第一篇：平面幾何的幾個(gè)重要定理--西姆松定理答案

《西姆松定理及其應(yīng)用》

西姆松定理：若從?ABC外接圓上一點(diǎn)P作BC、AB、AC的垂線，垂足分別為D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線；證明：連接DE、DF，顯然，只需證明?BDE??FDC即可；??BDP??BEP?90??B、E、P、D四點(diǎn)共圓，??BDE??BPE同理可得：?FDC??PFC又??BEP??PFC?90?且?PCF?180???PBA??PBE??BPE??FPC??BDE??FDC?D、E、F三點(diǎn)共線

西姆松的逆定理：從一點(diǎn)P向?ABC的三邊(或它們的延長(zhǎng)線)作垂線，若其垂足L、M、N在同一直線上，則P在?ABC的外接圓上；

例1.設(shè)?ABC的三條垂線AD、BE、CF的垂足分別為D、E、F；從點(diǎn)D作AB、BE、CF、AC的垂線，其垂足分別為P、Q、R、S，求證P、Q、R、S在同一直線上；證明：設(shè)?ABC的垂心為O，則O、E、C、D四點(diǎn)共圓?由西姆松定理有：Q、R、S三點(diǎn)共線又?O、F、B、D四點(diǎn)共圓且由西姆松定理有：P、Q、R三點(diǎn)共線?P、Q、R、S四點(diǎn)共圓

例2.四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，且?D是直角，若從B作直線AC、AD的垂線，垂足分別為E、F，則直線EF平分線段BD。證明：作BG?DC,由西姆松定理有：F、E、G共線，又??BFD??FDG??DGB?90?

?四邊形BFDG為矩形 ?對(duì)角線FG平分另一條對(duì)角線BD

例3.求證：四條直線兩兩相交所構(gòu)成的四個(gè)三角形的外接圓相交于一點(diǎn)，且由該點(diǎn)向四條直線所作垂線的垂足在一條直線上；證明：如圖，設(shè)四條直線AB、BC、CD、AD中，AB交CD于點(diǎn)E，BC交AD于點(diǎn)F，圓BCE與圓CDF的另一個(gè)交點(diǎn)為G??BGF??BGC??CGF??BEC??CDA??BGF??A?180?，即圓ABF過點(diǎn)G同理圓AED也過點(diǎn)G?圓BCE、圓CDF、圓ABF、圓AED交于同一點(diǎn)G若點(diǎn)G向AB、BC、CD、DA所作垂線的垂足分別為E、L、M、N、P，由西姆松定理可知L、M、N在一條直線上，M、N、P在一條直線上，故L、M、N、P在同一條直線上

例4.設(shè)?ABC的外接圓的任意直徑為PQ，則關(guān)于P、Q的西姆松線是互相垂直的。

提示：由P、Q向BC作垂線并延長(zhǎng)交外接圓于點(diǎn)P'、Q'，先證P'A、Q'A分別與點(diǎn)P、Q的西姆松線平行，再證PP'QQ'是矩形，則P'A?O'A

練習(xí)

1、四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，且?CDA是直角，若從B點(diǎn)作直線AC、AD的垂線，垂足分別為E、F，求證：EF或其延長(zhǎng)線平分BD；

證明：由B作DC的垂線BG，由西姆松定理可知E、F、G共線

??BFD??FDG?90?

四邊形BGDF是矩形，BD被另一對(duì)角線FG所平分

練習(xí)

2、如圖，設(shè)P、Q為?ABC外接圓上的兩點(diǎn)，求證，若?ABC關(guān)于P、Q的西姆松線DE和FG交于M，則?FME＝?PCQ;(奧林匹克數(shù)學(xué)高二分冊(cè)P242、11題)證明：設(shè)PE?FG＝N，PE?QG?L由題設(shè)可知，圖中Q、F、G、C和E、L、G、C和C、E、D、P分別四點(diǎn)共圓??EGQ＝?FCQ，?NLQ＝?GCE，?DEP＝?DCP??FME＝?MEN??MNE??DEP??NGL??NLC??DCP??FCQ??RCB??PCQ??FME＝?PCQ，2 練習(xí)

3、設(shè)?ABC的垂心為H，其外接圓上任意一點(diǎn)P，求證:?ABC關(guān)于P點(diǎn)的西姆松線過線段PH的中點(diǎn)。(奧林匹克數(shù)學(xué)高二分冊(cè)P242、12題)

第二篇：初中平面幾何重要定理匯總

初中平面幾何重要定理匯總

1、勾股定理(畢達(dá)哥拉斯定理)（直角三角形的兩直角邊分別是a、b，斜邊是c；則a*a+b*b=c*c）

2、射影定理(歐幾里得定理)(直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。公式Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜邊BC上的高,則有射影定理如下:(1)(AD)^2;=BD·DC,(2)(AB)^2;=BD·BC ,(3)(AC)^2;=CD·BC。等積式(4)ABXAC=BCXAD(可用面積來證明))

3、三角形的三條中線交于一點(diǎn)，并且，各中線被這個(gè)點(diǎn)分成2：1的兩部分

4、四邊形兩邊中心的連線的兩條對(duì)角線中心的連線交于一點(diǎn)

5、間隔的連接六邊形的邊的中心所作出的兩個(gè)三角形的重心是重合的。

6、三角形各邊的垂直一平分線交于一點(diǎn)。

7、三角形的三條高線交于一點(diǎn)

8、設(shè)三角形ABC的外心為O，垂心為H，從O向BC邊引垂線，設(shè)垂足為L(zhǎng)，則AH=2OL

9、三角形的外心，垂心，重心在同一條直線(歐拉線)上。

10、(九點(diǎn)圓或歐拉圓或費(fèi)爾巴赫?qǐng)A)三角形中，三邊中心、從各頂點(diǎn)向其對(duì)邊所引垂線的垂足，以及垂心與各頂點(diǎn)連線的中點(diǎn)，這九個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，11、歐拉定理：三角形的外心、重心、九點(diǎn)圓圓心、垂心依次位于同一直線(歐拉線)上

12、庫(kù)立奇*大上定理：(圓內(nèi)接四邊形的九點(diǎn)圓)

圓周上有四點(diǎn)，過其中任三點(diǎn)作三角形，這四個(gè)三角形的九點(diǎn)圓圓心都在同一圓周上，我們把過這四個(gè)九點(diǎn)圓圓心的圓叫做圓內(nèi)接四邊形的九點(diǎn)圓。

13、(內(nèi)心)三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，內(nèi)切圓的半徑公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)s，s為三角形周長(zhǎng)的一半

14、(旁心)三角形的一個(gè)內(nèi)角平分線和另外兩個(gè)頂點(diǎn)處的外角平分線交于一點(diǎn)

15、中線定理：(巴布斯定理)設(shè)三角形ABC的邊BC的中點(diǎn)為P，則有AB2+AC2=2(AP2+BP2)

16、斯圖爾特定理：P將三角形ABC的邊BC內(nèi)分成m:n，則有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2

17、波羅摩及多定理：圓內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線互相垂直時(shí)，連接AB中點(diǎn)M和對(duì)角線交點(diǎn)E的直線垂直于CD

18、阿波羅尼斯定理：到兩定點(diǎn)A、B的距離之比為定比m:n(值不為1)的點(diǎn)P，位于將線段AB分成m:n的內(nèi)分點(diǎn)C和外分點(diǎn)D為直徑兩端點(diǎn)的定圓周上

19、托勒密定理：設(shè)四邊形ABCD內(nèi)接于圓，則有AB×CD+AD×BC=AC×BD

20、以任意三角形ABC的邊BC、CA、AB為底邊，分別向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，則△DEF是正三角形，21、愛爾可斯定理1：若△ABC和△DEF都是正三角形，則由線段AD、BE、CF的中心構(gòu)成的三角形也是正三角形。

22、愛爾可斯定理2：若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形，則由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心構(gòu)成的三角形是正三角形。

23、梅涅勞斯定理：設(shè)△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線和一條不經(jīng)過它們?nèi)我豁旤c(diǎn)的直線的交點(diǎn)分別為P、Q、R則有BPPC×CQQA×ARRB=1

24、梅涅勞斯定理的逆定理：(略)

25、梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理1：設(shè)△ABC的∠A的外角平分線交邊CA于Q、∠C的平分線交邊AB于R，、∠B的平分線交邊CA于Q，則P、Q、R三點(diǎn)共線。

26、梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理2：過任意△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C作它的外接圓的切線，分別和BC、CA、AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P、Q、R，則P、Q、R三點(diǎn)共線

27、塞瓦定理：設(shè)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的不在三角形的邊或它們的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)S連接面成的三條直線，分別與邊BC、CA、AB或它們的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P、Q、R，則BPPC×CQQA×ARRB()=1.28、塞瓦定理的應(yīng)用定理：設(shè)平行于△ABC的邊BC的直線與兩邊AB、AC的交點(diǎn)分別是D、E，又設(shè)BE和CD交于S，則AS一定過邊BC的中心M

29、塞瓦定理的逆定理：(略)

30、塞瓦定理的逆定理的應(yīng)用定理1：三角形的三條中線交于一點(diǎn)

31、塞瓦定理的逆定理的應(yīng)用定理2：設(shè)△ABC的內(nèi)切圓和邊BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)R、S、T，則AR、BS、CT交于一點(diǎn)。

32、西摩松定理：從△ABC的外接圓上任意一點(diǎn)P向三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線作垂線，設(shè)其垂足分別是D、E、R，則D、E、R共線，(這條直線叫西摩松線)

33、西摩松定理的逆定理：(略)

34、史坦納定理：設(shè)△ABC的垂心為H，其外接圓的任意點(diǎn)P，這時(shí)關(guān)于△ABC的點(diǎn)P的西摩松線通過線段PH的中心。

35、史坦納定理的應(yīng)用定理：△ABC的外接圓上的一點(diǎn)P的關(guān)于邊BC、CA、AB的對(duì)稱點(diǎn)和△ABC的垂心H同在一條(與西摩松線平行的)直線上。這條直線被叫做點(diǎn)P關(guān)于△ABC的鏡象線。

36、波朗杰、騰下定理：設(shè)△ABC的外接圓上的三點(diǎn)為P、Q、R，則P、Q、R關(guān)于△ABC交于一點(diǎn)的充要條件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2∏).37、波朗杰、騰下定理推論1：設(shè)P、Q、R為△ABC的外接圓上的三點(diǎn)，若P、Q、R關(guān)于△ABC的西摩松線交于一點(diǎn)，則A、B、C三點(diǎn)關(guān)于△PQR的的西摩松線交于與前相同的一點(diǎn)

38、波朗杰、騰下定理推論2：在推論1中，三條西摩松線的交點(diǎn)是A、B、C、P、Q、R六點(diǎn)任取三點(diǎn)所作的三角形的垂心和其余三點(diǎn)所作的三角形的垂心的連線段的中點(diǎn)。

39、波朗杰、騰下定理推論3：考查△ABC的外接圓上的一點(diǎn)P的關(guān)于△ABC的西摩松線，如設(shè)QR為垂直于這條西摩松線該外接圓珠筆的弦，則三點(diǎn)P、Q、R的關(guān)于△ABC的西摩松線交于一點(diǎn)

40、波朗杰、騰下定理推論4：從△ABC的頂點(diǎn)向邊BC、CA、AB引垂線，設(shè)垂足分別是D、E、F，且設(shè)邊BC、CA、AB的中點(diǎn)分別是L、M、N，則D、E、F、L、M、N六點(diǎn)在同一個(gè)圓上，這時(shí)L、M、N點(diǎn)關(guān)于關(guān)于△ABC的西摩松線交于一點(diǎn)。

41、關(guān)于西摩松線的定理1：△ABC的外接圓的兩個(gè)端點(diǎn)P、Q關(guān)于該三角形的西摩松線互相垂直，其交點(diǎn)在九點(diǎn)圓上。

42、關(guān)于西摩松線的定理2(安寧定理)：在一個(gè)圓周上有4點(diǎn)，以其中任三點(diǎn)作三角形，再作其余一點(diǎn)的關(guān)于該三角形的西摩松線，這些西摩松線交于一點(diǎn)。

43、卡諾定理：通過△ABC的外接圓的一點(diǎn)P，引與△ABC的三邊BC、CA、AB分別成同向的等角的直線PD、PE、PF，與三邊的交點(diǎn)分別是D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線。

44、奧倍爾定理：通過△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)引互相平行的三條直線，設(shè)它們與△ABC的外接圓的交點(diǎn)分別是L、M、N，在△ABC的外接圓取一點(diǎn)P，則PL、PM、PN與△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線的交點(diǎn)分別是D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線

45、清宮定理：設(shè)P、Q為△ABC的外接圓的異于A、B、C的兩點(diǎn)，P點(diǎn)的關(guān)于三邊BC、CA、AB的對(duì)稱點(diǎn)分別是U、V、W，這時(shí)，QU、QV、QW和邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線的交點(diǎn)分別是D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線

46、他拿定理：設(shè)P、Q為關(guān)于△ABC的外接圓的一對(duì)反點(diǎn)，點(diǎn)P的關(guān)于三邊BC、CA、AB的對(duì)稱點(diǎn)分別是U、V、W，這時(shí)，如果QU、QV、QW與邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線的交點(diǎn)分別為ED、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線。(反點(diǎn)：P、Q分別為圓O的半徑OC和其延長(zhǎng)線的兩點(diǎn)，如果OC2=OQ×OP 則稱P、Q兩點(diǎn)關(guān)于圓O互為反點(diǎn))

47、朗古來定理：在同一圓同上有A1B1C1D14點(diǎn)，以其中任三點(diǎn)作三角形，在圓周取一點(diǎn)P，作P點(diǎn)的關(guān)于這4個(gè)三角形的西摩松線，再?gòu)腜向這4條西摩松線引垂線，則四個(gè)垂足在同一條直線上。

48、九點(diǎn)圓定理：三角形三邊的中點(diǎn),三高的垂足和三個(gè)歐拉點(diǎn)[連結(jié)三角形各頂點(diǎn)與垂心所得三線段的中點(diǎn)]九點(diǎn)共圓[通常稱這個(gè)圓為九點(diǎn)圓[nine-point circle],或歐拉圓,費(fèi)爾巴哈圓.49、一個(gè)圓周上有n個(gè)點(diǎn)，從其中任意n-1個(gè)點(diǎn)的重心，向該圓周的在其余一點(diǎn)處的切線所引的垂線都交于一點(diǎn)。

50、康托爾定理1：一個(gè)圓周上有n個(gè)點(diǎn)，從其中任意n-2個(gè)點(diǎn)的重心向余下兩點(diǎn)的連線所引的垂線共點(diǎn)。

51、康托爾定理2：一個(gè)圓周上有A、B、C、D四點(diǎn)及M、N兩點(diǎn)，則M和N點(diǎn)關(guān)于四個(gè)三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一個(gè)的兩條西摩松的交點(diǎn)在同一直線上。這條直線叫做M、N兩點(diǎn)關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線。

52、康托爾定理3：一個(gè)圓周上有A、B、C、D四點(diǎn)及M、N、L三點(diǎn)，則M、N兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線、L、N兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線、M、L兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線交于一點(diǎn)。這個(gè)點(diǎn)叫做M、N、L三點(diǎn)關(guān)于四邊形ABCD的康托爾點(diǎn)。

53、康托爾定理4：一個(gè)圓周上有A、B、C、D、E五點(diǎn)及M、N、L三點(diǎn)，則M、N、L三點(diǎn)關(guān)于四邊形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一個(gè)康托爾點(diǎn)在一條直線上。這條直線叫做M、N、L三點(diǎn)關(guān)于五邊形A、B、C、D、E的康托爾線。

54、費(fèi)爾巴赫定理：三角形的九點(diǎn)圓與內(nèi)切圓和旁切圓相切。

55、莫利定理：將三角形的三個(gè)內(nèi)角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相得到一個(gè)交點(diǎn)，則這樣的三個(gè)交點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)正三角形。這個(gè)三角形常被稱作莫利正三角形。

56、牛頓定理1：四邊形兩條對(duì)邊的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)和兩條對(duì)角線的中點(diǎn)，三條共線。這條直線叫做這個(gè)四邊形的牛頓線。

57、牛頓定理2：圓外切四邊形的兩條對(duì)角線的中點(diǎn)，及該圓的圓心，三點(diǎn)共線。

58、笛沙格定理1：平面上有兩個(gè)三角形△ABC、△DEF，設(shè)它們的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)(A和D、B和E、C和F)的連線交于一點(diǎn)，這時(shí)如果對(duì)應(yīng)邊或其延長(zhǎng)線相交，則這三個(gè)交點(diǎn)共線。

59、笛沙格定理2：相異平面上有兩個(gè)三角形△ABC、△DEF，設(shè)它們的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)(A和D、B和E、C和F)的連線交于一點(diǎn)，這時(shí)如果對(duì)應(yīng)邊或其延長(zhǎng)線相交，則這三個(gè)交點(diǎn)共線。

60、布利安松定理：連結(jié)外切于圓的六邊形ABCDEF相對(duì)的頂點(diǎn)A和D、B和E、C和F，則這三線共點(diǎn)。

60、巴斯加定理：圓內(nèi)接六邊形ABCDEF相對(duì)的邊AB和DE、BC和EF、CD和FA的(或延長(zhǎng)線的)交點(diǎn)共線。

第三篇：高中平面幾何定理

（高中）平面幾何基礎(chǔ)知識(shí)（基本定理、基本性質(zhì)）

1． 勾股定理（畢達(dá)哥拉斯定理）（廣義勾股定理）(1)銳角對(duì)邊的平方，等于其他兩邊之平方和，減去

這兩邊中的一邊和另一邊在這邊上的射影乘積的兩倍．(2)鈍角對(duì)邊的平方等于其他兩邊的平方和，加上這兩邊中的一邊與另一邊在這邊上的射影乘積的兩倍．

2． 射影定理（歐幾里得定理）

3． 中線定理（巴布斯定理）設(shè)△ABC的邊BC的中點(diǎn)為P，則有AB2?AC2?2(AP2?BP2)； 中線長(zhǎng)：ma?2b?2c?a2222．

4． 垂線定理：AB?CD?AC2?AD2?BC2?BD2． 高線長(zhǎng)：ha?2ap(p?a)(p?b)(p?c)?bc

asinA?csinB?bsinC．

5． 角平分線定理：三角形一個(gè)角的平分線分對(duì)邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例．

如△ABC中，AD平分∠BAC，則BD

DC?AB

AC；（外角平分線定理）． cosA

2角平分線長(zhǎng)：ta?

6． 正弦定理：a

sinA?2b?cb

sinB(p?a)?csinC2bcb?c（其中p為周長(zhǎng)一半）． ??2R，（其中R為三角形外接圓半徑）．

7． 余弦定理：c2?a2?b2?2abcosC．

8． 張角定理：sin?BAC

AD? sin?BAD

AC?sin?DAC

AB．

9． 斯特瓦爾特(Stewart)定理：設(shè)已知△ABC及其底邊上B、C兩點(diǎn)間的一點(diǎn)D，則有AB2·DC+AC2·BD

－AD2·BC＝BC·DC·BD．

10． 圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角相等，等于圓心角的一半．（圓外角如何轉(zhuǎn)化？）

11．12．

13． 弦切角定理：弦切角等于夾弧所對(duì)的圓周角． 圓冪定理：（相交弦定理：垂徑定理：切割線定理（割線定理）：切線長(zhǎng)定理：）布拉美古塔（Brahmagupta）定理： 在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AC⊥BD，自對(duì)角線的交點(diǎn)P向

一邊作垂線，其延長(zhǎng)線必平分對(duì)邊．

2214． 點(diǎn)到圓的冪：設(shè)P為⊙O所在平面上任意一點(diǎn)，PO=d，⊙O的半徑為r，則d－r就是點(diǎn)P對(duì)

于⊙O的冪．過P任作一直線與⊙O交于點(diǎn)A、B，則PA·PB= |d－r|．“到兩圓等冪的點(diǎn)的軌跡是與此二圓的連心線垂直的一條直線，如果此二圓相交，則該軌跡是此二圓的公共弦所在直線”這個(gè)結(jié)論．這條直線稱為兩圓的“根軸”．三個(gè)圓兩兩的根軸如果不互相平行，則它們交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)稱為三圓的“根心”．三個(gè)圓的根心對(duì)于三個(gè)圓等冪．當(dāng)三個(gè)圓兩兩相交時(shí)，三條公共弦(就是兩兩的根軸)所在直線交于一點(diǎn)．

15． 托勒密（Ptolemy）定理：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角線之積等于兩組對(duì)邊乘積之和，即2

2AC·BD=AB·CD+AD·BC，(逆命題成立)．（廣義托勒密定理）AB·CD+AD·BC≥AC·BD．

16． 蝴蝶定理：AB是⊙O的弦，M是其中點(diǎn)，弦CD、EF經(jīng)過點(diǎn)M，CF、DE交AB于P、Q，求證：MP=QM．

17． 費(fèi)馬點(diǎn)：定理1等邊三角形外接圓上一點(diǎn)，到該三角形較近兩頂點(diǎn)距離之和等于到另一頂點(diǎn)的距離；不在等邊三角形外接圓上的點(diǎn)，到該三角形兩頂點(diǎn)距離之和大于到另一點(diǎn)的距離．定理2 三角形每一內(nèi)角都小于120°時(shí)，在三角形內(nèi)必存在一點(diǎn)，它對(duì)三條邊所張的角都是120°，該點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離和達(dá)到最小，稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”，當(dāng)三角形有一內(nèi)角不小于120°時(shí)，此角的頂點(diǎn)即為費(fèi)馬

點(diǎn)．

18． 拿破侖三角形：在任意△ABC的外側(cè)，分別作等邊△ABD、△BCE、△CAF，則AE、AB、CD三線

共點(diǎn)，并且AE＝BF＝CD，這個(gè)命題稱為拿破侖定理．以△ABC的三條邊分別向外作等邊△ABD、△BCE、△CAF，它們的外接圓⊙C1、⊙A1、⊙B1的圓心構(gòu)成的△——外拿破侖的三角形，⊙C1、⊙A1、⊙B1三圓共點(diǎn)，外拿破侖三角形是一個(gè)等邊三角形；△ABC的三條邊分別向△ABC的內(nèi)側(cè)作等邊△ABD、△BCE、△CAF，它們的外接圓⊙C2、⊙A2、⊙B2的圓心構(gòu)成的△——內(nèi)拿破侖三角形，⊙C2、⊙A2、⊙B2三圓共點(diǎn)，內(nèi)拿破侖三角形也是一個(gè)等邊三角形．這兩個(gè)拿破侖三角形還具有相同的中心．

19． 九點(diǎn)圓（Nine point round或歐拉圓或費(fèi)爾巴赫?qǐng)A）：三角形中，三邊中心、從各頂點(diǎn)向其對(duì)

邊所引垂線的垂足，以及垂心與各頂點(diǎn)連線的中點(diǎn)，這九個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，九點(diǎn)圓具有許多有趣的性質(zhì),例如:

（1）三角形的九點(diǎn)圓的半徑是三角形的外接圓半徑之半;

（2）九點(diǎn)圓的圓心在歐拉線上,且恰為垂心與外心連線的中點(diǎn);

（3）三角形的九點(diǎn)圓與三角形的內(nèi)切圓,三個(gè)旁切圓均相切〔費(fèi)爾巴哈定理〕． 20． 歐拉（Euler）線：三角形的外心、重心、九點(diǎn)圓圓心、垂心依次位于同一直線（歐拉線）上． 21． 歐拉（Euler）公式：設(shè)三角形的外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，外心與內(nèi)心的距離為d，則d2=R2－2Rr． 22． 23．

G（銳角三角形的外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑的和等于外心到各邊距離的和．

重心：三角形的三條中線交于一點(diǎn)，并且各中線被這個(gè)點(diǎn)分成2：1的兩部分；

xA?xB?xC,yA?yB?yC)

重心性質(zhì)：（1）設(shè)G為△ABC的重心，連結(jié)AG并延長(zhǎng)交BC于D，則D為BC的中點(diǎn)，則AG:GD?2:1；

（2）設(shè)G為△ABC的重心，則S?ABG?S?BCG?S?ACG?

交

DEBC

3S?ABC；

（3）設(shè)G為△ABC的重心，過G作DE∥BC交AB于D，交AC于E，過G作PF∥AC交AB于P，BC

?FPCA

于

?

F，過

KHAB

?

G作HK∥AB交AC于K，交BC于H，則

2DEFPKH

;???2； 3BCCAAB

（4）設(shè)G為△ABC的重心，則

①BC2?3GA2?CA2?3GB2?AB2?3GC2； ②GA2?GB

?GC

?

(AB

?BC

?CA)；

③PA2?PB2?PC2?GA2?GB2?GC2?3PG2（P為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)）；

④到三角形三頂點(diǎn)距離的平方和最小的點(diǎn)是重心，即GA2?GB2?GC2最??；

⑤三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點(diǎn)是重心；反之亦然（即滿足上述條件之一，則G為△ABC的重心）．

24．垂

aH（cosA

心

xA?

b

：

xB?

三

c

角

xC,形

acosA的yA?

b

三

yB?

條

c

高

yC)

線的交點(diǎn)；

cosBcosC

abc

??

cosAcosBcosCcosBcosC

abc

??

cosAcosBcosC

垂心性質(zhì)：（1）三角形任一頂點(diǎn)到垂心的距離，等于外心到對(duì)邊的距離的2倍；

（2）垂心H關(guān)于△ABC的三邊的對(duì)稱點(diǎn)，均在△ABC的外接圓上；

（3）△ABC的垂心為H，則△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圓是等圓；（4）設(shè)O，H分別為△ABC的外心和垂心，則?BAO??HAC,?CBO??ABH,?BCO??HCA．

25．內(nèi)心：三角形的三條角分線的交點(diǎn)—內(nèi)接圓圓心，即內(nèi)心到三角形各邊距離相等；

I（axA?bxB?cxC

a?b?c,ayA?byB?cyC

a?b?c)

內(nèi)心性質(zhì)：（1）設(shè)I為△ABC的內(nèi)心，則I到△ABC三邊的距離相等，反之亦然；（2）設(shè)I為△ABC的內(nèi)心，則?BIC?90??

2?A,?AIC?90??

?B,?AIB?90??

?C；

（3）三角形一內(nèi)角平分線與其外接圓的交點(diǎn)到另兩頂點(diǎn)的距離與到內(nèi)心的距離相等；反之，若?A平分線交△ABC外接圓于點(diǎn)K，I為線段AK上的點(diǎn)且滿足KI=KB，則I為△ABC的內(nèi)心；（4）設(shè)I為△ABC的內(nèi)心，BC?a,AC?b,AB?c, ?A平分線交BC于D，交△ABC外接圓于點(diǎn)K，則

AIID?AKKI

?IKKD

?b?ca；

（5）設(shè)I為△ABC的內(nèi)心，BC?a,AC?b,AB?c,I在BC,AC,AB上的射影分別為D,E,F，內(nèi)切圓

半

徑

為

r，令

p?

(a?b?c)，則①

S?ABC?pr

；②

AE?AF?p?a;BD?BF?p?b;CE?CD?p?c；③abcr?p?AI?BI?CI．

26． 外心：三角形的三條中垂線的交點(diǎn)——外接圓圓心，即外心到三角形各頂點(diǎn)距離相等；

O（sin2AxA?sin2BxB?sin2CxC

sin2A?sin2B?sin2C,sin2Ay

A

?sin2ByB?sin2CyC

sin2A?sin2B?sin2C)

外心性質(zhì)：（1）外心到三角形各頂點(diǎn)距離相等；

（2）設(shè)O為△ABC的外心，則?BOC?2?A或?BOC?360??2?A；（3）R

和． 27．

旁心：一內(nèi)角平分線與兩外角平分線交點(diǎn)——旁切圓圓心；設(shè)△ABC的三邊

(a?b?c)，分別與BC,AC,AB外側(cè)相切的旁切圓圓心記為

?

abc4S?

；（4）銳角三角形的外心到三邊的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之

BC?a,AC?b,AB?c,令p?

IA,IB,IC，其半徑分別記為rA,rB,rC．

旁心性質(zhì)：（1）?BIAC?90??（2）?IAIBIC?

?A,?BIBC??BICC?

?A,（對(duì)于頂角B，C也有類似的式子）；

(?A??C)；

（3）設(shè)AIA的連線交△ABC的外接圓于D，則DI

A

； ?DB?DC（對(duì)于BIB,CIC有同樣的結(jié)論）

（4）△ABC是△IAIBIC的垂足三角形，且△IAIBIC的外接圓半徑R'等于△ABC的直徑為2R． 28． 三角形面積公式

S?ABC?

12aha?

absinC?

a4R

c2b

?2RsinAsinBsinC?

a4（：

?b

?c

oC)o

o

tt

t

A?ccB?c

?pr?

p(p?a)(p?b)(p?c)，其中ha表示BC邊上的高，R為外接圓半徑，r為內(nèi)切圓半徑，p?

(a?b?c)．

29． 三角形中內(nèi)切圓，旁切圓和外接圓半徑的相互關(guān)系：

A2

rtan

B2tan

C2

r?4Rsinsin

B2

sin

C2

;ra?4Rsin

rtan

A2tan

C2

A2

cos

B2

cos

r

C2,rb?4Rcos

;1ra

?1rb

?

A2

sin

?

B2

1r.cos

C2,rc?4Rcos

A2

cos

B2

sin

C2

;

r

a

?,rb?,rc?

tan

1rc

A2

tan

B2

30． 梅涅勞斯（Menelaus）定理：設(shè)△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線和一條不經(jīng)過它們?nèi)我?/p>

BPPC

?CQQA

?ARRB

?1．（逆定理也成立）

頂點(diǎn)的直線的交點(diǎn)分別為P、Q、R則有

31． 梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理1：設(shè)△ABC的∠A的外角平分線交邊CA于Q，∠C的平分線交邊AB

于R，∠B的平分線交邊CA于Q，則P、Q、R三點(diǎn)共線． 32． 33．

梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理2：過任意△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C作它的外接圓的切線，分別和BC、CA、AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P、Q、R，則P、Q、R三點(diǎn)共線．

塞瓦(Ceva)定理：設(shè)X、Y、Z分別為△ABC的邊BC、CA、AB上的一點(diǎn)，則AX、BY、CZ所在直

AZBXCY

·．

ZBXCYA

34． 塞瓦定理的應(yīng)用定理：設(shè)平行于△ABC的邊BC的直線與兩邊AB、AC的交點(diǎn)分別是D、E，又設(shè)

BE和CD交于S，則AS一定過邊BC的中點(diǎn)M．

線交于一點(diǎn)的充要條件是35．

塞瓦定理的逆定理：（略）

36． 塞瓦定理的逆定理的應(yīng)用定理1：三角形的三條中線交于一點(diǎn)，三角形的三條高線交于一點(diǎn)，三角形的三條角分線交于一點(diǎn)． 37．

塞瓦定理的逆定理的應(yīng)用定理2：設(shè)△ABC的內(nèi)切圓和邊BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)R、S、T，則AR、BS、CT交于一點(diǎn)．38． 西摩松（Simson）定理：從△ABC的外接圓上任意一點(diǎn)P向三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線作垂線，設(shè)其垂足分別是D、E、R，則D、E、R共線，（這條直線叫西摩松線Simson line）． 39． 西摩松定理的逆定理：（略）40．

關(guān)于西摩松線的定理1：△ABC的外接圓的兩個(gè)端點(diǎn)P、Q關(guān)于該三角形的西摩松線互相垂直，其交點(diǎn)在九點(diǎn)圓上．

41． 關(guān)于西摩松線的定理2（安寧定理）：在一個(gè)圓周上有4點(diǎn)，以其中任三點(diǎn)作三角形，再作其

余一點(diǎn)的關(guān)于該三角形的西摩松線，這些西摩松線交于一點(diǎn)． 42． 史坦納定理：設(shè)△ABC的垂心為H，其外接圓的任意點(diǎn)P，這時(shí)關(guān)于△ABC的點(diǎn)P的西摩松線通

過線段PH的中心． 43．

史坦納定理的應(yīng)用定理：△ABC的外接圓上的一點(diǎn)P的關(guān)于邊BC、CA、AB的對(duì)稱點(diǎn)和△ABC的垂心H同在一條（與西摩松線平行的）直線上．這條直線被叫做點(diǎn)P關(guān)于△ABC的鏡象線． 44． 牛頓定理1：四邊形兩條對(duì)邊的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)和兩條對(duì)角線的中點(diǎn)，三點(diǎn)共

線．這條直線叫做這個(gè)四邊形的牛頓線．45． 46．

牛頓定理2：圓外切四邊形的兩條對(duì)角線的中點(diǎn)，及該圓的圓心，三點(diǎn)共線．

笛沙格定理1：平面上有兩個(gè)三角形△ABC、△DEF，設(shè)它們的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)（A和D、B和E、C和

F）的連線交于一點(diǎn)，這時(shí)如果對(duì)應(yīng)邊或其延長(zhǎng)線相交，則這三個(gè)交點(diǎn)共線． 47． 笛沙格定理2：相異平面上有兩個(gè)三角形△ABC、△DEF，設(shè)它們的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)（A和D、B和E、C和F）的連線交于一點(diǎn)，這時(shí)如果對(duì)應(yīng)邊或其延長(zhǎng)線相交，則這三個(gè)交點(diǎn)共線． 48． 波朗杰、騰下定理：設(shè)△ABC的外接圓上的三點(diǎn)為P、Q、R，則P、Q、R關(guān)于△ABC交于一點(diǎn)的充要條件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2?)．49． 波朗杰、騰下定理推論1：設(shè)P、Q、R為△ABC的外接圓上的三點(diǎn)，若P、Q、R關(guān)于△ABC的西摩松線交于一點(diǎn)，則A、B、C三點(diǎn)關(guān)于△PQR的的西摩松線交于與前相同的一點(diǎn)． 50． 波朗杰、騰下定理推論2：在推論1中，三條西摩松線的交點(diǎn)是A、B、C、P、Q、R六點(diǎn)任取

三點(diǎn)所作的三角形的垂心和其余三點(diǎn)所作的三角形的垂心的連線段的中點(diǎn)． 51． 波朗杰、騰下定理推論3：考查△ABC的外接圓上的一點(diǎn)P的關(guān)于△ABC的西摩松線，如設(shè)QR

為垂直于這條西摩松線該外接圓的弦，則三點(diǎn)P、Q、R的關(guān)于△ABC的西摩松線交于一點(diǎn)． 52．

波朗杰、騰下定理推論4：從△ABC的頂點(diǎn)向邊BC、CA、AB引垂線，設(shè)垂足分別是D、E、F，且設(shè)邊BC、CA、AB的中點(diǎn)分別是L、M、N，則D、E、F、L、M、N六點(diǎn)在同一個(gè)圓上，這時(shí)L、M、N點(diǎn)關(guān)于關(guān)于△ABC的西摩松線交于一點(diǎn)．

53． 卡諾定理：通過△ABC的外接圓的一點(diǎn)P，引與△ABC的三邊BC、CA、AB分別成同向的等角的直線PD、PE、PF，與三邊的交點(diǎn)分別是D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線． 54．

奧倍爾定理：通過△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)引互相平行的三條直線，設(shè)它們與△ABC的外接圓的交點(diǎn)分別是L、M、N，在△ABC的外接圓上取一點(diǎn)P，則PL、PM、PN與△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線的交點(diǎn)分別是D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線．

55． 清宮定理：設(shè)P、Q為△ABC的外接圓的異于A、B、C的兩點(diǎn)，P點(diǎn)的關(guān)于三邊BC、CA、AB的對(duì)稱點(diǎn)分別是U、V、W，這時(shí)，QU、QV、QW和邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線的交點(diǎn)分別是D、E、F，則

D、E、F三點(diǎn)共線． 56． 他拿定理：設(shè)P、Q為關(guān)于△ABC的外接圓的一對(duì)反點(diǎn)，點(diǎn)P的關(guān)于三邊BC、CA、AB的對(duì)稱點(diǎn)

分別是U、V、W，這時(shí)，如果QU、QV、QW和邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線的交點(diǎn)分別是D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線．（反點(diǎn)：P、Q分別為圓O的半徑OC和其延長(zhǎng)線的兩點(diǎn)，如果OC2=OQ×OP 則稱P、Q兩點(diǎn)關(guān)于圓O互為反點(diǎn)）57． 朗古來定理：在同一圓周上有A1、B1、C1、D1四點(diǎn)，以其中任三點(diǎn)作三角形，在圓周取一點(diǎn)P，作P點(diǎn)的關(guān)于這4個(gè)三角形的西摩松線，再?gòu)腜向這4條西摩松線引垂線，則四個(gè)垂足在同一條直

線上．58．

從三角形各邊的中點(diǎn)，向這條邊所對(duì)的頂點(diǎn)處的外接圓的切線引垂線，這些垂線交于該三角形的九點(diǎn)圓的圓心．

59． 一個(gè)圓周上有n個(gè)點(diǎn)，從其中任意n－1個(gè)點(diǎn)的重心，向該圓周的在其余一點(diǎn)處的切線所引的垂線都交于一點(diǎn)． 60． 康托爾定理1：一個(gè)圓周上有n個(gè)點(diǎn)，從其中任意n－2個(gè)點(diǎn)的重心向余下兩點(diǎn)的連線所引的垂線共點(diǎn)． 61．

康托爾定理2：一個(gè)圓周上有A、B、C、D四點(diǎn)及M、N兩點(diǎn)，則M和N點(diǎn)關(guān)于四個(gè)三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一個(gè)的兩條西摩松線的交點(diǎn)在同一直線上．這條直線叫做M、N兩點(diǎn)關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線． 62． 康托爾定理3：一個(gè)圓周上有A、B、C、D四點(diǎn)及M、N、L三點(diǎn)，則M、N兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線、L、N兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線、M、L兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線

交于一點(diǎn)．這個(gè)點(diǎn)叫做M、N、L三點(diǎn)關(guān)于四邊形ABCD的康托爾點(diǎn)．

63． 康托爾定理4：一個(gè)圓周上有A、B、C、D、E五點(diǎn)及M、N、L三點(diǎn)，則M、N、L三點(diǎn)關(guān)于四邊

形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一個(gè)康托爾點(diǎn)在一條直線上．這條直線叫做M、N、L三點(diǎn)關(guān)于五邊形A、B、C、D、E的康托爾線． 64． 65．

費(fèi)爾巴赫定理：三角形的九點(diǎn)圓與內(nèi)切圓和旁切圓相切．

莫利定理：將三角形的三個(gè)內(nèi)角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相得到一個(gè)交點(diǎn)，則這樣的三個(gè)交點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)正三角形．這個(gè)三角形常被稱作莫利正三角形．

66． 布利安松定理：連結(jié)外切于圓的六邊形ABCDEF相對(duì)的頂點(diǎn)A和D、B和E、C和F，則這三線

共點(diǎn)． 67． 帕斯卡（Paskal）定理：圓內(nèi)接六邊形ABCDEF相對(duì)的邊AB和DE、BC和EF、CD和FA的（或

延長(zhǎng)線的）交點(diǎn)共線． 68． 阿波羅尼斯（Apollonius）定理：到兩定點(diǎn)A、B的距離之比為定比m：n（值不為1）的點(diǎn)P，位于將線段AB分成m：n的內(nèi)分點(diǎn)C和外分點(diǎn)D為直徑兩端點(diǎn)的定圓周上．這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓． 69． 庫(kù)立奇*大上定理：（圓內(nèi)接四邊形的九點(diǎn)圓）圓周上有四點(diǎn)，過其中任三點(diǎn)作三角形，這四個(gè)

三角形的九點(diǎn)圓圓心都在同一圓周上，我們把過這四個(gè)九點(diǎn)圓圓心的圓叫做圓內(nèi)接四邊形的九點(diǎn)圓． 70． 密格爾（Miquel）點(diǎn)： 若AE、AF、ED、FB四條直線相交于A、B、C、D、E、F六點(diǎn)，構(gòu)成四

個(gè)三角形，它們是△ABF、△AED、△BCE、△DCF，則這四個(gè)三角形的外接圓共點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)稱為密格爾點(diǎn)． 71． 葛爾剛（Gergonne）點(diǎn)：△ABC的內(nèi)切圓分別切邊AB、BC、CA于點(diǎn)D、E、F，則AE、BF、CD三線共點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)稱為葛爾剛點(diǎn)．72． 歐拉關(guān)于垂足三角形的面積公式：O是三角形的外心，M是三角形中的任意一點(diǎn)，過M向三邊

作垂線，三個(gè)垂足形成的三角形的面積，其公式： S?DEF

S?ABC

?|R

?d

|

．

4R

第四篇：奧數(shù)平面幾何幾個(gè)重要定理

平面幾何中幾個(gè)重要定理及其證明

一、塞瓦定理

1．塞瓦定理及其證明

定理：在?ABC內(nèi)一點(diǎn)P，該點(diǎn)與?ABC的三個(gè)頂點(diǎn)相連所在的三條直線分別交?ABC三邊AB、BC、CA于點(diǎn)D、E、F，且D、E、F三點(diǎn)均不是?ABC的頂點(diǎn)，則有

D F P C A ADBE?

DB?ECCF?1． FAB E ADS?ADPS?ADC?證明：運(yùn)用面積比可得DB?S． S?BDP?BDC根據(jù)等比定理有

S?ADPS?ADCS?ADC?S?ADPS?APC???S?BDPS?BDCS?BDC?S?BDPS?BPC，ADS?APCBES?APBCFS?BPC??所以DB?S．同理可得，． ECS?APCFAS?APB?BPCADBECF???1． 三式相乘得DBECFA注：在運(yùn)用三角形的面積比時(shí)，要把握住兩個(gè)三角形是“等高”還是“等底”，這樣就可以產(chǎn)生出“邊之比”．

2．塞瓦定理的逆定理及其證明

定理：在?ABC三邊AB、BC、CA上各有一點(diǎn)D、E、F，ADBECF???1，那么直且D、E、F均不是?ABC的頂點(diǎn)，若

DBECFA線CD、AE、BF三線共點(diǎn)．

證明：設(shè)直線AE與直線BF交于點(diǎn)P，直線CP交AB于點(diǎn)D/，則據(jù)塞瓦定理有

AD/BECF???1． /DBECFA A D/ D B F P C E ADBECFADAD/???1，所以有?/．由于點(diǎn)D、D/都

因?yàn)?/p>

DBECFADBDB在線段AB上，所以點(diǎn)D與D/重合．即得D、E、F三點(diǎn)共線．

注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命題順利獲證．

二、梅涅勞斯定理

3．梅涅勞斯定理及其證明 定理：一條直線與?ABC的三邊AB、BC、CA所在直線分別交于點(diǎn)D、B E、F，且D、E、F均不是?ABC的頂點(diǎn)，則有

D E C G A F

ADBE??

DBECCF?1． FA證明：如圖，過點(diǎn)C作AB的平行線，交EF于點(diǎn)G．

CGCF?因?yàn)镃G // AB，所以 ————（1）ADFACGEC?因?yàn)镃G // AB，所以 ————（2）DBBEADBECFDBBECF???1．??由（1）÷（2）可得，即得 DBECFAADECFA注：添加的輔助線CG是證明的關(guān)鍵“橋梁”，兩次運(yùn)用相似比得出兩個(gè)比例等式，再拆去“橋梁”（CG）使得命題順利獲證．

4．梅涅勞斯定理的逆定理及其證明

定理：在?ABC的邊AB、BC上各有一點(diǎn)D、E，在邊ACADBECF???1，的延長(zhǎng)線上有一點(diǎn)F，若

DBECFA

那么，D、E、F三點(diǎn)共線．

證明：設(shè)直線EF交AB于點(diǎn)D/，則據(jù)梅涅勞斯定理有

AD/BECF???1． /DBECFA D/ D B E A C F ADBECFADAD/???1，所以有?/．由于點(diǎn)D、D/都因?yàn)?/p>

DBECFADBDB

在線段AB上，所以點(diǎn)D與D/重合．即得D、E、F三點(diǎn)共線．

注：證明方法與上面的塞瓦定理的逆定理如出一轍，注意分析其相似后面的規(guī)律．

三、托勒密定理

5．托勒密定理及其證明

定理：凸四邊形ABCD是某圓的內(nèi)接四邊形，則有

AB·CD + BC·AD = AC·BD．

證明：設(shè)點(diǎn)M是對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，在線段BD上找一點(diǎn)，使得?DAE =?BAM．

因?yàn)?ADB =?ACB，即?ADE =?ACB，所以?ADE∽?ACB，即得

D E A M B C ADDE?，即AD?BC?AC?DE ————（1）ACBC由于?DAE =?BAM，所以?DAM =?BAE，即?DAC =?BAE。而?ABD =?ACD，即?ABE =?ACD，所以?ABE∽?ACD．即得

ABBE??

，即AB?CDACCDA?C ————（B2）

由（1）+（2）得

?BC?

ADA?BC?DA?C?DE?AC?BE? ．所以AB·CD + BC·AD = AC·BD．

注：巧妙構(gòu)造三角形，運(yùn)用三角形之間的相似推得結(jié)論．構(gòu)造有特點(diǎn)，不容易想到，要認(rèn)真分析題目并不斷嘗試．

6．托勒密定理的逆定理及其證明

定理：如果凸四邊形ABCD滿足AB×CD + BC×AD = AC×BD，那么A、B、C、D四點(diǎn)共圓．

證法1（同一法）：

在凸四邊形ABCD內(nèi)取一點(diǎn)E，使得?EAB??DAC，?EBA??DCA，則?EAB∽?DAC．

A B 可得AB×CD = BE×AC ———（1）

AEAB且 AD?AC

———（2）

則由?DAE??CAB及（2）可得?DAE∽

E D C ?CAB．于是有

AD×BC = DE×AC ———（3）

由（1）+（3）可得 AB×CD + BC×AD = AC×(BE + DE)． 據(jù)條件可得 BD = BE + DE，則點(diǎn)E在線段BD上．則由?EBA??DCA，得?DBA??DCA，這說明A、B、C、D四點(diǎn)共圓．

證法2（構(gòu)造轉(zhuǎn)移法）

延長(zhǎng)DA到A/，延長(zhǎng)DB到B/，使A、B、B/、A/四點(diǎn)共圓．延長(zhǎng)DC到C/，使得B、C、C/、B/四點(diǎn)共圓．（如果能證明A/、B/、C共線，則命題獲證）

那么，據(jù)圓冪定理知A、C、C/、A/四點(diǎn)也共圓． A/B/?

因此，ABA/DB/C/?，BDBC/

A/ B/ A B C/D． BDD C C/ //AB?AD?BC?CD////

可得 AB?BC?.BDA/C/

另一方面，AC?/A/DAC?AD//AC?，即． CDCDAB?A/D?BC?C/DAC?A/D

欲證=，即證

CDBDAB?CD?A/D?BC?CD?C/D?AC?BD?A/D

//

即 BC?CD?CD?(AC?BD?AB?CD)AD．

據(jù)條件有 AC?BD?AB?CD?AD?BC，所以需證

BC?CD?C/D?AD?BC?A/D，//CD?CD?AD?AD，這是顯然的．所以，即證A/B/?B/C?//ACA/、B/、C/共線．所以?A/B/B與?BB/C/，即

////互補(bǔ)．由于?ABB??DAB，?BBC??DCB，所以?DAB與?DCB互補(bǔ)，即A、B、C、D四點(diǎn)共圓．

7．托勒密定理的推廣及其證明

定理：如果凸四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)不在同一個(gè)圓上，那么就有

AB×CD + BC×AD > AC×BD

A B E D C 證明：如圖，在凸四邊形ABCD內(nèi)取一點(diǎn)E，使得?EAB??DAC，?EBA??DCA，則?EAB∽?DAC．

可得AB×CD = BE×AC ————（1）

AEAB?且

————（2）ADAC則由?DAE??CAB及（2）可得?DAE∽?CAB．于是

AD×BC = DE×AC ————（3）

由（1）+（3）可得 AB×CD + BC×AD = AC×(BE + DE)因?yàn)锳、B、C、D四點(diǎn)不共圓，據(jù)托勒密定理的逆定理可知

AB×CD + BC×AD?AC×BD 所以BE + DE?BD，即得點(diǎn)E不在線段BD上，則據(jù)三角形的性質(zhì)有BE + DE > BD．

所以AB×CD + BC×AD > AC×BD．

四、西姆松定理

8．西姆松定理及其證明

定理：從?ABC外接圓上任意一點(diǎn)P向BC、CA、AB或其

延長(zhǎng)線引垂線，垂足分別為D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線．

證明：如圖示，連接PC，連接 EF 交BC于點(diǎn)D/，連接PD/．

B F A D C E P 因?yàn)镻E?AE，PF?AF，所以A、F、P、E四點(diǎn)共圓，可得?FAE =?FEP．

因?yàn)锳、B、P、C四點(diǎn)共圓，所以?BAC =?BCP，即?FAE =?BCP．

所以，?FEP =?BCP，即?D/EP =?D/CP，可得C、D/、P、E四點(diǎn)共圓．

所以，?CD/P +?CEP = 1800。而?CEP = 900，所以?CD/P = 900，即PD/?BC．

由于過點(diǎn)P作BC的垂線，垂足只有一個(gè)，所以點(diǎn)D與D/重合，即得D、E、F三點(diǎn)共線．

注：（1）采用同一法證明可以變被動(dòng)為主動(dòng)，以便充分地調(diào)用題設(shè)條件．但需注意運(yùn)用同一法證明時(shí)的唯一性．

（2）反復(fù)運(yùn)用四點(diǎn)共圓的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵，要掌握好四點(diǎn)共圓的運(yùn)用手法．

五、歐拉定理

9．歐拉定理及其證明

定理：設(shè)ΔABC的重心、外心、垂心分別用字母G、O、H表示．則有G、O、H三點(diǎn)共線（歐拉線），且滿足OH?3OG．

BOHADEC

證明（向量法）：連BO并延長(zhǎng)交圓O于點(diǎn)D。連接CD、AD、HC，設(shè)E為邊BC的中點(diǎn)，連接OE和OC．則

OH?OA?AH ——— ①

因?yàn)?CD⊥BC，AH⊥BC，所以 AH // CD．同理CH // DA．

所以，AHCD為平行四邊形．

從而得AH?DC．而DC?2OE，所以AH?2OE．

???1????因?yàn)镺E?2??OB?OC??，所以AH?OB?OC ——— ②

????????????由①②得：OH?OA?OB?OC ———— ③ 另一方面，OG?OA?AG?OA?2GF?OA?GB?GC．

GC?GO?OC，所以 而GB?GO?OB，??????????????????

1?????OG?OA?2GO?OC?OB?OG??OA?OB?OC??? 3??????????—— ④

由③④得：OH?3OG．結(jié)論得證．

注：（1）運(yùn)用向量法證明幾何問題也是一種常用方法，而且有其獨(dú)特之處，注意掌握向量對(duì)幾何問題的表現(xiàn)手法；

（2）此題也可用純幾何法給予證明． 又證（幾何法）：連接OH，AE，兩線段相交于點(diǎn)G/；連BO并延長(zhǎng)交圓O于點(diǎn)D；連接CD、AD、HC，設(shè)E為邊BC的中點(diǎn)，連接OE和OC，如圖．

因?yàn)?CD⊥BC，AH⊥BC，所以 AH // CD．同理CH // DA．

所以，AHCD為平行四邊形．

可得AH = CD．而CD = 2OE，所以AH = 2OE．

因?yàn)锳H // CD，CD // OE，所以AH // OE．可得?AHG/∽

BEOG ADHC?EOG/．所以

AHAG/HG/2?/?/?． OEGEGO1AG/2由/?，及重心性質(zhì)可知點(diǎn)G/就是?ABC的重心，即GE1G/與點(diǎn)G重合．

所以，G、O、H三點(diǎn)共線，且滿足OH?3OG．

六、蝴蝶定理

10．蝴蝶定理及其證明

定理：如圖，過圓中弦AB的中點(diǎn)M任引兩弦CD和EF，連接CF和ED，分別交AB于P、Q，則PM = MQ．

證明：過點(diǎn)M作直線AB的垂線l，D / FF C/E C / A QQ M P B 作直線CF關(guān)于直線l的對(duì)稱直線交圓于點(diǎn)C/、F/，交線段AB于點(diǎn)Q/．連接FF/、DF/、Q/F/、DQ/．據(jù)圓的性質(zhì)和圖形的對(duì)稱性可知：

?MFQ =?MFP，?FQM =?FPM； //

//且FF/ // AB，PM = MQ/． 因?yàn)镃、D、F/、F四點(diǎn)共圓，所以

?CDF +?CFF = 180/

/

0，而由FF/ // AB可得?Q/PF +?CFF/ = 1800，所以

?CDF =?QPF，即?MDF =?QPF． /

/

/

/又因?yàn)?Q/PF =?PQ/F/，即?Q/PF =?MQ/F/．所以有

?MDF =?MQF． /

//這說明Q/、D、F/、M四點(diǎn)共圓，即得?MF/Q/ =?Q/DM． 因?yàn)?MF/Q/ =?MFP，所以?MFP =?Q/DM．而?MFP =?EDM，所以?EDM =?Q/DM．這說明點(diǎn)Q與點(diǎn)Q/重合，即

得PM = MQ．

此定理還可用解析法來證明： 想法：設(shè)法證明直線DE和CFx軸上的截距互為相反數(shù)．

證：以AB所在直線為x軸，段AB的垂直平分線為y軸建立直坐標(biāo)系，M點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)．

設(shè)直線DE、CF的方程分別為

x = m1 y + n 1，x = m2 y + n 2；

直線CD、EF的方程分別為

y = k1 x，y = k2 x ．

則經(jīng)過C、D、E、F四點(diǎn)的曲線系方程為

(y –k1 x)(y –k2 x)+?(x –m1 y–n1)(x –m2 y –n2)=0．

整理得

(?+k1k2)x 2+(1+?m1m2)y 2–[(k1+k2)+?(m1+m2)]xy

–?(n1+n2)x+?(n1m2+n2m1)y+?n1n2=0． 由于C、D、E、F四點(diǎn)在一個(gè)圓上，說明上面方程表示的是一個(gè)圓，所以必須

?+ k1 k2 = 1 +?m1 m2 ≠ 0，且

(k1+k2)+?(m1+m2)=0．

DFAQEMyCPBx在線角

若?=0，則k1k2=1，k1+k2=0，這是不可能的，故?≠0； 又y軸是弦AB的垂直平分線，則圓心應(yīng)落在y軸上，故有?(n1 + n2)= 0，從而得n1 + n2 = 0．

這說明直線DE、CF在x軸上的截距互為相反數(shù)，即得PM = MQ．

注：利用曲線系方程解題是坐標(biāo)法的一大特點(diǎn)，它可以較好地解決直線與曲線混雜在一起的問題．如本題，四條直線方程一經(jīng)組合就魔術(shù)般地變成了圓方程，問題瞬息間得以解決，真是奇妙．運(yùn)用它解題，不拘泥于小處，能夠從整體上去考慮問題．

另外，待定系數(shù)法在其中扮演了非常重要的角色，需注意掌握其用法．

第五篇：高中平面幾何60大定理

1、勾股定理(畢達(dá)哥拉斯定理)

2、射影定理(歐幾里得定理)

3、三角形的三條中線交于一點(diǎn)，并且，各中線被這個(gè)點(diǎn)分成2：1的兩部分

4、四邊形兩邊中心的連線的兩條對(duì)角線中心的連線交于一點(diǎn)

5、間隔的連接六邊形的邊的中心所作出的兩個(gè)三角形的重心是重合的。

6、三角形各邊的垂直一平分線交于一點(diǎn)。

7、從三角形的各頂點(diǎn)向其對(duì)邊所作的三條垂線交于一點(diǎn)

8、設(shè)三角形ABC的外心為O，垂心為H，從O向BC邊引垂線，設(shè)垂足不L，則AH=2OL9、三角形的外心，垂心，重心在同一條直線上。

10、(九點(diǎn)圓或歐拉圓或費(fèi)爾巴赫?qǐng)A)三角形中，三邊中心、從各頂點(diǎn)向其對(duì)邊所引垂線的垂足，以及垂心與各頂點(diǎn)連線的中點(diǎn)，這九個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，11、歐拉定理：三角形的外心、重心、九點(diǎn)圓圓心、垂心依次位于同一直線(歐拉線)上

12、庫(kù)立奇*大上定理：(圓內(nèi)接四邊形的九點(diǎn)圓)圓周上有四點(diǎn)，過其中任三點(diǎn)作三角形，這四個(gè)三角形的九點(diǎn)圓圓心都在同一圓周上，我們把過這四個(gè)九點(diǎn)圓圓心的圓叫做圓內(nèi)接四邊形的九點(diǎn)圓。

13、(內(nèi)心)三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，內(nèi)切圓的半徑公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)ss為三角形周長(zhǎng)的一半

14、(旁心)三角形的一個(gè)內(nèi)角平分線和另外兩個(gè)頂點(diǎn)處的外角平分線交于一點(diǎn)

15、中線定理：(巴布斯定理)設(shè)三角形ABC的邊BC的中點(diǎn)為P，則有AB2+AC2=2(AP2+BP2)

16、斯圖爾特定理：P將三角形ABC的邊BC內(nèi)分成m:n，則有

n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnBC17、波羅摩及多定理：圓內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線互相垂直時(shí)，連接AB中點(diǎn)M和對(duì)角線交點(diǎn)E的直線垂直于CD18、阿波羅尼斯定理：到兩定點(diǎn)A、B的距離之比為定比m:n(值不為1)的點(diǎn)P，位于將線段AB分成m:n的內(nèi)分點(diǎn)C和外分點(diǎn)D為直徑兩端點(diǎn)的定圓周上

19、托勒密定理：設(shè)四邊形ABCD內(nèi)接于圓，則有AB×CD+AD×BC=AC20、以任意三角形ABC的邊BC、CA、AB為底邊，分別向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，則△DEF是正三角形，21、愛爾可斯定理1：若△ABC和三角形△都是正三角形，則由線段AD、BE、CF的重心構(gòu)成的三角形也是正三角形。

22、愛爾可斯定理2：若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形，則由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心構(gòu)成的三角形是正三角形。

23、梅涅勞斯定理：設(shè)△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線和一條不經(jīng)過它們?nèi)我豁旤c(diǎn)的直線的交點(diǎn)分別為P、Q、R則有 BPPC×CQQA×ARRB=

124、梅涅勞斯定理的逆定理：(略)

27、塞瓦定理：設(shè)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的不在三角形的邊或它們的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)S連接面成的三條直線，分別與邊BC、CA、AB或它們的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P、Q、R，則BPPC×CQQA×ARRB()=1.32、西摩松定理：從△ABC的外接圓上任意一點(diǎn)P向三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線作垂線，設(shè)其垂足分別是D、E、R，則D、E、R共線，(這條直線叫西摩松線)

34、史坦納定理：設(shè)△ABC的垂心為H，其外接圓的任意點(diǎn)P，這時(shí)關(guān)于△ABC的點(diǎn)P的西摩松線通過線段PH的中心。

36、波朗杰、騰下定理：設(shè)△ABC的外接圓上的三點(diǎn)為P、Q、R，則P、Q、R關(guān)于△ABC交于一點(diǎn)的充要條件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2∏).不用掌握

37、波朗杰、騰下定理推論1：設(shè)P、Q、R為△ABC的外接圓上的三點(diǎn)，若P、Q、R關(guān)于△ABC的西摩松線交于一點(diǎn)，則A、B、C三點(diǎn)關(guān)于△PQR的的西摩松線交于與前相同的一點(diǎn)

38、波朗杰、騰下定理推論2：在推論1中，三條西摩松線的交點(diǎn)是A、B、C、P、Q、R六點(diǎn)任取三點(diǎn)所作的三角形的垂心和其余三點(diǎn)所作的三角形的垂心的連線段的中點(diǎn)。

39、波朗杰、騰下定理推論3：考查△ABC的外接圓上的一點(diǎn)P的關(guān)于△ABC的西摩松線，如設(shè)QR為垂直于這條西摩松線該外接圓珠筆的弦，則三點(diǎn)P、Q、R的關(guān)于△ABC的西摩松線交于一點(diǎn)

40、波朗杰、騰下定理推論4：從△ABC的頂點(diǎn)向邊BC、CA、AB引垂線，設(shè)垂足分別是

D、E、F，且設(shè)邊BC、CA、AB的中點(diǎn)分別是L、M、N，則D、E、F、L、M、N六點(diǎn)在同一個(gè)圓上，這時(shí)L、M、N點(diǎn)關(guān)于關(guān)于△ABC的西摩松線交于一點(diǎn)。

41、關(guān)于西摩松線的定理1：△ABC的外接圓的兩個(gè)端點(diǎn)P、Q關(guān)于該三角形的西摩松線互相垂直，其交點(diǎn)在九點(diǎn)圓上。

42、關(guān)于西摩松線的定理2(安寧定理)：在一個(gè)圓周上有4點(diǎn)，以其中任三點(diǎn)作三角形，再作其余一點(diǎn)的關(guān)于該三角形的西摩松線，這些西摩松線交于一點(diǎn)。

43、卡諾定理：通過△ABC的外接圓的一點(diǎn)P，引與△ABC的三邊BC、CA、AB分別成同向的等角的直線PD、PE、PF，與三邊的交點(diǎn)分別是D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線。

44、奧倍爾定理：通過△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)引互相平行的三條直線，設(shè)它們與△ABC的外接圓的交點(diǎn)分別是L、M、N，在△ABC的外接圓取一點(diǎn)P，則PL、PM、PN與△ABC的三 邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線的交點(diǎn)分別是D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線

45、清宮定理：設(shè)P、Q為△ABC的外接圓的異于A、B、C的兩點(diǎn)，P點(diǎn)的關(guān)于三邊BC、CA、AB的對(duì)稱點(diǎn)分別是U、V、W，這時(shí)，QU、QV、QW和邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線的交點(diǎn)分別是D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線

46、他拿定理：設(shè)P、Q為關(guān)于△ABC的外接圓的一對(duì)反點(diǎn)，點(diǎn)P的關(guān)于三邊BC、CA、AB的對(duì)稱點(diǎn)分別是U、V、W，這時(shí)，如果QU、QV、QW與邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線的交點(diǎn)分別為ED、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線。(反點(diǎn)：P、Q分別為圓O的半徑OC和其延長(zhǎng)線的兩點(diǎn)，如果OC2=OQ×OP 則稱P、Q兩點(diǎn)關(guān)于圓O互為反點(diǎn))

47、朗古來定理：在同一圓同上有A1B1C1D14點(diǎn)，以其中任三點(diǎn)作三角形，在圓周取一點(diǎn)P，作P點(diǎn)的關(guān)于這4個(gè)三角形的西摩松線，再?gòu)腜向這4條西摩松線引垂線，則四個(gè)垂足在同一條直線上。

48、九點(diǎn)圓定理：三角形三邊的中點(diǎn),三高的垂足和三個(gè)歐拉點(diǎn)[連結(jié)三角形各頂點(diǎn)與垂心所得三線段的中點(diǎn)]九點(diǎn)共圓[通常稱這個(gè)圓為九點(diǎn)圓[nine-point circle],或歐拉圓,費(fèi)爾巴哈圓.49、一個(gè)圓周上有n個(gè)點(diǎn)，從其中任意n-1個(gè)點(diǎn)的重心，向該圓周的在其余一點(diǎn)處的切線所引的垂線都交于一點(diǎn)。

50、康托爾定理1：一個(gè)圓周上有n個(gè)點(diǎn)，從其中任意n-2個(gè)點(diǎn)的重心向余下兩點(diǎn)的連線所引的垂線共點(diǎn)。

51、康托爾定理2：一個(gè)圓周上有A、B、C、D四點(diǎn)及M、N兩點(diǎn)，則M和N點(diǎn)關(guān)于四個(gè)三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一個(gè)的兩條西摩松的交點(diǎn)在同一直線上。這條直線叫做M、N兩點(diǎn)關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線。

52、康托爾定理3：一個(gè)圓周上有A、B、C、D四點(diǎn)及M、N、L三點(diǎn)，則M、N兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線、L、N兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線、M、L兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線交于一點(diǎn)。這個(gè)點(diǎn)叫做M、N、L三點(diǎn)關(guān)于四邊形ABCD的康托爾點(diǎn)。

53、康托爾定理4：一個(gè)圓周上有A、B、C、D、E五點(diǎn)及M、N、L三點(diǎn)，則M、N、L三點(diǎn)關(guān)于四邊形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一個(gè)康托爾點(diǎn)在一條直線上。這條直線叫做M、N、L三點(diǎn)關(guān)于五邊形A、B、C、D、E的康托爾線。

54、費(fèi)爾巴赫定理：三角形的九點(diǎn)圓與內(nèi)切圓和旁切圓相切。

55、莫利定理：將三角形的三個(gè)內(nèi)角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相得到一個(gè)交點(diǎn)，則這樣的三個(gè)交點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)正三角形。這個(gè)三角形常被稱作莫利正三角形。

56、牛頓定理1：四邊形兩條對(duì)邊的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)和兩條對(duì)角線的中點(diǎn)，三條共線。這條直線叫做這個(gè)四邊形的牛頓線。

57、牛頓定理2：圓外切四邊形的兩條對(duì)角線的中點(diǎn)，及該圓的圓心，三點(diǎn)共線。

58、笛沙格定理1：平面上有兩個(gè)三角形△ABC、△DEF，設(shè)它們的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)(A和D、B和E、C和F)的連線交于一點(diǎn)，這時(shí)如果對(duì)應(yīng)邊或其延長(zhǎng)線相交，則這三個(gè)交點(diǎn)共線。

59、笛沙格定理2：相異平面上有兩個(gè)三角形△ABC、△DEF，設(shè)它們的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)(A和D、B和E、C和F)的連線交于一點(diǎn)，這時(shí)如果對(duì)應(yīng)邊或其延長(zhǎng)線相交，則這三個(gè)交點(diǎn)共線。60、布利安松定理：連結(jié)外切于圓的六邊形ABCDEF相對(duì)的頂點(diǎn)A和D、B和E、C和F，則這三線共點(diǎn)。