專題28　縱觀全局——整體思想

閱讀與思考

解數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，人們習(xí)慣了把它分成若干個(gè)較為簡(jiǎn)單的為，然后在分而治之，各個(gè)擊破。與分解、分部處理問(wèn)題相反，整體思想是將問(wèn)題看成一個(gè)完整的整體，從大處著眼，有整體入手，突出對(duì)問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)的分析和改造，把一些看似彼此孤立、實(shí)質(zhì)上緊密聯(lián)系的量作為整體考慮，從整體上把握問(wèn)題的內(nèi)容和解題方向的策略，往往能找到簡(jiǎn)捷的解題方法，解題中運(yùn)用整體思想解題的具體途徑主要有：

1.整體觀察

2.整體設(shè)元

3.整體代入

4.整體求和

5.整體求積

注：既看局部，又看整體；既見(jiàn)“樹(shù)木”，又見(jiàn)“森林”，兩者互用，這是分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的普遍而有效的方法．

例題與求解

【例1】某市抽樣調(diào)查了1000戶家庭的年收入，其中年收入最高的只有一戶，是38000元。由于將這個(gè)數(shù)據(jù)輸入錯(cuò)了，所以計(jì)算機(jī)顯示的這1000戶的平均年收入比實(shí)際平均年收入高出了342元，則輸入計(jì)算機(jī)的那個(gè)錯(cuò)誤數(shù)據(jù)是

．

（北京市競(jìng)賽題）

解題思路：有1000個(gè)未知量，而等式只有兩個(gè)，顯然不能分布求出每個(gè)未知量，不妨從整體消元．

注：有些問(wèn)題要達(dá)到求解的目的，需要設(shè)幾個(gè)未知數(shù)，但在解答的過(guò)程中，這些未知數(shù)只起到溝通已知與未知的輔助的作用，因此可“設(shè)而不求”，通過(guò)整體考慮，直接獲得問(wèn)題的答案．

【例2】設(shè)是不全相等的任意數(shù)，若，則（）

（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

A.都不小于零

B.都不大于零

C.至少有一個(gè)小于零

D.至少有一個(gè)大于零

解題思路：由于的任意性，若孤立地考慮，則很難把握的正負(fù)性，應(yīng)該考慮整體求出的值．

【例3】如果a滿足等式，試求的值．

(天津市競(jìng)賽題)

解題思路：不能直接求出的值，可尋求待求式子分子分母與條件等式的聯(lián)系，然后把條件等式整體代入求值．

注：整體思想在代數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值、解方程（組）、幾何證明等方面有廣泛的應(yīng)用，整體代入、疊加疊乘、整體運(yùn)算、整體設(shè)元、幾何補(bǔ)形等都是整體思想的體現(xiàn)．

【例4】已知，代數(shù)式，求當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值．

（北京市“迎春杯”競(jìng)賽試題）

解題思路：的值無(wú)法求出，將給定的值分別代入對(duì)應(yīng)的代數(shù)式，尋找已知式與待求式之間的聯(lián)系，整體代入求值．

【例5】已知實(shí)數(shù)滿足方程組．

求的值．

（上海市競(jìng)賽題）

解題思路：將上述六個(gè)式子看成整體，通過(guò)⑥－⑤，④－③，②－①分別得到．

【例6】如圖，將1,2,3,4,5,6,7,8,9,10這十個(gè)數(shù)分別填入圖中的十個(gè)圓圈內(nèi)，使得任意連續(xù)相鄰的五個(gè)圓圈內(nèi)的數(shù)的和均不大于某一個(gè)整數(shù)M，求M得最小值并完成你的填圖．

（北京市“迎春杯”競(jìng)賽試題）＼

解題思路：解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出，這是本題的突破口．

注：在解答有同一結(jié)構(gòu)的問(wèn)題時(shí)，可將這一相同結(jié)構(gòu)看作一個(gè)整體，用一個(gè)字母代換，以此達(dá)到體現(xiàn)式子結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，化繁為簡(jiǎn)的目的．

能力訓(xùn)練

1．已知密碼：3·ABCPQR=4·PQRABC,其中每個(gè)字母都表示一個(gè)十進(jìn)制數(shù)字，將這個(gè)密碼翻譯成式子是

2．若a，b，c的值滿足，則

(“城市杯”競(jìng)賽試題)

3．角中有兩個(gè)銳角和一個(gè)鈍角，其數(shù)值已經(jīng)給出，在計(jì)算的值時(shí)，全班得到23.5°，24.5°，25.5°這樣三個(gè)不同結(jié)果，其中確有正確的答案，則正確的答案是

4．如果，那么=

（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）

5．已知都是正數(shù)，設(shè)，那么與的大小關(guān)系是

．

（北京市“迎春杯”競(jìng)賽試題）

6．若方程組有解，則

（湖北省武漢市選拔賽試題）

7．若正數(shù)滿足不等式，則的大小關(guān)系是（）

A．

B．

C．

D．

8．若，則的值是（）

A．

B．

C．

D．

9．在一家三口人中，每?jī)蓚€(gè)人的平均年齡加上余下一人的年齡分別得到47,61,60，那么這三人中最大年齡與最小年齡的差是（）

A．

B．

C．

D．

10．設(shè)，滿足等式，則

中至少有一個(gè)值（）

A．

B．

C．

D．

（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

11．12．有一個(gè)四位數(shù)，把它從中間分成兩半，得到前、后兩個(gè)兩位數(shù)，將前面的兩位數(shù)的末尾添一個(gè)零，然后加上前后兩個(gè)兩位數(shù)的乘積，恰好等于原來(lái)的四位數(shù)，又知道原數(shù)的個(gè)位數(shù)字為5，試求這個(gè)四位數(shù)．

（江蘇省競(jìng)賽試題）

13．代數(shù)式中，可以分別取+1或-1．

（1）證明代數(shù)式的值都是偶數(shù)．

（2）求這個(gè)代數(shù)式所能取到的最大值．

（“華羅庚金杯”競(jìng)賽試題）

14．如圖，在六邊形的頂點(diǎn)處分別標(biāo)上數(shù)1，2，3，4，5，6，能否使任意三個(gè)相鄰頂點(diǎn)處的三數(shù)之和（1）大于9？（2）大于10？

若能，請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出來(lái)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（江蘇省競(jìng)賽試題）