如何整體把握重點突破淺談二次函數(shù)的教學

摘要:二次函數(shù)是描述現(xiàn)實世界變量之間關系的重要的數(shù)學模型,初中階段主要研究二次函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì),用二次函數(shù)的觀點審視一元二次方程,用二次函數(shù)的相關知識分析和解決簡單的實際問題。其圖像因為是曲線,關系式變化形式多,應用比較復雜,學習難度較大。教學中,應抓住重點組織教學,立足整體設計教法,幫助學生系統(tǒng)把握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì),明晰二次函數(shù)應用的方法。

關鍵詞:二次函數(shù)重點整體難點

二次函數(shù)是初中階段繼一次函數(shù)、反比例函數(shù)之后,學生要學習的最后一類重要的代數(shù)函數(shù),它也是描述現(xiàn)實世界變量之間關系的重要的數(shù)學模型。初中階段主要研究二次函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì),用二次函數(shù)的觀點審視一元二次方程,用二次函數(shù)的相關知識分析和解決簡單的實際問題。二次函數(shù)和一次函數(shù)、反比例函數(shù)一樣,都是高中階段要學習的一般函數(shù)和非代數(shù)函數(shù)的基礎。二次函數(shù)的圖像因為是曲線,關系式變化形式多,應用比較復雜。我在二次函數(shù)的教學中,整體把握,重點突破,收到了較好的教學效果。

一、抓住重點組織教學

(一)通過對實際問題情境的分析確定二次函數(shù)的關系式,并體會二次函數(shù)的意義

這里體現(xiàn)了數(shù)學與生活的關系。教學中,應從教材中的“水滴激起波紋”、“圈養(yǎng)小兔”等實際問題入手,引導學生列出函數(shù)關系式。然后,讓學生觀察、思考:所列的函數(shù)關系式有什么共同點?它們與一次函數(shù)、反比例函數(shù)有什么不同?從而引導出二次函數(shù)的概念,讓學生認識二次函數(shù)的各部分名稱。如此,學生能夠體會到二次函數(shù)來自生活,感受到二次函數(shù)也是描述一類現(xiàn)實問題中變量關系的數(shù)學模型,激發(fā)學習的積極性。

(二)采用“描點法”畫出二次函數(shù)的圖像,從圖像上認識二次函數(shù)的性質(zhì)

這是二次函數(shù)的教學重點。一方面,學生要學會畫出二次函數(shù)的圖像;另一方面,要能從圖像上認識二次函數(shù)的性質(zhì)。教學中,教師要扎實地讓學生畫出二次函數(shù)的圖像(不能一帶而過,就讓學生去解決與圖像有關的復雜題),即運用探索函數(shù)圖像的方法——“描點法”,一步一步地列表、描點、連線,加深對二次函數(shù)圖像形狀的認識。然后,引導學生從二次函數(shù)圖像的形狀、開口方向、對稱性、頂點坐標、增減性等方面去理解二次函數(shù)的性質(zhì)(學生一邊看圖像,一邊說性質(zhì),很直觀)。要提醒的是,不僅要讓學生畫出二次函數(shù)的準確圖像,還要會畫二次函數(shù)的示意圖像。

(三)利用公式確定二次函數(shù)的頂點、開口方向和對稱軸,解決簡單的實際問題

這里包括兩點:一是從二次函數(shù)關系式上認識二次函數(shù)的性質(zhì),這是學生對二次函數(shù)性質(zhì)的進一步認識;二是列二次函數(shù)的關系式解決問題,這是學生學習二次函數(shù)的落腳點所在。從直觀的圖像到關系式認識二次函數(shù)的性質(zhì),是一個提升;從實際問題中提煉出二次函數(shù),通過研究,再回到實際問題中去,這是一個跨越.教學中,為了突破這一難點,可以從二次函數(shù)的圖像入手,將二次函數(shù)的關系式與其圖像比照著進行教學,由圖像認識關系式,由關系式認識圖像。這種“捆綁式”教學,可以促進學生對借助公式確定對二次函數(shù)的頂點、開口方向的理解和掌握。而在運用二次函數(shù)解決簡單的實際問題時,應將知識塊分類后進行教學,這樣效果較好。

(四)運用二次函數(shù)的圖像求一元二次方程的近似解

這是二次函數(shù)的內(nèi)部應用。即從函數(shù)的角度審視一元二次方程與二次函數(shù)的關系,并根據(jù)直觀圖形,借助計算器探索函數(shù)值為0的自變量的值,進而得出用二次函數(shù)圖像求一元二次方程的近似解的方法。在這個過程中,應通過直觀圖像,研究函數(shù)值與自變量的變化,滲透無限逼近和區(qū)間套的數(shù)學思想方法,為學生高中階段的函數(shù)學習做好鋪墊。

二、立足整體設計教法

二次函數(shù)的整體性,體現(xiàn)在其圖像、性質(zhì)以及應用上。教材從學生熟悉的簡單實際問題出發(fā),建立二次函數(shù)的概念,立足運動、變換的觀點,由特殊到一般,分別探討各種形式的二次函數(shù)的圖像和性質(zhì),最后以3個探究性問題為例,探討二次函數(shù)在實際中的應用。學生學習二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)的障礙主要體現(xiàn)在解析式、圖像、性質(zhì)的對應上,應用的主要障礙則是建立二次函數(shù)解析式,并利用解析式解決問題。

(一)層層遞進,系統(tǒng)把握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)

二次函數(shù)的一般形式及其變換形式共有六種:(1)

y=ax2

(a≠0);(2)

y=ax2+k(a≠0);(3)

y=a(x+h)2(a≠0);(4)

y=a(x+h)2

+k(a≠0);(5)

y=ax2+bx+c(a≠0);(6)

y=ax2+bx(a≠0)。要求學生由不同的解析式畫出圖形示意圖并說出對應的性質(zhì),有一定的難度。教學時,應層層遞進,通過畫示意圖像來說性質(zhì)。同時,在學習這六種形式的二次函數(shù)的關系式、圖像和性質(zhì)時,每節(jié)課都復習上節(jié)課學習的二次函數(shù)的關系式、圖像和性質(zhì),并板書。這樣,當學到最后一種二次函數(shù)的解析式、圖像和性質(zhì)時,學生已在頭腦中形成了系統(tǒng)、全面的關于二次函數(shù)的解析式、圖像、性質(zhì)的知識網(wǎng)絡。

(二)策略分類,明晰掌握二次函數(shù)應用的方法

二次函數(shù)是研究單變量最優(yōu)化問題的常用數(shù)學模型。教材從數(shù)量關系入手,把實際問題數(shù)學化,進而求出最優(yōu)解,研究了面積最大、利潤最大等問題。然后,從“形”上研究了拋物線形的拱橋、拋物線形的隧道、噴泉、投擲、跳遠、跨欄等與拋物線有關的問題。這樣的分類(一會兒求關系式,一會兒不求;一會兒給應用問題,一會兒給圖像),對正由形象思維向抽象思維過渡的初中生來說挑戰(zhàn)不小,學生的思維容易發(fā)生混亂。教學二次函數(shù)的應用問題時,根據(jù)學生的年齡特點和知識基礎,按解題策略進行分類,有助于學生理清思路,正確解決問題。

第一類:給二次函數(shù)的關系式解決問題。比如,教材第33頁第4題的“火箭升空”、第34頁第9題的“對概念接受能力”、第35頁第12題的“噴泉”等問題,只要將二次函數(shù)的關系式配方求定點坐標,或令x、y等于0,即可順利解決。

第二類:給應用問題列二次函數(shù)的關系式,再用關系式解決問題。比如,教材第25頁的“最大收益”、“最大面積”等問題,只要分析數(shù)量關系,列出二次函數(shù)的關系式,再由二次函數(shù)的關系式即可解決問題。

第三類:給二次函數(shù)的圖像列二次函數(shù)的關系式解決問題。比如,教材第27頁的問題2“噴泉”問題,只要從圖像上找到一個或兩個點的坐標,代入二次函數(shù)的關系式的一般形式,從而求出二次函數(shù)的關系式,再由二次函數(shù)的關系式,即可解決問題。

第四類:建立直角坐標系,求出二次函數(shù)的關系式解決問題。比如,教材第28頁的“拋物線形拱橋”、第30頁的“欄桿”和“拋物線形拱橋”等問題。這樣的問題,要建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?再由圖像求出二次函數(shù)關系式,然后由二次函數(shù)關系式即可解決問題。

三、著手關鍵化解難點

(一)將二次函數(shù)的一般形式化為頂點式

學生對前四個形式的二次函數(shù)y=ax2

(a≠0),y=ax2+k(a≠0),y=a(x+h)2(a≠0),y

=a(x+h)2

+k(a≠0)畫圖像、說性質(zhì)相對比較容易,對后兩個形式的二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0),y=ax2+bx(a≠0)畫圖像、說性質(zhì),難度就大得多。因為要將它們轉化為y=a(x+h)2

+k(a≠0)的形式,其中涉及配方的問題。而配方又涉及完全平方公式——這在一元二次方程解法的教學時已有所涉獵。因此,教學一元二次方程解法時,就必須注重配方法的教學,到了這個階段再增添求二次三項式的最值問題,學生因為掌握了配方的方法,就容易理解和接受了。

(二)列二次函數(shù)關系式和應用二次函數(shù)關系式

比如,最大效益問題是一元二次方程的利潤類應用問題的遷移,關鍵是把握關系式“每畝(件、千克)效益(利潤)×畝數(shù)(件數(shù)、千克數(shù))=總效益(總利潤)”;面積類問題,關鍵是面積公式;給二次函數(shù)圖像列二次函數(shù)關系式解決問題,關鍵是設二次函數(shù)關系式;建立直角坐標系,求出二次函數(shù)關系式解決問題,關鍵是建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?、設二次函數(shù)關系式;應用二次函數(shù)關系式,關鍵是理解關系式中的字母的意義,看清問題中要求的是關系式中的哪一個問題,從而確定方法。

參考文獻:

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羅增儒。數(shù)學解題學引論[M].西安:陜西師范大學出版社

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