第一篇：2007年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模優(yōu)秀論文

2007高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽C題評(píng)閱要點(diǎn)

[說(shuō)明]本要點(diǎn)僅供參考，各賽區(qū)評(píng)閱組應(yīng)根據(jù)對(duì)題目的理解及學(xué)生的解答，自主地進(jìn)行評(píng)閱。該問(wèn)題主要是根據(jù)2007年初北京、上海等地移動(dòng)公司相繼推出的“暢聽(tīng)99套餐”、“全球通68套餐”等所謂的單向收費(fèi)方案提出的。這里套餐方案看似簡(jiǎn)單，但對(duì)名目繁多的“套餐”很多人并不清楚其實(shí)質(zhì)內(nèi)容，事實(shí)上這里面隱含著很多數(shù)學(xué)問(wèn)題。

注意到所有的“套餐”都不是真正意義上的單向收費(fèi)方案，而且都是針對(duì)全球通用戶(hù)，其他的手機(jī)用戶(hù)（如神州行、動(dòng)感地帶等）無(wú)效。為此，只能針對(duì)全球通用戶(hù)的資費(fèi)方案來(lái)考慮問(wèn)題。北京、上海的“套餐”都是針對(duì)本地通話(huà)費(fèi)的，沒(méi)有涉及長(zhǎng)途通話(huà)費(fèi)和IP通話(huà)費(fèi)，也沒(méi)有涉及基本月租費(fèi)和漫游資費(fèi)問(wèn)題，這些因素可以不予考慮。雖然北京和上?！疤撞汀眱?yōu)惠都是針對(duì)本地通話(huà)資費(fèi)的，但其內(nèi)容還有區(qū)別，北京的套餐內(nèi)分主叫和被叫，而上海的套餐無(wú)主叫和被叫之分。

問(wèn)題（１）：要認(rèn)真分析各“套餐”方案與原計(jì)費(fèi)方案的關(guān)系和區(qū)別。對(duì)各種“套餐”而言，每月至少要消費(fèi)一定的數(shù)額（套餐月租費(fèi)），只要套餐用戶(hù)的本地通話(huà)時(shí)間T不超過(guò)相應(yīng)的包打時(shí)間T0則不另計(jì)費(fèi)，超過(guò)部分按相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)計(jì)費(fèi)。如果實(shí)際通話(huà)時(shí)間達(dá)

不到“套餐”規(guī)定的最低本地通話(huà)時(shí)間T0，則同樣也按T0計(jì)算，并當(dāng)月核算，不可累計(jì)。

本地通話(huà)時(shí)間T包括：本市通話(huà)時(shí)間t1、國(guó)內(nèi)長(zhǎng)途通話(huà)時(shí)間t2、國(guó)際長(zhǎng)途通話(huà)時(shí)間t3、港澳臺(tái)長(zhǎng)途通話(huà)時(shí)間t4，以及撥打IP長(zhǎng)途（國(guó)內(nèi)、港澳臺(tái)、國(guó)際）相應(yīng)的本地通話(huà)時(shí)間，分別記為t5,t6,t7。于是可以計(jì)算出本地通話(huà)的總時(shí)間為T(mén)??ti，并要給出明確的i?17

計(jì)費(fèi)算法公式。北京、上海的不同方案的計(jì)算公式均不同，計(jì)算項(xiàng)目要全面。

關(guān)于各“套餐”方案適應(yīng)什么用戶(hù)的討論，首先要計(jì)算出原資費(fèi)方案中每一次通話(huà)的本地通話(huà)費(fèi)，再求出一個(gè)月的本地通話(huà)費(fèi)用總和，然后與各“套餐”方案的月租費(fèi)進(jìn)行比較分析，根據(jù)用戶(hù)的通話(huà)量和相應(yīng)費(fèi)用選擇確定適用的“套餐”方案。

問(wèn)題（２）：判斷一個(gè)“套餐”方案的優(yōu)劣，首先要根據(jù)實(shí)際適當(dāng)?shù)卮_定一個(gè)評(píng)判指標(biāo)，然后對(duì)各方案進(jìn)行比較分析。評(píng)判指標(biāo)要能反映各通話(huà)內(nèi)容（市話(huà)、長(zhǎng)途、IP等）的影響作用，需要時(shí)可以參考2006年各通話(huà)內(nèi)容相應(yīng)的通話(huà)量（見(jiàn)附件１）所占總通話(huà)量的比例。一種可行有效的方法是從經(jīng)濟(jì)學(xué)的角度，考慮投入與產(chǎn)出的費(fèi)效比，即利用“費(fèi)效分析法”進(jìn)行研究，一個(gè)好的方案應(yīng)該使得費(fèi)效比盡量地大。

問(wèn)題（３）：實(shí)際上“被叫全免計(jì)劃”方案，也是一個(gè)有條件的單向收費(fèi)方案，與北京的“暢聽(tīng)99套餐”方案相比并無(wú)太大優(yōu)惠，可以用問(wèn)題（2）中所采用的方法對(duì)比兩方案的評(píng)判指標(biāo)。例如，不妨可以采用費(fèi)效比來(lái)判斷。

問(wèn)題（４）：一個(gè)合理的“套餐”方案，就應(yīng)該是使得在某種意義下的綜合評(píng)判指標(biāo)盡量地大，例如采用問(wèn)題（2）和（3）中的綜合費(fèi)效比或邊際效能使其盡量地大。無(wú)論是從運(yùn)營(yíng)商，還是從用戶(hù)的角度都是合理的。為此，根據(jù)題目的要求和北京、上海的實(shí)際情況，在已有“套餐”方案的基礎(chǔ)上，通過(guò)建立優(yōu)化模型（一般為線(xiàn)性規(guī)劃）來(lái)設(shè)計(jì)出更合理的“套餐”方案，并要分析說(shuō)明其合理性。

第二篇：數(shù)學(xué)建模經(jīng)典優(yōu)秀論文模版

題目（黑體不加粗三號(hào)居中）

小組名單

摘要：（第1段）首先簡(jiǎn)要敘述所給問(wèn)題的意義和要求，并分別分析每個(gè)小問(wèn)題的特點(diǎn)（以下以三個(gè)問(wèn)題為例）。根據(jù)這些特點(diǎn)對(duì)問(wèn)題1 用······的方法解決；對(duì)問(wèn)題2 用······的方法解決；對(duì)問(wèn)題3 用······的方法解決。

（第2段）對(duì)于問(wèn)題1，用······數(shù)學(xué)中的······首先建立了······ 模型I。在對(duì)······模型改進(jìn)的基礎(chǔ)上建立了······模型II。對(duì)模型進(jìn)行了合理的理論證明和推導(dǎo)，所給出的理論證明結(jié)果大約為······，然后借助于······數(shù)學(xué)算法和······軟件，對(duì)附件中所提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行了篩選，去除異常數(shù)據(jù),對(duì)殘缺數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)補(bǔ)充,并從中隨機(jī)抽取了3 組數(shù)據(jù)（每組8 個(gè)采樣）對(duì)理論結(jié)果進(jìn)行了數(shù)據(jù)模擬，結(jié)果顯示，理論結(jié)果與數(shù)據(jù)模擬結(jié)果吻合。（方法、軟件、結(jié)果都必須清晰描述，可以獨(dú)立成段，不建議使用表格）

（第3段）對(duì)于問(wèn)題2用······（第4段）對(duì)于問(wèn)題3用······

如果題目單問(wèn)題，則至少要給出2種模型，分別給出模型的名稱(chēng)、思想、軟 件、結(jié)果、亮點(diǎn)詳細(xì)說(shuō)明。并且一定要在摘要對(duì)兩個(gè)或兩個(gè)以上模型進(jìn)行比較，優(yōu)勢(shì)較大的放后面，這兩個(gè)（模型）一定要有具體結(jié)果。

（第5段）如果在??條件下，模型可以進(jìn)行適當(dāng)修改，這種條件的改變可能來(lái)自你的一種猜想或建議。要注意合理性。此推廣模型可以不深入研究，也可以沒(méi)有具體結(jié)果。

關(guān)鍵詞：本文使用到的模型名稱(chēng)、方法名稱(chēng)、特別是亮點(diǎn)一定要在關(guān)鍵字里出現(xiàn)，5~7個(gè)較合適。

注：字?jǐn)?shù)700~1000 之間；摘要中必須將具體方法、結(jié)果寫(xiě)出來(lái)；摘要寫(xiě)滿(mǎn)幾乎 一頁(yè)，不要超過(guò)一頁(yè)。摘要是重中之重，必須嚴(yán)格執(zhí)行！。頁(yè)碼：1（底居中）1.問(wèn)題重述（第二頁(yè)起黑四號(hào)）

在保持原題主體思想不變下，可以自己組織詞句對(duì)問(wèn)題進(jìn)行描述，主要數(shù)據(jù)可以直接復(fù)制，對(duì)所提出的問(wèn)題部分基本原樣復(fù)制。篇幅建議不要超過(guò)一頁(yè)。大部分文字提煉自原題。

1.1 問(wèn)題1的重述

1.2 問(wèn)題2的重述

2.問(wèn)題分析

主要是表達(dá)對(duì)題目的理解，特別是對(duì)附件的數(shù)據(jù)進(jìn)行必要分析、描述（一般 都有數(shù)據(jù)附件），這是需要提到分析數(shù)據(jù)的方法、理由。如果有多個(gè)小問(wèn)題，可 以對(duì)每個(gè)小問(wèn)題進(jìn)行分別分析。（假設(shè)有 3個(gè)問(wèn)題）2.1 問(wèn)題1的分析

對(duì)問(wèn)題1研究的意義的分析。問(wèn)題1屬于。。。數(shù)學(xué)問(wèn)題，對(duì)于解決此類(lèi)問(wèn)題一般數(shù)學(xué)方法的分析。對(duì)附件中所給數(shù)據(jù)特點(diǎn)的分析。對(duì)問(wèn)題1所要求的結(jié)果進(jìn)行分析。由于以上原因，首先建立一個(gè)。。。的數(shù)學(xué)模型I,然后將其改進(jìn)建 立一個(gè)。。。。的模型II,。。。。。對(duì)結(jié)果分別進(jìn)行預(yù)測(cè)，并將結(jié)果進(jìn) 行比較.2.2問(wèn)題2的分析

對(duì)問(wèn)題2研究的意義的分析。問(wèn)題2屬于。。。數(shù)學(xué)問(wèn)題，對(duì)于解決此類(lèi)問(wèn)題一般數(shù)學(xué)方法的分析。對(duì)附件中所給數(shù)據(jù)特點(diǎn)的分析。對(duì)問(wèn)題2所要求的結(jié)果進(jìn)行分析。由于以上原因，首先建立一個(gè)。。。的數(shù)學(xué)模型I,然后將其改進(jìn)建 立一個(gè)。。。。的模型II,。。。。。對(duì)結(jié)果分別進(jìn)行預(yù)測(cè)，并將結(jié)果進(jìn) 行比較.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

3.模型假設(shè)（4號(hào)黑體）

（以下小 4號(hào)）

1.假設(shè)題目所給的數(shù)據(jù)真實(shí)可靠； 2． 3． 4． 5． 6．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

注意：假設(shè)對(duì)整篇文章具有指導(dǎo)性，有時(shí)決定問(wèn)題的難易。一定要注意假設(shè)的 某種角度上的合理性，不能亂編，完全偏離事實(shí)或與題目要求相抵觸。注意羅列 要工整。

4.定義與符號(hào)說(shuō)明（4號(hào)黑體）

（對(duì)文章中所用到的主要數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行解釋小 4號(hào)）。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

盡可能借鑒參考書(shū)上通常采用的符號(hào)，不宜自己亂定義符號(hào)，對(duì)于改進(jìn)的一 些模型，符號(hào)可以適當(dāng)自己修正（下標(biāo)、上標(biāo)、參數(shù)等可以變，主符號(hào)最好與經(jīng) 典模型符號(hào)靠近）。對(duì)文章自己創(chuàng)新的名詞需要特別解釋。其他符號(hào)要進(jìn)行說(shuō)明，注意羅列要工整。如“ ij x ～第i種療法的第j項(xiàng)指標(biāo)值”等，注意格式統(tǒng)一，不 要出現(xiàn)零亂或前后不一致現(xiàn)象，關(guān)鍵是容易看懂。

5.模型的建立與求解（4號(hào)黑體）

5.1準(zhǔn)備工作（4 號(hào)宋體）5.1.1數(shù)據(jù)的處理

1．······數(shù)據(jù)全部缺失，不予考慮。

2．對(duì)數(shù)據(jù)測(cè)試的特點(diǎn)，如，周期等進(jìn)行分析。3．·····數(shù)據(jù)殘缺，根據(jù)數(shù)據(jù)挖掘等理論根據(jù)。。。變化趨勢(shì)進(jìn)行補(bǔ)充。4．對(duì)數(shù)據(jù)特點(diǎn)（后面將會(huì)用到的特征）進(jìn)行提取。5.1.2聚類(lèi)分析（進(jìn)行采樣）

用······軟件聚類(lèi)分析和各個(gè)不同問(wèn)題的需要，采得。。組采樣，每組5-8個(gè)采樣值。將采樣所對(duì)應(yīng)的特征值進(jìn)行列表或圖示。5.1.3預(yù)測(cè)的準(zhǔn)備工作

根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)，對(duì)總體和個(gè)體的特點(diǎn)進(jìn)行比較，以表格或圖示方式顯示。5.2問(wèn)題1 的。。模型（4 號(hào)宋體）5.2.1模型I(······的模型)1.該種模型的一般數(shù)學(xué)表達(dá)式，意義，和式中各種參數(shù)的意義。注明參 考文獻(xiàn)。2.······模型I的建立和求解

(1)說(shuō)明問(wèn)題1適用用此模型來(lái)解決，并將模型進(jìn)行改進(jìn)以適應(yīng)問(wèn)

題1。

(2)借助準(zhǔn)備工作中的采樣，（用擬合等方法）確定出模型中的參

數(shù)。

(3)給出問(wèn)題1的數(shù)學(xué)模型I表達(dá)式和圖形表示式。(4)給出誤差分析的理論估計(jì)。3.模型I的數(shù)值模擬

將模型I 進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，并與附件中的真實(shí)采樣值（進(jìn)行列表或圖 示）比較。對(duì)誤差進(jìn)行數(shù)據(jù)分析。5.2.2模型II(······的模型)1.該種模型的一般數(shù)學(xué)表達(dá)式，意義，和式中各種參數(shù)的意義。注明參 考文獻(xiàn)。2.······模型II的建立和求解

(1)說(shuō)明問(wèn)題1適用用此模型來(lái)解決，并將模型進(jìn)行改進(jìn)以適應(yīng)問(wèn)

題1。

(2)借助準(zhǔn)備工作中的采樣，（用擬合等方法）確定出模型中的參

數(shù)。

(3)給出問(wèn)題1的數(shù)學(xué)模型I表達(dá)式和圖形表示式。(4)給出誤差分析的理論估計(jì)。

3.模型II的數(shù)值模擬

將模型II進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，并與附件中的真實(shí)采樣值（進(jìn)行列表或圖示）比較。對(duì)誤差進(jìn)行數(shù)據(jù)分析 5.2.3模型III(······的模型)1.該種模型的一般數(shù)學(xué)表達(dá)式，意義，和式中各種參數(shù)的意義。注明參考文獻(xiàn)。2.······模型I的建立和求解

(1)說(shuō)明問(wèn)題1適用用此模型來(lái)解決，并將模型進(jìn)行改進(jìn)以適應(yīng)問(wèn)

題1。

(2)借助準(zhǔn)備工作中的采樣，（用擬合等方法）確定出模型中的參

數(shù)。

(3)給出問(wèn)題1的數(shù)學(xué)模型I表達(dá)式和圖形表示式。(4)給出誤差分析的理論估計(jì)。3.模型I的數(shù)值模擬

將模型I 進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，并與附件中的真實(shí)采樣值（進(jìn)行列表或圖 示）比較。對(duì)誤差進(jìn)行數(shù)據(jù)分析。5.2.4問(wèn)題1的三種數(shù)學(xué)模型的比較。

對(duì)三種模型的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)結(jié)合原始數(shù)據(jù)和模擬預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。給出各自得優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)。5.3問(wèn)題2 的。。個(gè)模型（4 號(hào)宋體）5.3.1模型I(······的模型)1.該種模型的一般數(shù)學(xué)表達(dá)式，意義，和式中各種參數(shù)的意義。注明參 考文獻(xiàn)。2.······模型I的建立和求解

(1)說(shuō)明問(wèn)題1適用用此模型來(lái)解決，并將模型進(jìn)行改進(jìn)以適應(yīng)問(wèn)

題1。

(2)借助準(zhǔn)備工作中的采樣，（用擬合等方法）確定出模型中的參

數(shù)。

(3)給出問(wèn)題1的數(shù)學(xué)模型I表達(dá)式和圖形表示式。(4)給出誤差分析的理論估計(jì)。3.模型I的數(shù)值模擬

將模型I 進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，并與附件中的真實(shí)采樣值（進(jìn)行列表或圖 示）比較。對(duì)誤差進(jìn)行數(shù)據(jù)分析。5.3.2模型II(······的模型)1.該種模型的一般數(shù)學(xué)表達(dá)式，意義，和式中各種參數(shù)的意義。注明參 考文獻(xiàn)。2.······模型II的建立和求解

(1)說(shuō)明問(wèn)題1適用用此模型來(lái)解決，并將模型進(jìn)行改進(jìn)以適應(yīng)問(wèn)

題1。

(2)借助準(zhǔn)備工作中的采樣，（用擬合等方法）確定出模型中的參

數(shù)。

(3)給出問(wèn)題1的數(shù)學(xué)模型I表達(dá)式和圖形表示式。(4)給出誤差分析的理論估計(jì)。

3.模型II的數(shù)值模擬

將模型II進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，并與附件中的真實(shí)采樣值（進(jìn)行列表或圖示）比較。對(duì)誤差進(jìn)行數(shù)據(jù)分析 5.3.3模型III(······的模型)1.該種模型的一般數(shù)學(xué)表達(dá)式，意義，和式中各種參數(shù)的意義。注明參考文獻(xiàn)。2.······模型I的建立和求解

(1)說(shuō)明問(wèn)題1適用用此模型來(lái)解決，并將模型進(jìn)行改進(jìn)以適應(yīng)問(wèn)

題1。

(2)借助準(zhǔn)備工作中的采樣，（用擬合等方法）確定出模型中的參

數(shù)。

(3)給出問(wèn)題1的數(shù)學(xué)模型I表達(dá)式和圖形表示式。(4)給出誤差分析的理論估計(jì)。3.模型I的數(shù)值模擬

將模型I 進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，并與附件中的真實(shí)采樣值（進(jìn)行列表或圖 示）比較。對(duì)誤差進(jìn)行數(shù)據(jù)分析。5.3.4問(wèn)題1的三種數(shù)學(xué)模型的比較。

對(duì)三種模型的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)結(jié)合原始數(shù)據(jù)和模擬預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。給出各自得優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)。5.4問(wèn)題3 的。。的模型（4 號(hào)宋體）5.4.1模型I(······的模型)1.該種模型的一般數(shù)學(xué)表達(dá)式，意義，和式中各種參數(shù)的意義。注明參 考文獻(xiàn)。2.······模型I的建立和求解

(1)說(shuō)明問(wèn)題1適用用此模型來(lái)解決，并將模型進(jìn)行改進(jìn)以適應(yīng)問(wèn)

題1。

(2)借助準(zhǔn)備工作中的采樣，（用擬合等方法）確定出模型中的參

數(shù)。

(3)給出問(wèn)題1的數(shù)學(xué)模型I表達(dá)式和圖形表示式。(4)給出誤差分析的理論估計(jì)。3.模型I的數(shù)值模擬

將模型I 進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，并與附件中的真實(shí)采樣值（進(jìn)行列表或圖 示）比較。對(duì)誤差進(jìn)行數(shù)據(jù)分析。5.4.2模型II(······的模型)1.該種模型的一般數(shù)學(xué)表達(dá)式，意義，和式中各種參數(shù)的意義。注明參 考文獻(xiàn)。2.······模型II的建立和求解

(1)說(shuō)明問(wèn)題1適用用此模型來(lái)解決，并將模型進(jìn)行改進(jìn)以適應(yīng)問(wèn)

題1。

(2)借助準(zhǔn)備工作中的采樣，（用擬合等方法）確定出模型中的參

數(shù)。

(3)給出問(wèn)題1的數(shù)學(xué)模型I表達(dá)式和圖形表示式。(4)給出誤差分析的理論估計(jì)。

3.模型II的數(shù)值模擬

將模型II進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，并與附件中的真實(shí)采樣值（進(jìn)行列表或圖示）比較。對(duì)誤差進(jìn)行數(shù)據(jù)分析 5.4.3模型III(······的模型)1.該種模型的一般數(shù)學(xué)表達(dá)式，意義，和式中各種參數(shù)的意義。注明參考文獻(xiàn)。2.······模型I的建立和求解

(1)說(shuō)明問(wèn)題1適用用此模型來(lái)解決，并將模型進(jìn)行改進(jìn)以適應(yīng)問(wèn)

題1。

(2)借助準(zhǔn)備工作中的采樣，（用擬合等方法）確定出模型中的參

數(shù)。

(3)給出問(wèn)題1的數(shù)學(xué)模型I表達(dá)式和圖形表示式。(4)給出誤差分析的理論估計(jì)。3.模型I的數(shù)值模擬

將模型I 進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，并與附件中的真實(shí)采樣值（進(jìn)行列表或圖 示）比較。對(duì)誤差進(jìn)行數(shù)據(jù)分析。5.4.4問(wèn)題1的三種數(shù)學(xué)模型的比較。

對(duì)三種模型的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)結(jié)合原始數(shù)據(jù)和模擬預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。給出各自得優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)。

6.模型評(píng)價(jià)與推廣

對(duì)本文中的模型給出比較客觀(guān)的評(píng)價(jià)，必須實(shí)事求是，有根據(jù)，以便評(píng)卷人參考。

推廣和優(yōu)化，需要挖空心思，想出合理的、甚至可以合理改變 題目給出的條件的、不一定可行但是具有一定想象空間的準(zhǔn)理想 的方法、模型。（大膽、合理、心細(xì)。反復(fù)推敲，這段500 字半頁(yè) 左右的文字，可能決定生死存亡。）

參考文獻(xiàn)（4號(hào)黑體）

(書(shū)寫(xiě)格式如下)[1] 作者名1,作者名2.文章名字.雜志名字，年，卷（期）：起始頁(yè)碼-結(jié)束頁(yè)碼 [2] 作者名1,作者名2.書(shū)名.出版地：出版社，年，起始頁(yè)碼-結(jié)束頁(yè)碼 [3] 作者名1,作者名2.文章名字.年，卷（期）：起始頁(yè)碼-結(jié)束頁(yè)碼，網(wǎng)頁(yè)地 址。[4] 李傳鵬，什么是中國(guó)標(biāo)準(zhǔn)書(shū)號(hào)，http://004km.cn/mypage/page2.asp?pgid=51440&pid=46275，2006-9-18。

[5] 徐玖平、胡知能、李軍，運(yùn)籌學(xué)（II類(lèi)），北京：科學(xué)出版社，2004。

[6] Ishizuka Y, AiyoshiE.Double penalty method for bilevel optimization problems.Annals of Operations Research, 24: 73-88，1992。注意：5篇以上！

八、附件（4號(hào)黑體）

（正文中不許出現(xiàn)程序，如果要附程序只能以附件形式給出）

2006年數(shù)學(xué)建模評(píng)分參考標(biāo)準(zhǔn)：

摘要（很重要）5分 數(shù)據(jù)篩選 35分 數(shù)學(xué)模型 35分 數(shù)據(jù)模擬 15分 總體感覺(jué) 10分

特別注意：

1、問(wèn)題的結(jié)果要讓評(píng)卷人好找到；顯要位置---獨(dú)立成段

2、摘要中要將方法、結(jié)果講清楚；

3、可以有目錄也可以不要目錄；

4、建模的整個(gè)過(guò)程要清楚，自圓其說(shuō)，有結(jié)果、有創(chuàng)新；

5、采樣要足夠多，每組不少于7 個(gè)；

6、模型要與數(shù)據(jù)結(jié)合，用數(shù)據(jù)驗(yàn)證過(guò)；

7、如果數(shù)學(xué)方法選錯(cuò)，肯定失敗；

8、規(guī)范、整潔；總頁(yè)數(shù)在35~45之間為宜。

9、必須有數(shù)學(xué)模型，同一問(wèn)題的不同模型要比較；

10、數(shù)據(jù)必須有分析和篩選；

11、模型不能太復(fù)雜，若用多項(xiàng)式回歸分析，次數(shù)以3次為好。

第三篇：2010年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題優(yōu)秀論文

兩篇重要論文------詳見(jiàn)百度文庫(kù)鏈接

(一)儲(chǔ)油罐變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定問(wèn)題探究

華中科技大學(xué);梅正陽(yáng)指導(dǎo)

鏈接地址：

(二)數(shù)值解法在儲(chǔ)油罐變位標(biāo)定中的應(yīng)用

鏈接地址：

第四篇：2014全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽

嫦娥三號(hào)軟著陸軌道設(shè)計(jì)與控制策略

摘要

隨著月球探測(cè)任務(wù)的發(fā)展,未來(lái)月球探測(cè)考察目標(biāo)將主要是 復(fù)雜地形特性的高科學(xué)價(jià)值區(qū)域。為了能夠安全地在這些遍布巖石、的區(qū)域內(nèi)完成高精度軟著陸，這就要求導(dǎo)航和控制系統(tǒng)具有較強(qiáng)的自主性和實(shí)時(shí)性。本文針對(duì)最終著陸段安全、精確的需求，對(duì)月球軟著陸導(dǎo)航與控制方法進(jìn)行較深入研究，主要內(nèi)容包括：

首先，提出一種基于單幀圖像信息的障礙檢測(cè)方法。該方法根據(jù)著陸區(qū)內(nèi)障礙成像的特點(diǎn)，通過(guò)匹配相應(yīng)的陰影區(qū)與光照區(qū)完成對(duì)巖石、彈坑的檢測(cè)，利用圖像灰度方差對(duì)粗糙區(qū)域進(jìn)行提?。涸跈z測(cè)出故障信息的基礎(chǔ)上，選取安全著陸點(diǎn)以保證軟著陸任務(wù)的成功。

其次，給出一種基于矢量觀(guān)測(cè)信息的自主光學(xué)導(dǎo)航方法。該方法利用光學(xué)相機(jī)和激光測(cè)距儀測(cè)量值構(gòu)建著陸點(diǎn)相對(duì)著陸器的矢量信息，結(jié)合著陸器的姿態(tài)信息確定著陸器的位置。為了消除測(cè)量噪聲帶來(lái)的干擾，利用擴(kuò)展Kalman濾波理論設(shè)計(jì)了導(dǎo)航濾波器。

再次，提出一種李雅普諾夫函數(shù)障礙規(guī)避制導(dǎo)方法。該方法通過(guò)對(duì)狀態(tài)函數(shù)、危險(xiǎn)地形勢(shì)函數(shù)的設(shè)計(jì)，以滿(mǎn)足平移過(guò)程中減低障礙威脅與精確定點(diǎn)著陸器，設(shè)計(jì)PWPF（調(diào)頻調(diào)寬）調(diào)節(jié)器實(shí)現(xiàn)定推理等效變推力控制效果。

最后，針對(duì)采用變推力主發(fā)動(dòng)機(jī)的月球著陸器，提出一種垂直軟著陸控制方法。該方法采用標(biāo)稱(chēng)控制與閉環(huán)控制相結(jié)合的方式，規(guī)劃標(biāo)稱(chēng)軌跡以保證著陸器到達(dá)著陸點(diǎn)時(shí)其下降速度、加速度亦為零，設(shè)計(jì)閉環(huán)控制器產(chǎn)生附加控制量消除初始偏差、著陸器質(zhì)量變化的干擾，以保證著陸器沿標(biāo)稱(chēng)軌跡到達(dá)著陸點(diǎn)。

本文分別對(duì)所提出的最終著陸段導(dǎo)航與控制方法進(jìn)行數(shù)學(xué)仿真以驗(yàn)證個(gè)方法的可行性。仿真結(jié)果表明，本文多給出導(dǎo)航方法能夠達(dá)到較高的性能指標(biāo)，滿(mǎn)足在危險(xiǎn)區(qū)域?qū)崿F(xiàn)高精度軟著陸的需要。

關(guān)鍵詞： 月球軟著陸；自主導(dǎo)航與控制；障礙檢測(cè)；規(guī)避制導(dǎo)；適量測(cè)量

一、問(wèn)題重述

嫦娥三號(hào)于2013年12月2日1時(shí)30分成功發(fā)射，12月6日抵達(dá)月球軌道。根據(jù)計(jì)劃，嫦娥三號(hào)將在北京時(shí)間12月14號(hào)在月球表面實(shí)施軟著陸。嫦娥三號(hào)如何實(shí)現(xiàn)軟著陸以及能否成功成為外界關(guān)注焦點(diǎn)。嫦娥三號(hào)在著陸準(zhǔn)備軌道上的運(yùn)行質(zhì)量為2.4t，其安裝在下部的主減速發(fā)動(dòng)機(jī)是目前中國(guó)航天器上最大推力的發(fā)動(dòng)機(jī)，能夠產(chǎn)生1500N到7500N的可調(diào)節(jié)推力，進(jìn)而對(duì)嫦娥三號(hào)實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)控制。其比沖（即單位質(zhì)量的推進(jìn)劑產(chǎn)生的推力）為2940m/s，可以滿(mǎn)足調(diào)整速度的控制要求。在四周安裝有姿態(tài)調(diào)整發(fā)動(dòng)機(jī)，在給定主減速發(fā)動(dòng)機(jī)的推力方向后，能夠自動(dòng)通過(guò)多個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī)的脈沖組合實(shí)現(xiàn)各種姿態(tài)的調(diào)整控制。嫦娥三號(hào)的預(yù)定著陸點(diǎn)為19.51W，44.12N，海拔為-2641m。嫦娥三號(hào)將在近月點(diǎn)15公里處以?huà)佄锞€(xiàn)下降，相對(duì)速度從每秒1.7公里逐漸降為零。整個(gè)過(guò)程大概需要十幾分鐘的時(shí)間。在距月面100米處時(shí)，嫦娥三號(hào)要進(jìn)行短暫的懸停，掃描月面地形，避開(kāi)障礙物，尋找著陸點(diǎn)。之后，嫦娥三號(hào)在反推火箭的作用下繼續(xù)慢慢下降，直到離月面4米高時(shí)再度懸停。此時(shí)，關(guān)掉反沖發(fā)動(dòng)機(jī)，探測(cè)器自由下落。

嫦娥三號(hào)在高速飛行的情況下，要保證準(zhǔn)確地在月球預(yù)定區(qū)域內(nèi)實(shí)現(xiàn)軟著陸，關(guān)鍵問(wèn)題是著陸軌道與控制策略的設(shè)計(jì)。其著陸軌道設(shè)計(jì)的基本要求：著陸準(zhǔn)備軌道為近月點(diǎn)15km，遠(yuǎn)月點(diǎn)100km的橢圓形軌道；著陸軌道為從近月點(diǎn)至著陸點(diǎn)，其軟著陸過(guò)程共分為6個(gè)階段，分別為著陸準(zhǔn)備軌道、主減速段、快速調(diào)整段、粗避障段、精避障段、緩速下降階段，要求滿(mǎn)足每個(gè)階段在關(guān)鍵點(diǎn)所處的狀態(tài)；盡量減少軟著陸過(guò)程的燃料消耗。

根據(jù)上述的基本要求，請(qǐng)你們建立數(shù)學(xué)模型解決下面的問(wèn)題：

（1）確定著陸準(zhǔn)備軌道近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)的位置，以及嫦娥三號(hào)相應(yīng)速度的大小與方向。（2）確定嫦娥三號(hào)的著陸軌道和在6個(gè)階段的最優(yōu)控制策略。

（3）對(duì)于你們?cè)O(shè)計(jì)的著陸軌道和控制策略做相應(yīng)的誤差分析和敏感性分析。

二、問(wèn)題分析

對(duì)于問(wèn)題一：

嫦娥三號(hào)從15公里左右的高度下降到月球表面，在這一過(guò)程中不考慮月球表面太陽(yáng)風(fēng)的影響，忽略月球的自轉(zhuǎn)速度引起的科氏力的影響，由于下降時(shí)間比較短也不考慮太陽(yáng)、地球?qū)︽隙鹑?hào)的攝動(dòng)影響，嫦娥三號(hào)水平速度要從1.692km/s降為0m/s由于3000m處時(shí)嫦娥三號(hào)已經(jīng)基本位于著陸點(diǎn)上方，所以此時(shí)假設(shè)在3000m處的速度只存在豎直向下的速度而不存在水平分速度，因?yàn)榻德錅p速時(shí)間比較短只有垂直于月面的方向運(yùn)動(dòng)才能實(shí)現(xiàn)，所以在確定著陸點(diǎn)位置和著陸軌跡時(shí)應(yīng)當(dāng)考慮燃料最優(yōu)情況下推力最大，方向自由的方法即取F?7500N建立主減速段動(dòng)力學(xué)模型。

三、符號(hào)說(shuō)明

四、模型假設(shè)

對(duì)于問(wèn)題一：

忽略月球的自傳和太陽(yáng)、地球?qū)︽隙鹑?hào)衛(wèi)星的引力攝動(dòng) 月球近似為一個(gè)質(zhì)量均勻的標(biāo)準(zhǔn)球體 將嫦娥三號(hào)是為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)

主減速忽略動(dòng)作調(diào)整所產(chǎn)生的燃料消耗段不考慮太陽(yáng)風(fēng)的影響

五、模型建立與求解

5.1問(wèn)題一的建模與求解 解法一： 假設(shè)嫦娥三號(hào)在t時(shí)刻在遠(yuǎn)月點(diǎn)開(kāi)始緩慢下降，在n時(shí)刻到達(dá)近月點(diǎn)，整個(gè)過(guò)程遵循開(kāi)普勒第三定律，即

v0?0

在t時(shí)刻有：v1?2??R1????? ??R0?R0?R1?r0 R0?r1?r2 其中v1：遠(yuǎn)月點(diǎn)速度

v2：近月點(diǎn)速度

R0：遠(yuǎn)月點(diǎn)月心距

R1：近月點(diǎn)月心距（已知月球的半徑為1738千米）

R0?1738?100?1838km

R1?1738?15?1753km 在t1時(shí)刻處v2? k?2??R1??? ?R0?R0?R1??R0?0.512k?0.488 R0?R1利用能量平衡式求得近地點(diǎn)速度為

2?0.512?49012（）?1.692km/s（沿切線(xiàn)方向）v2?，比當(dāng)?shù)氐沫h(huán)境速度17531.672km/s大?vk?0.0196km/s，徑向速度vk?0。

1同理解得v1?1.6139km/s（沿切線(xiàn)方向）

vri?0

解得主減速段動(dòng)力學(xué)模型的建立：

根據(jù)題意，在橫向飛行的水平距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于月球半徑的平均值，所以可以將整個(gè)減速段過(guò)程簡(jiǎn)化為水平和豎直方向運(yùn)動(dòng)方程，根據(jù)牛頓第二定律、速度計(jì)算公式有：

ax?Tx may?tTymTxt?a

?1.692km/s ?m?0?Qdt0??Ty???a?dt?57m/s t?0??m??Qdt?0??t?T22x?Ty2??7500N

v2?2at?S

運(yùn)用matlab編程解得S?451810.4m； 其中 ax：水平方向加速度

ay：豎直方面加速度

a：月球表面重力加速度a? Tx：推力的水平方向分力

Ty：推力的豎直方向分力

t:主減速段時(shí)間

S:嫦娥三號(hào)主減速段水平位移

Q:嫦娥三號(hào)發(fā)動(dòng)機(jī)燃料秒消耗率

根據(jù)已知資料得到嫦娥三號(hào)著陸過(guò)程中緯度改變，經(jīng)度基本不變，月球赤緯和地球緯度一樣也分為南北各90個(gè)分度,又因?yàn)樵虑驑O區(qū)半徑為1735.843km，所以每一個(gè)緯度的豎直高度差為19.2871

4g 6千米。即近月點(diǎn)位置坐標(biāo)為?19.0464W,28.9989N?海拔15km,遠(yuǎn)月點(diǎn)位置坐標(biāo)為?160.9536E,28.9989S?海拔100km。

解法2:軌跡方程法。

眾所周知,太陽(yáng)系中的八大行星都在按照各自的橢圓軌道繞太陽(yáng)進(jìn)行公轉(zhuǎn),太陽(yáng)位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上,行星的運(yùn)動(dòng)遵循開(kāi)普勒三定律,筆者發(fā)現(xiàn),在各類(lèi)物理競(jìng)賽中,常會(huì)涉及到天體運(yùn)動(dòng)速度的計(jì)算,本文擬從能量和行星運(yùn)動(dòng)的軌跡方程兩個(gè)不同的角度來(lái)探索行星在近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)的速度。

該解法的指導(dǎo)思想是對(duì)橢圓的軌跡方程求導(dǎo),并結(jié)合一般曲線(xiàn)的曲率半徑通式求出近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)的曲率半徑表達(dá)式,然后利用萬(wàn)有引力提供向心力列方程求解。如圖1所示,橢圓的軌跡方程為

x2y2?2?1 ?5? 2ba將?5?式變形為

a2x2?b2y2?a2b2 ?6?

根據(jù)隱函數(shù)的求導(dǎo)法則將?6?式對(duì)x求導(dǎo)有

2a2x?2b2yy??0 ?7? 即

a2xy???2 ?8?

by將?7?式再次對(duì)x求導(dǎo)得

2a2?2b2(y?y??yy??)?0 ?9? 將?8?、?9?兩式聯(lián)立得

a2b2y2?a4x2 ?10? y???-43by根據(jù)曲率半徑公式有 r?(1?y?)?11? ??y122 將?8?、?10?、?11?式聯(lián)立并將A點(diǎn)坐標(biāo)A(0，a)代入可得A點(diǎn)的曲率半徑為

b2RA? ?12?

a根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性,遠(yuǎn)日點(diǎn)B的曲率半徑為

b2RB?RA? ?13?

a 由于在A、B兩點(diǎn)行星運(yùn)行速度方向與萬(wàn)有引力方向垂直,萬(wàn)有引力只改變速度方向,并不改變速度大小,故分別根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得

GMmmvA ?14? ?(a?c)2RAGMmmvB ?15? ?2(a?c)RB將?13?至?15?式聯(lián)立可得 22vA?bGMbGM，vB? ??a?caa?ca

5.2問(wèn)題二的建模與求解 模型一：動(dòng)力學(xué)模型

典型的月球軟著陸任務(wù)中,探測(cè)器一般首先發(fā)射到100km的環(huán)月停泊軌道,然后根據(jù)所選定的著陸位置,在合適的時(shí)間給著陸器一個(gè)有限脈沖,使得著陸器轉(zhuǎn)入近月點(diǎn)(在著落位置附近)為15km,遠(yuǎn)月點(diǎn)為100km的月球橢圓軌道,這一階段稱(chēng)為霍曼轉(zhuǎn)移段。當(dāng)著陸器運(yùn)行到近月點(diǎn)時(shí),制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)開(kāi)始工作,其主要任務(wù)是抵消著陸器的初始動(dòng)能和勢(shì)能,使著陸器接觸地面時(shí),相對(duì)月面速度為零,即實(shí)現(xiàn)所謂的軟著陸,這一階段稱(chēng)為動(dòng)力下降段。著陸器的大部分燃料都是消耗在此階段,所以月球軟著陸軌跡優(yōu)化主要是針對(duì)動(dòng)力下降段這一階段。由于月球表面附近沒(méi)有大氣,所以在飛行器的動(dòng)力學(xué)模型中沒(méi)有大氣阻力項(xiàng)。而且從15km左右的軌道高度軟著陸到月球表面的時(shí)間比較短,一般在幾百秒的范圍內(nèi),所以諸如月球引力非球項(xiàng)、日月引力攝動(dòng)等影響因素均可忽略不計(jì),所以這一過(guò)程可以在二體模型下描述。其示意圖如圖1所示,其中o為月球質(zhì)心,x軸方向?yàn)橛稍滦闹赶蛑懫鞯某跏嘉恢?y軸方向?yàn)槌跏嘉恢弥懫魉俣确较颉?/p>

圖 1 月球軟著陸極坐標(biāo)系

其動(dòng)力學(xué)方程如下: r??v ????

v??(F/m)sin???/r?r

2?2 ????((F/m)cos??2v?)/r

m???F/ISP

在上式中r為著陸器與月心距離,v為著陸器徑向速度,?為著陸器極角,?為著陸器極角角速度,?為月球引力常數(shù),F著陸器制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)推力,m為著陸器質(zhì)量,?為制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)推力方向角,其定義為F與當(dāng)?shù)厮椒较驃A角,ISP為制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)比沖。根據(jù)動(dòng)力下降段的起點(diǎn)位置可以確定動(dòng)力學(xué)方程初始條件,由于起點(diǎn)處于霍曼轉(zhuǎn)移軌道的近地點(diǎn),故其初始條件為: r0?rp

?0?0

v0?0 ?0?1rp?rp(2ra)ra?rp其中rp和ra分別為霍曼轉(zhuǎn)移段的近地點(diǎn)半徑和遠(yuǎn)地點(diǎn)半徑。

終端條件為實(shí)現(xiàn)軟著陸, 即

rf?R

vf?0

?f?0

其中R為月球半徑,終端條件中對(duì)終端極角?f及終端時(shí)間tf無(wú)約束。

優(yōu)化變量為制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)推力方向角?(t)。

優(yōu)化的性能指標(biāo)為在滿(mǎn)足上述初始條件和終端條件的前提下, 使著陸過(guò)程中燃料消耗最少,即

J??m(t)dt

t0f設(shè)計(jì)主減速段制導(dǎo)控制律 2動(dòng)力下降段燃料最優(yōu)精確著陸問(wèn)題描述 2.1 燃料最優(yōu)精確著陸問(wèn)題

著陸器運(yùn)動(dòng)方程：考慮采用變推力發(fā)動(dòng)機(jī)情況，有

r?v

.v?g?a

(1)

a?Tmm??aT..其中r?[rhrxry]T，v?[vhvxvy]T分別表示著陸器相對(duì)期望著陸點(diǎn)的位置和速度矢量；T為推力器提供的推力矢量，幅值為 T，對(duì)應(yīng)控制加速度矢量 a；g為火星的重力加速度矢量，此處認(rèn)為是常值；m為著陸器質(zhì)量，對(duì)應(yīng)推力器質(zhì)量排除系數(shù)?。指標(biāo)函數(shù)：考慮燃料消耗

min(m0?mf)???min?0fTdt

(2)邊界條件：即初始條件和終端條件

r(0)?r0,v(0)?v0,m(0)?m0,r(tf)?v(tf)?[000]

(3)控制約束：考慮發(fā)動(dòng)機(jī)一旦啟動(dòng)不能關(guān)閉，存在最大和最小推力約束

0?T1?T?T

2(4)狀態(tài)約束：為避免在著陸前撞擊到火星地表，需確保整個(gè)下降段位于火星地平面以上，即

rh?0

（5）進(jìn)一步地，若著陸區(qū)域附近表面崎嶇不平，僅僅確保地表約束不能滿(mǎn)足需求時(shí)，可以考慮下降傾角約束，即將著陸器下降軌線(xiàn)約束到以著陸點(diǎn)為頂點(diǎn)的圓錐體內(nèi)

2.2 等效后燃料最優(yōu)精確著陸問(wèn)題 定義等效變換變量

Ttrx2?ry2rh?tan?alt

（6）

u?a?T

?m

（7）

??Tmz?lnm??等效著陸器運(yùn)動(dòng)方程： ?.??r??0I3.?.??

y??v??00??.??00?z????其中p?[u?T0??r??0?v???I0?????30??z????0?7*7?0??u?g??0????Acy?Bc(p?g4)

（8）????????],g4?[gTT?0]T

t指標(biāo)函數(shù)：

min?0f?(t)dt

（9）

邊界條件：同式(3)。

控制約束：由文獻(xiàn)[10]可知，控制約束(4)可等效表示為

u??1T1e?z0[1?(z?z0)?(z?z0)2]???T2e?z0[1?(z?z0)]

（10）（11）

2狀態(tài)約束：地表約束同式(5)，傾角約束(6)可等效表示為

T

Sy?cy?0

（12）

其中

?0100000?S???

0010000??c???tan?alt

T000000?

3.燃料最優(yōu)精確著陸問(wèn)題的離散化及變換 3.1 等效燃料最優(yōu)精確著陸問(wèn)題的離散化

首先將整個(gè)飛行時(shí)間均分成 n 段（對(duì)應(yīng) n +1 個(gè)點(diǎn)），每段步長(zhǎng)為?t，離散化后的著陸器運(yùn)動(dòng)方程為：yk?1?Ayk?B(pk?g4)

其中A?R7?7,B?R7?4分別為離散系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣

12A?e?tAc?I3??tAc??tAc??

2?t?t112B??e??t?s?AcBcds??esAcds?Bc??tBc??tBc??t2Bc??

0026其中I3為三階單位陣。

有系統(tǒng)性質(zhì)可知，整個(gè)控制時(shí)域內(nèi)系統(tǒng)狀態(tài)滿(mǎn)足 y3?Ay2?B?p2?g4??A3y0?A2B?p0?g4??AB?p1?g4??B?p2?g4??yn?Ayn?1?B?pn?1?g4??Any0?An?1B?p0?g4????AB?pn?2?g4??B?pn?1?g4?y1?Ay0?B?p0?g4?y2?Ay1?B?p1?g4??A2y0?AB?p0?g4??B?pn?2?g4??B?p1?g4?

為表達(dá)方便，令

?y0??p0???0??A0??y??p?????1??1??1??1??A? ,p??p2?，????2???A2? Y??y2?????????????????????n?????yn??7?n?1??1?pn??4?n?1??1??n????A?7?n?1??7??0??0????B?1??????AB???2???2??3??AB????????n?1?A??n????則(15)可等價(jià)于

0???0??0?????B?0?1???????2??AB?B?B000???????2? ?ABB00???3??A?AB?B??????????0????n?1???A???AB?B?A2BABB????n????7?n?1??4?n?1???000000Y??y0??p??g4

分別定義如下常值矩陣：

最終可得離散化后的燃料最優(yōu)化問(wèn)題如下： 指標(biāo)函數(shù)：式(9)可表示為

邊界條件：式(3)可表示為

控制約束：式(10)和式(11)分別可表示為

狀態(tài)約束：式(5)和式(12)分別可表示為

含有 p個(gè)線(xiàn)性約束和 q個(gè)二階錐約束的最優(yōu)化問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)形式為 指標(biāo)函數(shù)

min(?Tx)滿(mǎn)足約束

DTx?f?0Ax?ci?b?dinTiTi

（k=1,?，n）

n*pp其中x?R為待優(yōu)化向量，??R，線(xiàn)性約束參數(shù)D?R,f?R，二階錐約束參數(shù)維數(shù)n(Ai,bi,ci,di)由相應(yīng)約束確定

則式(17)～式(23)可最終轉(zhuǎn)換為如下最優(yōu)化問(wèn)題： 指標(biāo)函數(shù)：min(vpp)滿(mǎn)足：

初值約束:MxΨ0p?Mx(Ψ0y0)?A0g4?r0末值約束:MxΨ0p?Mx(Ψ0y0)?A0g4控制約束:Murkp?v?rkp 控制上限:?(vzΨk?TT?TTv0?T?0

?0

T1vr)p?1?vTz(Φky0?Akg4)?z0,z?0 ?z0?kT2e 控制下限：

4數(shù)值仿真結(jié)果與分析本節(jié)以某火星著陸器為例，計(jì)算了典型初始條件下滿(mǎn)足各種約束的燃料最優(yōu)精確著陸軌跡。其中探測(cè)器各參數(shù)分別取為：m0?2000kg,g?[?3.711400]ms2,c?2kms,T1?1.3kN,T2?13kN.。著陸器初始位置矢量r0= [1500,-600, 800] m，初始速度矢量v0= [-30, 10, 40]m/s，傾角?alt=86°。二階錐優(yōu)化問(wèn)題可以通過(guò)大量免費(fèi)的優(yōu)化工具求解，如 CSDP、DSDP、OpenOpt、SeDuMi、SDPA、SDPLR等。本文選用 SDPT3 進(jìn)行計(jì)算，通過(guò)執(zhí)行線(xiàn)性搜索確定燃料最優(yōu)下降時(shí)間tf為 43s，圖 1 給出了相應(yīng)的最優(yōu)著陸軌跡、下降速度、加速度、控制推力、推力幅值以及探測(cè)器質(zhì)量變化曲線(xiàn)。

由優(yōu)化結(jié)果可以看出，探測(cè)器在給定時(shí)間飛行并軟著陸到指定位置，且在整個(gè)下降過(guò)程始終與火星地表保持一定的安全距離，驗(yàn)證了下降傾角約束的有效性。其推力幅值曲線(xiàn)呈現(xiàn)“最大-最小-最大”的最優(yōu)控制形式，不過(guò)為了保持發(fā)動(dòng)機(jī)始終處于點(diǎn)火狀態(tài)，在中間段對(duì)應(yīng)最小推力約束，這與文獻(xiàn)中的分析結(jié)論一致。此外，通過(guò)利用如 TOMLAB 等商業(yè)最優(yōu)控制軟件進(jìn)行復(fù)核計(jì)算，也驗(yàn)證了此計(jì)算結(jié)果的燃料最優(yōu)性能。

*

圖 1 給定初始條件下火星著陸器動(dòng)力下降段燃料最優(yōu)計(jì)算結(jié)果

需要注意到，此燃料最優(yōu)軌跡的獲取對(duì)著陸器的實(shí)時(shí)在線(xiàn)計(jì)算性能提出了較高的要求，經(jīng)測(cè)試，無(wú)論使用何種優(yōu)化工具，計(jì)算給定飛行任務(wù)時(shí)間的最優(yōu)軌跡均需數(shù)秒，而全局最優(yōu)則需要數(shù)十秒甚至更長(zhǎng)，這在實(shí)際任務(wù)中是不允許的。因此，可行的方案是通過(guò)在地面計(jì)算大量的燃料最優(yōu)軌跡，并尋找規(guī)律，選取關(guān)鍵路徑點(diǎn)狀態(tài)存儲(chǔ)到著陸器計(jì)算機(jī)中，通過(guò)在線(xiàn)查表或者在利用對(duì)計(jì)算量要求較小的反饋制導(dǎo)律完成安全著陸任務(wù)。

因此，為了研究探測(cè)器燃料最優(yōu)軌跡特性，選取相同的探測(cè)器參數(shù)，暫不考慮推力器最小幅值約束和傾斜角約束（但考慮地表約束），固定初始高度為 1500m，初始位置水平方向從-8000m 到 8000m 內(nèi)取值，分別選取各種不同的初始速度，可得燃料最優(yōu)精確著陸軌跡簇如圖 2 所示。

圖 2 各種不同初始速度對(duì)應(yīng)的火星著陸器動(dòng)力下降段燃料最優(yōu)軌跡簇

1)對(duì)任意探測(cè)器初始位置，特定初始速度對(duì)應(yīng)的燃料最優(yōu)著陸軌跡在末端必然收斂到一個(gè)固定的近似圓錐體內(nèi)。

2)取決于探測(cè)器初始位置和速度的關(guān)系，燃料最優(yōu)軌跡有兩種形式：S 型和 C 型，其中 S 型主要對(duì)應(yīng)于期望著陸點(diǎn)位置水平距離較大情況。3)當(dāng)探測(cè)器初始水平速度為零時(shí)，圓錐體軸線(xiàn)垂直于火星地表，所有最優(yōu)軌線(xiàn)關(guān)于該軸線(xiàn)中心對(duì)稱(chēng)。4)初始速度的大小也直接影響到任務(wù)的可靠性，因此需要在超聲速進(jìn)入段和降落傘減速段將著陸器速度下降到合理范圍內(nèi)。

上述結(jié)論對(duì)上注探測(cè)器關(guān)鍵點(diǎn)的選取有著較強(qiáng)的指導(dǎo)意義，比如基于最優(yōu)軌線(xiàn)的斜率對(duì)路徑點(diǎn)合并、基于最優(yōu)軌線(xiàn)簇的對(duì)稱(chēng)性對(duì)上注軌線(xiàn)進(jìn)行等效延伸、或者嘗試僅將 S 型和 C 型的轉(zhuǎn)折點(diǎn)作為路徑點(diǎn)等，這樣可以大大降低探測(cè)器自主存儲(chǔ)與計(jì)算需求，進(jìn)而有效提升任務(wù)的可靠性。重力轉(zhuǎn)彎軟著陸過(guò)程

對(duì)于最終著陸點(diǎn)，假設(shè)探測(cè)器的下降軌跡在一平面內(nèi)，且月球引力場(chǎng)為垂直于月面XY的均勻引力場(chǎng)，引力加速度g沿-Z，如圖1所示，制動(dòng)推力方向沿探測(cè)器的本體軸z。重力轉(zhuǎn)彎軟著陸過(guò)程中探測(cè)器質(zhì)心動(dòng)力學(xué)方程可表示為

上式中各變量的物理意義如圖1中所示，其中m>0為探測(cè)器質(zhì)量；k>0為制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)比沖；u表示制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)的秒耗量

可通過(guò)一定的機(jī)構(gòu)加以調(diào)節(jié)，故作為軟著陸問(wèn)題的控制變量。假定制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)的最大推力與初始質(zhì)量比大于月面引力加速度，并且制動(dòng)推進(jìn)系統(tǒng)能夠在一定的初始條件下將探測(cè)器停止月面上。

重力轉(zhuǎn)彎過(guò)程中，探測(cè)器的高度、速度和姿態(tài)角度可由雷達(dá)高度表、多普勒雷達(dá)及慣性?xún)x表測(cè)得。令軟著陸初始條件探測(cè)器到達(dá)月面時(shí)速度減小到給定的值，故終端條件自由。軟著陸燃耗最優(yōu)問(wèn)題的描述 對(duì)于最終著陸段，可假設(shè)

為一小角度。由此可將系統(tǒng)方程（1）化簡(jiǎn)為

要設(shè)計(jì)制導(dǎo)律實(shí)現(xiàn)軟著陸，就是使

著陸時(shí)間

對(duì)于月球軟著陸的燃耗最優(yōu)控制問(wèn)題，其性能指標(biāo)可表示為

對(duì)于系統(tǒng)（2）的軟著陸過(guò)程，燃耗最優(yōu)問(wèn)題等價(jià)于著陸時(shí)間最優(yōu)問(wèn)題，性能指標(biāo)為

在月球重力轉(zhuǎn)彎軟著陸過(guò)程中，如果存在一個(gè)推力控制程序?qū)⑻綔y(cè)器從初始條件轉(zhuǎn)移到終端條件，并使性能指標(biāo)（3）或（4）式最大，則稱(chēng)這個(gè)推力程序?yàn)檐浿懭己淖顑?yōu)或時(shí)間最優(yōu)制導(dǎo)律。根據(jù)pontryagin極大值原理，系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)及其對(duì)u的偏導(dǎo)數(shù)為

使哈密頓函數(shù)（5）式達(dá)到極大地控制輸入u就是最優(yōu)控制，科表示為。

如果存在一個(gè)有限區(qū)間

則最優(yōu)控制u（t）取值不能由哈密頓函數(shù)確定。此時(shí)如果最優(yōu)解存在，則稱(chēng)為奇異解，（8）式稱(chēng)為奇異條件。

最優(yōu)制導(dǎo)問(wèn)題的性質(zhì)：1）對(duì)于自治系統(tǒng)（2）的時(shí)間最優(yōu)控制問(wèn)題，沿最優(yōu)軌跡其哈密頓函數(shù)滿(mǎn)足

將其對(duì)時(shí)間求導(dǎo)并將（2c）和（6c）式代入，得

另外，由于自由，根據(jù)橫截條件有3）根據(jù)（6a）式。又由（9）式可得T（t）=0，4）根據(jù)極大值原理，系統(tǒng)的狀態(tài)變量和共軛變量都是時(shí)間的連續(xù)可微函數(shù)，將切換函數(shù)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，利用（2），（6）式和性質(zhì)2）得 軟著陸最優(yōu)控制中奇異條件的分析

對(duì)于月球重力轉(zhuǎn)彎軟著陸問(wèn)題，最優(yōu)制導(dǎo)律具有兩個(gè)很好的性質(zhì)。

定理一。月球重力轉(zhuǎn)彎軟著陸系統(tǒng)（2）的燃耗最優(yōu)制導(dǎo)或時(shí)間最優(yōu)制導(dǎo)問(wèn)題不存在奇異條件。證明。用反證法，假設(shè)存在奇異條件，則在某個(gè)閉區(qū)間設(shè)，并由（5）式得

。根據(jù)反正假將（10）式兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并將（2）和（6）式代入化簡(jiǎn)得性質(zhì)2），并考慮到或者情形1.得

下面證明這兩種情形均與反證假設(shè)矛盾。根據(jù)式

及性質(zhì)2）可知，由性質(zhì)3）必有

根據(jù)

是時(shí)間t的斜率非零的線(xiàn)性函數(shù)，m和情形2.1）若定，根據(jù)橫截條件有在區(qū)間內(nèi)為常數(shù)。這與反證假設(shè)矛盾。

。下面再分三種情況進(jìn)行分析。

又因?yàn)?/p>

不與此時(shí)由（6b）式有反證假設(shè)矛盾。2）若盾。3），與反證假設(shè)矛又

因

為

因此有成立，這與

此時(shí)（10）式在上根據(jù)定理一，重力轉(zhuǎn)彎軟著陸的最優(yōu)制導(dǎo)律是一種開(kāi)關(guān)（Bang-Bang）控制，只須控制發(fā)動(dòng)機(jī)開(kāi)關(guān)，不需要調(diào)節(jié)推力的大小。

定理2.對(duì)于月球重力轉(zhuǎn)彎軟著陸過(guò)程，其開(kāi)關(guān)控制器的最優(yōu)推力程序（7）最多進(jìn)行一次切換。

證明。只要證明最多只在一個(gè)時(shí)間點(diǎn)成立即可。軟著陸系統(tǒng)（2）在最優(yōu)推力控制程序（7）的作用下，按最后軌跡降落。由性質(zhì)3）知，為常數(shù)。根據(jù)性質(zhì)4），若嚴(yán)格單調(diào)，因而在上至多有一個(gè)零點(diǎn)，即至多進(jìn)行一次切換；若，則上為常數(shù)。由定理1，5 軟著陸最優(yōu)開(kāi)關(guān)制導(dǎo)律

不可能在任何區(qū)間上成立，故必有既沒(méi)有切換點(diǎn)。

對(duì)于最優(yōu)推力控制程序（7），其切換函數(shù)中含有共軛變量，它是一個(gè)關(guān)于狀態(tài)變量的穩(wěn)式表達(dá)式。為實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)制導(dǎo)，需求出關(guān)于狀態(tài)變量的切換函數(shù)來(lái)。

根據(jù)定理一和定理二，重力轉(zhuǎn)彎軟著陸最優(yōu)控制程序沒(méi)有奇異值狀態(tài)，并且在著陸過(guò)程中最多切換一次，其工作方式有4種：1）全開(kāi)；2）全關(guān)；3）先開(kāi)有關(guān)；4）先關(guān)后開(kāi)。對(duì)于方式1）軟著陸起始點(diǎn)即是開(kāi)機(jī)點(diǎn)；方式2），3）不能實(shí)現(xiàn)軟著陸；最后一種是通常情況下的最優(yōu)著陸方式，即探測(cè)器先做無(wú)制動(dòng)下降，然后打開(kāi)發(fā)動(dòng)機(jī)軟著陸到月面。設(shè)開(kāi)機(jī)時(shí)刻為到發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)間為

式，在區(qū)間

內(nèi)積分，并考慮

將（11）式中的對(duì)數(shù)按泰勒展開(kāi)，忽略

并令

消掉T得到切換函數(shù)為

由切換函數(shù)（12）式可以看出，速度、位置的誤差和制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)推動(dòng)的將直接影響著陸的效果。一種方法是將終端高度從到達(dá)月面時(shí)實(shí)現(xiàn)軟著陸設(shè)置為離月面還有幾米時(shí)實(shí)現(xiàn)軟著陸。另一種方法是考慮制動(dòng)過(guò)程由一個(gè)主發(fā)動(dòng)機(jī)和一組小推力發(fā)動(dòng)機(jī)共同完成，通過(guò)調(diào)整開(kāi)啟的小發(fā)動(dòng)機(jī)的數(shù)量，來(lái)實(shí)現(xiàn)變推力降落。具體地，令切換函數(shù)為

式中各符號(hào)的含義如圖2所示

關(guān)機(jī)點(diǎn)可取為2m,可取為20m，可取為1m/s。為實(shí)現(xiàn)著陸的最優(yōu)性，減速度

取為

其中T如（12）式中所示，m0為探測(cè)器的初始質(zhì)量。

圖三為最優(yōu)著陸過(guò)程與其改進(jìn)方法按圖2降落的次優(yōu)著陸過(guò)程的對(duì)比圖。由此圖中可看出，改進(jìn)方法提高了著陸的安全性，當(dāng)探測(cè)器的初始質(zhì)量mo=350kg，發(fā)動(dòng)機(jī)著陸過(guò)程多消耗燃料2.2kg。

時(shí)，改進(jìn)方法比最優(yōu)

（a）

（b）

問(wèn)題三 協(xié)方差分析方法的基本原理 對(duì)于如下非線(xiàn)性函數(shù)關(guān)系

y?f?x1,x2??xn?（1）

可以使用一階泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)對(duì)其進(jìn)行線(xiàn)性化，有

y??y?f??f?f?x1????xn???x1?xn?（2）?x1?xn其中，??x1??xn?為x1??xn的高階項(xiàng)。從而得到線(xiàn)性化方程

?y???f?xi（3）i?1?xin或表示為

?Y?P?X(4)

這里 P 是偏導(dǎo)數(shù)矩陣: Pi??f（5）?xi若自變量?x1???xn是隨機(jī)變量，則線(xiàn)性化方程的函數(shù)?y的協(xié)方差矩陣為：

E?Y??YT?EP?X?XTPT?PE?X?XTPT(6)即 ??????Cy?PCXPT(7)式中Cx是自變量的協(xié)方差矩陣；Cy是函數(shù)?Y的協(xié)方差矩陣。

協(xié)方差矩陣中對(duì)角線(xiàn)元素是方差，非對(duì)角線(xiàn)元素為協(xié)方差。顯然，只要求出傳遞矩陣 P ,便可確定源誤差與欲求量誤差之間的關(guān)系。若給定各種源誤差，如發(fā)動(dòng)機(jī)安裝誤差、敏感器測(cè)量誤差或發(fā)動(dòng)機(jī)推力和點(diǎn)火時(shí)間等誤差時(shí)，便可以分析其對(duì)目標(biāo)軌道誤差的影響以及對(duì)控制系統(tǒng)精度的影響，進(jìn)一步對(duì)各系統(tǒng)及元部件提出適當(dāng)?shù)木纫?。?jì)算向月飛行軌道誤差的協(xié)方差迭代方程

考慮到軌道參數(shù)的誤差之相對(duì)于軌道參數(shù)的標(biāo)稱(chēng)值是小量，因此可以將軌道運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行線(xiàn)性化，從而得到能夠反映軌道參數(shù)偏差量的傳播關(guān)系的誤差方程。在應(yīng)用雙二體模型且在地球影響球范圍內(nèi)時(shí)，對(duì)軌道運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生攝動(dòng)影響的各項(xiàng)，如月球引力攝動(dòng)、太陽(yáng)引力攝動(dòng)、大氣阻力攝動(dòng)和太陽(yáng)光壓攝動(dòng)等對(duì)誤差方程的影響很小，因此在誤差方程中將它們忽略掉。反映軌道位置和速度誤差的線(xiàn)性化方程如下：

?????v??r???g??（8）??v????r??rT?u???r，其中u?為地球引力常數(shù)。式中 g?r????3rr?rx2?ry2?rz2（9）

寫(xiě)成狀態(tài)方程形式：

?????0I???r??r???????????(10)??v??G0???v??????????g式中 G??T

?r??0I???r?令F?????G0??,X????v?（11）

????則式（9）變?yōu)?/p>

??F?X(12)X下面推導(dǎo)矩陣 F 的表達(dá)式：

??g??u??G??T??T??3r??r?r?r?????u???u???r?r?T?3????3??T?r?r??r??r????u????u????u????u???r???3???3???3????3I3??rr?rr?r?y??z?r?????x???r（13）

式中 r x，r y 和 r z 是探測(cè)器在地心慣性坐標(biāo)系里的軌道位置坐標(biāo)。則G??u?3??T(I?rr)(14)332rr?rx2rxry?rx????T??2rr??ry??rxryrz???ryrxry??r??rzrxrzry?z??rxrz??ryrz?（15）2?rz??

將式（15）、（14）代入（10），得： ?0?0??02?-u?rx(1?32)F??r3r??3u?rxry?r5v??3u?rxrz?r5?

積分式（11），得到： 0003u?rxryr520003u?rxrzr53u?rzryr5210000ry-u?(1?3)32rr3u?rzryr5-u?rz(1?3)0r3r200?10??01??00?（16）

??00??00???

X??t??eF?tX?0?

（17）式中

(F?t)2(F?t)3(F?t)4(F?t)ne?I?F?t??????2!3!4!n!

（18）iN?t??Fi.()i!i?0F?t取前 6 階截?cái)啵矗?/p>

eF?t??ti???F??i!??

（19）i?0??6i

得到計(jì)算誤差方程的迭代方程：

X?ti??t??eF?tX?ti?

（20）

eF?t相當(dāng)于式（4）中的 P 陣，由于誤差方程是時(shí)變方程，因此每一步迭代都需要重新計(jì)算 P 陣，計(jì)算 P 陣需要利用標(biāo)稱(chēng)軌道參數(shù)數(shù)據(jù)。

進(jìn)一步根據(jù)式（7），得到協(xié)方差矩陣的迭代方程：

T

Ci?1?PCPiii

（21）向月飛行軌道誤差的協(xié)方差分析

引起軌道誤差的誤差源主要是導(dǎo)航誤差，包括位 置 誤 差 和 速 度 誤 差。其 中 ： 位 置 誤 差 ：?r??rx,?ry,?rz,?rx,?ry,?rz分別為在地心慣性坐標(biāo)系中 X 軸、Y 軸、Z 軸的分量。速度誤差：?v??vx,?vy,?vz,?vx,?vy,?vz分別是在地心慣性坐標(biāo)系 X 軸、Y 軸、Z 軸的分量。向月飛行軌道的初始軌道位置和速度誤差由運(yùn)載火箭的發(fā)射入軌精度決定，若探測(cè)器在飛行途中進(jìn)行軌道修正，則經(jīng)過(guò)軌道修正以后的軌道位置誤差將由導(dǎo)航誤差決定，速度誤差將由姿態(tài)誤差和制導(dǎo)誤差決定。

上述誤差決定了軌道誤差協(xié)方差分析的計(jì)算初始條件，表 1 給出了在不進(jìn)行中途軌道修正情況????下，在地心慣性坐標(biāo)系里，初始軌道位置誤差和初始速度誤差對(duì)軌道終點(diǎn)的位置和速度誤差的影響。圖 1 和圖 2 給出了在算例三中探測(cè)器從近地軌道入軌點(diǎn)開(kāi)始至進(jìn)入月球軌道為止軌道位置的相應(yīng)的軌道位置和速度總誤差（3σ）的時(shí)間歷程。

表 1 初始軌道位置和速度誤差

對(duì)軌道終點(diǎn)誤差的影響

圖 1 軌道位置總誤差時(shí)間歷程（3σ）

圖 2 速度總誤差時(shí)間歷程（3σ）基于敏感系數(shù)矩陣的制導(dǎo)誤差分析

在月球軟著陸主制動(dòng)段，影響制導(dǎo)精度的誤差源主要有偏離標(biāo)準(zhǔn)飛行軌跡的初始條件誤差和導(dǎo)航與控制傳感器誤差。初始條件誤差由主制動(dòng)段以前的任務(wù)決定，傳感器誤差則由導(dǎo)航系統(tǒng)和傳感器本身決定。此外，影響制導(dǎo)精度的因素還包括月球自轉(zhuǎn)、月球不規(guī)則攝動(dòng)等誤差，對(duì)它們的研究可單獨(dú)進(jìn)行，這里暫不做介紹。2.1 誤差模型建立

2.1.1 初始狀態(tài)誤差模型

記著陸器的實(shí)際初始狀態(tài)為Xi，標(biāo)準(zhǔn)初始狀態(tài)為Xn,則定義初始狀態(tài)偏差xi為

xi?Xi?Xn

(7)對(duì)于主制動(dòng)段這一特定的飛行過(guò)程，這些偏差都是確定的；而針對(duì)整個(gè)月球探測(cè)任務(wù)，這些偏差就變得具有隨機(jī)性。在本文中，假定xi 的所有元素均服從零均值高斯分布，相互不獨(dú)立，其相關(guān)性取決于前一階段任務(wù)的特性。2.1.2 傳感器誤差模型

由于只研究誤差對(duì)制導(dǎo)律的影響，所以這里假設(shè)需要測(cè)量的量均可由導(dǎo)航系統(tǒng)直接測(cè)得，誤差大小

???????均考慮為典型誤差值。由上一目設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律可以看出，需要由導(dǎo)航與控制傳感器測(cè)量的量主要為著陸器相對(duì)于著陸場(chǎng)坐標(biāo)系的位置、速度和加速度。定義待測(cè)量量Q為

?Q??X其估計(jì)值記為Q，則傳感器誤差定義為 ???YZUVWA?

T

q?Q?Q

(8)那么，單個(gè)測(cè)量量的估計(jì)誤差模型可用誤差向量 q的第j(j =1，2?7)個(gè)元素qj 來(lái)表示。由參考文獻(xiàn)[5]可知，第 j個(gè)觀(guān)測(cè)量的總估計(jì)誤差qj 由以下四部分組成

~?~???-?~qjbsqjn?st???????qt?q?Qt?qt?Qj?t?

(9)jjbcjnc

j100100~~~~~針對(duì)主制動(dòng)這一特定操作階段，上述四部分誤差具有如下特性：

qjbc—第 j 個(gè)觀(guān)測(cè)量的測(cè)量誤差，恒為常值，其分布服從零均值高斯分布； qjbs—第 j 個(gè)觀(guān)測(cè)量的刻度因素誤差系數(shù)，恒為常值，其分布服從零均值高斯分布； qjnc—第 j 個(gè)觀(guān)測(cè)量的隨機(jī)誤差，其為一高斯白噪聲；

qjns

—第 j 個(gè)觀(guān)測(cè)量的刻度因素隨機(jī)誤差系數(shù)，其為一高斯白噪聲。

2.2 制導(dǎo)誤差分析

由于采用閉環(huán)制導(dǎo)，制導(dǎo)控制系統(tǒng)對(duì)隨機(jī)誤差具有一定魯棒性，所以本文將著重對(duì)初始偏差和類(lèi)似于qjbc和qjbs這樣的傳感器常值誤差進(jìn)行仿真研究，分析它們對(duì)制導(dǎo)精度的影響。2.2.1 誤差分析系統(tǒng)建立

誤差分析系統(tǒng)框圖如圖 1 所示，下面將對(duì)其結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析。~~~~~~

圖 1 誤差分析系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

圖中所示初始狀態(tài)偏差實(shí)際上是加在相應(yīng)積分器中。

由前面的分析可知，觀(guān)測(cè)量的實(shí)際輸出值受到初始狀態(tài)偏差、傳感器測(cè)量誤差以及傳感器刻度因素誤差的影響，故誤差分析系統(tǒng)模擬程序的實(shí)際輸入應(yīng)包含以下幾部分(以 X通道為例)：

X?X?xi?xbc???~xbsX

(10)100~~

其中，X為觀(guān)測(cè)量的實(shí)際輸出值，X 為標(biāo)準(zhǔn)值，xi 為初始狀態(tài)偏差(只在初始時(shí)刻存在)，xbc 為傳感器測(cè)量偏差，xbs為傳感器刻度因素誤差系數(shù)。由圖 1 可以看出，為了更準(zhǔn)確地表示傳感器誤差模型，這里考慮了傳感器的動(dòng)態(tài)性能，其傳遞函數(shù)設(shè)為一階慣性環(huán)節(jié)1?1?Ts?，其中，T 為傳感器時(shí)間常數(shù)，因傳感器的不同而取不同值。

由誤差分析系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖可以看出，其輸入量主要包括：標(biāo)準(zhǔn)初始狀態(tài)向量、初始狀態(tài)偏差、傳感器測(cè)量誤差、傳感器刻度因素誤差系數(shù)、傳感器時(shí)間常數(shù)、期望終端狀態(tài)；輸出量為加入誤差前后的仿真終端狀態(tài)向量。2.2.2 誤差敏感系數(shù)矩陣求取

在有形如(7)式誤差輸入的情況下，首先根據(jù)圖 1 生成一個(gè)模擬整個(gè)閉環(huán)制導(dǎo)控制系統(tǒng)的數(shù)字仿真程序，然后運(yùn)行該程序，對(duì)比程序輸出即可得到誤差敏感系數(shù)矩陣。具體運(yùn)行過(guò)程如下：

第一步：將傳感器誤差設(shè)置為零，初始狀態(tài)設(shè)置為標(biāo)準(zhǔn)值，運(yùn)行模擬程序。這一步稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)運(yùn)行。第二步： 將其中一個(gè)傳感器誤差設(shè)置為非零輸入或者設(shè)置一個(gè)非標(biāo)準(zhǔn)初始狀態(tài)，然后進(jìn)行一系列運(yùn)行。

第三步： 將第二步運(yùn)行的系統(tǒng)輸出和標(biāo)準(zhǔn)運(yùn)行的系統(tǒng)輸出進(jìn)行比較即可確定各誤差源的影響。如X 通道標(biāo)準(zhǔn)初始偏差為xi，輸入該誤差前后，X 通道終端狀態(tài)分別為X0 和X1，則 X 通道對(duì)標(biāo)準(zhǔn)初始偏差xi的敏感性可用(X1?X0)/xi來(lái)反映。

通過(guò)這種方法，可得到一組反映月球軟著陸主制動(dòng)段終端總誤差向量pf和兩個(gè)傳感器誤差向量~??~~qbc、qbs以及初始狀態(tài)偏差向量pi之間關(guān)系的誤差敏感系數(shù)矩陣。由參考文獻(xiàn)[6]可知，其相互關(guān)系可表示為

??~~pf?S1pi?S2qbc?S3qbs（11）

其中，S1、S2和S3分別表示相對(duì)于pi、qbc和qbs的誤差敏感系數(shù)矩陣。

終端誤差向量能用這種形式表示的假設(shè)條件是動(dòng)力學(xué)的線(xiàn)性化必須在標(biāo)準(zhǔn)軌跡區(qū)域內(nèi)。驗(yàn)證該假設(shè)條件的方法有兩種： 擴(kuò)大輸入誤差仿真法和復(fù)合仿真法，這里略去其驗(yàn)證過(guò)程。2.2.3 誤差分析

假設(shè)導(dǎo)航系統(tǒng)采用常規(guī)慣性測(cè)量單元，表 1 列出了其典型誤差值，其中，位置誤差能保持在10數(shù)量級(jí)，速度在10數(shù)量級(jí)，加速度為 10g 數(shù)量級(jí)。1-52?~~

運(yùn)用上述方法得到的敏感系數(shù)矩陣給出如下：

?5.502?10-3?-4-3.850?10??1.692?10-3S1??-3?8.362?10?-5.860?10-4?-3?-2.575?10?-2.080?10-4-1.050?10-31.418?10-11.401?10-57.301?10-5-1.001?10-26.411?10-53.240?10-4-4.407?10-2-2.570?10-4-1.862?10-3-5.580?10-11.410?10-57.902?10-51.312?10-55.710?10-4-1.157?10-38.100?10-53.936?10-21.732?10-2-2.743?1017.746?10-1-4.024?10-2-8.939?10-2??3.210?10-34.030?10-3?1.239?10-21.833?10-2?-2-1?8.742?101.414?10?-1.196?10-2-9.901?10-3??-2-2-2.690?10-4.577?10??-6.812?10-1-8.695?10-2-5.203?1002.110?10-14.235?10-16.170?10-3-3.281?1008.202?10-2-5.760?10-35.633?10-1-3.489?102??2.443?101?4.401?102??-9.833?102?6.864?101??23.020?10???-9.859?10-1-1.154?10-3?-40?-3.130?10-1.000?10?-1.379?10-33.560?10-4S2??-2-3?-5.402?101.540?10?1.045?10-31.864?10-3?-34.770?10-4??4.598?109.999?10-13.408?100-7.210?10-43.504?1005.000?10-55.643?10-3-1.527?10-19.368?10-1-6.721?10-1-1.306?10-1?-5.6314?100?-28.479?10??3.730?10-1S3??0?-8.924?10?4.619?10-1?0??2.033?10-5.494?10-1-3.533?10-1-2.810?1001.600?10-31.692?10-16.755?10-18.996?10-1-2095?10-12.473?10-21.664?10-1-1.027?1007.165?10-23.344?100-1.112?1008.613?10-17.852?1003.246?100-1.618?1003.540?10-14.982?10-17.670?10-1-1.122?100-2.397?100-2.380?10-1-3.650?100-2.563?100??2.556?10-1-4.291?10-2?3.401?100-1.888?10-1??-5.103?100-3.230?10-1?3.566?10-12.256?10-1??0-1-7.005?109.930?10??A1、A3:?1??2.759?2,3?0.1297?j2.1329 A2:?1?1.552?2,3??0.6761?j1.8978

由于數(shù)值仿真的起始點(diǎn)選為(1，0，-1)，靠近平衡點(diǎn)(1.5，0，-1.05)，仿真實(shí)驗(yàn)中混沌系統(tǒng)的基頻w0=2.1329，基周期為為T(mén)0?2??0?2.9443S。由前面的數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)知要使 Chua’s混沌系統(tǒng)保持其類(lèi)隨機(jī)性，仿真步長(zhǎng)選在(0.0001，0.7)較為合適，用基周期來(lái)表達(dá)即為?129940T015T0? ,15T0?內(nèi)，綜觀(guān)三個(gè)連續(xù)混沌系統(tǒng)仿真步長(zhǎng)的理論計(jì)算，我們可以統(tǒng)一選取?15000T0這樣即可以提高仿真運(yùn)算速度，又可以使混沌吸引子的形狀和類(lèi)隨機(jī)性不發(fā)生變化，這個(gè)選擇范圍也與通常連續(xù)混沌系統(tǒng)數(shù)值仿真步長(zhǎng)的經(jīng)驗(yàn)取值相吻合六、模型結(jié)果及分析

七、結(jié)果分析

八、模型評(píng)價(jià)與改進(jìn)方向

九、參考文獻(xiàn)

第五篇：全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模感想

數(shù)學(xué)建模有感

這一暑假，參加學(xué)校組織的學(xué)習(xí)了 “數(shù)學(xué)建?！?。這門(mén)課程，數(shù)學(xué)建模這門(mén)課程與其它的數(shù)學(xué)課程有一個(gè)很大的區(qū)別，數(shù)學(xué)建模是把現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問(wèn)題加以提煉，抽象為數(shù)學(xué)模型，求出模型的解，驗(yàn)證模型的合理性．并用該數(shù)學(xué)模型所提供的解答來(lái)解釋現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，它是一門(mén)將數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用到實(shí)際中解決實(shí)際問(wèn)題的學(xué)科。建立模型就是對(duì)于現(xiàn)實(shí)中的原型．為了某個(gè)特定目的，作出一些必要的簡(jiǎn)化和假設(shè)。運(yùn)后適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、它或者能解釋特定現(xiàn)象的現(xiàn)實(shí)狀態(tài)，或者能預(yù)測(cè)到對(duì)象的未來(lái)狀況，或者能提供處理對(duì)象的最優(yōu)決策或控制，而現(xiàn)實(shí)生活中很多的問(wèn)題都可以通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)解決，所以學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模，徹底讓我體會(huì)到了數(shù)學(xué)在生活中的重要之處。

一次建模，終生受益，這話(huà)一點(diǎn)也不假。在沒(méi)有接觸過(guò)數(shù)學(xué)建模這門(mén)學(xué)科之前，我一直認(rèn)為數(shù)學(xué)是一門(mén)純理論的學(xué)科，但是數(shù)學(xué)建模卻能把它應(yīng)用到實(shí)際中去，并用它去解決很多來(lái)自日常生活及經(jīng)濟(jì)、工程、理、化、生、醫(yī)等學(xué)科中的問(wèn)題。

我覺(jué)得數(shù)學(xué)建模能為學(xué)生提供自主學(xué)習(xí)、自主探索、自主提出問(wèn)題、自主解決問(wèn)題的機(jī)會(huì)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)觀(guān)念、科學(xué)態(tài)度和合作精神，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真求實(shí)、崇尚真理、追求完美、講究效益、聯(lián)系實(shí)際的學(xué)習(xí)態(tài)度和學(xué)習(xí)習(xí)慣。它能提高學(xué)生應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，從過(guò)去強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)的“有用、可用”，到使學(xué)生所學(xué)知識(shí)的“想用、能用和會(huì)用”，讓學(xué)生更多自主的實(shí)踐，把學(xué)習(xí)知識(shí)、應(yīng)用知識(shí)、探索發(fā)現(xiàn)、使用計(jì)算機(jī)、培養(yǎng)良好的科學(xué)態(tài)度與思維品質(zhì)更好地結(jié)合起來(lái)，使學(xué)生在問(wèn)題解決的過(guò)程中得到學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的實(shí)際體驗(yàn)，加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解。綜合上述可見(jiàn)，開(kāi)展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)是非常有必要的。應(yīng)該在學(xué)校大力推廣，讓更多同學(xué)在參與中受益。

通過(guò)這次數(shù)學(xué)建模學(xué)到了很多東西，首先，是從現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，這就需要我們用心觀(guān)察；然后就是解決問(wèn)題的方法，由于我們不可能在課堂上學(xué)到所有知識(shí)，很多東西是要我們自學(xué)的，這就培養(yǎng)了我們自學(xué)能力，還有自己解決問(wèn)題的能力：最后，因?yàn)槟Ｐ鸵⒃谡鎸?shí)數(shù)據(jù)上，就要求我們要有實(shí)事求是的態(tài)度了。數(shù)學(xué)建模雖然就告一段落了，學(xué)到的方法知識(shí)卻伴隨著我們以后的學(xué)習(xí)工作?！皵?shù)學(xué)建?！闭n已使“數(shù)學(xué)建模”的核心思想深深在我意識(shí)中扎根，使我在今后學(xué)習(xí)中越來(lái)越善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并用數(shù)學(xué)知識(shí)創(chuàng)造性的去分析解決問(wèn)題。數(shù)學(xué)建模課對(duì)學(xué)生思維能力的訓(xùn)練和思維方法上的引導(dǎo)，這就是它的主要魅力所在。一年一度的全國(guó)數(shù)學(xué)建模大賽在在9 月13 日上午8 點(diǎn)拉開(kāi)戰(zhàn)幕，各隊(duì) 將在3 天72 小時(shí)內(nèi)對(duì)一個(gè)現(xiàn)實(shí)中的實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行模型建立，求解和分析，確定

題目后，我們隊(duì)三人分頭行動(dòng)，一人去圖書(shū)館查閱資料，一人在網(wǎng)上搜索相關(guān)信 息，一人建立模型，通過(guò)三人的努力，在前兩天中建立出兩個(gè)模型并編程求解，經(jīng)過(guò)艱苦的奮斗，終于在第三天完成了論文的寫(xiě)作，在這三天里我感觸很深，現(xiàn) 將心得體會(huì)寫(xiě)出，希望與大家交流。1.團(tuán)隊(duì)精神：

團(tuán)隊(duì)精神是數(shù)學(xué)建模是否取得好成績(jī)的最重要的因素，一隊(duì)三個(gè)人要相互支 持，相互鼓勵(lì)。切勿自己只管自己的一部分（數(shù)學(xué)好的只管建模，計(jì)算機(jī)好的只 管編程，寫(xiě)作好的只管論文寫(xiě)作），很多時(shí)候，一個(gè)人的思考是不全面的，只有

大家一起討論才有可能把問(wèn)題搞清楚，因此無(wú)論做任何板塊，三個(gè)人要一起齊心 才行，只靠一個(gè)人的力量，要在三天之內(nèi)寫(xiě)出一篇高水平的文章幾乎是不可能的。2.有影響力的leader：

在比賽中，leader 是很重要的，他的作用就相當(dāng)與計(jì)算機(jī)中的CPU，是全隊(duì) 的核心，如果一個(gè)隊(duì)的leader 不得力，往往影響一個(gè)隊(duì)的正常發(fā)揮，就拿選題來(lái)說(shuō)，有人想做A 題，有人想做B 題，如果爭(zhēng)論一天都未確定方案的話(huà)，可能就沒(méi)有足夠時(shí)間完成一篇論文了，又比如，當(dāng)隊(duì)中有人信心動(dòng)搖時(shí)（特別是第三天，人可能已經(jīng)心力交瘁了），leader 應(yīng)發(fā)揮其作用，讓整個(gè)隊(duì)伍重整信心，否則可能導(dǎo)致隊(duì)伍的前功盡棄。3.合理的時(shí)間安排：

做任何事情，合理的時(shí)間安排非常重要，建模也是一樣，事先要做好一個(gè)規(guī) 劃，建模一共分十個(gè)板塊（摘要，問(wèn)題提出，模型假設(shè)，問(wèn)題分析，模型假設(shè)，模型建立，模型求解，結(jié)果分析，模型的評(píng)價(jià)與推廣，參考文獻(xiàn)，附錄）。你每 天要做完哪幾個(gè)板塊事先要確定好，這樣做才會(huì)使自己游刃有余，保證在規(guī)定時(shí) 間內(nèi)完成論文，以避免由于時(shí)間上的不妥，以致于最后無(wú)法完成論文。4.正確的論文格式：

論文屬于科學(xué)性的文章，它有嚴(yán)格的書(shū)寫(xiě)格式規(guī)范，因此一篇好的論文一定 要有正確的格式，就拿摘要來(lái)說(shuō)吧，它要包括6 要素（問(wèn)題,方法,模型,算法,結(jié)論,特色），它是一篇論文的概括，摘要的好壞將決定你的論文是否吸引評(píng)委的目光，但聽(tīng)閱卷老師 說(shuō)，這次有些論文的摘要里出現(xiàn)了大量的圖表和程序，這都是不符合論文格式的，這種論

文也不會(huì)取得好成績(jī)，因此我們寫(xiě)論文時(shí)要端正態(tài)度，注意書(shū)寫(xiě)格式。5.論文的寫(xiě)作：

我個(gè)人認(rèn)為論文的寫(xiě)作是至關(guān)重要的，其實(shí)大家最后的模型和結(jié)果都差不

多，為什么有些隊(duì)可以送全國(guó)，有些隊(duì)可以拿省獎(jiǎng)，而有些隊(duì)卻什么都拿不到，這關(guān)鍵在于論文的寫(xiě)作上面。一篇好的論文首先讀上去便使人感到邏輯清晰，有 條例性，能打動(dòng)評(píng)委；其次，論文在語(yǔ)言上的表述也很重要，要注意用詞的準(zhǔn)確 性；另外，一篇好的論文應(yīng)有閃光點(diǎn)，有自己的特色，有自己的想法和思考在里 面，總之，論文寫(xiě)作的好壞將直接影響到成績(jī)的優(yōu)劣。

6.算法的設(shè)計(jì)：算法的設(shè)計(jì)的好壞將直接影響運(yùn)算速度的快慢，建議大家多用數(shù)學(xué)軟件（Mathematice,Matlab,Maple, Mathcad,Lindo,Lingo,SAS 等），這里提供十種數(shù)學(xué)以上便是我這次參加這次數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的一點(diǎn)心得體會(huì)，只當(dāng)貽笑大方，不過(guò)就數(shù)學(xué)建模本身而言，它是魅力無(wú)窮的，它能夠鍛煉和考查一個(gè)人的綜合素質(zhì)，也希望廣大同學(xué)能夠積極參與到這項(xiàng)活動(dòng)當(dāng)中來(lái)。