圓

知識(shí)點(diǎn)一、圓的定義及有關(guān)概念[來源:學(xué)&科&網(wǎng)Z&X&X&K]

1、圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓。

2、有關(guān)概念：弦、直徑;弧、等弧、優(yōu)弧、劣弧、半圓;弦心距;等圓、同圓、同心圓。

圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧。連接圓上任意兩點(diǎn)間的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，直徑是最長的弦。

在同圓或等圓中，能夠重合的兩條弧叫做等弧。

例

P為⊙O內(nèi)一點(diǎn)，OP=3cm，⊙O半徑為5cm，則經(jīng)過P點(diǎn)的最短弦長為________；最長弦長為_______．

解題思路：圓內(nèi)最長的弦是直徑，最短的弦是和OP垂直的弦，答案：10

cm，8

cm.知識(shí)點(diǎn)二、平面內(nèi)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系

平面內(nèi)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有三種：點(diǎn)在圓外、點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓內(nèi)

當(dāng)點(diǎn)在圓外時(shí)，d＞r；反過來，當(dāng)d＞r時(shí)，點(diǎn)在圓外。

當(dāng)點(diǎn)在圓上時(shí)，d＝r；反過來，當(dāng)d＝r時(shí)，點(diǎn)在圓上。

當(dāng)點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)，d＜r；反過來，當(dāng)d＜r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)。

例

如圖，在中，直角邊，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，的長為半徑畫圓，則點(diǎn)在圓A的_________，點(diǎn)在圓A的_________．

解題思路：利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，答案：外部，內(nèi)部

練習(xí)：在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，圓的半徑為5，圓心的坐標(biāo)為．試判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．

答案：點(diǎn)在圓O上．

知識(shí)點(diǎn)三、圓的基本性質(zhì)

1圓是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是任意一條過圓心的直線。

2、垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧。

垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦對(duì)的弧。

3、圓具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，特別的圓是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是圓心。

圓心角定理：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。

4、圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。[來源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK]

圓周角定理推論１：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等。

圓周角定理推論２：直徑所對(duì)的圓周角是直角；９０°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。

例1

如圖，在半徑為5cm的⊙O中，圓心O到弦AB的距離為3cm，則弦AB的長是（）

A．4cm

B．6cm

C．8cm

D．10cm

解題思路：在一個(gè)圓中，若知圓的半徑為R，弦長為a，圓心到此弦的距離為d，根據(jù)垂徑定理，有R2=d2+（）2，所以三個(gè)量知道兩個(gè)，就可求出第三個(gè)．答案C

例2、如圖，A、B、C、D是⊙O上的三點(diǎn)，∠BAC=30°，則∠BOC的大小是（）

A、60°

B、45°

C、30°

D、15°

解題思路：運(yùn)用圓周角與圓心角的關(guān)系定理，答案：A

例3、如圖1和圖2，MN是⊙O的直徑，弦AB、CD相交于MN上的一點(diǎn)P，∠APM=∠CPM．

（1）由以上條件，你認(rèn)為AB和CD大小關(guān)系是什么，請(qǐng)說明理由．

（2）若交點(diǎn)P在⊙O的外部，上述結(jié)論是否成立？若成立，加以證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．

(1)

(2)

解題思路：（1）要說明AB=CD，只要證明AB、CD所對(duì)的圓心角相等，只要說明它們的一半相等．

上述結(jié)論仍然成立，它的證明思路與上面的題目是一模一樣的．

解：（1）AB=CD

理由：過O作OE、OF分別垂直于AB、CD，垂足分別為E、F

∵∠APM=∠CPM

∴∠1=∠2

OE=OF

連結(jié)OD、OB且OB=OD

∴Rt△OFD≌Rt△OEB

∴DF=BE

根據(jù)垂徑定理可得：AB=CD

（2）作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足為E、F

∵∠APM=∠CPN且OP=OP，∠PEO=∠PFO=90°

∴Rt△OPE≌Rt△OPF

∴OE=OF

連接OA、OB、OC、OD

易證Rt△OBE≌Rt△ODF，Rt△OAE≌Rt△OCF

∴∠1+∠2=∠3+∠4

∴AB=CD

例4．如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到C，使AC=AB，BD與CD的大小有什么關(guān)系？為什么？

解題思路：BD=CD，因?yàn)锳B=AC，所以這個(gè)△ABC是等腰，要證明D是BC的中點(diǎn)，只要連結(jié)AD證明AD是高或是∠BAC的平分線即可．

解：BD=CD

理由是：如圖24－30，連接AD

∵AB是⊙O的直徑

∴∠ADB=90°即AD⊥BC

又∵AC=AB

∴BD=CD

知識(shí)點(diǎn)四、圓與三角形的關(guān)系

1、不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。

2、三角形的外接圓：經(jīng)過三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓。

3、三角形的外心：三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，即三角形外接圓的圓心。

4、三角形的內(nèi)切圓：與三角形的三邊都相切的圓。

5、三角形的內(nèi)心：三角形三條角平分線的交點(diǎn)，即三角形內(nèi)切圓的圓心。

例1

如圖，通過防治“非典”，人們?cè)鰪?qiáng)了衛(wèi)生意識(shí)，大街隨地亂扔生活垃圾的人少了，人們自覺地將生活垃圾倒入垃圾桶中，如圖24－49所示，A、B、C為市內(nèi)的三個(gè)住宅小區(qū)，環(huán)保公司要建一垃圾回收站，為方便起見，要使得回收站建在三個(gè)小區(qū)都相等的某處，請(qǐng)問如果你是工程師，你將如何選址．

解題思路：

連結(jié)AB、BC，作線段AB、BC的中垂線，兩條中垂線的交點(diǎn)即為垃圾回收站所在的位置．

例2

如圖，點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)切圓的圓心，若∠BAC=80°，則∠BOC=（）

A．130°

B．100°

C．50°

D．65°

解題思路：此題解題的關(guān)鍵是弄清三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，答案A

例3

如圖，Rt△ABC，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，則它的外心與頂點(diǎn)C的距離為（）．

A．5

cm

B．2.5cm

C．3cm

D．4cm

解題思路：直角三角形外心的位置是斜邊的中點(diǎn)，答案

B

知識(shí)點(diǎn)五、直線和圓的位置關(guān)系：相交、相切、相離

當(dāng)直線和圓相交時(shí)，d＜r；反過來，當(dāng)d＜r時(shí)，直線和圓相交。[來源:Zxxk.Com]

當(dāng)直線和圓相切時(shí)，d＝r；反過來，當(dāng)d＝r時(shí)，直線和圓相切。

當(dāng)直線和圓相離時(shí)，d＞r；反過來，當(dāng)d＞r時(shí)，直線和圓相離。

切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的直徑

切線的判定定理：經(jīng)過直徑的一端，并且垂直于這條直徑的直線是圓的切線。

切線長：在經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)到切點(diǎn)之間的線段的長叫做這點(diǎn)到圓的切線長。

切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和圓外這點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。

例1、在中，BC=6cm，∠B=30°，∠C=45°，以A為圓心，當(dāng)半徑r多長時(shí)所作的⊙A與直線BC相切？相交？相離？

解題思路：作AD⊥BC于D

在中，∠B=30°

∴

在中，∠C=45°

∴

CD=AD

∵

BC=6cm

∴

∴

∴

當(dāng)時(shí)，⊙A與BC相切；當(dāng)時(shí)，⊙A與BC相交；當(dāng)時(shí)，⊙A與BC相離。

例2．如圖，AB為⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，D在AB的延長線上，且∠DCB=∠A．

（1）CD與⊙O相切嗎？如果相切，請(qǐng)你加以證明，如果不相切，請(qǐng)說明理由．

（2）若CD與⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半徑．

解題思路：（1）要說明CD是否是⊙O的切線，只要說明OC是否垂直于CD，垂足為C，因?yàn)镃點(diǎn)已在圓上．

由已知易得：∠A=30°，又由∠DCB=∠A=30°得：BC=BD=10

解：（1）CD與⊙O相切

理由：①C點(diǎn)在⊙O上（已知）

②∵AB是直徑

∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°

∵∠A=∠OCA且∠DCB=∠A

∴∠OCA=∠DCB

∴∠OCD=90°

綜上：CD是⊙O的切線．

（2）在Rt△OCD中，∠D=30°

∴∠COD=60°

∴∠A=30°

∴∠BCD=30°

∴BC=BD=10

∴AB=20，∴r=10

答：（1）CD是⊙O的切線，（2）⊙O的半徑是10．

知識(shí)點(diǎn)六、圓與圓的位置關(guān)系

重點(diǎn)：兩個(gè)圓的五種位置關(guān)系中的等價(jià)條件及它們的運(yùn)用．

難點(diǎn)：探索兩個(gè)圓之間的五種關(guān)系的等價(jià)條件及應(yīng)用它們解題．

外離：兩圓沒有公共點(diǎn)，一個(gè)圓上所有的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部相離：

內(nèi)含：兩圓沒有公共點(diǎn)，一個(gè)圓上所有的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部

相切：

外切：兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，除公共點(diǎn)外一個(gè)圓上所有的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部

內(nèi)切：兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，除公共點(diǎn)外一個(gè)圓上所有的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部

相交：兩圓只有兩個(gè)公共點(diǎn)。

設(shè)兩圓的半徑分別為r1、r2，圓心距（兩圓圓心的距離）為d，則有兩圓的位置關(guān)系，d與r1和r2之間的關(guān)系．

外離d>r1+r2

外切d=r1+r2

相交│r1－r2│

內(nèi)切d=│r1－r2│

內(nèi)含0≤d<│r1－r2│（其中d=0，兩圓同心）

例1．兩個(gè)同樣大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如圖1所示（點(diǎn)O，O′是圓心），分隔兩個(gè)肥皂泡的肥皂膜PQ成一條直線，TP、NP分別為兩圓的切線，求∠TPN的大?。?/p>

（1）

(2)

解題思路：要求∠TPN，其實(shí)就是求∠OPO′的角度，很明顯，∠POO′是正三角形，如圖2所示．

解：∵PO=OO′=PO′

∴△PO′O是一個(gè)等邊三角形

∴∠OPO′=60°

又∵TP與NP分別為兩圓的切線，∴∠TPO=90°，∠NPO′=90°

∴∠TPN=360°－2×90°－60°=120°

例2．如圖1所示，⊙O的半徑為7cm，點(diǎn)A為⊙O外一點(diǎn)，OA=15cm，求：（1）作⊙A與⊙O外切，并求⊙A的半徑是多少？

(1)

(2)

(2）作⊙A與⊙O相內(nèi)切，并求出此時(shí)⊙A的半徑．

解題思路：（1）作⊙A和⊙O外切，就是作以A為圓心的圓與⊙O的圓心距d=rO+rA；（2）作OA與⊙O相內(nèi)切，就是作以A為圓心的圓與⊙O的圓心距d=rA－rO．

解：如圖2所示，（1）作法：以A為圓心，rA=15－7=8為半徑作圓，則⊙A的半徑為8cm

（2）作法：以A點(diǎn)為圓心，rA′=15+7=22為半徑作圓，則⊙A的半徑為22cm

例3．如圖所示，點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，3），OA半徑為1，點(diǎn)B在x軸上．

（1）若點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，0），⊙B半徑為3，試判斷⊙A與⊙B位置關(guān)系；

_

A

_

y

_

x

_

O

（2）若⊙B過M（－2，0）且與⊙A相切，求B點(diǎn)坐標(biāo)．

（1）AB=5>1+3，外離．

（2）設(shè)B（x，0）x≠－2，則AB=，⊙B半徑為│x+2│，①設(shè)⊙B與⊙A外切，則=│x+2│+1，當(dāng)x>－2時(shí)，=x+3，平方化簡得：x=0符題意，∴B（0，0），當(dāng)x<－2時(shí)，=－x－1，化簡得x=4>－2（舍），②設(shè)⊙B與⊙A內(nèi)切，則=│x+2│－1，當(dāng)x>－2時(shí)，=x+1，得x=4>－2，∴B（4，0），當(dāng)x<－2時(shí)，=－x－3，得x=0，知識(shí)點(diǎn)七、正多邊形和圓

重點(diǎn)：講清正多邊形和圓中心正多邊形半徑、中心角、弦心距、邊長之間的關(guān)系．

難點(diǎn)：使學(xué)生理解四者：正多邊形半徑、中心角、弦心距、邊長之間的關(guān)系．[來源:學(xué),科,網(wǎng)]

正多邊形的中心：所有對(duì)稱軸的交點(diǎn)；

正多邊形的半徑：正多邊形外接圓的半徑。

正多邊形的邊心距：正多邊形內(nèi)切圓的半徑。

正多邊形的中心角：正多邊形每一條邊所對(duì)的圓心角。

正n邊形的n條半徑把正n邊形分成n個(gè)全等的等腰三角形，每個(gè)等腰三角形又被相應(yīng)的邊心距分成兩個(gè)全等的直角三角形。

例1．如圖，已知正六邊形ABCDEF，其外接圓的半徑是a，求正六邊形的周長和面積．

解題思路：要求正六邊形的周長，只要求AB的長，已知條件是外接圓半徑，因此自然而然，邊長應(yīng)與半徑掛上鉤，很自然應(yīng)連接OA，過O點(diǎn)作OM⊥AB垂于M，在Rt△AOM中便可求得AM，又應(yīng)用垂徑定理可求得AB的長．正六邊形的面積是由六塊正三角形面積組成的．

解：如圖所示，由于ABCDEF是正六邊形，所以它的中心角等于=60°，△OBC是等邊三角形，從而正六邊形的邊長等于它的半徑．

因此，所求的正六邊形的周長為6a

在Rt△OAM中，OA=a，AM=AB=a

利用勾股定理，可得邊心距

OM==a

∴所求正六邊形的面積=6××AB×OM=6××a×a=a2

例2．在直徑為AB的半圓內(nèi)，劃出一塊三角形區(qū)域，如圖所示，使三角形的一邊為AB，頂點(diǎn)C在半圓圓周上，其它兩邊分別為6和8，現(xiàn)要建造一個(gè)內(nèi)接于△ABC的矩形水池DEFN，其中D、E在AB上，如圖24－94的設(shè)計(jì)方案是使AC=8，BC=6．

（1）求△ABC的邊AB上的高h(yuǎn)．

（2）設(shè)DN=x，且，當(dāng)x取何值時(shí)，水池DEFN的面積最大？

（3）實(shí)際施工時(shí)，發(fā)現(xiàn)在AB上距B點(diǎn)1．85的M處有一棵大樹，問：這棵大樹是否位于最大矩形水池的邊上？如果在，為了保護(hù)大樹，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出另外的方案，使內(nèi)接于滿足條件的三角形中欲建的最大矩形水池能避開大樹．

解題思路：要求矩形的面積最大，先要列出面積表達(dá)式，再考慮最值的求法，初中階段，尤其現(xiàn)學(xué)的知識(shí)，應(yīng)用配方法求最值．（3）的設(shè)計(jì)要有新意，應(yīng)用圓的對(duì)稱性就能圓滿解決此題．

解：（1）由AB·CG=AC·BC得h==4.8

（2）∵h(yuǎn)=且DN=x

∴NF=

則S四邊形DEFN=x·（4.8－x）=－x2+10x=－（x2－x）

=－

[（x－）2－]=－（x－2.4）2+12

∵－（x－2.4）2≤0

∴－（x－2.4）2+12≤12

且當(dāng)x=2.4時(shí)，取等號(hào)

∴當(dāng)x=2.4時(shí)，SDEFN最大．

（3）當(dāng)SDEFN最大時(shí)，x=2.4，此時(shí)，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，在Rt△FEB中，EF=2.4，BF=3．

∴BE==1.8

∵BM=1.85，∴BM>EB，即大樹必位于欲修建的水池邊上，應(yīng)重新設(shè)計(jì)方案．

∵當(dāng)x=2.4時(shí)，DE=5

∴AD=3.2，由圓的對(duì)稱性知滿足條件的另一設(shè)計(jì)方案，如圖所示:

此時(shí)，AC=6，BC=8，AD=1.8，BE=3.2，這樣設(shè)計(jì)既滿足條件，又避開大樹．

知識(shí)點(diǎn)八、弧長和扇形、圓錐側(cè)面積面積

重點(diǎn)：n°的圓心角所對(duì)的弧長L=，扇形面積S扇=、圓錐側(cè)面積面積及其它們的應(yīng)用．

難點(diǎn)：公式的應(yīng)用．

1．n°的圓心角所對(duì)的弧長L=

2．圓心角為n°的扇形面積是S扇形=

3.全面積是由側(cè)面積和底面圓的面積組成的，所以全面積=rL+r2．

例1．操作與證明：如圖所示，O是邊長為a的正方形ABCD的中心，將一塊半徑足夠長，圓心角為直角的扇形紙板的圓心放在O處，并將紙板繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，求證：正方形ABCD的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值a．

解題思路：如圖所示，不妨設(shè)扇形紙板的兩邊與正方形的邊AB、AD分別交于點(diǎn)M、N，連結(jié)OA、OD．

∵四邊形ABCD是正方形

∴OA=OD，∠AOD=90°，∠MAO=∠NDO，又∠MON=90°，∠AOM=∠DON

∴△AMO≌△DNO

∴AM=DN

∴AM+AN=DN+AN=AD=a

特別地，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A（點(diǎn)B）重合時(shí)，點(diǎn)N必與點(diǎn)D（點(diǎn)A）重合，此時(shí)AM+AN仍為定值a．故總有正方形的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值a．

例2．已知扇形的圓心角為120°，面積為300cm2．

（1）求扇形的弧長；

（2）若將此扇形卷成一個(gè)圓錐，則這個(gè)圓錐的軸截面面積為多少？

解題思路：（1）由S扇形=求出R，再代入L=求得．（2）若將此扇形卷成一個(gè)圓錐，扇形的弧長就是圓錐底面圓的周長，就可求圓的半徑，其截面是一個(gè)以底是直徑，圓錐母線為腰的等腰三角形．[來源:學(xué)?？?。網(wǎng)Z。X。X。K]

解：（1）如圖所示：

∵300=

∴R=30

∴弧長L==20（cm）

（2）如圖所示：

∵20=20r

∴r=10，R=30

AD==20

∴S軸截面=×BC×AD

=×2×10×20=200（cm2）

因此，扇形的弧長是20cm卷成圓錐的軸截面是200cm2．

最新考題

中考要求及命題趨勢(shì)

1、理解圓的基本概念與性質(zhì)。

2、求線段與角和弧的度數(shù)。

3、圓與相似三角形、全等三角形、三角函數(shù)的綜合題。

4、直線和圓的位置關(guān)系。

5、圓的切線的性質(zhì)

和判定。

6、三角形內(nèi)切圓以及三角形內(nèi)心的概念。

7、圓和圓的五種位置關(guān)系。

8、兩圓的位置關(guān)系與兩個(gè)圓半徑的和或差與圓心距之間的關(guān)系式。兩圓相切、相交的性質(zhì)。

9、掌握弧長、扇形面積計(jì)算公式。

10、理解圓柱、圓錐的側(cè)面展開圖。

11、掌握?qǐng)A柱、圓錐的側(cè)面積和全面積計(jì)算。

2010年中考將繼續(xù)考查圓的有關(guān)性質(zhì)，其中圓與三角形相似（全等）。三角函數(shù)的小綜合題為考查重點(diǎn)；直線和圓的關(guān)系作為考查重點(diǎn)，其中直線和圓的位置關(guān)系的開放題、探究題是考查重點(diǎn)；繼續(xù)考查圓與圓的位置五種關(guān)系。對(duì)弧長、扇形面積計(jì)算以及圓柱、圓錐的側(cè)面積和全面積的計(jì)算是考查的重點(diǎn)。

應(yīng)試對(duì)策

圓的綜合題，除了考切線必須的問題。一般圓主要和前面的相似三角形，和前面大的知識(shí)點(diǎn)接觸。就是說幾何所有的東西都是通的，你學(xué)后面的就自然牽扯到前面的，前面的忘掉了，簡單的東西忘掉了，后面要用就不會(huì)用了，所以幾何前面學(xué)到的知識(shí)、常用知識(shí)，后面隨時(shí)都在用。直線和圓以前的部分是重點(diǎn)內(nèi)容，后面扇形的面積、圓錐、圓柱的側(cè)面積，這些都是必考的，后面都是一些填空題和選擇題，對(duì)于扇形面積公式、圓錐、圓柱的側(cè)面積的公式記住了就可以了。圓這一章，特別是有關(guān)圓的性質(zhì)這兩個(gè)單元，重要的概念、定理先掌握了，你首先要掌握這些，題目就是定理的簡單應(yīng)用，所以概念和定理沒有掌握就談不到應(yīng)用，所以你首先應(yīng)該掌握。掌握之后，再掌握一些這兩章的解題思路和解題方法就可以了。你說你已經(jīng)把一些這個(gè)單元的基本定理都掌握了，那么我可以在這里面介紹一些掌握的解題思路，這樣你把這些都掌握了，解決一些中等難題。都是哪些思路呢？我暫認(rèn)為你基本知識(shí)掌握了，那么，在圓的有關(guān)性質(zhì)這一章，你需要掌握哪些解題思路、解題方法呢？第一，這兩章有三條常用輔助線，一章是圓心距，第二章是直徑圓周角，第三條是切線徑，就是連接圓心和切點(diǎn)的，或者是連接圓周角的距離，這是一條常用的輔助線。有幾個(gè)分析題目的思路，在圓中有一個(gè)非常重要，就是弧、常與圓周角互相轉(zhuǎn)換，那么怎么去應(yīng)用，就根據(jù)題目條件而定。

考查目標(biāo)一、主要是指圓的基礎(chǔ)知識(shí)，包括圓的對(duì)稱性，圓心角與弧、弦之間的相等關(guān)系，圓周角與圓心角之間的關(guān)系，直徑所對(duì)的圓周角是直角，以及垂徑定理等內(nèi)容。這部分內(nèi)容是圓的基礎(chǔ)知識(shí)，學(xué)生要學(xué)會(huì)利用相關(guān)知識(shí)進(jìn)行簡單的幾何推理和幾何計(jì)算

例1、如圖，AB是⊙O的直徑，BC是弦，OD⊥BC于E，交于D．

(1)請(qǐng)寫出五個(gè)不同類型的正確結(jié)論；

(2)若BC=8，ED＝2，求⊙O的半徑．

解題思路：運(yùn)用圓的垂徑定理等內(nèi)容

解：(1)不同類型的正確結(jié)論有：

①BE=CE

;②弧BD=弧CD

③∠BED=90°④∠BOD=∠A;⑤AC∥OD，⑥AC⊥BC;

⑦OE2+BE2=OB2;⑧S△ABC＝BC·OE;⑨△BOD是等腰三角形，⑩△BOE∽△BAC;

(2)∵OD⊥BC，∴BE＝CE=BC=4．

設(shè)⊙O的半徑為R，則OE=OD－DE=R－2．

在Rt△OEB中，由勾股定理得

OE2＋BE2=OB2，即(R－2)2＋42=R2．解得R＝5．

∴

⊙

O的半徑為5

例2.已知：如圖等邊內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)是劣弧PC上的一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），延長至，使，連結(jié)．

（1）若過圓心，如圖①，請(qǐng)你判斷是什么三角形？并說明理由．

（2）若不過圓心，如圖②，又是什么三角形？為什么？

A

O

C

D

P

B

圖①

A

O

C

D

P

B

圖②

解題思路：（1）為等邊三角形．

理由：為等邊三角形，又在⊙O中

又

．

[來源:Zxxk.Com]

又過圓心，，為等邊三角形．

（2）仍為等邊三角形

理由：先證（過程同上）

又，又

為等邊三角形．

例3.(1)如圖OA、OB是⊙O的兩條半徑，且OA⊥OB，點(diǎn)C是OB延長線上任意一點(diǎn)：過點(diǎn)C作CD切⊙O于點(diǎn)D，連結(jié)AD交DC于點(diǎn)E．求證：CD=CE

(2)若將圖中的半徑OB所在直線向上平行移動(dòng)交OA于F，交⊙O于B’，其他條件不變，那么上述結(jié)論CD=CE還成立嗎?為什么?

(3)若將圖中的半徑OB所在直線向上平行移動(dòng)到⊙O外的CF，點(diǎn)E是DA的延長線與CF的交點(diǎn)，其他條件不變，那么上述結(jié)論CD=CE還成立嗎?為什么

解題思路：本題主要考查圓的有關(guān)知識(shí)，考查圖形運(yùn)動(dòng)變化中的探究能力及推理能力．

解答：(1)證明：連結(jié)OD

則OD⊥CD，∴∠CDE+∠ODA=90°

在Rt△AOE中，∠AEO+∠A=90°

在⊙O中，OA=OD∴∠A=∠ODA，∴∠CDE=∠AEO

[來源:Z|xx|k.Com]

又∵∠AEO=∠CED，∠CDE=∠CED

∴CD=CE

(2)CE=CD仍然成立．

∵原來的半徑OB所在直線向上平行移動(dòng)∴CF⊥AO于F，在Rt△AFE中，∠A+∠AEF=90°．

連結(jié)OD，有∠ODA+∠CDE=90°，且OA=OD

．∠A=∠ODA

∴∠AEF=∠CDE

又∠AEF=∠CED

∴∠CED=∠CDE∴CD=CE

(3)CE=CD仍然成立．

∵原來的半徑OB所在直線向上平行移動(dòng)．AO⊥CF

延長OA交CF于G，在Rt△AEG中，∠AEG+∠GAE=90°

連結(jié)OD，有∠CDA+∠ODA=90°，且OA=OD∴∠ADO=∠OAD=∠GAE

∴∠CDE=∠CED

∴CD=CE

考查目標(biāo)二、主要是指點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系以及圓與圓的位置關(guān)系的相關(guān)內(nèi)容。學(xué)生要學(xué)會(huì)用動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)理解和解決與圓有關(guān)的位置關(guān)系的問題。

例1、是⊙O的直徑，切⊙O于，交⊙O于，連A

B

C

P

O

．若，求的度數(shù)．

解題思路：運(yùn)用切線的性質(zhì)

.切⊙O于是⊙O的直徑，∴．

[來源:學(xué)?？?。網(wǎng)Z。X。X。K]，∴．∴

例2.如圖，四邊形內(nèi)接于⊙O，是⊙O的直徑，垂足為，平分．

（1）求證：是⊙O的切線；

D

E

C

B

O

A

（2）若，求的長．

解題思路：運(yùn)用切線的判定

（1）證明：連接，平分，．

．．

．

D

E

C

B

O

A，．

．是⊙O的切線．

（2）是直徑，．，．

平分，．．

在中，．

在中，．的長是1cm，的長是4cm．

考查目標(biāo)三、主要是指圓中的計(jì)算問題，包括弧長、扇形面積，以及圓柱與圓錐的側(cè)面積和全面積的計(jì)算，這部分內(nèi)容也是歷年中考的必考內(nèi)容之一。學(xué)生要理解圓柱和其側(cè)面展開圖矩形、圓錐和其側(cè)面展開圖扇形之間的關(guān)系。

例1、如圖，已知在⊙O中，AB=，AC是⊙O的直徑，AC⊥BD于F，∠A=30°.(1)求圖中陰影部分的面積；

(2)若用陰影扇形OBD圍成一個(gè)圓錐側(cè)面，請(qǐng)求出這個(gè)圓錐的底面圓的半徑.解題思路：（1）法一：過O作OE⊥AB于E，則AE=AB=2。

F

E

在RtAEO中，∠BAC=30°，cos30°=．

∴OA===4．

又∵OA=OB，∴∠ABO=30°．∴∠BOC=60°．

∵AC⊥BD，∴．∴∠COD

=∠BOC=60°．∴∠BOD=120°．

F

∴S陰影==．

法二：連結(jié)AD．

∵AC⊥BD，AC是直徑，∴AC垂直平分BD。

∴AB=AD，BF=FD?！唷螧AD=2∠BAC=60°，∴∠BOD=120°．

∵BF=AB=2，sin60°=，AF=AB·sin60°=4×=6。

∴OB2=BF2+OF2．即．∴OB=4．∴S陰影=S圓=。

法三：連結(jié)BC．

∵AC為⊙O的直徑，∴∠ABC=90°。

F

∵AB=4，∴

∵∠A=30°，AC⊥BD，∴∠BOC=60°，∴∠BOD=120°．

∴S陰影=π·OA2=×42·π=。

以下同法一。

（2）設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，則周長為2πr，∴

O

①

②

③

∴。

例2.如圖，從一個(gè)直徑是2的圓形鐵皮中剪下一個(gè)圓心角為的扇形．

（1）求這個(gè)扇形的面積（結(jié)果保留）．

（2）在剩下的三塊余料中，能否從第③塊余料中剪出一個(gè)圓作為底面與

此扇形圍成一個(gè)圓錐？請(qǐng)說明理由．

（3）當(dāng)⊙O的半徑為任意值時(shí)，（2）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由．

解題思路：（1）連接，由勾股定理求得：

①

②

③

（2）連接并延長，與弧和交于，弧的長：

圓錐的底面直徑為：，不能在余料③中剪出一個(gè)圓作為底面與此扇形圍成圓錐．

（3）由勾股定理求得：

弧的長：

圓錐的底面直徑為：

且

即無論半徑為何值，·

不能在余料③中剪出一個(gè)圓作為底面與此扇形圍成圓錐．