八個(gè)有趣模型——搞定空間幾何體的外接球與內(nèi)切球

今天給大家?guī)?個(gè)求解立體幾何內(nèi)切球與外接球半徑的模型，本文最開始源自付雨樓老師分享的模型，教研QQ群(群號：545423319)成員段永建老師進(jìn)一步作圖編輯優(yōu)化分享。

類型一、墻角模型（三條線兩個(gè)垂直，不找球心的位置即可求出球半徑）

方法：找三條兩兩垂直的線段，直接用公式，即，求出

例1

（1）已知各頂點(diǎn)都在同一球面上的正四棱柱的高為，體積為，則這個(gè)球的表面積是（C）

A．

B．

C．

D．

（2）若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩垂直，且側(cè)棱長均為，則其外接球的表面積是

解：（1），，選C；

（2），（3）在正三棱錐中，分別是棱的中點(diǎn)，且,若側(cè)棱,則正三棱錐外接球的表面積是。

解：引理：正三棱錐的對棱互垂直。證明如下：

如圖（3）-1，取的中點(diǎn)，連接，交于，連接，則是底面正三角形的中心，平面，，，平面，同理：，即正三棱錐的對棱互垂直，本題圖如圖（3）-2，，，平面，，，平面，故三棱錐的三棱條側(cè)棱兩兩互相垂直，即，正三棱錐外接球的表面積是

（4）在四面體中，則該四面體的外接球的表面積為（D）

（5）如果三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，它們的面積分別為、、，那么它的外接球的表面積是

（6）已知某幾何體的三視圖如圖所示，三視圖是腰長為的等腰直角三角形和邊長為的正方形，則該幾何體外接球的體積為

解析：（4）在中，，的外接球直徑為，，選D

（5）三條側(cè)棱兩兩生直，設(shè)三條側(cè)棱長分別為（），則，，，，（6），，類型二、垂面模型（一條直線垂直于一個(gè)平面）

1．題設(shè)：如圖5，平面

解題步驟：

第一步：將畫在小圓面上，為小圓直徑的一個(gè)端點(diǎn)，作小圓的直

徑，連接，則必過球心；

第二步：為的外心，所以平面，算出小圓的半

徑（三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得），；

第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：①；

②

2．題設(shè)：如圖6，7，8，的射影是的外心三棱錐的三條側(cè)棱相等三棱錐的底面在圓錐的底上，頂點(diǎn)點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn)

解題步驟：

第一步：確定球心的位置，取的外心，則三點(diǎn)共線；

第二步：先算出小圓的半徑，再算出棱錐的高（也是圓錐的高）；

第三步：勾股定理：，解出

方法二：小圓直徑參與構(gòu)造大圓。

例2

一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體外接球的表面積為（）C

A．

B．

C．

D．以上都不對

解：選C，，，類型三、切瓜模型（兩個(gè)平面互相垂直）

1．題設(shè)：如圖9-1，平面平面，且（即為小圓的直徑）

第一步：易知球心必是的外心，即的外接圓是大圓，先求出小圓的直徑；

第二步：在中，可根據(jù)正弦定理，求出

2．如圖9-2，平面平面，且（即為小圓的直徑）

3．如圖9-3，平面平面，且（即為小圓的直徑），且的射影是的外心三棱錐的三條側(cè)棱相等三棱的底面在圓錐的底上，頂點(diǎn)點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn)

解題步驟：

第一步：確定球心的位置，取的外心，則三點(diǎn)共線；

第二步：先算出小圓的半徑，再算出棱錐的高（也是圓錐的高）；

第三步：勾股定理：，解出

4．如圖9-3，平面平面，且（即為小圓的直徑），且，則

利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：①；

②

例3

（1）正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為1，底面邊長為，則該球的表面積為。

（2）正四棱錐的底面邊長和各側(cè)棱長都為，各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球的體積為

解：（1）由正弦定理或找球心都可得，（2）方法一：找球心的位置，易知，，故球心在正方形的中心處，方法二：大圓是軸截面所的外接圓，即大圓是的外接圓，此處特殊，的斜邊是球半徑，，（3）在三棱錐中，,側(cè)棱與底面所成的角為，則該三棱錐外接球的體積為（）

A．

B.C.4

D.解：選D，圓錐在以的圓上，（4）已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的求面上,是邊長為的正三角形,為球的直徑,且，則此棱錐的體積為（）A

A．

B．

C．

D．

解：，類型四、漢堡模型（直棱柱的外接球、圓柱的外接球）

題設(shè)：如圖10-1，圖10-2，圖10-3,直三棱柱內(nèi)接于球（同時(shí)直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）

第一步：確定球心的位置，是的外心，則平面；

第二步：算出小圓的半徑，（也是圓柱的高）；

第三步：勾股定理：，解出

例4

（1）一個(gè)正六棱柱的底面上正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長為，則這個(gè)球的體積為

解：設(shè)正六邊形邊長為，正六棱柱的高為，底面外接圓的關(guān)徑為，則，底面積為，，，球的體積為

（2）直三棱柱的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若,，則此球的表面積等于。

解：，，（3）已知所在的平面與矩形所在的平面互相垂直，則多面體的外接球的表面積為。

解析：折疊型，法一：的外接圓半徑為，；法二：，，（4）在直三棱柱中，則直三棱柱的外接球的表面積為。

解析：，，，類型五、折疊模型

題設(shè)：兩個(gè)全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊(如圖11)

第一步：先畫出如圖所示的圖形，將畫在小圓上，找出和的外心和；

第二步：過和分別作平面和平面的垂線，兩垂線的交點(diǎn)即為球心，連接；

第三步：解，算出，在中，勾股定理：

例5三棱錐中，平面平面，△和△均為邊長為的正三角形，則三棱錐外接球的半徑為

.解析：，，；

法二：，，類型六、對棱相等模型（補(bǔ)形為長方體）

題設(shè)：三棱錐（即四面體）中，已知三組對棱分別相等，求外接球半徑（，）

第一步：畫出一個(gè)長方體，標(biāo)出三組互為異面直線的對棱；

第二步：設(shè)出長方體的長寬高分別為，，列方程組，補(bǔ)充：

第三步：根據(jù)墻角模型，，求出，例如，正四面體的外接球半徑可用此法。

例6（1）棱長為的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若過該球球心的一

個(gè)截面如圖，則圖中三角形(正四面體的截面)的面積是

.（2）一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)

在該球的一個(gè)大圓上，則該正三棱錐的體積是（）

A．

B．

C．

D．

解：（1）截面為，面積是；

（2）高，底面外接圓的半徑為，直徑為，設(shè)底面邊長為，則，，三棱錐的體積為

（3）在三棱錐中，則三棱錐外接球的表面積為。

解析：如圖12，設(shè)補(bǔ)形為長方體，三個(gè)長度為三對面的對角線長，設(shè)長寬高分別為，則，，，（4）如圖所示三棱錐，其中則該三棱錐外接球的表面積為

.解析：同上，設(shè)補(bǔ)形為長方體，三個(gè)長度為三對面的對角線長，設(shè)長寬高分別為，，【55；對稱幾何體；放到長方體中】

（5）正四面體的各條棱長都為，則該正面體外接球的體積為

解析：這是特殊情況，但也是對棱相等的模式，放入長方體中，，類型七、兩直角三角形拼接在一起(斜邊相同,也可看作矩形沿對角線折起所得三棱錐)模型

題設(shè)：，求三棱錐外接球半徑（分析：取公共的斜邊的中點(diǎn)，連接，則，為三棱錐外接球球心，然后在中求出半徑），當(dāng)看作矩形沿對角線折起所得三棱錐時(shí)與折起成的二面角大小無關(guān)，只要不是平角球半徑都為定值。

例7（1）在矩形中，，沿將矩形折成一個(gè)直二面角，則四面體的外接球的體積為（）

A．

B．

C．

D．

解：（1），，選C

（2）在矩形中，，沿將矩形折疊，連接，所得三棱錐的外接球的表面積為

．

解析：（2）的中點(diǎn)是球心，；

類型八、錐體的內(nèi)切球問題

1．題設(shè)：如圖14，三棱錐上正三棱錐，求其外接球的半徑。

第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，分別是兩個(gè)三角形的外心；

第二步：求，是側(cè)面的高；

第三步：由相似于，建立等式：，解出

2．題設(shè)：如圖15，四棱錐上正四棱錐，求其外接球的半徑

第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，三點(diǎn)共線；

第二步：求，是側(cè)面的高；

第三步：由相似于，建立等式：，解出

3．題設(shè)：三棱錐是任意三棱錐，求其的內(nèi)切球半徑

方法：等體積法，即內(nèi)切球球心與四個(gè)面構(gòu)成的四個(gè)三棱錐的體積之和相等

第一步：先畫出四個(gè)表面的面積和整個(gè)錐體體積；

第二步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為，建立等式：

第三步：解出

習(xí)題：

1．若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且，則該三棱錐的外接球半徑為（）

A.B.C.D.解：【A】，【三棱錐有一側(cè)棱垂直于底面，且底面是直角三角形】【共兩種】

2．三棱錐中，側(cè)棱平面，底面是邊長為的正三角形，則該三棱錐的外接球體積等于

.解析：，，外接球體積

【外心法（加中垂線）找球心；正弦定理求球小圓半徑】

3．正三棱錐中，底面是邊長為的正三角形，側(cè)棱長為，則該三棱錐的外接球體積等于

.解析：外接圓的半徑為，三棱錐的直徑為，外接球半徑，或，外接球體積，4．三棱錐中，平面平面，△邊長為的正三角形，則三棱錐外接球的半徑為

.解析：的外接圓是大圓，，5．

三棱錐中，平面平面，，則三棱錐外接球的半徑為

.解析：，，6．

三棱錐中，平面平面，，則三棱錐外接球的半徑為

.解：是公共的斜邊，的中點(diǎn)是球心，球半徑為