2020屆級示范高中教育教學(xué)改革聯(lián)盟學(xué)校高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（文）試題

一、單選題

1．已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】將化為后,兩邊取模即可求得答案.【詳解】

因?yàn)?所以,所以.故選:C

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算,化為后,兩邊取模,根據(jù)模的運(yùn)算性質(zhì)求解,不需要進(jìn)行復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,這樣可以減少運(yùn)算,本題屬于基礎(chǔ)題.2．若函數(shù)與的定義域分別為和，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】根據(jù)使函數(shù)解析式有意義的原則，分別求出，根據(jù)集合交集運(yùn)算定義，即可得到答案．

【詳解】

解：

解：函數(shù)的定義域

函數(shù)的定義域

故

故選：．

【點(diǎn)睛】

本題以集合的交集運(yùn)算為載體，考查了函數(shù)的定義域問題，其中根據(jù)使函數(shù)解析式有意義的原則，分別求出，是解答的關(guān)鍵

3．已知，，則、、的大小關(guān)系為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】本題首先可以結(jié)合對數(shù)函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得出以及，然后根據(jù)得出，即可得出結(jié)果。

【詳解】

由題意可知：，因?yàn)?，，所以，即，故選:B.【點(diǎn)睛】

本題考查指數(shù)與對數(shù)比較大小，需要熟練掌握指數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查推理能力，是中檔題。

4．已知等差數(shù)列的前3項(xiàng)和為30，后3項(xiàng)和為90，且前項(xiàng)和為200，則（）

A．9

B．10

C．11

D．12

【答案】B

【解析】依題意，利用等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)求出，代入前項(xiàng)和公式即可求出的值．

【詳解】

解：依題意，，所以，所以，所以，解得．

故選：．

【點(diǎn)睛】

本題考查了等差數(shù)列的前項(xiàng)和，考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

5．函數(shù)的大致圖像為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】通過取特殊值逐項(xiàng)排除即可得到正確結(jié)果.【詳解】

函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，排除B和C；

當(dāng)時(shí)，排除A.故選：D.【點(diǎn)睛】

本題考查圖象的判斷，取特殊值排除選項(xiàng)是基本手段，屬中檔題.6．設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為，已知，則（）

A．1009

B．

C．1010

D．

【答案】C

【解析】逐步求出推出周期為4，即可求得前2020項(xiàng)的和.【詳解】

由已知得：，.故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)數(shù)列的遞推公式研究數(shù)列的周期性與單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.7．已知，且，則（）

A．

B．7

C．或－7

D．或7

【答案】D

【解析】由題意按和分類討論得，進(jìn)而得的值即可.【詳解】

已知，且，當(dāng)，∴cosα＝＝，則，∴；

當(dāng)，∴cosα＝＝，則，∴；

綜上：或7

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的合理運(yùn)用，分類討論思想，易錯點(diǎn)是三角函數(shù)的符號容易出錯，屬于基礎(chǔ)題．

8．若非零向量、滿足且，則與的夾角為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】由垂直關(guān)系可得，因?yàn)?，所以，求解即?【詳解】

設(shè)與的夾角為，由已知得：，則，，解得.故選：C

【點(diǎn)睛】

此題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，涉及垂直關(guān)系的向量表示，屬于基礎(chǔ)題.9．古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個(gè)圖形是阿基米德最引以為自豪的發(fā)現(xiàn)．現(xiàn)有一底面半徑與高的比值為1:2的圓柱，則該圓柱的體積與其內(nèi)切球的體積之比為（）

A．

B．

C．2

D．

【答案】B

【解析】設(shè)球的半徑為，則圓柱的底面半徑為，高為，由圓柱和球的體積公式能求出比值．

【詳解】

解：設(shè)球的半徑為，則圓柱的底面半徑為，高為，．

．

故選：．

【點(diǎn)睛】

本題考查球和圓柱的體積和表面積的計(jì)算及其應(yīng)用，考查圓柱、球的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．

10．已知、、為平面內(nèi)三點(diǎn)，滿足，點(diǎn)在直線上，且，則的最小值為（）

A．

B．4

C．

D．

【答案】A

【解析】由已知推出為等腰三角形，求出向量的夾角的余弦值，首先計(jì)算，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可求得最小值.【詳解】

因?yàn)?，所以為等腰三角形，?dāng)時(shí)，取得最小值3，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以的最小值為.故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的數(shù)量積與向量的模，屬于中檔題.11．已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，且，點(diǎn)是的重心，則的外接圓半徑為（）

A．

B．3

C．

D．

【答案】A

【解析】首先利用正弦定理進(jìn)行邊角互化并化簡可得，求出角A，由重心的性質(zhì)得，同時(shí)平方可求出，從而三角形是等邊三角形，再利用正弦定理即可求出外接圓半徑.【詳解】

由已知得：，利用正弦定理可得，又，所以，點(diǎn)是的重心，化簡得，解得，所以是等邊三角形，則的外接圓半徑為，.故選：A

【點(diǎn)睛】

此題考查運(yùn)用正弦定理解三角形，重心的性質(zhì)，綜合性強(qiáng)，屬于中檔題.12．已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線為直線，若直線與函數(shù)，的圖象相切，則必滿足條件（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】求出函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線及在處的切線，由題意知方程有解，利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理確定范圍.【詳解】

函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線的斜率，所以切線方程：即；，設(shè)切點(diǎn)為，切線的斜率；

所以切線方程：，即，若直線與函數(shù)，的圖像相切，則方程組有解，所以有解，構(gòu)造函數(shù)，顯然在上單調(diào)遞增，且；；

所以.故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，函數(shù)與方程的應(yīng)用，零點(diǎn)存在定理判斷函數(shù)零點(diǎn)的分布，屬于中檔題.二、填空題

13．曲線在點(diǎn)處的切線方程為________.【答案】

【解析】求出導(dǎo)函數(shù)，求出切線斜率，利用點(diǎn)斜式可得切線方程.【詳解】，令x=0，切線斜率為-1，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求切線，屬于基礎(chǔ)題.14．若函數(shù)在定義域內(nèi)有遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．

【答案】

【解析】根據(jù)題意，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分析可知在內(nèi)能成立，利用參變量分離法，轉(zhuǎn)化為

在上能成立，設(shè)，利用換元法分析可得答案．

【詳解】

根據(jù)題意，函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)，若函數(shù)在定義域內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則在上有解；

若，變形可得，則在上能成立，設(shè)，則，則，則必有，故的取值范圍為；

故答案為：．

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，對于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，注意導(dǎo)數(shù)的正負(fù)對應(yīng)著函數(shù)的單調(diào)性．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問題時(shí)，經(jīng)常會運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想方法．屬于中檔題．

15．已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)，若對恒成立，且，則的單調(diào)遞增區(qū)間是________．

【答案】

【解析】由對恒成立可得，又，由此可求出，代入原式即可求出的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】

由對恒成立可得，則，即，又，即，易得k為奇數(shù)，則，所以=

令，解得，所以的單增區(qū)間是.故答案為：.【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，由題意得到是解題的關(guān)鍵，屬中檔題.16．若、表示直線，、、表示不同平面，下列四個(gè)命題：

①，，則；

②，，則；

③，，則；

④，與、所成的角相等，則.其中真命題的有________.（請?zhí)钊刖幪枺?/p>

【答案】②

【解析】根據(jù)空間中線面關(guān)系的判定及性質(zhì)逐項(xiàng)分析，即可得出答案.【詳解】

①若，，如圖，則與不一定垂直，①錯誤；

②若，，則，②正確；

③三棱柱的三個(gè)側(cè)面分別記為、、，，但與相交，③錯誤；

④當(dāng)直線m與n平行時(shí)，直線m與兩平面、所成的角也相等均為，④錯誤.【點(diǎn)睛】

本題考查空間中線面、線線關(guān)系和面面關(guān)系，要證明一個(gè)結(jié)論是錯誤的只需舉出反例即可，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題

17．設(shè)命題：不等式對恒成立；命題：方程有兩個(gè)不同的正根.當(dāng)命題和命題不都為假命題時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】

【解析】命題p為真時(shí)利用三角不等式求出a的范圍，命題q為真時(shí)利用判別式及韋達(dá)定理求出a的范圍，命題和命題不都為假命題時(shí)即為真，兩范圍取并集即可.【詳解】

∵，∴，解得；

∵方程有兩不同正根，∴，利用判別式和韋達(dá)定理可得：

解得，∵為真，∴.【點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)“或“的真假求參數(shù)范圍，涉及三角不等式，韋達(dá)定理，屬于中檔題.18．已知正項(xiàng)等差數(shù)列滿足，等比數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，其中是常數(shù)．

（1）求以及數(shù)列、的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．

【答案】（1），；，；（2）

【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得，結(jié)合，求出，進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式；由已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和，利用通項(xiàng)與前項(xiàng)和關(guān)系，可求出結(jié)論；

（2）由，用錯位相減法，即可求解.【詳解】

解：（1）數(shù)列為正項(xiàng)等差數(shù)列，公差，又，，可得，即可得；

①

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，②

①②即可得，又為等比數(shù)列，即可得，；

（2）由題意得，③，④

③④可得：．

．

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)基本量的運(yùn)算，考查已知等比數(shù)列的前求參數(shù)及通項(xiàng)，考查錯位相減法求數(shù)量的前和，屬于中檔題.19．在三角形中，、、分別為角、、的對邊，且．

（1）求角的大小；

（2）若，求面積的最大值．

【答案】（1）（2）

【解析】（1）根據(jù)題意化簡得到，計(jì)算得到答案.（2）根據(jù)余弦定理得到，再利用均值不等式得到，代入面積公式得到答案.【詳解】

（1）由題意得，化簡得，∴，即可得，∴；

（2）∵，由余弦定理得

即可得，∴

當(dāng)時(shí)等號成立.【點(diǎn)睛】

本題考查了三角恒等變換，余弦定理，均值不等式，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.20．如圖，已知四棱錐的底面為菱形，且，是中點(diǎn)．

（1）證明：平面；

（2）若，求三棱錐的體積．

【答案】（1）證明見解析

（2）

【解析】（1）連接BD交AC于F，連接EF，證明EF∥PB得到結(jié)論.（2）先確定AP⊥BP且△ABC為正三角形，取AB中點(diǎn)M，連接PM、CM，證明PM⊥平面ABCD，根據(jù)得到答案.【詳解】

（1）連接BD交AC于F，連接EF

∵四邊形ABCD為菱形，∴F為AC中點(diǎn)，那么EF∥PB

又∵平面ACE，平面ACE∴PB∥平面ACE；

（2）由勾股定理易知AP⊥BP且△ABC為正三角形，∵E為DP中點(diǎn)，∴，取AB中點(diǎn)M，連接PM、CM，由幾何性質(zhì)可知PM＝1，又∵PC＝2，∴PC2＝PM2＋MC2，即PM⊥MC，∵PM⊥AB，∴PM⊥平面ABCD，∴，∴．

【點(diǎn)睛】

本題考查了線面平行，體積的計(jì)算，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.21．為慶祝建國70周年，某高中準(zhǔn)備設(shè)計(jì)一副宣傳畫，要求畫面面積為，畫面高與寬的比為，畫的上下部分各留出的空白，左右部分各留出的空白.（1）當(dāng)時(shí)，該宣傳畫的高和寬分別為多少？

（2）如何確定畫面的高與寬，使得宣傳畫所用紙張面積最小，并求出此時(shí)的值.【答案】（1）54，126（2）畫面的高為，寬；

【解析】(1)設(shè)畫面的高為，寬，由面積列出方程求出x即可得解；(2)

設(shè)畫面的高為，則寬為，求出面積表達(dá)式利用基本不等式即可求得最小值.【詳解】

（1）設(shè)畫面的高為，寬，由題意得，解得，∴該畫的高為：，寬為：；

（2）設(shè)畫面的高為，則寬為，根據(jù)題意得

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立，此時(shí)寬為，∴.【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，涉及基本不等式求和的最小值，屬于基礎(chǔ)題.22．設(shè)函數(shù)為常數(shù)

(1)若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；

(2)當(dāng)時(shí)，證明.【答案】(1)

；(2)

證明見解析.【解析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，單調(diào)分單調(diào)增和單調(diào)減，利用或在上恒成立，求得實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求得結(jié)果.【詳解】

（1）由得導(dǎo)函數(shù)，其中.當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上是單調(diào)遞增函數(shù)，符合題意；

當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上是單調(diào)遞減函數(shù)，符合題意；

當(dāng)時(shí)，由得，則存在，使得.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在上是不是單調(diào)函數(shù)，不符合題意.綜上，的取值范圍是.（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，即，故.令，則，當(dāng)時(shí)，所以在上是單調(diào)遞減函數(shù)，從而，即.【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，涉及到的知識點(diǎn)有根據(jù)函數(shù)在給定區(qū)間上單調(diào)求參數(shù)的取值范圍，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，屬于中檔題目.