國(guó)家開(kāi)放大學(xué)電大本科《常微分方程》網(wǎng)絡(luò)課形考任務(wù)4試題及答案

形考任務(wù)4

常微分方程學(xué)習(xí)活動(dòng)4

第二章

基本定理的綜合練習(xí)

本課程形成性考核綜合練習(xí)共3次，內(nèi)容主要分別是第一章初等積分法的綜合練習(xí)、第二章基本定理的綜合練習(xí)、第三章和第四章的綜合練習(xí)，目的是通過(guò)綜合性練習(xí)作業(yè)，同學(xué)們可以檢驗(yàn)自己的學(xué)習(xí)成果，找出掌握的薄弱知識(shí)點(diǎn)，重點(diǎn)復(fù)習(xí)，爭(zhēng)取盡快掌握．

要求：首先請(qǐng)同學(xué)們下載作業(yè)附件文檔并進(jìn)行填寫(xiě)，文檔填寫(xiě)完成后請(qǐng)?jiān)诒敬巫鳂I(yè)頁(yè)面中點(diǎn)擊“去完成”按鈕進(jìn)入相應(yīng)網(wǎng)頁(yè)界面完成任務(wù)，然后請(qǐng)將所做完的作業(yè)文檔以附件的形式上傳到課程上，隨后老師會(huì)在課程中進(jìn)行評(píng)分。

一、填空題

1.方程的任一非零解

不能

與x軸相交．

2．李普希茲條件是保證一階微分方程初值問(wèn)題解惟一的充分

條件．

3.方程+

ysinx

=

ex的任一解的存在區(qū)間必是(-∞,+∞)

．

4．一階顯式方程解的最大存在區(qū)間一定是

開(kāi)區(qū)間

．

5．方程滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是XOY平面

．

6．方程滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是　XOY平面．

7．方程滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是XOY平面．

8．方程滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是---，（或不含x

軸的上半平面）．

9．方程滿足解的存在惟一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是全平面．

10．一個(gè)不可延展解的存在在區(qū)間一定

開(kāi)

區(qū)間．

二、計(jì)算題

1．判斷下列方程在怎樣的區(qū)域上保證初值解存在且惟一？

（1）

（2）

1．解

（1)

因?yàn)榧霸谡麄€(gè)平面上連續(xù),且滿足存在唯一性定理?xiàng)l件,所以在整個(gè)平面上,初值解存在且唯一.（2)

因?yàn)榧霸谡麄€(gè)平面上連續(xù),且滿足存在唯一性定理?xiàng)l件,所以在整個(gè)平面上,初值解存在且唯一.2．

討論方程在怎樣的區(qū)域中滿足定理2.2的條件．并求通過(guò)的一切解．

2.解

因?yàn)榉匠淘谡麄€(gè)平面上連續(xù),除軸外,在整個(gè)平面上有界,所以除軸外在整個(gè)平面上都滿足定理2.1的條件.而后分離變量并積分可求出方程的通解為

其中

另外容易驗(yàn)證是方程的特解.因此通過(guò)的解有無(wú)窮多個(gè),分別是:

3．判斷下列方程是否有奇解？如果有奇解，求出奇解．

（1）

（2）

3．解

（1)

因?yàn)樵诎肫矫嫔线B續(xù),當(dāng)時(shí)無(wú)界,所以如果存在奇解只能是,但不是方程的解,故方程無(wú)奇解.（2)

因?yàn)樵诘膮^(qū)域上連續(xù),當(dāng)時(shí)無(wú)界,所以如果方程有奇解,則奇解只能是

顯然是方程的解,是否為奇解還需要進(jìn)一步討論.為此先求出方程的通解

由此可見(jiàn)對(duì)于軸上點(diǎn)

存在通過(guò)該點(diǎn)的兩個(gè)解:

及

故是奇解.三、證明題

1．試證明：對(duì)于任意的及滿足條件的，方程的解在上存在．

2．設(shè)在整個(gè)平面上連續(xù)有界，對(duì)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，試證明方程的任一解在區(qū)間上有定義．

3．設(shè)在區(qū)間上連續(xù)．試證明方程的所有解的存在區(qū)間必為．

4．在方程中，已知，在上連續(xù)，且．求證：對(duì)任意和，滿足初值條件的解的存在區(qū)間必為．

5．假設(shè)方程在全平面上滿足解的存在惟一性定理?xiàng)l件，且，是定義在區(qū)間I上的兩個(gè)解．求證：若<，則在區(qū)間I上必有

<成立．

6．設(shè)是方程的非零解，其中在上連續(xù)．求證：當(dāng)時(shí)，必有．

7．設(shè)在上連續(xù)可微，求證：對(duì)任意的，方程

滿足初值條件的解必在上存在．

8．證明：一階微分方程的任一解的存在區(qū)間必是．

1．證明

首先和是方程在的解.易知方程的右端函數(shù)滿足解的延展定理以及存在唯一性定理的條件.現(xiàn)在考慮過(guò)初值

()的解,根據(jù)唯一性,該解不能穿過(guò)直線和.因此只有可能向左右兩側(cè)延展,從而該初值解應(yīng)在上存在.2．證明

不妨設(shè)過(guò)點(diǎn)分別作直線

和

.設(shè)過(guò)點(diǎn)的初值解為.因?yàn)?故在的某一右鄰域內(nèi),積分曲線位于之下,之上.下證曲線不能與直線相交.若不然,使得且,但由拉格郎日中值定理，使得.矛盾.此矛盾證明曲線不能與直線相交.同理可證,當(dāng)時(shí),它也不能與相交.故當(dāng)

時(shí)解曲線位于直線,之間.同理可證,當(dāng)時(shí),解曲線也位于直線,之間.由延展定理,的存在區(qū)間為。

3．證明

由已知條件，該方程在整個(gè)

平面上滿足解的存在唯一及解的延展定理?xiàng)l件．

顯然

是方程的兩個(gè)常數(shù)解．

任取初值，其中,．記過(guò)該點(diǎn)的解為，由上面分析可知，一方面可以向平面無(wú)窮遠(yuǎn)處無(wú)限延展；另一方面又上方不能穿過(guò)，下方不能穿過(guò)，否則與惟一性矛盾．故該解的存在區(qū)間必為．

4．證明

由已知條件可知，該方程在整個(gè)

平面上滿足解的存在惟一及延展定理?xiàng)l件，又存在常數(shù)解

．

對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn)，若，則過(guò)該點(diǎn)的解是，顯然是在上有定義．

若,則,記過(guò)該點(diǎn)的解為，那么一方面解可以向平面的無(wú)窮遠(yuǎn)無(wú)限延展；另一方面在條形區(qū)域

內(nèi)不能上、下穿過(guò)解和，否則與解的惟一性矛盾．因此解的存在區(qū)間必為．

5．證明

僅證方向，（反之亦然）．

假設(shè)存在，使得>（=不可能出現(xiàn)，否則與解惟一矛盾）．

令=-，那么

=-<

0，=->

0

由連續(xù)函數(shù)介值定理，存在，使得

=-=

0

即

=

這與解惟一矛盾

6．證明

由已知條件知方程存在零解．該方程滿足解的存在惟一性定理?xiàng)l件．

設(shè)是方程的一個(gè)非零解，假如它滿足，由于零解也滿足上述條件，以及方程有零解存在，那么由解的惟一性有，這與是非零解矛盾．

7．證明

該方程在全平面上滿足解的存在惟一性定理及解的延展定理．

又

是該方程的兩個(gè)常數(shù)解．

現(xiàn)取，記過(guò)點(diǎn)的解為．一方面該解可向平面的無(wú)窮遠(yuǎn)無(wú)限延展，另一方面又不能上下穿越，否則將破壞解的惟一性．因此，該解只能在區(qū)域內(nèi)沿x軸兩側(cè)無(wú)限延展，顯然其定義區(qū)間必是．

8．證明

方程在全平面上滿足解的存在唯一性定理的條件，又是方程的常數(shù)解．

對(duì)平面上任取的若則對(duì)應(yīng)的是常數(shù)解其存在區(qū)間顯然是

若)則過(guò)該點(diǎn)的解可以向平面無(wú)窮遠(yuǎn)無(wú)限延展，但是上下又不能穿越和，于是解的存在區(qū)間必是．

四、應(yīng)用題

1．求一曲線，具有如下性質(zhì)：曲線上任一點(diǎn)的切線，在軸上的截距之和為1．

2．求一曲線，此曲線的任一切線在兩個(gè)坐標(biāo)軸間的線段長(zhǎng)等于常數(shù)．

1．解

首先,由解析幾何知識(shí)可知,滿足的直線

都是所求曲線.設(shè)

(x,y)

為所求曲線上的點(diǎn)，(X,Y)為其切線上的點(diǎn),則過(guò)

(x,y)的切線方程為

.顯然有

此處

a

與

b

分別為切線在Ox

軸與Oy

軸上的截距.故

.解出y,得到克萊洛方程,通解為

所以,即

為所求曲線方程.2．解

設(shè)

(x,y)

為所求曲線上的點(diǎn),(X,Y)為其切線上的點(diǎn),則過(guò)

(x,y)的切線方程為

.顯然有

此處

a

與

b

分別為切線在Ox

軸與Oy

軸上的截距.故,即.解出得

故曲線的方程為

消去即的曲線方程為.