(精華版)國(guó)家開放大學(xué)電大本科《常微分方程》《管理案例分析》網(wǎng)絡(luò)課形考網(wǎng)考作業(yè)及答案(合集)
《常微分方程》答案
形考任務(wù)1
題目1
本課程的教學(xué)內(nèi)容共有五章，其中第三章的名稱是（）．
選擇一項(xiàng)：
A.一階線性微分方程組
題目2
本課程安排了6次形成性考核任務(wù)，第2次形成性考核作業(yè)的名稱是（）．
選擇一項(xiàng)：
C.初等積分法中的方程可積類型的判斷
題目3
網(wǎng)絡(luò)課程主頁(yè)的左側(cè)第3個(gè)欄目名稱是：（）．
選擇一項(xiàng)：
A.課程公告
D.系統(tǒng)學(xué)習(xí)
題目4
網(wǎng)絡(luò)課程的“系統(tǒng)學(xué)習(xí)”欄目中第一章初等積分法的第4個(gè)知識(shí)點(diǎn)的名稱是（）．
選擇一項(xiàng)：
D.常數(shù)變易法
題目5
網(wǎng)絡(luò)課程的“視頻課堂”欄目中老師講課的電視課共有（）講．
選擇一項(xiàng)：
A.18
題目6
網(wǎng)絡(luò)課程主頁(yè)的左側(cè)“考試復(fù)習(xí)”版塊中第二個(gè)欄目名稱是：（）．
選擇一項(xiàng)：
B.復(fù)習(xí)指導(dǎo)
題目7
請(qǐng)您按照課程的學(xué)習(xí)目標(biāo)、學(xué)習(xí)要求和學(xué)習(xí)方法設(shè)計(jì)自己的學(xué)習(xí)計(jì)劃，并在下列文本框中提交，字?jǐn)?shù)要求在100—1000字．
答：常微分方程是研究自然現(xiàn)象，物理工程和工程技術(shù)的強(qiáng)有力工具，熟練掌握常微分方程的一些基本解法是學(xué)習(xí)常微分方程的主要任務(wù)，凡包含自變量，未知函數(shù)和未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方程叫做微分方程。滿足微分方程的函數(shù)叫做微分方程的解，含有獨(dú)立的任意常數(shù)的解稱為微分方程的通解。確定通解中任意常數(shù)后所得的解稱為該方程的特解。
一階微分方程的初等解法中把微分方程的求解問題化為了積分問題，這類初等解法是，與我們生活中的實(shí)際問題密切相關(guān)的值得我們好好探討。
在高階微分方程中我們學(xué)習(xí)的線性微分方程，作為研究線性微分方程的基礎(chǔ)，它在物理力學(xué)和工程技術(shù)，自然科學(xué)中時(shí)存在廣泛運(yùn)用的，對(duì)于一般的線性微分方程，我們又學(xué)習(xí)了常系數(shù)線性微分
變量的方程，其中涉及到復(fù)值與復(fù)值函數(shù)問題，相對(duì)來(lái)說是比較復(fù)雜難懂的。
至于后面的非線性微分方程，其中包含的穩(wěn)定性，定性基本理論和分支，混沌問題及哈密頓方程，非線性方程絕大部分的不可解不可積現(xiàn)象導(dǎo)致了我們只能通過從方程的結(jié)構(gòu)來(lái)判斷其解的性態(tài)問題，在這一章節(jié)中，出現(xiàn)的許多概念和方法是我們從未涉及的，章節(jié)與章節(jié)中環(huán)環(huán)相扣，步步深入，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，其難易程度可見一斑。
由此，常微分方程整體就是由求通解引出以后的知識(shí)點(diǎn)，以求解為基礎(chǔ)不斷拓展，我們所要學(xué)習(xí)的就是基礎(chǔ)題解技巧，培養(yǎng)自己機(jī)制與靈活性，多反面思考問題的能力，敏銳的判斷力也是不可缺少的。
形考任務(wù)2
初等積分法中的方程可積類型的判斷（1）
題目1
答：（一階線性非齊次微分）方程.題目2
答：（可降階的高階）方程
題目3
答：（克萊洛）方程
題目4
答：（伯努利）方程
題目5
答：（一階線性非齊次微分）方程
題目6
答：（恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)）方程
題目7
答：（變量可分離）方程
題目8
答：（一階隱式微分）方程
題目9
答：（全微分）方程
題目10
答：
（齊次微分）方程
形考任務(wù)3
常微分方程學(xué)習(xí)活動(dòng)3
第一章
初等積分法的綜合練習(xí)
本課程形成性考核綜合練習(xí)共3次，內(nèi)容主要分別是第一章初等積分法的綜合練習(xí)、第二章基本定理的綜合練習(xí)、第三章和第四章的綜合練習(xí)，目的是通過綜合性練習(xí)作業(yè)，同學(xué)們可以檢驗(yàn)自己的學(xué)習(xí)成果，找出掌握的薄弱知識(shí)點(diǎn)，重點(diǎn)復(fù)習(xí)，爭(zhēng)取盡快掌握．
要求：首先請(qǐng)同學(xué)們下載作業(yè)附件文檔并進(jìn)行填寫，文檔填寫完成后請(qǐng)?jiān)诒敬巫鳂I(yè)頁(yè)面中點(diǎn)擊“去完成”按鈕進(jìn)入相應(yīng)網(wǎng)頁(yè)界面完成任務(wù)，然后請(qǐng)將所做完的作業(yè)文檔以附件的形式上傳到課程上，隨后老師會(huì)在課程中進(jìn)行評(píng)分。
一、填空題
1．微分方程是
二
階微分方程．
2．初值問題的解所滿足的積分方程是．
3．微分方程是
一階線性非齊次微分方程
．（就方程可積類型而言）
4．微分方程是
全微分方程
．（就方程可積類型而言）
5．微分方程是
恰當(dāng)?shù)箶?shù)方程
．（就方程可積類型而言）
6．微分方程的所有常數(shù)解是．
7．微分方程的常數(shù)解是
．
8．微分方程的通解為．
9．微分方程的通解是.10．一階微分方程的一個(gè)特解的圖像是 二
維空間上的一條曲線．
二、計(jì)算題
1．指出下列方程的階數(shù)，是否是線性方程：
（1）
答：一階，非線性
（2）
答：四階，線性
（3）
答：三階，非線性
2．用分離變量法求解下列方程：
（1）
（2）
（3）
2．（1）解
通積分為
（2）解
當(dāng)時(shí)，分離變量，兩端取積分得
即
通積分為
另外，是常數(shù)解，注:
在方程求解時(shí)，求出顯式通解或隱式通解（通積分）即可，常數(shù)解可以不求。
（3）解
當(dāng)時(shí),方程可變?yōu)?，通積分為
或,上式代入初值條件.得.于是初值問題解為
.3．解下列齊次線性微分方程
（1）
（2）
（1）解
顯然是方程的解.當(dāng)時(shí),原方程可化為
.令,則原方程可化為,即
易于看出,是上面方程的解,從而
是原方程的解.當(dāng)時(shí),分離變量得,.兩端積分得(C)
將換成,便得到原方程的解,(C).故原方程的通解為（為任意常數(shù)）及
.（2）解
顯然是方程的解.當(dāng)時(shí),原方程可化為
.令,則原方程可化為,即
易于看出,是上式的解,從而是原方程的解.當(dāng)時(shí),分離變量得,.兩端積分得
(C).將換成,便得到原方程的解
(C).故原方程的通解為
.4．解下列一階線性微分方程：
（1）
（2）
（1）解
先解齊次方程
.其通解為
.用常數(shù)變易法,令非齊次方程通解為
.代入原方程,化簡(jiǎn)后可得.積分得到
.代回后即得原方程通解為
.（2）解
先解齊次方程
.其通解為
.用常數(shù)變易法,令非齊次方程通解為
.代入原方程,化簡(jiǎn)后可得
.積分得到
.代回后即得原方程通解為
.5．解下列伯努利方程
（1）
（2）
（1）解
顯然是方程解.當(dāng)時(shí),兩端同除,得
.令,代入有
它的解為
于是原方程的解為，及
（2）解
顯然是方程解.當(dāng)時(shí),兩端同除,得
.令,代入有
它的解為，于是原方程的解，及
6．解下列全微分方程：
（1）
（2）
（1）解
因?yàn)?所以這方程是全微分方程,及
在整個(gè)平面都連續(xù)可微,不妨選取.故方程的通積分為,即
.（2）解
因?yàn)?所以這方程是全微分方程,及
在整個(gè)平面都連續(xù)可微,不妨選取.故方程的通積分為,即
.7．求下列方程的積分因子和積分：
（1）
（2）
（1）解
因?yàn)?與y無(wú)關(guān),故原方程存在只含x的積分因子.由公式（1.58）得積分因子，即
于是方程
為全微分方程.取
.于是方程的通積分為.即
.（2）解
因?yàn)?與y無(wú)關(guān),故原方程存在只含x的積分因子.解方程
由公式（1.58）得積分因子，即
于是方程
為全微分方程.取
.于是通積分為.即.8．求解下列一階隱式微分方程
（1）
（2）
（1）解
將方程改寫為
即或
解得通積分為：,又是常數(shù)解.（2）解
顯然是方程的解.當(dāng)時(shí),方程可變?yōu)?令,則上面的式子可變?yōu)?/p>
.解出u得,.即
.對(duì)上式兩端積分得到方程的通解為
9．求解下列方程
（1）
（2）
（1）解
令,則.代入原式得.解出得
.這是克萊洛方程，通解為
.即
.解之得
（為任意常數(shù)）.（2）解
化簡(jiǎn)得，即
求積分得
..三、證明題
1．設(shè)函數(shù)，在上連續(xù)，且，（a,b為常數(shù)）．求證：方程的一切解在上有界．
2．設(shè)在上連續(xù)，且，求證：方程的一切解，均有．
1．證明
設(shè)y=y(x)是方程任一解，且滿足y(x0)=y0,則
由于，所以對(duì)任意ε＞0,存在＞x0,使得x＞時(shí)
有
令，則
于是得到
又在[x0，x1]上y(x)有界設(shè)為M2，現(xiàn)取，則
2．證明
設(shè)是方程任一解，滿足，該解的表達(dá)式為
取極限
=
四、應(yīng)用題
1．按牛頓冷卻定律：物體在空氣中冷卻的速度與物體溫度和空氣溫度之差成正比,已知空氣溫度為,而物體在15分鐘內(nèi)由
冷卻到,求物體冷卻到所需的時(shí)間.2．重為100kg的物體，在與水平面成30°的斜面上由靜止?fàn)顟B(tài)下滑，如果不計(jì)磨擦，試求：
（1）物體運(yùn)動(dòng)的微分方程；
（2）求5
s后物體下滑的距離，以及此時(shí)的速度和加速度．
1．解
設(shè)物體在時(shí)刻t的溫度為，由題意滿足初值問題
其中為常數(shù)．
解得
設(shè)物體冷卻到40℃所需時(shí)間為，于是由得
解得
52分鐘.2．解
取初始下滑點(diǎn)為原點(diǎn)，軸正向垂直向下，設(shè)
時(shí)刻速度為,距離為,由題意滿足初值問題
解得
再由解得
于是得到5秒后，,．
形考任務(wù)4
常微分方程學(xué)習(xí)活動(dòng)4
第二章
基本定理的綜合練習(xí)
本課程形成性考核綜合練習(xí)共3次，內(nèi)容主要分別是第一章初等積分法的綜合練習(xí)、第二章基本定理的綜合練習(xí)、第三章和第四章的綜合練習(xí)，目的是通過綜合性練習(xí)作業(yè)，同學(xué)們可以檢驗(yàn)自己的學(xué)習(xí)成果，找出掌握的薄弱知識(shí)點(diǎn)，重點(diǎn)復(fù)習(xí)，爭(zhēng)取盡快掌握．
要求：首先請(qǐng)同學(xué)們下載作業(yè)附件文檔并進(jìn)行填寫，文檔填寫完成后請(qǐng)?jiān)诒敬巫鳂I(yè)頁(yè)面中點(diǎn)擊“去完成”按鈕進(jìn)入相應(yīng)網(wǎng)頁(yè)界面完成任務(wù)，然后請(qǐng)將所做完的作業(yè)文檔以附件的形式上傳到課程上，隨后老師會(huì)在課程中進(jìn)行評(píng)分。
一、填空題
1.方程的任一非零
不能
與x軸相交．
2．李普希茲條件是保證一階微分方程初值問題解惟一的充分條件．
3.方程+
ysinx
=
ex的任一解的存在區(qū)間必是(-∞,+∞)
．
4．一階顯式方程解的最大存在區(qū)間一定是開區(qū)間
．
5．方程滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是 XOY平面．
6．方程滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是XOY平面．
7．方程滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是XOY平面．
8．方程滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是---，（或不含x
軸的上半平面）．
9．方程滿足解的存在惟一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是全平面．
10．一個(gè)不可延展解的存在在區(qū)間一定是開區(qū)間．
二、計(jì)算題
1．判斷下列方程在怎樣的區(qū)域上保證初值解存在且惟一？
（1）
（2）
1．解
（1)
因?yàn)榧霸谡麄€(gè)平面上連續(xù),且滿足存在唯一性定理?xiàng)l件,所以在整個(gè)平面上,初值解存在且唯一.（2)
因?yàn)榧霸谡麄€(gè)平面上連續(xù),且滿足存在唯一性定理?xiàng)l件,所以在整個(gè)平面上,初值解存在且唯一.2．
討論方程在怎樣的區(qū)域中滿足定理2.2的條件．并求通過的一切解．
2.解
因?yàn)榉匠淘谡麄€(gè)平面上連續(xù),除軸外,在整個(gè)平面上有界,所以除軸外在整個(gè)平面上都滿足定理2.1的條件.而后分離變量并積分可求出方程的通解為
其中
另外容易驗(yàn)證是方程的特解.因此通過的解有無(wú)窮多個(gè),分別是:
3．判斷下列方程是否有奇解？如果有奇解，求出奇解．
（1）
（2）
3．解
（1)
因?yàn)樵诎肫矫嫔线B續(xù),當(dāng)時(shí)無(wú)界,所以如果存在奇解只能是,但不是方程的解,故方程無(wú)奇解.（2)
因?yàn)樵诘膮^(qū)域上連續(xù),當(dāng)時(shí)無(wú)界,所以如果方程有奇解,則奇解只能是
顯然是方程的解,是否為奇解還需要進(jìn)一步討論.為此先求出方程的通解
由此可見對(duì)于軸上點(diǎn)
存在通過該點(diǎn)的兩個(gè)解:
及
故是奇解.三、證明題
1．試證明：對(duì)于任意的及滿足條件的，方程的解在上存在．
2．設(shè)在整個(gè)平面上連續(xù)有界，對(duì)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，試證明方程的任一解在區(qū)間上有定義．
3．設(shè)在區(qū)間上連續(xù)．試證明方程的所有解的存在區(qū)間必為．
4．在方程中，已知，在上連續(xù)，且．求證：對(duì)任意和，滿足初值條件的解的存在區(qū)間必為．
5．假設(shè)方程在全平面上滿足解的存在惟一性定理?xiàng)l件，且，是定義在區(qū)間I上的兩個(gè)解．求證：若<，則在區(qū)間I上必有
<成立．
6．設(shè)是方程的非零解，其中在上連續(xù)．求證：當(dāng)時(shí)，必有．
7．設(shè)在上連續(xù)可微，求證：對(duì)任意的，方程
滿足初值條件的解必在上存在．
8．證明：一階微分方程的任一解的存在區(qū)間必是．
1．證明
首先和是方程在的解.易知方程的右端函數(shù)滿足解的延展定理以及存在唯一性定理的條件.現(xiàn)在考慮過初值
()的解,根據(jù)唯一性,該解不能穿過直線和.因此只有可能向左右兩側(cè)延展,從而該初值解應(yīng)在上存在.2．證明
不妨設(shè)過點(diǎn)分別作直線
和
.設(shè)過點(diǎn)的初值解為.因?yàn)?故在的某一右鄰域內(nèi),積分曲線位于之下,之上.下證曲線不能與直線相交.若不然,使得且,但由拉格郎日中值定理，使得.矛盾.此矛盾證明曲線不能與直線相交.同理可證,當(dāng)時(shí),它也不能與相交.故當(dāng)
時(shí)解曲線位于直線,之間.同理可證,當(dāng)時(shí),解曲線也位于直線,之間.由延展定理,的存在區(qū)間為。
3．證明
由已知條件，該方程在整個(gè)
平面上滿足解的存在唯一及解的延展定理?xiàng)l件．
顯然
是方程的兩個(gè)常數(shù)解．
任取初值，其中,．記過該點(diǎn)的解為，由上面分析可知，一方面可以向平面無(wú)窮遠(yuǎn)處無(wú)限延展；另一方面又上方不能穿過，下方不能穿過，否則與惟一性矛盾．故該解的存在區(qū)間必為．
4．證明
由已知條件可知，該方程在整個(gè)
平面上滿足解的存在惟一及延展定理?xiàng)l件，又存在常數(shù)解
．
對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn)，若，則過該點(diǎn)的解是，顯然是在上有定義．
若,則,記過該點(diǎn)的解為，那么一方面解可以向平面的無(wú)窮遠(yuǎn)無(wú)限延展；另一方面在條形區(qū)域
內(nèi)不能上、下穿過解和，否則與解的惟一性矛盾．因此解的存在區(qū)間必為．
5．證明
僅證方向，（反之亦然）．
假設(shè)存在，使得>（=不可能出現(xiàn)，否則與解惟一矛盾）．
令=-，那么
=-<
0，=->
0
由連續(xù)函數(shù)介值定理，存在，使得
=-=
0
即
=
這與解惟一矛盾
6．證明
由已知條件知方程存在零解．該方程滿足解的存在惟一性定理?xiàng)l件．
設(shè)是方程的一個(gè)非零解，假如它滿足，由于零解也滿足上述條件，以及方程有零解存在，那么由解的惟一性有，這與是非零解矛盾．
7．證明
該方程在全平面上滿足解的存在惟一性定理及解的延展定理．
又
是該方程的兩個(gè)常數(shù)解．
現(xiàn)取，記過點(diǎn)的解為．一方面該解可向平面的無(wú)窮遠(yuǎn)無(wú)限延展，另一方面又不能上下穿越，否則將破壞解的惟一性．因此，該解只能在區(qū)域內(nèi)沿x軸兩側(cè)無(wú)限延展，顯然其定義區(qū)間必是．
8．證明
方程在全平面上滿足解的存在唯一性定理的條件，又是方程的常數(shù)解．
對(duì)平面上任取的若則對(duì)應(yīng)的是常數(shù)解其存在區(qū)間顯然是
若)則過該點(diǎn)的解可以向平面無(wú)窮遠(yuǎn)無(wú)限延展，但是上下又不能穿越和，于是解的存在區(qū)間必是．
四、應(yīng)用題
1．求一曲線，具有如下性質(zhì)：曲線上任一點(diǎn)的切線，在軸上的截距之和為1．
2．求一曲線，此曲線的任一切線在兩個(gè)坐標(biāo)軸間的線段長(zhǎng)等于常數(shù)．
1．解
首先,由解析幾何知識(shí)可知,滿足的直線
都是所求曲線.設(shè)
(x,y)
為所求曲線上的點(diǎn)，(X,Y)為其切線上的點(diǎn),則過
(x,y)的切線方程為
.顯然有
此處
a
與
b
分別為切線在Ox
軸與Oy
軸上的截距.故
.解出y,得到克萊洛方程,通解為
所以,即
為所求曲線方程.2．解
設(shè)
(x,y)
為所求曲線上的點(diǎn),(X,Y)為其切線上的點(diǎn),則過
(x,y)的切線方程為
.顯然有
此處
a
與
b
分別為切線在Ox
軸與Oy
軸上的截距.故,即.解出得
故曲線的方程為
消去即的曲線方程為
.形考任務(wù)5
題目1
方程過點(diǎn)（0,0）的積分曲線（）．
選擇一項(xiàng)：
A.有無(wú)窮多條
題目2
方程在xoy平面上任一點(diǎn)的解都（）．
選擇一項(xiàng)：
B.是惟一的題目3
方程的所有常數(shù)解是（）．
選擇一項(xiàng)：
題目4
方程滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是（）.選擇一項(xiàng)：
C.除去x軸的全平面
題目5
方程過點(diǎn)(0,0)的解為，此解的存在區(qū)間是（）.選擇一項(xiàng)：
題目6
若A(x),F(x)≠0在(-∞,+∞)上連續(xù)，那么線性非齊次方程組，的任一非零解
（）
．
選擇一項(xiàng)：
D.可以與x軸相交
題目7
n維方程組的任一解的圖像是n+1維空間中的（）．
選擇一項(xiàng)：
B.一條曲線
題目8
方程的任一非零解在平面上（）零點(diǎn)．
選擇一項(xiàng)：
D.有無(wú)窮多個(gè)
題目9
三階線性齊次微分方程的所有解構(gòu)成一個(gè)（）線性空間．
選擇一項(xiàng)：
A.3維
題目10
用待定系數(shù)法求方程的非齊次特解時(shí)，應(yīng)設(shè)為（）．
選擇一項(xiàng)：
形考任務(wù)6
常微分方程學(xué)習(xí)活動(dòng)6
第三章一階線性方程組、第四章n階線性方程的綜合練習(xí)
本課程形成性考核綜合練習(xí)共3次，內(nèi)容主要分別是第一章初等積分法的綜合練習(xí)、第二章基本定理的綜合練習(xí)、第三章和第四章的綜合練習(xí)，目的是通過綜合性練習(xí)作業(yè)，同學(xué)們可以檢驗(yàn)自己的學(xué)習(xí)成果，找出掌握的薄弱知識(shí)點(diǎn)，重點(diǎn)復(fù)習(xí)，爭(zhēng)取盡快掌握．
要求：首先請(qǐng)同學(xué)們下載作業(yè)附件文檔并進(jìn)行填寫，文檔填寫完成后請(qǐng)?jiān)诒敬巫鳂I(yè)頁(yè)面中點(diǎn)擊“去完成”按鈕進(jìn)入相應(yīng)網(wǎng)頁(yè)界面完成任務(wù)，然后請(qǐng)將所做完的作業(yè)文檔以附件的形式上傳到課程上，隨后老師會(huì)在課程中進(jìn)行評(píng)分。
一、填空題
1．若A(x)在(-∞,+∞)上連續(xù)，那么線性齊次方程組，的任一非零解在空間
不能
與x軸相交．
2．方程組的任何一個(gè)解的圖象是n
+
維空間中的一條積分曲線．
3．向量函數(shù)組Y1(x),Y2(x),…,Yn(x)線性相關(guān)的必要
條件是它們的朗斯期行列式W(x)=0．
4．線性齊次微分方程組，的一個(gè)基本解組的個(gè)數(shù)不能多于n
+
個(gè)．
5．若函數(shù)組在區(qū)間上線性相關(guān)，則它們的朗斯基行列式在區(qū)間上恒等于零
．
6．函數(shù)組的朗斯基行列式是
．
7．二階方程的等價(jià)方程組是
．
8．若和是二階線性齊次方程的基本解組，則它們
沒有
共同零點(diǎn)．
9．二階線性齊次微分方程的兩個(gè)解,成為其基本解組的充要條件是線性無(wú)關(guān)（或：它們的朗斯基行列式不等于零）
．
10．階線性齊次微分方程線性無(wú)關(guān)解的個(gè)數(shù)最多為N
個(gè)．
11．在方程y″+
p(x)y′+q(x)y
=
0中，p(x),q(x)在(-∞,+∞)上連續(xù)，則它的任一非零解在xOy平面上
可以
與x軸橫截相交．
12．二階線性方程的基本解組是 ．
13．線性方程的基本解組是
．
14．方程的所有解構(gòu)成一個(gè)
維線性空間．
15．n階線性齊次微分方程的所有解構(gòu)成一個(gè)
n
維線性空間．
二、計(jì)算題
1．將下列方程式化為一階方程組
（1）
（2）
1．（1）
解，（2）解
2．求解下列方程組：
（1）
（2）
（1）
解
方程組的系數(shù)陣為
特征方程為：
det(A-E)=
=，其特征根為
.當(dāng)時(shí),，其中a,b滿足
(A-E)=
=
0,則有a
+
b
=
0．
取a
=
1,b
=1,則得一特解
同理,當(dāng)時(shí)，所以方程組的解為
（2）解
方程組的系數(shù)陣為
.特征方程為:
det(A-E)=
=
特征根為
.當(dāng)時(shí),其中a,b滿足
(A-E)=
=0,故有
即
.取，于是方程組對(duì)應(yīng)于
=
故特征根所對(duì)應(yīng)的實(shí)解為
=,=
所以方程組的解為
=
3．求解下列方程組：
（1）
（2）
（1）解
方程組的系數(shù)陣為
.特征方程為:
det(A-E)=
=
特征根為
當(dāng)時(shí),其中a,b滿足（=
0,即
第一個(gè)方程有
令，則
于是由
解得通解
=
.（2）
解
系數(shù)陣為
特征方程為:
det(A-E)==.特征根為
.通解解為
.4．求解下列方程組：
（1）
（2）
4．解
方程組的系數(shù)陣為，其特征方程為：
det(A-E)=
=.特征根為,方程組有如下形式的解:
代入原方程組有
消去得
令,則
令,則
所以方程組的解為
（2）解
首先求出相應(yīng)齊次線性方程組的通解.對(duì)應(yīng)齊次方程的系數(shù)陣為
.其特征方程為：
det(A-E)=
=.特征根為
當(dāng)時(shí)，其中a,b滿足(A-E)=
=0,則有ab
=
0
取a
=
b
=1,則得一特解
同理,當(dāng)時(shí)，所以對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的通解為
然后運(yùn)用常數(shù)變易法計(jì)算原方程組的一個(gè)特解.將代入原方程組，得
解得
.原方程組的特解為
所以原方程組的通解為
5．已知方程的一個(gè)解，求其通解．
解：由通解公式，6．試求下列n階常系數(shù)線性齊次方程的通解
（1）
（2）
6．（1）
解
特征方程為:
特征根為:。它們對(duì)應(yīng)的解為:
方程通解為:.（2）
解
特征方程為:
特征根為:
它們對(duì)應(yīng)的解為:
方程通解為:
.7．試求下述各方程滿足給定的初始條件的解：
（1），（2），7．（1）
解
特征方程為:.特征根為:，方程通解為:
由初始條件有:,解得.所以方程的初值解為:.（2）解
特征方程為:.特征根為:，方程通解為:
由初始條件有:,解得.所以方程的初值解為:.8．求下列n階常系數(shù)線性非齊次方程的通解：
（1）
（2）
8．（1）解
由于，故齊次方程的通解為
.由于不是特征根，故已知方程有形如的特解.將它代入原方程，得,，所求通解為.（2）解
由于，.因?yàn)椴皇翘卣鞲?，故已知方程有形如的特解．將上式代入原方程，可得，所求通解?/p>
.三、證明題
1．設(shè)矩陣函數(shù)，在（a,b）上連續(xù)，試證明，若方程組
與有相同的基本解組，則o．
2．設(shè)在方程中，在區(qū)間上連續(xù)且恒不為零，試證它的任意兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解的朗斯基行列式是在區(qū)間上嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)．
3．試證明：二階線性齊次方程的任意兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解組的朗斯基行列式之比是一個(gè)不為零的常數(shù)．
1．證明
設(shè)為基本解矩陣,因?yàn)榛窘饩仃囀强赡娴?故有
于是.2．證明
設(shè)w(x)是方程的任意兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解的朗斯基行列式，則且有，.又因?yàn)樵趨^(qū)間上連續(xù)且恒不為零,從而對(duì),或,所以,在上恒正或恒負(fù),即w(x)為嚴(yán)格單調(diào)函數(shù).3．證明
設(shè)兩個(gè)線性的解組的朗斯基行列式分別為，且，所以有.四、應(yīng)用題
1．一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)由靜止開始沉入液體中，當(dāng)下沉?xí)r，液體的反作用與下沉的速度成正比，求此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。
解
設(shè)液體的反作用與質(zhì)點(diǎn)速度的比例系數(shù)為
則指點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)滿足方程：
即
則(*)所對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為：
又是齊次方程的特征根,故特解形式為：
代入(*)式得：
所以
由得
故
《管理案例分析》網(wǎng)絡(luò)課答案
形考任務(wù)1：客觀測(cè)驗(yàn)題（10分）
判斷正誤（每小題1分，共10分）
題目1
管理案例寫作計(jì)劃的主要內(nèi)容就是安排案例撰寫的時(shí)間。（）
選擇一項(xiàng)：
錯(cuò)
題目2
在案例學(xué)習(xí)的過程中，我們只需要把握住4個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)，即分析形勢(shì)、提出方案、預(yù)測(cè)結(jié)果和做出決策。（）
選擇一項(xiàng)：
錯(cuò)
題目3
案例的結(jié)構(gòu)安排通?？梢宰裱瓋煞N順序：一是時(shí)間順序，二是內(nèi)容順序。（）
選擇一項(xiàng)：
錯(cuò)
題目4
案例寫作原則的中立原則要求案例作者在對(duì)案例進(jìn)行描述時(shí)，盡量使用中立性的語(yǔ)言，不進(jìn)行評(píng)論或者使用帶有傾向性的觀點(diǎn)。（）
選擇一項(xiàng)：
對(duì)
題目5
案例有其特定的文體和書寫規(guī)范，是為特殊的教學(xué)目的服務(wù)的；而實(shí)例以寫實(shí)為主，一般是對(duì)所發(fā)生的客觀事實(shí)的介紹和描述，沒有固定的格式和書寫規(guī)范。（）
選擇一項(xiàng)：
對(duì)
題目6
案例寫作原則中的前瞻原則是指案例作者根據(jù)企業(yè)實(shí)際發(fā)生的事件，推斷未來(lái)可能產(chǎn)生的后果，啟發(fā)人們思考。（）
選擇一項(xiàng)：
錯(cuò)
題目7
案例寫作原則中的仿真原則是指案例作者根據(jù)企業(yè)實(shí)際自己杜撰案例中的人物和內(nèi)容，設(shè)計(jì)案例作者關(guān)心的問題。（）
選擇一項(xiàng)：
錯(cuò)
題目8
在案例學(xué)習(xí)中，談判法是指定學(xué)生分別扮演談判各方，設(shè)立談判規(guī)則，陳述須要交涉的內(nèi)容，確定談判的結(jié)果。（）
選擇一項(xiàng)：
對(duì)
題目9
管理案例就是圍繞著一定的管理問題而對(duì)某一真實(shí)的管理情景所作的文字描述。不包括聲像等其他媒介采編撰寫方式。（）
選擇一項(xiàng)：
錯(cuò)
題目10
案例內(nèi)容的表述涉及很多方面，第一個(gè)就是寫好案例的開頭和結(jié)尾，即指案例的開頭必須要和結(jié)尾相呼應(yīng)。（）
選擇一項(xiàng)：
錯(cuò)
形考任務(wù)2：案例補(bǔ)充（20分）
請(qǐng)自選（或由本課程輔導(dǎo)教師指定）文字教材中案例篇第五章-第十三章中的任意一章的【示范案例】中的案例，對(duì)案例正文進(jìn)行資料補(bǔ)充。
答：所謂平臺(tái)型組織，是一種由用戶需求“拉動(dòng)”的組織，企業(yè)的動(dòng)力是接觸用戶的前臺(tái)項(xiàng)目。從狀態(tài)上講，應(yīng)該是“創(chuàng)客聽用戶的”。而科層制組織，是一種由領(lǐng)導(dǎo)者“推動(dòng)”的組織，企業(yè)的動(dòng)力是在不接觸用戶的后臺(tái)職能部門。從狀態(tài)上講，應(yīng)該是“員工聽領(lǐng)導(dǎo)的”。
在平臺(tái)型組織里，前臺(tái)是最接近用戶的，它們負(fù)責(zé)交互用戶并理解用戶的剛需；而后組織企業(yè)內(nèi)部的資源，形成對(duì)應(yīng)的產(chǎn)品、服務(wù)或解決方案。后臺(tái)是提供資源和機(jī)制保障的，要確保平臺(tái)具備“資源洼地”和“共享機(jī)制”，即要有質(zhì)優(yōu)價(jià)廉的資源和公平分配的政策，能夠吸引創(chuàng)客過來(lái)。說簡(jiǎn)單點(diǎn)，人家到你的平臺(tái)上來(lái)創(chuàng)業(yè)，一是圖你這里資源好，自己更容易成功；二是圖你這里政策好，自己更容易致富。當(dāng)然，后臺(tái)也需要對(duì)整個(gè)平臺(tái)進(jìn)行“兜底”，設(shè)置一些產(chǎn)品品質(zhì)、法律風(fēng)險(xiǎn)、內(nèi)控風(fēng)險(xiǎn)的底線，并進(jìn)行監(jiān)督。畢竟，項(xiàng)目由于追求短期收益，長(zhǎng)期看有可能帶來(lái)一些對(duì)于平臺(tái)的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)。
按理說，前臺(tái)因?yàn)榻咏脩舳軌蚨床焓袌?chǎng)需求，后臺(tái)又能提供相應(yīng)的資源和政策支持，應(yīng)該會(huì)不斷有創(chuàng)客前赴后繼地充當(dāng)項(xiàng)目負(fù)責(zé)人，讓一個(gè)又一個(gè)的項(xiàng)目“冒出來(lái)”。但事實(shí)上，這只是一種天真的想象，后臺(tái)的資源只是在理論上可以做到隨需調(diào)用，但現(xiàn)實(shí)中還需要中臺(tái)作為連接器。
中臺(tái)，既是后臺(tái)的代言人，又是前臺(tái)的業(yè)務(wù)伙伴，其本身的利益也應(yīng)該與前臺(tái)綁定在一起（相當(dāng)于項(xiàng)目“強(qiáng)制跟投”）——負(fù)責(zé)甄選出好的項(xiàng)目注入資源，并對(duì)項(xiàng)目進(jìn)行投后管理。
形考任務(wù)3：案例分析（30分）
請(qǐng)分析產(chǎn)品品質(zhì)問題對(duì)SH精工公司發(fā)展的影響。
請(qǐng)結(jié)合案例，提煉該企業(yè)產(chǎn)品出現(xiàn)品質(zhì)問題的具體原因。
如果你是該公司的品保部經(jīng)理，你會(huì)怎樣做？
答：請(qǐng)分析產(chǎn)品品質(zhì)問題對(duì)SH精工公司發(fā)展的影響。
1、造成許多客戶撤單
2、丟失許多客戶
3、造成巨大金額損失
4、對(duì)公司產(chǎn)品質(zhì)量問題增加了黑點(diǎn)
請(qǐng)結(jié)合案例，提煉該企業(yè)產(chǎn)品出現(xiàn)品質(zhì)問題的具體原因：
1、員工產(chǎn)品質(zhì)量意識(shí)放松
2、項(xiàng)目部沒有給予重視
3、生產(chǎn)部培訓(xùn)考核過于放松
4、品保部工作過于放松。
如果你是該公司的品保部經(jīng)理，你會(huì)怎樣做：
1、調(diào)整員工工作心態(tài)
2、增加員工培訓(xùn)和考核
形考任務(wù)4：案例撰寫（40分）
海爾洗衣機(jī)
創(chuàng)立于1984年的海爾集團(tuán)，經(jīng)過19年的持續(xù)發(fā)展，現(xiàn)已成為享譽(yù)海內(nèi)外的大型國(guó)際化企業(yè)集團(tuán)。1984年海爾只生產(chǎn)單一的電冰箱，而目前它擁有白色家電、黑色家電、米色家電在內(nèi)的96大門類15100多個(gè)規(guī)格的產(chǎn)品群。海爾的產(chǎn)品出口到世界160多個(gè)國(guó)家和地區(qū)。2003年，海爾全球營(yíng)業(yè)額實(shí)現(xiàn)806億元。2003年，海爾蟬聯(lián)中國(guó)最有價(jià)值品牌第一名。2004年1月31日，世界五大品牌價(jià)值評(píng)估機(jī)構(gòu)之一的世界品牌實(shí)驗(yàn)室編制的《世界最具影響力的100個(gè)品牌》報(bào)告揭曉，海爾排在第95位，是唯一入選的中國(guó)企業(yè)。2003年12月，全球著名戰(zhàn)略調(diào)查公司Euromonitor公布了2002年全球白色家電制造商排序，海爾以3.79%的市場(chǎng)分額躍升至全球第二大白色家電品牌。2004年8月號(hào)《財(cái)富》中文版評(píng)出最新“中國(guó)最受贊賞的公司”，海爾集團(tuán)緊隨IBM中國(guó)有限公司之后，排名第二位。
冰箱、空調(diào)、洗衣機(jī)等產(chǎn)品屬于白色家電。作為在白色家電領(lǐng)域最具核心競(jìng)爭(zhēng)力的企業(yè)之一，海爾有許多令人感慨和感動(dòng)的營(yíng)銷故事。
1996年，一位四川成都的一位農(nóng)民投訴海爾洗衣機(jī)排水管老是被堵，服務(wù)人員上門維修時(shí)發(fā)現(xiàn)，這位農(nóng)民用洗衣機(jī)洗地瓜（南方又稱紅薯），泥土大，當(dāng)然容易堵塞。服務(wù)人員并不推卸自己的責(zé)任，而是幫顧客加粗了排水管。顧客感激之余，埋怨自己給海爾人添了麻煩，還說如果能有洗紅薯的洗衣機(jī)，就不用煩勞海爾人了。農(nóng)民兄弟的一句話，被海爾人記在了心上。海爾營(yíng)銷人員調(diào)查四川農(nóng)民使用洗衣機(jī)的狀況時(shí)發(fā)現(xiàn)，在盛產(chǎn)紅薯的成都平原，每當(dāng)紅薯大豐收的時(shí)節(jié)，許多農(nóng)民除了賣掉一部分新鮮紅薯，還要將大量的紅薯洗凈后加工成薯?xiàng)l。但紅薯上沾帶的泥土洗起來(lái)費(fèi)時(shí)費(fèi)力，于是農(nóng)民就動(dòng)用了洗衣機(jī)。更深一步的調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在四川農(nóng)村有不少洗衣機(jī)用過一段時(shí)間后，電機(jī)轉(zhuǎn)速減弱、電機(jī)殼體發(fā)燙。向農(nóng)民一打聽，才知道他們冬天用洗衣機(jī)洗紅薯，夏天用它來(lái)洗衣服。這令張瑞敏萌生一個(gè)大膽的想法：發(fā)明一種洗紅薯的洗衣機(jī)。1997年海爾為該洗衣機(jī)立項(xiàng)，成立以工程師李崇正為組長(zhǎng)的4人課題組，1998年4月投入批量生產(chǎn)。洗衣機(jī)型號(hào)為XPB40-DS，不僅具有一般雙桶洗衣機(jī)的全部功能，還可以洗地瓜、水果甚至蛤蜊，價(jià)格僅為848元。首次生產(chǎn)了1萬(wàn)臺(tái)投放農(nóng)村，立刻被一搶而空。
一般來(lái)講，每年的6至8月是洗衣機(jī)銷售的淡季。每到這段時(shí)間，很多廠家就把促銷員從商場(chǎng)里撤回去了。張瑞敏納悶兒：難道天氣越熱，出汗越多，老百姓越不洗衣裳？調(diào)查發(fā)現(xiàn)，不是老百姓不洗衣裳，而是夏天里5公斤的洗衣機(jī)不實(shí)用，既浪費(fèi)水又浪費(fèi)電。于是，海爾的科研人員很快設(shè)計(jì)出一種洗衣量只有1.5公斤的洗衣機(jī)——小小神童。小小神童投產(chǎn)后先在上海試銷，因?yàn)閺埲鹈粽J(rèn)為上海人消費(fèi)水平高又愛挑剔。結(jié)果，上海人馬上認(rèn)可了這種世界上最小的洗衣機(jī)。該產(chǎn)品在上海熱銷之后，很快又風(fēng)靡全國(guó)。在不到兩年的時(shí)間里，海爾的小小神童在全國(guó)賣了100多萬(wàn)臺(tái)，并出口到日本和韓國(guó)。張瑞敏告誡員工說：“只有淡季的思想，沒有淡季的市場(chǎng)。”
在西藏，海爾洗衣機(jī)甚至可以合格地打酥油。2000年7月，海爾集團(tuán)研制開發(fā)的一種既可洗衣又可打酥油的高原型“小小神童”洗衣機(jī)在西藏市場(chǎng)一上市，便受到消費(fèi)者歡迎，從而開辟出自己獨(dú)有的市場(chǎng)。這種洗衣機(jī)3個(gè)小時(shí)打制的酥油，相當(dāng)于一名藏族婦女三天的工作量。藏族同胞購(gòu)買這種洗衣機(jī)后，從此可以告別手工打酥油的繁重家務(wù)勞動(dòng)。
在2002年舉辦的第一屆合肥“龍蝦節(jié)”上，海爾推出的一款“洗蝦機(jī)”引發(fā)了難得一見的搶購(gòu)熱潮，上百臺(tái)“洗蝦機(jī)”不到一天就被當(dāng)?shù)叵M(fèi)者搶購(gòu)一空，更有許多龍蝦店經(jīng)營(yíng)者紛紛交定金預(yù)約購(gòu)買。這款海爾“洗蝦機(jī)”因其巨大的市場(chǎng)潛力被安徽衛(wèi)視評(píng)為“市場(chǎng)前景獎(jiǎng)”。5月的安徽，是當(dāng)?shù)靥禺a(chǎn)龍蝦上市的季節(jié)，龍蝦是許多消費(fèi)者喜愛的美味。每到這個(gè)季節(jié)，各龍蝦店大小排擋生意異?；鸨?，僅合肥大小龍蝦店就有上千家，每天要消費(fèi)龍蝦近5萬(wàn)斤。但龍蝦好吃清洗難的問題一直困繞著當(dāng)?shù)佚埼r店的經(jīng)營(yíng)者。因?yàn)辇埼r生長(zhǎng)在泥灣里，捕撈時(shí)渾身是泥，清洗異常麻煩，一般的龍蝦店一天要用2-3人專門手工刷洗龍蝦，但常常一天洗的蝦，不及幾個(gè)小時(shí)賣的多，并且，人工洗刷費(fèi)時(shí)又費(fèi)力，還增加了人工成本。針對(duì)這一潛在的市場(chǎng)需求，海爾洗衣機(jī)事業(yè)部利用自己擁有的“大地瓜洗衣機(jī)”技術(shù)，迅速推出了一款采用全塑一體桶、寬電壓設(shè)計(jì)的可以洗龍蝦的“洗蝦機(jī)”，不但省時(shí)省力、洗滌效果非常好，而且價(jià)格定位也較合理，極大地滿足了當(dāng)?shù)叵M(fèi)者的需求。過去洗2公斤龍蝦一個(gè)人需要10-15分鐘，現(xiàn)在用“龍蝦機(jī)”只需三分鐘就可以搞掂。
“聽說你們的洗衣機(jī)能為牧民打酥油，還給合肥的飯店洗過龍蝦，真是神了！能洗蕎麥皮嗎？”2003年的一天，一個(gè)來(lái)自北方某枕頭廠的電話打進(jìn)了海爾總部。海爾洗衣機(jī)公司在接到用戶需求后，僅用了24小時(shí)，就在已有的洗衣機(jī)模塊技術(shù)上，創(chuàng)新地推出了一款可洗蕎麥皮枕頭的洗衣機(jī)，受到用戶的極力稱贊，更成為繼海爾洗地瓜機(jī)、打酥油機(jī)、洗龍蝦機(jī)之后，在滿足市場(chǎng)個(gè)性化需求上的又一經(jīng)典之作。明代醫(yī)學(xué)家李時(shí)珍在《本草綱目》中有一則“明目枕”的記載：“蕎麥皮、綠豆皮……菊花同作枕，至老明目。”在我國(guó)，人們歷來(lái)把蕎麥皮枕芯視為枕中上品。蕎麥皮屬生谷類，具有油性，而且硬度較高，如果不常洗或者曬不干又容易滋生細(xì)菌，但蕎麥皮的清洗與干燥特別費(fèi)勁，因?yàn)椤笆w麥皮”自身體積微小，重量極輕，很難晾曬，如果在戶外晾曬更容易被風(fēng)刮走?！笆w麥皮”的清洗和晾曬問題就成了“蕎麥皮”枕頭廠家及消費(fèi)者的一大難題。海爾開發(fā)的這款既可以家庭洗衣，又可以用來(lái)洗蕎麥皮枕頭的“爽神童”洗衣機(jī)，除了洗滌、脫水等基本功能外，還獨(dú)有高效的PTC轉(zhuǎn)動(dòng)烘干、自然風(fēng)晾干兩種干燥技術(shù)，同時(shí)專門設(shè)計(jì)了蕎麥皮包裝洗滌袋，加上海爾獨(dú)有的“抗菌”技術(shù)，非常圓滿地解決了蕎麥皮枕頭的清洗、干燥難題。
專家指出，目前洗衣機(jī)市場(chǎng)已進(jìn)入更新?lián)Q代、需求快速增長(zhǎng)期。始終靠技術(shù)創(chuàng)新領(lǐng)先市場(chǎng)的海爾，通過多年以來(lái)的技術(shù)儲(chǔ)備和市場(chǎng)優(yōu)勢(shì)的積累，在快速啟動(dòng)的洗衣機(jī)市場(chǎng)上占盡先機(jī)。世界第四種洗衣機(jī)——海爾“雙動(dòng)力”是海爾根據(jù)用戶需求，為解決用戶對(duì)波輪式、滾筒式、攪拌式洗衣機(jī)的抱怨而創(chuàng)新推出的一款全新的洗衣機(jī)，由于集合了洗得凈、磨損低、不纏繞、15分鐘洗好大件衣物、“省水省時(shí)各一半”等優(yōu)點(diǎn)于一身，迎合了人們新的洗衣需求，產(chǎn)品上市一個(gè)月就創(chuàng)造了國(guó)內(nèi)高端洗衣機(jī)銷量、零售額第一名的非常業(yè)績(jī)，成為國(guó)內(nèi)市場(chǎng)上升最快的洗衣機(jī)新品，在日前剛剛結(jié)束的第95屆法國(guó)列賓國(guó)際發(fā)明展覽會(huì)上一舉奪得了世界家電行業(yè)唯一發(fā)明金獎(jiǎng)。
賽諾市場(chǎng)研究公司2004年4月份統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，海爾洗衣機(jī)市場(chǎng)份額繼續(xù)高居全國(guó)第一，尤其在我國(guó)華北、東北、華東、西北、中南、西南6大地區(qū)市場(chǎng)上分別穩(wěn)居第一，且與競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手的距離進(jìn)一步拉大。在西北地區(qū)，海爾洗衣機(jī)的市場(chǎng)份額已接近40%，超出第二名近3倍；在其他5大地區(qū)，海爾洗衣機(jī)的市場(chǎng)份額也都有明顯上升，均超出了第二名近兩倍。
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