解析幾何中的定點定值問題

考綱解讀：定點定值問題是解析幾何解答題的考查重點。此類問題定中有動，動中有定，并且常與軌跡問題，曲線系問題等相結(jié)合，深入考查直線的圓，圓錐曲線，直線和圓錐曲線位置關(guān)系等相關(guān)知識?？疾閿?shù)形結(jié)合，分類討論，化歸與轉(zhuǎn)化，函數(shù)和方程等數(shù)學(xué)思想方法。

一、定點問題

解題的關(guān)健在于尋找題中用來聯(lián)系已知量，未知量的垂直關(guān)系、中點關(guān)系、方程、不等式，然后將已知量，未知量代入上述關(guān)系，通過整理，變形轉(zhuǎn)化為過定點的直線系、曲線系來解決。

A

B

y

O

x

例1、已知A、B是拋物線y2=2px

(p>0)上異于原點O的兩個不同點，直線OA和OB的傾斜角分別為α和β，當(dāng)α、β變化且α+β=時，證明直線AB恒過定點，并求出該定點的坐標(biāo)。

解析：

設(shè)A（），B（），則，代入

得

（1）

又設(shè)直線AB的方程為，則

∴，代入（1）式得

∴直線AB的方程為

∴直線AB過定點（-

說明：本題在特殊條件下很難探索出定點，因此要從已知出發(fā)，把所求的定點問題轉(zhuǎn)化為求直線AB，再從AB直線系中看出定點。

例2．【2010·東城一模】已知橢圓：的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．

⑴求橢圓C的方程；

⑵設(shè)，、是橢圓上關(guān)于軸對稱的任意兩個不同的點，連結(jié)交橢圓于另一點，求直線的斜率的取值范圍；

⑶在⑵的條件下，證明直線與軸相交于定點．

解析：⑴由題意知，所以，即，又因為，所以，故橢圓的方程為：．

⑵由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為

①

聯(lián)立消去得：，由得，又不合題意，所以直線的斜率的取值范圍是或．

⑶設(shè)點，則，直線的方程為，令，得，將代入整理，得．

②

由得①代入②整理，得，所以直線與軸相交于定點．

【針對性練習(xí)1】

在直角坐標(biāo)系中，點到點，的距離之和是，點的軌跡是與軸的負半軸交于點，不過點的直線與軌跡交于不同的兩點和．

⑴求軌跡的方程；

⑵當(dāng)時，求與的關(guān)系，并證明直線過定點．

解：⑴∵點到，的距離之和是，∴的軌跡是長軸為，焦點在軸上焦中為的橢圓，其方程為．

⑵將，代入曲線的方程，整理得，因為直線與曲線交于不同的兩點和，所以

①

設(shè)，則，②

且，顯然，曲線與軸的負半軸交于點，所以，．由，得．

將②、③代入上式，整理得．所以，即或．經(jīng)檢驗，都符合條件①，當(dāng)時，直線的方程為．顯然，此時直線經(jīng)過定點點．即直線經(jīng)過點，與題意不符．當(dāng)時，直線的方程為．

顯然，此時直線經(jīng)過定點點，且不過點．綜上，與的關(guān)系是：，且直線經(jīng)過定點點．

【針對性練習(xí)2】在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點為A、B，右焦點為F。設(shè)過點T（）的直線TA、TB與橢圓分別交于點M、，其中m>0,。

（1）設(shè)動點P滿足,求點P的軌跡；

（2）設(shè)，求點T的坐標(biāo)；

（3）設(shè),求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐標(biāo)與m無關(guān)）。

【解析】

本小題主要考查求簡單曲線的方程，考查方直線與橢圓的方程等基礎(chǔ)知識?？疾檫\算求解能力和探究問題的能力。

解：（1）設(shè)點P（x，y），則：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。

由，得

化簡得。

故所求點P的軌跡為直線。

（2）將分別代入橢圓方程，以及得：M（2，）、N（，）

直線MTA方程為：，即，直線NTB

方程為：，即。

聯(lián)立方程組，解得：，所以點T的坐標(biāo)為。

（3）點T的坐標(biāo)為

直線MTA方程為：，即，直線NTB

方程為：，即。

分別與橢圓聯(lián)立方程組，同時考慮到，解得：、。

（方法一）當(dāng)時，直線MN方程為：

令，解得：。此時必過點D（1，0）；

當(dāng)時，直線MN方程為：，與x軸交點為D（1，0）。

所以直線MN必過x軸上的一定點D（1，0）。

（方法二）若，則由及，得，此時直線MN的方程為，過點D（1，0）。

若，則，直線MD的斜率，直線ND的斜率，得，所以直線MN過D點。

因此，直線MN必過軸上的點（1，0）。

【針對性練習(xí)3】（2011年石景山期末理18）已知橢圓C中心在原點，焦點在軸上，焦距為，短軸長為．（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若直線：與橢圓交于不同的兩點（不是橢圓的左、右頂點），且以為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右頂點．求證：直線過定點，并求出定點的坐標(biāo)．

解:

（Ⅰ）設(shè)橢圓的長半軸為，短半軸長為，半焦距為，則

解得

∴

橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

．

……

4分

（Ⅱ）由方程組

消去，得

．

……

6分

由題意△，整理得：

①

………7分

設(shè)，則，．

………

8分

由已知，且橢圓的右頂點為，∴?。?/p>

……

10分

即，也即，整理得．

解得

或，均滿足①

………

11分

當(dāng)時，直線的方程為，過定點，不符合題意舍去；

當(dāng)時，直線的方程為，過定點，故直線過定點，且定點的坐標(biāo)為．

…………

13分

例3、已知橢圓的焦點在軸上，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點，離心率，過橢圓的右焦點作與坐標(biāo)軸不垂直的直線，交橢圓于、兩點。

（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）設(shè)點是線段上的一個動點，且，求的取值范圍；

（Ⅲ）設(shè)點是點關(guān)于軸的對稱點，在軸上是否存在一個定點，使得、、三點共線？若存在，求出定點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由。

解法一：

（I）設(shè)橢圓方程為，由題意知

故橢圓方程為

（Ⅱ）由（I）得，所以，設(shè)的方程為（）

代入，得

設(shè)

則,由，當(dāng)時，有成立。

（Ⅲ）在軸上存在定點，使得、、三點共線。依題意知，直線BC的方程為，令，則的方程為、在直線上，在軸上存在定點，使得三點共線。

解法二：（Ⅱ）由（I）得，所以。設(shè)的方程為

代入，得設(shè)則

當(dāng)時，有成立。

（Ⅲ）在軸上存在定點，使得、、三點共線。

設(shè)存在使得、、三點共線，則，即，存在，使得三點共線。

二、定值問題

在解析幾何中，有些幾何量與參數(shù)無關(guān)，這就構(gòu)成了定值問題，解決這類問題時，要善于運用辯證的觀點去思考分析，在動點的“變”中尋求定值的“不變”性，一種思路是進行一般計算推理求出其結(jié)果，選定一個適合該題設(shè)的參變量，用題中已知量和參變量表示題中所涉及的定義，方程，幾何性質(zhì)，再用韋達定理，點差法等導(dǎo)出所求定值關(guān)系所需要的表達式，并將其代入定值關(guān)系式，化簡整理求出結(jié)果，；另一種思路是通過考查極端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊圖形等）先確定出定值，揭開神秘的面紗，這樣可將盲目的探索問題轉(zhuǎn)化為有方向有目標(biāo)的一般性證明題，從而找到解決問題的突破口，將該問題涉及的幾何形式轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式或三角形式，證明該式是恒定的。同時有許多定值問題，通過特殊探索法不但能夠確定出定值，還可以為我們提供解題的線索。如果試題是客觀題形式出現(xiàn)，特珠化方法往往比較奏效。

例4、已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點O，焦點在x軸上，斜率為1且過橢圓右焦點的直線交橢圓于A、B兩點，共線。

（1）求橢圓的離心率；

（2）設(shè)M為橢圓上任意一點，且，證明為定值。

解析：（1）設(shè)橢圓方程為

（a>b>0），A(x1,y1)，B(x2,y2)，AB的中點為N(x0,y0)，兩式相減及得到，所以直線ON的方向向量為，∵，即，從而得

（2）探索定值

因為M是橢圓上任意一點，若M與A重合，則，此時，證明

∵，橢圓方程為，又直線方程為

又設(shè)M（x，y），則由得，代入橢圓方程整理得

又∵，例5、已知，橢圓C過點A，兩個焦點為（－1，0），（1，0）。

（1）

求橢圓C的方程；

（2）

E,F是橢圓C上的兩個動點，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個定值。

解析：（1）由題意，c=1,可設(shè)橢圓方程為，解得，（舍去）

所以橢圓方程為。

（2）設(shè)直線AE方程為：，代入得

設(shè)，因為點在橢圓上，所以，又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以—K代K，可得，所以直線EF的斜率

即直線EF的斜率為定值，其值為。

將第二問的結(jié)論進行如下推廣：

結(jié)論1.過橢圓上任一點任意作兩條斜率互為相反數(shù)的直線交橢圓于E、F兩點，則直線EF的斜率為定值（常數(shù)）。

證明：直線AE的方程為，則直線AF的方程為，聯(lián)立和，消去y可得

結(jié)論2.過雙曲線上任一點任意作兩條斜率互為相反數(shù)的直線交橢圓于E、F兩點，則直線EF的斜率為定值（常數(shù)）。

結(jié)論3.過拋物線上任一點任意作兩條斜率互為相反數(shù)的直線交橢圓于E、F兩點，則直線EF的斜率為定值（常數(shù)）。

例6、【2010·巢湖市第一學(xué)期期末質(zhì)檢】已知橢圓的中心在原點，焦點在軸的非負半軸上，點到短軸端點的距離是4，橢圓上的點到焦點距離的最大值是6.(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；

(Ⅱ)若為焦點關(guān)于直線的對稱點，動點滿足，問是否存在一個定點，使到點的距離為定值？若存在，求出點的坐標(biāo)及此定值；若不存在，請說明理由.解析：(Ⅰ)設(shè)橢圓長半軸長及半焦距分別為，由已知得

.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.離心率

(Ⅱ),設(shè)由得

化簡得，即

故存在一個定點，使到點的距離為定值，其定值為

例7、【2010·湖南師大附中第二次月考】已知拋物線C的頂點在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，P(2，0)為定點．

(Ⅰ)若點P為拋物線的焦點，求拋物線C的方程；

(Ⅱ)若動圓M過點P，且圓心M在拋物線C上運動，點A、B是圓M與軸的兩交點，試推斷是否存在一條拋物線C，使|AB|為定值？若存在，求這個定值；若不存在，說明理由．

解析：(Ⅰ)

設(shè)拋物線方程為，則拋物線的焦點坐標(biāo)為.由已知，即，故拋物線C的方程是．

(Ⅱ)設(shè)圓心()，點A，B.因為圓過點P(2，0)，則可設(shè)圓M的方程為.令，得.則，.所以.，設(shè)拋物線C的方程為，因為圓心M在拋物線C上，則.所以.由此可得，當(dāng)時，為定值．故存在一條拋物線，使|AB|為定值4.例8、已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點的距離的最小值

為，離心率為﹒

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點作直線交于、兩點，試問：在軸上是否存在一個定點，為定值？若存在，求出這個定點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由﹒

解析：（I）設(shè)橢圓E的方程為,由已知得：

。。。2分

橢圓E的方程為。。

3分

（Ⅱ）法一：假設(shè)存在符合條件的點，又設(shè)，則：

。。。

5分

①當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為：，則

由得

7分

所以

9分

對于任意的值，為定值，所以，得，所以；

11分

②當(dāng)直線的斜率不存在時，直線

由得

綜上述①②知，符合條件的點存在，起坐標(biāo)為﹒

13分

法二：假設(shè)存在點，又設(shè)則：

=….5分

①當(dāng)直線的斜率不為0時，設(shè)直線的方程為，由得

7分

9分

設(shè)則

11分

②當(dāng)直線的斜率為0時，直線，由得：

綜上述①②知，符合條件的點存在，其坐標(biāo)為

。。13分

三、定直線問題

例9、設(shè)橢圓過點，且焦點為

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）當(dāng)過點的動直線與橢圓相交與兩不同點時，在線段上取點，滿足，證明：點總在某定直線上

解析：

(1)由題意：，解得，所求橢圓方程為

(2)設(shè)點，由題設(shè)，均不為零。

且

又

四點共線，可設(shè),于是

（1）

（2）

由于在橢圓C上，將（1），（2）分別代入C的方程

整理得

（3）

(4)

(4)－(3)

得，即點總在定直線上

例10、已知橢圓C的離心率，長軸的左右端點分別為。（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓C交于P、Q兩點，直線與交于點S。試問：當(dāng)m變化時，點S是否恒在一條定直線上？若是，請寫出這條直線方程，并證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由。

解法一：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為。

…………………

1分

∵，∴。

………………

4分

∴橢圓的方程為。

………………………………………

5分

（Ⅱ）取得，直線的方程是

直線的方程是交點為

…………7分,若，由對稱性可知交點為

若點在同一條直線上，則直線只能為。…………………8分

以下證明對于任意的直線與直線的交點均在直線上。事實上，由得即，記，則。…………

9分

設(shè)與交于點由得

設(shè)與交于點由得………

10，……12分

∴，即與重合，這說明，當(dāng)變化時，點恒在定直線上。

13分

解法二：（Ⅱ）取得，直線的方程是直線的方程是交點為

…………………………………………

7分

取得，直線的方程是直線的方程是交點為∴若交點在同一條直線上，則直線只能為。

……………8分

以下證明對于任意的直線與直線的交點均在直線上。事實上，由得即，記，則?！?分的方程是的方程是消去得…

①以下用分析法證明時，①式恒成立。要證明①式恒成立，只需證明即證即證………………

②∵∴②式恒成立。這說明，當(dāng)變化時，點恒在定直線上。

解法三：（Ⅱ）由得即。

記，則?！?/p>

6分的方程是的方程是

……

7分

由得

…………………

9分

即

………………………………

12分

這說明，當(dāng)變化時，點恒在定直線上?！?/p>

13分

四、其它定值問題

例11、已知雙曲線的離心率為，右準(zhǔn)線方程為

（Ⅰ）求雙曲線的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線是圓上動點處的切線，與雙曲線交于不同的兩點，證明的大小為定值.解析：本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的切線方程等基礎(chǔ)知識，考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運算能力．

（Ⅰ）由題意，得，解得，∴，∴所求雙曲線的方程為.（Ⅱ）點在圓上，圓在點處的切線方程為，化簡得.由及得

①

②

∵切線與雙曲線C交于不同的兩點A、B，且，∴，設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)分別為，則，∴，∴的大小為.例12、己知橢圓

（a>b>0）,過其中心O的任意兩條互相垂直的直徑是P1P2、O

x

y

P1

Q1

P2

Q2

A1

A2

B1

B2

Q1Q2，求證：以兩條直徑的四個端點所成的四邊形P1Q1P2Q2與一定圓相切。

探索定圓：取橢圓長軸和短軸為兩直徑，則的方程為，原點O到直線的距離為，則與菱形內(nèi)切的圓方程為。

證明：設(shè)直徑P1P2的方程為

則Q1Q2的方程為

解得

同理OQ22=，作OH⊥P2Q2

則

又四邊形P1Q1P2Q2是菱形，菱形P1Q1P2Q2必外切于圓.例13、已知P是雙曲線上的一個定點，過點P作兩條互相

垂直的直線分別交雙曲線于P1、P2兩點（異于P點），求證：直線P1P2的方向不變。

探索定值：取P，過P點且互相垂直的直線中有一條過原點，則這一條直線

x

P

P1

P2

y

O

與曲線的另一個交點，其斜率

PP2的方程為

把代入解得

（定值）

證明：設(shè)PP1的斜率為，則PP2的斜率為

－，∴PP1的方程為

PP2的方程為，與拋物

聯(lián)立解得、，從而（定值）

EX：過拋物線y2=2px（P>0）上一定點（x0,y0）作兩條直線分別交拋物線于A，B兩點，滿足直線PA、PB斜率存在且傾斜角互補，則AB的斜率為定值。

推廣：拋物線推廣到橢圓或雙雙曲線均可。

五、練習(xí)

1、（2008唐山三模）橢圓中心在原點，焦點在x軸上，離心率為，三角形ABM的三個頂點都在橢圓上，其中M點為（1，1），且直線MA、MB的斜率之和為0。（1）求橢圓的方程。（2）求證：直線AB的斜率是定值。

分析：（1）x2+2y2=3

（2）

2、（2008年西城一模）已知定點及橢圓，過點的動直線與橢圓相交于兩點.（Ⅰ）若線段中點的橫坐標(biāo)是，求直線的方程；

（Ⅱ）在軸上是否存在點，使為常數(shù)？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.分析：M（，0）

3、已知不垂直于x軸的動直線l交拋物線y2=2mx（m>0）于A、B兩點，若A、B兩點滿足∠AQP=∠BQP，若其中Q點坐標(biāo)為（-4，0），原點O為PQ中點。（1）證明：A、P、B三點線；（2）當(dāng)m=2時，是否存在垂直于x軸的直線l‘，使得l‘被以PA為直徑的圓所截得的弦長為定值？如果存在求出l’的方程。

分析：設(shè)點AB的坐標(biāo)

（2）l：x=3.4、（2009年保定統(tǒng)測）已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，短軸的兩個端點為A、B，且四邊形F1AF2B是邊長為2的正方形。

（1）

求橢圓的方程。

（2）

若C、D分別是橢圓長軸的左、右端點，動點M滿足MD⊥CD,連結(jié)CM交橢圓于點P，證明：為值。

（3）

在（2）的條件下，試問x軸上是否存在異于C的定點Q，使得以MP為直徑的圓過直線DP，MQ的交點，若存在，求出點Q的坐標(biāo)。

分析：（1）

（2）由O、M、P三點共線，得，所以=4

（3）設(shè)Q點（a，0），由，得a=0.5、（2009年邯鄲第一次模擬）設(shè)P為雙曲線上任意一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線的左右焦點，若的最小值是-1，雙曲線的離心率是。

（1）

求雙曲線C的方程；

（2）過雙曲線C的右焦點F2的直線交雙曲線于A、B兩點，過作右準(zhǔn)線的垂線，垂足為C，求證：直線AC恒過定點。

分析：（1）

（2）先猜再證：（，0）換掉x1代入韋達定理得證。方法二：設(shè)AB：ｘ＝ｍｙ＋２代入方程得：（ｍ２－３）ｙ２＋４ｍｙ＋１＝０

故

AC：=又2my1y2=-（y1+y2）然后代入韋達定理得。

6、在平面直角坐標(biāo)系xOy中,Rt△ABC的斜邊BC恰在x軸上，點B(－2,0)，C（2，0），且AD為BC邊上的高。

(I)求AD中點G的軌跡方程；

(II)若過點(1,0)的直線l與(I)中G的軌跡交于兩不同點P、Q，試問在x軸上是否存在定點E(m,0)，使·恒為定值λ？若存在，求出點E的坐標(biāo)及實數(shù)λ的值；若不存在，請說明理由。

分析：（1）

（2）

m=

定值為

不容易先猜出，只能是化簡求出。

7、（2009年衡水三模）已知直線l過橢圓E：的右焦點F,且與E相交于P，Q兩點。

（1）

設(shè)，求點R的軌跡方程。

（2）

若直線l的傾斜角為60，求的值。（當(dāng)l的傾斜角不定時，可證是定值。）

分析：

（2）可先猜再證: