第一篇：數(shù)列求和方法及數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)列求和

一、常用公式法

直接利用公式求和是數(shù)列求和的最基本的方法．常用的數(shù)列求和公式有：

等差數(shù)列求和公式:

等比數(shù)列求和公式:

二、錯(cuò)位相減法

可以求形如 的數(shù)列的和，其中

為等差數(shù)列，為等比數(shù)列.例1：求和：.設(shè)

減法求和.解：，其中 為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，公比為，利用錯(cuò)位相，兩端同乘以，得，兩式相減得

于是.說(shuō)明：錯(cuò)位相減法實(shí)際上是把一個(gè)數(shù)列求和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和的問(wèn)題.三、裂項(xiàng)相消法

適用于 階乘的數(shù)列等 例2

求數(shù)列{1/（＋)}的前n項(xiàng)和 其中{

}是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)；部分無(wú)理數(shù)列、含解： ∵1/(＋)＝－(n＋1－n＝1)

分母有理化

∴1/（＝

＝＋)＋1/(－－1

＋)＋…＋1/(－

－)－1＋＋…＋說(shuō)明：對(duì)于分母是兩二次根式的和，且被開(kāi)方數(shù)是等差數(shù)列，利用乘法公式，使分母上的和變成了分子上的差，從

而Sn又因中間項(xiàng)相消而可求。

四、分組轉(zhuǎn)化法

有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，能分為幾個(gè)

等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，則對(duì)拆開(kāi)后的數(shù)列分別求和，再將其合并即可求出原數(shù)列的和．

n例3 已知集合A＝{a|a＝2＋9n－4，n∈N且a＜2000}，求A中元素的個(gè)數(shù)，以及這些元素的和

1011解： 由 2＝1024，2＝2048 1010－4＜2000

知 2＋9×1110－4＞2000

2＋9×

∴ A中有10個(gè)元素,記這些元素的和為S10，則

(首項(xiàng)為9，公差為9的等差數(shù)列)

2310

S10＝2＋2＋2＋…＋2＋9＋18＋…＋90－4×

(首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列)

5－40＝2501

＝2(210－1)＋99× 說(shuō)明：本題中A是一個(gè)集合，集合中的元素是不可重復(fù)的，也是沒(méi)有順序，所以集合與數(shù)列是不同的，但在求和時(shí)與10個(gè)元素的順序無(wú)關(guān)，所以可借用數(shù)列的方法求和。

五、配對(duì)求和法

對(duì)一些特殊的數(shù)列，若將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，則在數(shù)列求和時(shí)，可考慮把這些項(xiàng)放在一起先配對(duì)求和，然后再求Ｓｎ． 例4, 設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，前項(xiàng)和

（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列。

滿足關(guān)系式：

（2）設(shè)數(shù)列的公比為，作數(shù)列使，求。（3）對(duì)（2）中的數(shù)列求和：。

（1997年上海高考試題）

解: 1）略；（2），（提示：）

（3）

（提示：配對(duì)求和）

六、數(shù)學(xué)歸納法

第一數(shù)學(xué)歸納法：（1）已知命題P(1)成立；

（2）若命題P(k)成立，則P(k?1)成立；

由（1）（2）可知命題P(n)都成立。

簡(jiǎn)單實(shí)例：證明1?2?3?4???2n?22n?1?2n?1(n?N*)； 第二數(shù)學(xué)歸納法：（1）已知命題P(1)成立；

（2）若當(dāng)n?k時(shí)命題P(k)都成立，則P(k?1)成立；

由（1）（2）命題P(n)都成立。

應(yīng)用的注意點(diǎn)：

（1）兩步缺一不可

（2）第二步證明是必須利用歸納假設(shè)；

例5．用數(shù)學(xué)歸納法證明：。

證明：i)當(dāng)n=2時(shí)，左式=，右式=，∵，∴，即n=2時(shí)，原不等式成立。

ii)假設(shè)n=k(k≥2, k∈Z)時(shí)，不等式成立，即 ，則n=k+1時(shí)，左邊=

右邊=，要證左邊>右邊，只要證，只要證

2，只要證 4k+8k+4>4k+8k+3

只要證4>3。

而上式顯然成立，所以原不等式成立，即n=k+1時(shí)，左式>右式。

由i), ii)可知，原不等式對(duì)n≥2，n∈N均成立。

七.倒序相加法：

如果一個(gè)數(shù)列｛an｝，與首末兩項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，可采用把正著寫(xiě)和與倒著寫(xiě)和的兩個(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和，這一求和的方法稱為倒序相加法。

例6.求和

解析：據(jù)組合數(shù)性質(zhì)，將倒序?qū)憺?/p>

以上兩式相加得：

八.待定系數(shù)法

類似等差數(shù)列，如果是關(guān)于的次式，那么它的前項(xiàng)和

次式的各項(xiàng)系數(shù)即可。

是關(guān)于的次式，且不含常數(shù)項(xiàng)。因此，只要求出這個(gè)例7.求和解析：由于通項(xiàng)是的二次式，則是的三次式，且不含常數(shù)項(xiàng)。

設(shè)，令得

解得

所以

九．無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)和

符號(hào)：S?a1?a2?...?an?...?limSn

n??n??n??顯然：1）q?1，limSn?limna1不存在

2）q??1,，Sn??,1?a1，n?2m?ilSn不存在(m?N*)mn???0,n?2ma1(1?qn)3）q?1，limSn?lim不存在

n??n??1?qa1(1?qn)a4）q?1，limSn?lim?1

n??n??1?q1?q定義：我們把q?1的無(wú)窮等比數(shù)列前n項(xiàng)的和Sn當(dāng)n??時(shí)的極限叫做無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和，并用S表示，即S=

a1(q?1)。1?q注：1.無(wú)窮等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn與它的各項(xiàng)和S的區(qū)別與聯(lián)系； 2.前n項(xiàng)之和Sn是數(shù)列中有限個(gè)項(xiàng)的和,而無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和Sn是數(shù)列中所有的項(xiàng)的和,它們之間有著本質(zhì)的區(qū)別。

3.對(duì)有無(wú)窮多項(xiàng)的等比數(shù)列,我們是不可能把它們所有的項(xiàng)一一相加的,而是通過(guò)對(duì)它的前n項(xiàng)之和取極限運(yùn)算而求得,是用有限的手段解決無(wú)限的問(wèn)題。

4.求和前提：0?q?1,q?0；公式表明它只求公比0?q?1,q?0 的無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和.數(shù)學(xué)歸納法

●難點(diǎn)磁場(chǎng)

(★★★★)是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=

n(n?1)(an2+bn+c).12●案例探究

［例1］試證明：不論正數(shù)a、b、c是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，當(dāng)n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等時(shí)，均有：an+cn＞2bn.命題意圖：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，屬★★★★級(jí)題目.知識(shí)依托：等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的一般步驟.錯(cuò)解分析：應(yīng)分別證明不等式對(duì)等比數(shù)列或等差數(shù)列均成立，不應(yīng)只證明一種情況.技巧與方法：本題中使用到結(jié)論：(ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c為正數(shù))，從而ak+1+ck+1＞ak·c+ck·a.b證明：(1)設(shè)a、b、c為等比數(shù)列，a=,c=bq(q＞0且q≠1)

qbnnnn1∴a+c=n+bq=b(n+qn)＞2bn

qqnn

an?cna?cn(2)設(shè)a、b、c為等差數(shù)列，則2b=a+c猜想＞()(n≥2且n∈N*)

22下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

a2?c2a?c2?()①當(dāng)n=2時(shí)，由2(a+c)＞(a+c)，∴

22ak?cka?ck?(), ②設(shè)n=k時(shí)成立，即

22ak?1?ck?11?(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)則當(dāng)n=k+1時(shí)，2411＞(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=(ak+ck)(a+c)44a?cka?ca?ck+1＞()·()=()

2221［例2］在數(shù)列{an}中，a1=1，當(dāng)n≥2時(shí)，an,Sn,Sn－成等比數(shù)列.2(1)求a2,a3,a4，并推出an的表達(dá)式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論；(3)求數(shù)列{an}所有項(xiàng)的和.2

22命題意圖：本題考查了數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列極限等基礎(chǔ)知識(shí).知識(shí)依托：等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟.采用的方法是歸納、猜想、證明.錯(cuò)解分析：(2)中，Sk=－

1應(yīng)舍去，這一點(diǎn)往往容易被忽視.2k?3111}是以{}為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，進(jìn)而求得SnS12技巧與方法：求通項(xiàng)可證明{通項(xiàng)公式.11成等比數(shù)列，∴Sn2=an·(Sn－)(n≥2)

(*)222(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－

3212由a1=1，a2=－,S3=+a3代入(*)式得：a3=－

3315解：∵an,Sn,Sn－

(n?1)?1 2?同理可得：a4=－,由此可推出：an=? 2?(n?1)35?(2n?3)(2n?1)?(2)①當(dāng)n=1,2,3,4時(shí)，由(*)知猜想成立.2②假設(shè)n=k(k≥2)時(shí)，ak=－成立

(2k?3)(2k?1)故Sk2=－21·(Sk－)

2(2k?3)(2k?1)∴(2k－3)(2k－1)Sk2+2Sk－1=0 11(舍),Sk??2k?12k?311由Sk+12=ak+1·(Sk+1－),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk－)

22∴Sk=

2ak?1ak?11122?a??a??ak?1k?1k?12k?12k?12(2k?1)2

?2?ak?1?,即n?k?1命題也成立.[2(k?1)?3][2(k?1)?1]??1(n?1)?由①②知，an=?對(duì)一切n∈N成立.2?(n?2)?(2n?3)(2n?1)?(3)由(2)得數(shù)列前n項(xiàng)和Sn=

1,∴S=limSn=0.n??2n?1數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用

具體常用數(shù)學(xué)歸納法證明：恒等式，不等式，數(shù)的整除性，幾何中計(jì)算問(wèn)題，數(shù)列的通項(xiàng)與和等.

第二篇：數(shù)列求和方法總結(jié)

數(shù)列的求和

一、教學(xué)目標(biāo)：1．熟練掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式；

2．能運(yùn)用倒序相加、錯(cuò)位相減、拆項(xiàng)相消等重要的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行求和運(yùn)算； 3．熟記一些常用的數(shù)列的和的公式．

二、教學(xué)重點(diǎn)：特殊數(shù)列求和的方法．

三、教學(xué)過(guò)程：

（一）主要知識(shí)：

1．直接法：即直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求和。（1）等差數(shù)列的求和公式：Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d 22?na1(q?1)?n（2）等比數(shù)列的求和公式Sn??a1(1?q)（切記：公比含字母時(shí)一定要討論）

(q?1)??1?q2．公式法： ?k2?12?22?32?k?1n?n2?n(n?1)(2n?1)

62?kk?1n3?1?2?3?333?n(n?1)? ?n????2?33．錯(cuò)位相減法：比如?an?等差,?bn?等比,求a1b1?a2b2???anbn的和.4．裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差、正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng)。常見(jiàn)拆項(xiàng)公式：1111111???(?)；

n(n?1)nn?1n(n?2)2nn?21111?(?)n?n!?(n?1)!?n!

(2n?1)(2n?1)22n?12n?15．分組求和法：把數(shù)列的每一項(xiàng)分成若干項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，再求和。6．合并求和法：如求1002?992?982?972???22?12的和。7．倒序相加法：

8．其它求和法：如歸納猜想法，奇偶法等

（二）主要方法：

1．求數(shù)列的和注意方法的選?。宏P(guān)鍵是看數(shù)列的通項(xiàng)公式； 2．求和過(guò)程中注意分類討論思想的運(yùn)用； 3．轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用；

（三）例題分析：

例1．求和：①Sn?1?11?111???11?1 ???n個(gè) ②Sn?(x?)2?(x2?1x1212n)???(x?)x2xn ③求數(shù)列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n項(xiàng)和Sn 思路分析：通過(guò)分組，直接用公式求和。

?1?1?10?102???10k?解：①ak?11???k個(gè)1k(10?1)911Sn?[(10?1)?(102?1)???(10n?1)]?[(10?102???10n)?n]99110(10n?1)10n?1?9n?10?[?n]? 9981②Sn?(x2?11142n?2)?(x??2)???(x??2)242nxxx111????)?2n x2x4x2n?(x2?x4???x2n)?(x2(x2n?1)x?2(x?2n?1)(x2n?1)(x2n?2?1)（1）當(dāng)x??1時(shí)，Sn???2n??2n 2?22n2x?1x?1x(x?1)（2）當(dāng)x??1時(shí),Sn?4n ③ak?(2k?1)?2k?(2k?1)???[(2k?1)?(k?1)]?

k[(2k?1)?(3k?2)]523?k?k222Sn?a1?a2???an?

5235n(n?1)(2n?1)3n(n?1)(1?22???n2)?(1?2???n)???222622?1n(n?1)(5n?2)6總結(jié)：運(yùn)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，要注意公比q?1或q?1討論。2．錯(cuò)位相減法求和

例2．已知數(shù)列1,3a,5a2,?,(2n?1)an?1(a?0)，求前n項(xiàng)和。

思路分析：已知數(shù)列各項(xiàng)是等差數(shù)列1，3，5，…2n-1與等比數(shù)列a0,a,a2,?,an?1對(duì)應(yīng)項(xiàng)積，可用錯(cuò)位相減法求和。解：Sn?1?3a?5a2???(2n?1)an?1aSn?a?3a2?5a3???(2n?1)an?1? ?2?

?1???2?:(1?a)Sn?1?2a?2a2?2a3???2an?1?(2n?1)an

2a(1?an?1)n當(dāng)a?1時(shí),(1?a)Sn?1? ?(2n?1)2(1?a)1?a?(2n?1)an?(2n?1)an?1 Sn?(1?a)2當(dāng)a?1時(shí),Sn?n2 3.裂項(xiàng)相消法求和

2242(2n)2例3.求和Sn? ????1?33?5(2n?1)(2n?1)思路分析:分式求和可用裂項(xiàng)相消法求和.解:(2k)2(2k)2?1?11111ak???1??1?(?)

(2k?1)(2k?1)(2k?1)(2k?1)(2k?1)(2k?1)22k?12k?1111111112n(n?1)Sn?a1?a2???an?n?[(1?)?(?)???(?)]?n?(1?)?23352n?12n?122n?12n?1?n(n?1)(a?1)?123n?2練習(xí):求Sn??2?3???n 答案: Sn??

a(an?1)?n(a?1)aaaa?(a?1)n2?a(a?1)?4.倒序相加法求和

012n例4求證：Cn?3Cn?5Cn???(2n?1)Cn?(n?1)2n mn?m思路分析：由Cn可用倒序相加法求和。?Cn012n證：令Sn?Cn?3Cn?5Cn???(2n?1)Cn(1)

mn?m(2)?Cn?Cnnn?1210則Sn?(2n?1)Cn?(2n?1)Cn???5Cn?3Cn?Cn012n ?(1)?(2)有:2Sn?(2n?2)Cn?(2n?2)Cn?(2n?2)Cn???(2n?2)Cn012n?Sn?(n?1)[Cn?Cn?Cn???Cn]?(n?1)?2n 等式成立

5．其它求和方法

還可用歸納猜想法，奇偶法等方法求和。例5．已知數(shù)列?an?,an??2[n?(?1)n],求Sn。

思路分析：an??2n?2(?1)n，通過(guò)分組，對(duì)n分奇偶討論求和。解：an??2n?2(?1)，若n?2m,則Sn?S2m??2(1?2?3???2m)?2n?(?1)k?12mk

Sn??2(1?2?3???2m)??(2m?1)2m??n(n?1)

若n?2m?1,則Sn?S2m?1?S2m?a2m??(2m?1)2m?2[2m?(?1)2m]??(2m?1)2m?2(2m?1)

??4m2?2m?2??(n?1)2?(n?1)?2??n2?n?2

(n為正偶數(shù))??n(n?1)?Sn??2?n?n?2(n為正奇數(shù))?預(yù)備：已知f(x)?a1x?a2x2???anxn,且a1,a2,a3,?an成等差數(shù)列，n為正偶數(shù)，又f(1)?n2,f(?1)?n，試比較f()與3的大小。

12?(a1?an)n?n2?a?a?2n?f(1)?a1?a2?a3???an?n?n2解：? ????1nd?2??f(?1)??a1?a2?a3???an?1?an?n?d?n2?2?a?a1?(n?1)d?2n??1?a1?1?an?2n?1

d?2?f(x)?x?3x2?5x3???(2n?1)xn

11111f()??3()2?5()3???(2n?1)()n2222212可求得f()?3?()n?2?(2n?1)()n，∵n為正偶數(shù)，?f()?3

（四）鞏固練習(xí)：

1．求下列數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn：

（1）5，55，555，5555，…，(10n?1)，…；（2）12121259111，,1?32?43?5（3）an?,1,n(n?2)；

1n?n?1；（4）a,2a2,3a3，nan,；

（5）1?3,2?4,3?5，n(n?2),；（6）sin21?sin22?sin23?解：（1）Sn?5?55?555??sin289．

n個(gè)?5555?(9?99?999?9?(10n?1)]

n個(gè)?999)

5?[(10?1)?(102?1)?(103?1)?95?[10?102?103?9（2）∵

?10n?n]?50n5(10?1)?n． 8191111?(?)，n(n?2)2nn?2111111[(1?)?(?)?(?)?232435111111?(?)]?(1???)． nn?222n?1n?2∴Sn?（3）∵an?∴Sn?1n?n?1?n?1?n?n?1?n(n?n?1)(n?1?n)?1

n?1?n11??2?13?2?(2?1)?(3?2)?（4）Sn?a?2a2?3a3??(n?1?n)?n?1?1．

?nan，當(dāng)a?1時(shí)，Sn?1?2?3?…?n?n(n?1)，2 當(dāng)a?1時(shí)，Sn?a?2a2?3a3?…?nan，aSn?a2?2a3?3a4?…?nan?1，兩式相減得(1?a)Sn?a?a?a?…?a?na23nn?1a(1?an)??nan?1，1?anan?2?(n?1)an?1?a∴Sn?． 2(1?a)（5）∵n(n?2)?n2?2n，∴ 原式?(12?22?32?…?n2)?2?(1?2?3?…?n)?（6）設(shè)S?sin21?sin22?sin23? 又∵S?sin289?sin288?sin287? ∴ 2S?89，S?n(n?1)(2n?7)．

6?sin289，?sin21，89． 2?6n?5(n為奇數(shù))2．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)an??n，求其前n項(xiàng)和Sn．

2(n為偶數(shù))?解：奇數(shù)項(xiàng)組成以a1?1為首項(xiàng)，公差為12的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)組成以a2?4為首項(xiàng)，公比為4的等比數(shù)列； 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)有

n?1n?1項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)有項(xiàng)，22n?1n?1(1?6n?5)4(1?42)(n?1)(3n?2)4(2n?1?1)2∴Sn?，???21?423當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別有

n項(xiàng)，2nn(1?6n?5)4(1?42)n(3n?2)4(2n?1)2∴Sn?，???21?423?(n?1)(3n?2)4(2n?1?1)???23所以，Sn??nn(3n?2)4(2?1)???23?

(n為奇數(shù))．

(n為偶數(shù))

四、小結(jié)：1．掌握各種求和基本方法；2．利用等比數(shù)列求和公式時(shí)注意分q?1或q?1討論。

第三篇：數(shù)列求和方法總結(jié)

數(shù)列求和的基本方法和技巧

數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。在高考和各種數(shù)學(xué)競(jìng)賽中都占有重要的地位。數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要一定的技巧。下面，就幾個(gè)歷屆高考數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題來(lái)談?wù)剶?shù)列求和的基本方法和技巧。

一、公式法

利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法。

1、差數(shù)列求和公式：Sn(a1?an)

n?2?na?n(n?1)

12d

?na1(q?1)

2、等比數(shù)列求和公式：S???an

n?1(1?q)a

1?1?q??anq

1?q(q?1)

n3、S??k?1n

(n?1)

4、S

21nn?

k?12?k?(n?1)(2n?1)

k?16

n4、Sn??k3?[1(n?1)]

2k?12

例 ：已知log?12

3x?log，求x?x?x3?????xn????的前n項(xiàng)和.2

3解：由log

13x??

log3?log??log1

3x32?x?2

2由等比數(shù)列求和公式得Sn?x?x2?x3?????xn

＝x(1?xn)

1?x 1(1?1

＝n)

1?1

＝1－1

2n

解析：如果計(jì)算過(guò)程中出現(xiàn)了這些關(guān)于n的多項(xiàng)式的求和形式，可以直接利用公式。

二、錯(cuò)位相減

這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列{an·

項(xiàng)和，其中{ an }、{ bn }分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列。

bn}的前n

1例：求數(shù)列a,2a2,3a3,4a4,…,nan, …(a為常數(shù))的前n項(xiàng)和。

解：若a=0, 則Sn=0

若a=1,則Sn=1+2+3+…+n=

若a≠0且a≠1

則Sn=a+2a2+3a3+4a4+…+ nan

∴aSn= a2+2 a3+3 a4+…+nan+1

∴(1-a)Sn=a+ a2+ a3+…+an-nan+1

n?1a?a= ?nan?1

1?an(n?1)

2n?1n?1a?ana ∴Sn=?(a?1)2(1?a)1?a

當(dāng)a=0時(shí)，此式也成立。

∴Sn=

n(n?1)(a?1)2a?an?1nan?1?(a?1)2(1?a)1?a

解析：數(shù)列是由數(shù)列?n?與an對(duì)應(yīng)項(xiàng)的積構(gòu)成的，此類型的才適應(yīng)錯(cuò)位相減，（課本中的的等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式就是用這種方法推導(dǎo)出來(lái)的），但要注意應(yīng)按以上三種情況進(jìn)行討論，最后再綜合成兩種情況。

三、倒序相加

這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè)(a1?an)。

[例5] 求證：Cn?3Cn?5Cn?????(2n?1)Cn?(n?1)

2證明： 設(shè)Sn?Cn?3Cn?5Cn?????(2n?1)Cn…………………………..①

把①式右邊倒轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)得

nn?110（反序）Sn?(2n?1)Cn?(2n?1)Cn?????3Cn?Cn012n012nn???

又由Cn?Cnmn?m可得

1n?1n…………..……..② ?CnSn?(2n?1)Cn?(2n?1)Cn?????3Cn0

01n?1n①+②得2Sn?(2n?2)(Cn?Cn?????Cn?Cn)?2(n?1)?2n（反序相加）

∴Sn?(n?1)?2n

解析：此類型關(guān)鍵是抓住數(shù)列中與首末兩端等距離的兩項(xiàng)之和相等這一特點(diǎn)來(lái)進(jìn)行倒序相加的。

四、分組求和

有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可。

例：Sn=-1+3-5+7-…+(-1)n(2n-1)

解法：按n為奇偶數(shù)進(jìn)行分組，連續(xù)兩項(xiàng)為一組。

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)：

Sn=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+…+(-2n+1)

=2×n?1+(-2n+1)

2=-n

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)：

Sn=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+…+[(-2n+3)+(2n+1)]

=2×

=n

∴Sn=

n 2

五、裂項(xiàng)法求和

這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用。裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后

重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如：（1）an?f(n?1)?f(n)（2）sin1?tan(n?1)?tanncosncos(n?1)

111(2n)2111??（3）an?（4）an??1?(?)n(n?1)nn?1(2n?1)(2n?1)22n?12n?

1（5）an?1111?[?] n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)

(6)an?n?212(n?1)?n1111?n??n??,則S?1? nn?1nnn(n?1)2n(n?1)2n?2(n?1)2(n?1)

21111，，…，…的前n項(xiàng)和S 1?32?43?5n(n?2)例：求數(shù)列

解：∵1111=(?）n(n?2)2nn?2

Sn=1?11111?(1?)?(?)?????(?)? 2?324nn?2??

1111(1???)22n?1n?2

311?=? 42n?22n?4=

解析：要先觀察通項(xiàng)類型，在裂項(xiàng)求和，而且要注意剩下首尾兩項(xiàng)，還是剩下象上例中的四項(xiàng)，后面還很可能和極限、求參數(shù)的最大小值聯(lián)系。

六、合并求和

針對(duì)一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時(shí)，可將這些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求Sn.例：數(shù)列{an}：a1?1,a2?3,a3?2,an?2?an?1?an，求S2002.解：設(shè)S2002＝a1?a2?a3?????a200

2由a1?1,a2?3,a3?2,an?2?an?1?an可得

a4??1,a5??3,a6??2,a7?1,a8?3,a9?2,a10??1,a11??3,a12??2,……

a6k?1?1,a6k?2?3,a6k?3?2,a6k?4??1,a6k?5??3,a6k?6??2

∵ a6k?1?a6k?2?a6k?3?a6k?4?a6k?5?a6k?6?0（找特殊性質(zhì)項(xiàng)）∴ S2002＝a1?a2?a3?????a2002（合并求和）

＝(a1?a2?a3????a6)?(a7?a8????a12)?????(a6k?1?a6k?2?????a6k?6)

?????(a1993?a1994?????a1998)?a1999?a2000?a2001?a2002

＝a1999?a2000?a2001?a2002

＝a6k?1?a6k?2?a6k?3?a6k?

4＝

5七、拆項(xiàng)求和

先研究通項(xiàng)，通項(xiàng)可以分解成幾個(gè)等差或等比數(shù)列的和或差的形式，再代入公式求和。

例：求數(shù)5，55，555，…，的前n項(xiàng)和Sn

解： 因?yàn)?n9(10?1)

所以 Sn=5+55+555+…=5?(10?1)?(102?1)?????(10n

9?1)?

=5?10(10n?1)?

9?10?1?n?

??

=50

81?10n?5

9n?50

解析：根據(jù)通項(xiàng)的特點(diǎn)，通項(xiàng)可以拆成兩項(xiàng)或三項(xiàng)的常見(jiàn)數(shù)列，然后再分別求和。另外：S1

n=12?21

4?311

8?????n2n

可以拆成：S…+n）+(1111

n=（1+2+3+2?4?8?????2n)

第四篇：高中數(shù)列求和方法及鞏固

數(shù)列求和的方法

1、公式法：

如果一個(gè)數(shù)列是等差、等比數(shù)列或者是可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列，我們可以運(yùn)用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式來(lái)求.①等差數(shù)列求和公式：Sn?n?a1?an?n?n?1??na1?d 2

2?na1?q?1??②等比數(shù)列求和公式：Sn??a1?1?qn?a?aq 1n??q?1??1?q?1?q

n(n?1)2常見(jiàn)的數(shù)列的前n項(xiàng)和：1?2?3?……+n=，1+3+5+??+(2n-1)=n 2

n(n?1)(2n?1)?n(n?1)?333312?22?32?……+n2=，1?2?3?……+n=等.??6?2?22、倒序相加法：

類似于等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式的推導(dǎo)方法。如果一個(gè)數(shù)列?an?，與首末兩項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，可采用正序?qū)懞团c倒序?qū)懞偷膬蓚€(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和。這一種求和的方法稱為倒序相加法.x

例

1、已知函數(shù)f?

x??（1）證明：f?x??f?1?x??1；

?1?（2）求f????10??2?f????10??8??f????10??9?f??的值.?10?

解：（1）先利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)，后證明左邊=右邊

（2）利用第（1）小題已經(jīng)證明的結(jié)論可知，?1?f????10??9??2?f???f????10??10?

?2?f????10?

?8?f????10??8?f????10??5??f????10??9?f?? ?10??1?f?? ?10??5?f???1 ?10??1?令S?f????10??9?則S?f????10??8??f????10??2??f????10?

兩式相加得：

?2S?9???

?1?f????10?9?9??f????9所以S?.2?10??

1小結(jié)：解題時(shí)，認(rèn)真分析對(duì)某些前后具有對(duì)稱性的數(shù)列，可以運(yùn)用倒序相加法求和.1222

32???針對(duì)訓(xùn)練

3、求值：S?

21?10222?9232?82

?22 10?

13、錯(cuò)位相減法：

類似于等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式的推導(dǎo)方法。若數(shù)列各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘得到，即數(shù)列是一個(gè)“差·比”數(shù)列，則采用錯(cuò)位相減法.若an?bn?cn，其中?bn?是等差數(shù)列，?cn?是公比為q等比數(shù)列，令Sn?b1c1?b2c2?

?bn?1cn?1?bncn

?

n?

則qSn?b1c2?b2c?3bnc1?

n?n

b c

兩式相減并整理即得 例

2、（2008年全國(guó)Ⅰ第19題第（2）小題，滿分6分）已知 an?n?2n?1，求數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn.解：Sn

?120?221??(n?1)2n?2?n2n?1①

2Sn?121?222?

②—①得

?(n?1)2n?1?n2n②

2n?1?n2n?2n?

1Sn?n2n?120?21?

小結(jié)：錯(cuò)位相減法的求解步驟：①在等式兩邊同時(shí)乘以等比數(shù)列?cn?的公比

q；②將兩個(gè)等式相減；③利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式求和.針對(duì)訓(xùn)練

4、求和：Sn

?x?2x2?3x3?

?nxn?x?0,x?1?

4、裂項(xiàng)相消法：

把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，即數(shù)列的每一項(xiàng)都可按此法拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消，于是前n項(xiàng)的和變成首尾若干少數(shù)項(xiàng)之和，這一求

?c?和方法稱為裂項(xiàng)相消法。適用于類似??（其中?an?是各項(xiàng)不為零的等差數(shù)

aa?nn?1?

列，c為常數(shù)）的數(shù)列、部分無(wú)理數(shù)列等。用裂項(xiàng)相消法求和，需要掌握一些常

見(jiàn)的裂項(xiàng)方法：（1）

11111?11?

k?1??，特別地當(dāng)時(shí)，????

nn?1nn?1nn?kk?nn?k?

（2?

k，特別地當(dāng)k?

1?例

3、數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式為an?解：Sn?a1?a2?a3??，求它的前n項(xiàng)和Sn

n(n?1)

?an?1?an

1?n?n1nn??1

1??11??1

???????? n?1nnn?1???

?

?1?22?33?

4?1??11??11?

=?1??????

?????

?2??

23??34?

1n? n?1n?1

小結(jié)：裂項(xiàng)相消法求和的關(guān)鍵是數(shù)列的通項(xiàng)可以分解成兩項(xiàng)的差，且這兩項(xiàng)是同一數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)，即這兩項(xiàng)的結(jié)構(gòu)應(yīng)一致，并且消項(xiàng)時(shí)前后所剩的項(xiàng)數(shù)相同.?1?

針對(duì)訓(xùn)練5的前n項(xiàng)和Sn.5、分組求和法：

有一類數(shù)列，它既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列.若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比數(shù)列或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.例

4、求和：Sn??2?3?5?1???4?3?5?2???6?3?5?3??解：Sn??2?3?5?1???4?3?5?2???6?3?5?3??

??2?4?6?

?2n??3?5?1?5?2?5?3?

??2n?3?5?n?

??2n?3?5?n? ?5?n?

n

1??1???1????n5???31??5?????

2?n?n?1??3??n?n??1????

14???5???1?

5小結(jié)：這是求和的常用方法，按照一定規(guī)律將數(shù)列分成等差（比）數(shù)列或常見(jiàn)的數(shù)列，使問(wèn)題得到順利求解.針對(duì)訓(xùn)練

6、求和：Sn??a?1???a2?2???a3?3??

??an?n?

提高練習(xí)

1．?dāng)?shù)列{an}滿足：a1＝1，且對(duì)任意的m，n∈N*都有：am＋n＝am＋an＋mn，則

1111??????()a1a2a3a2008

A．

4016

2009

B．

2008

2009

C．

2007

4D．

2007

2008

2．?dāng)?shù)列{an}、{bn}都是公差為1的等差數(shù)列，若其首項(xiàng)滿足a1＋b1＝5，a1＞b1，且a1，b

1∈N*，則數(shù)列{abn}前10項(xiàng)的和等于()

A．100 B．85 C．70 D．5

53．設(shè)m=1×2+2×3+3×4+?+(n-1)·n，則m等于()

n(n2?1)111A.B.n(n+4)C.n(n+5)D.n(n+7)

322

2n-1

4．若Sn=1-2+3-4+?+(-1)·n，則S17+S33＋Ｓ50等于()A.1B.-1C.0D.2 5．設(shè){an}為等比數(shù)列,{bn}為等差數(shù)列，且b1=0,cn=an+bn,若數(shù)列{cn}是1,1,2,?,則{cn}的前10項(xiàng)和為()A.978B.557C.467D.979

6．1002-992+982-972+?+22-12的值是()A.5000B.5050C.10100D.20200

7．一個(gè)有2001項(xiàng)且各項(xiàng)非零的等差數(shù)列，其奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和之比為8．若12+22+?+(n-1)2=an3+bn2+cn，則a,bc9．已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，公差d＞0，且其第二項(xiàng)、第五項(xiàng)、第十四項(xiàng)分別是等

比數(shù)列{bn}的第二、三、四項(xiàng)．(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列{cn}對(duì)任意自然數(shù)n均有求c1＋c2＋c3＋?＋c2003的值．

10．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足:Sn=2an+(-1)n,n≥1.(1)求證數(shù)列{an+

cc1c2c3

?????n?an?1成立． b1b2b3bn

(-1)n}是等比數(shù)列;3

1117?????.a4a5am8

(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(3)證明：對(duì)任意的整數(shù)m>4,有

提高練習(xí)答案

1．解：∵am＋n＝am＋an＋mn，∴an＋1＝an＋a1＋n＝an＋1＋n，∴利用疊加法得到：an?

n(n?1)1211，∴??2(?)，2ann(n?1)nn?1

∴

1111111111

??????2(1???????)?2(1?)a1a2a3a***20094016

． 2009

?

答案：A.2．解：∵an＝a1＋n－1，bn＝b1＋n－1 ∴abn＝a1＋bn－1＝a1＋(b1＋n―1)―1

＝a1＋b1＋n－2＝5＋n－2＝n＋3

則數(shù)列{abn}也是等差數(shù)列，并且前10項(xiàng)和等于：答案：B.3．解：因?yàn)?an=n2-n.，則依據(jù)分組集合即得.答案;A.4?13

?10?85 2

?n?1

(n為奇)??2

4．解：對(duì)前n項(xiàng)和要分奇偶分別解決，即：Sn=?

??n(n為偶)??2

答案：A

5．解由題意可得a1=1,設(shè)公比為q,公差為d,則?

?q?d?1?q?2d?2

∴q2-2q=0,∵q≠0,∴q=2,∴an=2n-1,bn=(n-1)(-1)=1-n,∴cn=2n-1+1-n,∴Sn=978.答案：A

6．解：并項(xiàng)求和，每?jī)身?xiàng)合并，原式=(100+99)+(98+97)+?+(2+1)=5050.答案：B

7． 解： 設(shè)此數(shù)列{an},其中間項(xiàng)為a1001,則S奇=a1+a3+a5+?+a2001=1001·a1001,S偶=a2+a4+a6+?+a2000=1000a1001.答案:

1001

1000

(n?1)n?(2n?1)2n3?3n2?n

?.8．解： 原式=

答案：;?;

326

9．解：(1)由題意得(a1＋d)(a1＋13d)＝(a1＋4d)2(d＞0)

－

解得d＝2，∴an＝2n－1，可得bn＝3n1(2)當(dāng)n＝1時(shí)，c1＝3；

當(dāng)n≥2時(shí)，由

cn

?an?1?an，得cn＝2·3n－1，n

故cn??

?3(n?1),?2?3

n?1

(n?2).故c1＋c2＋c3＋?＋c2003＝3＋2×3＋2×32＋?＋2×32002＝32003． 10．(1)證明由已知得an=Sn-Sn-1=2an+(-1)n-2an-1-(-1)n-1(n≥2),化簡(jiǎn)得an=2an-1+2(-1)n-1(n≥2),2221(-1)n=2［an-1+(-1)n-1］(n≥2),∵a1=1,∴a1+(-1)1=.333321

故數(shù)列{an+(-1)n}是以為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列.33

n?1

2n2(2)解由（1）可知an+(-1)=.33

1222

∴an=×2n-1-(-1)n=［2n-2-(-1)n］,故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=［2n-2-(-1)n］.3333

上式可化為an+(3)證明由已知得

???? a4a5am

=

?3?111?3?111111

?3???m?2?????????2???

2?2?12?12?(?1)m?2?391533632m?2?(?1)m?

1111111111

=(1??????)?(1??????)23511212351020

11??

(1?)m?5?1?4514221***572=?????.??(???m?5)???()m?5?

12?32355***082?1?

??2??

故

1117?????(m?4)a4a5am8

第五篇：數(shù)列求和教案

課題：數(shù)列求和

教學(xué)目標(biāo)

（一）知識(shí)與技能目標(biāo)

數(shù)列求和方法．

（二）過(guò)程與能力目標(biāo)

數(shù)列求和方法及其獲取思路．

教學(xué)重點(diǎn)：數(shù)列求和方法及其獲取思路． 教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)列求和方法及其獲取思路．

教學(xué)過(guò)程

1．倒序相加法：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法：（1）??Sn?a1?a2???an?2Sn?n(a1?an)

?Sn?an?an?1???a1122232102?????22 例1．求和：21?10222?9232?8210?1分析：數(shù)列的第k項(xiàng)與倒數(shù)第k項(xiàng)和為1，故宜采用倒序相加法．

小結(jié): 對(duì)某些前后具有對(duì)稱性的數(shù)列,可運(yùn)用倒序相加法求其前n項(xiàng)和.2．錯(cuò)位相減法：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法：

（2）??Sn?a1?a2?a3???an?(1?q)Sn?a1?an?1 qS?a?a???a?a23nn?1?n23n例2．求和：x?3x?5x???(2n?1)x(x?0)

3．分組法求和

1?的前n項(xiàng)和； 161例4．設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列?an?的首項(xiàng)a1?，前n項(xiàng)和為Sn，且210S30?(210?1)S20?S10?0

2例3求數(shù)列1,2,3,4（Ⅰ）求?an?的通項(xiàng)；（Ⅱ）求?nSn?的前n項(xiàng)和Tn。例5．求數(shù)列 1, 1?a, 1?a?a,?,1?a?a???a121418,?的前n項(xiàng)和Sn.n(n?1)解:若a?1,則an?1?1???1?n, 于是Sn?1?2???n?;2 n1?a1 若a?1,則an?1?a??an?1? ?(1?an)1?a1?a1?a1?a21?an11a(1?an)2n于是Sn????? ?[n?(a?a???a)]?[n?]

1?a1?a1?a1?a1?a1?a111???? 1?21?2?31?2???n22n?14．裂項(xiàng)法求和 例6．求和：1?211?2(?)，n(n?1)nn?11111112n ?Sn?a1?a2???an?2[(1?)?(?)????(?)]?2(1?)?223nn?1n?1n?1解：設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為an，則an?例7．求數(shù)列11?2,12?31,???,1n?n?1,???的前n項(xiàng)和.解：設(shè)an?n?n?11??n?1?n

（裂項(xiàng)）

1n?n?1則 Sn?12?31?2?????

（裂項(xiàng)求和）

＝(2?1)?(3?2)?????(n?1?n)

＝n?1?1

三、課堂小結(jié)：

1．常用數(shù)列求和方法有：

(1)公式法: 直接運(yùn)用等差數(shù)列、等比數(shù)列求和公式;(2)化歸法: 將已知數(shù)列的求和問(wèn)題化為等差數(shù)列、等比數(shù)列求和問(wèn)題；(3)倒序相加法: 對(duì)前后項(xiàng)有對(duì)稱性的數(shù)列求和；

(4)錯(cuò)位相減法: 對(duì)等比數(shù)列與等差數(shù)列組合數(shù)列求和；(5)并項(xiàng)求和法: 將相鄰n項(xiàng)合并為一項(xiàng)求和；(6)分部求和法：將一個(gè)數(shù)列分成n部分求和；

(7)裂項(xiàng)相消法：將數(shù)列的通項(xiàng)分解成兩項(xiàng)之差，從而在求和時(shí)產(chǎn)生相消為零的項(xiàng)的求和方法.四、課外作業(yè)： 1．《學(xué)案》P62面《單元檢測(cè)題》 2．思考題

111?4?6??前n項(xiàng)的和.481612n2??????（2）．在數(shù)列{an}中，an?，又bn?，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和.n?1n?1n?1an?an?12（1).求數(shù)列：（3）．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若a5a6?9,求log3a1?log3a2?????log3a10的值.解：設(shè)Sn?log3a1?log3a2?????log3a10

由等比數(shù)列的性質(zhì) m?n?p?q?aman?apaq

（找特殊性質(zhì)項(xiàng)）和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) logaM?logaN?logaM?N

得

Sn?(log3a1?log3a10)?(log3a2?log3a9)?????(log3a5?log3a6)

（合并求和）

＝(log3a1?a10)?(log3a2?a9)?????(log3a5?a6)

＝log39?log39?????log39

＝10