第一篇：高一數(shù)學(xué) 數(shù)列求和教案

湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)高一數(shù)學(xué)教案：數(shù)列求和

教材：數(shù)列求和

目的：小結(jié)數(shù)列求和的常用方法，尤其是要求學(xué)生初步掌握用拆項法、裂項法和錯位法求一些特殊的數(shù)列。

過程：

一、提出課題：數(shù)列求和——特殊數(shù)列求和

常用數(shù)列的前n項和：1?2?3????n?n(n?1)21?3?5????(2n?1)?n2

n(n?1)(2n?1)

6n(n?1)213?23?33????n3?[]

212?22?32????n2?

二、拆項法：

例

一、（《教學(xué)與測試》P91 例二）

1111?4,2?7,3?10,??,n?1?(3n?2),??的前n項和。aaaa1 解：設(shè)數(shù)列的通項為an，前n項和為Sn，則 an?n?1?(3n?2)

a111?Sn?(1??2????n?1)?[1?4?7????(3n?2)]

aaa求數(shù)列1?1,(1?3n?2)n3n2?n?當(dāng)a?1時，Sn?n?

221n(1?3n?2)nan?1(3n?1)na

當(dāng)a?1時，Sn? ??n?n?1122a?a1?a1?

三、裂項法：

例

二、求數(shù)列6666，,??，??前n項和 1?22?33?4n(n?1)?11?6(?)

n(n?1)nn?1解：設(shè)數(shù)列的通項為bn，則bn?

11111?Sn?b1?b2????bn?6[(1?)?(?)????(?)]223nn?1?6(1?16n)?n?1n?1 例

三、求數(shù)列111，??，??前n項和 1?21?2?31?2????(n?1)1211??2(?)

1?2????(n?1)(n?1)(n?2)n?1n?211111111n?)?(?)????(?)]?2(?)? 2334n?1n?22n?2n?2 解：?an? ?Sn?2[（四、錯位法：

1}前n項和 n21111 解：Sn?1??2??3???????n?n ①

2482111111Sn?1??2??3????(n?1)?n?n?n?1 ② 248162211(1?n)1111112?n 兩式相減：Sn???????n?n?n?1?212248222n?11?21n1n?Sn?2(1?n?n?1)?2?n?1?n

2222例

四、求數(shù)列{n?例

五、設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn?(求數(shù)列{an}的前n項和

解：取n =1，則a1?(an?12)(n?N*)，2a1?12)?a1?1 2又： Sn?n(a1?an)n(a1?an)a?12?(n)

可得：222?an??1(n?N*)?an?2n?1

?Sn?1?3?5????(2n?1)?n2

五、作業(yè)：《教學(xué)與測試》P91—92 第44課 練習(xí)3，4，5，6，7 補(bǔ)充：1.求數(shù)列?1,4,?7,10,??,(?1)(3n?2),??前n項和

n??3n?1n為奇數(shù)?2(Sn??)

3n?n為偶數(shù)?22n?32n?1 2.求數(shù)列{n?3}前n項和(8?n?3)3.求和：(1002?992)?(982?972)????(22?12)(5050)4.求和：1×4 + 2×5 + 3×6 + ……+ n×(n + 1)(5.求數(shù)列1，(1+a)，(1+a+a)，……，(1+a+a+……+a

22n(n?1)(n?5))

3n

1)，……前n項和

a?0時，Sn?n a?1時，Sn?n(n?1)2

n(n?1)a?an?1a?1、0時，Sn?(1?a)2

第二篇：數(shù)列求和教案

數(shù)列求和

數(shù)列求和常見的幾種方法：（1）公式法：①等差（比）數(shù)列的前n項和公式；

1n(n?1)21222?n2?nn(?

1?2?3?......6② 自然數(shù)的乘方和公式：1?2?3?......?n?（2）拆項重組：適用于數(shù)列

1n)(?2 1)?an?的通項公式an?bn?cn，其中?bn?、?cn?為等差數(shù)列或者等比數(shù)列或者自然數(shù)的乘方；

（3）錯位相減：適用于數(shù)列?an?的通項公式an?bn?cn，其中?bn?為等差數(shù)列，?cn?為等比數(shù)列；

（4）裂項相消：適用于數(shù)列?a的通項公式：akn?n?n(n?1),a1n?n(n?k)（其中k為常數(shù)）型；

（5）倒序相加：根據(jù)有些數(shù)列的特點(diǎn)，將其倒寫后與原數(shù)列相加，以達(dá)到求和的目的.（6）

分段求和：數(shù)列?an?的通項公式為分段形式

二、例題講解

例

1、（拆項重組）求和：3112?54?718?......?[(2n?1)?12n]

練習(xí)1：求和Sn?1?2?2?3?3?4?......?n(n?1)

例

2、（裂項相消）求數(shù)列1111?3,3?5,5?7,17?9,...,1(2n?1)(2n?1)的前n項和

練習(xí)2：求S11n?1?1?2?1?2?3?11?2?3?4?...?11?2?3?...?n

例

3、（錯位相減）求和：1473n?22?22?23?...?2n

練習(xí)3：求Sn?1?2x?3x2?4x3?...?nxn?1(x?0)

例

4、（倒序相加）設(shè)f(x)?4x4x?2，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和的方法，求：f(11001)?f(21001)?f(31001)?...?f(10001001)的值

a?3n?2(n?4)例

5、已知數(shù)列?n?的通項公式為an???2n?3(n?5)(n?N*)求數(shù)列?an?的前n項和Sn

檢測題

1.設(shè)f(n)?2?24?27?210?...?23n?10(n?N)，則f(n)等于（）

2n222n?4(8?1)

B.(8n?1?1)

C.(8n?3?1)

D.(8?1)777712.數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若an?，則S5等于（）

n(n?1)511A．1

B．

C．

D．

66303.設(shè){an}是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項和．已知S3?7，且a1?3，3a2，a3?4構(gòu)成等差數(shù)列． A.（1）求數(shù)列{an}的通項公式．（2）令ban?ln3n?1，n?1，2...，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn。

4.設(shè)數(shù)列?a2nn?滿足a1?3a2?3a3?…?3n?1a

3，a?N*n?．（Ⅰ）求數(shù)列?an?的通項；

（Ⅱ）設(shè)bnn?a，求數(shù)列?bn?的前n項和Sn n

5.求數(shù)列22,462n22,23,???,2n,???前n項的和.6：求數(shù)列11?2,12?3,???,1n?n?1,???的前n項和.7：數(shù)列{an}的前n項和Sn?2an?1，數(shù)列{bn}滿b1?3,bn?1?an?bn(n?N?).（Ⅰ）證明數(shù)列{an}為等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列{bn}的前n項和Tn。

8：

求數(shù)列21，41，6114816，2n?2n?1，...的前n項和Sn．

．

9、已知數(shù)列?an?的前n項和Sn?1?2?3?4?5?6?...???1?n?1?n，求S100.10：在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若a5a6?9,求log3a1?log3a2?????log3a10的值.11：求數(shù)列的前n項和：1?1,1a?4,11a2?7,???,an?1?3n?2，…

12：求S?12?22?32?42?...?(?1)n?1n2（n?N?）

13：已知函數(shù)f?x??2x2x?2（1）證明：f?x??f?1?x??1；

（2）求f??1???f??10??2??10???f??8???10???f??9??10??的值。.

第三篇：數(shù)列求和教案

課題：數(shù)列求和

教學(xué)目標(biāo)

（一）知識與技能目標(biāo)

數(shù)列求和方法．

（二）過程與能力目標(biāo)

數(shù)列求和方法及其獲取思路．

教學(xué)重點(diǎn)：數(shù)列求和方法及其獲取思路． 教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)列求和方法及其獲取思路．

教學(xué)過程

1．倒序相加法：等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法：（1）??Sn?a1?a2???an?2Sn?n(a1?an)

?Sn?an?an?1???a1122232102?????22 例1．求和：21?10222?9232?8210?1分析：數(shù)列的第k項與倒數(shù)第k項和為1，故宜采用倒序相加法．

小結(jié): 對某些前后具有對稱性的數(shù)列,可運(yùn)用倒序相加法求其前n項和.2．錯位相減法：等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法：

（2）??Sn?a1?a2?a3???an?(1?q)Sn?a1?an?1 qS?a?a???a?a23nn?1?n23n例2．求和：x?3x?5x???(2n?1)x(x?0)

3．分組法求和

1?的前n項和； 161例4．設(shè)正項等比數(shù)列?an?的首項a1?，前n項和為Sn，且210S30?(210?1)S20?S10?0

2例3求數(shù)列1,2,3,4（Ⅰ）求?an?的通項；（Ⅱ）求?nSn?的前n項和Tn。例5．求數(shù)列 1, 1?a, 1?a?a,?,1?a?a???a121418,?的前n項和Sn.n(n?1)解:若a?1,則an?1?1???1?n, 于是Sn?1?2???n?;2 n1?a1 若a?1,則an?1?a??an?1? ?(1?an)1?a1?a1?a1?a21?an11a(1?an)2n于是Sn????? ?[n?(a?a???a)]?[n?]

1?a1?a1?a1?a1?a1?a111???? 1?21?2?31?2???n22n?14．裂項法求和 例6．求和：1?211?2(?)，n(n?1)nn?11111112n ?Sn?a1?a2???an?2[(1?)?(?)????(?)]?2(1?)?223nn?1n?1n?1解：設(shè)數(shù)列的通項為an，則an?例7．求數(shù)列11?2,12?31,???,1n?n?1,???的前n項和.解：設(shè)an?n?n?11??n?1?n

（裂項）

1n?n?1則 Sn?12?31?2?????

（裂項求和）

＝(2?1)?(3?2)?????(n?1?n)

＝n?1?1

三、課堂小結(jié)：

1．常用數(shù)列求和方法有：

(1)公式法: 直接運(yùn)用等差數(shù)列、等比數(shù)列求和公式;(2)化歸法: 將已知數(shù)列的求和問題化為等差數(shù)列、等比數(shù)列求和問題；(3)倒序相加法: 對前后項有對稱性的數(shù)列求和；

(4)錯位相減法: 對等比數(shù)列與等差數(shù)列組合數(shù)列求和；(5)并項求和法: 將相鄰n項合并為一項求和；(6)分部求和法：將一個數(shù)列分成n部分求和；

(7)裂項相消法：將數(shù)列的通項分解成兩項之差，從而在求和時產(chǎn)生相消為零的項的求和方法.四、課外作業(yè)： 1．《學(xué)案》P62面《單元檢測題》 2．思考題

111?4?6??前n項的和.481612n2??????（2）．在數(shù)列{an}中，an?，又bn?，求數(shù)列{bn}的前n項的和.n?1n?1n?1an?an?12（1).求數(shù)列：（3）．在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若a5a6?9,求log3a1?log3a2?????log3a10的值.解：設(shè)Sn?log3a1?log3a2?????log3a10

由等比數(shù)列的性質(zhì) m?n?p?q?aman?apaq

（找特殊性質(zhì)項）和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) logaM?logaN?logaM?N

得

Sn?(log3a1?log3a10)?(log3a2?log3a9)?????(log3a5?log3a6)

（合并求和）

＝(log3a1?a10)?(log3a2?a9)?????(log3a5?a6)

＝log39?log39?????log39

＝10

第四篇：高考數(shù)學(xué)專題-數(shù)列求和

復(fù)習(xí)課：

數(shù)列求和

一、【知識梳理】

1．等差、等比數(shù)列的求和公式，公比含字母時一定要討論．

2．錯位相減法求和：如：已知成等差，成等比，求．

3．分組求和：把數(shù)列的每一項分成若干項，使其轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，再求和．

4．合并求和：如：求的和．

5．裂項相消法求和：把數(shù)列的通項拆成兩項之差、正負(fù)相消剩下首尾若干項．

常見拆項：，，（理科）．

6．倒序相加法求和：如等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)．

7．其它求和法：歸納猜想法，奇偶法等．

二、【經(jīng)典考題】

【1.公式求和】例1．（浙江）在公差為的等差數(shù)列中，已知，且成等比數(shù)列．

（1）求；

（2）若，求．

【分析】第一問注意準(zhǔn)確利用等差等比數(shù)列定義即可求解，第二問要注意去絕對值時項的正負(fù)討論．

【解答】（1）由已知得到：

（2）由（1）知，當(dāng)時，①當(dāng)時，②當(dāng)時，所以，綜上所述：

．

【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念，等差數(shù)列通項公式、求和公式等基礎(chǔ)知識，同時考查運(yùn)算求解能力．

變式訓(xùn)練：

（重慶文）設(shè)數(shù)列滿足：，．

（1）求的通項公式及前項和；

（2）已知是等差數(shù)列，為前項和，且，求．

【解答】

（1）由題設(shè)知是首項為，公比為的等比數(shù)列，．

（2），故．

【2.倒序相加法】例2．已知函數(shù)．

（1）證明：；

（2）若數(shù)列的通項公式為，求數(shù)列的前項和；

（3）設(shè)數(shù)列滿足：，若（2）中的滿足對任意不小于的任意正整數(shù)恒成立，試求的最大值．

【分析】第（1）問，先利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)對化簡，后證明左邊=右邊即可；第（2）問，注意利用（1）中的結(jié)論，構(gòu)造倒序求和；第（3）問，由已知條件求出的最小值，將不等式轉(zhuǎn)化為最值問題求解．

【解答】（1）

．

（2）由（1）知，，即，又兩式相加得，即．

（3）由，知對任意的，則，即，所以．，即數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列．

關(guān)于遞增，時，．

．

由題意知，即，解得，的最大值為．

【點(diǎn)評】解題時，對于某些前后具有對稱性的數(shù)列，可以運(yùn)用倒序相加法求和．

變式訓(xùn)練：

已知函數(shù)．

（1）證明：；

（2）求的值．

【解答】（1）

（2）利用第（1）小題已經(jīng)證明的結(jié)論可知，令，兩式相加得：

所以．

【3.錯位相減法】例3．（山東理)設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且．

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）設(shè)數(shù)列前項和為，且

(為常數(shù))．令，求數(shù)列的前項和．

【分析】第（1）問利用等差數(shù)列通項公式及前項和公式列方程組求解及即可；第（2）問先利用與關(guān)系求出，進(jìn)而用乘公比錯位相減法求出．

【解答】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，由得，解得，．

因此

．

（2）由題意知：，所以時，故，．

所以，則，兩式相減得，整理得．

所以數(shù)列數(shù)列的前項和．

【點(diǎn)評】用錯位相減法求和時，應(yīng)注意：

（1）要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)時的情形；

（2）在寫出與的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”，以便下一步準(zhǔn)確寫出的表達(dá)式；

（3）利用錯位相減法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和時，若公比是參數(shù)（字母），一般情況要先對參數(shù)加以討論，主要分公比為和不等于兩種情況分別求和．

變式訓(xùn)練：

(山東文)設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且．

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）設(shè)數(shù)列滿足，求的前項和．

【解答】（1）同例3．（1）．

（2）由已知，當(dāng)時，當(dāng)時，結(jié)合知，．

又，兩式相減得，．

【4.裂項相消法】例4．(廣東)設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，滿足，且構(gòu)成等比數(shù)列．

（1）證明：；

（2）求數(shù)列的通項公式；

（3）證明：對一切正整數(shù)，有．

【分析】本題主要考查利用與關(guān)系求出，進(jìn)而用裂項相消法求出和，然后采用放縮的方法證明不等式．

【解答】

（1）當(dāng)時，（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，是公差的等差數(shù)列．

構(gòu)成等比數(shù)列，，解得，由(1)可知，是首項，公差的等差數(shù)列．

數(shù)列的通項公式為．

（3）

．

【點(diǎn)評】

（1）利用裂項相消法求和時，應(yīng)注意抵消后不一定只剩第一項和最后一項，也有可能前后各剩兩項或若干項；將通項裂項后，有時需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項之差和系數(shù)之積與原通項相等．

（2）一般情況下，若是等差數(shù)列，則；此外，根式在分母上時可考慮利用分母有理化相消求和．

變式訓(xùn)練：

（大綱卷文）等差數(shù)列中，（1）求的通項公式；

（2）設(shè)．

【解答】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則

因為，所以．

解得，．

所以的通項公式為．

（2），所以．

【5.分組求和法】例5．（安徽）設(shè)數(shù)列滿足，且對任意，函數(shù)

滿足

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）若，求數(shù)列的前項和．

【分析】，由可知數(shù)列為等差數(shù)列．

【解答】（1）由，得，所以，是等差數(shù)列．

而，．

（2），．

【點(diǎn)評】本題主要考查了分組求和法，具體求解過程中一定要注意觀察數(shù)列通項的構(gòu)成特點(diǎn)，將其分成等差、等比或其它可求和的式子，分組求出即可．

變式訓(xùn)練：

（2012山東）在等差數(shù)列中，．

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）對任意，將數(shù)列中落入?yún)^(qū)間內(nèi)的項的個數(shù)記為，求數(shù)列的前項和．

【解答】（1）由可得，則，于是，即

．

（2）對任意，則，即，，．

于是，即．

【6.奇偶項求和】例6．（2011山東）等比數(shù)列中，分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列．

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項和．

第一列

第二列

第三列

第一行

第二行

第三行

【分析】根據(jù)等比數(shù)列定義先判斷出，求出通項；求和時要對分奇偶討論．

【解答】（1）由題意知，因為是等比數(shù)列，所以公比為，所以數(shù)列的通項公式．

（2）解法一：

當(dāng)時，．

當(dāng)時，故.解法二：令，即

則

．

故

.【點(diǎn)評】解法一分為奇數(shù)和偶數(shù)對進(jìn)行化簡求和，而解法二直接采用乘公比錯位相減法進(jìn)行求和，只不過此時的公比

．本題主要意圖還是考查數(shù)列概念和性質(zhì)，求通項公式和數(shù)列求和的基本方法．

變式訓(xùn)練：

已知數(shù)列，求．

【解答】，若，則

若

．

三、【解法小結(jié)】

1．?dāng)?shù)列求和的關(guān)鍵在于分析數(shù)列的通項公式的結(jié)構(gòu)特征，在具體解決求和問題中，要善于從數(shù)列的通項入手觀察數(shù)列通項公式的結(jié)構(gòu)特征與變化規(guī)律，根據(jù)通項公式的形式準(zhǔn)確、迅速地選擇方法，從而形成“抓通項、尋規(guī)律、定方法”的數(shù)列求和思路是解決這類試題的訣竅．

2．一般地，非等差（比）數(shù)列求和題的通常解題思路是：如果數(shù)列能轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列就用公式法；如果數(shù)列項的次數(shù)及系數(shù)有規(guī)律一般可用錯位相減法、倒序相加法來解決；如果每項可寫成兩項之差一般可用裂項法；如果能求出通項，可用拆項分組法；如果通項公式中含有可用并項或分奇偶項求和法．

四、【小試牛刀】

1．?dāng)?shù)列前項的和為（）

A．

B．

C．

D．

2．?dāng)?shù)列的前項和為，若，則等于（）

A．

B．

C．

D．

3．?dāng)?shù)列中，若前項的和為，則項數(shù)為（）

A．

B．

C．

D．

4．（2013大綱）已知數(shù)列滿足則的前項和等于（）

A．

B．

C．

D．

5．設(shè)首項為,公比為的等比數(shù)列的前項和為,則（）

A．

B．

C．

D．

6．（2013新課標(biāo)）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，則（）

A．

B．

C．

D．

7．．

8．已知數(shù)列，則其前項和為

．

9.（2013江西）某住宅小區(qū)計劃植樹不少于棵,若第一天植棵,以后每天植樹的棵樹是前一天的倍,則需要的最少天數(shù)等于

．

10.．

11．(2013江蘇）在正項等比數(shù)列中，，則滿足的最大正整數(shù)的值為

．

12．正項數(shù)列的前項和滿足:

.（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）令,數(shù)列的前項和為.證明:對于任意的,都有.參考答案：

1．B

2．B

3．C

4．C

5．D

6．C

7．8．

9．10.11．，.，..，所以的最大值為.12．（1）由,得.由于是正項數(shù)列,所以.于是時,.綜上,數(shù)列的通項.（2）證明:由于.則..

第五篇：數(shù)列求和方法及數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)列求和

一、常用公式法

直接利用公式求和是數(shù)列求和的最基本的方法．常用的數(shù)列求和公式有：

等差數(shù)列求和公式:

等比數(shù)列求和公式:

二、錯位相減法

可以求形如 的數(shù)列的和，其中

為等差數(shù)列，為等比數(shù)列.例1：求和：.設(shè)

減法求和.解：，其中 為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，公比為，利用錯位相，兩端同乘以，得，兩式相減得

于是.說明：錯位相減法實際上是把一個數(shù)列求和問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和的問題.三、裂項相消法

適用于 階乘的數(shù)列等 例2

求數(shù)列{1/（＋)}的前n項和 其中{

}是各項不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)；部分無理數(shù)列、含解： ∵1/(＋)＝－(n＋1－n＝1)

分母有理化

∴1/（＝

＝＋)＋1/(－－1

＋)＋…＋1/(－

－)－1＋＋…＋說明：對于分母是兩二次根式的和，且被開方數(shù)是等差數(shù)列，利用乘法公式，使分母上的和變成了分子上的差，從

而Sn又因中間項相消而可求。

四、分組轉(zhuǎn)化法

有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，能分為幾個

等差、等比或常見的數(shù)列，則對拆開后的數(shù)列分別求和，再將其合并即可求出原數(shù)列的和．

n例3 已知集合A＝{a|a＝2＋9n－4，n∈N且a＜2000}，求A中元素的個數(shù)，以及這些元素的和

1011解： 由 2＝1024，2＝2048 1010－4＜2000

知 2＋9×1110－4＞2000

2＋9×

∴ A中有10個元素,記這些元素的和為S10，則

(首項為9，公差為9的等差數(shù)列)

2310

S10＝2＋2＋2＋…＋2＋9＋18＋…＋90－4×

(首項為2，公比為2的等比數(shù)列)

5－40＝2501

＝2(210－1)＋99× 說明：本題中A是一個集合，集合中的元素是不可重復(fù)的，也是沒有順序，所以集合與數(shù)列是不同的，但在求和時與10個元素的順序無關(guān)，所以可借用數(shù)列的方法求和。

五、配對求和法

對一些特殊的數(shù)列，若將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，則在數(shù)列求和時，可考慮把這些項放在一起先配對求和，然后再求Ｓｎ． 例4, 設(shè)數(shù)列的首項為，前項和

（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列。

滿足關(guān)系式：

（2）設(shè)數(shù)列的公比為，作數(shù)列使，求。（3）對（2）中的數(shù)列求和：。

（1997年上海高考試題）

解: 1）略；（2），（提示：）

（3）

（提示：配對求和）

六、數(shù)學(xué)歸納法

第一數(shù)學(xué)歸納法：（1）已知命題P(1)成立；

（2）若命題P(k)成立，則P(k?1)成立；

由（1）（2）可知命題P(n)都成立。

簡單實例：證明1?2?3?4???2n?22n?1?2n?1(n?N*)； 第二數(shù)學(xué)歸納法：（1）已知命題P(1)成立；

（2）若當(dāng)n?k時命題P(k)都成立，則P(k?1)成立；

由（1）（2）命題P(n)都成立。

應(yīng)用的注意點(diǎn)：

（1）兩步缺一不可

（2）第二步證明是必須利用歸納假設(shè)；

例5．用數(shù)學(xué)歸納法證明：。

證明：i)當(dāng)n=2時，左式=，右式=，∵，∴，即n=2時，原不等式成立。

ii)假設(shè)n=k(k≥2, k∈Z)時，不等式成立，即 ，則n=k+1時，左邊=

右邊=，要證左邊>右邊，只要證，只要證

2，只要證 4k+8k+4>4k+8k+3

只要證4>3。

而上式顯然成立，所以原不等式成立，即n=k+1時，左式>右式。

由i), ii)可知，原不等式對n≥2，n∈N均成立。

七.倒序相加法：

如果一個數(shù)列｛an｝，與首末兩項等距的兩項之和等于首末兩項之和，可采用把正著寫和與倒著寫和的兩個和式相加，就得到一個常數(shù)列的和，這一求和的方法稱為倒序相加法。

例6.求和

解析：據(jù)組合數(shù)性質(zhì)，將倒序?qū)憺?/p>

以上兩式相加得：

八.待定系數(shù)法

類似等差數(shù)列，如果是關(guān)于的次式，那么它的前項和

次式的各項系數(shù)即可。

是關(guān)于的次式，且不含常數(shù)項。因此，只要求出這個例7.求和解析：由于通項是的二次式，則是的三次式，且不含常數(shù)項。

設(shè)，令得

解得

所以

九．無窮等比數(shù)列各項和

符號：S?a1?a2?...?an?...?limSn

n??n??n??顯然：1）q?1，limSn?limna1不存在

2）q??1,，Sn??,1?a1，n?2m?ilSn不存在(m?N*)mn???0,n?2ma1(1?qn)3）q?1，limSn?lim不存在

n??n??1?qa1(1?qn)a4）q?1，limSn?lim?1

n??n??1?q1?q定義：我們把q?1的無窮等比數(shù)列前n項的和Sn當(dāng)n??時的極限叫做無窮等比數(shù)列各項的和，并用S表示，即S=

a1(q?1)。1?q注：1.無窮等比數(shù)列前n項和Sn與它的各項和S的區(qū)別與聯(lián)系； 2.前n項之和Sn是數(shù)列中有限個項的和,而無窮等比數(shù)列各項的和Sn是數(shù)列中所有的項的和,它們之間有著本質(zhì)的區(qū)別。

3.對有無窮多項的等比數(shù)列,我們是不可能把它們所有的項一一相加的,而是通過對它的前n項之和取極限運(yùn)算而求得,是用有限的手段解決無限的問題。

4.求和前提：0?q?1,q?0；公式表明它只求公比0?q?1,q?0 的無窮等比數(shù)列各項的和.數(shù)學(xué)歸納法

●難點(diǎn)磁場

(★★★★)是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=

n(n?1)(an2+bn+c).12●案例探究

［例1］試證明：不論正數(shù)a、b、c是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，當(dāng)n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等時，均有：an+cn＞2bn.命題意圖：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，屬★★★★級題目.知識依托：等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的一般步驟.錯解分析：應(yīng)分別證明不等式對等比數(shù)列或等差數(shù)列均成立，不應(yīng)只證明一種情況.技巧與方法：本題中使用到結(jié)論：(ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c為正數(shù))，從而ak+1+ck+1＞ak·c+ck·a.b證明：(1)設(shè)a、b、c為等比數(shù)列，a=,c=bq(q＞0且q≠1)

qbnnnn1∴a+c=n+bq=b(n+qn)＞2bn

qqnn

an?cna?cn(2)設(shè)a、b、c為等差數(shù)列，則2b=a+c猜想＞()(n≥2且n∈N*)

22下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

a2?c2a?c2?()①當(dāng)n=2時，由2(a+c)＞(a+c)，∴

22ak?cka?ck?(), ②設(shè)n=k時成立，即

22ak?1?ck?11?(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)則當(dāng)n=k+1時，2411＞(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=(ak+ck)(a+c)44a?cka?ca?ck+1＞()·()=()

2221［例2］在數(shù)列{an}中，a1=1，當(dāng)n≥2時，an,Sn,Sn－成等比數(shù)列.2(1)求a2,a3,a4，并推出an的表達(dá)式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論；(3)求數(shù)列{an}所有項的和.2

22命題意圖：本題考查了數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列極限等基礎(chǔ)知識.知識依托：等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟.采用的方法是歸納、猜想、證明.錯解分析：(2)中，Sk=－

1應(yīng)舍去，這一點(diǎn)往往容易被忽視.2k?3111}是以{}為首項，為公差的等差數(shù)列，進(jìn)而求得SnS12技巧與方法：求通項可證明{通項公式.11成等比數(shù)列，∴Sn2=an·(Sn－)(n≥2)

(*)222(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－

3212由a1=1，a2=－,S3=+a3代入(*)式得：a3=－

3315解：∵an,Sn,Sn－

(n?1)?1 2?同理可得：a4=－,由此可推出：an=? 2?(n?1)35?(2n?3)(2n?1)?(2)①當(dāng)n=1,2,3,4時，由(*)知猜想成立.2②假設(shè)n=k(k≥2)時，ak=－成立

(2k?3)(2k?1)故Sk2=－21·(Sk－)

2(2k?3)(2k?1)∴(2k－3)(2k－1)Sk2+2Sk－1=0 11(舍),Sk??2k?12k?311由Sk+12=ak+1·(Sk+1－),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk－)

22∴Sk=

2ak?1ak?11122?a??a??ak?1k?1k?12k?12k?12(2k?1)2

?2?ak?1?,即n?k?1命題也成立.[2(k?1)?3][2(k?1)?1]??1(n?1)?由①②知，an=?對一切n∈N成立.2?(n?2)?(2n?3)(2n?1)?(3)由(2)得數(shù)列前n項和Sn=

1,∴S=limSn=0.n??2n?1數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用

具體常用數(shù)學(xué)歸納法證明：恒等式，不等式，數(shù)的整除性，幾何中計算問題，數(shù)列的通項與和等.