第一篇：全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模經(jīng)驗總結(jié)

全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模經(jīng)驗總結(jié)

我堅信:只有想不到的，沒有做不到的！

我是一名渝州學(xué)院大二學(xué)生，2010年加入學(xué)院建模隊，2011年9月參加了全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽，獲得江西省二等獎，雖然接觸建模時間不是很長，但建模給我?guī)淼膮s很多。

建模對很多人來說是很模糊的東西，但作為一名建模人就應(yīng)該擔(dān)任起對建模的責(zé)任。作為一名?？粕抑雷约合鄬τ趧e人起跑線低，所以進入建模隊后以嚴格的紀律來要求自己，別人懂的我得懂，別人不懂的我也要弄懂，不為別的，只因為要做就要做最好！

我雖在有些方面較強于別人，但我上課時還是認真聽取老師的講解，世上沒有相同的人，每個人的想法思路也不可能完全相同，何不把別人的借鑒過來為己所用，多一個思路就證明多一條出路，多一條出路解題時分析題目的能力自然會比別人想的全面！所以在有些時候我還是把自己的思路講給同學(xué)們參考，一起討論解題的最好辦法！

記得高三班主任在送我上大學(xué)的時候說過“不論什么時候多從別人的角度出發(fā)，凡事不要只為自己，你有足夠的能力去做好任何事，多從事物的本身出發(fā)去考慮，要不做就不要做，但做就要做最好，以后的一切你自己把握！”擔(dān)任過班長、學(xué)習(xí)委員、各科課代表的我曾對大學(xué)的錄取不屑一顧，是人才總有發(fā)揮的地方，不論我的選擇怎樣家人、老師總會支持我。人生是用來闖的，不做錯事是不可能的，但做錯事后我會勇敢承認，人無圣賢，孰能無過！

加入建模隊后我認識到，不是任何錯誤都可以犯的，也許某步棋沒走對，那滿盤就盡輸了！所以不論每次訓(xùn)練我都警告自己失誤不是每個人都犯得起的，建模建的是我們的思維，我們分析問題的能力，處理問題的方法，文字的表達能力。沒有人會去當面問你解題的思路，我們唯一能做的就是把自己的思路想法用精煉的文字表達出來，這也鍛煉了我對人處事的方式，以前總會想差不多就可以了，不去追求理解事物的本質(zhì)，但建模不允許我們這么做，任何問題都要求我們刨根問底，對題目不理解何來的思路可循？

單純從快遞的運輸方面舉例來說，如果讓我們設(shè)計一種最快、最低廉的運送方案，大多數(shù)人會考慮到運輸設(shè)備的調(diào)用、運輸路線的選擇、接受地點的設(shè)置等方面，但對于從建模走過的人來說，我們會考慮的更深一層，例如該選用什么運輸方式可以讓運費最低，可以結(jié)合當?shù)亟煌ㄇ闆r，利用單文件多種運輸方式結(jié)合進行遞送，通過對各種運輸方式了解后，在保證運送時間相當?shù)那闆r下，選用最低費用的運輸方式，當然得結(jié)合實際情況。

總之，建模讓我從另一個方面看世界，能讓我更深入的分析理解問題，以致讓我用最好的方法進行處理！

要做就做最好，不論什么時候只要確立了目標就要堅持到底！

第二篇：全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模大賽經(jīng)驗總結(jié)

比賽須知：

1、比賽期間參賽隊員可以使用各種圖書資料、計算機和軟件，在國際互聯(lián)網(wǎng)上瀏覽。

2、但是不得與隊外任何人員（包括在網(wǎng)上）討論，否則按舞弊處理。比賽期間不能大聲喧嘩，不能影響別的隊。

6、數(shù)學(xué)建模大賽時間安排：

發(fā)題時間：2014年9月12日至9月15日上午8點

參加數(shù)學(xué)建模競賽的十大秘訣誠信是最重要的數(shù)學(xué)建模競賽是考查學(xué)生研究能力和實踐能力的一場綜合性比賽，有很多方面的知識和能力可以考查，但其中我覺得最重要的是誠信。我感到中國在這方面的教育還遠遠不夠，我知道有很多同學(xué)寫論文并不是實事求是地去做，而是編造數(shù)據(jù)、修改結(jié)論，明明自己沒法編程實現(xiàn)卻硬說自己做出來了，還編了一些數(shù)據(jù)。這些行為也許能夠騙過評委，也許可以因“此”而獲獎，但是這對他們將來是很不利的,希望能夠引起足夠的注意。團隊合作是能否獲獎的關(guān)鍵

在三天的比賽中，團隊交流所占用的時間可能會超過一半。在一個小組中，出現(xiàn)意見不一是非常正常的，如果一個隊意見完全一致，我想他們肯定不會拿獎。出現(xiàn)分歧的時候應(yīng)當如何解決是很關(guān)鍵的，甚至直接決定你是否可以獲獎，我的建議是“妥協(xié)”，這似乎是個貶義詞，但我的意思是說不要總認為自己的觀點是正確的，多聽聽別人的觀

點，在兩者之間謀求共同點。如果三個人都是自傲類型的人，也許每個人都非常強，但一旦合作，分歧就無法解決，做出來的就是一團糟，也就是說“三個諸葛亮頂不上一個臭皮匠”。我奉勸這樣的話最好別組成一隊了。合作在競賽前就應(yīng)當培養(yǎng)，比如一塊兒做模擬題什么的，充分利用每個人的優(yōu)點，也可以張三準備圖論，李四準備最優(yōu)化方法，然后幾天后大家一塊交流，這些都是可以磨合團隊之間的關(guān)系的。通常在比賽時，三個人的分工是明確的，一個是領(lǐng)軍人物，主要是構(gòu)建整個問題的框架并提出有創(chuàng)意的idea，自然其他部分比如論文寫比如程序設(shè)計比如計算他也能參加，應(yīng)該算是一名全能型的人物;第二個是算手，顧名思義，主司計算方面的問題，比如編程計算一個微積分或者手工計算一條最優(yōu)路徑等。優(yōu)秀的團隊算手一般會精通(是精通不是入門)一個軟件的應(yīng)用，比如C比如MATLAB比如LINGO;最后一個是寫手，主要工作在于論文的寫作和潤色上。好的論文要讓人一眼就明了其中的意思，所以寫手的工作還是需要一定的技巧的。當然，最重要的還是三個隊員之間的討論和交流，同心協(xié)力，在整個比賽過程中形成一種良好的交流氛圍。時間和體力的問題

競賽中時間分配也很重要，分配不好可能完不成論文，所以開始時要大致做一下安排。不必分的太細，比如第一天做第一小題，第二天做第二小題，這樣反而會有壓力，一切順其自然。開始階段不忙寫作，可以將一些小組討論的要點記錄下來，不要太工整，隨便寫一下，到第三天再開始寫論文也不遲的。也不要到第三天晚上才開始。另外要

說的就是體力要跟上，三天一般睡眠只有不到10 個小時，所以沒有體力是不行的，建議是賽前熬夜編程幾次，既訓(xùn)練了自己的建模能力，也達到了訓(xùn)練體力的目的，賽前鍛煉身體我覺得沒什么用處，多熬夜就行了，但比賽前一天可不許熬。重視摘要

摘要是論文的門面，摘要寫的不好評委后面就不會去看了，自然只能給個成功參賽獎。摘要首先不要寫廢話，也不要照抄題目的一些話，直奔主題，要寫明自己怎樣分析問題，用什么方法解決問題，最重要的是結(jié)論是什么要說清楚，在中國的競賽中結(jié)論如果正確一般得獎是必然的，如果不正確的話評委可能會繼續(xù)往下看，也可能會扔在一邊，但不寫結(jié)論的話就一定不會得獎了，這一點不比美國競賽，所以要認真寫。摘要至少需要琢磨兩個小時，不要輕視了它的重要性。很有必要多看看優(yōu)秀論文的摘要是如何寫的，并要作為賽前準備的內(nèi)容之一。論文寫作要正規(guī)

論文一定要大致按照摘要、問題重述、模型假設(shè)、符號說明、問題分析、(建立、分析、求解模型)、模型檢驗、參考文獻、附錄等等的方式來寫。一篇論文結(jié)構(gòu)上如果失敗的話，比賽也一定不會成功，一般初評會先淘汰一些結(jié)構(gòu)失敗的文章，如果論文沒有好的結(jié)構(gòu)，內(nèi)容再好也沒有用。論文前面的結(jié)構(gòu)一般都不會變，后面可以按照實際情況來安排，省略的部分可以有結(jié)果說明、靈敏度分析、其他模型、模型擴展、優(yōu)缺點分析等等，多看些優(yōu)秀論文就知道還有哪些形式了。附

錄可以貼一些算法流程圖或比較大的結(jié)果或圖表等等。分析問題要認真

一般競賽題目自己肯定沒有見過，而且我發(fā)現(xiàn)近些年來的賽題都不是書上哪個模型可以直接套成功的，很多根本就沒有固定的模型可以參考，所以分析問題不是一個去找書本的過程，依賴書本就意味著自己的思想被束縛起來?？梢酝耆凑兆约旱姆治鋈ネ瓿?，平時練習(xí)的時候?qū)W習(xí)的是一種方法，通過以前學(xué)到的方法來解決，不是套用書本來解決，沒有模型套怎么辦，只有靠自己去實際分析。我估計在前面說的五點也許會有三分之一的隊可以做到，而且可以做的很好，但是這一點上就需要真本事了，平時多努力，比賽發(fā)揮正常，這一點做好是沒有問題的。編程求解是重要手段

美國競賽時，美國學(xué)生中的論文很多是編程數(shù)據(jù)的說明，比如99 年

A 題行星撞地球那題，他們也能夠模擬出撞擊后果，這對我們來說簡直是不可思議的。美國學(xué)生實踐能力較強，而中國學(xué)生擅長理論分析，所以我把編程放在了分析的后面是有中國特色的。數(shù)學(xué)建模競賽特別強調(diào)計算機編程解決實際問題的能力，最近幾年尤其強調(diào)，編程方面的能力不是一朝一夕可以練成的，需要長期刻苦的訓(xùn)練，常用的工具有MATLAB、Mathematica、C/C++ 等等，一個人只需要會一門語言就行了，但需要精通它。比如要畫柱狀圖該怎么做，要用Floyd 算法怎么辦，賽前不準備是沒有辦法在比賽中很好運用的，因此每個常用的算法都自己去編程實現(xiàn)一下。模型的假設(shè)與模型的建立

評委看完摘要后緊接著就是看模型假設(shè)了，有一個萬能的方法就是可以抄題目中可以作為假設(shè)的幾句話，這樣會給人留下好的印象，畢竟說明你審題了。但不能全抄，要加上自己的一些假設(shè)。一般假設(shè)用文字描述就行了，最好不要太具體了，一些重要參數(shù)不要被定死只能取某些值，否則會讓人感覺論文的局限性較強。模型的建立是根據(jù)你對問題分析而來的，提出的數(shù)學(xué)符號和建立模型最好要比較接近，在同一頁最好，以便評委可以對照符號來看，數(shù)學(xué)公式要嚴謹，推導(dǎo)要嚴密，這些都反映了參賽者的數(shù)學(xué)素質(zhì)和能力，即使你推導(dǎo)不對，別人看到你的陣勢也首先會誤以為你是對的。那么多的試卷，評委不可能順著你的公式一直推下去，但你要寫得顯得有數(shù)學(xué)修養(yǎng)才行。9 圖文表并貌可以增色

我聽說一個不確切的信息是評委老師喜歡用MATLAB 編程的論文，不知道有沒有這回事，但這說明了老師需要看一個具有圖或表在其中的論文，一篇如果像政治書那樣寫的論文估計沒有人會對它感興趣的，尤其是科技論文。MATLAB 編程之所以受到青睞是因為MATLAB 提供的圖形處理能力很強大。圖表的說明性特別強，如果結(jié)論有很多數(shù)據(jù)的話，最好做成圖表的形式加以說明，會令你的論文更有說服力，也更容易受到評委的好評。其他

其他內(nèi)容還是有很多的，說也說不完，挑幾個重要的講。比如不要上網(wǎng)討論，網(wǎng)上的人水平參差不齊，你不知道誰是對的，而且很多人想

得獎，不會告訴你正確的，反而騙你說相反的，有時真理往往掌握在少數(shù)人手里。還有就是論文寫作中靈敏度分析不要寫太多，大致說明一下就可以了，不要喧賓奪主。最后想到的就是要使用數(shù)學(xué)公式編輯器來寫論文，不要用什么上下標來表示，論文字體用小四，分標題用四號黑體等等。

第三篇：2014全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽

嫦娥三號軟著陸軌道設(shè)計與控制策略

摘要

隨著月球探測任務(wù)的發(fā)展,未來月球探測考察目標將主要是 復(fù)雜地形特性的高科學(xué)價值區(qū)域。為了能夠安全地在這些遍布巖石、的區(qū)域內(nèi)完成高精度軟著陸，這就要求導(dǎo)航和控制系統(tǒng)具有較強的自主性和實時性。本文針對最終著陸段安全、精確的需求，對月球軟著陸導(dǎo)航與控制方法進行較深入研究，主要內(nèi)容包括：

首先，提出一種基于單幀圖像信息的障礙檢測方法。該方法根據(jù)著陸區(qū)內(nèi)障礙成像的特點，通過匹配相應(yīng)的陰影區(qū)與光照區(qū)完成對巖石、彈坑的檢測，利用圖像灰度方差對粗糙區(qū)域進行提?。涸跈z測出故障信息的基礎(chǔ)上，選取安全著陸點以保證軟著陸任務(wù)的成功。

其次，給出一種基于矢量觀測信息的自主光學(xué)導(dǎo)航方法。該方法利用光學(xué)相機和激光測距儀測量值構(gòu)建著陸點相對著陸器的矢量信息，結(jié)合著陸器的姿態(tài)信息確定著陸器的位置。為了消除測量噪聲帶來的干擾，利用擴展Kalman濾波理論設(shè)計了導(dǎo)航濾波器。

再次，提出一種李雅普諾夫函數(shù)障礙規(guī)避制導(dǎo)方法。該方法通過對狀態(tài)函數(shù)、危險地形勢函數(shù)的設(shè)計，以滿足平移過程中減低障礙威脅與精確定點著陸器，設(shè)計PWPF（調(diào)頻調(diào)寬）調(diào)節(jié)器實現(xiàn)定推理等效變推力控制效果。

最后，針對采用變推力主發(fā)動機的月球著陸器，提出一種垂直軟著陸控制方法。該方法采用標稱控制與閉環(huán)控制相結(jié)合的方式，規(guī)劃標稱軌跡以保證著陸器到達著陸點時其下降速度、加速度亦為零，設(shè)計閉環(huán)控制器產(chǎn)生附加控制量消除初始偏差、著陸器質(zhì)量變化的干擾，以保證著陸器沿標稱軌跡到達著陸點。

本文分別對所提出的最終著陸段導(dǎo)航與控制方法進行數(shù)學(xué)仿真以驗證個方法的可行性。仿真結(jié)果表明，本文多給出導(dǎo)航方法能夠達到較高的性能指標，滿足在危險區(qū)域?qū)崿F(xiàn)高精度軟著陸的需要。

關(guān)鍵詞： 月球軟著陸；自主導(dǎo)航與控制；障礙檢測；規(guī)避制導(dǎo)；適量測量

一、問題重述

嫦娥三號于2013年12月2日1時30分成功發(fā)射，12月6日抵達月球軌道。根據(jù)計劃，嫦娥三號將在北京時間12月14號在月球表面實施軟著陸。嫦娥三號如何實現(xiàn)軟著陸以及能否成功成為外界關(guān)注焦點。嫦娥三號在著陸準備軌道上的運行質(zhì)量為2.4t，其安裝在下部的主減速發(fā)動機是目前中國航天器上最大推力的發(fā)動機，能夠產(chǎn)生1500N到7500N的可調(diào)節(jié)推力，進而對嫦娥三號實現(xiàn)精準控制。其比沖（即單位質(zhì)量的推進劑產(chǎn)生的推力）為2940m/s，可以滿足調(diào)整速度的控制要求。在四周安裝有姿態(tài)調(diào)整發(fā)動機，在給定主減速發(fā)動機的推力方向后，能夠自動通過多個發(fā)動機的脈沖組合實現(xiàn)各種姿態(tài)的調(diào)整控制。嫦娥三號的預(yù)定著陸點為19.51W，44.12N，海拔為-2641m。嫦娥三號將在近月點15公里處以拋物線下降，相對速度從每秒1.7公里逐漸降為零。整個過程大概需要十幾分鐘的時間。在距月面100米處時，嫦娥三號要進行短暫的懸停，掃描月面地形，避開障礙物，尋找著陸點。之后，嫦娥三號在反推火箭的作用下繼續(xù)慢慢下降，直到離月面4米高時再度懸停。此時，關(guān)掉反沖發(fā)動機，探測器自由下落。

嫦娥三號在高速飛行的情況下，要保證準確地在月球預(yù)定區(qū)域內(nèi)實現(xiàn)軟著陸，關(guān)鍵問題是著陸軌道與控制策略的設(shè)計。其著陸軌道設(shè)計的基本要求：著陸準備軌道為近月點15km，遠月點100km的橢圓形軌道；著陸軌道為從近月點至著陸點，其軟著陸過程共分為6個階段，分別為著陸準備軌道、主減速段、快速調(diào)整段、粗避障段、精避障段、緩速下降階段，要求滿足每個階段在關(guān)鍵點所處的狀態(tài)；盡量減少軟著陸過程的燃料消耗。

根據(jù)上述的基本要求，請你們建立數(shù)學(xué)模型解決下面的問題：

（1）確定著陸準備軌道近月點和遠月點的位置，以及嫦娥三號相應(yīng)速度的大小與方向。（2）確定嫦娥三號的著陸軌道和在6個階段的最優(yōu)控制策略。

（3）對于你們設(shè)計的著陸軌道和控制策略做相應(yīng)的誤差分析和敏感性分析。

二、問題分析

對于問題一：

嫦娥三號從15公里左右的高度下降到月球表面，在這一過程中不考慮月球表面太陽風(fēng)的影響，忽略月球的自轉(zhuǎn)速度引起的科氏力的影響，由于下降時間比較短也不考慮太陽、地球?qū)︽隙鹑柕臄z動影響，嫦娥三號水平速度要從1.692km/s降為0m/s由于3000m處時嫦娥三號已經(jīng)基本位于著陸點上方，所以此時假設(shè)在3000m處的速度只存在豎直向下的速度而不存在水平分速度，因為降落減速時間比較短只有垂直于月面的方向運動才能實現(xiàn)，所以在確定著陸點位置和著陸軌跡時應(yīng)當考慮燃料最優(yōu)情況下推力最大，方向自由的方法即取F?7500N建立主減速段動力學(xué)模型。

三、符號說明

四、模型假設(shè)

對于問題一：

忽略月球的自傳和太陽、地球?qū)︽隙鹑栃l(wèi)星的引力攝動 月球近似為一個質(zhì)量均勻的標準球體 將嫦娥三號是為一個質(zhì)點

主減速忽略動作調(diào)整所產(chǎn)生的燃料消耗段不考慮太陽風(fēng)的影響

五、模型建立與求解

5.1問題一的建模與求解 解法一： 假設(shè)嫦娥三號在t時刻在遠月點開始緩慢下降，在n時刻到達近月點，整個過程遵循開普勒第三定律，即

v0?0

在t時刻有：v1?2??R1????? ??R0?R0?R1?r0 R0?r1?r2 其中v1：遠月點速度

v2：近月點速度

R0：遠月點月心距

R1：近月點月心距（已知月球的半徑為1738千米）

R0?1738?100?1838km

R1?1738?15?1753km 在t1時刻處v2? k?2??R1??? ?R0?R0?R1??R0?0.512k?0.488 R0?R1利用能量平衡式求得近地點速度為

2?0.512?49012（）?1.692km/s（沿切線方向）v2?，比當?shù)氐沫h(huán)境速度17531.672km/s大?vk?0.0196km/s，徑向速度vk?0。

1同理解得v1?1.6139km/s（沿切線方向）

vri?0

解得主減速段動力學(xué)模型的建立：

根據(jù)題意，在橫向飛行的水平距離遠遠小于月球半徑的平均值，所以可以將整個減速段過程簡化為水平和豎直方向運動方程，根據(jù)牛頓第二定律、速度計算公式有：

ax?Tx may?tTymTxt?a

?1.692km/s ?m?0?Qdt0??Ty???a?dt?57m/s t?0??m??Qdt?0??t?T22x?Ty2??7500N

v2?2at?S

運用matlab編程解得S?451810.4m； 其中 ax：水平方向加速度

ay：豎直方面加速度

a：月球表面重力加速度a? Tx：推力的水平方向分力

Ty：推力的豎直方向分力

t:主減速段時間

S:嫦娥三號主減速段水平位移

Q:嫦娥三號發(fā)動機燃料秒消耗率

根據(jù)已知資料得到嫦娥三號著陸過程中緯度改變，經(jīng)度基本不變，月球赤緯和地球緯度一樣也分為南北各90個分度,又因為月球極區(qū)半徑為1735.843km，所以每一個緯度的豎直高度差為19.2871

4g 6千米。即近月點位置坐標為?19.0464W,28.9989N?海拔15km,遠月點位置坐標為?160.9536E,28.9989S?海拔100km。

解法2:軌跡方程法。

眾所周知,太陽系中的八大行星都在按照各自的橢圓軌道繞太陽進行公轉(zhuǎn),太陽位于橢圓的一個焦點上,行星的運動遵循開普勒三定律,筆者發(fā)現(xiàn),在各類物理競賽中,常會涉及到天體運動速度的計算,本文擬從能量和行星運動的軌跡方程兩個不同的角度來探索行星在近日點和遠日點的速度。

該解法的指導(dǎo)思想是對橢圓的軌跡方程求導(dǎo),并結(jié)合一般曲線的曲率半徑通式求出近日點和遠日點的曲率半徑表達式,然后利用萬有引力提供向心力列方程求解。如圖1所示,橢圓的軌跡方程為

x2y2?2?1 ?5? 2ba將?5?式變形為

a2x2?b2y2?a2b2 ?6?

根據(jù)隱函數(shù)的求導(dǎo)法則將?6?式對x求導(dǎo)有

2a2x?2b2yy??0 ?7? 即

a2xy???2 ?8?

by將?7?式再次對x求導(dǎo)得

2a2?2b2(y?y??yy??)?0 ?9? 將?8?、?9?兩式聯(lián)立得

a2b2y2?a4x2 ?10? y???-43by根據(jù)曲率半徑公式有 r?(1?y?)?11? ??y122 將?8?、?10?、?11?式聯(lián)立并將A點坐標A(0，a)代入可得A點的曲率半徑為

b2RA? ?12?

a根據(jù)橢圓的對稱性,遠日點B的曲率半徑為

b2RB?RA? ?13?

a 由于在A、B兩點行星運行速度方向與萬有引力方向垂直,萬有引力只改變速度方向,并不改變速度大小,故分別根據(jù)萬有引力提供向心力得

GMmmvA ?14? ?(a?c)2RAGMmmvB ?15? ?2(a?c)RB將?13?至?15?式聯(lián)立可得 22vA?bGMbGM，vB? ??a?caa?ca

5.2問題二的建模與求解 模型一：動力學(xué)模型

典型的月球軟著陸任務(wù)中,探測器一般首先發(fā)射到100km的環(huán)月停泊軌道,然后根據(jù)所選定的著陸位置,在合適的時間給著陸器一個有限脈沖,使得著陸器轉(zhuǎn)入近月點(在著落位置附近)為15km,遠月點為100km的月球橢圓軌道,這一階段稱為霍曼轉(zhuǎn)移段。當著陸器運行到近月點時,制動發(fā)動機開始工作,其主要任務(wù)是抵消著陸器的初始動能和勢能,使著陸器接觸地面時,相對月面速度為零,即實現(xiàn)所謂的軟著陸,這一階段稱為動力下降段。著陸器的大部分燃料都是消耗在此階段,所以月球軟著陸軌跡優(yōu)化主要是針對動力下降段這一階段。由于月球表面附近沒有大氣,所以在飛行器的動力學(xué)模型中沒有大氣阻力項。而且從15km左右的軌道高度軟著陸到月球表面的時間比較短,一般在幾百秒的范圍內(nèi),所以諸如月球引力非球項、日月引力攝動等影響因素均可忽略不計,所以這一過程可以在二體模型下描述。其示意圖如圖1所示,其中o為月球質(zhì)心,x軸方向為由月心指向著陸器的初始位置,y軸方向為初始位置著陸器速度方向。

圖 1 月球軟著陸極坐標系

其動力學(xué)方程如下: r??v ????

v??(F/m)sin???/r?r

2?2 ????((F/m)cos??2v?)/r

m???F/ISP

在上式中r為著陸器與月心距離,v為著陸器徑向速度,?為著陸器極角,?為著陸器極角角速度,?為月球引力常數(shù),F著陸器制動發(fā)動機推力,m為著陸器質(zhì)量,?為制動發(fā)動機推力方向角,其定義為F與當?shù)厮椒较驃A角,ISP為制動發(fā)動機比沖。根據(jù)動力下降段的起點位置可以確定動力學(xué)方程初始條件,由于起點處于霍曼轉(zhuǎn)移軌道的近地點,故其初始條件為: r0?rp

?0?0

v0?0 ?0?1rp?rp(2ra)ra?rp其中rp和ra分別為霍曼轉(zhuǎn)移段的近地點半徑和遠地點半徑。

終端條件為實現(xiàn)軟著陸, 即

rf?R

vf?0

?f?0

其中R為月球半徑,終端條件中對終端極角?f及終端時間tf無約束。

優(yōu)化變量為制動發(fā)動機推力方向角?(t)。

優(yōu)化的性能指標為在滿足上述初始條件和終端條件的前提下, 使著陸過程中燃料消耗最少,即

J??m(t)dt

t0f設(shè)計主減速段制導(dǎo)控制律 2動力下降段燃料最優(yōu)精確著陸問題描述 2.1 燃料最優(yōu)精確著陸問題

著陸器運動方程：考慮采用變推力發(fā)動機情況，有

r?v

.v?g?a

(1)

a?Tmm??aT..其中r?[rhrxry]T，v?[vhvxvy]T分別表示著陸器相對期望著陸點的位置和速度矢量；T為推力器提供的推力矢量，幅值為 T，對應(yīng)控制加速度矢量 a；g為火星的重力加速度矢量，此處認為是常值；m為著陸器質(zhì)量，對應(yīng)推力器質(zhì)量排除系數(shù)?。指標函數(shù)：考慮燃料消耗

min(m0?mf)???min?0fTdt

(2)邊界條件：即初始條件和終端條件

r(0)?r0,v(0)?v0,m(0)?m0,r(tf)?v(tf)?[000]

(3)控制約束：考慮發(fā)動機一旦啟動不能關(guān)閉，存在最大和最小推力約束

0?T1?T?T

2(4)狀態(tài)約束：為避免在著陸前撞擊到火星地表，需確保整個下降段位于火星地平面以上，即

rh?0

（5）進一步地，若著陸區(qū)域附近表面崎嶇不平，僅僅確保地表約束不能滿足需求時，可以考慮下降傾角約束，即將著陸器下降軌線約束到以著陸點為頂點的圓錐體內(nèi)

2.2 等效后燃料最優(yōu)精確著陸問題 定義等效變換變量

Ttrx2?ry2rh?tan?alt

（6）

u?a?T

?m

（7）

??Tmz?lnm??等效著陸器運動方程： ?.??r??0I3.?.??

y??v??00??.??00?z????其中p?[u?T0??r??0?v???I0?????30??z????0?7*7?0??u?g??0????Acy?Bc(p?g4)

（8）????????],g4?[gTT?0]T

t指標函數(shù)：

min?0f?(t)dt

（9）

邊界條件：同式(3)。

控制約束：由文獻[10]可知，控制約束(4)可等效表示為

u??1T1e?z0[1?(z?z0)?(z?z0)2]???T2e?z0[1?(z?z0)]

（10）（11）

2狀態(tài)約束：地表約束同式(5)，傾角約束(6)可等效表示為

T

Sy?cy?0

（12）

其中

?0100000?S???

0010000??c???tan?alt

T000000?

3.燃料最優(yōu)精確著陸問題的離散化及變換 3.1 等效燃料最優(yōu)精確著陸問題的離散化

首先將整個飛行時間均分成 n 段（對應(yīng) n +1 個點），每段步長為?t，離散化后的著陸器運動方程為：yk?1?Ayk?B(pk?g4)

其中A?R7?7,B?R7?4分別為離散系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣

12A?e?tAc?I3??tAc??tAc??

2?t?t112B??e??t?s?AcBcds??esAcds?Bc??tBc??tBc??t2Bc??

0026其中I3為三階單位陣。

有系統(tǒng)性質(zhì)可知，整個控制時域內(nèi)系統(tǒng)狀態(tài)滿足 y3?Ay2?B?p2?g4??A3y0?A2B?p0?g4??AB?p1?g4??B?p2?g4??yn?Ayn?1?B?pn?1?g4??Any0?An?1B?p0?g4????AB?pn?2?g4??B?pn?1?g4?y1?Ay0?B?p0?g4?y2?Ay1?B?p1?g4??A2y0?AB?p0?g4??B?pn?2?g4??B?p1?g4?

為表達方便，令

?y0??p0???0??A0??y??p?????1??1??1??1??A? ,p??p2?，????2???A2? Y??y2?????????????????????n?????yn??7?n?1??1?pn??4?n?1??1??n????A?7?n?1??7??0??0????B?1??????AB???2???2??3??AB????????n?1?A??n????則(15)可等價于

0???0??0?????B?0?1???????2??AB?B?B000???????2? ?ABB00???3??A?AB?B??????????0????n?1???A???AB?B?A2BABB????n????7?n?1??4?n?1???000000Y??y0??p??g4

分別定義如下常值矩陣：

最終可得離散化后的燃料最優(yōu)化問題如下： 指標函數(shù)：式(9)可表示為

邊界條件：式(3)可表示為

控制約束：式(10)和式(11)分別可表示為

狀態(tài)約束：式(5)和式(12)分別可表示為

含有 p個線性約束和 q個二階錐約束的最優(yōu)化問題的標準形式為 指標函數(shù)

min(?Tx)滿足約束

DTx?f?0Ax?ci?b?dinTiTi

（k=1,?，n）

n*pp其中x?R為待優(yōu)化向量，??R，線性約束參數(shù)D?R,f?R，二階錐約束參數(shù)維數(shù)n(Ai,bi,ci,di)由相應(yīng)約束確定

則式(17)～式(23)可最終轉(zhuǎn)換為如下最優(yōu)化問題： 指標函數(shù)：min(vpp)滿足：

初值約束:MxΨ0p?Mx(Ψ0y0)?A0g4?r0末值約束:MxΨ0p?Mx(Ψ0y0)?A0g4控制約束:Murkp?v?rkp 控制上限:?(vzΨk?TT?TTv0?T?0

?0

T1vr)p?1?vTz(Φky0?Akg4)?z0,z?0 ?z0?kT2e 控制下限：

4數(shù)值仿真結(jié)果與分析本節(jié)以某火星著陸器為例，計算了典型初始條件下滿足各種約束的燃料最優(yōu)精確著陸軌跡。其中探測器各參數(shù)分別取為：m0?2000kg,g?[?3.711400]ms2,c?2kms,T1?1.3kN,T2?13kN.。著陸器初始位置矢量r0= [1500,-600, 800] m，初始速度矢量v0= [-30, 10, 40]m/s，傾角?alt=86°。二階錐優(yōu)化問題可以通過大量免費的優(yōu)化工具求解，如 CSDP、DSDP、OpenOpt、SeDuMi、SDPA、SDPLR等。本文選用 SDPT3 進行計算，通過執(zhí)行線性搜索確定燃料最優(yōu)下降時間tf為 43s，圖 1 給出了相應(yīng)的最優(yōu)著陸軌跡、下降速度、加速度、控制推力、推力幅值以及探測器質(zhì)量變化曲線。

由優(yōu)化結(jié)果可以看出，探測器在給定時間飛行并軟著陸到指定位置，且在整個下降過程始終與火星地表保持一定的安全距離，驗證了下降傾角約束的有效性。其推力幅值曲線呈現(xiàn)“最大-最小-最大”的最優(yōu)控制形式，不過為了保持發(fā)動機始終處于點火狀態(tài)，在中間段對應(yīng)最小推力約束，這與文獻中的分析結(jié)論一致。此外，通過利用如 TOMLAB 等商業(yè)最優(yōu)控制軟件進行復(fù)核計算，也驗證了此計算結(jié)果的燃料最優(yōu)性能。

*

圖 1 給定初始條件下火星著陸器動力下降段燃料最優(yōu)計算結(jié)果

需要注意到，此燃料最優(yōu)軌跡的獲取對著陸器的實時在線計算性能提出了較高的要求，經(jīng)測試，無論使用何種優(yōu)化工具，計算給定飛行任務(wù)時間的最優(yōu)軌跡均需數(shù)秒，而全局最優(yōu)則需要數(shù)十秒甚至更長，這在實際任務(wù)中是不允許的。因此，可行的方案是通過在地面計算大量的燃料最優(yōu)軌跡，并尋找規(guī)律，選取關(guān)鍵路徑點狀態(tài)存儲到著陸器計算機中，通過在線查表或者在利用對計算量要求較小的反饋制導(dǎo)律完成安全著陸任務(wù)。

因此，為了研究探測器燃料最優(yōu)軌跡特性，選取相同的探測器參數(shù)，暫不考慮推力器最小幅值約束和傾斜角約束（但考慮地表約束），固定初始高度為 1500m，初始位置水平方向從-8000m 到 8000m 內(nèi)取值，分別選取各種不同的初始速度，可得燃料最優(yōu)精確著陸軌跡簇如圖 2 所示。

圖 2 各種不同初始速度對應(yīng)的火星著陸器動力下降段燃料最優(yōu)軌跡簇

1)對任意探測器初始位置，特定初始速度對應(yīng)的燃料最優(yōu)著陸軌跡在末端必然收斂到一個固定的近似圓錐體內(nèi)。

2)取決于探測器初始位置和速度的關(guān)系，燃料最優(yōu)軌跡有兩種形式：S 型和 C 型，其中 S 型主要對應(yīng)于期望著陸點位置水平距離較大情況。3)當探測器初始水平速度為零時，圓錐體軸線垂直于火星地表，所有最優(yōu)軌線關(guān)于該軸線中心對稱。4)初始速度的大小也直接影響到任務(wù)的可靠性，因此需要在超聲速進入段和降落傘減速段將著陸器速度下降到合理范圍內(nèi)。

上述結(jié)論對上注探測器關(guān)鍵點的選取有著較強的指導(dǎo)意義，比如基于最優(yōu)軌線的斜率對路徑點合并、基于最優(yōu)軌線簇的對稱性對上注軌線進行等效延伸、或者嘗試僅將 S 型和 C 型的轉(zhuǎn)折點作為路徑點等，這樣可以大大降低探測器自主存儲與計算需求，進而有效提升任務(wù)的可靠性。重力轉(zhuǎn)彎軟著陸過程

對于最終著陸點，假設(shè)探測器的下降軌跡在一平面內(nèi)，且月球引力場為垂直于月面XY的均勻引力場，引力加速度g沿-Z，如圖1所示，制動推力方向沿探測器的本體軸z。重力轉(zhuǎn)彎軟著陸過程中探測器質(zhì)心動力學(xué)方程可表示為

上式中各變量的物理意義如圖1中所示，其中m>0為探測器質(zhì)量；k>0為制動發(fā)動機比沖；u表示制動發(fā)動機的秒耗量

可通過一定的機構(gòu)加以調(diào)節(jié)，故作為軟著陸問題的控制變量。假定制動發(fā)動機的最大推力與初始質(zhì)量比大于月面引力加速度，并且制動推進系統(tǒng)能夠在一定的初始條件下將探測器停止月面上。

重力轉(zhuǎn)彎過程中，探測器的高度、速度和姿態(tài)角度可由雷達高度表、多普勒雷達及慣性儀表測得。令軟著陸初始條件探測器到達月面時速度減小到給定的值，故終端條件自由。軟著陸燃耗最優(yōu)問題的描述 對于最終著陸段，可假設(shè)

為一小角度。由此可將系統(tǒng)方程（1）化簡為

要設(shè)計制導(dǎo)律實現(xiàn)軟著陸，就是使

著陸時間

對于月球軟著陸的燃耗最優(yōu)控制問題，其性能指標可表示為

對于系統(tǒng)（2）的軟著陸過程，燃耗最優(yōu)問題等價于著陸時間最優(yōu)問題，性能指標為

在月球重力轉(zhuǎn)彎軟著陸過程中，如果存在一個推力控制程序?qū)⑻綔y器從初始條件轉(zhuǎn)移到終端條件，并使性能指標（3）或（4）式最大，則稱這個推力程序為軟著陸燃耗最優(yōu)或時間最優(yōu)制導(dǎo)律。根據(jù)pontryagin極大值原理，系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)及其對u的偏導(dǎo)數(shù)為

使哈密頓函數(shù)（5）式達到極大地控制輸入u就是最優(yōu)控制，科表示為。

如果存在一個有限區(qū)間

則最優(yōu)控制u（t）取值不能由哈密頓函數(shù)確定。此時如果最優(yōu)解存在，則稱為奇異解，（8）式稱為奇異條件。

最優(yōu)制導(dǎo)問題的性質(zhì)：1）對于自治系統(tǒng)（2）的時間最優(yōu)控制問題，沿最優(yōu)軌跡其哈密頓函數(shù)滿足

將其對時間求導(dǎo)并將（2c）和（6c）式代入，得

另外，由于自由，根據(jù)橫截條件有3）根據(jù)（6a）式。又由（9）式可得T（t）=0，4）根據(jù)極大值原理，系統(tǒng)的狀態(tài)變量和共軛變量都是時間的連續(xù)可微函數(shù)，將切換函數(shù)對時間求導(dǎo)，利用（2），（6）式和性質(zhì)2）得 軟著陸最優(yōu)控制中奇異條件的分析

對于月球重力轉(zhuǎn)彎軟著陸問題，最優(yōu)制導(dǎo)律具有兩個很好的性質(zhì)。

定理一。月球重力轉(zhuǎn)彎軟著陸系統(tǒng)（2）的燃耗最優(yōu)制導(dǎo)或時間最優(yōu)制導(dǎo)問題不存在奇異條件。證明。用反證法，假設(shè)存在奇異條件，則在某個閉區(qū)間設(shè)，并由（5）式得

。根據(jù)反正假將（10）式兩邊對時間求導(dǎo)，并將（2）和（6）式代入化簡得性質(zhì)2），并考慮到或者情形1.得

下面證明這兩種情形均與反證假設(shè)矛盾。根據(jù)式

及性質(zhì)2）可知，由性質(zhì)3）必有

根據(jù)

是時間t的斜率非零的線性函數(shù)，m和情形2.1）若定，根據(jù)橫截條件有在區(qū)間內(nèi)為常數(shù)。這與反證假設(shè)矛盾。

。下面再分三種情況進行分析。

又因為

不與此時由（6b）式有反證假設(shè)矛盾。2）若盾。3），與反證假設(shè)矛又

因

為

因此有成立，這與

此時（10）式在上根據(jù)定理一，重力轉(zhuǎn)彎軟著陸的最優(yōu)制導(dǎo)律是一種開關(guān)（Bang-Bang）控制，只須控制發(fā)動機開關(guān)，不需要調(diào)節(jié)推力的大小。

定理2.對于月球重力轉(zhuǎn)彎軟著陸過程，其開關(guān)控制器的最優(yōu)推力程序（7）最多進行一次切換。

證明。只要證明最多只在一個時間點成立即可。軟著陸系統(tǒng)（2）在最優(yōu)推力控制程序（7）的作用下，按最后軌跡降落。由性質(zhì)3）知，為常數(shù)。根據(jù)性質(zhì)4），若嚴格單調(diào)，因而在上至多有一個零點，即至多進行一次切換；若，則上為常數(shù)。由定理1，5 軟著陸最優(yōu)開關(guān)制導(dǎo)律

不可能在任何區(qū)間上成立，故必有既沒有切換點。

對于最優(yōu)推力控制程序（7），其切換函數(shù)中含有共軛變量，它是一個關(guān)于狀態(tài)變量的穩(wěn)式表達式。為實現(xiàn)實時制導(dǎo)，需求出關(guān)于狀態(tài)變量的切換函數(shù)來。

根據(jù)定理一和定理二，重力轉(zhuǎn)彎軟著陸最優(yōu)控制程序沒有奇異值狀態(tài)，并且在著陸過程中最多切換一次，其工作方式有4種：1）全開；2）全關(guān)；3）先開有關(guān)；4）先關(guān)后開。對于方式1）軟著陸起始點即是開機點；方式2），3）不能實現(xiàn)軟著陸；最后一種是通常情況下的最優(yōu)著陸方式，即探測器先做無制動下降，然后打開發(fā)動機軟著陸到月面。設(shè)開機時刻為到發(fā)動機工作時間為

式，在區(qū)間

內(nèi)積分，并考慮

將（11）式中的對數(shù)按泰勒展開，忽略

并令

消掉T得到切換函數(shù)為

由切換函數(shù)（12）式可以看出，速度、位置的誤差和制動發(fā)動機推動的將直接影響著陸的效果。一種方法是將終端高度從到達月面時實現(xiàn)軟著陸設(shè)置為離月面還有幾米時實現(xiàn)軟著陸。另一種方法是考慮制動過程由一個主發(fā)動機和一組小推力發(fā)動機共同完成，通過調(diào)整開啟的小發(fā)動機的數(shù)量，來實現(xiàn)變推力降落。具體地，令切換函數(shù)為

式中各符號的含義如圖2所示

關(guān)機點可取為2m,可取為20m，可取為1m/s。為實現(xiàn)著陸的最優(yōu)性，減速度

取為

其中T如（12）式中所示，m0為探測器的初始質(zhì)量。

圖三為最優(yōu)著陸過程與其改進方法按圖2降落的次優(yōu)著陸過程的對比圖。由此圖中可看出，改進方法提高了著陸的安全性，當探測器的初始質(zhì)量mo=350kg，發(fā)動機著陸過程多消耗燃料2.2kg。

時，改進方法比最優(yōu)

（a）

（b）

問題三 協(xié)方差分析方法的基本原理 對于如下非線性函數(shù)關(guān)系

y?f?x1,x2??xn?（1）

可以使用一階泰勒級數(shù)展開對其進行線性化，有

y??y?f??f?f?x1????xn???x1?xn?（2）?x1?xn其中，??x1??xn?為x1??xn的高階項。從而得到線性化方程

?y???f?xi（3）i?1?xin或表示為

?Y?P?X(4)

這里 P 是偏導(dǎo)數(shù)矩陣: Pi??f（5）?xi若自變量?x1???xn是隨機變量，則線性化方程的函數(shù)?y的協(xié)方差矩陣為：

E?Y??YT?EP?X?XTPT?PE?X?XTPT(6)即 ??????Cy?PCXPT(7)式中Cx是自變量的協(xié)方差矩陣；Cy是函數(shù)?Y的協(xié)方差矩陣。

協(xié)方差矩陣中對角線元素是方差，非對角線元素為協(xié)方差。顯然，只要求出傳遞矩陣 P ,便可確定源誤差與欲求量誤差之間的關(guān)系。若給定各種源誤差，如發(fā)動機安裝誤差、敏感器測量誤差或發(fā)動機推力和點火時間等誤差時，便可以分析其對目標軌道誤差的影響以及對控制系統(tǒng)精度的影響，進一步對各系統(tǒng)及元部件提出適當?shù)木纫?。計算向月飛行軌道誤差的協(xié)方差迭代方程

考慮到軌道參數(shù)的誤差之相對于軌道參數(shù)的標稱值是小量，因此可以將軌道運動方程進行線性化，從而得到能夠反映軌道參數(shù)偏差量的傳播關(guān)系的誤差方程。在應(yīng)用雙二體模型且在地球影響球范圍內(nèi)時，對軌道運動產(chǎn)生攝動影響的各項，如月球引力攝動、太陽引力攝動、大氣阻力攝動和太陽光壓攝動等對誤差方程的影響很小，因此在誤差方程中將它們忽略掉。反映軌道位置和速度誤差的線性化方程如下：

?????v??r???g??（8）??v????r??rT?u???r，其中u?為地球引力常數(shù)。式中 g?r????3rr?rx2?ry2?rz2（9）

寫成狀態(tài)方程形式：

?????0I???r??r???????????(10)??v??G0???v??????????g式中 G??T

?r??0I???r?令F?????G0??,X????v?（11）

????則式（9）變?yōu)?/p>

??F?X(12)X下面推導(dǎo)矩陣 F 的表達式：

??g??u??G??T??T??3r??r?r?r?????u???u???r?r?T?3????3??T?r?r??r??r????u????u????u????u???r???3???3???3????3I3??rr?rr?r?y??z?r?????x???r（13）

式中 r x，r y 和 r z 是探測器在地心慣性坐標系里的軌道位置坐標。則G??u?3??T(I?rr)(14)332rr?rx2rxry?rx????T??2rr??ry??rxryrz???ryrxry??r??rzrxrzry?z??rxrz??ryrz?（15）2?rz??

將式（15）、（14）代入（10），得： ?0?0??02?-u?rx(1?32)F??r3r??3u?rxry?r5v??3u?rxrz?r5?

積分式（11），得到： 0003u?rxryr520003u?rxrzr53u?rzryr5210000ry-u?(1?3)32rr3u?rzryr5-u?rz(1?3)0r3r200?10??01??00?（16）

??00??00???

X??t??eF?tX?0?

（17）式中

(F?t)2(F?t)3(F?t)4(F?t)ne?I?F?t??????2!3!4!n!

（18）iN?t??Fi.()i!i?0F?t取前 6 階截斷，即：

eF?t??ti???F??i!??

（19）i?0??6i

得到計算誤差方程的迭代方程：

X?ti??t??eF?tX?ti?

（20）

eF?t相當于式（4）中的 P 陣，由于誤差方程是時變方程，因此每一步迭代都需要重新計算 P 陣，計算 P 陣需要利用標稱軌道參數(shù)數(shù)據(jù)。

進一步根據(jù)式（7），得到協(xié)方差矩陣的迭代方程：

T

Ci?1?PCPiii

（21）向月飛行軌道誤差的協(xié)方差分析

引起軌道誤差的誤差源主要是導(dǎo)航誤差，包括位 置 誤 差 和 速 度 誤 差。其 中 ： 位 置 誤 差 ：?r??rx,?ry,?rz,?rx,?ry,?rz分別為在地心慣性坐標系中 X 軸、Y 軸、Z 軸的分量。速度誤差：?v??vx,?vy,?vz,?vx,?vy,?vz分別是在地心慣性坐標系 X 軸、Y 軸、Z 軸的分量。向月飛行軌道的初始軌道位置和速度誤差由運載火箭的發(fā)射入軌精度決定，若探測器在飛行途中進行軌道修正，則經(jīng)過軌道修正以后的軌道位置誤差將由導(dǎo)航誤差決定，速度誤差將由姿態(tài)誤差和制導(dǎo)誤差決定。

上述誤差決定了軌道誤差協(xié)方差分析的計算初始條件，表 1 給出了在不進行中途軌道修正情況????下，在地心慣性坐標系里，初始軌道位置誤差和初始速度誤差對軌道終點的位置和速度誤差的影響。圖 1 和圖 2 給出了在算例三中探測器從近地軌道入軌點開始至進入月球軌道為止軌道位置的相應(yīng)的軌道位置和速度總誤差（3σ）的時間歷程。

表 1 初始軌道位置和速度誤差

對軌道終點誤差的影響

圖 1 軌道位置總誤差時間歷程（3σ）

圖 2 速度總誤差時間歷程（3σ）基于敏感系數(shù)矩陣的制導(dǎo)誤差分析

在月球軟著陸主制動段，影響制導(dǎo)精度的誤差源主要有偏離標準飛行軌跡的初始條件誤差和導(dǎo)航與控制傳感器誤差。初始條件誤差由主制動段以前的任務(wù)決定，傳感器誤差則由導(dǎo)航系統(tǒng)和傳感器本身決定。此外，影響制導(dǎo)精度的因素還包括月球自轉(zhuǎn)、月球不規(guī)則攝動等誤差，對它們的研究可單獨進行，這里暫不做介紹。2.1 誤差模型建立

2.1.1 初始狀態(tài)誤差模型

記著陸器的實際初始狀態(tài)為Xi，標準初始狀態(tài)為Xn,則定義初始狀態(tài)偏差xi為

xi?Xi?Xn

(7)對于主制動段這一特定的飛行過程，這些偏差都是確定的；而針對整個月球探測任務(wù)，這些偏差就變得具有隨機性。在本文中，假定xi 的所有元素均服從零均值高斯分布，相互不獨立，其相關(guān)性取決于前一階段任務(wù)的特性。2.1.2 傳感器誤差模型

由于只研究誤差對制導(dǎo)律的影響，所以這里假設(shè)需要測量的量均可由導(dǎo)航系統(tǒng)直接測得，誤差大小

???????均考慮為典型誤差值。由上一目設(shè)計的制導(dǎo)律可以看出，需要由導(dǎo)航與控制傳感器測量的量主要為著陸器相對于著陸場坐標系的位置、速度和加速度。定義待測量量Q為

?Q??X其估計值記為Q，則傳感器誤差定義為 ???YZUVWA?

T

q?Q?Q

(8)那么，單個測量量的估計誤差模型可用誤差向量 q的第j(j =1，2?7)個元素qj 來表示。由參考文獻[5]可知，第 j個觀測量的總估計誤差qj 由以下四部分組成

~?~???-?~qjbsqjn?st???????qt?q?Qt?qt?Qj?t?

(9)jjbcjnc

j100100~~~~~針對主制動這一特定操作階段，上述四部分誤差具有如下特性：

qjbc—第 j 個觀測量的測量誤差，恒為常值，其分布服從零均值高斯分布； qjbs—第 j 個觀測量的刻度因素誤差系數(shù)，恒為常值，其分布服從零均值高斯分布； qjnc—第 j 個觀測量的隨機誤差，其為一高斯白噪聲；

qjns

—第 j 個觀測量的刻度因素隨機誤差系數(shù)，其為一高斯白噪聲。

2.2 制導(dǎo)誤差分析

由于采用閉環(huán)制導(dǎo)，制導(dǎo)控制系統(tǒng)對隨機誤差具有一定魯棒性，所以本文將著重對初始偏差和類似于qjbc和qjbs這樣的傳感器常值誤差進行仿真研究，分析它們對制導(dǎo)精度的影響。2.2.1 誤差分析系統(tǒng)建立

誤差分析系統(tǒng)框圖如圖 1 所示，下面將對其結(jié)構(gòu)進行分析。~~~~~~

圖 1 誤差分析系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

圖中所示初始狀態(tài)偏差實際上是加在相應(yīng)積分器中。

由前面的分析可知，觀測量的實際輸出值受到初始狀態(tài)偏差、傳感器測量誤差以及傳感器刻度因素誤差的影響，故誤差分析系統(tǒng)模擬程序的實際輸入應(yīng)包含以下幾部分(以 X通道為例)：

X?X?xi?xbc???~xbsX

(10)100~~

其中，X為觀測量的實際輸出值，X 為標準值，xi 為初始狀態(tài)偏差(只在初始時刻存在)，xbc 為傳感器測量偏差，xbs為傳感器刻度因素誤差系數(shù)。由圖 1 可以看出，為了更準確地表示傳感器誤差模型，這里考慮了傳感器的動態(tài)性能，其傳遞函數(shù)設(shè)為一階慣性環(huán)節(jié)1?1?Ts?，其中，T 為傳感器時間常數(shù)，因傳感器的不同而取不同值。

由誤差分析系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖可以看出，其輸入量主要包括：標準初始狀態(tài)向量、初始狀態(tài)偏差、傳感器測量誤差、傳感器刻度因素誤差系數(shù)、傳感器時間常數(shù)、期望終端狀態(tài)；輸出量為加入誤差前后的仿真終端狀態(tài)向量。2.2.2 誤差敏感系數(shù)矩陣求取

在有形如(7)式誤差輸入的情況下，首先根據(jù)圖 1 生成一個模擬整個閉環(huán)制導(dǎo)控制系統(tǒng)的數(shù)字仿真程序，然后運行該程序，對比程序輸出即可得到誤差敏感系數(shù)矩陣。具體運行過程如下：

第一步：將傳感器誤差設(shè)置為零，初始狀態(tài)設(shè)置為標準值，運行模擬程序。這一步稱為標準運行。第二步： 將其中一個傳感器誤差設(shè)置為非零輸入或者設(shè)置一個非標準初始狀態(tài)，然后進行一系列運行。

第三步： 將第二步運行的系統(tǒng)輸出和標準運行的系統(tǒng)輸出進行比較即可確定各誤差源的影響。如X 通道標準初始偏差為xi，輸入該誤差前后，X 通道終端狀態(tài)分別為X0 和X1，則 X 通道對標準初始偏差xi的敏感性可用(X1?X0)/xi來反映。

通過這種方法，可得到一組反映月球軟著陸主制動段終端總誤差向量pf和兩個傳感器誤差向量~??~~qbc、qbs以及初始狀態(tài)偏差向量pi之間關(guān)系的誤差敏感系數(shù)矩陣。由參考文獻[6]可知，其相互關(guān)系可表示為

??~~pf?S1pi?S2qbc?S3qbs（11）

其中，S1、S2和S3分別表示相對于pi、qbc和qbs的誤差敏感系數(shù)矩陣。

終端誤差向量能用這種形式表示的假設(shè)條件是動力學(xué)的線性化必須在標準軌跡區(qū)域內(nèi)。驗證該假設(shè)條件的方法有兩種： 擴大輸入誤差仿真法和復(fù)合仿真法，這里略去其驗證過程。2.2.3 誤差分析

假設(shè)導(dǎo)航系統(tǒng)采用常規(guī)慣性測量單元，表 1 列出了其典型誤差值，其中，位置誤差能保持在10數(shù)量級，速度在10數(shù)量級，加速度為 10g 數(shù)量級。1-52?~~

運用上述方法得到的敏感系數(shù)矩陣給出如下：

?5.502?10-3?-4-3.850?10??1.692?10-3S1??-3?8.362?10?-5.860?10-4?-3?-2.575?10?-2.080?10-4-1.050?10-31.418?10-11.401?10-57.301?10-5-1.001?10-26.411?10-53.240?10-4-4.407?10-2-2.570?10-4-1.862?10-3-5.580?10-11.410?10-57.902?10-51.312?10-55.710?10-4-1.157?10-38.100?10-53.936?10-21.732?10-2-2.743?1017.746?10-1-4.024?10-2-8.939?10-2??3.210?10-34.030?10-3?1.239?10-21.833?10-2?-2-1?8.742?101.414?10?-1.196?10-2-9.901?10-3??-2-2-2.690?10-4.577?10??-6.812?10-1-8.695?10-2-5.203?1002.110?10-14.235?10-16.170?10-3-3.281?1008.202?10-2-5.760?10-35.633?10-1-3.489?102??2.443?101?4.401?102??-9.833?102?6.864?101??23.020?10???-9.859?10-1-1.154?10-3?-40?-3.130?10-1.000?10?-1.379?10-33.560?10-4S2??-2-3?-5.402?101.540?10?1.045?10-31.864?10-3?-34.770?10-4??4.598?109.999?10-13.408?100-7.210?10-43.504?1005.000?10-55.643?10-3-1.527?10-19.368?10-1-6.721?10-1-1.306?10-1?-5.6314?100?-28.479?10??3.730?10-1S3??0?-8.924?10?4.619?10-1?0??2.033?10-5.494?10-1-3.533?10-1-2.810?1001.600?10-31.692?10-16.755?10-18.996?10-1-2095?10-12.473?10-21.664?10-1-1.027?1007.165?10-23.344?100-1.112?1008.613?10-17.852?1003.246?100-1.618?1003.540?10-14.982?10-17.670?10-1-1.122?100-2.397?100-2.380?10-1-3.650?100-2.563?100??2.556?10-1-4.291?10-2?3.401?100-1.888?10-1??-5.103?100-3.230?10-1?3.566?10-12.256?10-1??0-1-7.005?109.930?10??A1、A3:?1??2.759?2,3?0.1297?j2.1329 A2:?1?1.552?2,3??0.6761?j1.8978

由于數(shù)值仿真的起始點選為(1，0，-1)，靠近平衡點(1.5，0，-1.05)，仿真實驗中混沌系統(tǒng)的基頻w0=2.1329，基周期為為T0?2??0?2.9443S。由前面的數(shù)值仿真實驗知要使 Chua’s混沌系統(tǒng)保持其類隨機性，仿真步長選在(0.0001，0.7)較為合適，用基周期來表達即為?129940T015T0? ,15T0?內(nèi)，綜觀三個連續(xù)混沌系統(tǒng)仿真步長的理論計算，我們可以統(tǒng)一選取?15000T0這樣即可以提高仿真運算速度，又可以使混沌吸引子的形狀和類隨機性不發(fā)生變化，這個選擇范圍也與通常連續(xù)混沌系統(tǒng)數(shù)值仿真步長的經(jīng)驗取值相吻合六、模型結(jié)果及分析

七、結(jié)果分析

八、模型評價與改進方向

九、參考文獻

第四篇：全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模感想

數(shù)學(xué)建模有感

這一暑假，參加學(xué)校組織的學(xué)習(xí)了 “數(shù)學(xué)建?！薄＿@門課程，數(shù)學(xué)建模這門課程與其它的數(shù)學(xué)課程有一個很大的區(qū)別，數(shù)學(xué)建模是把現(xiàn)實世界中的實際問題加以提煉，抽象為數(shù)學(xué)模型，求出模型的解，驗證模型的合理性．并用該數(shù)學(xué)模型所提供的解答來解釋現(xiàn)實問題，它是一門將數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用到實際中解決實際問題的學(xué)科。建立模型就是對于現(xiàn)實中的原型．為了某個特定目的，作出一些必要的簡化和假設(shè)。運后適當?shù)臄?shù)學(xué)工具得到一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、它或者能解釋特定現(xiàn)象的現(xiàn)實狀態(tài)，或者能預(yù)測到對象的未來狀況，或者能提供處理對象的最優(yōu)決策或控制，而現(xiàn)實生活中很多的問題都可以通過建立數(shù)學(xué)模型來解決，所以學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模，徹底讓我體會到了數(shù)學(xué)在生活中的重要之處。

一次建模，終生受益，這話一點也不假。在沒有接觸過數(shù)學(xué)建模這門學(xué)科之前，我一直認為數(shù)學(xué)是一門純理論的學(xué)科，但是數(shù)學(xué)建模卻能把它應(yīng)用到實際中去，并用它去解決很多來自日常生活及經(jīng)濟、工程、理、化、生、醫(yī)等學(xué)科中的問題。

我覺得數(shù)學(xué)建模能為學(xué)生提供自主學(xué)習(xí)、自主探索、自主提出問題、自主解決問題的機會，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)觀念、科學(xué)態(tài)度和合作精神，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生認真求實、崇尚真理、追求完美、講究效益、聯(lián)系實際的學(xué)習(xí)態(tài)度和學(xué)習(xí)習(xí)慣。它能提高學(xué)生應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，從過去強調(diào)數(shù)學(xué)知識的“有用、可用”，到使學(xué)生所學(xué)知識的“想用、能用和會用”，讓學(xué)生更多自主的實踐，把學(xué)習(xí)知識、應(yīng)用知識、探索發(fā)現(xiàn)、使用計算機、培養(yǎng)良好的科學(xué)態(tài)度與思維品質(zhì)更好地結(jié)合起來，使學(xué)生在問題解決的過程中得到學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的實際體驗，加深對數(shù)學(xué)的理解。綜合上述可見，開展數(shù)學(xué)建模活動是非常有必要的。應(yīng)該在學(xué)校大力推廣，讓更多同學(xué)在參與中受益。

通過這次數(shù)學(xué)建模學(xué)到了很多東西，首先，是從現(xiàn)實生活中發(fā)現(xiàn)問題，這就需要我們用心觀察；然后就是解決問題的方法，由于我們不可能在課堂上學(xué)到所有知識，很多東西是要我們自學(xué)的，這就培養(yǎng)了我們自學(xué)能力，還有自己解決問題的能力：最后，因為模型要建立在真實數(shù)據(jù)上，就要求我們要有實事求是的態(tài)度了。數(shù)學(xué)建模雖然就告一段落了，學(xué)到的方法知識卻伴隨著我們以后的學(xué)習(xí)工作?！皵?shù)學(xué)建?！闭n已使“數(shù)學(xué)建模”的核心思想深深在我意識中扎根，使我在今后學(xué)習(xí)中越來越善于發(fā)現(xiàn)問題并用數(shù)學(xué)知識創(chuàng)造性的去分析解決問題。數(shù)學(xué)建模課對學(xué)生思維能力的訓(xùn)練和思維方法上的引導(dǎo)，這就是它的主要魅力所在。一年一度的全國數(shù)學(xué)建模大賽在在9 月13 日上午8 點拉開戰(zhàn)幕，各隊 將在3 天72 小時內(nèi)對一個現(xiàn)實中的實際問題進行模型建立，求解和分析，確定

題目后，我們隊三人分頭行動，一人去圖書館查閱資料，一人在網(wǎng)上搜索相關(guān)信 息，一人建立模型，通過三人的努力，在前兩天中建立出兩個模型并編程求解，經(jīng)過艱苦的奮斗，終于在第三天完成了論文的寫作，在這三天里我感觸很深，現(xiàn) 將心得體會寫出，希望與大家交流。1.團隊精神：

團隊精神是數(shù)學(xué)建模是否取得好成績的最重要的因素，一隊三個人要相互支 持，相互鼓勵。切勿自己只管自己的一部分（數(shù)學(xué)好的只管建模，計算機好的只 管編程，寫作好的只管論文寫作），很多時候，一個人的思考是不全面的，只有

大家一起討論才有可能把問題搞清楚，因此無論做任何板塊，三個人要一起齊心 才行，只靠一個人的力量，要在三天之內(nèi)寫出一篇高水平的文章幾乎是不可能的。2.有影響力的leader：

在比賽中，leader 是很重要的，他的作用就相當與計算機中的CPU，是全隊 的核心，如果一個隊的leader 不得力，往往影響一個隊的正常發(fā)揮，就拿選題來說，有人想做A 題，有人想做B 題，如果爭論一天都未確定方案的話，可能就沒有足夠時間完成一篇論文了，又比如，當隊中有人信心動搖時（特別是第三天，人可能已經(jīng)心力交瘁了），leader 應(yīng)發(fā)揮其作用，讓整個隊伍重整信心，否則可能導(dǎo)致隊伍的前功盡棄。3.合理的時間安排：

做任何事情，合理的時間安排非常重要，建模也是一樣，事先要做好一個規(guī) 劃，建模一共分十個板塊（摘要，問題提出，模型假設(shè)，問題分析，模型假設(shè)，模型建立，模型求解，結(jié)果分析，模型的評價與推廣，參考文獻，附錄）。你每 天要做完哪幾個板塊事先要確定好，這樣做才會使自己游刃有余，保證在規(guī)定時 間內(nèi)完成論文，以避免由于時間上的不妥，以致于最后無法完成論文。4.正確的論文格式：

論文屬于科學(xué)性的文章，它有嚴格的書寫格式規(guī)范，因此一篇好的論文一定 要有正確的格式，就拿摘要來說吧，它要包括6 要素（問題,方法,模型,算法,結(jié)論,特色），它是一篇論文的概括，摘要的好壞將決定你的論文是否吸引評委的目光，但聽閱卷老師 說，這次有些論文的摘要里出現(xiàn)了大量的圖表和程序，這都是不符合論文格式的，這種論

文也不會取得好成績，因此我們寫論文時要端正態(tài)度，注意書寫格式。5.論文的寫作：

我個人認為論文的寫作是至關(guān)重要的，其實大家最后的模型和結(jié)果都差不

多，為什么有些隊可以送全國，有些隊可以拿省獎，而有些隊卻什么都拿不到，這關(guān)鍵在于論文的寫作上面。一篇好的論文首先讀上去便使人感到邏輯清晰，有 條例性，能打動評委；其次，論文在語言上的表述也很重要，要注意用詞的準確 性；另外，一篇好的論文應(yīng)有閃光點，有自己的特色，有自己的想法和思考在里 面，總之，論文寫作的好壞將直接影響到成績的優(yōu)劣。

6.算法的設(shè)計：算法的設(shè)計的好壞將直接影響運算速度的快慢，建議大家多用數(shù)學(xué)軟件（Mathematice,Matlab,Maple, Mathcad,Lindo,Lingo,SAS 等），這里提供十種數(shù)學(xué)以上便是我這次參加這次數(shù)學(xué)建模競賽的一點心得體會，只當貽笑大方，不過就數(shù)學(xué)建模本身而言，它是魅力無窮的，它能夠鍛煉和考查一個人的綜合素質(zhì)，也希望廣大同學(xué)能夠積極參與到這項活動當中來。

第五篇：全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽

全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽

1、數(shù)模競賽的起源與歷史

數(shù)模競賽是由美國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會在1985年發(fā)起的一項大學(xué)生競賽活動，目的在于激勵學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，提高學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型和運用計算機技術(shù)解決實際問題的綜合能力，鼓勵廣大學(xué)生踴躍參加課外科技活動，開拓知識面，培養(yǎng)創(chuàng)精神及合作意識，推動大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)體系、教學(xué)內(nèi)容和方法的改革。我國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽是由教育部高教司和中國工業(yè)與數(shù)學(xué)學(xué)會主辦、面向全國高等院校的、每年一屆的通訊競賽。其宗旨是：創(chuàng)新意 識、團隊精神、重在參與、公平競爭。1992載在中國創(chuàng)辦，自從創(chuàng)辦以來，得到了教育部高教司和中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)協(xié)會的得力支持和關(guān)心，呈現(xiàn)出迅速的發(fā)展發(fā)展勢頭，就2003年來說，報名階段須然受到“非典”影響，但是全國30個省（市、自治區(qū)）及香港的637所院校就有5406隊參賽，在職業(yè)技術(shù)學(xué)院增加更快，參賽高校由2002年的1067所上升到了2003年的1410所?？梢哉f：數(shù)學(xué)建模已經(jīng)成為全國高校規(guī)模最大課外科技活動。

2、什么是數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)建模（Mathematical Modelling）是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是“對現(xiàn)實的現(xiàn)象通過心智活動構(gòu)造出能抓住其重要且有

用的特征的表示，常常是形象化的或符號的表示。”從科學(xué)，工程，經(jīng)濟，管理等角度看數(shù)學(xué)建模就是用數(shù)學(xué)的語言和方法，通過抽象，簡化建立能近似刻畫并“解決”實際問題的一種強有力的數(shù)學(xué)工具。顧名思義，modelling一詞在英文中有“塑造藝術(shù)”的意思，從而可以理解從不同的側(cè)面，角度去考察問題就會有不盡的數(shù)學(xué)模型，從而數(shù)學(xué)建模 的創(chuàng)造又帶有一定的藝術(shù)的特點。而數(shù)學(xué)建模最重要的特點是要接受實踐的檢驗，多次修改模型漸趨完善的過程。

3、競賽的內(nèi)容：

競賽題目一般來源于工程技術(shù)和管理科學(xué)等方面經(jīng)過適當簡化加工的實際問題，不要求參賽者預(yù)先掌握深入的專門知識，只需要學(xué)過普通高校的數(shù)學(xué)課程。題目有較大的靈活性供參賽者發(fā)揮其創(chuàng)造能力。參賽者應(yīng)根據(jù)題目要求，完成一篇包括模型假設(shè)、建立和求解、計算方法的設(shè)計和計算機實現(xiàn)、結(jié)果的分析和檢驗、模型的改進等方面的論文（即答卷）。競賽評獎以假設(shè)的合理性、建模的創(chuàng)造性、結(jié)果的正確性和文字表述的清晰程度為主要標準。

4、競賽的步驟

建模是一種十分復(fù)雜的創(chuàng)造性勞動，現(xiàn)實世界中的事物形形色色，五花八門，不可能用一些條條框 框規(guī)定出各種模型如何具體建立，這里只是大致歸納一下建模的一般步驟和原則：

1）模型準備：首先要了解問題的實際背景，明確題目的要求，收集各種必要的信息．

2）模型假設(shè)：為了利用數(shù)學(xué)方法，通常要對問題做必要的、合理的假設(shè)，使問題的主要特征凸現(xiàn)出來，忽略問題的次要方面。

3）模型構(gòu)成：根據(jù)所做的假設(shè)以及事物之間的聯(lián)系，構(gòu)造各種量之間的關(guān)系,把它問題化

4）模型求解：利用已知的數(shù)學(xué)方法來求解上一步所得到的數(shù)學(xué)問題，此時往往還要作出進一步的簡化或假設(shè)。注意要盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具。

5）模型分析：對所得到的解答進行分析，特別要注意當數(shù)據(jù)變化時所得結(jié)果是否穩(wěn)定。

6）模型檢驗：分析所得結(jié)果的實際意義，與實際情況進行比較，看是否符合實際，如果不夠理想，應(yīng)該修改、補充假設(shè)，或重新建模，不斷完善。

7）模型應(yīng)用：所建立的模型必須在實際應(yīng)用中才能產(chǎn)生效益，在應(yīng)用中不斷改進和完善。

5、模型的分類

按模型的應(yīng)用領(lǐng)域分類： 生物數(shù)學(xué)模型、醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)模型、地質(zhì)數(shù)學(xué)模型、數(shù)量經(jīng)濟學(xué)模型、數(shù)學(xué)社會學(xué)模型

按是否考慮隨機因素分類 ：確定性模型、隨機性模型按是否考慮模型的變化分類 ：靜態(tài)模型、動態(tài)模型按應(yīng)用離散方法或連續(xù)方法 ：離散模型、連續(xù)模型

按建立模型的數(shù)學(xué)方法分類 ：幾何模型、微分方程模型、圖

論模型、規(guī)劃論模型、馬氏鏈模型 按人們對事物發(fā)展過程的了解程度分類 ：

白箱模型： 指那些內(nèi)部規(guī)律比較清楚的模型。如力學(xué)、熱學(xué)、電學(xué)以及相關(guān)的工程技術(shù)問題。

灰箱模型： 指那些內(nèi)部規(guī)律尚不十分清楚，在建立和改善模型方面都還不同程度地有許多工作要做的問題。如氣象學(xué)、生態(tài)學(xué)經(jīng)濟學(xué)等領(lǐng)域的模型。

黑箱模型：

指一些其內(nèi)部規(guī)律還很少為人們所知的現(xiàn)象。如生命科學(xué)、社會科學(xué)等方面的問題。但由于因素眾多、關(guān)系復(fù)雜，也可簡化為灰箱模型來研究。

6、數(shù)學(xué)建模應(yīng)用

今天，在國民經(jīng)濟和社會活動的以下諸多方面，數(shù)學(xué)建模都有著非常具體的應(yīng)用。

1分析與設(shè)計： 例如描述藥物濃度在人體內(nèi)的變化規(guī)律以分析藥物的療效；建立跨音速空氣流和激波的數(shù)學(xué)模型，用數(shù)值模擬設(shè)計新的飛機翼型。預(yù)報與決策： 生產(chǎn)過程中產(chǎn)品質(zhì)量指標的預(yù)報、氣象預(yù)報、人口預(yù)報、經(jīng)濟增長預(yù)報等等，都要有預(yù)報模型。使經(jīng)濟效益最大的價格策略、使費用最少的設(shè)備維修方案，是決策模型的例子。3 控制與優(yōu)化： 電力、化工生產(chǎn)過程的最優(yōu)控制、零件設(shè)計中的參數(shù)優(yōu)化，要以數(shù)學(xué)模型為前提。建立大系統(tǒng)控制與優(yōu)化的數(shù)

學(xué)模型，是迫切需要和十分棘手的課題。規(guī)劃與管理 生產(chǎn)計劃、資源配置、運輸網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃、水庫優(yōu)化調(diào)度，以及排隊策略、物資管理等，都可以用運籌學(xué)模型解決 報名時間：從大賽的通知文稿發(fā)出后，就可以報名了，報名截止時間一般在開始比賽的前7到10天。

競賽時間：每年的9月的第三個星期五上午8時至下一個星期一上午8時。

報名方式：如果有分賽區(qū)（每個賽區(qū)應(yīng)至少有6所院校的20個隊參加），就聯(lián)系分賽區(qū)報名，沒有分賽區(qū)，則直接向主委會報名。

大學(xué)生以隊為單位參賽，每隊3人（須屬于同一所學(xué)校），專業(yè)不限。競賽分本科、?？苾山M進行，本科生參加本科組競賽，?？粕鷧⒓訉？平M競賽（也可參加本科組競賽），研究生不得參加。每隊可設(shè)一名指導(dǎo)教師（或教師組）。