第一篇：數(shù)列求和說課

數(shù)列求和說課

一、教學(xué)內(nèi)容：

數(shù)列求和是高考中的必考內(nèi)容，在高考中占據(jù)著非常重要的地位，學(xué)好數(shù)列求和對于高考成功起著非常關(guān)鍵的作用。數(shù)列求和方法中涵蓋有倒序相加法、錯位相減法、裂項相消法、拆項重組法等幾種方法。

二、教學(xué)對象：

高三（8）班學(xué)生

三、教學(xué)重點：

一些特殊數(shù)列的求和。

四、教學(xué)難點：

準(zhǔn)確分析數(shù)列特征，選擇合適的數(shù)列求和方法。

五、教學(xué)目標(biāo)分析：

1、知識目標(biāo)：掌握數(shù)列求和的常見方法，并能運用這些方法解決一些簡單的數(shù)列求和問題；

2、能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

3、情感目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，鍛煉學(xué)生遇到困難不氣餒的堅強意志和勇于創(chuàng)新的精神。

六、學(xué)生情況分析：

高三（8）班是高三藝術(shù)重點班。班上學(xué)生基礎(chǔ)知識掌握相較于其他藝術(shù)班比較踏實，但是相對于文化班的學(xué)生來說還是比較薄弱。所以在教學(xué)時應(yīng)適當(dāng)考慮學(xué)生的實際水平盡量將

七、教學(xué)方法分析：

教法：數(shù)學(xué)是一門培養(yǎng)和發(fā)展人的思維的重要學(xué)科，因此在教學(xué)中不僅要讓學(xué)生“知其然”，還要“知其所以然”，為了體現(xiàn)以學(xué)生發(fā)展為本，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，體現(xiàn)循序漸進和啟發(fā)式教學(xué)原則，我進行這樣的教學(xué)設(shè)計：在教師的引導(dǎo)下，創(chuàng)設(shè)情景，通過開放式問題的設(shè)置來啟發(fā)學(xué)生進行思考，在思考中體會特殊數(shù)列蘊涵的數(shù)學(xué)方法和思想，使之獲得內(nèi)心感受。同時依據(jù)藝術(shù)班學(xué)生的特殊性在教學(xué)上盡量將有關(guān)數(shù)列的內(nèi)容和公式詳盡的給學(xué)生說明。

教學(xué)手段：利用多媒體和PPT軟件進行輔助教學(xué)。

八、教學(xué)情境分析：

1、引入：利用歷年高考中的真題引出數(shù)列求和在高三學(xué)生學(xué)習(xí)中的重要性。

2、內(nèi)容講解：在介紹特殊數(shù)列求和的過程中通過實例進行引入。

3、練習(xí)：高考實例練習(xí)。

4、課堂小結(jié)：特殊數(shù)列求和的五種方法。

5、作業(yè)：高考實例。

九、教學(xué)評價與反饋

根據(jù)高三學(xué)生心理特點、教學(xué)內(nèi)容、遵循因材施教原則和啟發(fā)性教學(xué)思想，本節(jié)課的教學(xué)策略與方法我采用規(guī)則學(xué)習(xí)和問題解決策略，即“案例—公式—應(yīng)用”，案例為淺層次要求，使學(xué)生有概括印象。公式為中層次要求，由淺入深，重難點集中推導(dǎo)講解，便于突破。應(yīng)用為綜合要求，多角度、多情境中消化鞏固所學(xué)，反饋驗證本堂內(nèi)容教學(xué)目標(biāo)的落實。

南昌市實驗中學(xué)

董

世

清

2012年5月10日

第二篇：數(shù)列求和問題

數(shù)列求和問題·教案

教學(xué)目標(biāo)

1．初步掌握一些特殊數(shù)列求其前n項和的常用方法．

2．通過把某些既非等差數(shù)列，又非等比數(shù)列的數(shù)列化歸成等差數(shù)列或等比數(shù)列求和問題，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析問題的能力，以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．

教學(xué)重點與難點

重點：把某些既非等差數(shù)列，又非等比數(shù)列的數(shù)列化歸成等差數(shù)列或等比數(shù)列求和． 難點：尋找適當(dāng)?shù)淖儞Q方法，達(dá)到化歸的目的． 教學(xué)過程設(shè)計

（一）復(fù)習(xí)引入

在這之前我們知道一般等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和,但是有時候題目中給我們的數(shù)列并不是一定就是等比數(shù)列和等差數(shù)列,有可能就是等差數(shù)列和等比數(shù)列相結(jié)合的形式出現(xiàn)在我們面前,對于這樣形式的數(shù)列我們該怎么解決,又該用什么方法?

二、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)

通過學(xué)習(xí)我們掌握了是不是等差等比數(shù)列的判斷,同時我們也掌握也一般等差或者等比數(shù)列的一些性質(zhì)和定義,那么對于題中給我們的數(shù)列既不是等差也不是等比的數(shù)列怎么求和呢,帶著這樣的問題來學(xué)習(xí)今天的內(nèi)容

三、知識講解 考點

1、公式法

如果一個數(shù)列是等差、等比數(shù)列或者是可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列，我們可以運用等差、等比數(shù)列的前n項和的公式來求.1、等差數(shù)列求和公式：Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d 22(q?1)?na1?

2、等比數(shù)列求和公式：Sn??a1(1?qn)a1?anq

?(q?1)?1?q?1?qn113、Sn??k?n(n?1)

4、Sn??k2?n(n?1)(2n?1)

26k?1k?1n15、Sn??k3?[n(n?1)]2

2k?1n

考點

2、分組求和法

有一類數(shù)列，它既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列.若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個等差、等比數(shù)列或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.例求和：Sn??2?3?5?1???4?3?5?2???6?3?5?3?????2n?3?5?n? 解：Sn??2?3?5?1???4?3?5?2???6?3?5?3?????2n?3?5?n?

??2?4?6???2n??3?5?1?5?2?5?3???5?n?

4，6，?，2n?練習(xí)：求數(shù)列2，14181161，?的前n項和Sn． 2n?11?1?{2n}，而數(shù)列是一個等差數(shù)列，數(shù)列?n?1?是一個等比

2n?1?2?分析：此數(shù)列的通項公式是an?2n?數(shù)列，故采用分組求和法求解．

1?11?111解：Sn?(2?4?6???2n)??2?3?4???n?1??n(n?1)??n?1．

2?22?222小結(jié)：在求和時，一定要認(rèn)真觀察數(shù)列的通項公式，如果它能拆分成幾項的和，而這些項分別構(gòu)成等差數(shù)列或等比數(shù)列，那么我們就用此方法求和.考點

3、、倒序相加

類似于等差數(shù)列的前n項和的公式的推導(dǎo)方法。如果一個數(shù)列{an}，與首末兩項等距的兩項之和等于首末兩項之和，可采用正序?qū)懞团c倒序?qū)懞偷膬蓚€和式相加，就得到一個常數(shù)列的和。

這一種求和的方法稱為倒序相加法.這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(a1?an).例求sin21??sin22??sin23??????sin288??sin289?的值

解：設(shè)S?sin21??sin22??sin23??????sin288??sin289?????.①

將①式右邊反序得

S?sin289??sin288??????sin23??sin22??sin21?????..②（反序）

又因為 sinx?cos(90??x),sin2x?cos2x?1

①+②得（反序相加）

2S?(sin21??cos21?)?(sin22??cos22?)?????(sin289??cos289?)＝89 ∴ S＝44.5

2x練習(xí)：已知函數(shù)f?x??x 2?2（1）證明：f?x??f?1?x??1；

?1?（2）求f????10??2?f??????10??8?f????10??9?f??的值.?10?解：（1）先利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)對函數(shù)化簡，后證明左邊=右邊（2）利用第（1）小題已經(jīng)證明的結(jié)論可知，?1?f????10??9??2?f???f????10??10??8?f??????10??8?f????10??2?f????10??5?f????10??5?f???1 ?10??1?令S?f????10??9?則S?f????10??2?f??????10??8?f??????10??9?f?? ?10??1?f?? ?10?兩式相加得：

?2S?9???

?1?f????10?9?9??f????9 所以S?.2?10??小結(jié)：解題時，認(rèn)真分析對某些前后具有對稱性的數(shù)列，可以運用倒序相加法求和.考點

4、裂相相消法

把數(shù)列的通項拆成兩項之差，即數(shù)列的每一項都可按此法拆成兩項之差，在求和時一些正負(fù)項相互抵消，于是前n項的和變成首尾若干少數(shù)項之和，這一求和方法稱為裂項相消法。適用于類似?

?（其中{an}是各項不為零的等差數(shù)列，c為常數(shù)）的數(shù)列、部分無理數(shù)列等。用裂項相消法求和，需要掌握一些常見的裂項方法：

1，求它的前n項和Sn

n(n?1)例、數(shù)列?an?的通項公式為an?解：Sn?a1?a2?a3???an?1?an

?11111 ??????1?22?33?4n?1nnn?1????1??11??1??11??11??1 =?1????????????????????

22334n?1nnn?1??????????1n? n?1n?1小結(jié)：裂項相消法求和的關(guān)鍵是數(shù)列的通項可以分解成兩項的差，且這兩項是同一數(shù)列的相鄰兩項，即這兩項的結(jié)構(gòu)應(yīng)一致，并且消項時前后所剩的項數(shù)相同.?1?針對訓(xùn)練

5、求數(shù)列 1111，,?，?的前n項和Sn.1?22?33?2n?n?1練習(xí)：求數(shù)列11?2,12?31,???,1n?n?1,???的前n項和.解：設(shè)an?n?n?11??n?1?n（裂項）

1n?n?1則 Sn?12?31?2?????（裂項求和）

＝(2?1)?(3?2)?????(n?1?n)

＝n?1?1

作業(yè)：基本練習(xí)

2221、等比數(shù)列{an}的前ｎ項和Sｎ＝2ｎ－１，則a12?a2＝________________.?a3???an2、設(shè)Sn??1?3?5?7???(?1)n(2n?1)，則Sn＝_______________________.3、111?????.1?44?7(3n?2)?(3n?1)

4、1111=__________ ???...?2?43?54?6(n?1)(n?3)

5、數(shù)列1,(1?2),(1?2?22),?,(1?2?22???2n?1),?的通項公式an?，前n項和Sn? 綜合練習(xí)1、12?22?32?42?52?62???992?1002＝____________；

2、在數(shù)列{an}中，an?1，.則前n項和Sn；

n(n?1)(n?2)n?2an?(n?1)(n?2)，n3、已知數(shù)列{an}滿足：a1?6，an?1?（1）求a2，a3；（2）若dn? an，求數(shù)列{dn}的通項公式；

n(n?1)

考點5錯位相減

類似于等比數(shù)列的前n項和的公式的推導(dǎo)方法。若數(shù)列各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項相乘得到，即數(shù)列是一個“差·比”數(shù)列，則采用錯位相減法.若an?bn?cn，其中?bn?是等差數(shù)列，?cn?是公比為q等比數(shù)列，令

Sn?b1c1?b2c2???bn?1cn?1?bncn

則qSn?b1c2?b2c3???bn?1cn?bncn?1 兩式相減并整理即得

例4 求和：Sn?1?3x?5x2?7x3?????(2n?1)xn?1?????????①

解：由題可知，{(2n?1)xn?1}的通項是等差數(shù)列{2n－1}的通項與等比數(shù)列{xn?1}的通項之積

設(shè)xSn?1x?3x2?5x3?7x4?????(2n?1)xn?????????.②（設(shè)制錯位）

①－②得(1?x)Sn?1?2x?2x2?2x3?2x4?????2xn?1?(2n?1)xn（錯位相減）

1?xn?1?(2n?1)xn 再利用等比數(shù)列的求和公式得：(1?x)Sn?1?2x?1?x(2n?1)xn?1?(2n?1)xn?(1?x)∴ Sn? 2(1?x)小結(jié)：錯位相減法的步驟是：①在等式兩邊同時乘以等比數(shù)列{bn}的公比；②將兩個等式相減；③利用等比數(shù)列的前n項和公式求和.2462n練習(xí)：

1、求數(shù)列,2,3,???,n,???前n項的和.22222n1解：由題可知，{n}的通項是等差數(shù)列{2n}的通項與等比數(shù)列{n}的通項之積

222462n設(shè)Sn??2?3?????n?????????????①

222212462nSn?2?3?4?????n?1????????????②（設(shè)制錯22222位）

1222222n①－②得(1?)Sn??2?3?4?????n?n?1（錯位相減）

222222212n?2?n?1?n?1

22n?2 ∴ Sn?4?n?1

2、已知 an?n?2n?1，求數(shù)列｛an｝的前n項和Sn.解：Sn?1?20?2?21???(n?1)?2n?2?n?2n?1 ①

2Sn?1?21?2?22???(n?1)?2n?1?n?2n ②

②—①得

Sn?n?2n?1?20?21??2n?1?n?2n?2n?1

1352n?13、6、,2,3,?,n,?;的前n項和為_________ 222264、數(shù)列{an}中, a1?1,an?an?1?n?1,n?N*，則前n項和S2n=；

55、已知數(shù)列an?n?n!，則前n項和Sn=；

小結(jié)：錯位相減法的求解步驟：①在等式兩邊同時乘以等比數(shù)列?cn?的公比q；②將兩個等式相減；③利用等比數(shù)列的前n項和的公式求和.

第三篇：數(shù)列求和教案

數(shù)列求和

數(shù)列求和常見的幾種方法：（1）公式法：①等差（比）數(shù)列的前n項和公式；

1n(n?1)21222?n2?nn(?

1?2?3?......6② 自然數(shù)的乘方和公式：1?2?3?......?n?（2）拆項重組：適用于數(shù)列

1n)(?2 1)?an?的通項公式an?bn?cn，其中?bn?、?cn?為等差數(shù)列或者等比數(shù)列或者自然數(shù)的乘方；

（3）錯位相減：適用于數(shù)列?an?的通項公式an?bn?cn，其中?bn?為等差數(shù)列，?cn?為等比數(shù)列；

（4）裂項相消：適用于數(shù)列?a的通項公式：akn?n?n(n?1),a1n?n(n?k)（其中k為常數(shù)）型；

（5）倒序相加：根據(jù)有些數(shù)列的特點，將其倒寫后與原數(shù)列相加，以達(dá)到求和的目的.（6）

分段求和：數(shù)列?an?的通項公式為分段形式

二、例題講解

例

1、（拆項重組）求和：3112?54?718?......?[(2n?1)?12n]

練習(xí)1：求和Sn?1?2?2?3?3?4?......?n(n?1)

例

2、（裂項相消）求數(shù)列1111?3,3?5,5?7,17?9,...,1(2n?1)(2n?1)的前n項和

練習(xí)2：求S11n?1?1?2?1?2?3?11?2?3?4?...?11?2?3?...?n

例

3、（錯位相減）求和：1473n?22?22?23?...?2n

練習(xí)3：求Sn?1?2x?3x2?4x3?...?nxn?1(x?0)

例

4、（倒序相加）設(shè)f(x)?4x4x?2，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和的方法，求：f(11001)?f(21001)?f(31001)?...?f(10001001)的值

a?3n?2(n?4)例

5、已知數(shù)列?n?的通項公式為an???2n?3(n?5)(n?N*)求數(shù)列?an?的前n項和Sn

檢測題

1.設(shè)f(n)?2?24?27?210?...?23n?10(n?N)，則f(n)等于（）

2n222n?4(8?1)

B.(8n?1?1)

C.(8n?3?1)

D.(8?1)777712.數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若an?，則S5等于（）

n(n?1)511A．1

B．

C．

D．

66303.設(shè){an}是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項和．已知S3?7，且a1?3，3a2，a3?4構(gòu)成等差數(shù)列． A.（1）求數(shù)列{an}的通項公式．（2）令ban?ln3n?1，n?1，2...，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn。

4.設(shè)數(shù)列?a2nn?滿足a1?3a2?3a3?…?3n?1a

3，a?N*n?．（Ⅰ）求數(shù)列?an?的通項；

（Ⅱ）設(shè)bnn?a，求數(shù)列?bn?的前n項和Sn n

5.求數(shù)列22,462n22,23,???,2n,???前n項的和.6：求數(shù)列11?2,12?3,???,1n?n?1,???的前n項和.7：數(shù)列{an}的前n項和Sn?2an?1，數(shù)列{bn}滿b1?3,bn?1?an?bn(n?N?).（Ⅰ）證明數(shù)列{an}為等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列{bn}的前n項和Tn。

8：

求數(shù)列21，41，6114816，2n?2n?1，...的前n項和Sn．

．

9、已知數(shù)列?an?的前n項和Sn?1?2?3?4?5?6?...???1?n?1?n，求S100.10：在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若a5a6?9,求log3a1?log3a2?????log3a10的值.11：求數(shù)列的前n項和：1?1,1a?4,11a2?7,???,an?1?3n?2，…

12：求S?12?22?32?42?...?(?1)n?1n2（n?N?）

13：已知函數(shù)f?x??2x2x?2（1）證明：f?x??f?1?x??1；

（2）求f??1???f??10??2??10???f??8???10???f??9??10??的值。.

第四篇：數(shù)列求和教案

課題：數(shù)列求和

教學(xué)目標(biāo)

（一）知識與技能目標(biāo)

數(shù)列求和方法．

（二）過程與能力目標(biāo)

數(shù)列求和方法及其獲取思路．

教學(xué)重點：數(shù)列求和方法及其獲取思路． 教學(xué)難點：數(shù)列求和方法及其獲取思路．

教學(xué)過程

1．倒序相加法：等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法：（1）??Sn?a1?a2???an?2Sn?n(a1?an)

?Sn?an?an?1???a1122232102?????22 例1．求和：21?10222?9232?8210?1分析：數(shù)列的第k項與倒數(shù)第k項和為1，故宜采用倒序相加法．

小結(jié): 對某些前后具有對稱性的數(shù)列,可運用倒序相加法求其前n項和.2．錯位相減法：等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法：

（2）??Sn?a1?a2?a3???an?(1?q)Sn?a1?an?1 qS?a?a???a?a23nn?1?n23n例2．求和：x?3x?5x???(2n?1)x(x?0)

3．分組法求和

1?的前n項和； 161例4．設(shè)正項等比數(shù)列?an?的首項a1?，前n項和為Sn，且210S30?(210?1)S20?S10?0

2例3求數(shù)列1,2,3,4（Ⅰ）求?an?的通項；（Ⅱ）求?nSn?的前n項和Tn。例5．求數(shù)列 1, 1?a, 1?a?a,?,1?a?a???a121418,?的前n項和Sn.n(n?1)解:若a?1,則an?1?1???1?n, 于是Sn?1?2???n?;2 n1?a1 若a?1,則an?1?a??an?1? ?(1?an)1?a1?a1?a1?a21?an11a(1?an)2n于是Sn????? ?[n?(a?a???a)]?[n?]

1?a1?a1?a1?a1?a1?a111???? 1?21?2?31?2???n22n?14．裂項法求和 例6．求和：1?211?2(?)，n(n?1)nn?11111112n ?Sn?a1?a2???an?2[(1?)?(?)????(?)]?2(1?)?223nn?1n?1n?1解：設(shè)數(shù)列的通項為an，則an?例7．求數(shù)列11?2,12?31,???,1n?n?1,???的前n項和.解：設(shè)an?n?n?11??n?1?n

（裂項）

1n?n?1則 Sn?12?31?2?????

（裂項求和）

＝(2?1)?(3?2)?????(n?1?n)

＝n?1?1

三、課堂小結(jié)：

1．常用數(shù)列求和方法有：

(1)公式法: 直接運用等差數(shù)列、等比數(shù)列求和公式;(2)化歸法: 將已知數(shù)列的求和問題化為等差數(shù)列、等比數(shù)列求和問題；(3)倒序相加法: 對前后項有對稱性的數(shù)列求和；

(4)錯位相減法: 對等比數(shù)列與等差數(shù)列組合數(shù)列求和；(5)并項求和法: 將相鄰n項合并為一項求和；(6)分部求和法：將一個數(shù)列分成n部分求和；

(7)裂項相消法：將數(shù)列的通項分解成兩項之差，從而在求和時產(chǎn)生相消為零的項的求和方法.四、課外作業(yè)： 1．《學(xué)案》P62面《單元檢測題》 2．思考題

111?4?6??前n項的和.481612n2??????（2）．在數(shù)列{an}中，an?，又bn?，求數(shù)列{bn}的前n項的和.n?1n?1n?1an?an?12（1).求數(shù)列：（3）．在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若a5a6?9,求log3a1?log3a2?????log3a10的值.解：設(shè)Sn?log3a1?log3a2?????log3a10

由等比數(shù)列的性質(zhì) m?n?p?q?aman?apaq

（找特殊性質(zhì)項）和對數(shù)的運算性質(zhì) logaM?logaN?logaM?N

得

Sn?(log3a1?log3a10)?(log3a2?log3a9)?????(log3a5?log3a6)

（合并求和）

＝(log3a1?a10)?(log3a2?a9)?????(log3a5?a6)

＝log39?log39?????log39

＝10

第五篇：數(shù)列求和方法總結(jié)

數(shù)列的求和

一、教學(xué)目標(biāo)：1．熟練掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式；

2．能運用倒序相加、錯位相減、拆項相消等重要的數(shù)學(xué)方法進行求和運算； 3．熟記一些常用的數(shù)列的和的公式．

二、教學(xué)重點：特殊數(shù)列求和的方法．

三、教學(xué)過程：

（一）主要知識：

1．直接法：即直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求和。（1）等差數(shù)列的求和公式：Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d 22?na1(q?1)?n（2）等比數(shù)列的求和公式Sn??a1(1?q)（切記：公比含字母時一定要討論）

(q?1)??1?q2．公式法： ?k2?12?22?32?k?1n?n2?n(n?1)(2n?1)

62?kk?1n3?1?2?3?333?n(n?1)? ?n????2?33．錯位相減法：比如?an?等差,?bn?等比,求a1b1?a2b2???anbn的和.4．裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差、正負(fù)相消剩下首尾若干項。常見拆項公式：1111111???(?)；

n(n?1)nn?1n(n?2)2nn?21111?(?)n?n!?(n?1)!?n!

(2n?1)(2n?1)22n?12n?15．分組求和法：把數(shù)列的每一項分成若干項，使其轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，再求和。6．合并求和法：如求1002?992?982?972???22?12的和。7．倒序相加法：

8．其它求和法：如歸納猜想法，奇偶法等

（二）主要方法：

1．求數(shù)列的和注意方法的選?。宏P(guān)鍵是看數(shù)列的通項公式； 2．求和過程中注意分類討論思想的運用； 3．轉(zhuǎn)化思想的運用；

（三）例題分析：

例1．求和：①Sn?1?11?111???11?1 ???n個 ②Sn?(x?)2?(x2?1x1212n)???(x?)x2xn ③求數(shù)列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n項和Sn 思路分析：通過分組，直接用公式求和。

?1?1?10?102???10k?解：①ak?11???k個1k(10?1)911Sn?[(10?1)?(102?1)???(10n?1)]?[(10?102???10n)?n]99110(10n?1)10n?1?9n?10?[?n]? 9981②Sn?(x2?11142n?2)?(x??2)???(x??2)242nxxx111????)?2n x2x4x2n?(x2?x4???x2n)?(x2(x2n?1)x?2(x?2n?1)(x2n?1)(x2n?2?1)（1）當(dāng)x??1時，Sn???2n??2n 2?22n2x?1x?1x(x?1)（2）當(dāng)x??1時,Sn?4n ③ak?(2k?1)?2k?(2k?1)???[(2k?1)?(k?1)]?

k[(2k?1)?(3k?2)]523?k?k222Sn?a1?a2???an?

5235n(n?1)(2n?1)3n(n?1)(1?22???n2)?(1?2???n)???222622?1n(n?1)(5n?2)6總結(jié)：運用等比數(shù)列前n項和公式時，要注意公比q?1或q?1討論。2．錯位相減法求和

例2．已知數(shù)列1,3a,5a2,?,(2n?1)an?1(a?0)，求前n項和。

思路分析：已知數(shù)列各項是等差數(shù)列1，3，5，…2n-1與等比數(shù)列a0,a,a2,?,an?1對應(yīng)項積，可用錯位相減法求和。解：Sn?1?3a?5a2???(2n?1)an?1aSn?a?3a2?5a3???(2n?1)an?1? ?2?

?1???2?:(1?a)Sn?1?2a?2a2?2a3???2an?1?(2n?1)an

2a(1?an?1)n當(dāng)a?1時,(1?a)Sn?1? ?(2n?1)2(1?a)1?a?(2n?1)an?(2n?1)an?1 Sn?(1?a)2當(dāng)a?1時,Sn?n2 3.裂項相消法求和

2242(2n)2例3.求和Sn? ????1?33?5(2n?1)(2n?1)思路分析:分式求和可用裂項相消法求和.解:(2k)2(2k)2?1?11111ak???1??1?(?)

(2k?1)(2k?1)(2k?1)(2k?1)(2k?1)(2k?1)22k?12k?1111111112n(n?1)Sn?a1?a2???an?n?[(1?)?(?)???(?)]?n?(1?)?23352n?12n?122n?12n?1?n(n?1)(a?1)?123n?2練習(xí):求Sn??2?3???n 答案: Sn??

a(an?1)?n(a?1)aaaa?(a?1)n2?a(a?1)?4.倒序相加法求和

012n例4求證：Cn?3Cn?5Cn???(2n?1)Cn?(n?1)2n mn?m思路分析：由Cn可用倒序相加法求和。?Cn012n證：令Sn?Cn?3Cn?5Cn???(2n?1)Cn(1)

mn?m(2)?Cn?Cnnn?1210則Sn?(2n?1)Cn?(2n?1)Cn???5Cn?3Cn?Cn012n ?(1)?(2)有:2Sn?(2n?2)Cn?(2n?2)Cn?(2n?2)Cn???(2n?2)Cn012n?Sn?(n?1)[Cn?Cn?Cn???Cn]?(n?1)?2n 等式成立

5．其它求和方法

還可用歸納猜想法，奇偶法等方法求和。例5．已知數(shù)列?an?,an??2[n?(?1)n],求Sn。

思路分析：an??2n?2(?1)n，通過分組，對n分奇偶討論求和。解：an??2n?2(?1)，若n?2m,則Sn?S2m??2(1?2?3???2m)?2n?(?1)k?12mk

Sn??2(1?2?3???2m)??(2m?1)2m??n(n?1)

若n?2m?1,則Sn?S2m?1?S2m?a2m??(2m?1)2m?2[2m?(?1)2m]??(2m?1)2m?2(2m?1)

??4m2?2m?2??(n?1)2?(n?1)?2??n2?n?2

(n為正偶數(shù))??n(n?1)?Sn??2?n?n?2(n為正奇數(shù))?預(yù)備：已知f(x)?a1x?a2x2???anxn,且a1,a2,a3,?an成等差數(shù)列，n為正偶數(shù)，又f(1)?n2,f(?1)?n，試比較f()與3的大小。

12?(a1?an)n?n2?a?a?2n?f(1)?a1?a2?a3???an?n?n2解：? ????1nd?2??f(?1)??a1?a2?a3???an?1?an?n?d?n2?2?a?a1?(n?1)d?2n??1?a1?1?an?2n?1

d?2?f(x)?x?3x2?5x3???(2n?1)xn

11111f()??3()2?5()3???(2n?1)()n2222212可求得f()?3?()n?2?(2n?1)()n，∵n為正偶數(shù)，?f()?3

（四）鞏固練習(xí)：

1．求下列數(shù)列的前n項和Sn：

（1）5，55，555，5555，…，(10n?1)，…；（2）12121259111，,1?32?43?5（3）an?,1,n(n?2)；

1n?n?1；（4）a,2a2,3a3，nan,；

（5）1?3,2?4,3?5，n(n?2),；（6）sin21?sin22?sin23?解：（1）Sn?5?55?555??sin289．

n個?5555?(9?99?999?9?(10n?1)]

n個?999)

5?[(10?1)?(102?1)?(103?1)?95?[10?102?103?9（2）∵

?10n?n]?50n5(10?1)?n． 8191111?(?)，n(n?2)2nn?2111111[(1?)?(?)?(?)?232435111111?(?)]?(1???)． nn?222n?1n?2∴Sn?（3）∵an?∴Sn?1n?n?1?n?1?n?n?1?n(n?n?1)(n?1?n)?1

n?1?n11??2?13?2?(2?1)?(3?2)?（4）Sn?a?2a2?3a3??(n?1?n)?n?1?1．

?nan，當(dāng)a?1時，Sn?1?2?3?…?n?n(n?1)，2 當(dāng)a?1時，Sn?a?2a2?3a3?…?nan，aSn?a2?2a3?3a4?…?nan?1，兩式相減得(1?a)Sn?a?a?a?…?a?na23nn?1a(1?an)??nan?1，1?anan?2?(n?1)an?1?a∴Sn?． 2(1?a)（5）∵n(n?2)?n2?2n，∴ 原式?(12?22?32?…?n2)?2?(1?2?3?…?n)?（6）設(shè)S?sin21?sin22?sin23? 又∵S?sin289?sin288?sin287? ∴ 2S?89，S?n(n?1)(2n?7)．

6?sin289，?sin21，89． 2?6n?5(n為奇數(shù))2．已知數(shù)列{an}的通項an??n，求其前n項和Sn．

2(n為偶數(shù))?解：奇數(shù)項組成以a1?1為首項，公差為12的等差數(shù)列，偶數(shù)項組成以a2?4為首項，公比為4的等比數(shù)列； 當(dāng)n為奇數(shù)時，奇數(shù)項有

n?1n?1項，偶數(shù)項有項，22n?1n?1(1?6n?5)4(1?42)(n?1)(3n?2)4(2n?1?1)2∴Sn?，???21?423當(dāng)n為偶數(shù)時，奇數(shù)項和偶數(shù)項分別有

n項，2nn(1?6n?5)4(1?42)n(3n?2)4(2n?1)2∴Sn?，???21?423?(n?1)(3n?2)4(2n?1?1)???23所以，Sn??nn(3n?2)4(2?1)???23?

(n為奇數(shù))．

(n為偶數(shù))

四、小結(jié)：1．掌握各種求和基本方法；2．利用等比數(shù)列求和公式時注意分q?1或q?1討論。