第一篇：2013年1月24日西電矩陣論試題(博士)

2013年1月24日矩陣論試題（博士）根據(jù)本人回憶整理 1證明：線性空間V與其子空間V1享有相同的零元素。（博士）2證明：矩陣A的秩和其線性空間維數(shù)相同rank（A）=dimR（A）；（博士）3

證明：

C

n

上線性空間

V1??1x?2x?3x?.n

.?x.?.與

n.V2??x1?x2?x3?.....?xn?0?是直和并證明V1?V2?C

。設(shè)矩陣A的滿秩分解為A=FG。證明（FHAGH）可逆。（博士）5設(shè)數(shù)。

?

a

aa

x

a

與x

b

為向量范數(shù)，證明c1?0,c2

?0

則c1

x

a

?c2x

b

也是向量范

6討論矩陣a

a

?a

a在什么情況下矩陣收斂，什么情況下不收斂。

?

7求以下矩陣函數(shù)的解，其中，a,b,c為具體數(shù)字，記不大清楚了。

?dx1

?ax1?bx2;??dt

?

dx2??cx1;?dt?

8證明對角占優(yōu)矩陣可逆；（蓋爾圓法證明）

9應(yīng)該是課后的一道練習(xí)題。矩陣記不得了，證明的最后肯定是。

?

1a?a?a

A?A?1?

10舉例證明下面關(guān)于Moore-penrose的命題不成立。設(shè)P，Q為可逆矩陣，則關(guān)于A的Moore-penrose有下列命題成立?PAQ?

?

?Q

?1

AP

??1。

第二篇：矩陣論考試試題（含答案）

矩陣論試題

一、(10分)設(shè)函數(shù)矩陣

求：和()＇。

解：==

()＇=

二、(15分)在中線性變換將基，變?yōu)榛?1)求在基下的矩陣表示A；

(2)求向量及在基下的坐標(biāo)；

(3)求向量在基下的坐標(biāo)。

解：(1)不難求得：

因此在下矩陣表示為

(2)設(shè)，即

解之得：

所以在下坐標(biāo)為。

在下坐標(biāo)可得

(3)在基下坐標(biāo)為

在基下坐標(biāo)為

三、(20分)設(shè)，求。

解：容易算得

由于是2次多項式，且，故是1次多項式，設(shè)

由于，且，故

于是解得：

從而：

四、(15分)求矩陣的奇異值分解。

解：的特征值是對應(yīng)的特征向量依次為，于是可得，計算：

構(gòu)造，則

則A的奇異值分解為：

五、(15分)求矩陣的滿秩分解：

解：

可求得：，于是有

或

六、(10分)求矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。

解：求的初等因子組，由于

因此，所求的初等因子組為，于是有

A～J=

七、(10分)設(shè)V是數(shù)域F上的線性空間，是V的子空間，則也是V的子空間。

證明：由，知，即說非空，對于任意，則。因為是子空間，所以，故。

對任意，有，且，因此知，故知為V的子空間。

八、(5分)設(shè)，求證。

證明：矩陣A的特征多項式為

令

由Hamilton-Cayley定理知

因此

第三篇：《矩陣論》教學(xué)大綱

《矩陣論》課程教學(xué)大綱

一、課程性質(zhì)與目標(biāo)

（一）課程性質(zhì)

《矩陣論》是數(shù)學(xué)專業(yè)的選修課，是學(xué)習(xí)經(jīng)典數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，又是一門最具有實用價值的數(shù)學(xué)理論。它不僅是數(shù)學(xué)的一個重要的分支，而且業(yè)已成為現(xiàn)代各科技領(lǐng)域處理大量有限維空間形式與數(shù)量關(guān)系的強有力的工具。

（二）課程目標(biāo)

通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握矩陣論的基本概念，基本理論和基本運算，全面了解若干特殊矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形及其基本性質(zhì)，了解近代矩陣論中十分活躍的若干分支，為今后在應(yīng)用數(shù)學(xué)，計算數(shù)學(xué)專業(yè)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)和研究打下扎實的基礎(chǔ)。

二、課程內(nèi)容與教學(xué)

（一）課程內(nèi)容

1、課程內(nèi)容選編的基本原則

把握理論、技能相結(jié)合的基本原則。

2、課程基本內(nèi)容

本課程主要介紹了線性空間、線性映射、酉空間、歐氏空間、若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型、矩陣的分解、矩陣的分析、矩陣函數(shù)和廣義逆矩陣等基本內(nèi)容。

（二）課程教學(xué)

通過本課程中基本概念和基本定理的闡述和論證，培養(yǎng)高年級本科生的抽象思維與邏輯推理能力，提高高年級本科生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

三、課程實施與評價

（一）學(xué)時、學(xué)分

本課程總學(xué)時為54學(xué)時。學(xué)生修完本課程全部內(nèi)容，成績合格，可獲3學(xué)分。

（二）教學(xué)基本條件

1、教師

教師應(yīng)具有良好的師德和較高的專業(yè)素質(zhì)與教學(xué)水平，一般應(yīng)具備講師以上職稱或本專業(yè)碩士以上學(xué)位。

2、教學(xué)設(shè)備

配置與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的圖書、期刊、音像資料等。

（三）課程評價

1、對學(xué)生能力的評價

邏輯推理能力，包括邏輯思維的合理性和嚴(yán)密性。

2、采取教師評價為主的評價方法。

3、課程學(xué)習(xí)成績由期末考試成績（70%）和平時成績（30%）構(gòu)成。課程結(jié)束時評出成績，成績評定可分為優(yōu)、良、中、及格和不及格五個等級，也可采用百分制。

四、課程基本要求

第一章線性空間和線性變換

基本內(nèi)容：線性空間 線性變換

基本要求：

（1）理解線性空間有關(guān)內(nèi)容。

（2）掌握線性變換及其矩陣表示。第二章內(nèi)積空間 基本內(nèi)容：歐氏空間、酉空間、正交基、正交變換 基本要求：

理解內(nèi)積空間的有關(guān)性質(zhì) 掌握正交投影 了解酉變換

第三章矩陣的對角化、若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型

基本內(nèi)容：矩陣對角化、埃爾米特二次型、若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型 基本要求： 掌握矩陣對角化 了解埃爾米特二次型 理解若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型 第四章矩陣的分解

基本內(nèi)容：矩陣的分解、矩陣的譜分解矩陣奇異值分解

基本要求：

（1）掌握矩陣的三角分解與滿秩分解。

（2）掌握可對角化矩陣的譜分解。

（3）掌握奇異值分解。

第五章向量與矩陣的重要數(shù)字特征

基本內(nèi)容：向量范數(shù)與矩陣范數(shù)、相容性

基本要求：了解向量范數(shù)與矩陣范數(shù)及相容性 第六章矩陣分析

基本內(nèi)容：向量、矩陣序列的極限、矩陣的微分 基本要求：

理解向量、矩陣的極限 了解矩陣的微分 第七章矩陣函數(shù)

基本內(nèi)容：矩陣多項式 基本要求：了解矩陣多項式 第八章矩陣的廣義逆

基本內(nèi)容：M-P逆、廣義逆與線性方程組 基本要求： 掌握M-P逆

了解廣義逆與線性方程組

五、學(xué)時分配 : 章節(jié)

授課學(xué)時

線性空間和線性變換 內(nèi)積空間

矩陣的對角化、若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型

矩陣的分解

向量與矩陣的重要數(shù)字特征

矩陣分析

矩陣函數(shù)

矩陣的廣義逆

合計

六、教材和主要參考書：

教材：卜長江主編《矩陣論》哈爾濱工程大學(xué)出版社 參考書：矩陣論引論陳祖明編北京航空航天大學(xué)出版社 矩陣分析王朝瑞編國防工業(yè)出版社

大綱編寫時間：2012.06 教學(xué)大綱編寫教師：薛麗紅 教學(xué)大綱審查教師：沙仁格日樂 教務(wù)處審查人：

第四篇：矩陣論教學(xué)大綱

課程編號： 課程中文名稱：矩陣論B 32學(xué)時/ 2學(xué)分

英文譯名：Matrix Theory 適用領(lǐng)域：工科各專業(yè)

任課教師：林錳，王鋒，李斌，張文穎，王淑娟，吳紅梅 教學(xué)目的：

矩陣?yán)碚撌歉叩葘W(xué)校理、工科研究生的一門重要的基礎(chǔ)課程，作為一門基礎(chǔ)工具，矩陣論在數(shù)學(xué)學(xué)科與其它科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。矩陣?yán)碚撌窃诰€性代數(shù)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步介紹線性空間與線性變換、歐氏空間與酉空間以及在此空間上的線性變換，深刻地揭示有限維空間上的線性變換的本質(zhì)與思想。為了拓展高等數(shù)學(xué)的分析領(lǐng)域，通過引入向量范數(shù)和矩陣范數(shù)在有限維空間上構(gòu)建了矩陣分析理論。

本課程要求學(xué)生掌握多項式矩陣的Smith標(biāo)準(zhǔn)型、一般方陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的化簡；了解Eclide空間與Hermite二次型的有關(guān)理論與方法；理解向量與矩陣的范數(shù)概念，掌握矩陣的冪級數(shù)與方陣函數(shù)的概念與理論及其相關(guān)運算；掌握矩陣的分解等。通過對本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生進(jìn)一步掌握數(shù)學(xué)的基本思想方法，從而提高分析問題與解決實際問題的能力。

從應(yīng)用的角度，矩陣代數(shù)是數(shù)值分析的重要基礎(chǔ)，矩陣分析是研究線性動力系統(tǒng)的重要工具。為了矩陣?yán)碚摰膶嵱眯裕瑢τ诰仃嚧鷶?shù)與分析的計算問題，利用Matlab計算軟件實現(xiàn)快捷的計算分析。

矩陣論的教學(xué)方式由教師授課，教師授課學(xué)時為32學(xué)時。教學(xué)主要內(nèi)容及對學(xué)生的要求：

一、線性空間與線性變換 8學(xué)時

理解線性空間的概念，掌握基變換與坐標(biāo)變換的公式；掌握子空間與維數(shù)定理，了解線性空間同構(gòu)的含義；理解線性變換的概念，掌握線性變換的矩陣表示。

二、內(nèi)積空間 6學(xué)時

理解內(nèi)積空間的概念，掌握正交基及子空間的正交關(guān)系；了解內(nèi)積空間的同構(gòu)的含義，掌握判斷正交變換的判定方法；理解酋空間的概念，會判定一個空間是否為酋空間的方法，掌握酋空間與實內(nèi)積空間的異同；掌握正規(guī)矩陣的概念及判定定理和性質(zhì)，三、矩陣的對角化與若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形 6學(xué)時

掌握矩陣相似對角化的判別方法；理解厄米特二次型的含義。會求矩陣的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形；會求史密斯

準(zhǔn)形；會求若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型

四、矩陣分解 4學(xué)時

會求矩陣的三角分解和UR分解；滿秩分解和單純矩陣的譜分解；了解矩陣的奇異值和極分解。

五、向量與矩陣的重要數(shù)字特征 4學(xué)時

理解向量范數(shù)、矩陣范數(shù)；有限維線性空間上向量范數(shù)的等價性；向量范數(shù)與矩陣范數(shù)的相容性。

六、矩陣分析 4學(xué)時

理解向量和矩陣的極限的概念；掌握矩陣冪級數(shù)收斂的判定方法；理解矩陣的克羅內(nèi)克積；會求矩陣的微分與積分； 對學(xué)生的要求： 通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生在已掌握本科階段線性代數(shù)知識的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步深化和提高矩陣?yán)碚摰南嚓P(guān)知識。并著重培養(yǎng)學(xué)生將所學(xué)的理論知識應(yīng)用于本專業(yè)的實際問題和解決實際問題的能力。本課程還要求學(xué)生從理論上掌握矩陣的相關(guān)理論，會證明簡單的一些命題和結(jié)論，從而培養(yǎng)邏輯思維能力。要求掌握一些有關(guān)矩陣計算的方法，如各種標(biāo)準(zhǔn)型、矩陣函數(shù)等，為今后在相關(guān)專業(yè)中實際應(yīng)用打好基礎(chǔ)?？己朔绞剑洪]卷；筆試

主要參考書目：

[1] 林錳，楊麗紅。矩陣論教程，北京，國防工業(yè)出版社，2012 [2] 程云鵬． 矩陣論(第二版)[M]．西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，2002年。

第五篇：矩陣論課程教學(xué)大綱

《矩陣論》課程教學(xué)大綱

一、課程基本信息

課程編號： xxxxx 課程中文名稱：矩陣論 課程英文名稱：Matrix Theory 課程性質(zhì)： 學(xué)位課 考核方式： 考試 開課專業(yè)： 工科各專業(yè) 開課學(xué)期： 1 總學(xué)時： 36學(xué)時 總學(xué)分： 2學(xué)分

二、課程目的和任務(wù)

矩陣論是線性代數(shù)的后繼課程。在線性代數(shù)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步介紹線性空間與線性變換、歐氏空間與酉空間以及在此空間上的線性變換，深刻地揭示有限維空間上的線性變換的本質(zhì)與思想。為了拓展高等數(shù)學(xué)的分析領(lǐng)域，通過引入向量范數(shù)和矩陣范數(shù)在有限維空間上構(gòu)建了矩陣分析理論。

從應(yīng)用的角度，矩陣代數(shù)是數(shù)值分析的重要基礎(chǔ)，矩陣分析是研究線性動力系統(tǒng)的重要工具。為了矩陣?yán)碚摰膶嵱眯?，對于矩陣代?shù)與分析的計算問題，利用Matlab計算軟件實現(xiàn)快捷的計算分析。

三、教學(xué)基本要求（含素質(zhì)教育與創(chuàng)新能力培養(yǎng)的要求）

通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生在已掌握本科階段線性代數(shù)知識的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步深化和提高矩陣?yán)碚摰南嚓P(guān)知識。并著重培養(yǎng)學(xué)生將所學(xué)的理論知識應(yīng)用于本專業(yè)的實際問題和解決實際問題的能力。

本課程還要求學(xué)生從理論上掌握矩陣的相關(guān)理論，會證明簡單的一些命題和結(jié)論，從而培養(yǎng)邏輯思維能力。要求掌握一些有關(guān)矩陣計算的方法，如各種標(biāo)準(zhǔn)型、矩陣函數(shù)等，為今后在相關(guān)專業(yè)中實際應(yīng)用打好基礎(chǔ)。

四、教學(xué)內(nèi)容與學(xué)時分配

(一)線性空間與線性變換 8學(xué)時 1.理解線性空間的概念，掌握基變換與坐標(biāo)變換的公式； 2.掌握子空間與維數(shù)定理，了解線性空間同構(gòu)的含義； 3.理解線性變換的概念，掌握線性變換的矩陣表示。

(二)內(nèi)積空間 6學(xué)時 1.理解內(nèi)積空間的概念，掌握正交基及子空間的正交關(guān)系； 2.了解內(nèi)積空間的同構(gòu)的含義，掌握判斷正交變換的方法； 3.理解酉空間的概念，會判定一個空間是否為酉空間 4.掌握酉空間與實內(nèi)積空間的異同； 5.掌握正規(guī)矩陣的概念及判定定理和性質(zhì)。

(三)矩陣的對角化與若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形 6學(xué)時 1.掌握矩陣相似對角化的判別方法； 2.理解埃爾米特二次型的含義； 3.會求史密斯標(biāo)準(zhǔn)形； 4.會求若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。

(四)矩陣分解

4學(xué)時 1.會求矩陣的三角分解和UR分解；

2.會求矩陣的滿秩分解和單純矩陣的譜分解； 3.了解矩陣的奇異值和極分解。

(五)向量與矩陣的重要數(shù)字特征

4學(xué)時

1.理解向量范數(shù)、矩陣范數(shù)；

2.有限維線性空間上向量范數(shù)的等價性； 3.向量范數(shù)與矩陣范數(shù)的相容性。

(六)矩陣分析 4學(xué)時 1.理解向量和矩陣的極限的概念； 2.掌握矩陣冪級數(shù)收斂的判定方法； 3.理解矩陣的克羅內(nèi)克積； 4.會求矩陣的微分與積分。

(七)矩陣函數(shù) 4學(xué)時 1.理解矩陣多項式的概念； 2.掌握由解析函數(shù)確定的矩陣函數(shù)； 3.掌握矩陣函數(shù)的計算方法。

五、教學(xué)方法及手段（含現(xiàn)代化教學(xué)手段）

本課程的所有授課內(nèi)容，均使用多媒體教學(xué)方式，教案采用PowerPoint編寫，教師使 用計算機、投影儀、視頻展臺授課。

七、前續(xù)課程、后續(xù)課程

前續(xù)課程：學(xué)生應(yīng)該至少學(xué)過高等數(shù)學(xué)，線性代數(shù)，空間解析幾何等課程。

后續(xù)課程：

八、教材及主要參考資料

[1] 卜長江等.矩陣論[M].哈爾濱：哈爾濱工程大學(xué)出版社，2003年

[2] 徐仲等(西北).矩陣論簡明教程(第二版)[M]．北京：科學(xué)出版社，2002年

撰寫人簽字：范崇金

院（系）教學(xué)院長（主任）簽字：