一元二次方程

一、單選題

1．下列方程中屬于一元二次方程的是（）

A．

B．

C．

D．

2．若x＝1是方程x2+ax﹣2＝0的一個根，則a的值為（）

A．0

B．1

C．2

D．3

3．關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，則滿足條件的正整數(shù)的個數(shù)是（）

A．6

B．7

C．8

D．9

4．關(guān)于的方程（為常數(shù)）無實數(shù)根，則點在（）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

5．已知直線不經(jīng)過第一象限，則關(guān)于的方程實數(shù)根的個數(shù)是（）

A．0個

B．1個

C．2個

D．1個或2個

6．a(chǎn)是方程x2+x﹣1＝0的一個根，則代數(shù)式﹣2a2﹣2a+2020的值是（）

A．2018

B．2019

C．2020

D．2021

7．一元二次方程（x+1）2﹣2（x﹣1）2＝7的根的情況是（）

A．無實數(shù)根

B．有一正根一負(fù)根

C．有兩個正根

D．有兩個負(fù)根

8．已知，是一元二次方程兩個根，則的值為（）

A．

B．．

C．

D．

9．如果關(guān)于的方程有正數(shù)解，且關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則符合條件的整數(shù)的值是（）

A．-1

B．0

C．1

D．-1或1

10．定義新運算“”：對于任意實數(shù)a，b，都有，例如．若（k為實數(shù)）是關(guān)于x的方程，則它的根的情況為（）

A．有一個實數(shù)根

B．有兩個相等的實數(shù)根

C．有兩個不相等的實數(shù)根

D．沒有實數(shù)根

11．為了促使藥品及醫(yī)用耗材的價格回歸合理水平，減輕群眾就醫(yī)負(fù)擔(dān)，國家近幾年大力推進帶量采購制度改革，在改革推進的過程中，某藥品經(jīng)過兩次降價，每瓶零售價由100元降為81元，已知兩次降價的百分率都為x，那么x滿足的方程是（）

A．

B．

C．

D．

12．如圖，在長為32米、寬為12米的矩形地面上修建如圖所示的道路（圖中的陰影部分）余下部分鋪設(shè)草坪，要使得草坪的面積為300平方米，則可列方程為（）

A．

B．

C．

D．

13．兩個關(guān)于的一元二次方程和，其中，是常數(shù)，且，如果是方程的一個根，那么下列各數(shù)中，一定是方程的根的是（）

A．2020

B．

C．-2020

D．

二、填空題

14．若方程，滿足則方程必有一根為________．

15．若關(guān)于的一元二次方程的一個解是，則的值是__________．

16．如圖是一塊矩形鐵皮，將四個角各剪去一個邊長為2米的正方形后剩下的部分做成一個容積為96立方米的無蓋長方體箱子，已知長方體箱子底面的長比寬多2米，則矩形鐵皮的面積為____________平方米．

17．某學(xué)校生物興趣小組在該?？盏厣蠂艘粔K面積為200m2的矩形試驗田，用來種植蔬菜．如圖，試驗田一面靠墻，墻長35m，另外三面用49m長的籬圍成，其中一邊開有一扇1m寬的門（不包括籬笆）．設(shè)試驗田垂直于墻的一邊AB的長為xm，則所列方程為___________________________．

18．如圖1，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是個小正方形，這個圖形是我國漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．在此圖形中連接四條線段得到如圖2的圖案，記陰影部分的面積為S1，空白部分的面積為S2，大正方形的邊長為m，小正方形的邊長為n，若，則的值為______________．

三、解答題

19．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0．

（1）求證：無論m取何值，原方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）若已知方程的一個根為﹣2，求方程的另一個根以及m的值．

20．若關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m＝2有實數(shù)根．

（1）求m的取值范圍；

（2）如果m是符合條件的最小整數(shù)，且一元二次方程（k+1）x2+x+k﹣3＝0與方程

（m﹣1）x2﹣2mx+m＝2有一個相同的根，求此時k的值．

21．為響應(yīng)“把中國人的飯碗牢牢端在自己手中”的號召，確保糧食安全，優(yōu)選品種，提高產(chǎn)量，某農(nóng)業(yè)科技小組對原有的玉米品種進行改良種植研究．在保持去年種植面積不變的情況下，預(yù)計玉米平均畝產(chǎn)量將在去年的基礎(chǔ)上增加．因為優(yōu)化了品種，預(yù)計每千克售價將在去年的基礎(chǔ)上上漲，全部售出后預(yù)計總收入將增加．求的值．

22．某商店準(zhǔn)備進一批季節(jié)性小家電，單價為每個40元，經(jīng)市場預(yù)測，銷售定價為每個52元時，可售出180個，定價每增加1元，銷售量凈減少10個，定價每減少1元，銷售量凈增加10個，因受庫存的影響，每批次進貨個數(shù)不超過180個，商店準(zhǔn)備獲利2000元．

（1）該商店考慮漲價還是降價？請說明理由．

（2）應(yīng)進貨多少個？定價為每個多少元？

參考答案

1．A

解：A、∵，∴，根據(jù)一元二次方程的定義A滿足條件，故A正確；

B、分母中有未知數(shù)，不是整式方程，是分式方程,不選B；

C、二次項系數(shù)為a是否為0，不確定，當(dāng)=0，b≠0時，一元一次方程，當(dāng)時是一元二次方程，不選C；

D、沒有二次項，不是一元二次方程，不選D．

2．B

解：把x＝1代入方程x2+ax﹣2＝0得1+a﹣2＝0，解得a＝1．

3．B

解：

關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，且

且

又為正整數(shù)，所以滿足條件的值有個，4．A

解：∵a＝1，b＝?2，c＝a，∴△＝b2?4ac＝（?2）2?4×1×a＝4?4a＜0，解得：a＞1，∴點（a，a＋1）在第一象限，5．D

∵直線不經(jīng)過第一象限，∴a=0或a＜0，當(dāng)a＝0時，方程變形為4x+1=0，是一元一次方程，故由一個實數(shù)根；

當(dāng)a＜0時，方程是一元二次方程，且△=，∵a＜0，∴-4a＞0,∴16-4a＞16＞0,∴△＞0,故方程有兩個不相等的實數(shù)根，綜上所述，方程有一個實數(shù)根或兩個不相等的實數(shù)根，6．A

解：∵a是方程x2+x﹣1＝0的一個根，∴a2+a﹣1＝0，即a2+a＝1，∴﹣2a2﹣2a+2020＝﹣2（a2+a）+2020＝﹣2×1+2020＝2018．

7．C

解：∵（x+1）2﹣2（x﹣1）2＝7，∴x2+2x+1﹣2（x2﹣2x+1）＝7，整理得：﹣x2+6x﹣8＝0，則x2﹣6x+8＝0，（x﹣4）（x﹣2）＝0，解得：x1＝4，x2＝2，故方程有兩個正根．

8．A

解：∵，是一元二次方程兩個根，∴由根與系數(shù)的關(guān)系得，，∴，9．A

解：，去分母得：

因為方程有正數(shù)解，所以

＞

＜

又

綜上：＜且

關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，＞

且

＞且

綜上：＜＜且且

又因為為整數(shù)，10．C

∵，∴，∴變形為，∴△＝

＝＞0，∴原方程有兩個不相等的實數(shù)根，11．A

∵某藥品經(jīng)過兩次降價，每瓶零售價由100元降為81元，已知兩次降價的百分率都為x，∴，12．C

解：根據(jù)題意得：；

故答案為：．

13．C

∵，a+c=0

∴，∵ax2+bx+c=0

和cx2+bx+a=0，∴，∴，∵是方程的一個根，∴是方程的一個根，∴是方程的一個根，即是方程的一個根

14．-3

當(dāng)時，代入原方程得：，即：，∴原方程必有一根為，15．2022

解：由題意可得：

a+b+1=0，∴a+b=-1，∴2021-a-b=2021-(a+b)=2021+1=2022，16．120

解：設(shè)矩形鐵皮的長為x米，則寬為（x-2）米，由題意，得

(x-4)(x-2-4)×2=96，解得：x1=12，x2=-2（舍去），所以矩形鐵皮的寬為：12-2=10米，矩形鐵皮的面積是：12×10=120（平方米）．

答：矩形鐵皮的面積是120平方米．

17．x（49+1-2x）=200

解：設(shè)當(dāng)試驗田垂直于墻的一邊長為xm時，則另一邊的長度為（49+1﹣2x）m，依題意得：x（49+1﹣2x）＝200，18．

解：∵，大正方形面積為m2，∴S2＝m2，設(shè)圖2中AB=x，依題意則有：

4?S△ADC＝m2，即4××x2＝m2，解得：x1=m，x2＝?m（負(fù)值舍去）．

在Rt△ABC中，AB2＋CB2＝AC2，∴(m)2＋(m＋n)2＝m2，解得：n1=，n2＝?(負(fù)值舍去)，∴，19．（1）見解析；（2）方程的另一根為，m的值為

（1）證明：∵△＝（m+3）2﹣4×1×（m+1）

＝m2+6m+9﹣4m﹣4

＝m2+2m+1+4

＝（m+1）2+4＞0，∴無論m取何值，原方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）設(shè)方程的另外一根為a，根據(jù)題意，得：，解得：，所以方程的另一根為，m的值為．

20．（1）m≥且m≠1，（2）k＝3

解：（1）化為一般式：（m﹣1）x2﹣2mx+m﹣2＝0，∴，解得：m≥且m≠1

（2）由（1）可知：m是最小整數(shù)，∴m＝2，∴（m﹣1）x2﹣2mx+m＝2化為x2﹣4x＝0，解得：x＝0或x＝4，∵（k+1）x2+x+k﹣3＝0與（m﹣1）x2﹣2mx+m＝2有一個相同的根，∴當(dāng)x＝0時，此時k﹣3＝0，k＝3，當(dāng)x＝4時，16（k+1）+4+k-3＝0，∴k＝﹣1，∵k+1≠0，∴k＝﹣1舍去，綜上所述，k＝3．

21．10．

解：根據(jù)題意可得：

解之得：，（不合題意，舍去）

．

22．（1）考慮漲價，見解析；（2）定價為60元，應(yīng)進貨100個

解：（1）考慮漲價，理由如下：

設(shè)每個商品的定價為元，若考慮漲價，則＞

則進貨為個．

所以，解得，;

當(dāng)時，是降價，不合題意，舍去；

當(dāng)時，個＜180個，符合題意；

若考慮降價，則＜由題意得；

解得：（是漲價，不合題意，舍去）

當(dāng)時，銷售量為：＞，不合題意，綜上：商店準(zhǔn)備獲利2000元，且每批次進貨個數(shù)不超過180個，應(yīng)該考慮漲價．

（2）由（1）得：商店若準(zhǔn)備獲利2000元，且每批次進貨個數(shù)不超過180個，則定價為60元，應(yīng)進貨100個．

答：商店若準(zhǔn)備獲利2000元，則定價為60元，應(yīng)進貨100個．