《激光原理》習題解答第一章習題解答

為了使氦氖激光器的相干長度達到1KM，它的單色性應為多少？

解答：設相干時間為，則相干長度為光速與相干時間的乘積，即

根據相干時間和譜線寬度的關系

又因為，由以上各關系及數(shù)據可以得到如下形式：

單色性===

解答完畢。

如果激光器和微波激射器分別在10μｍ、500nm和輸出1瓦連續(xù)功率，問每秒鐘從激光上能級向下能級躍遷的粒子數(shù)是多少。

解答：功率是單位時間內輸出的能量，因此，我們設在dt時間內輸出的能量為dE，則

功率=dE/dt

激光或微波激射器輸出的能量就是電磁波與普朗克常數(shù)的乘積，即

d，其中n為dt時間內輸出的光子數(shù)目，這些光子數(shù)就等于腔內處在高能級的激發(fā)粒子在dt時間輻射躍遷到低能級的數(shù)目（能級間的頻率為ν）。

由以上分析可以得到如下的形式：

每秒鐘發(fā)射的光子數(shù)目為：N=n/dt,帶入上式，得到：

根據題中給出的數(shù)據可知：

把三個數(shù)據帶入，得到如下結果：，3

設一對激光能級為E1和E2（f1=f2），相應的頻率為ν（波長為λ），能級上的粒子數(shù)密度分別為n2和n1，求

(a)當ν=3000兆赫茲，T=300K的時候，n2/n1=?

(b)當λ=1μm，T=300K的時候，n2/n1=?

(c)當λ=1μm，n2/n1=0.1時，溫度T=？

解答:在熱平衡下，能級的粒子數(shù)按波爾茲曼統(tǒng)計分布，即：

（統(tǒng)計權重）

其中為波爾茲曼常數(shù)，T為熱力學溫度。

(a)

(b)

(c)

在紅寶石調Q激光器中，有可能將幾乎全部離子激發(fā)到激光上能級并產生激光巨脈沖。設紅寶石棒直徑為1cm，長度為7.5cm，離子濃度為，巨脈沖寬度為10ns，求激光的最大能量輸出和脈沖功率。

解答：紅寶石調Q激光器在反轉能級間可產生兩個頻率的受激躍遷，這兩個躍遷幾率分別是47%和53%，其中幾率占53%的躍遷在競爭中可以形成694.3nm的激光，因此，我們可以把激發(fā)到高能級上的粒子數(shù)看成是整個激發(fā)到高能級的粒子數(shù)的一半（事實上紅寶石激光器只有一半的激發(fā)粒子對激光有貢獻）。

設紅寶石棒長為L，直徑為d，體積為V，總數(shù)為N，粒子的濃度為n，巨脈沖的時間寬度為，則離子總數(shù)為：

根據前面分析部分，只有N/2個粒子能發(fā)射激光，因此，整個發(fā)出的脈沖能量為：

脈沖功率是單位時間內輸出的能量，即

解答完畢。

試證明，由于自發(fā)輻射，原子在能級的平均壽命為。

證明如下：根據自發(fā)輻射的定義可以知道，高能級上單位時間粒子數(shù)減少的量，等于低能級在單位時間內粒子數(shù)的增加。即：

---------------①

（其中等式左邊表示單位時間內高能級上粒子數(shù)的變化，高能級粒子數(shù)隨時間減少。右邊的表示低能級上單位時間內接納的從高能級上自發(fā)輻射下來的粒子數(shù)。）

再根據自發(fā)輻射躍遷幾率公式：，把代入①式，得到：

對時間進行積分，得到：

（其中隨時間變化，為開始時候的高能級具有的粒子數(shù)。）

按照能級壽命的定義，當時，定義能量減少到這個程度的時間為能級壽命，用字母表示。

因此，即：

證明完畢

某一分子的能級E4到三個較低能級E1

E2

和E3的自發(fā)躍遷幾率分別為A43=5*107s-1,A42=1*107s-1,A41=3*107s-1，試求該分子E4能級的自發(fā)輻射壽命τ4。若τ1=5*10-7s，τ2=6*10-9s，τ3=1*10-8s，在對E4連續(xù)激發(fā)且達到穩(wěn)態(tài)時，試求相應能級上的粒子數(shù)比值n1/n4,n2/n4和n3/n4，并說明這時候在哪兩個能級間實現(xiàn)了集居數(shù)

解:

(1)由題意可知E4上的粒子向低能級自發(fā)躍遷幾率A4為:

則該分子E4能級的自發(fā)輻射壽命：

結論:如果能級u發(fā)生躍遷的下能級不止1條,能級u向其中第i條自發(fā)躍遷的幾率為Aui

則能級u的自發(fā)輻射壽命為:

(2)對E4連續(xù)激發(fā)并達到穩(wěn)態(tài),則有:，（上述三個等式的物理意義是：在只考慮高能級自發(fā)輻射和E1能級只與E4能級間有受激吸收過程，見圖）

宏觀上表現(xiàn)為各能級的粒子數(shù)沒有變化

由題意可得:,則

同理：，進一步可求得:，由以上可知:在E2和E4;E3和E4;E2和E3能級間發(fā)生了粒子數(shù)反轉.7

證明，當每個模式內的平均光子數(shù)（光子簡并度）大于1時，輻射光中受激輻射占優(yōu)勢。

證明如下：按照普朗克黑體輻射公式，在熱平衡條件下，能量平均分配到每一個可以存在的模上，即

（為頻率為γ的模式內的平均光子數(shù)）

由上式可以得到：

又根據黑體輻射公式：

根據愛因斯坦輻射系數(shù)之間的關系式和受激輻射躍遷幾率公式，則可以推導出以下公式：

如果模內的平均光子數(shù)（）大于1，即，則受激輻射躍遷幾率大于自發(fā)輻射躍遷幾率，即輻射光中受激輻射占優(yōu)勢。證明完畢

一質地均勻的材料對光的吸收系數(shù)為，光通過10cm長的該材料后，出射光強為入射光強的百分之幾？

如果一束光通過長度為1M地均勻激勵的工作物質，如果出射光強是入射光強的兩倍，試求該物質的增益系數(shù)。

解答：設進入材料前的光強為，經過距離后的光強為，根據損耗系數(shù)的定義，可以得到：

則出射光強與入射光強的百分比為：

根據小信號增益系數(shù)的概念：，在小信號增益的情況下，上式可通過積分得到

解答完畢。

《激光原理》習題解答第二章習題解答

試利用往返矩陣證明共焦腔為穩(wěn)定腔，即任意傍軸光線在其中可以往返無限次，而且兩次往返即自行閉合.證明如下：（共焦腔的定義——兩個反射鏡的焦點重合的共軸球面腔為共焦腔。共焦腔分為實共焦腔和虛共焦腔。公共焦點在腔內的共

焦腔是實共焦腔，反之是虛共焦腔。兩個反射鏡曲率相等的共焦腔稱為對稱共焦腔，可以證明，對稱共焦腔是實雙凹腔。）

根據以上一系列定義，我們取具對稱共焦腔為例來證明。

設兩個凹鏡的曲率半徑分別是和，腔長為，根據對稱共焦腔特點可知：

因此，一次往返轉換矩陣為

把條件帶入到轉換矩陣T，得到：

共軸球面腔的穩(wěn)定判別式子

如果或者，則諧振腔是臨界腔，是否是穩(wěn)定腔要根據情況來定。本題中，因此可以斷定是介穩(wěn)腔（臨界腔），下面證明對稱共焦腔在近軸光線條件下屬于穩(wěn)定腔。

經過兩個往返的轉換矩陣式，坐標轉換公式為：

其中等式左邊的坐標和角度為經過兩次往返后的坐標，通過上邊的式子可以看出，光線經過兩次往返后回到光線的出發(fā)點，即形成了封閉，因此得到近軸光線經過兩次往返形成閉合，對稱共焦腔是穩(wěn)定腔。

試求平凹、雙凹、凹凸共軸球面腔的穩(wěn)定條件。

解答如下：共軸球面腔的，如果滿足，則腔是穩(wěn)定腔，反之為非穩(wěn)腔,兩者之間存在臨界腔，臨界腔是否是穩(wěn)定腔，要具體分析。

下面我們就根據以上的內容來分別求穩(wěn)定條件。

對于平凹共軸球面腔，()

所以，如果，則是穩(wěn)定腔。因為和均大于零，所以不等式的后半部分一定成立，因此，只要滿足，就能滿足穩(wěn)定腔的條件，因此，就是平凹腔的穩(wěn)定條件。

類似的分析可以知道，凸凹腔的穩(wěn)定條件是：,且。

雙凹腔的穩(wěn)定條件是：，（第一種情況），且（第二種情況）

（對稱雙凹腔）

求解完畢。

激光腔的諧振腔由一曲率半徑為1M的凸和曲率半徑為2M的凹面鏡構成，工作物質長度為0.5M，其折射率為1.52，求腔長在什么范圍內諧振腔是穩(wěn)定的。

解答如下：設腔長為，腔的光學長度為，已知，，，根據，代入已知的凸凹鏡的曲率半徑，得到：

因為含有工作物質，已經不是無源腔，因此，這里L應該是光程的大?。ɑ蛘哒f是利用光線在均勻介質里傳播矩陣）。

即，代入上式，得到：

要達到穩(wěn)定腔的條件，必須是，按照這個條件，得到腔的幾何長度為：，單位是米。解答完畢。

有一方形孔徑共焦腔氦氖激光器，腔長L=30CM，方形孔徑邊長為d=2a=0.12CM，λ=632.8nm，鏡的反射率為r1=1，r2=0.96，其他損耗以每程0.003估計。此激光器能否做單模運轉？如果想在共焦鏡面附近加一個方形小孔光闌來選擇TEM00模，小孔的邊長應為多大？試根據圖2.5.5作一大略的估計。氦氖激光器增益由公式估算，其中的l是放電管長度。

分析：如果其他損耗包括了衍射損耗，則只考慮反射損耗及其他損耗的和是否小于激光器的增益系數(shù)，增益大于損耗，則可產生激光振蕩。

如果其他損耗不包括衍射損耗，并且菲涅爾數(shù)小于一，則還要考慮衍射損耗，衍射損耗的大小可以根據書中的公式δ00=10.9*10-4.94N來確定，其中的N是菲涅爾數(shù)。

解答：根據，可以知道單程增益g0L=ln(1+0.0003L/d)=0.0723

由于反射不完全引起的損耗可以用公式2.1.24或者2.1.25來衡量

根據2.1.24得到：

δr≈-0.5lnr1r2=0.0204

根據題意，總的損耗為反射損+其他損耗，因此單程總損耗系數(shù)為

δ=0.0204+0.0003

如果考慮到衍射損耗，則還要根據菲涅爾數(shù)來確定衍射損系數(shù)：

此方形共焦腔氦氖激光器的菲涅爾數(shù)為：N=a2/(Lλ)=7.6，菲涅爾數(shù)大于一很多倍，因此可以不考慮衍射損耗的影響。

通過以上分析可以斷定，此諧振腔可以產生激光振蕩。又根據氦氖激光器的多普勒展寬達到1.6GHZ，而縱模及橫模間隔根據計算可知很小，在一個大的展寬范圍內可以后很多具有不同模式的光波振蕩，因此不采取技術措施不可能得到基模振蕩。

為了得到基模振蕩，可以在腔內加入光闌，達到基模振蕩的作用。在腔鏡上，基模光斑半徑為：

因此，可以在鏡面上放置邊長為2ω0s的光闌。

解答完畢。

試求出方形鏡共焦腔面上模的節(jié)線位置，這些節(jié)線是等距分布嗎？

解答如下：

方形鏡共焦腔自再現(xiàn)模滿足的積分方程式為

經過博伊德—戈登變換，在通過厄密-高斯近似，可以用厄密-高斯函數(shù)表示鏡面上場的函數(shù)

使就可以求出節(jié)線的位置。由上式得到：，這些節(jié)線是等距的。解答完畢。

求圓形鏡共焦腔和模在鏡面上光斑的節(jié)線位置。

解答如下：圓形鏡共焦腔場函數(shù)在拉蓋爾—高斯近似下，可以寫成如下的形式

（這個場對應于，兩個三角函數(shù)因子可以任意選擇，但是當m為零時，只能選余弦，否則整個式子將為零）

對于：

并且，代入上式，得到，我們取余弦項，根據題中所要求的結果，我們取，就能求出鏡面上節(jié)線的位置。既

對于，可以做類似的分析。，代入上式并使光波場為零，得到

顯然，只要即滿足上式

最后鏡面上節(jié)線圓的半徑分別為：

解答完畢。

今有一球面腔，兩個曲率半徑分別是R1=1.5M，R2=-1M，L=80CM，試證明該腔是穩(wěn)定腔，求出它的等價共焦腔的參數(shù)，在圖中畫出等價共焦腔的具體位置。

解：共軸球面腔穩(wěn)定判別的公式是，這個公式具有普適性（教材36頁中間文字部分），對于簡單共軸球面腔，可以利用上邊式子的變換形式判斷穩(wěn)定性，其中。

題中，在穩(wěn)定腔的判別范圍內，所以是穩(wěn)定腔。

任意一個共焦腔與無窮多個穩(wěn)定球面腔等價，一個一般穩(wěn)定球面腔唯一對應一個共焦腔，他們的行波場是相同的。

等價共焦腔的參數(shù)包括：以等價共焦腔的腔中心為坐標原點，從坐標原點到一般穩(wěn)定球面兩個腔鏡面的坐標和，再加上它的共焦腔的鏡面焦距，這三個參數(shù)就能完全確定等價共焦腔。

根據公式（激光原理p66-2.8.4）得到：

因此

等價共焦腔示意圖略。

某二氧化碳激光器采用平-凹腔，L=50CM，R=2M，2a=1CM，波長λ=10.6μm，試計算鏡面上的光斑半徑、束腰半徑及兩個鏡面上的損耗。

解：此二氧化碳激光器是穩(wěn)定腔，其中平面鏡的曲率半徑可以看作是無窮大。

根據公式（激光原理p67-2.8.6或2.8.7）得到：

其中第一個腰斑半徑對應平面鏡。上式中是這個平凹腔的等價共焦腔鏡面上的腰斑半徑，并且根據一般穩(wěn)定球面腔與等價共焦腔的性質，他們具有同一個束腰。

根據共焦腔束腰光斑半徑與鏡面上光斑半徑的關系可知：

作為穩(wěn)定腔，損耗主要是衍射損，衍射損耗與鏡面上的菲涅爾數(shù)有關，在損耗不大的情況下，是倒數(shù)關系。

即：

根據公式（激光原理p69-2.8.18或2.8.19）分別求出兩個鏡面的菲涅爾數(shù)

根據衍射損耗定義，可以分別求出：，10

證明在所有菲涅爾數(shù)相同而曲率半徑R不同的對稱穩(wěn)定球面腔中，共焦腔的衍射損耗最低。這里L表示腔長，a是鏡面的半徑。

證明：

在對稱共焦腔中，11

今有一平面鏡和一個曲率半徑為R=1M的凹面鏡，問：應該如何構成一個平—凹穩(wěn)定腔以獲得最小的基模遠場發(fā)散角，畫出光束發(fā)散角與腔長的關系。

解答：

我們知道，遠場發(fā)散角不僅和模式（頻率）有關，還和腔的結構有關。根據公式2.6.14得到：，如果平面鏡和凹面鏡構成的諧振腔所對應的等價共焦腔焦距最大，則可以獲得最小的基模光束發(fā)散角。

代入發(fā)散角公式，就得到最小發(fā)散角為：

發(fā)散角與腔長的關系式：

某二氧化碳激光器材永平凹腔，凹面鏡的R=2M，腔長L=1M，試給出它所產生的高斯光束的束腰腰斑半徑的大小和位置，該高斯光束的焦參數(shù)和基模發(fā)散角。

解答：

某高斯光束束腰光斑半徑為1.14MM，波長λ=10.6μM。求與束腰相距30厘米、100厘米、1000米遠處的光斑半徑及相應的曲率半徑。

解答：根據公式（激光原理p71-2.9.4,2.9.6）

把不同距離的數(shù)據代入，得到：，曲率半徑

與不同距離對應的曲率半徑為：，15

若已知某高斯光束的束腰半徑為0.3毫米，波長為632.8納米。求束腰處的q參數(shù)值，與束腰距離30厘米處的q參數(shù)值，與束腰相距無限遠處的q值。

解答：

束腰處的q參數(shù)值實際上就是書中的公交參量（激光原理p73-2.9.12）：

根據公式（激光原理p75-2.10.8），可以得到30厘米和無窮遠處的q參數(shù)值分別為

無窮遠處的參數(shù)值為無窮大。

某高斯光束束腰半徑為1.2毫米，波長為10.6微米?，F(xiàn)在用焦距F=2cm的鍺透鏡聚焦，當束腰與透鏡距離分別為10米，1米，10厘米和0時，求焦斑大小和位置，并分析結果。

解答：

根據公式（激光原理p78-2.10.17和2.10.18）

當束腰與透鏡距離10米時

同理可得到：

解答完畢

二氧化碳激光器輸出波長為10.6微米的激光，束腰半徑為3毫米，用一個焦距為2厘米的凸透鏡聚焦，求欲得到焦斑半徑為20微米及2.5微米時，透鏡應該放在什么位置。

解答：根據公式（激光原理p78-2.10.18）

上式中束腰到透鏡的距離l就是我們要求的參數(shù)，其他各個參數(shù)都為已知，代入題中給出的數(shù)據，并對上式進行變換，得到

當焦斑等于20微米時，（透鏡距束腰的距離）

當焦斑等于2.5微米時，此提要驗證

如圖2.2所示，入射光波廠為10.6微米，求及。

解答：經過第一個透鏡后的焦斑參數(shù)為：

經過第二個透鏡后的焦參數(shù)為：

解方程可以求出題中所求。

某高斯光束束腰腰斑半徑為1.2毫米，波長為10.6微米。現(xiàn)在用一個望遠鏡將其準直。主鏡用曲率半徑為1米的鍍金反射鏡，口徑為20厘米；副鏡為一個焦距為2.5厘米，口徑為1.5厘米的鍺透鏡；高斯光束束腰與透鏡相距1米，如圖所示。求該望遠鏡系統(tǒng)對高斯光束的準直倍率。

解答：

根據公式（激光原理p84-2.11.19），其中，為望遠鏡主鏡與副鏡的焦距比。題中的反射鏡，相當于透鏡，且曲率半徑的一半就是透鏡的焦距。

已知：，，，（經過驗證，光斑在第一個透鏡表面形成的光斑半徑小于透鏡鏡面尺寸，衍射效應很小，因此可以用準直倍率公式）

代入準直倍率公式得到：

解答完畢。

激光器的諧振腔有兩個相同的凹面鏡組成，它出射波長為λ的基模高斯光束，今給定功率計，卷尺以及半徑為a的小孔光闌，試敘述測量該高斯光束焦參數(shù)f的實驗原理及步驟。

設計如下：

首先明確焦參數(shù)的構成元素為腰斑半徑，波長λ及參數(shù)，根據提供的數(shù)據，激光器的波長為已知，我們不可能直接測量腔內的腰斑半徑（因為是對稱腔，束腰在腔內），只能通過技術手段測量發(fā)射出來的光波場的腰斑半徑，然后利用這里的z是由激光器腔中心到光功率計的距離，用卷尺可以測量。光功率計放置在緊貼小孔光闌的后面，沿著光場橫向移動，測量出。把測量的和z代入公式，可以求出焦參數(shù)。

設計完畢（以上只是在理論上的分析，實際中的測量要復雜得多，實驗室測量中會用透鏡擴束及平面鏡反射出射光，增加距離進而增加測量精度）

二氧化碳激光諧振腔由兩個凹面鏡構成，兩個鏡面的曲率半徑分別是1米和兩米，光腔長度為0.5米。

問：如何選擇高斯光束腰斑的大小和位置，才能使它構成該諧振腔的自再現(xiàn)光束。

解答：

高斯光束的自再現(xiàn)條件是（激光原理p84-2.12.1及2.12.2）：

根據公式（激光原理p78-2.10.17及2.10.18）

經過曲率半徑為1米的反射鏡后，為了保證自再現(xiàn)條件成立，腔內的束腰半徑應該與經過反射鏡的高斯光束的束腰相同，因此得到：

同理，經過第二個反射鏡面也可以得到：

根據以上三個式子可以求出，，解答完畢。

（1）用焦距為F的薄透鏡對波長為λ、束腰半徑為的高斯光束進行變換，并使變換后的高斯光束的束腰半徑（此稱為高斯光束的聚焦），在和兩種情況下，如何選擇薄透鏡到該高斯光束束腰的距離？（2）在聚焦過程中，如果薄透鏡到高斯光束束腰的距離不變，如何選擇透鏡的焦距F？

解答：

（1）

根據可知，即

通過運算可得到：

或者（舍去）

（2）

參考《激光原理》p81-2.一定時，隨焦距變化的情況。

試用自變換公式的定義式（激光原理p84-2.12.2），利用q參數(shù)來推導出自變換條件式

證明：

設高斯光束腰斑的q參數(shù)為，腰斑到透鏡的距離為，透鏡前表面和后表面的q參數(shù)分別為、，經過透鏡后的焦斑處q參數(shù)用表示，焦斑到透鏡的距離是=，透鏡的焦距為F。

根據q參數(shù)變換，可以求出前表面、后表面、及焦斑處的q參數(shù)，分別是：

透鏡前表面：

透鏡后表面：

焦斑的位置：

把經過變換的代入到焦斑位置的q參數(shù)公式，并根據自再現(xiàn)的條件，得到：

由此可以推導出

證明完畢。

試證明在一般穩(wěn)定腔中，其高斯模在腔鏡面處的兩個等相位面的曲率半徑必分別等于各鏡面的曲率半徑。

證明

設一般穩(wěn)定腔的曲率半徑分別是、，腔長為，坐標取在這個穩(wěn)定腔的等價共焦腔中心上，并且坐標原點到鏡面的距離分別是和，等價共焦腔的焦距為。

根據

試從式和導出，其中的，并證明對雙凸腔

解答：略

試計算，，的虛共焦腔的和.若想保持不變并從凹面鏡端單端輸出，應如何選擇？反之，若想保持不變并從凸面鏡輸出，如何選擇？在這兩種情況下，和各為多大？

解答：

虛共焦腔的特點：激光原理p91,96

激光原理p97-2.1511,2.15.12

根據，同理：

單端輸出：如果要從虛共焦非穩(wěn)定腔的凸面鏡單端輸出平面波，并使腔內振蕩光束全部通過激活物質，則凹面鏡和凸透鏡的選區(qū)要滿足：，其中的a分別代表（按角標順序）工作物質的半徑、凹面鏡半徑、凸面鏡半徑

實施意義上的單面輸出（從凸面鏡端輸出）：按照圖（激光原理p96-圖2.15.2a）為了保證從凸面鏡到凹面鏡不發(fā)生能量損失，則根據圖要滿足：

因為凸面鏡的尺寸不變，所以在曲率半徑給定的條件下，凹面鏡的半徑應該為：

從凹面鏡端輸出，只要保證有虛焦點發(fā)出的光到達凹面鏡后的反射光（平行光）正好在凸面鏡的限度范圍內，則可保證從凹面鏡單端輸出。

因此，此時只要滿足即可，因此

這兩種情況下的單程和往返損耗略。

解答完畢。

第三章習題

1．試由式（3.3.5）導出式（3.3.7）,說明波導模的傳輸損耗與哪些因素有關。在其他條件不變時，若波導半徑增大一倍，損耗將如何變化？若減小到原來的，損耗又將如何變化？在什么條件下才能獲得低的傳輸損耗？

解：由及可得：

波導模的傳輸損耗與波導橫向尺寸,波長，波導材料的折射率實部以及不同波導模對應得不同值有關。

（a）波導半徑增大一倍，損耗減為原來的。

（b）波長減小到原來的一半，損耗減為原來的。

獲得低的傳輸損耗應增大波導橫向尺寸，選擇折射率實部小的介質材料和小的波導模。

2.試證明，當為實數(shù)時，若，最低損耗模為模，而當時，為模，并證明模的損耗永遠比模低。

證明：

(3.3.8)

對于以上三種不同模，參看書中表3.1，對于同一種模式，越小，損耗越小，因此以下考慮，模之間誰最?。ㄖ凶钚。╊}中設為實數(shù)，顯然，所以,只需考慮與:

當時，小

當時，小

3.在波長時，試求在內徑為的波導管中模和模的損耗和，分別以，以及來表示損耗的大小。當通過長的這種波導時，模的振幅和強度各衰減了多少（以百分數(shù)表示）？

解：由。

當時，4.試計算用于波長的矩形波導的值，以及表示，波導由制成，，計算由制成的同樣的波導的值，計算中取。

解：

:

:。

5.某二氧化碳激光器用作波導管，管內徑，取，管長10cm,兩端對稱地各放一面平面鏡作腔鏡。試問：為了模能產生振蕩，反射鏡與波導口距離最大不得超過多少？計算中激活介質增益系數(shù)。

解：，時，而平面反射鏡所產生的耦合損耗為：，其中。

為使模能產生振蕩則要求，得：，即反射鏡與波導口距離不得超過1.66cm.第四章

靜止氖原子的譜線中心波長為632.8納米，設氖原子分別以0.1C、O.4C、O.8C的速度向著觀察者運動，問其表觀中心波長分別變?yōu)槎嗌伲?/p>

解答：

根據公式（激光原理P136）

由以上兩個式子聯(lián)立可得：

代入不同速度，分別得到表觀中心波長為：，解答完畢（驗證過）

設有一臺麥克爾遜干涉儀，其光源波長為，試用多普勒原理證明，當可動反射鏡移動距離L時，接收屏上的干涉光強周期性的變化次。

證明：

對于邁氏干涉儀的兩個臂對應兩個光路，其中一個光路上的鏡是不變的，因此在這個光路中不存在多普勒效應，另一個光路的鏡是以速度移動，存在多普勒效應。在經過兩個光路返回到半透鏡后，這兩路光分別保持本來頻率和多普勒效應后的頻率被觀察者觀察到（從半透境到觀察者兩個頻率都不變），觀察者感受的是光強的變化，光強和振幅有關。以上是分析內容，具體解答如下：

無多普勒效應的光場：

產生多普勒效應光場：

在產生多普勒效應的光路中，光從半透經到動鏡產生一次多普勒效應，從動鏡回到半透鏡又產生一次多普勒效應（是在第一次多普勒效應的基礎上）

第一次多普勒效應：

第二次多普勒效應：

在觀察者處：

觀察者感受到的光強：

顯然，光強是以頻率為頻率周期變化的。

因此，在移動的范圍內，光強變化的次數(shù)為：

證明完畢。（驗證過）

在激光出現(xiàn)以前，Kr86低氣壓放電燈是最好的單色光源。如果忽略自然加寬和碰撞加寬，試估計在77K溫度下它的605.7納米譜線的相干長度是多少？并與一個單色性Δλ/λ=10-8的He-Ne激光器比較。

解：根據相干長度的定義可知。其中分母中的是譜線加寬項。從氣體物質的加寬類型看，因為忽略自然和碰撞加寬，所以加寬因素只剩下多普勒加寬的影響。

根據P138頁的公式4.3.26可知，多普勒加寬：

因此，相干長度為：

根據題中給出的氦氖激光器單色性及氦氖激光器的波長632.8納米，可根據下述公式得到氦氖激光器的相干長度：

可見，即使以前最好的單色光源，與現(xiàn)在的激光光源相比，相干長度相差2個數(shù)量級。說明激光的相干性很好。

估算CO2氣體在300K下的多普勒線寬ΔνD，若碰撞線寬系數(shù)α=49MHZ/Pa，討論在什么氣壓范圍內從非均勻加寬過渡到均勻加寬。

解：根據P138頁的公式4.3.26可知，多普勒加寬：

因為均勻加寬過渡到非均勻加寬，就是的過程，據此得到：，得出

結論：氣壓P為1.08×103Pa時,是非均勻加寬與均勻加寬的過渡閾值，.當氣壓遠遠大于1.08×103Pa的情況下,加寬主要表現(xiàn)為均勻加寬。

（驗證過）

氦氖激光器有下列三種躍遷，即3S2-2P4的632.8納米，2S2-2P4的1.1523微米和3S2-3P4的3.39微米的躍遷。求400K時他們的多普勒線寬，并對結果進行分析。

解：根據P138頁的公式4.3.26，可分別求出不同躍遷的譜線加寬情況。

3S2-2P4的632.8納米的多普勒加寬：

2S2-2P4的1.1523微米的多普勒加寬：

3S2-3P4的3.39微米的多普勒加寬：

由以上各個躍遷的多普勒線寬可見，按照結題結果順序，線寬是順次減少，由于題中線寬是用頻率進行描述，因此頻率線寬越大，則單色性越好。

（驗證過）

考慮二能級工作系統(tǒng)，若E2能級的自發(fā)輻射壽命為τS，無輻射躍遷壽命為τnr。假設t=0時激光上能級E2的粒子數(shù)密度為n2(0)，工作物質的體積為V，發(fā)射頻率為ν，求：

（1）自發(fā)輻射功率隨時間的變化規(guī)律。（2）E2能級的原子在其衰減過程中發(fā)出的自發(fā)輻射光子數(shù)。（3）自發(fā)輻射光子數(shù)與初始時刻E2能級上的粒子數(shù)之比η2。

解：

（1）根據P11相關內容，考慮到E2的能級壽命不僅僅是自發(fā)輻射壽命，還包括無輻射躍遷壽命，因此，E2能級的粒子數(shù)變化規(guī)律修正為：，其中的τ與τS、τnr的關系為，為E2能級的壽命。

在時刻t，E2能級由于自發(fā)和無輻射躍遷而到達下能級的總粒子數(shù)為：

由于自發(fā)輻射躍遷而躍遷到激光下能級的粒子數(shù)為，因此由于自發(fā)輻射而發(fā)射的功率隨時間的變化規(guī)律可以寫成如下形式：

（2）由上式可知，在t-t+dt時間內，E2能級自發(fā)輻射的光子數(shù)為：

則在0-∞的時間內，E2能級自發(fā)輻射的光子總數(shù)為：

（3）自發(fā)輻射光子數(shù)與初始時刻能級上的粒子數(shù)之比為:

此題有待確認

根據激光原理4.4節(jié)所列紅寶石的躍遷幾率數(shù)據，估算抽運幾率等于多少時紅寶石對波長694.3納米的光透是明的（對紅寶石，激光上、下能級的統(tǒng)計權重為，且計算中可不考慮光的各種損耗）

解答：已知紅寶石的，，分析如下：增益介質對某一頻率的光透明，說明介質對外界光場的吸收和增益相等，或者吸收極其微弱，以至于對進入的光場強度不會產生損耗。對于本題中的紅寶石激光器，透明的含義應該屬于前者。

根據公式：

（激光原理P146-4.4.22）

由上邊的第二項和第四項，可以得到：

--------------------------------------1

又因為小信號下（粒子數(shù)翻轉剛剛達到閾值），因此，且

由此，方程組的第一個式子可以轉變?yōu)椋?，代?式，得到：

既然對入射光場是透明的，所以上式中激光能級發(fā)射和吸收相抵，即激光上能級的粒子數(shù)密度變化應該與光場無關，并且小信號時激光上能級的粒子數(shù)密度變化率為零，得到

最后得到：

解答完畢。（驗證過）

短波長（真空紫外、軟X射線）譜線的主要加寬是自然加寬。試證明峰值吸收截面為。

證明：根據P144頁吸收截面公式4.4.14可知，在兩個能級的統(tǒng)計權重f1=f2的條件下，在自然加寬的情況下，中心頻率ν0處吸收截面可表示為：

-------------------------------------------------1

上式（P133頁公式4.3.9）

又因為，把A21和ΔνN的表達式代入1式，得到：

證畢。（驗證過）

已知紅寶石的密度為3.98g/cm3，其中Cr2O3所占比例為0.05%（質量比），在波長為694.3nm附近的峰值吸收系數(shù)為0.4cm-1，試求其峰值吸收截面（T=300K）。

解：

分析：紅寶石激光器的Cr3+是工作物質，因此，所求峰值吸收截面就是求Cr3+的吸收截面。

根據題中所給資料可知：

Cr2O3的質量密度為3.98g/cm3×0.05%=1.99×10-3g/cm3,摩爾質量為52×2+16×3=152g/mol

設Cr3+的粒子數(shù)密度為n，則n=2×（1.99×10-3

/152）×6.02×1023=1.576×1019/cm3

根據可知，根據n≈n1+n2，Δn=n1-n2,且，其中，可知E2能級粒子數(shù)密度接近于零，可求出Δn=n1=1.756×1019/cm3，代入到，可求出：

解答完畢。

略

在均勻加寬工作物質中，頻率為ν1、強度為Iν1的強光增益系數(shù)為gH(ν1,Iν1),gH(ν1,Iν1)---

ν1關系曲線稱為大信號增益曲線，試求大信號增益曲線的寬度ΔνH。

解：

大信號增益系數(shù)表達式為P153-4.5.17：

根據譜線寬度的定義：增益下降到增益最大值的一半時，所對應的頻率寬度，叫做大信號增益線寬。

根據大信號增益曲線表達式可知，其中心頻率處具有最大增益，即ν1=ν0時。在此條件下，增益最大值為：

根據，可求出當時滿足增益線寬條件，因此，線寬位：

解答完畢。

有頻率為ν1、ν2的兩強光入射，試求在均勻加寬情況下：

(1)

頻率為ν的弱光的增益系數(shù)。

(2)

頻率為ν1的強光增益系數(shù)表達式。

(設頻率為ν1和ν2的光在介質里的平均光強為Iν1、Iν2)

解：在腔內多模振蕩條件下，P151-4.5.7應修正為：

根據P150-4.5.5可知，增益系數(shù)與反轉粒子數(shù)成正比，即：

把修正后的反轉粒子數(shù)表達式代入上式，得到：

因此，所求第一問“頻率為ν的弱光的增益系數(shù)”為：

第二問“頻率為ν1的強光增益系數(shù)表達式”為：

解答完畢。

激光上下能級的粒子數(shù)密度速率方程表達式為P147-4.4.28所示。

(1)

試證明在穩(wěn)態(tài)情況下，在具有洛倫茲線型的均勻加寬介質中，反轉粒子數(shù)表達式具有如下形式：，其中，Δn0是小信號反轉粒子數(shù)密度。

(2)

寫出中心頻率處飽和光強Is的表達式。

(3)

證明時，Δn和Is可由P152-4.5.13及P151-4.5.11表示。

解：1

穩(wěn)態(tài)工作時,由激光上、下能級的粒子數(shù)密度速率方程

(4.4.28)可得:

----------------------------------------------

---------------------------------------------2

------------------------------------------------------------------3

其中，由(3)式和(2)式可得:

整理得:

將(4)代入(1)式:

整理得：

其中，Δn0是小信號反轉粒子數(shù)密度。

(2)

當ν1=ν0時，(3)

高功率的激光系統(tǒng)中

當時，Δn和Is可由P152-4.5.13及P151-4.5.11表示

設有兩束頻率分別為和，光強為和的強光沿相同方向或者相反方向通過中心頻率為的非均勻加寬增益介質。試分別劃出兩種情況下反轉粒子數(shù)按速度分布曲線，并標出燒孔位置。

分析:

非均勻加寬的特點是增益曲線按頻率分布，當有外界入射光以一定速度入射時，增益曲線對入射光頻率敏感，且產生飽和效應的地方恰好是外界光場頻率對應處，而其他地方則不會產生增益飽和現(xiàn)象。當然，產生增益飽和的頻率兩邊一定頻譜范圍內也會產生飽和現(xiàn)象，但是與外界光場對應的頻率出飽和現(xiàn)象最大最明顯。

設外界光場以速度入射，作為增益介質，感受到的表觀頻率為：，當增益介質的固有頻率時，產生激光（發(fā)生粒子數(shù)反轉）

而發(fā)生粒子數(shù)翻轉所對應的速度為：

正方向：

負方向：

一、當都是正方向入射時，兩束光對應的速度分別為：

也就是說在反轉粒子數(shù)按速度分布圖上，在速度等于和處形成反轉粒子數(shù)飽和效應。

根據公式（激光原理p156-4.6.7）

對于，孔的深度為：

對于，孔的深度為：

又因為線型函數(shù)以為對稱形式，且兩個入射光產生燒孔的位置也以為中心對稱分布，因此，產生燒孔的兩個對稱位置處的小信號反轉粒子數(shù)相等，即，因此，兩個燒孔的深度相比，因為，所以兩個孔的深度入射光強大的反轉粒子數(shù)深度大。

即：

兩孔深度比：

二、兩束光相對進入增益介質

類似上面的分析可得到：，可見燒孔位置重合，燒一個孔

因為兩個光強不同的外場同時作用于某一品率處而產生增益飽和（反轉粒子數(shù)飽和），因此，次品率處的光強是兩個光強的和，因此，燒孔深度為

解答完畢。

第五章

激光振蕩特性

2．長度為10cm的紅寶石棒置于長度為20cm的光諧振腔中，紅寶石694.3nm譜線的自發(fā)輻射壽命，均勻加寬線寬為。光腔單程損耗。求

(1)閾值反轉粒子數(shù)；

(2)當光泵激勵產生反轉粒子數(shù)時，有多少個縱?？梢哉袷?？(紅寶石折射率為1.76)

解：(1)

閾值反轉粒子數(shù)為：

(2)

按照題意，若振蕩帶寬為，則應該有

由上式可以得到

相鄰縱模頻率間隔為

所以

所以有164~165個縱?？梢云鹫?。

3．在一理想的三能級系統(tǒng)如紅寶石中，令泵浦激勵幾率在t=0瞬間達到一定值，[為長脈沖激勵時的閾值泵浦激勵幾率]。經時間后系統(tǒng)達到反轉狀態(tài)并產生振蕩。試求的函數(shù)關系，并畫出歸一化的示意關系曲線(令)。

解：根據速率方程(忽略受激躍遷)，可以知道在達到閾值之前，在t時刻上能級的粒子數(shù)密度與時間t的關系為

當時，即

由(1)可知，當時間t足夠長的時候

由上式可知

由(2)式可得

所以

所以歸一化的示意關系曲線為

4．脈沖摻釹釔屢石榴石激光器的兩個反射鏡透過率、分別為0和0.5。工作物質直徑d=0.8cm，折射率=1.836，總量子效率為1，熒光線寬，自發(fā)輻射壽命。假設光泵吸收帶的平均波長。試估算此激光器所需吸收的閾值泵浦能量。

解：

5．測出半導體激光器的一個解理端面不鍍膜與鍍全反射膜時的閾值電流分分別為J1與J2。試由此計算激光器的分布損耗系數(shù)(解理面的反射率)。

解：不鍍膜的時候，激光器端面的反射率即為r，鍍了全發(fā)射膜之后的反射率為R=1，設激光器的長度為l，則有

由這兩式可以解得

即得到了激光器的分布損耗系數(shù)。

7．如圖5.1所示環(huán)形激光器中順時針模式及逆時針模的頻率為，輸出光強為及。

(1)如果環(huán)形激光器中充以單一氖同位素氣體，其中心頻率為，試畫出及時的增益曲線及反轉粒子數(shù)密度的軸向速度分布曲線。

(2)當時激光器可輸出兩束穩(wěn)定的光，而當時出現(xiàn)一束光變強，另一束光熄滅的現(xiàn)象，試解釋其原因。

(3)環(huán)形激光器中充以適當比例的及的混合氣體，當時，并無上述一束光變強，另一束光變弱的現(xiàn)象，試說明其原因(圖5.2為、及混合氣體的增益曲線)，、及分別為、及混合氣體增益曲線的中心頻率。

圖5.1

圖5.2

(4)為了使混合氣體的增益曲線對稱，兩種氖同位素中哪一種應多一些。

解：(1)

時

時

(2)

時，及分別使用不同速度的反轉原子，使用速度為的高能級原子，使用速度為的高能級原子，這樣和不會彼此的爭奪高能級原子，所以激光器可以輸出兩束穩(wěn)定的激光。的時候，和均使用速度為0的高能級原子，兩個模式劇烈競爭，競爭的結果是一束光變強，另一束光熄滅。

(3)

使用的原子以及的原子。使用的原子以及的原子，因此兩個模式使用不同高能級原子，沒有了模式競爭效應，因此兩個模式均可以穩(wěn)定的存在，沒有了上面所說的一束光變強，另一束光熄滅的現(xiàn)象。

(4)

要是混合氣體的增益曲線對稱，必須使得和的增益曲線高度相等，即要滿足：

而

欲使得，應使

因此，應該多一些。

8．考慮氦氖激光器的632.8nm躍遷，其上能級3S2的壽命，下能級2P4的壽命，設管內氣壓p=266Pa：

(1)計算T=300K時的多普勒線寬；

(2)計算均勻線寬及；

(3)當腔內光強為(1)接近0；(2)10W/cm2時諧振腔需多長才能使燒孔重疊。

(計算所需參數(shù)可查閱附錄一)

解：(1)

T=300K時的多普勒線寬為

(2)

均勻線寬包括自然線寬和碰撞線寬兩部分，其中

所以

(3)

設腔內光強為I，則激光器燒孔重疊的條件為

取進行計算。

當腔內光強接近0的時候

當腔內光強為的時候

9．某單模632.8nm氦氖激光器，腔長10cm，而反射鏡的反射率分別為100%及98%，腔內損耗可忽略不計，穩(wěn)態(tài)功率輸出是0.5mW，輸出光束直徑為0.5mm(粗略地將輸出光束看成橫向均勻分布的)。試求腔內光子數(shù)，并假設反轉原子數(shù)在t0時刻突然從0增加到閾值的1.1倍，試粗略估算腔內光子數(shù)自1噪聲光子/腔模增至計算所得之穩(wěn)態(tài)腔內光子數(shù)須經多長時間。

解：穩(wěn)態(tài)時的功率輸出可以表示為

穩(wěn)態(tài)時的光子數(shù)為

下面來計算所需要的時間：

根據題意有，則

所以

因為，所以，所以有

10．腔內均勻加寬增益介質具有最佳增益系數(shù)gm及飽和光強ISG，同時腔內存在一均勻加寬吸收介質，其最大吸收系數(shù)為，飽和光腔為。假設二介質中心頻率均為，，試問：

(1)此激光能否起振？

(2)如果瞬時輸入一足夠強的頻率為的光信號，此激光能否起振？寫出其起振條件；討論在何種情況下能獲得穩(wěn)態(tài)振蕩，并寫出穩(wěn)態(tài)振蕩時腔內光強。

解：(1)

若增益介質和吸收介質的線寬分別為和，若，則在任何頻率下，均小于，因此不能起振。如果（如下圖所示），則當時不能振蕩，當或者才能振蕩。

(2)

若入射光強為，則增益介質的增益系數(shù)為

吸收介質的吸收系數(shù)為

假設增益介質的長度跟吸收介質的長度相等，則當滿足的時候激光器起振，所以激光器起振的條件為

即

當兩個介質的參量滿足(2)式，入射光強滿足(1)式的時候，激光器就可以起振，腔內光強不斷增加，當腔內光強增加到

時去掉入射信號，此時可得穩(wěn)定光強

11．低增益均勻加寬單模激光器中，輸出鏡最佳透射率Tm及閾值透射率Tt可由實驗測出，試求往返凈損耗及中心頻率小信號增益系數(shù)(假設振蕩頻率)。

解：輸出光強

閾值時有：

時，由(1)、(2)式可得：

12．有一氪燈激勵的連續(xù)摻釹釔鋁石榴石激光器(如圖5.3所示)。由實驗測出氪燈輸入電功率的閾值為2.2kW，斜效率(P為激光器輸出功率，為氪燈輸入電功率)。摻釹釔鋁石榴石棒內損耗系數(shù)。試求：

(1)

為10kW時激光器的輸出功率；

圖5.3

(2)

反射鏡1換成平面鏡時的斜效率(更換反射鏡引起的衍射損耗變化忽略不計；假設激光器振蕩于TEM00模)；

(3)

圖5.3所示激光器中換成0.1時的斜效率和=10kW時的輸出功率。

解：均勻加寬連續(xù)激光器輸出功率可以表示為

(1)為10kW時激光器的輸出功率為：

(2)

圖5.3所示的激光器

反射鏡1換成平面鏡之后

斜效率應為

(3)

圖5.3所示激光器的單程損耗為

反射鏡1的透過率改成之后，單程損耗變?yōu)?/p>

閾值泵浦功率為

當時，輸出功率為