矩陣論試題

一、(10分)設(shè)函數(shù)矩陣

求：和()＇。

解：==

()＇=

二、(15分)在中線性變換將基，變?yōu)榛?1)求在基下的矩陣表示A；

(2)求向量及在基下的坐標(biāo)；

(3)求向量在基下的坐標(biāo)。

解：(1)不難求得：

因此在下矩陣表示為

(2)設(shè)，即

解之得：

所以在下坐標(biāo)為。

在下坐標(biāo)可得

(3)在基下坐標(biāo)為

在基下坐標(biāo)為

三、(20分)設(shè)，求。

解：容易算得

由于是2次多項式，且，故是1次多項式，設(shè)

由于，且，故

于是解得：

從而：

四、(15分)求矩陣的奇異值分解。

解：的特征值是對應(yīng)的特征向量依次為，于是可得，計算：

構(gòu)造，則

則A的奇異值分解為：

五、(15分)求矩陣的滿秩分解：

解：

可求得：，于是有

或

六、(10分)求矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。

解：求的初等因子組，由于

因此，所求的初等因子組為，于是有

A～J=

七、(10分)設(shè)V是數(shù)域F上的線性空間，是V的子空間，則也是V的子空間。

證明：由，知，即說非空，對于任意，則。因為是子空間，所以，故。

對任意，有，且，因此知，故知為V的子空間。

八、(5分)設(shè)，求證。

證明：矩陣A的特征多項式為

令

由Hamilton-Cayley定理知

因此