把一個(gè)定點(diǎn)分離成兩個(gè)定點(diǎn)，會(huì)變成怎樣一種情形？問(wèn)題就變成“到這兩個(gè)定點(diǎn)的距離和等與定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡”是什么？讓學(xué)生自己也動(dòng)手來(lái)做一做實(shí)驗(yàn)，找一找動(dòng)點(diǎn)的位置，說(shuō)一說(shuō)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么圖形.經(jīng)過(guò)探索這個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡，得到初步的印象，有了一定的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，再由老師和學(xué)生共同梳理不同的實(shí)驗(yàn)結(jié)果下的結(jié)論，然后老師再把實(shí)驗(yàn)轉(zhuǎn)移到黑板上，和同學(xué)們共同完成對(duì)動(dòng)點(diǎn)軌跡的探尋。根據(jù)條件由兩個(gè)定點(diǎn)和定長(zhǎng)的線段共同限制下畫出橢圓的圖形，再由這些實(shí)驗(yàn)帶來(lái)的信息，共同協(xié)商確定橢圓的定義.板演畫圖過(guò)程：首先出示一條確定長(zhǎng)度的短繩，充分展示是短繩的長(zhǎng)度是確定的，也稱之為定長(zhǎng).在黑板上取兩個(gè)定點(diǎn)，注意到定點(diǎn)的取法有三種，我們分三種情況進(jìn)行討論，第一種情況，繩長(zhǎng)大于兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離；第二種情況，繩長(zhǎng)等于兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離；第三種情況，繩長(zhǎng)小于兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離.第一種情況，兩個(gè)定點(diǎn)的距離小于繩子的長(zhǎng)度，把繩的兩個(gè)端點(diǎn)分別放在兩個(gè)定點(diǎn)上，拉直在繩子改變形狀，繩子的長(zhǎng)度不會(huì)該變，使點(diǎn)在移動(dòng)的過(guò)程中始終保持到兩個(gè)定點(diǎn)的距離和不變，下面我們?cè)诤诎逅诘钠矫鎯?nèi)找動(dòng)點(diǎn)的位置以及運(yùn)動(dòng)形成的軌跡.哪個(gè)同學(xué)對(duì)這個(gè)問(wèn)題很感興趣？愿意幫助老師找到滿足條件的點(diǎn)呢？好！讓學(xué)生們進(jìn)行探討，然后請(qǐng)?jiān)敢獗憩F(xiàn)的同學(xué)到黑板前面來(lái)，找出這些動(dòng)點(diǎn)，用這些動(dòng)點(diǎn)連接成一條曲線，觀察這個(gè)圖形，我們創(chuàng)造的這個(gè)圖形為橢圓.接下來(lái)第二種情況，再取繩長(zhǎng)等于兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離，找?guī)讉€(gè)學(xué)生到黑板上畫這樣的動(dòng)點(diǎn)，使動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離和等于繩長(zhǎng)，經(jīng)過(guò)試驗(yàn)、尋點(diǎn)、思考后學(xué)生認(rèn)為這些動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成了一條以兩個(gè)定點(diǎn)為端點(diǎn)的一條線段，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以定點(diǎn)為線段端點(diǎn)的一條線段.第三種情況，繩長(zhǎng)小于兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離時(shí)，找不到滿足條件的點(diǎn)，畫不出圖形.在這三種情形中，有兩種情形動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圖形，其中一個(gè)是橢圓，另一個(gè)是線段，第三種情況不表示任何圖形.在這些感性的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)上，我們進(jìn)行歸納、總結(jié)，得出準(zhǔn)確可靠的結(jié)論，給出橢圓的嚴(yán)密定義：

平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于F1F2）的點(diǎn)的軌跡（或集合）叫做橢圓。F1，F(xiàn)2叫做橢圓的焦點(diǎn)；F1F2叫做橢圓的焦距.接下來(lái)我們?cè)诮裹c(diǎn)不變的情況下，把定長(zhǎng)變大或變小，再由同學(xué)親自動(dòng)手畫一些其他的橢圓，以加深對(duì)橢圓的感性認(rèn)識(shí)。學(xué)生實(shí)際操作的過(guò)程熱情很高，氣氛非常好，聽(tīng)講時(shí)，精力非常集中，緊緊盯著黑板，這說(shuō)明教學(xué)效果很好.有了畫圖形的實(shí)際操作經(jīng)驗(yàn)，再讓學(xué)生認(rèn)真回味剛才畫圖的過(guò)程，從感性上體會(huì)橢圓、從理性上領(lǐng)悟橢圓的定義以及定長(zhǎng)的變化對(duì)圖形形狀的影響，學(xué)生會(huì)從我們實(shí)驗(yàn)的條件變更當(dāng)中得出新結(jié)論，總結(jié)出：當(dāng)定點(diǎn)距離不變時(shí)，定長(zhǎng)越長(zhǎng)時(shí)，圖形越接近于圓形，橢圓越鼓；定長(zhǎng)越短時(shí)，圖形越接近于一條直線，橢圓越扁平。條件再度變更：在定長(zhǎng)不變，改變兩個(gè)焦點(diǎn)的位置的情況下再來(lái)畫一組橢圓，體會(huì)條件變化對(duì)圖形的影響.黑板上這樣一個(gè)幾何圖形，是一條曲線圍成的封閉圖形，是我們不太熟悉的橢圓，在我們生活當(dāng)中是比較常見(jiàn)的，當(dāng)我們拿手電筒去照射垂直于光線的一個(gè)平面的時(shí)候，我們發(fā)現(xiàn)光斑所形成的是一個(gè)圓，當(dāng)我們把平面變動(dòng)或者是把手電筒移動(dòng)使光線與平面呈一定角度時(shí)，所形成到光斑就是一個(gè)橢圓；在自然界一些天體的運(yùn)行軌跡也是橢圓。由此可見(jiàn)，對(duì)橢圓的研究是源于人們對(duì)自然界的探索.4．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合求橢圓的方程

接下來(lái)我們要精確地研究橢圓的性質(zhì)，再引導(dǎo)學(xué)生來(lái)思考怎樣來(lái)研究這樣一個(gè)新的圖形的性質(zhì)：我們?nèi)绻_地得到它的各種性質(zhì)，當(dāng)然是離不開數(shù)的精確描述.聯(lián)想天體的運(yùn)動(dòng)軌跡是橢圓，再聯(lián)想到科學(xué)家的對(duì)天體研究以及軌道預(yù)測(cè)和精確定位，這些都離不開一種精確的計(jì)算方法，這就是對(duì)“數(shù)”的計(jì)算，而我們得到的橢圓圖形，圖形和數(shù)是否有聯(lián)系呢？當(dāng)然有，類比圓的研究方法，建立直角坐標(biāo)系，用數(shù)與形結(jié)合思想的最好范例——解析法來(lái)研究幾何圖形，也就是把動(dòng)點(diǎn)用數(shù)來(lái)表示，滿足的幾何條件轉(zhuǎn)化為方程表示.好，這樣我們就把數(shù)和形又一次地聯(lián)系起來(lái).通過(guò)上面到方法我們知道，首先要建立直角坐標(biāo)系，在建立直角坐標(biāo)系時(shí)，我們按照使數(shù)據(jù)盡量小，使方程盡量簡(jiǎn)單的原則，把兩個(gè)坐標(biāo)軸分別建立在橢圓到對(duì)稱軸上.設(shè)兩個(gè)焦點(diǎn)之間距離是2c，定長(zhǎng)為2a，然后，設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)（x，y），把P（x，y）到兩個(gè)定點(diǎn)F1(-c，0)，F(xiàn)2（c，0）的距離和等于定長(zhǎng)2a的幾何條件轉(zhuǎn)化成代數(shù)方程，使圖形與方程之間建立聯(lián)系，我們就可以從方程的形式上，來(lái)研究得到橢圓的一些相應(yīng)的性質(zhì).推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程

推導(dǎo)方程：（以下方程推導(dǎo)過(guò)程由學(xué)生完成）

①建系：以F1和F2所在直線為x軸，線段F1 F2的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系；

②設(shè)點(diǎn)：設(shè)M（x，y）是橢圓上任意一點(diǎn)，設(shè)F1F2=2c，則F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）；

③列式：由PF1+PF2=2a得

2?x?c?2?y2??x?c?2?y22?2a；

④化簡(jiǎn)：移項(xiàng)平方后得?x?c??y2??x?c??y2?4a2?4a整理得，a2?cx?a?x?c?2?y2，?x?c?2?y2，兩邊平方后整理得，a2?c2x2?a2y2?a2a2?c2，由橢圓的定義知，2a＞2c，即a＞c，∴a2＞c2令a2?c2?b2，其中b＞0，代入上式，得b2x2?a2y2?a2b2，x2y2兩邊同時(shí)除以ab，得：2?2?1（a＞b＞0）.ab22????x2y2從上述推導(dǎo)過(guò)程可知，這個(gè)橢圓是所有以方程2?2?1（a＞b＞0）的解

ab為坐標(biāo)的點(diǎn)組成的.這就是說(shuō)，如果M（x0，y0）是橢圓上的點(diǎn)，那么（x0，x2y2y0）一定是這個(gè)方程的解；反過(guò)來(lái)，如果（x0，y0）是方程2?2?1（a＞b

ab＞0）的解，那么以它為坐標(biāo)的點(diǎn)一定在這個(gè)橢圓上，這樣，我們就說(shuō)方程x2y2??1（a＞b＞0）是這個(gè)橢圓的方程.a2b2這個(gè)方程叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，它的坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，它表示的橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)是F1（－c，0）、F2（c，0），其中b2＝ a2－c2.根據(jù)題目條件，直譯為關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的幾何關(guān)系，再利用解析幾何有關(guān)公式（兩點(diǎn)距離公式、點(diǎn)到直線距離公式、夾角公式等）進(jìn)行整理、化簡(jiǎn).即把這種關(guān)系“翻譯”成含x,y的等式就得到曲線的軌跡方程了.5．練習(xí)： 動(dòng)點(diǎn)P（x,y）到兩定點(diǎn)A（－3，0）和B（3，0）的距離的比等于2 ?即|PA|?2?，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程？ |PB|解：∵PA?(x?3)2?y2,|PB|?(x?3)2?y2，(x?3)2?y2|PA|?2?(x?3)2?y2?4(x?3)2?4y2，代入?2 得|PB|(x?3)2?y2化簡(jiǎn)得（x－5）2+y2=16，軌跡是以（5，0）為圓心，4為半徑的圓.6．小結(jié)：

這節(jié)課我們利用了重要的數(shù)學(xué)思想方法——數(shù)學(xué)結(jié)合，研究了橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，主要學(xué)習(xí)了這幾個(gè)方面的問(wèn)題：

（1）橢圓的定義；（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)；

（3）通過(guò)這一節(jié)課的學(xué)習(xí)掌握解析幾何的基本思想和研究方法。7．作業(yè)：

（1）P42，練習(xí)A第1，2，3，4題.（2）預(yù)習(xí)第二節(jié)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程

8．反思預(yù)期效果（目標(biāo)能否實(shí)現(xiàn)，提問(wèn)、活動(dòng)的針對(duì)性、有效性，預(yù)期效果等）

利用了重要的數(shù)學(xué)思想方法——數(shù)學(xué)結(jié)合，研究了橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，同時(shí)也有動(dòng)手動(dòng)腦的實(shí)踐活動(dòng)，教學(xué)預(yù)期效果較好，課堂氣氛很活躍，學(xué)生也愿意到前面參加演示活動(dòng)，也自己動(dòng)手動(dòng)腦想了一些畫圖方法，學(xué)生學(xué)習(xí)興趣很高，在思考怎樣畫圖時(shí)也對(duì)原理進(jìn)行了探究，教學(xué)目標(biāo)順利實(shí)現(xiàn)。