第一篇：初中數(shù)學(xué)《新課標(biāo)》“數(shù)與代數(shù)”專題講座

專題講座

初中數(shù)學(xué)數(shù)與代數(shù)

綦春霞（北京師范大學(xué)，教授）

史炳星（北京教育學(xué)院，副教授，教研員）王瑞霖（北京師范大學(xué)教育學(xué)部，博士）

數(shù)與代數(shù)在這一部分內(nèi)容主要涉及到 6 個話題，前三個是和內(nèi)容有關(guān)系的，第一個話題是數(shù)與式，第二個話題方程與不等式，第三個話題是函數(shù)；另外三個話題，是基于知識之上側(cè)重培養(yǎng)學(xué)生的一些方面的能力，一是運(yùn)算能力，一是符號意識，再一個是模型思想。

話題一 數(shù)與式

一、重點(diǎn)

關(guān)于數(shù)與式的主要內(nèi)容，包括有理數(shù)、實(shí)數(shù)、代數(shù)式和二次根式，代數(shù)式主要是整式和分式。這一部分內(nèi)容的重點(diǎn)應(yīng)當(dāng)是強(qiáng)調(diào)理解數(shù)的意義，建立數(shù)感，理解代數(shù)式的表述功能，建立符號感，同時理解運(yùn)算的意義，強(qiáng)調(diào)運(yùn)算的必要性。

二、內(nèi)容的變化

（一）降低了對于實(shí)數(shù)運(yùn)算的要求。比如“會用平方運(yùn)算求某些非負(fù)數(shù)的平方根與算術(shù)平方根，用立方運(yùn)算求某些數(shù)的立方根”轉(zhuǎn)化為“會用平方運(yùn)算求百以內(nèi)整數(shù)的平方根，會用立方運(yùn)算求百以內(nèi)整數(shù)（對應(yīng)的負(fù)整數(shù)）的立方根”。

（二）取消了對“有效數(shù)字”的要求，但重視學(xué)生的估算能力，要求學(xué)生理解近似數(shù)。例如 “能用有理數(shù)估計(jì)一個無理數(shù)的大致范圍”, “了解近似數(shù)，在解決實(shí)際問題中，能用計(jì)算器進(jìn)行近似計(jì)算，并按問題的要求對結(jié)果取近似值”。

（三）與實(shí)驗(yàn)稿比較，加強(qiáng)了對二次根式的要求，比如對二次根式的化簡，分母有理化，但二次根式的運(yùn)算僅僅限于根號下是數(shù)的情況。

（四）在具體情境中理解字母表示數(shù)的意義。例如要求“借助現(xiàn)實(shí)情境了解代數(shù)式，進(jìn)一步理解用字母表示數(shù)的意義?！?/p>

（五）注重代數(shù)式的實(shí)際應(yīng)用和實(shí)際意義。例如要求“能分析簡單問題中的數(shù)量關(guān)系，并用代數(shù)式表示?！币约啊皶蟠鷶?shù)式的值；能根據(jù)特定的問題查閱資料，找到所需要的公式，并會代入具體的值進(jìn)行計(jì)算。”

（六）對于代數(shù)式的意義，除了關(guān)注數(shù)學(xué)意義外，還關(guān)注現(xiàn)實(shí)的意義。

（七）強(qiáng)調(diào)幾何直觀的作用。

（八）知道｜a｜的含義（這里 a 表示有理數(shù)）。

三、價(jià)值及作用

數(shù)與式這部分內(nèi)容，在代數(shù)當(dāng)中甚至在整個數(shù)學(xué)領(lǐng)域當(dāng)中，都是非常重要的。具體的來講，有下面的幾點(diǎn)：

第一點(diǎn)，通過數(shù)與式的學(xué)習(xí)，使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的密切聯(lián)系，感受到數(shù)學(xué)的價(jià)值，能夠培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識。關(guān)于數(shù)學(xué)和生活的聯(lián)系，以及培養(yǎng)學(xué)生具有應(yīng)用意識，可以舉如下的例子：在我們學(xué)習(xí)數(shù)軸的時候，學(xué)生通過觀察溫度計(jì)、天平的標(biāo)尺以及常見的兩個相反方向行走的例子，能夠從這些現(xiàn)象當(dāng)中得到數(shù)軸、抽象出數(shù)軸的這樣一個概念。接下來我們就可以利用數(shù)軸聯(lián)系數(shù)學(xué)內(nèi)部的一些知識，即應(yīng)用于數(shù)學(xué)內(nèi)部。同時數(shù)軸作為一種工具，它又能很好地幫助學(xué)生理解其他生活中的問題，比如時區(qū)問題，化學(xué)中的一些常見的問題等等。

這就是我們說的核心的概念：幾何直觀。從溫度計(jì)抽象出數(shù)軸來，同時數(shù)軸又幫助學(xué)生理解有理數(shù)及實(shí)數(shù)的概念。學(xué)習(xí)有理數(shù)之后數(shù)軸還不能被充滿，但是學(xué)了實(shí)數(shù)之后這個數(shù)軸就被充滿了。這樣直觀的一個工具，對于學(xué)生來理解實(shí)數(shù)是非常有幫助的。

第二點(diǎn)，我們來談?wù)勱P(guān)于數(shù)的概念和運(yùn)算、代數(shù)式的建立、以及推導(dǎo)與探究性的活動，有利于學(xué)生形成數(shù)感、符號感的問題。學(xué)習(xí)數(shù)的概念和數(shù)的運(yùn)算，除了學(xué)生會運(yùn)算之外，數(shù)感和符號感也都是在這個過程當(dāng)中逐漸發(fā)展起來的，而且通過學(xué)習(xí)數(shù)的概念和數(shù)的運(yùn)算，不僅能夠提高學(xué)生的運(yùn)算能力，同時也能夠發(fā)展學(xué)生的推理能力，對于提高學(xué)生的思維水平都是非常重要的載體。如：對于一般化的處理方法，因?yàn)樽帜副硎緮?shù)，實(shí)際上就是把數(shù)的概念和運(yùn)算進(jìn)行了一般化的處理，這樣就把學(xué)生的思維水平提高到抽象化的水平，同時也會逐漸通過式的建立以及對式的進(jìn)一步學(xué)習(xí)，逐步形成模型的思想。

我們在學(xué)習(xí)冪的運(yùn)算這一部分內(nèi)容時，教師們通常是讓學(xué)生在原有的一些知識基礎(chǔ)之上，猜想觀察猜想出冪的運(yùn)算規(guī)律，從數(shù)的計(jì)算開始，103 × 102 = 10 5 =10 3+2，a 4× a 3 =a 7 =a4+3，a m· a n ＝ a m + n 逐步地提升到用字母來表示。再將這個公式應(yīng)用于數(shù)學(xué)問題，這樣的話，學(xué)生經(jīng)歷了從特殊到一般，再從一般到特殊這樣一個過程，體會了這樣一個數(shù)學(xué)思想。但這個過程我想其實(shí)充分體現(xiàn)了符號對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義。

我們觀察冪的運(yùn)算公式，會發(fā)現(xiàn)冪之間所做的運(yùn)算，如果冪之間做的是乘除運(yùn)算，到了指數(shù)上它就會變?yōu)榧訙p運(yùn)算，運(yùn)算等級降了一級，冪做乘方的運(yùn)算，在指數(shù)上就變?yōu)榱顺朔ǖ倪\(yùn)算，其實(shí)也是降了一級。而學(xué)生無論通過觀察，還是在教師的適當(dāng)引導(dǎo)下，他都能夠認(rèn)識這樣的規(guī)律，產(chǎn)生這樣的意識，這正是學(xué)生積累了一定的符號感。符號感的獲得一方面基于對算理的理解，也是基于學(xué)生不斷的歸納和類比和各種方法的運(yùn)用，就可以逐步獲得這樣一種意識。

這個例子挺好，里面就體現(xiàn)了符號表示的一般化作用，因?yàn)樵谇懊嫱ㄟ^具體的數(shù)字產(chǎn)生了一種猜想，有可能這個同底的冪做乘法是指數(shù)相加，然后再根據(jù)指數(shù)冪的意義進(jìn)行計(jì)算，就得到一個一般化結(jié)論，所以這個過程中除了有符號感，也有合情推理的成分。因此我們認(rèn)為，這部分內(nèi)容不僅能夠發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力，而且也發(fā)展了學(xué)生的符號感還有推理能力。

第三點(diǎn)價(jià)值，體現(xiàn)在數(shù)學(xué)里面，我們經(jīng)?？吹揭恍α⒔y(tǒng)一思想。例如在一些概念、一些量中我們會發(fā)現(xiàn)，正數(shù)與負(fù)數(shù)，精確與近似，還有已知與未知之間的轉(zhuǎn)換等等這些概念中都蘊(yùn)含著統(tǒng)一思想。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)確實(shí)有助于學(xué)生提高他們用唯物主義的思想和科學(xué)的觀點(diǎn)來認(rèn)識客觀事件的能力。而且也體現(xiàn)模型思想，比如正數(shù)與負(fù)數(shù)，在生活中我們表示東與西就用正數(shù)與負(fù)數(shù)，所以正數(shù)負(fù)數(shù)它不單純就是我們所學(xué)的計(jì)算等等，最后它已經(jīng)成為表示具有相反意義的量的一個數(shù)學(xué)模型。

話題二 方程與不等式

一、重點(diǎn)

方程與不等式在初中階段主要涉及到這樣一些內(nèi)容，一個就是關(guān)于方程的，比方說一元一次方程，二元一次方程組，一元二次方程，可化為一元一次方程的分式方程。不等式主要是一元一次不等式，和一元一次不等式組。

方程和不等式這個話題里面，這部分內(nèi)容一個我們強(qiáng)調(diào)方程和不等式的模型思想，也就是說如何從現(xiàn)實(shí)生活中去把問題進(jìn)行抽象，用這種方程的形式和不等式的關(guān)系刻劃出來，然后進(jìn)行講學(xué)，最后運(yùn)用到現(xiàn)實(shí)問題。所以這一部分內(nèi)容就是一個重點(diǎn)，還是突出它的模型思想，當(dāng)然另外一個部分，也是我們在這部分內(nèi)容所突出的一個重點(diǎn)，那就是如何解這個方程和不等式。

二、內(nèi)容的變化

在方程部分變化的內(nèi)容為：

（一）與實(shí)驗(yàn)稿相比，有些內(nèi)容適當(dāng)增加：如一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，但不要求應(yīng)用這個關(guān)系解決其他問題，了解就可以了，不要深挖洞。

（二）三元一次方程組作為選學(xué)內(nèi)容。

（三）一些具體要求，如一元二次方程只要求解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；分式方程只要求解可化為一元一次方程的分式方程，并且方程中的分式不超過兩個。

（四）刪除了部分內(nèi)容，如由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組的解法；由一個二元二次方程和一個可以分解為兩個二元一次方程的方程組成的方程組的解法。這是與大綱相比發(fā)生的變化。在不等式部分變化的內(nèi)容為：

（一）強(qiáng)調(diào)結(jié)合具體問題，在具體情境中探索不等式的意義。而且強(qiáng)調(diào)了過程目標(biāo)“探索”，強(qiáng)調(diào)對于不等式組解的幾何意義的理解。

（二）刪除了一元一次不等式組的應(yīng)用。

（三）解不等式中對相關(guān)的內(nèi)容作出了限定。如能解數(shù)字系數(shù)的一元一次不等式。

三、價(jià)值及作用

這里想突出方程與不等式的三個主要的作用，第一個是模型思想。這點(diǎn)非常重要。另外涉及到的一點(diǎn)就是化歸的思想方法，我們解方程組等等一系列過程都涉及到化歸。第三點(diǎn)，這部分內(nèi)容對后續(xù)學(xué)習(xí)是一個非常重要的內(nèi)容，因此我們說它在整個數(shù)與代數(shù)里面有著非常重要的作用和價(jià)值。

首先，方程與不等式的學(xué)習(xí)，有助于學(xué)生形成建模思想。

方程的模型思想主要是指根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，經(jīng)過必要的抽象，提煉出未知數(shù)與已知數(shù)之間具有的等量關(guān)系，列出方程（組）；在列出方程后，再運(yùn)用方程（組）求解的各種方法，求出方程（組）的解，進(jìn)而解決問題，從而體會方程（組）是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的一個有效的數(shù)學(xué)模型，是貫穿方程與方程組的一條主線。

“相等”與“不等”是數(shù)學(xué)中兩種基本的數(shù)量關(guān)系，二者相輔相成，形成對數(shù)量關(guān)系的完整認(rèn)識，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不可缺少的基礎(chǔ)知識和有效工具，也是分析和解決一些實(shí)際問題的重要方法。

說到模型思想，我們在教學(xué)當(dāng)中曾經(jīng)用到這樣一個案例：一位同學(xué)小明，如果給出了他的走路速度和跑步速度：走路平均速度為 6km/h，跑步平均速度為 10km/h，又給出了從家到學(xué)校的距離為 2km，有了這樣的條件，可以提出什么樣的一些問題呢？在和同學(xué)們討論之后，學(xué)生反應(yīng)非常熱烈。這里我們拿出一個例子跟老師們分享：有的學(xué)生提出了這樣一個補(bǔ)充條件，說他走在路上，走著走著突然發(fā)現(xiàn)自己有東西落在家里了，于是就趕緊跑回去，跑回家去取東西，接下來又跑到學(xué)校，跑到學(xué)校發(fā)現(xiàn)所用的時間和走到學(xué)校的時間是一樣，也就是說到校的時間是沒有變化，那問小明是在什么地方或者走了多久發(fā)現(xiàn)自己落了東西？ 學(xué)生在提出這樣一個問題之后，要想確定出這個問題的模型，首先就要考慮，小明走到學(xué)校到底要花多長時間？通過計(jì)算得出用 20 分鐘。接下來在這次上學(xué)的過程中，到底發(fā)生了一些什么樣的事情，先走了一段路，接下來往回折返跑回去，相當(dāng)于從家又跑到了學(xué)校，這個過程當(dāng)中學(xué)生們通過分析通過畫圖通過各種各樣的方法，發(fā)現(xiàn)他跑的這一段路程實(shí)際上走路的路程多出來的就是家到學(xué)校的距離，即 2 公里。如果設(shè)未知數(shù)，我們就可以利用等量關(guān)系列出方程： 設(shè) t 分鐘之后返回，用 2 公里這個路程作為等量關(guān)系可以列出這樣的方程：，進(jìn)而解決問題。

當(dāng)然學(xué)生還可以改變條件，或提出各種各樣的補(bǔ)充條件，在這樣一個問題的基礎(chǔ)上，尋找“等量”“不等”這樣不同的關(guān)系，建立各種各樣的模型，用方程或不等式等多種方法來表述問題、解決問題，這個案例我想供老師們參考，希望能給大家一些啟發(fā)和思考。

關(guān)于列方程解決實(shí)際運(yùn)用問題，有很多老師反應(yīng)比較難，找等量關(guān)系方面學(xué)生就比較有困難；找出等量關(guān)系了方程卻列不出來。像剛才的問題，有沒有什么好的建議？即怎么使學(xué)生能夠在分析實(shí)際問題的過程中抓住主要的關(guān)系，怎么能夠讀懂題目？怎么能夠提高他們分析問題和解決問題的能力？

這確實(shí)是老師們比較頭疼的一個問題。學(xué)生在面對數(shù)學(xué)和生活聯(lián)系的時候，往往很難直接找到它們之間的聯(lián)系建立模型。實(shí)際上學(xué)生在生活當(dāng)中，本身就應(yīng)用著數(shù)學(xué)，經(jīng)常面對數(shù)學(xué)，而教師們在設(shè)計(jì)問題或者說設(shè)計(jì)教學(xué)的時候，有的時候會忽略學(xué)生和實(shí)際數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系。如果說利用剛才這樣的案例，給學(xué)生一個比較開放性的平臺，即給出的條件是不充足的，你再補(bǔ)充其他條件，這樣，問題也許會比較簡單，也許會比較復(fù)雜，也許有解也許沒有解，不同的階梯性補(bǔ)充，可能對水平存在差異的同學(xué)來說，確實(shí)是有很好的幫助。

有經(jīng)驗(yàn)的教師也會發(fā)現(xiàn)，在解決方程與不等式建立模型或者說是列方程解決問題的時候，往往是在教師的引導(dǎo)下把問題簡化，指出主干讓學(xué)生去抓住問題當(dāng)中最基礎(chǔ)的這樣一個關(guān)系，這樣會使問題變得簡單，如果說一上來問題就比較復(fù)雜的話，往往會挫傷學(xué)生的積極性，并且再處理起來，也確實(shí)無從下手。第二方面，當(dāng)學(xué)生學(xué)方程和不等式的時候，對形成化歸的思想非常有幫助，我們知道，化歸就是把你原來不會的問題轉(zhuǎn)化成你能夠解決的問題，把復(fù)雜的問題變成一個簡單的問題。我們在求解方程的過程當(dāng)中，我們經(jīng)常用到合并同類項(xiàng)，移項(xiàng)去括號去分母等等，這樣一些方法來解決一元一次方程，以及可化為一元一次方程的分式方程，這是老師都比較熟悉的這樣一個解方程的步驟。再一個當(dāng)學(xué)二元一次方程組求解的時候，就可以通過消元，即把兩元變成一元，轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的內(nèi)容。當(dāng)我們再學(xué)到一元二次方程的時候，我們也是想辦法降次，降次我們可能用到配方法，因式分解法，其實(shí)這些都體現(xiàn)了我們所說的化歸思想。第三方面，方程不等式同樣也是后面學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)一個非常重要的基石，例如我們談到根與系數(shù)的關(guān)系這部分內(nèi)容。當(dāng)然在一元二次方程中，只要學(xué)生能夠體會這種關(guān)系，而不需要他去擴(kuò)展解決其他問題。實(shí)際上根與系數(shù)的關(guān)系，作為一個普遍的規(guī)律在高次方程，一元 n 次方程的情況還是有適用性的。所以，學(xué)生通過這樣一個探索會發(fā)現(xiàn)一般性的規(guī)律。一次方程，二次方程，高次方程等等這些方程，甚至是將來高等數(shù)學(xué)以及經(jīng)濟(jì)學(xué)當(dāng)中，根與系數(shù)關(guān)系都體現(xiàn)了一個很好的應(yīng)用，都體現(xiàn)了方程的模型思想，不同的只是解法不同。初中階段學(xué)習(xí)的方程和不等式其實(shí)對后續(xù)的學(xué)習(xí)是有非常大的幫助。

話題三 函數(shù)

一、重點(diǎn)

初中階段函數(shù)部分的內(nèi)容，主要包括一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)，在這個階段學(xué)習(xí)函數(shù)，重點(diǎn)就是要借助現(xiàn)實(shí)背景，在現(xiàn)實(shí)情景中理解函數(shù)的概念。而且在研究函數(shù)的性質(zhì)過程當(dāng)中，重點(diǎn)應(yīng)該是要利用圖象的方法直觀地發(fā)現(xiàn)函數(shù)。例如一次函數(shù)有什么特點(diǎn)？二次函數(shù)有什么特點(diǎn)？反比例函數(shù)呢？此外還有一個非常重要的方面，就是體會函數(shù)各種表示之間的聯(lián)系。例如函數(shù)的表示法，我們有表格表示，就是具體的看有一個 x 怎么和 y 對應(yīng)，另外就是有解析式表示，還有圖象表示。以前在傳統(tǒng)的教學(xué)當(dāng)中，可能這個解析式的表示我們用的比較多，表格、圖象表示用的比較少，不管在標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)驗(yàn)稿當(dāng)中還是修訂稿中，我們都要關(guān)注函數(shù)的圖象表示，借助函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，這是一種非常直觀的辦法。同時在這個修訂版的標(biāo)準(zhǔn)當(dāng)中，也強(qiáng)調(diào)了對自變量取值范圍的討論，應(yīng)該結(jié)合具體的實(shí)際問題，在實(shí)際問題中討論自變量取值范圍，而不是說泛泛地、一般性地討論自變量的定義域、值域。

二、內(nèi)容的變化

（一）強(qiáng)調(diào)一次函數(shù)的現(xiàn)實(shí)意義。如要求“結(jié)合具體情境體會一次函數(shù)的意義，能根據(jù)已知條件確定一次函數(shù)的表達(dá)式。”

（二）強(qiáng)調(diào)一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系，但不要求用圖象法求二元一次方程組的近似解。

（三）強(qiáng)調(diào)對于一次函數(shù)圖象變化的探索。例如“根據(jù)一次函數(shù)的圖象和表達(dá)式 y = kx + b(k ≠ 0)探索并理解 k ＞ 0 和 k ＜ 0 時，圖象的變化情況?！?/p>

（四）強(qiáng)調(diào)用反比例函數(shù)解決實(shí)際問題。如要求在具體情境中理解反比例函數(shù)的意義。

（五）突出反比例函數(shù)的圖象功能。能畫出反比例函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象和表達(dá)式(k ≠ 0)探索并理解 k ＞ 0 和 k ＜ 0 時，圖象的變化情況。

（六）強(qiáng)調(diào)用函數(shù)解決實(shí)際問題。如要求在實(shí)際問題中分析體會二次函數(shù)的意義，并運(yùn)用于實(shí)際，在實(shí)際問題中考慮自變量的取值范圍。

三、價(jià)值及作用

函數(shù)是非常有價(jià)值的內(nèi)容，首先變量之間的關(guān)系在現(xiàn)實(shí)世界當(dāng)中就是普遍存在的，如何研究變量之間的關(guān)系，從數(shù)學(xué)上解決這個問題，它的工具就是函數(shù)。所以對于學(xué)生來講，利用函數(shù)的方法解決現(xiàn)實(shí)問題，實(shí)際上是從常量的數(shù)學(xué)走到變量的數(shù)學(xué)，像在方程中，x 表示未知數(shù)，它實(shí)際上不是變量，其實(shí)它是一個常量。在函數(shù)當(dāng)中就不一樣，它可能是自變量，也可能是因變量，所以從這個角度來講，從學(xué)生的思維角度來講，它是一種飛躍，而且通過變量的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以逐漸地形成辯證唯物主義的思想。

通過變量之間關(guān)系的學(xué)習(xí)有助于培養(yǎng)學(xué)生的理性思維，因?yàn)閷W(xué)習(xí)函數(shù)，就要表示變量之間的關(guān)系，它有一個很重要的作用，就是利用函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行預(yù)測，或利用函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，未知的點(diǎn)可以通過函數(shù)關(guān)系把它計(jì)算出來。我們預(yù)測人口，如中國二十年以后的人口數(shù)量問題，可以根據(jù)對以前人口的統(tǒng)計(jì)、對數(shù)量進(jìn)行分析，根據(jù)它的變化規(guī)律來進(jìn)行預(yù)測。進(jìn)行計(jì)算也是函數(shù)非常重要的一個應(yīng)用，我們根據(jù)函數(shù)的變化規(guī)律，看其中某一些位置的點(diǎn)的函數(shù)值是多少等等。另外由于在函數(shù)學(xué)習(xí)的過程當(dāng)中，我們非常重視函數(shù)的圖象表示，所以對培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀函數(shù)也是非常重要的載體。通過直觀分析函數(shù)的性質(zhì)，學(xué)生可以對函數(shù)的增減性，或者是周期性等等都能夠有很好的認(rèn)識。

從常量到變量數(shù)學(xué)的過渡階段，學(xué)生從小學(xué)階段就已經(jīng)開始。到了初中階段，學(xué)生又接觸到一些新的知識，他們逐漸在豐富的自己的認(rèn)識。如我們在教學(xué)中也曾經(jīng)向?qū)W生出示這樣的一些圖象，向?qū)W生提出問題：這些圖象都可以刻畫什么？

不同的學(xué)生有著不同的一些想法。你能不能夠在現(xiàn)實(shí)生活中找到這樣的函數(shù)的一個實(shí)際背景或?qū)嵗?？例如第一個圖象，學(xué)生可能會說是勻速行駛的汽車的時間和路程之間的關(guān)系，也有學(xué)生會舉例子說，如果蘋果一斤是 2 元錢，這個圖表示的是蘋果斤數(shù)和總價(jià)的關(guān)系，這些例子都是比較樸素的。不妨再來看看第八個圖，有的學(xué)生會說，這個是向水桶中注水，最后達(dá)到了上限還要再注，時間與水面高度的關(guān)系；還有同學(xué)舉例子說，將 20 度的水加熱，加熱到沸騰；有的學(xué)生是說從甲地出發(fā)到了某地之后，這個車壞了怎么修也修不好；還有的說是彈簧的承重有一個限度，但它超過這個限度之后，長度就已經(jīng)超過了彈簧的承受能力，長度就不變了。當(dāng)然這些所舉的例子都還需要再斟酌。有的學(xué)生會說是小明的體溫，開始逐漸上升，最后持續(xù)高燒，這也是一種可能的情境。有非常多的學(xué)生都提出自己的想法，用來解釋以上圖象，即是說他們能夠從現(xiàn)實(shí)生活中挖掘出豐富的現(xiàn)實(shí)情景，去解釋各種各樣的函數(shù)關(guān)系，我想在這樣一個過程中學(xué)生們就能真正體會到函數(shù)圖象的價(jià)值。這是在用解析式表達(dá)、學(xué)習(xí)函數(shù)性質(zhì)、應(yīng)用函數(shù)解決問題等等之外的收獲?？赡芪覀兪紫葢?yīng)該讓學(xué)生感受到的就是：函數(shù)離我們這么近，其實(shí)它就是這么普通。這樣，函數(shù)的連續(xù)性、函數(shù)的取值范圍等在學(xué)生的理解中也就更簡化，更容易被他們所接受。

函數(shù)還有一個作用，體現(xiàn)在解方程中。即方程可用函數(shù)的方法去解，如果一個方程，我們不能用已學(xué)的的方法去解。例如三次方程，我們的學(xué)生還沒有學(xué)，就不會解，但是我們可以畫一下它的圖象，然后就可以以此來大致的估計(jì)一下它的解的范圍，對它的解形成一些初步的認(rèn)識。實(shí)際上在初中，方程、不等式還都可以看成函數(shù)的一種特殊情況。

另外函數(shù)這一研究變量關(guān)系的方法，實(shí)際上對于其他的學(xué)科，如物理、化學(xué)、經(jīng)濟(jì)及一些文科都有非常重要的作用，都是非常有力的工具。因此學(xué)好函數(shù)這部分內(nèi)容，搞好函數(shù)這部分的教學(xué)，在初中代數(shù)中是非常重要的。

話題四 運(yùn)算能力

一、意義及作用

運(yùn)算能力是一項(xiàng)基本的數(shù)學(xué)能力，初中數(shù)學(xué)中大多數(shù)問題的解決，都離不開運(yùn)算。但是，教學(xué)中常常出現(xiàn)學(xué)生在計(jì)算時機(jī)械地搬用運(yùn)算公式、盲目推算，缺乏合理選擇簡捷運(yùn)算途徑的意識等。因此，《課程標(biāo)準(zhǔn)修改稿》將“運(yùn)算能力”作為一項(xiàng)重要的內(nèi)容，同時提出運(yùn)算能力培養(yǎng)的價(jià)值，即“有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，能夠?qū)で蠛侠砗啙嵉倪\(yùn)算途徑解決問題?！庇纱丝梢姡\(yùn)算能力在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，尤其是數(shù)與代數(shù)的學(xué)習(xí)中具有重要的價(jià)值和意義。

二、在標(biāo)準(zhǔn)中的含義

《課程標(biāo)準(zhǔn)修訂稿》將“運(yùn)算能力”界定為“能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。”“正確”是對運(yùn)算結(jié)果的要求，這是進(jìn)行一切運(yùn)算最終的也是最根本的要求。“根據(jù)法則和運(yùn)算律”也就是運(yùn)算的依據(jù)和運(yùn)算的前提。這要求學(xué)生要理解運(yùn)算時所用的法則和運(yùn)算律，不僅如此，還要求會正確、恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用這些運(yùn)算律、運(yùn)算法則。

此外，《課程標(biāo)準(zhǔn)修訂稿》還指出了 “培養(yǎng)運(yùn)算能力還有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，能夠?qū)で蠛侠砗啙嵉倪\(yùn)算途徑解決問題?！币虼?，運(yùn)算能力不僅包含對運(yùn)算意義、法則、公式、運(yùn)算程序的正確理解，還包含對簡捷的運(yùn)算途徑的合理選擇。這要求學(xué)生能夠根據(jù)問題的不同條件和不同目標(biāo)，靈活地運(yùn)用公式、法則和有關(guān)的運(yùn)算律，能夠掌握同一個問題的多種運(yùn)算方法，并善于通過觀察、分析、比較，作出合理的選擇。也就是說，運(yùn)算能力中包含著對思維能力的要求。因而，在運(yùn)算過程中，學(xué)生的思維能力會受到檢驗(yàn)，并得到鍛煉。

三、與內(nèi)容的聯(lián)系

與運(yùn)算能力相關(guān)的內(nèi)容，一個是有理數(shù)的運(yùn)算。還有實(shí)數(shù)的運(yùn)算，但由于解決實(shí)際問題取近似值，落腳點(diǎn)還是有理數(shù)運(yùn)算，帶根號的無理數(shù)的運(yùn)算實(shí)際上是恒等變形。關(guān)于式的運(yùn)算，實(shí)際上就是恒等變形。運(yùn)算在解決問題中是必須的，運(yùn)算能力的培養(yǎng)是重要的。還有方程或不等式的求解，都有式的運(yùn)算，都要求其結(jié)果具有正確性、采用簡便算法，及選擇最佳途徑。

四、如何培養(yǎng)

關(guān)于運(yùn)算能力的培養(yǎng)有四點(diǎn)，即關(guān)于態(tài)度、知識、能力，以及應(yīng)用。

第一在學(xué)生的態(tài)度上，首先要讓學(xué)生重視數(shù)學(xué)運(yùn)算，讓他們意識到數(shù)學(xué)運(yùn)算是非常重要的，需要在態(tài)度上面有一個非常正確的認(rèn)識，不要認(rèn)為這個運(yùn)算可有可無，或者把丟一個數(shù)或者錯一個數(shù)，看成一個非常不重要的事情。所以第一點(diǎn)就是強(qiáng)調(diào)態(tài)度，必須重視運(yùn)算。

第二個運(yùn)算不是憑空建立起來，它是基于一定的知識背景的，這種知識是什么？首先必須要讓學(xué)生要掌握好運(yùn)算過程中的一些概念，性質(zhì)，以及用到什么樣的公式，用到什么樣的法則。因此我們認(rèn)為，在學(xué)習(xí)這些知識的時候，應(yīng)該給學(xué)生強(qiáng)化，讓他意識到這是一個最根本的東西。

其實(shí)在學(xué)生運(yùn)算過程中運(yùn)算能力與推理能力直接關(guān)系。為什么這么說呢？因?yàn)閷W(xué)生在運(yùn)算的時候需要一步一步地去進(jìn)行，前一步是后一步的前提，運(yùn)算不是憑空建立起來，必須有充分的理由才能夠做后面的運(yùn)算，才能夠?qū)崿F(xiàn)前后的這種連貫。因此在這個過程中一定要讓學(xué)生理解運(yùn)算的性質(zhì)和公式，以提高他們進(jìn)行推理的能力。

比如我們在學(xué)習(xí)乘法公式的時候，學(xué)生經(jīng)常愛犯的錯誤中，比較典型的就是將這兩個公式混淆了，認(rèn)為(a+b)2 =a2 +b2。這是一個常見的錯誤，不利于今后的學(xué)習(xí)和使用以上知識點(diǎn)。這個錯誤產(chǎn)生原因我們可以分析，可能是一些知識的負(fù)向遷移。我們到底如何避免這樣的錯誤？老師們不妨在教學(xué)中不斷的回到最初，不斷地追本溯源讓學(xué)生重新認(rèn)識公式是如何得來的。

公式得來其實(shí)有兩個方面：一個是代數(shù)推導(dǎo)，一個是幾何直觀推導(dǎo)。它的代數(shù)推導(dǎo)就是我們之前的所學(xué)的知識：多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式。這個乘法的運(yùn)算中，共得出四項(xiàng)，再合并同類項(xiàng)得到了三項(xiàng)。在這個方法之外，其實(shí)幾何也非常重要，而且是完全不同的一個途徑呢。

對于這個圖，我們還是很熟悉的，在幾何圖形中，(a+b)2 可以理解為邊長為 a+b 的正方形的面積，而它是在兩個小正方形 a2 和 b2的基礎(chǔ)之上，還要算上兩個矩形的面積，這樣我們就完全否定了剛才的錯誤。學(xué)生在有了數(shù)、形兩個方面對這個公式的認(rèn)識之后，對這個公式的正確掌握會得以提高。在此給大家一個建議，此處很好地體現(xiàn)了幾何直觀的作用，利用幾何直觀糾正學(xué)生這個錯誤很有效。這個問題也是大家一直談?wù)摰模何覀兯愕哪康氖鞘裁矗科鋵?shí)我們在培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力的時候，可能有的時候又要考慮到算的原因和它將來的發(fā)展。在學(xué)生出現(xiàn)問題的時候，我們怎么去給它克服思維的定勢，找到錯誤的根源，以及解決它。所以運(yùn)算能力的培養(yǎng)不僅要關(guān)注在解決問題的過程中，考慮要解決一些純數(shù)學(xué)問題，也要考慮解決其他知識這方面的問題。這個例子一方面反應(yīng)了對運(yùn)算的理解，另一個方面有一些運(yùn)算也可以運(yùn)用到其他的知識中去，這其實(shí)也加深了學(xué)生對運(yùn)算知識的一些理解，同時也培養(yǎng)他這方面的能力。所以運(yùn)算能力的培養(yǎng)其實(shí)是一個大家比較關(guān)注的話題，當(dāng)然也是一個非常重要的話題，但是我們也注意到，運(yùn)算能力的培養(yǎng)不是一下子能夠到位，我們應(yīng)該循序漸進(jìn)，隨著知識的學(xué)習(xí)和深入把它要滲透到我們教學(xué)過程里面去，這樣的話才對學(xué)生真正的發(fā)展起作用。

話題五 符號意識和代數(shù)的思維特點(diǎn)

一、意義及作用

學(xué)生一進(jìn)入初中，首先學(xué)的代數(shù)內(nèi)容就是用字母表示數(shù)。用字母表示數(shù)一般被認(rèn)為是學(xué)習(xí)代數(shù)的開始。用字母表示數(shù)把小學(xué)所學(xué)的關(guān)于數(shù)的內(nèi)容進(jìn)行了一般化的表示。用符號是數(shù)學(xué)的一個特點(diǎn)，符號實(shí)際上是數(shù)學(xué)的語言，數(shù)學(xué)可以說是一個符號化的世界，在數(shù)學(xué)當(dāng)中，人們用符號來進(jìn)行表示，而且用符號來進(jìn)行交流，所以學(xué)生具有符號意識是非常重要的。逐步形成符號或感受符號的作用是非常重要的，沒有符號在一定意義上來說就沒有近代和現(xiàn)代的數(shù)學(xué)，所以符號的產(chǎn)生，用符號來進(jìn)行表示非常重要，標(biāo)準(zhǔn)指出，建立符號意識有助于學(xué)生的理解符號的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形成就是從用字母表示數(shù)開始，學(xué)生就應(yīng)該用符號來進(jìn)行表示，用符號來進(jìn)行思考。

二、在標(biāo)準(zhǔn)中的含義

在課程標(biāo)準(zhǔn)的修訂稿中，將“符號意識”界定為：主要是指學(xué)生能夠理解，并且運(yùn)用符號來表示數(shù)，數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，知道使用符號可以進(jìn)行一般性的運(yùn)算和推理。這里所提到的運(yùn)用符號來表示數(shù)，數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，其實(shí)也像剛才所提，在小學(xué)字母表示數(shù)的基礎(chǔ)之上，進(jìn)一步建立比較復(fù)雜一些的數(shù)量關(guān)系和盡可能地用符號刻畫事物發(fā)展的趨勢和變化規(guī)律。符號可以進(jìn)行一般性的運(yùn)算和推理，也就是涉及到我們用基礎(chǔ)的符號來不斷構(gòu)建數(shù)學(xué)、代數(shù)部分的運(yùn)算大系統(tǒng)。其實(shí)符號可以表示，也可以運(yùn)算，也可以去轉(zhuǎn)換。課程標(biāo)準(zhǔn)修訂稿中特別突出符號的作用，它可以進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)思考。這里面我們所理解的數(shù)學(xué)表達(dá)，其實(shí)對學(xué)生來說就是能夠建立初步的符號意識，用符號和其他的一些手段，用數(shù)學(xué)的方式表達(dá)現(xiàn)實(shí)生活，這其實(shí)是一種對學(xué)生來說比較基本的要求。在此基礎(chǔ)之上，他能夠用符號進(jìn)行思考，其實(shí)更是對他理性思維和在數(shù)學(xué)能力上的一個要求的體現(xiàn)。

三、與內(nèi)容的聯(lián)系

與符號意識相關(guān)內(nèi)容，第一個要考慮的是符號的表示。第二點(diǎn)是對符號的解釋。還有一點(diǎn)，在符號意識中還有一個符號的運(yùn)算，以及符號之間的轉(zhuǎn)換。

四、如何培養(yǎng)

首先應(yīng)該讓學(xué)生在實(shí)際的問題情景中理解符號以及表達(dá)式、關(guān)系式的意義。也就是說我們培養(yǎng)符號意識和具體問題應(yīng)該是發(fā)生聯(lián)系的。

其次也是非常重要的，我們經(jīng)常說數(shù)學(xué)是一種語言，其實(shí)是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的符號也是一種語言，因此我們要培養(yǎng)學(xué)生的自然語言和數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換能力。我們知道學(xué)生自然語言能力非常好，因?yàn)檫@是他的母語，我們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中培養(yǎng)學(xué)生符號意識的過程中，讓他實(shí)現(xiàn)這兩種語言之間的轉(zhuǎn)換也非常重要。有學(xué)者認(rèn)為，在解決問題的過程中，他的符號感通常和數(shù)感、函數(shù)感、圖表感相互聯(lián)系。笛卡爾也指出，任何問題都可以轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)的問題，任何的數(shù)學(xué)問題，都能夠轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題，任何的代數(shù)問題又可以轉(zhuǎn)化成解方程的問題。通過數(shù)學(xué)化思想來實(shí)現(xiàn)問題的解決，我們現(xiàn)在且不說這個論述是不是完全正確，但從某種意義上說，數(shù)學(xué)化是一個非常重要的過程。在方程學(xué)習(xí)過程中，他如何實(shí)現(xiàn)這種數(shù)學(xué)化？方程就是把文字表達(dá)的一些條件，改用了數(shù)學(xué)符號，其實(shí)這是利用數(shù)學(xué)知識來解決實(shí)際問題所必須的一個程序。

另外就是數(shù)學(xué)當(dāng)中除了字母表示數(shù)之外，還有一些其他的符號，如∥、⊥、∵、∴、≌ 等等。我們在引入這些符號的時候可以聯(lián)系一些數(shù)學(xué)史，給學(xué)生增加一些數(shù)學(xué)文化方面的知識，使學(xué)生感到數(shù)學(xué)既有價(jià)值又非常有意思，愿意學(xué)，我們課程目標(biāo)的一個目標(biāo)是態(tài)度情感價(jià)值觀的，在這個方面應(yīng)該使學(xué)生產(chǎn)生對數(shù)學(xué)的熱愛，體會到數(shù)學(xué)本身也是有意思的，這方面老師在教學(xué)當(dāng)中也可以嘗試做一下。

話題六 模型思想

一、意義及作用

數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活緊密相連。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，特別是信息技術(shù)的發(fā)展，通過構(gòu)造數(shù)學(xué)模型來解決實(shí)際問題的方法正廣泛應(yīng)用于科學(xué)、工程和社會學(xué)科等多個領(lǐng)域。因此，模型思想作為重要的數(shù)學(xué)思想方法之一，對 7 ～ 9 年級學(xué)生思維能力的發(fā)展和問題解決能力的培養(yǎng)都具有重要的作用。

二、在標(biāo)準(zhǔn)中的含義

《課程標(biāo)準(zhǔn)修訂稿》將“模型思想”界定為“建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或者具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果、并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)興趣和應(yīng)用意識?！庇纱丝梢?，模型思想有這樣幾層含義：首先其來源于現(xiàn)實(shí)生活和問題情境；其次，用數(shù)學(xué)的方式進(jìn)行表述，將問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，并加以解決；最后，還原到現(xiàn)實(shí)問題，去解釋數(shù)學(xué)解的合理性。

三、與內(nèi)容的聯(lián)系

1．方程模型

一個長為 10 米 的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為 8 米。如果梯子的頂端下滑 1 米，那么梯子的底端滑動多少米？

2．不等式模型 模型：某地出租車費(fèi)用是這樣計(jì)算的 :（1）每公里 2 元, 基價(jià)為 3 公里, 起價(jià) 10 元；（2）15 公里以上的部分加收 50% 空駛費(fèi)； 請分析里程為多少公里時更換出租車更劃算？

設(shè)里程為 x km(x>15)，超過 15 公里時兩種方案的費(fèi)用分別為：

時，即 x>19 時，更換出租車更劃算 3．函數(shù)模型

某書定價(jià) 8 元。如果一次購買 10 本以上，超過 10 本部分打 8 折。分析并表示購書數(shù)量與付款金額之間的函數(shù)關(guān)系。

四、如何培養(yǎng)

首先，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)貼近學(xué)生的生活。其次，注意引導(dǎo)學(xué)生建立模型。

最后，結(jié)合綜合實(shí)踐活動的開展，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。

課程《初中數(shù)學(xué)數(shù)與代數(shù)》

運(yùn)算能力、符號意識、模型思想與數(shù)學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系是什么？教學(xué)中應(yīng)如何去培養(yǎng)？請結(jié)合個人教學(xué)實(shí)踐談一談。

作業(yè)要求：

（1）字?jǐn)?shù)要求：不少于300字。字體要求宋體，大小medium，word文檔字體大小三號。（2）作業(yè)內(nèi)容如出現(xiàn)雷同，該作業(yè)成績?yōu)椴缓细瘛?/p>

（3）為方便批改，請盡量不要用附件的形式提交。（最好先在文檔編輯word軟件里編輯好，再將內(nèi)容復(fù)制到答題框提交，提交的操作時間不要超過20分鐘）

初中數(shù)學(xué)作業(yè)二

初中數(shù)學(xué)數(shù)與代數(shù)部分

與運(yùn)算能力相關(guān)的內(nèi)容，一個是有理數(shù)的運(yùn)算。還有實(shí)數(shù)的運(yùn)算，但由于解決實(shí)際問題取近似值，落腳點(diǎn)還是有理數(shù)運(yùn)算，帶根號的無理數(shù)的運(yùn)算實(shí)際上是恒等變形。關(guān)于式的運(yùn)算，實(shí)際上就是恒等變形。運(yùn)算在解決問題中是必須的，運(yùn)算能力的培養(yǎng)是重要的。還有方程或不等式的求解，都有式的運(yùn)算，都要求其結(jié)果具有正確性、采用簡便算法，及選擇最佳途徑。

1、經(jīng)歷過程，理解運(yùn)算的意義?！稑?biāo)準(zhǔn)》降低了對有理數(shù)運(yùn)算的要求，降低了式的運(yùn)算和變形的難度和技巧，并不代表現(xiàn)在不需要重視學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)，而是結(jié)合時代特點(diǎn)對運(yùn)算的內(nèi)涵及其重點(diǎn)進(jìn)行必要的調(diào)整。重要的不再是計(jì)算的熟練程度和技巧，而是對運(yùn)算意義的理解。如乘法公式現(xiàn)在只要求兩個：平方差公式和完全平方公式。但對其理解的要求更高了：會推導(dǎo)乘法公式，了解公式的幾何背景，并能進(jìn)行簡單計(jì)算。在教學(xué)中通過學(xué)生自己的發(fā)現(xiàn)過程，可以體會到數(shù)與代數(shù)中公式的這一本質(zhì)。而且如果真的碰到(a+b)3 的話，也會用類似的方法計(jì)算或推導(dǎo)出新的公式。因此最主要的還是對“公式”本身的意義和作用的理解，體會公式的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)過程，懂得怎么應(yīng)用公式。

2、講究策略，優(yōu)化運(yùn)算的過程，強(qiáng)化一題多解。運(yùn)算過程可以理解為是根據(jù)運(yùn)算定義及其性質(zhì)從已知的運(yùn)算對象推導(dǎo)出結(jié)果的過程，因此，運(yùn)算過程的實(shí)質(zhì)是一種推理過程。例如，在教學(xué)1+2+3+?+99+100= 有些學(xué)生是想的：1+100=2+99=3+98=?=50+51=101，所以答案101×50=5050；也有的是，兩次題目中的加數(shù)、顛倒相加而得；還有的學(xué)生用的是另外的方法。不論哪種策略方法，但用了推理能力這一點(diǎn)則是無疑的。

3、學(xué)會反思，提高運(yùn)算的準(zhǔn)確性（養(yǎng)成良好的習(xí)慣）。例如在教學(xué)整式的加減法時，例題教學(xué)結(jié)束后，提出如下問題：怎樣能夠準(zhǔn)確的進(jìn)行整式的運(yùn)算？學(xué)生在結(jié)合自己的做法討論交流后得出：在掌握去括號和合并同類項(xiàng)的法則后，還要每做完一步就回過頭快速的檢查自己是否正確，當(dāng)確信準(zhǔn)確無誤后再繼續(xù)進(jìn)行下面的計(jì)算，經(jīng)過了這樣的過程，學(xué)生的計(jì)算準(zhǔn)確性就大大的提高了。這是對運(yùn)算過程的反思。還有就是對運(yùn)算結(jié)果的反思。在教學(xué)一元一次方程的解法和應(yīng)用時，除了要求學(xué)生在解的過程中反思外，還要求對計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行反思，不僅是檢驗(yàn)結(jié)果正確與否，更重要的是考察結(jié)果是否合理，是否符合實(shí)際。

與符號意識相關(guān)內(nèi)容，第一個要考慮的是符號的表示。第二點(diǎn)是對符號的解釋。還有一點(diǎn)，在符號意識中還有一個符號的運(yùn)算，以及符號之間的轉(zhuǎn)換。

1．學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的就是要懂得符號的意義和會用符號來解決問題。作為我們數(shù)學(xué)教師特別要重視符號教學(xué)在實(shí)踐當(dāng)中實(shí)施的過程。符號雖然很抽象，但它來源于實(shí)際，我們在教學(xué)過程當(dāng)中應(yīng)該從實(shí)際問題當(dāng)中去抽象，讓學(xué)生感覺到這些符號有用。例如：每千克蘋果a元，那么3千克蘋果多少元？學(xué)生明確后，進(jìn)而提出問題：你能利用生活中的實(shí)際賦予3a其它的意義嗎？學(xué)生經(jīng)過幾分鐘的思考給出了很多如：每只鋼筆a元，3支鋼筆多少元等的不同解釋。通過這樣一個問題，不僅讓學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)的實(shí)際價(jià)值，而且在舉例的過程中真正理解了符號的意義并會應(yīng)用符號來解決問題。

2．建立學(xué)生的符號感實(shí)際上是一個漸進(jìn)的過程，不能一步到位。我們在教的過程中必須要考慮學(xué)生的每個年齡段的心理和認(rèn)知規(guī)律，要科學(xué)，重視情境教學(xué)，幫助學(xué)生去認(rèn)識與理解符號感。通過創(chuàng)設(shè)問題的情境讓學(xué)生進(jìn)行合作學(xué)習(xí)、共同探索，使其充分認(rèn)識所學(xué)知識的優(yōu)越性和必要性，從而激發(fā)學(xué)生的求知欲，調(diào)動他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。如：在引入建立符號感的過程中，采用了學(xué)生最熟悉的情境一個籃球比賽。學(xué)生熟悉這個情境，非常容易建立式子，自然而然地滲透了符號，包括表格、式子一系列的應(yīng)用。非常自然對于學(xué)生建立符號感，感悟這個問題是有好處的。

3．體驗(yàn)情境中對符號的需求，引導(dǎo)學(xué)生去感知、去頓悟。在講字母表示數(shù)、用代數(shù)式來表示我們生活當(dāng)中一些關(guān)系的時候，或者想出一些關(guān)系式的時候都應(yīng)該讓學(xué)生從一些自己身邊的最熟悉的自己最感興趣的、身邊的東西去出發(fā)，讓學(xué)生去體會用這樣一些代數(shù)式和字母來表示這樣一些關(guān)系的事。它實(shí)際上是一個必要性、簡潔體驗(yàn)情境中對符號的需求，引導(dǎo)學(xué)生去感知、去頓悟簡潔性與一般性。

4．遵循認(rèn)知規(guī)律，滲透數(shù)學(xué)思想方法，循序漸進(jìn)地，讓學(xué)生建立并發(fā)展符號感。對字母表示數(shù)的情境是有層次性的。應(yīng)因材施教。課堂上問題的設(shè)置都要貼近學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，教學(xué)過程中必須遵循認(rèn)知規(guī)律，循序漸進(jìn)，既要考慮它的長期性，又要考慮它的層次性，應(yīng)循序漸進(jìn)的從簡單到復(fù)雜，從特殊到一般。必須是自始至終的，抓住主要的課時進(jìn)行符號感的教學(xué)，才是最有效的。

5．讓學(xué)生努力地去觀察生活、讓他主動的去發(fā)現(xiàn)。加深對實(shí)際情境的了解，增加我們學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和閱歷。6.把抽象的符號語言轉(zhuǎn)換為直觀的圖形語言，就可把數(shù)量關(guān)系問題化為圖形性質(zhì)去討論，形成“以形助數(shù)，數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想。在教學(xué)“數(shù)a的絕對值的化簡時”如果就單純的通過具體的數(shù)發(fā)現(xiàn)正數(shù)、負(fù)數(shù)、零的絕對值的情況，用文字語言敘述也會非常熟練，但是在化簡a的絕對值時，還是會忘記考慮要分類討論，直接將絕對值符號去掉，就等于a，如果此時教師能利用數(shù)軸學(xué)生很容易就會考慮到a的情況，也就不會出現(xiàn)上述的錯誤了?？梢娪袡C(jī)地利用圖形語言，可提高學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)記憶效果,又可以加強(qiáng)理解。如果在教學(xué)時結(jié)合圖形和文字語言加強(qiáng)理解和記憶，學(xué)生則大大的減少錯誤。

與模型思想相關(guān)內(nèi)容：方程模型、不等式模型、函數(shù)模型。

教師要建立以人為本的教育觀，以實(shí)際應(yīng)用問題教學(xué)為突破口,逐步培養(yǎng)運(yùn)用數(shù)學(xué)模型方法的意識。數(shù)學(xué)建模的教學(xué)本身是一個不斷探索、不斷創(chuàng)新、不斷完善和提高的過程。因此必須改變過去以教師為中心、以課堂講授為主、以知識傳授為主的傳統(tǒng)教學(xué)模式，數(shù)學(xué)建模課程指導(dǎo)思想是：以實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)、以學(xué)生為中心、以問題為主線、以培養(yǎng)能力為目標(biāo)來組織教學(xué)工作。

（2）通過實(shí)踐活動或游戲的數(shù)學(xué)，從中培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識和數(shù)學(xué)建模應(yīng)用能力。應(yīng)用數(shù)學(xué)知識去解決各類實(shí)際問題時，建立數(shù)學(xué)模型是十分關(guān)鍵的一步，同時也是十分困難的一步。建立教學(xué)模型的過程，是把錯綜復(fù)雜的實(shí)際問題抽象為合理的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過程。要通過調(diào)查、收集資料，觀察和研究實(shí)際對象的特征和內(nèi)在規(guī)律，抓住問題的主要矛盾，建立起反映實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系，然后利用數(shù)學(xué)的理論和方法去分析和解決問題。數(shù)學(xué)建模是聯(lián)系數(shù)學(xué)與實(shí)際問題的橋梁

第二篇：初中數(shù)學(xué)數(shù)與代數(shù)心得

學(xué)習(xí)《初中數(shù)學(xué)數(shù)與代數(shù)》的心得

通過學(xué)習(xí)《初中數(shù)學(xué)數(shù)與代數(shù)》的課程，我對這部分內(nèi)容有了更深入的體會。

1、初中代數(shù)的三大部分內(nèi)容“數(shù)與式”、“方程與不等式”、“函數(shù)”是緊密相聯(lián)系的?！皵?shù)與式”是“方程與不等式”及“函數(shù)”的基礎(chǔ)，一次式對應(yīng)著一元一次方程、二元一次方程及一次函數(shù)，二次式對應(yīng)著一元二次方程和二次函數(shù)，分式對應(yīng)著分式方程和反比例函數(shù)。而“方程”與“函數(shù)”又是緊密相連，一元一次方程對應(yīng)著一次函數(shù)，分式方程對應(yīng)著反比例函數(shù)，一元二次方程對應(yīng)著二次函數(shù)。認(rèn)識到了這點(diǎn)，在實(shí)際教學(xué)特別是初三中考的復(fù)習(xí)就可以有的放矢了，在教學(xué)中應(yīng)該抓住這三者的聯(lián)系進(jìn)行，使學(xué)生對這部分知識有個系統(tǒng)性的認(rèn)識。而要很好地實(shí)現(xiàn)這三者的聯(lián)系教學(xué)，我覺得可以以變式練習(xí)的形式進(jìn)行，比如利潤問題的解決，當(dāng)利潤已知時，往往是用一元二次方程解決，而當(dāng)利潤未知時，往往要建立二次函數(shù)來解決，那么在這種題型中，就可以以改變條件的方式進(jìn)行變式練習(xí)。

2、對學(xué)生的運(yùn)算能力應(yīng)該要十分重視。很多學(xué)生的運(yùn)算能力較差，有些還依靠計(jì)算器，所以運(yùn)算能力下降。而在實(shí)際教學(xué)中，有很多學(xué)生又會發(fā)出這樣的感慨：“我知道做這道題，可是算到后面就總是錯”這就是運(yùn)算能力的問題，所以我們要重視運(yùn)算能力的提高。首先要讓學(xué)生對運(yùn)算規(guī)則認(rèn)識清楚，其次在實(shí)際教學(xué)中要加強(qiáng)學(xué)生的訓(xùn)練，不要讓他們養(yǎng)成依賴思想。

第三篇：初中數(shù)學(xué)數(shù)與代數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)

初中數(shù)學(xué)數(shù)與代數(shù)知識點(diǎn)總結(jié):

數(shù)與代數(shù)知識點(diǎn)是初中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時期的主要知識點(diǎn)之一，主要包括有理數(shù)、實(shí)數(shù)、代數(shù)式、整式、分式、一元一次方程、二元一次方程（組）、一元二次方程、一元一次不等式（組）、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、等，以下是各具體知識點(diǎn)總結(jié)的理解和分析。

初中數(shù)學(xué)有理數(shù)知識點(diǎn)總結(jié):

有理數(shù)是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容，中考試題中分值約為3-6分，多以選擇題，填空題，計(jì)算題的形式出現(xiàn)，難易度屬于簡單。近幾年主要考察一下幾個方面：①相反數(shù)，絕對值，倒數(shù)等相關(guān)概念 ②負(fù)數(shù)的乘方，加減及混合運(yùn)算。突破方法：①牢固掌握有關(guān)有理數(shù)的概念：如相反數(shù)，倒數(shù)，絕對值等，特別是絕對值的意義，真正掌握數(shù)形結(jié)合的思想，多方面理解概念。②熟練掌握有理數(shù)的各種運(yùn)算法則，特別是負(fù)數(shù)參與的運(yùn)算。在混合運(yùn)算中特別注意符號和運(yùn)算順序，這個要通過一定量的練習(xí)來掌握其中的運(yùn)算技巧，達(dá)到一定的熟練程度。

初中數(shù)學(xué)代數(shù)式知識點(diǎn)總結(jié):

代數(shù)式：中考試題中的分值約為5-6分，主要以選擇，填空題為主，也常出現(xiàn)探尋規(guī)律的題目。難易度屬于中檔。近幾年考察的以下兩個方面：①結(jié)合生產(chǎn)和生活實(shí)際列代數(shù)式，求代數(shù)式的值等。②根據(jù)數(shù)表，圖表，算式尋找規(guī)律建立代數(shù)式模型。突破方法：掌握好列代數(shù)式的要求，技巧，學(xué)會觀察，猜想驗(yàn)證，用熟悉語言正確表達(dá)等解題。考前多做些尋找規(guī)律的題目，真正掌握規(guī)律探索的要點(diǎn)。

初中數(shù)學(xué)整式知識點(diǎn)總結(jié):

整式：中考試題中分值約為4分，題型以選擇，填空為主，難易度屬于易。近幾年主要考察①整式的概念和簡單的運(yùn)算，主要是同類項(xiàng)的概念和化簡求值②完全平方公式，平方差公司的幾何意義③利用提公因式發(fā)和公式法分解因式。突破方法：①要準(zhǔn)確理解和辨認(rèn)單項(xiàng)式的次數(shù)，系數(shù)，同類項(xiàng)。② 在運(yùn)用公式或法則進(jìn)行運(yùn)算式，首先要判斷式子的結(jié)構(gòu)特征，確定解題思路，以便使解題更加方便，快捷。

初中數(shù)學(xué)分式知識點(diǎn)總結(jié):

分式：中考試題中分值約為6-8分，主要以填空，簡答計(jì)算題型出現(xiàn)，難易度屬于中。近幾年主要考察①分式的概念，性質(zhì)，意義②分式的運(yùn)算，化簡求值。③列分式方程解決實(shí)際問題、突破方法：①掌握并靈活應(yīng)用分式的基本性質(zhì)，②在通分和約分時，都要注意分解因式知識的應(yīng)用。③化簡求值時，注意整體思想和技巧的應(yīng)用。④留意生活中是實(shí)際問題

初中數(shù)學(xué)一元一次方程知識點(diǎn)總結(jié):

一元一次方程：中考分值約為1-3分，題型主要以選擇，填空為主，極少出現(xiàn)簡答，難易度為易?？疾靸?nèi)容：①方程及方程解的概念，②根據(jù)題意列一元一次方程，③解一元一次方程。突破方法： ①掌握一元一次方程的概念和解法，熟練解方程。②掌握列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟。通過大量練習(xí)達(dá)到熟練。初中數(shù)學(xué)二元一次方程（組）知識點(diǎn)總結(jié):

二元一次方程組：中考分值約為3-6分，題型主要以選擇，解答為主，難易度為中?？疾靸?nèi)容：①方程組的解法，解方程組②根據(jù)題意列二元一次方程組解經(jīng)濟(jì)問題，突破方法： ①首先掌握二元一次方程組的代人消元和加減消元法。會根據(jù)系數(shù)的特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)姆椒?。熟練解方程組。②多關(guān)注生活中如環(huán)保，利潤，市場經(jīng)濟(jì)等問題，培養(yǎng)自己收集與處理信息的能力。③處分關(guān)注轉(zhuǎn)化，消元，降次，整體等整體思想。初中數(shù)學(xué)一元一次不等式（組）知識點(diǎn)總結(jié):

一元一次不等式（組）：中考試題中分值約為3-8分，選擇，填空，解答題為主。主要考察內(nèi)容： ① 一元一次不等式（組）的解法，不等式（組）解集的數(shù)軸表示，不等式（組）的整數(shù)解等，題型以選擇，填空為主。② 列不等式（組）解決經(jīng)濟(jì)問題，調(diào)配問題等，主要以解答題為主。③留意不等式（組）和函數(shù)圖像的結(jié)合問題。突破方法：①熟練掌握，一元一次不等式（組）的解法和解集在數(shù)軸上的表示，會朱雀求解不等式（組）②能根據(jù)實(shí)際問題列出不等式（組），通過求解不等式（組）而解決問題。③運(yùn)用類比，數(shù)形結(jié)合等方法解答綜合題。

初中數(shù)學(xué)一元二次方程知識點(diǎn)總結(jié):

一元二次方程：中考分值約為3-5分，題型主要以選擇，填空為主，極少出現(xiàn)簡答，難易度為易。考察內(nèi)容：①方程及方程解的概念，②根據(jù)題意列一元一次方程，③解一元一次方程。突破方法： ①掌握一元一次方程的概念和解法，熟練解方程。②掌握列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟。通過大量練習(xí)達(dá)到熟練。初中數(shù)學(xué)一次函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié):

一次函數(shù)：一次函數(shù)圖像與性質(zhì)是中考必考的內(nèi)容之一。中考試題中分值約為10分左右題型多樣，形式靈活，綜合應(yīng)用性強(qiáng)。甚至有存在探究題目出現(xiàn)。主要考察內(nèi)容：①會畫一次函數(shù)的圖像，并掌握其性質(zhì)。②會根據(jù)已知條件，利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式。③能用一次函數(shù)解決實(shí)際問題。④考察一ic函數(shù)與二元一次方程組，一元一次不等式的關(guān)系。突破方法：①正確理解掌握一次函數(shù)的概念，圖像和性質(zhì)。②運(yùn)用數(shù)學(xué)結(jié)合的思想解與一次函數(shù)圖像有關(guān)的問題。③掌握用待定系數(shù)法球一次函數(shù)解析式。④做一些綜合題的訓(xùn)練，提高分析問題的能力。

初中數(shù)學(xué)反比例函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié):

反比例函數(shù)：反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)是中考數(shù)學(xué)命題的重要內(nèi)容，試題新穎，題型靈活多樣，所占分值約為3-8分，難易度屬于難?？疾靸?nèi)容：①會畫反比例函數(shù)的圖像，掌握基本性質(zhì)。②能根據(jù)條件確定反比例函數(shù)的表達(dá)式。③能用反比例函數(shù)解決實(shí)際問題。突破方法：①正確理解掌握反比例函數(shù)的概念②掌握反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)。③運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想形象地解答與反比例函數(shù)圖像的有關(guān)問題。④通過大量練習(xí)，從中體會考察點(diǎn)。

初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié):

二次函數(shù)：二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是中考數(shù)學(xué)命題的熱點(diǎn)，難點(diǎn)。試題難度一般為難。常見選擇，填空題分值為3-5分，綜合題分值為10-12分?？疾靸?nèi)容：①能通過對實(shí)際問題情境的分析確定二次函數(shù)的表達(dá)式，并體會二次函數(shù)的意義。②能用數(shù)形結(jié)合，歸納等熟悉思想，根據(jù)二次函數(shù)的表達(dá)式（圖像）確定二次的開口方向，對稱軸和頂點(diǎn)的坐標(biāo)，并獲得更多信息。③綜合運(yùn)用方程，幾何圖形，函數(shù)等知識點(diǎn)解決問題。突破方法：①正確理解和掌握二次函數(shù)的概念，圖像和性質(zhì)。多讀，多背，圖形結(jié)合。②利用數(shù)形結(jié)合的思想，借助函數(shù)的圖像和性質(zhì)，形象直觀地解決由關(guān)不等式最大（?。┲?，方程的解以及圖形的位

置關(guān)系等問題。③利用轉(zhuǎn)化的思想，通過一元二次方程的根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系解決拋物線與X軸的交點(diǎn)問題。

初中數(shù)學(xué)空間與圖形知識點(diǎn)總結(jié):

空間與圖形知識點(diǎn)是初中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時期的主要知識點(diǎn)之一，主要包括圖形的認(rèn)識、相交線與平行線、三角形、四邊形、圓、尺規(guī)作圖、視圖與投影、圖形軸對稱、圖形的平移與旋轉(zhuǎn)、圖形的相似、銳角三角函數(shù)、圖形與坐標(biāo)、圖形與證明、等，以下是各具體知識點(diǎn)總結(jié)的理解和分析。

初中數(shù)學(xué)圖形的認(rèn)識知識點(diǎn)總結(jié):

圖形的認(rèn)識:中考試題中分值3-5分

初中數(shù)學(xué)相交線與平行線知識點(diǎn)總結(jié):

相交線和平行線：相交線和平行線是歷年中考中常見的考點(diǎn)。通常以填空，選擇形式出現(xiàn)。分值為3-4分，難易度為易?？疾靸?nèi)容：①平行線的性質(zhì)（公理）②平行線的判別方法③構(gòu)造平行線，利用平行線的性質(zhì)解決問題。突破方法： ①平行線的性質(zhì)和判別恨容易混淆了。學(xué)習(xí)時要在”準(zhǔn)”上下功夫。②熟練判斷“三線八角”，弄清它們之間的聯(lián)系與區(qū)別。防止作出錯誤推斷。③對于典型的“平行線間的折線問題”要攻破！

初中數(shù)學(xué)三角形知識點(diǎn)總結(jié):

三角形，三角形是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，中考命題中的重點(diǎn)。中考試題分值約為18-24分，以填空，選擇，解答題，也會出現(xiàn)一些證明題目?？疾閮?nèi)容：①三角形的性質(zhì)和概念，三角形內(nèi)角和定理，三邊關(guān)系，以及三角形全等的性質(zhì)與判定。②三角形全等融入平行四邊形的證明，③三角形運(yùn)動，折疊，旋轉(zhuǎn)，拼接形成的新數(shù)學(xué)問題，④等腰三角形的性質(zhì)與判定，面積，周長等，⑤直角三角形的性質(zhì)，勾股定理是重點(diǎn)。⑥三角形與圓的相關(guān)位置關(guān)系⑦三角形中位線的性質(zhì)應(yīng)用。突破方法：①準(zhǔn)確掌握三角形和三角形的相關(guān)概念，性質(zhì)，判定與解題方法，加強(qiáng)對基本概念，解題思想認(rèn)識。②掌握構(gòu)造全等三角形法，倍長中線法，截長補(bǔ)短發(fā)，分割圖形法等常見方法的應(yīng)用技巧，不斷地總結(jié)，逐步培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力。③加強(qiáng)對的呢個一三角形和指教三角形的概念性質(zhì)的理解記憶，注意性的區(qū)別與聯(lián)系，進(jìn)行知識歸納。④掌握特俗三角形證明題的解題思路和方法，加強(qiáng)對探索題目，創(chuàng)新題目的訓(xùn)練與研究，培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力。

初中數(shù)學(xué)四邊形知識點(diǎn)總結(jié):

四邊形：四邊形的初中數(shù)學(xué)中考中的重點(diǎn)內(nèi)容之一，分值一般為10-14分，題型以選擇，填空，解答證明或融合在綜合題目中為主，難易度為中。主要考察內(nèi)容：①多邊形的內(nèi)角和，外角和等問題②圖形的鑲嵌問題③平行四邊形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形的性質(zhì)和判定。突破方法：①掌握多邊形，四邊形的性質(zhì)和判定方法。熟記各項(xiàng)公式。②注意利用四邊形的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)四邊形的證明。③注意開放性題目的解答，多種情況分析。

初中數(shù)學(xué)圓知識點(diǎn)總結(jié):

圓，圓的有關(guān)性質(zhì)與圓的有關(guān)計(jì)算是近幾年各地中考命題的重點(diǎn)內(nèi)容。題型以填空題，選擇題和解答題為主，也有以閱讀理解，條件開放，結(jié)論開放探索題作為新的題型，分值一般是6-12分，難易度為中，考察

內(nèi)容：①圓的有關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用。垂徑定理是重點(diǎn)。② 直線和圓，圓和圓的位置關(guān)系的判定及應(yīng)用。③弧長，扇形面積，圓柱，圓錐的側(cè)面積和全面積的計(jì)算④圓與相似三角形，三角函數(shù)的綜合運(yùn)用以及有關(guān)的開放題，探索題。突破方法：①熟練掌握圓的有關(guān)行政，掌握求線段，角的方法，理解概念之間的相互聯(lián)系和知識之間的相互轉(zhuǎn)化。②理解直線和原的三種位置關(guān)系，掌握切線的性質(zhì)和判定的歌，會根據(jù)條件解決圓中的動態(tài)問題。③掌握有兩圓半徑的和或差與圓心距的大小關(guān)系來盤底的那個兩個圓的位置關(guān)系，對中考試題中常出現(xiàn)的閱讀理解題，探索題，要靈活運(yùn)用圓的有關(guān)性質(zhì)，進(jìn)行合理推理與計(jì)算。④掌握弧長，扇形面積計(jì)算公式。⑤理解圓柱，圓錐的側(cè)面展開圖⑥對組合圖形 的計(jì)算要靈活運(yùn)用計(jì)算方法解題。初中數(shù)學(xué)尺規(guī)作圖知識點(diǎn)總結(jié):

尺規(guī)作圖：近幾年直接考察尺規(guī)作圖的題目很少出現(xiàn)。即使出現(xiàn)也是結(jié)合其他問題，分值一般2-3分，難易度為易?？疾靸?nèi)容：①拼圖：即圖形的組合，例如用等腰梯形拼菱形②位似圖形的畫法。③常見圖形的基本做法，例如角的平分線，突破方法：①熟練掌握基本的幾何做法，②從畫圖本質(zhì)上理解作圖的原理③根據(jù)給定的條件，結(jié)合圖形特點(diǎn)作圖，注意保留作圖痕跡。

初中數(shù)學(xué)視圖與投影知識點(diǎn)總結(jié):

視圖和投影，是近幾年新課標(biāo)的考試內(nèi)容，也是近幾年中考的熱點(diǎn)。分值一般為3-6分，試題以填空，選擇，解答的形式出現(xiàn)?？疾靸?nèi)容：①常見幾何體的三視圖②常見幾何體的展開和折疊，展開和折疊是考試的熱點(diǎn)，值得注意。③利用相似結(jié)合平行投影和中心投影解決實(shí)際問題。突破方法：①要養(yǎng)成善于觀察，勤于思考的良好習(xí)慣，書本是平面的，生活是立體的。生活中的許多實(shí)物是由基本的幾何體組合而成的，因此必須認(rèn)識基本幾何體的特征。②以動手操作如展開與折疊，截一個幾何體為常用方法。發(fā)展空間想象能力。③加強(qiáng)實(shí)物與幾何圖形轉(zhuǎn)化方面的訓(xùn)練，以提高解答有關(guān)空間圖形方面問題的速度。

初中數(shù)學(xué)圖形軸對稱知識點(diǎn)總結(jié):

圖形的軸對稱是中考題的新題型，熱點(diǎn)題型。分值一般為3-4分，題型以填空，選擇，作圖為主，偶爾也會出現(xiàn)解答題?？疾靸?nèi)容：①軸對稱和軸對稱圖形的性質(zhì)判別。②注意鏡面對稱與實(shí)際問題的解決。突破方法： ①熟練掌握圖形的對稱基本性質(zhì)和基本作圖法。②結(jié)合具體的問題大膽嘗試，動手操作，探究發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在的規(guī)律。③注重對網(wǎng)格內(nèi)和坐標(biāo)內(nèi)的圖形的變換試題的研究，熟練掌握其常用的解題方法。④關(guān)注圖形與變換創(chuàng)新題，弄清其本質(zhì)，掌握基本解題方法，如動手操作法，折疊法，旋轉(zhuǎn)法。

初中數(shù)學(xué)圖形的平移與旋轉(zhuǎn)知識點(diǎn)總結(jié):

圖形的平移，旋轉(zhuǎn)是中考題的新題型，熱點(diǎn)題型，在試題比重，逐年上升。分值一般為5-8分，題型以填空，選擇，作圖為主，偶爾也會出現(xiàn)解答題?？疾靸?nèi)容：①中心對稱和中心對稱圖形的性質(zhì)和別。②旋轉(zhuǎn)，平移的性質(zhì) 突破方法： ①熟練掌握圖形的對稱，圖形的平移，圖形的旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)和基本作圖法。②結(jié)合具體的問題大膽嘗試，動手操作平移，旋轉(zhuǎn)，探究發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在的規(guī)律。③注重對網(wǎng)格內(nèi)和坐標(biāo)內(nèi)的圖形的變換試題的研究，熟練掌握其常用的解題方法。④關(guān)注圖形與變換創(chuàng)新題，弄清其本質(zhì)，掌握基本解題方法，如動手操作法，折疊法，旋轉(zhuǎn)法。

初中數(shù)學(xué)圖形的相似知識點(diǎn)總結(jié):

圖形相似：圖形的形似是平面幾何中極為重要的內(nèi)容，是中考數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)考察內(nèi)容。一般分值約為6-12分，題型以選擇，填空，解答綜合題目為主，難易度屬于難?？疾靸?nèi)容是：①相似三角形的性質(zhì)和判別方法，是重點(diǎn)。②相似多邊形的認(rèn)識，黃金分割的應(yīng)用。③相似形與三角形，平行四邊形的綜合性題目是難點(diǎn)。突破方法：①運(yùn)用相似的知識解決一些實(shí)際問題，要能夠在 理解題意的基礎(chǔ)上，把它轉(zhuǎn)化為純數(shù)學(xué)知識的問題，要注意培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模思想。②在綜合題中，注意相似知識的領(lǐng)會運(yùn)用，binary熟練掌握等線段代換，等比代換，等兩代換技巧的應(yīng)用，培養(yǎng)綜合運(yùn)用知識的能力。③判定相似三角形的幾條思路：1°條件中若有平行線，可采用相似三角形的基本定理;2°條件中若有一對的等角，可再找一對等角，利用判定1或再找家變成比例用判定2 ；3°條件中若有一對直角，可考慮再找一對等角或證明斜邊，直角邊對應(yīng)成比例；④條件中若有的等腰關(guān)系，可找頂角相等，可找一對底角相等，也可以找底和腰對應(yīng)成比例。初中數(shù)學(xué)銳角三角函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié):

解直角三角形，解直角三角形的知識是近幾年各地中考命題的熱點(diǎn)之一，考察題型為選擇題，填空題，應(yīng)用題為主，分值一般8-12分，難易度為難?？疾靸?nèi)容：①常見銳角的三角函數(shù)值的計(jì)算，②根據(jù)圖形計(jì)算距離，高度，角度的應(yīng)用題，③根據(jù)題中給出的信息構(gòu)建圖形，建立數(shù)學(xué)模型，然后用解直角三角形的知識解決問題。突破方法：掌握三角函數(shù)的概念，會熟練運(yùn)用特殊三角函數(shù)值，②了解某些問題中的仰角，俯角，坡度等概念，③將實(shí)際問題轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型④涉及解斜三角形的問題時，會通過作適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造直角三角形，使之轉(zhuǎn)化為直角三角形的計(jì)算問題而達(dá)到解決實(shí)際問題。⑤解應(yīng)用題的關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)際問題畫出是示意圖，弄清圖中各個量的具體意義及各已知量和未知量的關(guān)系。通過大量練習(xí)，熟練建模。

初中數(shù)學(xué)圖形與坐標(biāo)知識點(diǎn)總結(jié):

空間與坐標(biāo)：中考試題中分值約為3-4分，題型以選擇，填空為主，難易度屬于易。近幾年考察主要內(nèi)容：①考察平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征。②函數(shù)自變量的取值范圍和球函數(shù)的值。③考察結(jié)合圖像對簡單實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行分析。突破方法：①援用數(shù)形結(jié)合的思想來理解，體會函數(shù)的基礎(chǔ)知識。②理解平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征。③聯(lián)系生活實(shí)際，理解函數(shù)圖像刻畫實(shí)際生活問題，探索規(guī)律，解決問題。

初中數(shù)學(xué)圖形與證明知識點(diǎn)總結(jié):

空間與坐標(biāo)：中考試題中分值約為3-4分，題型以選擇，填空為主，難易度屬于易。近幾年考察主要內(nèi)容：①考察平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征。②函數(shù)自變量的取值范圍和球函數(shù)的值。③考察結(jié)合圖像對簡單實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行分析。突破方法：①援用數(shù)形結(jié)合的思想來理解，體會函數(shù)的基礎(chǔ)知識。②理解平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征。③聯(lián)系生活實(shí)際，理解函數(shù)圖像刻畫實(shí)際生活問題，探索規(guī)律，解決問題。

初中數(shù)學(xué)數(shù)據(jù)與圖表知識點(diǎn)總結(jié):

數(shù)據(jù)圖表：分值一般在6-10分，題型近幾年主要以解答題出現(xiàn)，偶爾以選擇填空出現(xiàn)。難易度為中。考察內(nèi)容：①常見統(tǒng)計(jì)圖和平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)的計(jì)算分析。②方差，極差的應(yīng)用分析③與現(xiàn)實(shí)生活有關(guān)的實(shí)際問題的考察熱點(diǎn)。題目注重考查統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識分析和數(shù)據(jù)處理。突破方法：①牢固掌握概念，并能掌握概念減的區(qū)別和聯(lián)系。以及在實(shí)際問題的應(yīng)用。②統(tǒng)計(jì)是與數(shù)據(jù)打交道，解題時計(jì)算比較繁瑣，所以要

用意識培養(yǎng)認(rèn)真，耐心，細(xì)致的學(xué)習(xí)態(tài)度和學(xué)習(xí)習(xí)慣。③要關(guān)注統(tǒng)計(jì)知識與方程，不等式相結(jié)合的綜合性題目，會讀頻數(shù)分別直方圖，會分析圖表，注重能力的培養(yǎng)，加大訓(xùn)練力度。

初中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)與概率知識點(diǎn)總結(jié):

統(tǒng)計(jì)與概率知識點(diǎn)是初中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時期的主要知識點(diǎn)之一，主要包括數(shù)據(jù)與圖表、概率初步、等，以下是各具體知識點(diǎn)總結(jié)的理解和分析。

初中數(shù)學(xué)概率初步知識點(diǎn)總結(jié):

概率：分值一般3-6分，題型以選擇，填空常見，更多以解答題目為主，難易度為中。考察內(nèi)容：①簡答事件的概率求解，圖表法和數(shù)形圖法 ②利用概率解決實(shí)際，公平性問題等 ③注意概率知識與方程相結(jié)合的綜合性試題，選材貼近生活，越來越新。突破方法：①牢固掌握概率的求解思想和方法。注意面積比 ②注重概率在實(shí)際問題中的應(yīng)用③要關(guān)注概率與方程相結(jié)合的綜合性試題，加大訓(xùn)練力度，形成能力。初中數(shù)學(xué)綜合題知識點(diǎn)總結(jié):

綜合題知識點(diǎn)是初中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時期的主要知識點(diǎn)之一，主要包括綜合題、等，以下是各具體知識點(diǎn)總結(jié)的理解和分析。

第四篇：初中數(shù)學(xué)數(shù)與代數(shù)學(xué)習(xí)心得體會

初中數(shù)學(xué)數(shù)與代數(shù)學(xué)習(xí)心得體會

通過網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)培訓(xùn),《初中數(shù)學(xué)數(shù)與代數(shù)》課程學(xué)習(xí)，本人對課程標(biāo)準(zhǔn)中數(shù)與代數(shù)部分的要求有整體基本了解，知道了 七年級,八年級,九年級的數(shù)與代數(shù)內(nèi)容包含哪些內(nèi)容，其側(cè)重點(diǎn)在哪里，一定程度上了解每個具體的知識點(diǎn)具有哪些重要的價(jià)值。

在視頻講座中三位老師共探討了六個話題，前三個話題針對內(nèi)容，分別是數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù)，后三個話題針對能力，分別是運(yùn)算能力、符號意識與代數(shù)的思維特點(diǎn)、模型思想。三位老師對各個內(nèi)容從重點(diǎn)、內(nèi)容變化、價(jià)值及作用三個角度對課程標(biāo)準(zhǔn)修訂稿和我們進(jìn)行了解讀 , 對各個能力也從意義及作用、在標(biāo)準(zhǔn)中的含義、與內(nèi)容的聯(lián)系、如何培養(yǎng)該能力這幾個方面和我們進(jìn)行交流。講座設(shè)計(jì)的課程結(jié)構(gòu)清晰，還輔以大量案例，從理性的角度和直觀的方法呈現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂稿對數(shù)與代數(shù)部分的要求。

初中代數(shù)的三大部分內(nèi)容“數(shù)與式”、“方程與不等式”、“函數(shù)”是緊密相聯(lián)系的。“數(shù)與式”是“方程與不等式”及“函數(shù)”的基礎(chǔ)，一次式對應(yīng)著一元一次方程、二元一次方程及一次函數(shù)，二次式對應(yīng)著一元二次方程和二次函數(shù)，分式對應(yīng)著分式方程和反比例函數(shù)。而“方程”與“函數(shù)”又是緊密相連，一元一次方程對應(yīng)著一次函數(shù)，分式方程對應(yīng)著反比例函數(shù)，一元二次方程對應(yīng)著二次函數(shù)。認(rèn)識到了這點(diǎn)，在實(shí)際教學(xué)特別是初三中考的復(fù)習(xí)就可以有的放矢了，在教學(xué)中應(yīng)該抓住這三者的聯(lián)系進(jìn)行，使學(xué)生對這部分知識有個系統(tǒng)性的認(rèn)識。而要很好地實(shí)現(xiàn)這三者的聯(lián)系教學(xué)，我覺得可以以變式練習(xí)的形式進(jìn)行，比如利潤問題的解決，當(dāng)利潤已知時，往往是用一元二次方程解決，而當(dāng)利潤未知時，往往要建立二次函數(shù)來解決，那么在這種題型中，就可以以改變條件的方式進(jìn)行變式練習(xí)。

對學(xué)生的運(yùn)算能力應(yīng)該要十分重視。很多學(xué)生的運(yùn)算能力較差，有些還依靠計(jì)算器，所以運(yùn)算能力下降。而在實(shí)際教學(xué)中，有很多學(xué)生又會發(fā)出這樣的感慨：“我知道做這道題，可是算到后面就總是錯”這就是運(yùn)算能力的問題，所以我們要重視運(yùn)算能力的提高。首先要讓學(xué)生對運(yùn)算規(guī)則認(rèn)識清楚，其次在實(shí)際教學(xué)中要加強(qiáng)學(xué)生的訓(xùn)練，不要讓他們養(yǎng)成依賴思想。

第五篇：六年級數(shù)學(xué)數(shù)與代數(shù)習(xí)題精選

數(shù)與代數(shù)習(xí)題精選

一、填空（每空1分,共20分）

1．二億六千零五萬七千寫作（），改寫成用“萬”作單位的數(shù)是（）萬，改寫成用“億”作單位的數(shù)是（）億，2．0.667，0.76，和68%這三個數(shù)中最大的數(shù)是（），最小的數(shù)是（）。

3．能同時被2、3、5整除的最大的三位數(shù)是（）。

4．某班男生和女生人數(shù)的比是4：5，則男生占全班人數(shù)的（），女生占全班人數(shù)的（）。

5．（）÷（）＝（）÷60＝2：5＝（）%＝（）折

b

6．如果a＝c（c 0），那么（）一定時，（）和（）成正比例；（）一定時，（）和（）成反比例。

7．4去掉（）個分?jǐn)?shù)單位，它就變?yōu)樽钚〉暮蠑?shù)。

二、判斷（對的在括號里打，錯的打），（每題2分，共10分）

1．時間一定，路程和速度成正比例。（）

2．比的前項(xiàng)乘2，比的后項(xiàng)除以2，比值不變。（）

3．小華比小明高5，小明就比小華矮5。（）

4．甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)一定是甲乙兩數(shù)的最大公因數(shù)。（）

5．新培育的某種種子的發(fā)芽率是120%。（）

三、選擇題（將正確答案的序號填入括號內(nèi)），（每題2分，共10分）

1．一臺電冰箱的原價(jià)是2400元，現(xiàn)在按七折出售，求現(xiàn)價(jià)多少元？列式是（），A．2400÷70%B．2400×70%C．2400×（1－70%）

2．甲數(shù)和乙數(shù)都不等于0，如果甲數(shù)的5等于乙數(shù)的3，那么（）

A．甲數(shù)>乙數(shù)B．甲數(shù)<乙數(shù)C．甲數(shù)＝乙數(shù)

3．一批玉米種子，發(fā)芽粒數(shù)與沒有發(fā)芽粒數(shù)的比是4：1，這批種子的發(fā)芽率是（）

A．60 %B．75%C．25%D．80%

4．某班男生人數(shù)比女生人數(shù)多3，則男生人數(shù)占全班人數(shù)的（）

4343

A．3B．4C．7D．7

5．兩根同樣長的繩子，第一根用去全長的4，第二根用去4米，剩下的繩子相比較（）

A．第一根長B．第二根長C．兩根同樣長D．無法確定哪根長

四、計(jì)算題

1．直接寫出得數(shù)（每小題1分，共10分）

4.2÷0.2＝1÷0.6＝5-0.25＋0.75＝4.5×10＝2270÷18＝

75111213×(2＋13)＝9×6＝(): 7＝72÷5＝o.4-0.3＝

2．脫式計(jì)算，能簡算的要簡算。（每小題3分，共12分）

1.05×（3.8－0.8）÷6.3（20.1－21×7）÷5.1 531

（7－8）÷567.6÷5.4÷1.9×5.4

3．解方程（每小題3分，共12分）

1.20.4

x

93x－6＝8.2575＝x?14x＋7.1＝12.5-2x2x?1＝

4．列式計(jì)算（每小題2分，共6分）

比某數(shù)的20%少0.4的數(shù)是7.2，求這個數(shù)。（用方程解）

0.9與0.2的差加上1除1.25的商，和是多少？

五、應(yīng)用題（每題6分，共30分）

1．李師傅加工一批零件，原計(jì)劃每小時加工30個，6小時可以完成，實(shí)際每小時比原來計(jì)劃多加工20%，實(shí)際加工這批零件比原計(jì)劃提前幾小時？

2．客車和貨車同時從甲、乙兩地的中間向相反方向行駛，5小時后，客車到達(dá)甲地，貨車離乙地還有60千米，已知貨車與客車的速度的比是5：7，求甲、乙兩地相距多少千米？

3．在比例尺是1：4000000的地圖上，量得甲、乙兩地相距20厘米，兩列火車同時從甲乙兩地相對開出，甲車每小時行55千米，乙車每小時行45千米，幾小時相遇？

4．李華乘汽車從A地到B地，需要2天，他第一天走了全程的2又72千米，第二天

走的路程是第一天的3，A、B兩地相距多少千米？

5．風(fēng)華服裝廠，接到生產(chǎn)一批襯衫的任務(wù)，前5天生產(chǎn)600件，完成了任務(wù)的40%，照這樣計(jì)算，完成這項(xiàng)任務(wù)一共需要度少天？（用不同的方法解答）