2021年備戰(zhàn)中考復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)小題（填空）專練：

圓的綜合（二）

1．如圖，A、P、B、C是⊙O上的四點(diǎn)，∠APC＝∠CPB＝60°，過(guò)點(diǎn)C作CM∥BP交PA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．其中正確的結(jié)論是

（填序號(hào)）．

①∠MAC＝∠PBC，②△ABC是等邊三角形，③PC＝PA+PB，④若PA＝1，PB＝2，則△PCM的面積＝．

2．如圖，在邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF中，P是ED的中點(diǎn)，則AP＝

．

3．如圖所示，若用半徑為8，圓心角為120°的扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面（接縫忽略不計(jì)），則這個(gè)圓錐的底面半徑是

．

4．如圖，已知圓錐底面半徑為10cm，母線長(zhǎng)為30cm，一只螞蟻從A處出發(fā)繞圓錐側(cè)面一周（回到原來(lái)的位置A）所爬行的最短路徑為

cm．

5．如圖，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，OP交⊙O于點(diǎn)B，點(diǎn)M，N分別為線段OP，AP上的動(dòng)點(diǎn)，若PA＝4，PB＝2，則AM+MN的最小值為

．

6．如圖，⊙O的直徑AB＝2，AM，BN分別是它的兩條切線，DE與⊙O相切于點(diǎn)E，并與AM、BN分別交于D、C兩點(diǎn)，AD＝x，BC＝y(tǒng)，則y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為

．

7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，與y軸相切的⊙M與x軸交于A、B兩點(diǎn)，AC為⊙M直徑，AC＝10，AB＝6，連接BC，點(diǎn)P為劣弧上點(diǎn)，點(diǎn)Q為線段AB上點(diǎn)，且MP⊥MQ，MP與BC交于點(diǎn)N．則當(dāng)NQ平分∠MNB時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)是

．

8．如圖，在2×2的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1．以點(diǎn)O為圓心、2為半徑畫(huà)弧，交圖中網(wǎng)格線于點(diǎn)A、B，則扇形OAB圍成圓錐的底面半徑為

．

9．如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)B、C、D在以點(diǎn)A為圓心、AB為半徑的弧上，則圖中陰影部分的面積是

．

10．如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，點(diǎn)C為OA的中點(diǎn)，CE⊥OA交于點(diǎn)E，以點(diǎn)O為圓心，OC的長(zhǎng)為半徑作交OB于點(diǎn)D．若OA＝8，則圖中陰影部分的面積為

．

11．如圖所示，△ABC中，∠BAC＝105°，∠ACB＝45°，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得對(duì)應(yīng)△DEC，若BC＝2，則線段AB掃過(guò)的陰影面積為

．

12．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠A＝45°，BC＝6，則⊙O的直徑為

．

13．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AE是⊙O的弦，且AE⊥BC，垂足為D．若cos∠EAC＝，CE＝2，則△OAB的面積是

．

14．如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，且B，C，D三點(diǎn)在⊙A上，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為

．

15．如圖，菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°．AE⊥BC于點(diǎn)E，以C為圓心，CE為半徑作弧，交CD于點(diǎn)F，連接AE、AF．則陰影部分的面積為

．

16．如圖，在正六邊形ABCDEF中，分別以C、F為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑作弧，圖中陰影部分的面積為24π，則AE長(zhǎng)為

．

17．如圖，過(guò)以AB為直徑的半圓O上一點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D．已知cos∠ACD＝，BC＝6，則AC＝

．

18．如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝2．以點(diǎn)C為圓心，AC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交AB，BC于點(diǎn)D，E，以點(diǎn)E為圓心，CE的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AB于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G，則圖中陰影部分的面積為

．

19．如圖，在直角坐標(biāo)系中，一直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（，1），與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，且MA＝MB，若⊙O1是△ABO的內(nèi)切圓，⊙O2，與⊙O1、l、y軸分別相切，⊙O3與⊙O2、l、y軸分別相切，……，按此規(guī)律，則⊙O2020的半徑r2020＝

．

20．如圖，在△ABC中，AC上的點(diǎn)D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)D在△ABC的外接圓⊙O上，若⊙O的半徑為3，∠C＝80°，D′為的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)是

．

21．△ABC是⊙O內(nèi)接三角形，∠BOC＝80°，那么∠A＝

．

22．中國(guó)美食講究色香味美，優(yōu)雅的擺盤(pán)造型也會(huì)讓美食錦上添花，圖①中的擺盤(pán)，其形狀是扇形的一部分，圖②是其幾何示意圖（陰影部分為擺盤(pán)），通過(guò)測(cè)量得到AC＝BD＝12cm，C，D兩點(diǎn)之間的距離為3cm，圓心角為60°，則圖中擺盤(pán)的面積是

．（用含π的式子表示）

23．如圖，在?ABCD中，∠A＝45°，點(diǎn)O在AB上，OB＝，以O(shè)為圓心，OB為半徑的半圓O與AD，CD分別切于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為

．

24．如圖，⊙O上有兩定點(diǎn)A、B，點(diǎn)P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B兩點(diǎn)重合），若∠OAB＝35°，則∠APB的度數(shù)是

．

25．已知，如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E為⊙O上一點(diǎn)，AE＝BE，點(diǎn)D是上一動(dòng)點(diǎn)（不與E，A重合），連接AE并延長(zhǎng)至點(diǎn)C，ED，BA的延長(zhǎng)線相交于M，AB＝12，BD與AE交于點(diǎn)F．下列結(jié)論：

（1）若∠CBE＝∠BDE，則BC是⊙O的切線；

（2）若BD平分∠ABE，則AD2＝DF?DB；

（3）在（2）的條件下，則AD的長(zhǎng)為2π；

（4）無(wú)論D怎樣移動(dòng)，ED?EM為定值．

正確的是

．（填序號(hào)）

參考答案

1．解：∵A、P、B、C是⊙O上的四點(diǎn)，∴∠PBC+∠PAC＝180°，∵∠PAC+∠MAC＝180°，∴∠MAC＝∠PBC；故①正確；

∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠BPC＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，故②正確；

∵四邊形APBC是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠MAC＝∠PBC，∠ACB+∠APB＝180°；

∵CM∥BP，∴∠M+∠APB＝180°，∴∠M＝∠ACB；

又∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝∠BAC＝60°，AC＝BC；而∠BPC＝∠BAC＝60°，∴∠M＝∠BPC；

在△ACM與△BCP中，∴△ACM≌△BCP（AAS）．

∴PB＝AM，PA+PB＝PA+AM＝PM；

∵∠M＝∠BPC＝60°，∠APC＝∠ABC＝60°，∴△MPC為等邊三角形，∴PC＝PM，∴PC＝PA+PB，故③正確；

∵△ACM≌△BCP，∴AM＝PB＝2，∴PM＝PA+AM＝1+2＝3，∵△PCM是等邊三角形，∴△PCM的面積＝CM2＝，故④正確，故答案為：①②③④．

2．解：連接AE，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AE，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝2，∠AFE＝∠DEF＝120°，∴∠FAE＝∠FEA＝30°，∴∠AEP＝90°，∴FH＝1，∴AH＝，AE＝2，∵P是ED的中點(diǎn)，∴EP＝1，∴AP＝＝＝．

故答案為：．

3．解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，由題意得，＝2πr，解得，r＝，故答案為：．

4．解：圓錐的側(cè)面展開(kāi)如圖：

設(shè)∠ASB＝n°，即：2π?10＝，得：n＝120，∴AB＝30，故答案為：30．

5．解：過(guò)A作AD⊥OP于D，并延長(zhǎng)交⊙O于C，則AD＝CD，過(guò)C作CN⊥AP于N交OP于M，則此時(shí)，AM+MN的值最小，且AM+MN的最小值＝CN，∵PA與⊙O相切于點(diǎn)A，∴∠PAO＝90°，∴PA2+OA2＝OP2，∵PA＝4，PB＝2，∴42+OA2＝（OA+2）2，∴OA＝3，∴OP＝5，∵S△AOP＝OA?AP＝OP?AD，∴AD＝＝，∴AC＝，∵∠P+∠PAD＝∠C+∠CAN＝90°，∴∠P＝∠C，∵∠ANC＝∠PAO＝90°，∴△ACN∽△OPA，∴＝，∴＝，∴CN＝，∴AM+MN的最小值為，故答案為：．

6．解：作DF⊥BN交BC于點(diǎn)F，如圖：

∵AM，BN分別是⊙O的兩條切線，∴AB⊥AM，AB⊥BN，又∵DF⊥BN，∴∠BAD＝∠ABC＝∠BFD＝90°，∴四邊形ABFD是矩形，∴BF＝AD＝x，DF＝AB＝2，∵BC＝y(tǒng)，∴FC＝BC﹣BF＝y(tǒng)﹣x；

∵DE切O于E，∴DE＝DA＝xCE＝CB＝y(tǒng)，則DC＝DE+CE＝x+y，在Rt△DFC中，由勾股定理得：（x+y）2＝（y﹣x）2+，整理得y＝，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式是y＝，故答案為：y＝．

7．解：設(shè)⊙M與y軸相切于E，連接EM并延長(zhǎng)交BC于H，過(guò)P作PF⊥x軸于F，延長(zhǎng)FP交EH于D，∵AC為⊙M直徑，∴BC⊥AB，∵AC＝10，AB＝6，∴BC＝8，∵⊙M與y軸相切，∴EM⊥y軸，∴四邊形OEDF是矩形，∴OE＝BH＝DF，ED＝OF，ED∥OF，∵AM＝CM，∴MH＝AB＝3，BH＝DF＝4，∵M(jìn)P⊥MQ，NQ平分∠MNB，∴MN＝BN，設(shè)MN＝BN＝x，∴NH＝4﹣x，∵M(jìn)H2+HN2＝MN2，∴x2＝32+（4﹣x）2，解得：x＝，∴MN＝BN＝，∴HN＝，∵HN∥PD，∴△MHN∽△MDP，∴，∴＝＝，∴MD＝，PD＝，∴DE＝EM+MD＝，PF＝DF﹣PD＝，∴點(diǎn)P坐標(biāo)是（，），故答案為：（，）．

8．解：連接OB，如圖，∵OA＝OB＝2，OC＝1，∴cos∠BOC＝＝，∴∠BOC＝60°，設(shè)扇形OAB圍成圓錐的底面半徑為r，∴2πr＝，解得r＝，即扇形OAB圍成圓錐的底面半徑為．

故答案為．

9．解：∵菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∴AB＝BC＝2，∵AB＝AC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝60°，∴BD＝BC＝2，∴圖中陰影部分的面積為：2（﹣）＝﹣2．

故答案為：﹣2．

10．解：連接OE、AE，∵點(diǎn)C為OA的中點(diǎn)，∴EO＝2OC，∴∠CEO＝30°，∠EOC＝60°，∴△AEO為等邊三角形，∴S扇形AOE＝＝，∴S陰影＝S扇形AOB﹣S扇形COD﹣（S扇形AOE﹣S△COE）

＝﹣﹣（﹣×）

＝16π﹣4π﹣+8

＝+8，故答案為：+8．

11．解：作AM⊥BC于M，∵∠BAC＝105°，∠ACB＝45°，∴∠CAM＝45°，∴∠BAM＝60°，∴MC＝AM，BM＝AM，∴（1+）AM＝BC＝2，∴AM＝﹣1，∴AC＝＝﹣，∴扇形BCE的面積是＝＝π，S△CDE＝S△ABC＝×2×（﹣1）＝﹣1，S扇形CAD＝?π＝π．

故S陰影部分＝S扇形BCE+S△CAD﹣S△ABC﹣S扇形CAD＝S扇形BCE﹣S扇形CAD＝π﹣π＝π．

故答案為π．

12．解：連接OB、OC，如圖，∵∠BOC＝2∠A＝90°，而OB＝OC，∴△OBC為等腰直角三角形，∴OB＝BC＝3，∴⊙O的直徑為6．

故答案為：6．

13．解：如圖，延長(zhǎng)AO，交⊙O于F，連接BF，∵AF是直徑，∴∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠ADC，又∵∠ACB＝∠F，∴∠EAC＝∠BAF，∴＝，∴CE＝BF＝2，∵cos∠EAC＝，∴cos∠BAF＝＝，設(shè)AF＝10x，AB＝3x，∵AF2＝AB2+BF2，∴100x2＝4+90x2，∴x＝，∴AB＝6，∴△OAB的面積＝S△ABF＝××AB×BF＝3，故答案為3．

14．解：連接AC，∵AB＝AC＝BC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，∵AD∥BC，∴∠BAD＝120°，∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴AE＝AB＝＝2，在Rt△BCE中，∠EBC＝60°，∴CE＝BC＝×4＝2，∴陰影部分的面積＝扇形BOD的面積﹣梯形ADCE的面積

＝﹣（2+4）×2

＝π﹣6．

故答案為π﹣6．

15．解：連接AC，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝6，∵∠B＝60°，E為BC的中點(diǎn)，∴CE＝BE＝3＝CF，△ABC是等邊三角形，AB∥CD，∵∠B＝60°，∴∠BCD＝180°﹣∠B＝120°，由勾股定理得：AE＝＝3，∴S△AEB＝S△AEC＝×6×3×＝4.5＝S△AFC，∴陰影部分的面積S＝S△AEC+S△AFC﹣S扇形CEF＝4.5+4.5﹣＝9﹣3π，故答案為：9﹣3π．

16．解：設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為r，正六邊形的內(nèi)角為＝120°，∵陰影部分的面積為24π，∴＝24π，解得r＝6，則正六邊形的邊長(zhǎng)為6，連接AE，過(guò)F作FH⊥AE于H，∵FA＝FE，∴∠AFH＝AFE＝60°，AH＝EH，∴AH＝AF?sin60°＝6×＝3，∴AE＝6，故答案為：6．

17．解：∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠B+∠BCD＝90°，∴∠B＝∠ACD，∵cos∠ACD＝，BC＝6，∴cosB＝cos∠ACD＝，∴BD＝，由勾股定理得：CD＝＝＝，∴，∴AC＝8．

故答案為8．

18．解：如圖，連接GC，GE．

在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝2，∴AC＝BC?tan30°＝2，∴AB＝2AC＝4，∵CG＝CE＝EG＝CA＝2，∴△ECG是等邊三角形，∴∠GCD＝∠ACD＝60°,∴∠ACG＝∠GCD＝∠DCD＝30°,∴S陰＝S扇形GCD+（S扇形CEG﹣S△CEG）＝+（﹣×22）＝π﹣，故答案為：π﹣．

19．解：連接OO1、AO1、BO1，作O1

D⊥OB于D，O1

E⊥AB于E，O1

F⊥OA于F，如圖所示：

則O1

D＝O1

E＝O1

F＝r1，∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，∴B（0，2），A（2，0），則S△OO1B＝×OB×r1＝r1，S△AO1O＝×AO×r1＝r1

S△AO1B＝×AB×r1＝××r1＝2r1

S△AOB＝×2×2＝2；

∵S△AOB＝S△OO1B+S△AO1O+S△AO1B＝（3+）r1＝2，∴r1＝＝﹣1；

同理得：r2＝，r3＝，…，∴rn＝，依此類推可得：⊙O2020的半徑r2020＝．

故答案為：．

20．解：連接DD′，如圖，∵點(diǎn)D與點(diǎn)D′關(guān)于AB對(duì)稱，∴DD′⊥AB，∵D′為的中點(diǎn)，∴⊙O的圓心O在DD′，連接OA、OB、OC，∵∠AOB＝2∠C＝2×80°＝160°，∴∠AOD′＝∠BOD′＝80°，∴∠BAD′＝∠BOD′＝40°，∵AB垂直平分DD′，∴∠BAC＝∠BAD′＝40°，∴∠BOC＝2∠BAC＝80°，∴的長(zhǎng)＝＝π．

故答案為π．

21．解：應(yīng)分為兩種情況：

點(diǎn)A在優(yōu)弧BC上時(shí)，∠BAC＝40°；

點(diǎn)A在劣弧BC上時(shí)，∠BAC＝140°；

所以∠BAC的大小為40°或140°．

故答案為：40°或140°．

22．解：連接CD，∵OC＝OD，∠COD＝60°，∴△OCD是等邊三角形，∴OC＝OD＝CD＝3cm，∵AC＝BD＝12cm，∴OA＝OC+AC＝15cm，∴圖中擺盤(pán)的面積是：＝36π（cm2），故答案為：36πcm2．

23．解：如圖，連接OE，OF，∵半圓O與AD，CD分別切于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，∴OE⊥AD，OF⊥CD，∴∠AEO＝90°，∵∠A＝45°，∴∠AOE＝45°，∴OE＝AE＝OB＝OF＝，∴OA＝＝2，∴CD＝AB＝OA+OB＝2+，∴S陰影＝S平行四邊形ABCD﹣S半圓﹣（S△AOE﹣S扇形EOG）

＝（2+）×﹣×（）2π﹣（×﹣

＝2+2﹣π﹣1+

＝2+1﹣．

所以圖中陰影部分的面積為2+1﹣．

故答案為：2+1﹣．

24．解：如圖，連接OB．

∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝35°，∴∠AOB＝110°，∴∠P＝∠AOB＝55°，當(dāng)點(diǎn)P在劣弧AB上時(shí)，∠AP′B＝180°﹣∠APB＝125°，故答案為：55°或125°．

25．解：（1）∵AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E為⊙O上一點(diǎn)，AE＝BE，∴∠AEB＝90°，∠EBA＝∠EAB＝45°，∵＝，∴∠BDE＝∠EAB＝45°，∵∠CBE＝∠BDE，∴∠CBE＝45°，∴∠CBO＝∠EBA+∠CBE＝90°，∴OB⊥BC，∴BC是⊙O的切線，故（1）正確；

（2）∵BD平分∠ABE，∴∠EBD＝∠DBA，又∠EBD＝∠EAD，∴∠DBA＝∠EAD，而∠FDA＝∠ADB，∴△FDA∽△ADB，∴＝，∴AD2＝DF?BD，故（2）正確；

（3）連接OD，如圖：

∵∠DOA＝2∠DBA＝∠EBA＝45°，OA＝AB＝6，∴＝＝π，而AD＜，∴AD＜π，故（3）不正確；

（4）∵∠M+∠DBM＝∠EDB＝∠EAB＝45°，∠EBD+∠DBM＝∠EBA＝45°，∴∠EBD＝∠M，∵∠EBD＝∠EAD，∴∠M＝∠EAD，∵∠DEA＝∠AEM，∴△DEA∽△AEM，∴＝，∴DE?EM＝AE2，在Rt△ABE中，AE＝AB?sin∠EBA＝12×sin45°＝6，∴DE?EM＝72，故（4）正確，故答案為：（1）（2）（4）．