第一篇：分析在面積公式的推導(dǎo)中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，圖形的面積是如何編排的？

分析在面積公式的推導(dǎo)中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法

一、在小學(xué)數(shù)學(xué)中，圖形的面積的編排內(nèi)容要點是：

1、結(jié)合實例認(rèn)識面積，體會并認(rèn)識面積單位：平方米、平方分米、平方厘米，能進(jìn)行簡單的單位換算。

2、探索并掌握長方形、正方形的面積公式，會估計給定簡單的面積。

3、探索并掌握三角形、平行四邊形、和梯形的面積公式，并能解決簡單的實際問題。

4、知道面積單位：平方千米、公頃。

5、探索并掌握圓的面積公式，并能解決簡單的實際問題。

二、面積公式的推導(dǎo)中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想是：

1、長方形、正方形的面積公式推導(dǎo)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想：統(tǒng)一思想（用標(biāo)準(zhǔn)單位測量面積）；數(shù)形結(jié)合思想（把測量過程轉(zhuǎn)化成計算方法）。

2、平行四邊形的面積公式推導(dǎo)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化思想（突出轉(zhuǎn)化的可能性：轉(zhuǎn)化前后圖形關(guān)系的比較）；對應(yīng)思想（轉(zhuǎn)化后長方形的各部分分別相當(dāng)于原圖形的哪個部分）。

3、三角形的面積公式推導(dǎo)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化思想；對應(yīng)思想；一般化思想（從個例到一般，突出各種三角形都能轉(zhuǎn)化成平行四邊形）。

4、梯形的面積公式推導(dǎo)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化思想（轉(zhuǎn)化方法的靈活性：梯形可通過多種方式轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的圖形如三角形、長方形、平行四邊形）；整體化思想（用梯形公式統(tǒng)整所有已學(xué)的面積公式）

5、圓的面積公式推導(dǎo)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化思想（轉(zhuǎn)化的特殊方法），極限思想（無限切分與無限接近）

三、面積公式的推導(dǎo)中所運(yùn)用的方法是：

1、長方形、正方形的面積公式推導(dǎo)所運(yùn)用的方法是：估計面積，產(chǎn)生猜想——擺放驗證——推廣應(yīng)用。

2、平行四邊形、梯形、三角形的面積公式推導(dǎo)所運(yùn)用的方法有：運(yùn)用旋轉(zhuǎn)、平移的方法對圖形進(jìn)行割補(bǔ)轉(zhuǎn)化為已學(xué)習(xí)過的圖形，從而推導(dǎo)出公式。

3、圓的面積公式推導(dǎo)所運(yùn)用的方法有：估計面積，產(chǎn)生猜想——測量推理——找出聯(lián)系——得到公式。

第二篇：五年級數(shù)學(xué)梯形面積公式推導(dǎo)(梁秀萍)

—青島版五年級上冊數(shù)學(xué) 高新區(qū)實驗學(xué)校 梁秀萍

教學(xué)目標(biāo)

1、在平行四邊形、三角形面積推導(dǎo)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生采用合作探究的形式，概括出梯形面積計算公式；

2、會正確、較熟練的運(yùn)用公式計算梯形面積，并能解決一些生活中的實際問題，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力；

3、通過自主探究，小組合作，在操作、觀察、比較中，培養(yǎng)學(xué)生的想象力、思考力，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

4、滲透數(shù)學(xué)遷移、轉(zhuǎn)化思想，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。梯形面積公式推導(dǎo)教學(xué)目標(biāo)

教學(xué)重難點

重點：理解并掌握梯形面積公式，會計算梯形的面積。難點：自主探究梯形面積公式

教學(xué)準(zhǔn)備 三角板 直尺 剪刀 梯形 學(xué)具盒及各種圖形的學(xué)具袋

教法與學(xué)法 談話法 小組合作法 啟發(fā)誘導(dǎo)法 教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)舊知，進(jìn)行鋪墊。

談話：1.我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些平面圖形的面積計算，怎樣計算？

2、我們在研究三角形的面積公式時，是怎樣推導(dǎo)的？小結(jié)：我們把三角形轉(zhuǎn)化成已學(xué)過的平行四邊形推導(dǎo)出了三角形的面積計算公式。三角形面積公式推導(dǎo)

3、梯形的特征是什么？ 根據(jù)學(xué)生的回答小結(jié)。

4、導(dǎo)入：你想探究梯形面積怎樣計算嗎？出示課題

二、串聯(lián)情境，激發(fā)興趣。（出示情境圖）

談話：同學(xué)們，上節(jié)課我們在甲魚池參觀，提出了許多有價值的數(shù)學(xué)問題。看，問題口袋里還有問題呢！你想知道嗎？（出示問題口袋里的題目）

三、小組合作、探究新知。

1、出示問題：1號甲魚池的面積是多少？

談話：求1號甲魚池的面積是多少？就是求什么圖形的面積？那么怎樣求梯形的面積呢？這節(jié)我們就一起來探究。板書課題：梯形的面積計算。你們準(zhǔn)備怎樣研究？

小組討論。

2、交流匯報。

師歸納匯總：（表揚(yáng)）剛才同學(xué)們從不同角度，用所學(xué)知識，創(chuàng)造性地想出了這么多辦法，很了不起！從同學(xué)們匯報情況看大致有三種： a把梯形劃分成兩個三角形；b把梯形劃分成一個三角形和一個平行四邊形；c把兩個完全一樣的梯形拼成了一個平行四邊形。從我們的知識水平來看，老師提一個建議，用拼成大平行四邊形的方法來計算，這樣比較簡單，那么是不是任意兩個完全相同的梯形都能拼成大平行四邊形呢？

3、小組合作推導(dǎo)公式

談話：請大家拿出課前準(zhǔn)備的任意兩個完全相同的梯形，試試看！

想一想：拼成圖形與梯形之間有何聯(lián)系？你能從中發(fā)現(xiàn)什么？并填在發(fā)現(xiàn)卡上。

發(fā)現(xiàn)卡

用兩個完全一樣的梯形可以拼成一個--------------形。

這個平行四邊形的底等于----------，高等于--------。

每個梯形的面積等于拼成的平行四邊形面積的----------。

梯形的面積=--------------。

老師注意輔導(dǎo)學(xué)生，了解學(xué)生探究的情況，鼓勵有因難的學(xué)生，并適當(dāng)加以引導(dǎo)。

5、學(xué)生拿著拼圖匯報展示，師注意引導(dǎo)。

6、電腦演示轉(zhuǎn)化推導(dǎo)的全過程。邊演示邊提問發(fā)現(xiàn)卡上的問題。梯形與拼成的平行四邊形的關(guān)系

7、師生歸納出公式（完成板書）：梯形的面積=（上底+下底）×高÷2。

提問：（上底＋下底）×高 算的是什么？為何要除以2？

8、師說明字母公式。

談話：與平行四邊形和三角形一樣梯形面積也有字母公式，誰能用字母表示？說說每個字母分別表示什么？

板書： S =（a + b）× h÷2

9、閱讀課本，并把梯形面積公式填寫在課本89頁相應(yīng)的位置。梯形面積公式

四、運(yùn)用知識，解決問題

1、現(xiàn)在你能算出1號甲魚池的面積了嗎？請學(xué)生填在課本上。

兩名學(xué)生板演，其余學(xué)生獨立練習(xí)。全班交流。

2、想一想，填一填（CAI出示題圖）用兩個完全一樣的梯形,拼成平行四邊形.如果梯形的面積是12平方厘米, 拼成的平行四邊形的面積是()平方厘米.3、做自主練習(xí)的第3題。學(xué)生獨立練習(xí)。全班交流。

4、做自主練習(xí)的第4題。要求面積你需要測量什么？學(xué)生獨立練習(xí)。全班交流。

5、做自主練習(xí)的第5題。你知道什么是水渠的橫截面？（CAI出示）水渠橫截面圖片

學(xué)生獨立練習(xí)，全班交流。

四、小結(jié)：

通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)你有哪些收獲？

五、作業(yè)布置： 91頁的6、7題。

板書設(shè)計 梯形的面積平行四邊形面積= 底 × 高

梯形的面積=（上底＋下底）× 高S =(a + b)× h ÷2

÷

第三篇：淺議數(shù)學(xué)思想和方法在初中教學(xué)中的滲透

淺議數(shù)學(xué)思想和方法在初中教學(xué)中的滲透

初中數(shù)學(xué)教育論文(1)

九年義務(wù)教育全日制初級中學(xué)數(shù)學(xué)《新課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出:教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動的機(jī)會，幫助他們在自主探究和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者.新課程把數(shù)學(xué)思想方法作為基礎(chǔ)知識的重要組成部分，在數(shù)學(xué)《新課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確提出來，這不僅是課標(biāo)體現(xiàn)義務(wù)教育性質(zhì)的重要表現(xiàn)，也是對學(xué)生實施創(chuàng)新教育、培訓(xùn)創(chuàng)新思維的重要保證.一、了解《數(shù)學(xué)新課標(biāo)》要求，把握教學(xué)方法

《數(shù)學(xué)新課標(biāo)》對初中數(shù)學(xué)中滲透的數(shù)學(xué)思想方法劃分為三個層次，即“了解”、“理解”和“會應(yīng)用”.在教學(xué)中，要求學(xué)生“了解”數(shù)學(xué)思想有:數(shù)形結(jié)合的思想、分類的思想、化歸的思想、類比的思想和函數(shù)的思想等.教師在整個教學(xué)過程中，不僅應(yīng)該使學(xué)生能夠領(lǐng)悟到這些數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，而且要激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想的好奇心和求知欲，通過獨立思考，不斷追求新知，發(fā)現(xiàn)、提出、分析并創(chuàng)造性地解決問題.在《數(shù)學(xué)新課標(biāo)》中要求“了解”的方法有:分類法、類比法、反證法等.要求“理解”或“會應(yīng)用”的方法有:待定系數(shù)法、消元法、降次法、配方法、換元法、圖象法等.在教學(xué)中，要認(rèn)真把握好“了解”、“理解”、“會應(yīng)用”這三個層次.不能隨意將“了解”的層次提高到“理解”的層次，把“理解”的層次提高到“會應(yīng)用”的層次，不然的話，學(xué)生初次接觸就會感到數(shù)學(xué)思想方法抽象難懂，高深莫測，從而導(dǎo)致他們失去信心.我們在教學(xué)中，應(yīng)牢牢把握住這個“度”，千萬不能隨意拔高、加深.否則，教學(xué)效果將是得不償失.二、遵循認(rèn)識規(guī)律，把握教學(xué)原則，實施創(chuàng)新教育

由于初中學(xué)生數(shù)學(xué)知識比較貧乏，抽象思維能力也較為薄弱，把數(shù)學(xué)思想方法作為一門獨立的課程還缺乏應(yīng)有的基礎(chǔ).因而只能將數(shù)學(xué)知識作為載體，把數(shù)學(xué)思想和方法的教學(xué)滲透到數(shù)學(xué)知識的教學(xué)中.教師要把握好滲透的契機(jī)，重視數(shù)學(xué)概念、公式、定理、法則的提出過程，知識的形成、發(fā)展過程，解決問題和規(guī)律的概括過程，使學(xué)生在這些過程中展開思維，從而發(fā)展他們的科學(xué)精神和創(chuàng)新意識，形成獲取、發(fā)展新知識，運(yùn)用新知識解決問題.忽視或壓縮這些過程，一味灌輸數(shù)學(xué)思想方法，就會失去滲透數(shù)學(xué)思想方法的機(jī)會.三、結(jié)合初中教學(xué)大綱，就初中數(shù)學(xué)教材進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)研究

首先，要通過對教材進(jìn)行完整的分析和研究，理清和把握教材的體系和脈絡(luò)，統(tǒng)覽教材全局，高屋建瓴.然后，建立各類概念、知識點或知識單元之間的界面關(guān)系，歸納和揭示其特殊性質(zhì)和內(nèi)在的一般規(guī)律.例如，在“因式分解”這一章中，我們接觸到許多數(shù)學(xué)方法——提公因式法、運(yùn)用公式法、分組分解法、十字相乘法等.這是學(xué)習(xí)這一章知識的重點，只要我們學(xué)會了這些方法，按知識──方法──思想的順序提煉數(shù)學(xué)思想方法，就能運(yùn)用它們?nèi)ソ鉀Q成千上萬分解多項式因式的問題.又如結(jié)合初中代數(shù)的消元、降次、配方、換元方法，以及分類、變換、歸納、抽象和數(shù)形結(jié)合等方法性思想，進(jìn)一步確定數(shù)學(xué)知識與其思想方法之間的結(jié)合點，建立一整套豐富的教學(xué)范例或模型，最終形成一個活動的知識與思想互聯(lián)網(wǎng)絡(luò).四、以數(shù)學(xué)知識為載體，將數(shù)學(xué)思想方法有機(jī)地滲透入教學(xué)計劃和教案內(nèi)容之中

教學(xué)計劃的制訂應(yīng)體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的綜合考慮，要明確每一階段的載體內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)、展開步驟、教學(xué)程序和操作要點.數(shù)學(xué)教案則要就每一節(jié)課的概念、命題、公式、法則以至單元結(jié)構(gòu)等教學(xué)過程進(jìn)行滲透思想方法的具體設(shè)計.要求通過目標(biāo)設(shè)計、創(chuàng)設(shè)情境、程序演化、歸納總結(jié)等關(guān)鍵環(huán)節(jié)，在知識的發(fā)生和運(yùn)用過程中貫徹數(shù)學(xué)思想方法，形成數(shù)學(xué)知識、方法和思想的一體化.五、根據(jù)不同的數(shù)學(xué)思想方法，在教學(xué)中靈活運(yùn)用

應(yīng)充分利用數(shù)學(xué)的現(xiàn)實原型作為反映數(shù)學(xué)思想方法的基礎(chǔ).數(shù)學(xué)思想方法是對數(shù)學(xué)問題解決或構(gòu)建所做的整體性考慮，它來源于現(xiàn)實原型又高于現(xiàn)實原型，往往借助現(xiàn)實原型使數(shù)學(xué)思想方法得以生動地表現(xiàn)，有利于對其深入理解和把握.例如，分類討論的思想方法始終貫穿于整個數(shù)學(xué)教學(xué)中，在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生對所討論的對象進(jìn)行合理分類(分類時要做到不重復(fù)、不遺漏、標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、分層不越級)，然后逐類討論(即對各類問題詳細(xì)討論、逐步解決)，最后歸納總結(jié).教師要幫助學(xué)生掌握好分類的方法原則，形成分類思想.在知識的結(jié)論、公式、法則等規(guī)律的推導(dǎo)階段，要強(qiáng)調(diào)和灌輸思維方法，如解方程的如何消元降次、函數(shù)的數(shù)與形的轉(zhuǎn)化、判定兩個三角形相似有哪些常用思路等.總之，數(shù)學(xué)思想方法是從數(shù)學(xué)內(nèi)容中提煉出來的數(shù)學(xué)學(xué)科的精髓，是將數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)能力的橋梁.初中數(shù)學(xué)思想方法教育，是培養(yǎng)和提高學(xué)生素質(zhì)的重要內(nèi)容.在教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)好概念的基礎(chǔ)上掌握數(shù)學(xué)思想方法，開展數(shù)學(xué)思想方法教育是新課改中所必須把握的教學(xué)要求.

第四篇：在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法

一、了解《大綱》要求，把握教學(xué)方法

所謂數(shù)學(xué)思想，就是對數(shù)學(xué)知識和方法的本質(zhì)認(rèn)識，是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識。所謂數(shù)學(xué)方法，就是解決數(shù)學(xué)問題的根本程序，是數(shù)學(xué)思想的具體反映。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)的行為。運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問題的過程就是感性認(rèn)識不斷積累的過程，當(dāng)這種量的積累達(dá)到一定程序時就產(chǎn)生了質(zhì)的飛

躍，從而上升為數(shù)學(xué)思想。若把數(shù)學(xué)知識看作一幅構(gòu)思巧妙的藍(lán)圖而建筑起來的一座宏偉大廈，那么數(shù)學(xué)方法相當(dāng)于建筑施工的手段，而這張藍(lán)圖就相當(dāng)于數(shù)學(xué)思想。

1、明確基本要求，滲透“層次”教學(xué)?！稊?shù)學(xué)大綱》對初中數(shù)學(xué)中滲透的數(shù)學(xué)思想、方法劃分為三個層次，即“了解”、“理解”和“會應(yīng)用”。在教學(xué)中，要求學(xué)生“了解”數(shù)學(xué)思想有：數(shù)形結(jié)合的思想、分類的思想、化歸的思想、類比的思想和函數(shù)的思想等。這里需要說明的是，有些數(shù)學(xué)思想在教學(xué)大綱中并沒有明確提出來，比如：化歸思想是滲透在學(xué)習(xí)新知識和運(yùn)用新知識解決問題的過程中的，方程（組）的解法中，就貫穿了由“一般化”向“特殊化”轉(zhuǎn)化的思想方法。

教師在整個教學(xué)過程中，不僅應(yīng)該使學(xué)生能夠領(lǐng)悟到這些數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，而且要激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想的好奇心和求知欲，通過獨立思考，不斷追求新知，發(fā)現(xiàn)、提出、分析并創(chuàng)造性地解決問題。在《教學(xué)大綱》中要求“了解”的方法有：分類法、類經(jīng)法、反證法等。要求“理解”的或“會應(yīng)用”的方法有：待定系數(shù)法、消元法、降次法、配方法、換元法、圖象法等。在教學(xué)中，要認(rèn)真把握好“了解”、“理解”、“會應(yīng)用”這三個層次。不能隨意將“了解”的層次提高到“理解”的層次，把“理解”的層次提高到“會應(yīng)用”的層次，不然的話，學(xué)生初次接觸就會感到數(shù)學(xué)思想、方法抽象難懂，高深莫測，從而導(dǎo)致他們推動信心。如初中幾何第三冊中明確提出“反證法”的教學(xué)思想，且揭示了運(yùn)用“反證法”的一般步驟，但《教學(xué)大綱》只是把“反證法”定位在“了解”的層次上，我們在教學(xué)中，應(yīng)牢牢地把握住這個“度”，千萬不能隨意拔高、加深。否則，教學(xué)效果將是得不償失。

2、從“方法”了解“思想”，用“思想”指導(dǎo)“方法”。關(guān)于初中數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)思想和方法內(nèi)涵與外延，目前尚無公認(rèn)的定義。其實，在初中數(shù)學(xué)中，許多數(shù)學(xué)思想和方法是一致的，兩者之間很難分割。它們既相輔相成，又相互蘊(yùn)含。只是方法較具體，是實施有關(guān)思想的技術(shù)手段，而思想是屬于數(shù)學(xué)觀念一類的東西，比較抽象。因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，加強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)方法的理解和應(yīng)用，以達(dá)到對數(shù)學(xué)思想的了解，是使數(shù)學(xué)思想與方法得到交融的有效方法。比如化歸思想，可以說是貫穿于整個初中階段的數(shù)學(xué)，具體表現(xiàn)為從未知到已知的轉(zhuǎn)化、一般到特殊的轉(zhuǎn)化、局部與整體的轉(zhuǎn)化，課本引入了許多數(shù)學(xué)方法，比如換元法，消元降次法、圖象法、待定系數(shù)法、配方法等。在教學(xué)中，通過對具體數(shù)學(xué)方法的學(xué)習(xí)，使學(xué)生逐步領(lǐng)略內(nèi)含于方法的數(shù)學(xué)思想；同時，數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)，又深化了數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用。這樣處置，使“方法”與“思想”珠聯(lián)璧合，將創(chuàng)新思維和創(chuàng)新精神寓于教學(xué)之中，教學(xué)才能卓有成效。

二、遵循認(rèn)識規(guī)律，把握教學(xué)原則，實施創(chuàng)新教育

要達(dá)到《教學(xué)大綱》的基本要求，教學(xué)中應(yīng)遵循以下幾項原則：

1、滲透“方法”，了解“思想”。由于初中學(xué)生數(shù)學(xué)知識比較貧乏，抽象思想能力也較為薄弱，把數(shù)學(xué)思想、方法作為一門獨立的課程還缺乏應(yīng)有的基礎(chǔ)。因而只能將數(shù)學(xué)知識作為載體，把數(shù)學(xué)思想和方法的教學(xué)滲透到數(shù)學(xué)知識的教學(xué)中。教師要把握好滲透的契機(jī)，重視數(shù)學(xué)概念、公式、定理、法則的提出過程，知識的形成、發(fā)展過程，解決問題和規(guī)律的概括過程，使學(xué)生在這些過程中展開思維，從而發(fā)展他們的科學(xué)精神和創(chuàng)新意識，形成獲取、發(fā)展新知識，運(yùn)用新知識解決問題。忽視或壓縮這些過程，一味灌輸知識的結(jié)論，就必然失去滲透數(shù)學(xué)思想、方法的一次次良機(jī)。如初中代數(shù)課本第一冊《有理數(shù)》這一章，與原來部編教材相比，它少了一節(jié)——“有理數(shù)大小的比較”，而它的要求則貫穿在整章之中。在數(shù)軸教學(xué)之后，就引出了“在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大”，“正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)”。而兩個負(fù)數(shù)比大小的全過程單獨地放在絕對值教學(xué)之后解決。教師在教學(xué)中應(yīng)把握住這個逐級滲透的原則，既使這一章節(jié)的重點突出，難點分散；又向?qū)W生滲透了形數(shù)結(jié)合的思想，學(xué)生易于接受。

在滲透數(shù)學(xué)思想、方法的過程中，教師要精心設(shè)計、有機(jī)結(jié)合，要有意識地潛移默化地啟發(fā)學(xué)生領(lǐng)悟蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)之中的種種數(shù)學(xué)思想方法，切忌生搬硬套，和盤托出，脫離實際等錯誤做法。比如，教學(xué)二次不等式解集時結(jié)合二次函數(shù)圖象來理解和記憶，總結(jié)歸納出解集在“兩根之間”、“兩根之外”，利用形數(shù)結(jié)合方法，從而比較順利地完成新舊知識的過渡。

2、訓(xùn)練“方法”，理解“思想”。數(shù)學(xué)思想的內(nèi)容是相當(dāng)豐富的

第五篇：研究性學(xué)習(xí)的思想和方法在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的滲透

2003年浙江省立項課題

研究性學(xué)習(xí)的思想和方法在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的滲透

現(xiàn)代的數(shù)學(xué)課怎么上？隨著教學(xué)改革的繼續(xù)和深入，教學(xué)理念的更新和改變。大體趨向是：一言堂被群言堂取代；灌輸被啟發(fā)探索取代；單向傳遞進(jìn)化成雙向互動。教師在課堂上的角色在逐漸的改變，和學(xué)生之間的關(guān)系也在產(chǎn)生很大的變化。那么教師在課堂上究竟成為怎樣的一個角色才更合理，才更有利于在課堂上開展研究性學(xué)習(xí)？

筆者在近幾年的教學(xué)實踐中不斷探索、總結(jié)。對如何在教學(xué)過程中進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)和教師在教學(xué)過程中的角色的定位有一些體會和感悟?，F(xiàn)展示如下。

一、教師是教材的開發(fā)者

我們教師不僅是教材的使用者，不只是使用教材，而應(yīng)對教材深入研究。對課本的例題和習(xí)題的功能和作用要深挖掘。使其成為學(xué)生研究性學(xué)習(xí)的素材。開拓學(xué)生視野、提高學(xué)生思維能力。

1、一個新的視角——圓的新定義

例：已知一曲線是與兩個定點O?0,0?1A?3,0?的距離的比為的點的軌跡，求這個曲線的方程，并

2畫出曲線。（高中數(shù)學(xué)第二冊（上）P78例5）

學(xué)生利用求動點軌跡的一般方法，得出曲線方程為

x2?y2?2x?3?0 即 ?x?1??y2?4

2所以曲線是以??1,0?為圓心，2為半徑的圓。

教師設(shè)疑：如果改變定點的坐標(biāo)，或改變距離的比值，曲線是否是圓嗎？（學(xué)生反映不一）問題1 在平面內(nèi)，與兩個定點F1,F2的距離之比是常數(shù)????0?的點的軌跡是什么？ 解：設(shè)F1??a,0?,F2?a,0?，動點M?x,y?,則

MF1MF2?? 兩邊平方整理得：

?1???x??1???y2222?2a1??2x?a21??2?0。

22????1??22x?a?0（這軌跡一定是圓么？）因⑴當(dāng)1???0，即??1時，原方程為 x?y?2a21??224?2222?1???22為D?E?4F?4a??1??2???4a?4a1??2??所以此時動點M的軌跡是圓。

2??2>0 結(jié)論：在平面內(nèi)，與兩個定點F1,F2的距離的比是常數(shù)????0,??1?的點的軌跡是圓。

（解決了學(xué)生的問題，大大的激發(fā)了學(xué)生的積極性和探究問題的主動性）

教師：上述結(jié)論可否作為圓的一個新定義？它有什么主要特點？（學(xué)生發(fā)表意見教師總結(jié)）這是圓的新定義，盡管形式上比原定義復(fù)雜，但其定義方式上與橢圓相似，從而揭示了兩種曲線之間的內(nèi)在聯(lián)系。

2、從比較中引出新問題

教師提問：圓的這一新定義與橢圓的定義之間究竟有怎樣的聯(lián)系？由此可獲得什么啟發(fā)？ 2003年浙江省立項課題

（教師列出橢圓的兩個定義，學(xué)生探究。）

得出：圓的新定義可看成由橢圓的兩個定義的各一部分內(nèi)容所組成。

學(xué)生質(zhì)疑：那么由橢圓兩個定義的其他部分所組成的命題（其動點軌跡）又是什么？

問題2在平面內(nèi)，到一定點的距離與到一定直線的距離的和是常數(shù)的點的軌跡是什么？

分析：仿橢圓第一定義，對上述問題分情況討論（教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合理的分析，師生共同完成。）設(shè)定點F到定直線l的距離為常數(shù)p，動點到定點的距離與到定直線的距離之和是常數(shù)a，則

當(dāng)a?p時，無軌跡；當(dāng)a?p時，動點軌跡是定直線l；當(dāng)a?p時，如下圖，通過分析，問題歸納為：

問題2’、在平面內(nèi)，到定點的距離與到定直線的距離之和是常數(shù)（大于定點到定直線的距離）的點的軌跡是什么？

（學(xué)生解決問題有困難時，教師應(yīng)啟發(fā)學(xué)生從特殊到一般的思想方式去嘗試）問題

3、設(shè)動點M到定點F?0,1?與到定直線l:y??1的距離之和等于4，求動點M的軌跡方程并畫出草圖。

22解：設(shè)M?x,y?，由題意得x??y?1??y?1?4 即x??y?1??4?y?1

22⑴當(dāng)y??1時，原方程為x??y?1???y?3 ?y?3?

22兩邊平方整理得 y??12x?2 ?y?2? 4所以 當(dāng)?1?y?2時，動點M的軌跡方程是 y??2212x?2 4⑵ 當(dāng)y??1時，原方程為x??y?1??y?5 ?y??5? 整理得： y?12x?212?y??2? 所以當(dāng)?2?y??1時，動點M的軌跡方程是

?12x?2??2?y??1??12?12 y?x?2 綜合⑴⑵得動點M的軌跡方程是y??12??1x2?2??1?y?2???4由特例得出的動點軌跡方程，就是我們熟悉的二次函數(shù)形式，其軌跡是由兩支拋物線的各一部分組成。這再一次及大的調(diào)動了學(xué)生進(jìn)一步探索一般情形的積極性。

問題

3、設(shè)動點M到定點

p?p?F?0,?與定直線l:y??的距離之和等于定長a?a?p?0?，求動點M的軌跡方程。

2?2?2

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仿特例學(xué)生自己得出所求動點M的軌跡方程是

?1a?ap?2x???y?????2?a?p?222???y??

1a?pa???x2????y???2?22??2?a?p?結(jié)論：在平面內(nèi)，到定點F的距離與到定直線l的距離的和是常數(shù)a（大于定點到定直線的距離p）的點的軌跡是由兩支拋物線的各一部分組成。

通過本節(jié)課和學(xué)生一起探索研究，深刻的體會到，教師不但要使用好教材。更要認(rèn)真鉆研開發(fā)教材，成為教材的開拓者。只有在教材上“深挖洞”，才能在解決、思考數(shù)學(xué)問題上“廣積糧”。

二、教師應(yīng)該是學(xué)生研究性學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者

學(xué)生的研究性學(xué)習(xí)過程是學(xué)生自主分析、研究、探索、發(fā)現(xiàn)的思維過程，它與人類認(rèn)識世界的過程非常相似，都要經(jīng)歷探索、實踐、猜想、發(fā)現(xiàn)、失敗、再探索再實踐，不斷總結(jié)教訓(xùn)經(jīng)多次努力，最終從失敗走向成功的過程。課堂教學(xué)由于時間的限制，不可能讓學(xué)生經(jīng)歷多次反復(fù)，但學(xué)生的探索過程也不會一次成功。研究性教學(xué)要展現(xiàn)學(xué)生的思維過程，應(yīng)重點展示學(xué)生發(fā)生的錯誤，恰當(dāng)分析引導(dǎo)，克服障礙、困難，由失敗走向成功。在我們研究拋物線的焦點弦的性質(zhì)時，曾經(jīng)上過這樣一節(jié)課，現(xiàn)整理如下。

教師：今天我們共同研究拋物線的焦點弦的有關(guān)性質(zhì)。

當(dāng)拋物線的焦點弦垂直于它的對稱軸時，該焦點弦叫做拋物線的通徑。如圖點F是拋物線y2?2px?p?0?的焦點，線段AB是它的通徑，若A?x1,y1?,B?x2,y2?，對此我們能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？

p2p2學(xué)生：⑴x1?x2?;⑵y1y2??p ⑶x1x2? ⑷AB?2p

42教師：請同學(xué)們證明。然后學(xué)生自己證明，主要兩種證法

1、用定義來證；

2、求出A,B兩點坐標(biāo)。那么對于通徑中的這些結(jié)論，在拋物線的一般焦點弦中會怎樣呢？過了一會，有個學(xué)生

說：AB?x1?x2?pp??2p，就是說，拋物線的焦點弦的長恒是定植2p。22教師：這是一個很大膽的猜想，其結(jié)論一定正確嗎？幾分鐘后。學(xué)生1：這猜想是錯誤的，可以通過一個特例來驗證。

0學(xué)生2 如圖當(dāng)拋物線的焦點弦AB的傾斜角小于90時，焦半徑AF增大，BF減小。而增大的比減小的多。所以圖2中的AB大于圖1中的AB。（大家都善意的笑起來，這只是觀察并非證明。）

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學(xué)生3 當(dāng)拋物線的焦點弦的傾斜角由900逐漸減小到00時，拋物線的焦點弦就逐漸變成了拋物線的對稱軸，它的長度將從2p趨向正無窮大。所以這猜想是錯誤的。

教師：太好了，從極限的角度來分析問題非常自然。那么這個猜想有沒有合理的地方？ 又有學(xué)生說：在所有焦點弦中是否通徑長最短？ 這又是一個很好的猜想。能否給于證明？

p2學(xué)生4：利用“均值不等式”得AB?x1?x2?p?2x1x2?p，又因為x1x2?，所以

4AB?x1?x2?p?2x1x2?p?2p。

p2很多學(xué)生對這種解法有疑問，就是在一般焦點弦中x1x2?是否成立還不知道。

4p??2學(xué)生5 設(shè)AB的方程為 y?k?x???k?0?與拋物線y?2px聯(lián)立就可以了。

2??學(xué)生經(jīng)過運(yùn)算得出結(jié)論正確。那么等號能否成立？

由“均值不等式”中等號成立的充要條件可知，當(dāng)且僅當(dāng) x1?x2?弦AB就是它的通徑。

p,AB?2p此時拋物線的焦點2結(jié)論：拋物線的通徑是焦點弦中唯一最短的。

拋物線的焦點弦性質(zhì)的研究沒有結(jié)束，還有許多很好的性質(zhì)請同學(xué)們課后思考。

數(shù)學(xué)的研究性學(xué)習(xí)充滿了探索精神，在探索的歷程中首先要讓學(xué)生認(rèn)真觀察，嚴(yán)謹(jǐn)思考，大膽猜想發(fā)現(xiàn)問題，教師不是課堂上擁有至上權(quán)力的“指揮官”，而是一個“導(dǎo)演”或參與者，站在旁觀者的的角度，積極參與。在問題的關(guān)鍵時刻恰當(dāng)點撥、引導(dǎo)，對學(xué)生的多方面的想法進(jìn)行整合。讓學(xué)生們的探索順利進(jìn)行。探索是數(shù)學(xué)的生命，學(xué)生是課堂的主人。

三、教師本身應(yīng)該是研究性學(xué)習(xí)的帶頭人

1、更新觀念，作好角色轉(zhuǎn)變

新課程改革要求教師“為素質(zhì)而教”。所以在教學(xué)過程中應(yīng)樹立“為人的可持續(xù)發(fā)展而教”的教學(xué)觀念，完成從傳統(tǒng)的知識傳播者到學(xué)生發(fā)展的促進(jìn)者這一角色轉(zhuǎn)變。在“以學(xué)生發(fā)展為本”的全新理念下作為課堂學(xué)習(xí)的指導(dǎo)者、組織者以及學(xué)生探索問題的合作者，教師應(yīng)關(guān)注每一個學(xué)生的個性發(fā)展，引導(dǎo)學(xué)生積極參與教學(xué)過程。所以教師應(yīng)繼續(xù)學(xué)習(xí)，更新教學(xué)觀念。再是新課程的內(nèi)容框架下，很多教師知識的綜合性與前瞻性不足，難于獨立出色完成對學(xué)生的指導(dǎo)工作，這需要我們教師繼續(xù)學(xué)習(xí)，不斷更新知識結(jié)構(gòu)，拓寬我們的知識面，更能使教學(xué)貼近學(xué)生，使學(xué)生的學(xué)習(xí)更有后勁。

2、變角色，提升自己的教育教學(xué)研究能力

新的教學(xué)觀念必然要求新的與數(shù)學(xué)教師相適應(yīng)的專業(yè)品格與教學(xué)技能，要有對數(shù)學(xué)教育規(guī)律和學(xué)生發(fā)展的深刻認(rèn)識，要有不斷思考和改革數(shù)學(xué)教學(xué)工作的意識和能力。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)調(diào)動學(xué)生的求知欲，保護(hù)好學(xué)生的好奇心、發(fā)現(xiàn)欲，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神與創(chuàng)造能力。這種意識的培養(yǎng)與能力的提升需要我們數(shù)學(xué)教師通過不斷探索、學(xué)習(xí)而逐漸內(nèi)化與提高。

2003年浙江省立項課題

1、終身學(xué)習(xí)，優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)作為自然科學(xué)的有力工具，越來越顯重要，而研究性學(xué)習(xí)的范疇也越來越廣，這需要我們數(shù)學(xué)教師除了必備的專業(yè)知識外，還需要更多的另外學(xué)科的知識。數(shù)學(xué)教學(xué)也正在從封閉走向開放。所以數(shù)學(xué)教師要重新考慮新舊知識的縱向延伸與各另外知識的橫向聯(lián)系，瞄準(zhǔn)新舊知識的交匯點與另外學(xué)科的知識連接點與知識應(yīng)用點。所以要有意識的去學(xué)習(xí)拓寬相關(guān)學(xué)科的知識，實現(xiàn)多學(xué)科的溝通與融合。

現(xiàn)代教學(xué)變化日新月異，教學(xué)理念的變化，教學(xué)內(nèi)容的調(diào)整，教學(xué)手段的更新等對我們現(xiàn)代教師極富挑戰(zhàn)性。要與時俱進(jìn)，順應(yīng)時代的變化。教師必須認(rèn)真學(xué)習(xí)，研究。鉆研教材，探索教法，學(xué)習(xí)理論發(fā)揚(yáng)創(chuàng)新精神，認(rèn)真設(shè)計課堂教學(xué)程序。將它們用于我們的課堂教學(xué)實踐。這也是研究性學(xué)習(xí)。要做到這點，筆者認(rèn)為光靠吃苦、奉獻(xiàn)是不夠的，更重要的是對自己所從事的事業(yè)的熱愛。只有熱愛自己事業(yè)的人，才會感到不足，才會不斷的探索研究，不斷的提高。同時自己對事業(yè)的態(tài)度會感染學(xué)生，使學(xué)生也以同樣的態(tài)度對待數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，不斷的去探索、發(fā)現(xiàn)、思考、感悟。感覺到學(xué)習(xí)探索的樂趣，熱愛學(xué)習(xí)，熱愛數(shù)學(xué)，形成一種學(xué)習(xí)上的良性循環(huán)。只有這樣才能課堂內(nèi)外形成一種研究、學(xué)習(xí)的氛圍。才能使研究性學(xué)習(xí)落到實處。師生在這片學(xué)習(xí)的熱土上共同耕耘，共享學(xué)習(xí)、教學(xué)的樂趣。筆者認(rèn)為研究性學(xué)習(xí)是一種理念，更是一種從已知的知識出發(fā)去探究未知的學(xué)習(xí)過程，也是應(yīng)該教給學(xué)生的一種學(xué)習(xí)方法。它貫徹在我們平時的教育教學(xué)過程中。它不是一種模式，更不是一種時髦，而是一種學(xué)習(xí)習(xí)慣，只有培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成這樣一種良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，才能使他們在今后的人生道路上不斷進(jìn)取，知識不斷更新與時俱進(jìn)，不斷取得更大的成功和進(jìn)步。