第一篇：高二_不等式的證明講義

高二數(shù)學不等式同步輔導講義

第1講 不等式的證明

一、輔導內(nèi)容

不等式證明的方法與技巧

二、學習指導

不等式的證明主要研究對絕對不等式的變形、化簡。其原理是利用不等式的傳遞性從不等式的左端或右端適當?shù)胤糯螅ɑ蚩s?。橛叶嘶蜃蠖?。不等式的性質是不等式證明的基礎。

不等式證明的常規(guī)方法有：比較法、綜合法、分析法。比較法的研究對象通常是代數(shù)不等式，如整式不等式，分式不等式；綜合法主要是用基本不等式及不等式的性質研究非負實數(shù)集內(nèi)的絕對值不等式；當因題目條件簡單或結論形式復雜而無法對不等式下手時，可考慮用分析法，但應注重格式，注意規(guī)范化用語。

根據(jù)題目條件或結論的特殊形式，證明不等式還有一些技巧方法；換元法、反證法、放縮法、判別式法等。

三、典型例題

【例1】 設a，b∈R，求證：a+b≥ab+a+b-1。

解題思路分析：

思路一：這是一個整式不等式，可考慮用比較法，在配方過程應體現(xiàn)將a或b看成主元的思想，在這樣的思想下變形，接下來的配方或因式分解相對容易操作。

作差δ=a+b-ab-a-b+1=a-(b+1)a+b-b+1=(a? =(a?b?123)?(b?1)2≥0 2

422222

222

b?123233)?b?b? 2424思路二：注意到不等式兩邊式子a+b與ab的結構特點，聯(lián)想到基本不等式；為了得到左邊的a與b項，應用增減項法變形。增加若干項或減少若干項的技巧在本節(jié)應用得較為普遍。

因a+b≥2ab，a+1≥2a，b+1≥2b 三式同向相加得：a+b≥ab+a+b-1 思路三：在思路一中，作差δ后得到關于a的二次三項式，除了用配方法，還可以聯(lián)系二次函數(shù)的知識求解。記f(a)=a-(b+1)a+b-b+1 因二次項系數(shù)為正，△=(b+1)-4(b-b+1)=-3(b-1)≤0 ∴ f(a)≥0 【例2】 已知0

根據(jù)已知條件：a+b+c+abc>0，首先將題目結論改造為1+ab+bc+ca≥a+b+c+abc，即1+ab+bc+ca-a-b-c-abc≥0。這樣的化簡或變形（變形的目的也是化簡）在絕大多數(shù)解題中都是需要的），而且是必要的。在變形過程中通常注意前后問題的等價性。

其次在對欲證不等式左邊的化簡時，應從已知條件中尋找思路：由a≤1，b≤1，c≤1得：1-a≥0，1-b≥0，1-c≥0，因此在對1+ab+bc+ca-a-b-c-abc因式分解時，應向1-a，1-b，1-c這三個因式靠攏，這樣才便于判斷整個因式的符號。由輪換式的特點，找準1-a，1-b，1-c中的一個因式即可。

1+ab+bc+ca-a-b-c-abc =(1-a)+b(a-1)+c(a-1)+bc(1-a)=(1-a)(1-b-c+bc)=(1-a)(1-b)(1-c)≥0 【例3】 設A=a+d，B=b+c，a，b，c，d∈R+，ad=bc，a=max{a，b，c，d}，試比較A與B的大小。

解題思路分析：

因A、B的表達形式比較簡單，故作差后如何對因式進行變形是本題難點之一。利用等式ad=bc，借助于消元思想，至少可以消去a，b，c，d中的一個字母。關鍵是消去哪個字母，因條件中已知a的不等關系：a>b，a>c，a>d，故保留a，消b，c，d中任一個均可。

由ad=bc得：d?bcbcbc?ac A-B=a+d-(b+c)=a? ?b?c?a?b?aaa1?ab?bc?ca≥1。

a?b?c?abc

22222222222

=a?b?c(a?b)(a?b)(a?c)??0 aabc d(b?d)(c?d)bcbc?cd A-B=a?d?b?c? ?d?b?c??(b?d)=ddd下面是判斷b-d與c-d的符號，即比較a、c與d的大小：應從條件a=max{a，b，c，d}及ad=bc出發(fā)才挖掘隱藏條件。又：若不慎消去了a，該怎么辦呢？ 由ad=bc得：a?ac? bdac∵ a>b>0 ∴ >1 即 >1 ∴ c>d，c-d>0 bd由ad=bc得：同理b-d>0 ∴ A-B>0 【例4】 a，b，c∈R，求證：a+b+c≥(a+b+c)。

解題思路分析：

不等號兩邊均是和的形式，利用一次基本不等式顯然不行。不等號右邊為三項和，根據(jù)不等號方向，應自左向右運用基本不等式后再同向相加。因不等式左邊只有三項，故把三項變化六項后再利用二元基本不等式，這就是“化奇為偶”的技巧。

11左=(2a4?2b4?2c4)?[(a4?b4)?(b4?c4)?(c4?a4)]

21≥(2a2b2?2b2c2?2c2a2)?a2b2?b2c2?c2a2

2發(fā)現(xiàn)縮小后沒有達到題目要求，此時應再利用不等式傳遞性繼續(xù)縮小，處理的方法與剛才類似。a2b2?b2c2?c2a2?1(2a2b2?2b2c2?2c2a2)24

441?[(a2b2?b2c2)?(b2c2?c2a2)?(c2a2?a2b2)]21≥(2ab2c?2abc2?2a2bc)?ab(a?b?c)2

【例5】（1）a，b，c為正實數(shù)，求證：

111111??； ??≥

abcabbcaca2b2c2a?b?c??（2）a，b，c為正實數(shù)，求證：≥。b?ca?ca?b2解題思路分析：

（1）不等式的結構與例4完全相同，處理方法也完全一樣。

（2）同學們可試一試，再用剛才的方法處理該題是行不通的。注意到從左向右，分式變成了整式，可考慮在左邊每一個分式后配上該分式的分母，利用二元基本不等式后約去分母，再利用不等式可加性即可達到目的。試一試行嗎？ a2

【例6】 x，y為正實數(shù)，x+y=a，求證：x+y≥。

2解題思路分析：

思路一；根據(jù)x+y和x+y的結構特點，聯(lián)想到算術平均數(shù)與平方平均數(shù)之間的不等關系。x2?y2x?y∵ ≤

22(x?y)2a2?∴ x?y≥ 222222思路二：因所求不等式右邊為常數(shù)，故可從求函數(shù)最小值的角度去思考。思路一所用的是基本不等式法，這里采用消元思想轉化為一元函數(shù)，再用單調性求解。換元有下列三種途徑：

途徑1：用均值換元法消元： 令 x?aa?m，y??m 22

a2aaa2222則 x?y?(?m)?(?m)?2m?≥

2222途徑2：代入消元法： 22y=a-x，0

222222222途徑3：三角換元法消元：

?22令 x=acosθ，y=asinθ，θ∈(0，]

222244222222則 x+y=a(cosθ+sinθ)=a[(sinθ+cosθ)-2sinθcosθ]

a211222 =a[1-2(sin2θ)]=a(1-sin2θ)≥

222 注：為了達到消元的目的，途徑1和途徑3引入了適當?shù)膮?shù)，也就是找到一個中間變量表示x，y。這種引參的思想2是高中數(shù)學常用的重要方法。

(a?b)2a?b(a?b)2??ab?

【例7】 已知a>b>0，求證：。8a28b解題思路分析：

所證不等式的形式較復雜（如從次數(shù)看，有二次，一次，1次等），難以從某個角度著手。故考慮用分析法證明，即2執(zhí)果索因，尋找使不等式成立的必要條件。實際上就是對所證不等式進行適當?shù)幕?、變形，實際上這種變形在相當多的題目里都是充要的。

a?ba?b?2ab(a?b)2?ab?? 222a?b?(a?b)(a?b)(a?b)2(a?b)2(a?b)2(a?b)2(a?b)2??所證不等式可化為

8a28b∵ a>b>0 ∴ a?b ∴ a?b?0

(a?b)2(a?b)2?1?∴ 不等式可化為：

4a4b2???(a?b)?4a?a?b?2a即要證? 只需證?

2???4b?(a?b)?2b?a?b在a>b>0條件下，不等式組顯然成立 ∴ 原不等式成立

【例8】 已知f(x)=解題思路分析：

不等號兩邊字母不統(tǒng)一，采用常規(guī)方法難以著手。根據(jù)表達式的特點，借助于函數(shù)思想，可分別求f(a)及g(b)=b-4b+的最值，看能否通過最值之間的大小關系進行比較。

22x?34x?8，求證：對任意實數(shù)a，b，恒有f(a)

211.2112f(a)?2a?34?82a?8?2a(2)?8a2?82a?82a≤

82?2a?82a?842?2

令 g(b)=b-4b+∵ 11323 g(b)=(b-2)+≥

2223?2 ∴ g(b)>f(a)2注：本題實際上利用了不等式的傳遞性，只不過中間量為常數(shù)而已，這種思路在兩數(shù)大小比較時曾講過。由此也說明，實數(shù)大小理論是不等式大小理論的基礎。

【例9】 已知a，b，c∈R，f(x)=ax+bx+c，當|x|≤1時，有|f(x)|≤1，求證：

（1）|c|≤1，|b|≤1；

（2）當|x|≤1時，|ax+b|≤2。

解題思路分析：

這是一個與絕對值有關的不等式證明題，除運用前面已介紹的不等式性質和基本不等式以外，還涉及到與絕對值有關的基本不等式，如|a|≥a，|a|≥-a，||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，|a1±a2±?±an|≤|a1|+|a2|+?+|an|。就本題來說，還有一個如何充分利用條件“當|x|≤1時，|f(x)|≤1”的解題意識。

從特殊化的思想出發(fā)得到： 令 x=0，|f(0)|≤1 即 |c|≤1 當x=1時，|f(1)|≤1；當x=-1時，|f(-1)|≤1 下面問題的解決試圖利用這三個不等式，即把f(0)，f(1)，f(-1)化作已知量，去表示待求量?！?f(1)=a+b+c，f(-1)=a-b+c 1∴ b?[f(1)?f(?1)] 2111∴ |b|?|f(1)?f(?1)|≤[|f(1)|?|f(?1)|]≤(1?1)≤1 222（2）思路一：利用函數(shù)思想，借助于單調性求g(x)=ax+b的值域。

2當a>0時，g(x)在[-1，1]上單調遞增 ∴ g(-1)≤g(x)≤g(1)∵ g(1)=a+1=f(1)-f(0)≤|f(1)-f(0)|≤|f(1)|+|f(0)|≤2 g(-1)=-a+b=f(0)-f(-1)=-[f(-1)-f(0)]

≥-|f(-1)-f(0)|≥-[|f(-1)|+|f(0)|]≥-2 ∴-2≤g(x)≤2 即 |g(x)|≤2 當a<0時，同理可證。思路二：直接利用絕對值不等式

為了能將|ax+b|中的絕對值符號分配到a，b，可考慮a，b的符號進行討論。當a>0時

|ax+b|≤|ax|+|b|=|a||x|+|b|≤|a|+|b|≤a+|b| 下面對b討論

① b≥0時，a+|b|=a+b=|a+b|=|f(1)-f(0)| ≤ |f(1)|+|f(0)|≤2； ② b<0時，a+|b|=a-b=|a-b|=|f(-1)-f(0)|≤|f(-1)|+f(0)|≤2?！?|ax+b|≤2 當a<0時，同理可證。

評注：本題證明過程中，還應根據(jù)不等號的方向，合理選擇不等式，例如：既有|a-b|≥|a|-|b|，又有|a-b|≥|b|-|a|，若不適當選擇，則不能滿足題目要求。

同步練習

（一）選擇題

1、設a，b為正數(shù)，且a+b≤4，則下列各式一定成立的是（）1111111?≤ B、≤?≤ ab44ab211111C、≤?≤1 D、?≥1 2ababA、2、已知a，b，c均大于1，且logac·logbc=4，則下列各式中一定正確的是（）A、ac≥b B、ab≥c C、bc≥a D、ab≤c

3、設m不等于n, x=m-mn y=nm-n，則x , y的大小關系為（）

A、x>y B、x=y C、y>x D、與m ,n的取植有關

43344、已知a，b是不相等的正數(shù)，在a、b之間插入兩組數(shù)：x1，x2，?，xn和y1，y2，?，yn，b成等比數(shù)列，并給出下列不等式：

① ② 1a?b2(x1?x2???xn)?ab?()n21nn(x1?x2???xn)?a?b2

③ y1y2?yn?ab ④ y1y2?yn?na?ba?b2?()22那么，其中為真命題的是（）

A、①③ B、①④ C、②③ D、②④

5、已知a，b，c>0，且a+b>c，設M=

abc，N=，則MN的大小關系是 ?4?ab?c4?cA、M>N B、M=N C、M

6、已知函數(shù)f(x)=-x-x，x1，x2，x3∈R，且x1+x2>0，x2+x3>0，x3+x1>0，則f(x1)+f(x2)+f(x3)的值（）

A、一定大于零 B、一定小于零 C、一定等于零 D、正負都有可能

111117、若a>0，b>0，x?(?)，y?，z?，則（）

2aba?babA、x≥y>z B、x≥z>y C、y≥x>z D、y>z≥x

8、設a，b∈R，下面的不等式成立的是（）A、a+3ab>b B、ab-a>b+ab C、（二）填空題

9、設a>0，b>0，a≠b，則ab與ab的大小關系是__________。

10、若a，b，c是不全相等的正數(shù)，則(a+b)(b+c)(c+a)______8abc（用不等號填空）。

11、設n個正數(shù)x1，x2，?，xn的算術平均數(shù)是x，若a是不等于x的任意實數(shù)，并記ab

ba22

3aa?12D、a+b≥2(a-b-1)?bb?1p?(x1?x1)2?(x2?x)2???(xn?x)2，q?(x1?a)2?(x2?a)2???(xn?a)2，則p與q大小關系是__________。

1t?112、當00且t≠1時，logat與loga的大小關系是__________。

22nnn13、若a，b，c為Rt△ABC的三邊，其中c為斜邊，則a+b與c（其中n∈N，n>2）的大小關系是________________。

（三）解答題

14、已知a>0，b>0，a≠b，求證：a?b?ab?ba。

15、已知a，b，c是三角形三邊的長，求 證：1?abc???2。b?ca?ca?b1116、已知a≥0，b≥0，求證：(a?b)2?(a?b)≥aa?ba。

243317、已知a，b為正數(shù)，a+b=2，求證：a+b≤2。

111a8?b8?c818、若a，b，c為正數(shù)，求證：??≤。

abca3b3c3112519、設a>0，b>0，且a+b=1，求證：(a?)(b?)≥。

ab420、已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求證：a，b，c全為正數(shù)。

第2講 含有絕對值的不等式

一、輔導內(nèi)容

含有絕對值的不等式證明

二、學習指導

1、絕對值的性質

（1）基本性質：①x∈R時，|x|≥x，|x|≥-x；②|x|a，或x<-a?x>a。

（2）運算性質：|ab|=|a||b|，|a|a||?，||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，|a1±a2±?+an|≤|a1|+|a2|+?+|an|。b|b|

222（3）幾何意義：|x-a|表示數(shù)軸上數(shù)x，a對應的兩點之間的距離。

2、與絕對值有關的不等式的證明

其方法仍是證明一般不等式的方法，如比較法、綜合法、分析法等，但它除了涉及一般不等式的性質外，還經(jīng)常用到剛才所介紹的絕對值的性質，特別是||a|-|b||≤|a|±|b|這一條性質。

在利用絕對值的性質時，應根據(jù)不等號的方向進行合理的選擇。

3、含絕對值不等式的證明與解法有較大的差異，在解不等式中，主要是考慮如何去掉絕對值符號；而在證明中，一般不提倡去掉絕對值符號，當然，少數(shù)題目例外。

三、典型例題

【例1】 設|a|<ε,|a-b|<2ε，求證：|b|<3ε。

解題思路分析：

根據(jù)解題的“結論向條件靠攏”的原則，本題主要思考如何用a，a-b表示b，從而利用|a|及|a-b|的條件得到|b|的范圍。

∵ b=a-(a-b)∴ |b|=|a-(a-b)|≤|a|+|a-b|<ε+2ε=3ε

注：本題還涉及到了化簡變形中的整體思想，即將a-b看作一個整體。

實際上根據(jù)|a-b|的結構特點，也可用絕對值的基本不等式對其縮?。簗|a|-|b||≤|a-b|，關鍵是不等式的左端是選擇|a|-|b|，還是|b|-|a|，盡管兩個不等式都成立，但由本題的消元要求，應消去a，保留b，故選|b|-|a|≤|a-b|。

∴ |b|-|a|<2ε 又 |a|<ε

∴ 兩不等式同向相加得|b|<3ε

【例2】 已知f(x)=x-x+c，|x-a|<1，a，c∈R，求證：|f(x)-f(a)|<2(|a|+1)。

求證：|f(x)-f(a)|<2(|a|+1)解題思路分析：

因f的對應法則已知，故首先對不等式左邊化簡：|f(x)-f(a)|=|x-x+c-(a-a+c)|=|x-a-x+a|。接下來的變形向條件|x-a|<1靠攏，即湊出因式x-a：

|f(x)-f(a)|=|x-a-x+a|=1(x-a)(x+a)-(x-a)|=|x-a||x+a-1|<|x+a-1| 下一步化簡有兩種途徑：從結論向條件湊，或從條件向結論湊。

途徑一：|x+a-1|=|x-a+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|≤|x-a|+|2a|+1<1+2|a|+1=2(|a|+1)途徑二：|x+a-1|≤|x|+|a-1|≤|x|+|a|+1 又 |x-a|≥|x|-|a| ∴ |x|-|a|<1 ∴ |x|<|a|+1 ∴ |x+a-1|≤|x|+|a|+1<|a|+1+|a|+1=2(|a|+1)注：途徑二在利用基本不等式|x-a|≥||x|-|a||時，涉及到是選擇|x-a|≥|x|-|a|，還是|x-a|≥|a|-|x|，應根據(jù)與|x|有關的不等號方向選擇。本題是要將|a|放大，故選擇|x-a|≥|x|-|a|。

|a?b||a||b|? 【例3】 求證≤。

1?|a?b|1?|a|1?|b|解題思路分析：

思路一：三個分式的結構特點完全一致，可構造函數(shù)f(x)=2

222

x，利用f(x)的單調性放縮。1?xx(x≥0)1?x易證f(x)在[0，+∞）上遞增 令f(x)=∵ 0≤|a+b|≤|a|+|b| ∴ f(|a+b|)≤f(|a|+|b|)

∴ |a?b||a|?|b||a||b|??≤

1?|a?b|1?|a|?|b|1?|a|?|b|1?|a|?|b||a||a||b||b|??，1?|a|?|b|1?|a|1?|a|?|b|1?|b||a||b||a||b|???

1?|a|?|b|1?|a|?|b|1?|a|1?|b|根據(jù)結論要求，采用縮小分母增大分式的放縮技巧 ∵ ∴

∴ 由不等式傳遞性，原不等式成立

思路二：用|a+b|≤|a|+|b|進行放縮。但不等式左邊分式的分子、分母均含有|a+b|，必須轉化為只有一項含|a+b|的分式。

∵ |a+b|≤|a|+|b| 11∴ ≥

|a?b||a|?|b|

1?11|a?b|?1?11|a?b|≤1?11|a|?|b|?|a|?|b|

1?|a|?|b|下同思路一。

【例4】 已知a，b，x∈R，ab≥0，x≠0，求證|ax?解題思路分析：

本題考慮去絕對值符號后進行證明。

b|≥2ab。xb思路一：不等號兩邊均為非負，原不等式?(ax?)2≥(2ab)2

xb2即 ax?2?2ab≥4ab

x22b2∵ ax?2≥2a2b2?2ab

x22b2∴ ax?2≥4ab

x?2ab22b|≥0，|ax|≥0，顯然成立 ab當a≠0且b≠0時，由a、b>0知，(ax)?()>0

x思路二：當a=0，或b=0時，原不等式為|∴ |ax?bbb|?|ax|?||≥2|ax|?||?2|ab|?2ab

xxx2 【例5】 已知f(x)=x+ax+b，（1）求f(1)-2f(2)+f(3)；（2）證明|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個不小于解思路分析：

（1）f(1)-f(2)+f(3)=2；問題（2）的求解想辦法利用（1）的結論。

這是一個存在性的命題，因正面情形較多，難以確定有幾個，故采用反證法。

假設|f(x)|<

1。2111,|f(2)|<，|f(3)|< 222111?2???2 222 則 |f(1)-2f(2)+f(3)|≤|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|< 但 |f(1)-2f(2)+f(3)|=2 由此得到矛盾。

【例6】 已知a，b∈R，|a|>1，|b|>1，且a≠b，求證：| 解題思路分析：

本題用分析法較為方便。

1?ab|>1。a?b1?ab1?ab2|?1?()?1?(1?ab)2?(a?b)2?1?a2b2?a2?b2?0 a?b a?b?(1?a2)(1?b2)?0|∵ |a|>1，|b|>1 ∴ a>1，b>1 ∴ 1-a<0，1-b<0 ∴(1-a)(1-b)>0 ∴ 原不等式成立

【例7】 設x，y∈R，x+y≤1，求證：|x+2xy-y|≤2。

解題思路分析： 也許有同學會這樣解：

|x+2xy-y|≤|x|+|2xy|+|-y|=x+y+2|xy|≤x+y+x+y=2(x+y)≤2 但放縮過度，不能滿足本題要求。

根據(jù)條件“平方和”的特征，考慮用三角換元法： 令 x=rcosθ，y=rsinθ，|r|≤1 則 |x+2xy-y|=2r|sin(2θ+222222

222

222

2222222?2)|≤2r≤2 4同步練習

（一）選擇題

1、已知函數(shù)f(x)=-2x+1對任意正數(shù)ε，使得|f(x1)-f(x2)|< ε成立的一個充分但不必要條件是

?? C、|x1-x2|< D、|x1-x2|>ε 242、a，b是實數(shù)，則使|a|+|b|>1成立的充分不必要條件是 A、|x1-x2|<ε B、|x1-x2|

3、設a，b|a-b|

C、|a-b|<||a|-|b||

D、|a-b|<|a|+|b|

4、若a，b∈R，且|a+b|=|a|+|b|，則

?a?0?a?0A、? B、ab?0 C、? D、ab?0

b?0b?0??11且|b|≥ C、a≥1 D、b<-1 225、已知h>0，命題甲；兩個實數(shù)a,b滿足|a-b|<2h；命題乙：兩個實數(shù)a，b滿足|a-1|

C、甲是乙的充要條件 D、甲既不是乙的充分條件又不是乙的必要條件

|a?b|

6、不等式≤1成立的充要條件是

|a|?|b|A、ab≠0 B、a+b≠0 C、ab>0 D、ab<0

7、設a，b∈R，則|a|<1且|b|<1是ab+1>a+b的 A、充分非必要條件 B、必要非充分條件 C、充要條件 D、既非充分又非必要條件

8、已知函數(shù)f(x)=-2x+1，對于任意正數(shù)ε，使得|f(x1)-f(x2)|<ε成立的一個充分非必要條件是 A、|x1-x2|<ε B、|x1-x2|<

（二）填空題

9、若|x+y|=4，則xy最大值是________。

|a||b|?

10、若a≠b，a≠0，b≠0，則______|a|?|b|（填>、≥、<、≤）。|b||a|

11、a，b∈R，則|a+b|-|a-b|與2|b|的大小關系是______________。

12、關于x的不等式|x+2|+|x-1|

22???

C、|x1-x2|< D、|x1-x2|> 23

3（三）解答題

?2?

13、已知|a+b|<，|a-b|

233cbcb?|x1|?，?|x2|?。baba15、已知f(x)在[0。1]上有意義，且f(0)=f(1)，對于任意不同的x1，x2∈[0，1]，都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|成立，14、已知二次方程ax+bx+c=0（a>0，b>0，c>0）的兩個實根x1，x2，求證：2求證：|f(x1)-f(x2)<1。2a2?b2|a|?|b|

16、求證：≥（a，b∈R）。

2217、已知a，b∈R，|a|<1，|b|>1，求證：|1+ab|<|a+b|。

18、已知|a|<1，|b|<1，|c|<1，求證：

（1）|ab?c|?1；

|1?abc|（2）a+b+c

19、求證

220、已知a，b∈R，且|a|+|b|<1，求證方程x+ax+b=0的兩個根的絕對值都小于1。

21、在一條筆直的街道上住著7位小朋友，他們各家的門牌分別為3號，6號，15號，19號，20號，30號，39號，這7位小朋友準備湊在一起玩游戲，問地點選在哪位小朋友家，才能使大家所走的路程和最短？（假定數(shù)字相連的兩個門牌號碼的房子間的距離相等）。

第二篇：不等式證明方法講義

不等式的證明方法

一、比較法

1.求證：x2 + 3 > 3x

2.已知a, b, m都是正數(shù)，并且a < b，求證：a?ma? b?mb

a?b

23.已知a, b都是正數(shù)，并且a ? b，求證：a5 + b5 > a2b3 + a3b2作商法1.設a, b ? R，求證：ab?(ab)+ab?abba

二、綜合法

1．綜合法：利用某些已經(jīng)證明過的不等式（例如算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理）和不等式的性質推導出所要證明2．用綜合法證明不等式的邏輯關系是：A?B1?B2???Bn?B

3．綜合法的思維特點是：由因導果，即由已知條件出發(fā)，利用已知的數(shù)學定理、性質和公式，推出結論的一種證例題：已知a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證：a(b?c)?b(c?a)?c(a?b)?6abc

例題：已知a，b，c都是正數(shù)，且a，b，c成等比數(shù)列，求證：a?b?c?(a?b?c)

例題：a , b, c?R,求證：1?(a?b?c)(***19??)?92?(a?b?c)(??)? abca?bb?cc?a

2三、分析法

例題： 求證3?7?

2例題：已知a,b,c,d∈R,求證:ac+bd≤(a?b)(c?d)

例題：用分析法證明下列不等式:

(1)求證:5?7?1?(2)求證:x?1?

(3)求證:a,b,c∈R,求證:2(+2222x?2?x?3?x?4(x≥4)a?ba?b?c?ab)?3(?abc)2

3四、換元法 三角換元：

若0≤x≤1，則可令x = sin?(0???

22???)或x = sin2?(????222若x?y?1，則可令x = cos? , y = sin?(0???2? 代數(shù)換元：“整體換元”,“均值換元”,例題： 求證：?11?x?x2? 2

2例題： 已知x > 0 , y > 0，2x + y = 1，求證：11??3?22 xy

2例題：若x?y?1，求證：|x?2xy?y|?2222

五、放縮法與反證法

abcd????2 a?b?db?c?ac?d?bd?a?c

1111例題：求證：2?2?2???2?2 123n例題：若a, b, c, d?R+，求證：1?

例題：（用反證法）設0 < a, b, c < 1，求證：(1 ? a)b,(1 ? b)c,(1 ? c)a,不可能同時大于

例題：已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求證：a, b, c > 0

4六、構造法

22222222例題：已知0 < a < 1，0 < b < 1，求證：a?b?(a?1)?b?a?(b?1)?(a?1)?(b?1)?2

2習題精選精解

例題：正數(shù)x,y滿足x?2y?1，求1/x?1/y的最小值。

例題：設實數(shù)x,y滿足x?(y?1)?1，當x?y?c?0時，求c的取值范圍。

例題：已知函數(shù)f(x)?ax?bx(a?0)滿足1?f(?1)?2，2?f(1)?5，求f(?3)的取值范圍。

例題：已知a?b?c，求證：ab?bc?ca?ab?bc?ca

例題：

?222222222

例題：設f?x??x?x?13，實數(shù)a滿足x?a?1，求證：f?x??f?a??2a?1 2??

注：??式的最后一步省略了對a

?0,a?0,a?0的詳細分析，正式解題時不能省。分析過程用 a,b同號?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b|;a,b異號?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b| 例題：a、b、c?(0,??)，a?b?c?1，求證：

例題：x?y?1，求證：?2?x?y?

例題：已知1≤x＋y≤2，求證：

2222a2?b2?c2?13 2 122≤x－xy＋y≤3． 22

第三篇：高二數(shù)學不等式的證明

高二數(shù)學不等式的證明(二)

[本周學習內(nèi)容]不等式證明中的綜合證明方法：

1.換元法：通過適當?shù)膿Q元，使問題簡單化，常用的有三角換元和代數(shù)換元。

2.放縮法：理論依據(jù)：a>b,b>ca.c，找到不等號的兩邊的中間量，從而使不等式成立。

3.反證法：理論依據(jù)：命題“p”與命題“非p”一真、一假，證明格式

[反證]：假設結論“p”錯誤，“非p”正確，開始倒推，推導出矛盾(與定義，定理、已知等等矛盾)，從而得 到假設不正確，原命題正確。

4.數(shù)學歸納法：這是一種利用遞推關系證明與非零自然數(shù)有關的命題，可以是等式、不等式、命題。

證明格式：

(1)當n=n0時，命題成立；

(2)假設當n=k時命題成立；

則當n=k+1時，證明出命題也成立。

由(1)(2)知：原命題都成立。

[本周教學例題]

一、換元法：

1.三角換元：

例1.求證：

證一：(綜合法)

即：

證二：(換元法)∵-1≤x≤1 ∴令x=cos,[0,π]

則

∵-1≤sin2≤1

例2.已知x>0，y>0，2x+y=1，求證：

分析：由于條件給出了x>0，y>0，2x+y=1，故如何使用2x+y=1這一特點是解決問題的重要環(huán)節(jié)。由本題中x>0，y>0,2x+y=1的條件也可用三角代換。

證一：

證二：由x>0,y>0，2x+y=1，可設

則

例3.若x2+y2≤1，求證：

證：設

則

例4.若x>1，y>1，求證：

證：設

則

例5.已知：a>1,b>0，a-b=1，求證：

證：∵a>1,b>0,a-b=1，∴不妨設

則

小結：若0≤x≤1，則可令

若x2+y2=1，則可令x=cos，y=sin(0≤θ<2π)

若x2-y2=1，則可令x=sec,y=tan(0≤θ<2π)

若x≥1，則可令

2.代數(shù)換元：，若xR，則可令

例6：證明：若a>0，則

證：設

則

即

∴原式成立

小結：還有諸如“均值換元”“設差換元”的方法。

二、放縮法：

例7.若a,b,c,dR+，求證：

證：記

∵a,b,c,dR+

∴1

例8.當n>2時，求證：logn(n-1)logn(n+1)<1

證：∵n>2 ∴l(xiāng)ogn(n-1)>0，logn(n+1)>0

∴n>2時，logn(n-1)logn(n+1)<1

例9.求證：

證：

三.反證法

例10.設0

證：設

則三式相乘： ①

又∵0

同理：

以上三式相乘：

∴原式成立

與①矛盾

例11.已知a+b+c+>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求證：a,b,c>0

證：設a<0，∵abc>0，∴bc<0

又由a+b+c>0，則b+c=-a>0

∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0 與題設矛盾

又：若a=0，則與abc>0矛盾，∴必有a>0

同理可證：b>0，c>0

四.構造法：

1.構造函數(shù)法

例12.已知x>0，求證：

證：構造函數(shù)

由

顯然

∴上式>0

∴f(x)在 上單調遞增，∴左邊

例13.求證：

證：設

用定義法可證：f(t)在上單調遞增，令：3≤t1

例14.已知實數(shù)a,b,c，滿足a+b+c=0和abc=2，求證：a,b,c中至少有一個不小于2。

證：由題設：顯然a,b,c中必有一個正數(shù)，不妨設a>0

則有兩個實根。

例15.求證：

證：設

當y=1時，命題顯然成立，當y≠1時，△=(y+1)2-4(y-1)2=(3y-1)(y-3)≥0

綜上所述，原式成立。(此法也稱判別式法)

例16.已知x2=a2+b2，y2=c2+d2，且所有字母均為正，求證：xy≥ac+bd

證一：(分析法)∵a,b,c,d,x,y都是正數(shù)

∴要證：(xy)≥ac+bd

只需證

即：(a2+b2)(c2+d2)≥a2c2+b2d2+2abcd

展開得：a2c2+b2d2+a2d2+b2c2≥a2c2+b2d2+2abcd

即：a2d2+b2c2≥2abcd

由基本不等式，顯然成立

∴xy≥ac+bd

證二：(綜合法)

證三：(三角代換法)

∵x2=a2+b2，∴不妨設

y2=c2+d

2五.數(shù)學歸納法：

例17.求證：設nN，n≥2，求證：

分析：關于自然數(shù)的不等式?？捎脭?shù)學歸納法進行證明。

證：當n=2時，左邊，易得：左邊>右邊。

當n=k時，命題成立，即：成立。

當n=k+1時，左邊

又

；且4(k+1)2>(2k+3)(2k+1)；

于是可得：

即當n=k+1時，命題也成立；

綜上所述，該命題對所有的自然數(shù)n≥2均成立。

[本周參考練習]

證明下列不等式：

1.提示：令，則(y-1)x2+(y+1)x+(y-1)x=0用△法，分情況討論。

2.已知關于x的不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0(aR)，對任意實數(shù)x恒成立，求證：

提示：分

3.若x>0，y>0，x+y=1，則

提示：左邊

令t=xy，則

在 上單調遞減

4.已知|a|≤1，|b|≤1，求證：，提示：用三角換元。

5.設x>0，y>0，求證：a

放縮法

6.若a>b>c，則

10.左邊

11.求證：高二數(shù)學不等式的應用

三.關于不等式的應用：

不等式的應用主要圍繞著以下幾個方面進行：

1.會應用不等式的證明技巧解有關不等式的應用題：利用不等式求函數(shù)的定義域、值域；求函數(shù)的最值；討論方程的根的問題。

(求極值的一個基本特點：和一定，一般高，乘積撥了尖；積不變，兩頭齊，和值得最低。)在使用時，要注意以下三個方面：“正數(shù)”、“定值”、“等號”出現(xiàn)的條件和成立的要求，其中“構造定值”的數(shù)學思想方法的應用在極值使用中有著相當重要的作用。

2.會把實際問題抽象為數(shù)學問題進而建立數(shù)學模型，培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力和運用數(shù)學的意識。

3.通過不等式應用問題的學習，進一步激發(fā)學數(shù)學、用數(shù)學的興趣。

四、不等式的應用問題舉例：

例10.已知a、b為正數(shù)，且a+b=1，求

最大值。

分析：在一定的條件限制下出現(xiàn)的最值問題，在變式的過程中，如何減少變形產(chǎn)生的錯誤也是必不可少的一個環(huán)節(jié)。

解：由可得；

小結：如果本題采用

兩式相加而得：號是否取到，這是在求極值時必須堅持的一個原則。

；則出現(xiàn)了錯誤：“=”

例11.求函數(shù)的最小值。

分析：變形再利用平均值不等式是解決問題的關鍵。

解：

即f(x)最小值為-1

此類問題是不等式求極值的基本問題；但如果再改變x的取值范圍(當取子集時)，要則要借助于函數(shù)的基本性質解決問題了。

例12.若4a2+3b2=4，試求y=(2a2+1)(b2+2)的最大值。的某一個

分析：在解決此類問題時，如何把4a2+3b2=4拆分成與(2a2+1),(b2+2)兩個式子的代數(shù)和則是本問題的關鍵。

解：

當且僅當：4a2+2=3b2+6，即

時取等號，y的最大值為8。

小結：此問題還有其它不同的解法，如三角換元法；消元轉化法等等。但無論使用如何種廣泛，都必須注意公式中的三個運用條件(一正，二定，三等號)

例13.已知x.y>0，且x·y=1，求的最小值及此時的x、y的值。

分析：考查分式的最值時，往往需要把分式拆成若干項，然后變形使用平均值不等式求解。

解：∵x>y>0 ∴x-y>0

又∵x·y=1，也即：；當且僅當時取等號。

也即；時，取等號。

例14.設x，y，z∈R+，x+y+z=1，求證：的最小值。

分析：此類問題的關鍵是如何使用平均值不等式，兩條途徑1.利用進而進行類加。

2.另一個途徑是直接進行1的構造與轉化。但無論如何需要注意的是驗證“=”號成立。本題使用1的構造代入。

解：∵x，y，z∈R+，且x+y+z=1

當且僅當時，取“=”號，的最小值為9。

小結：本題如果采用三式類加，得到：，由x，y，z∈R+，且x+y+z=1得：

。進而言之，的最小值為5，則出現(xiàn)了一個錯誤的結果，其關鍵在于三個“=”號是否同時成立。

例15.已知a>0,a2-2ab+c2=0，bc>a2，試比較 a，b，c的大小。

分析：此問題只給出了幾何簡單的不等式關系，故要判斷大小必須在這幾個不等式中進行變形分析才可解決問題。

解：由a2-2ab+c2=0可得，a2+c2=2ab≥2ac

又∵a>0,∴b≥c,(當且僅當a=c時，取等號)再由：bc>a2可知，b>c,b>a再由原式變形為：a2-2ab+b2+c2-b2=0得：b2≥c2，結合：b>c可得：b>c>0

又由b>a可得：2ab>2a2，綜上所述，可得：b>c>a

小結：本題中熟練掌握不等式的基本性質和變形是解決問題的關鍵。

例16.某村計劃建造一個室內(nèi)面積為800m2的矩形蔬菜溫室。在溫室內(nèi)，沿左，右兩側與后側內(nèi)墻各保留1m寬的通道，沿前側內(nèi)墻保留3m寬的空地。當矩形溫室的邊長各為多少時？蔬菜的種植面積最大。最大種植面積是多少？

分析：如何把實際問題抽象為數(shù)學問題，是應用不等式等基礎知識和方法解決實際問題的基本能力。

解：設矩形溫室的左側邊長為am，后側邊長為bm，則ab=800

蔬菜的種植面積S=(a-4)(b-2)=ab-4b-2a+8=808-2(a+2b)

所以

當a=2b，即a=40(m),b=20(m)時，=648(m2)

答：當矩形溫室的左側邊長為40m，后側邊長為20m時，蔬菜的種植面積最大，最大種植面積為648m2.例17.某企業(yè)2003年的純利潤為500萬元，因設備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降，若不能進行技術改造，預測從今年起每年比上一年純利潤減少20萬元，今年初該企業(yè)一次性投入資金600萬元進行技術改造，預測在未扣除技術改造資金的情況下，第n年(今年為第一年)的利潤為

(Ⅰ)設從今年起的前n年，若該企業(yè)不進行技術改造的累計純利潤為An萬元，進行技術改造后的累計純利潤為Bn萬元(須扣除技術改造資金)，求An、Bn的表達式；

(Ⅱ)依上述預測，從今年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年，進行技術改造后的累計純利潤超過不進行技術改造的累計純利潤？

分析：數(shù)學建模是解決應用問題的一個基本要求，本問題對建立函數(shù)關系式、數(shù)列求和、不等式的基礎知識，運用數(shù)學知識解決實際問題的能力都有著較高的要求。

解：(Ⅰ)依題設，An=(500-20)+(500-40)+…+(500-20n)=490n-10n2；

(Ⅱ)

因為函數(shù)上為增函數(shù)，當1≤n≤3時，當n≥4時，∴僅當n≥4時，Bn>An。

答：至少經(jīng)過4年，該企業(yè)進行技術改造后的累計純利潤超過不進行技術改造的累計純利潤。

小結：如何進行數(shù)學建模最基本的一個方面就是如何把一個實際中的相關因素進行分析，通過文字說明轉化為等量關系或者是相互關系，再把文字關系處理為數(shù)學關系。

五、本周參考練習

1.已知a>0 ,b>0,a+b=1，證明：

2.如果△ABC的三內(nèi)角滿足關系式：sin2A+sin2B=sin2C，求證：

3.已知a、b、c分別為一個三角形的三邊之長，求證：

4.已知x，y是正數(shù)，a，b是正常數(shù)，且滿足：，求證：

5.已知a，b，c∈R+，求證：

6.已知a>0，求的最值。(答最小值為)

7.證明：通過水管放水，當流速相等時，如果水管截面(指橫截面)的周長相等，那么截面的圓的水管比截面是正方形的水管流量大。

8.某單位用木料制作如圖所示的框架，框架的下部是邊長分別為x，y(單位：m)的矩形。上部是等腰直角三角形，要求框架圍成的總面積8m2，問x、y分別為多少(精確到0.001m)時用料最??？

(答：當x為2.34m，y為2.828m時，用料最省。)高二數(shù)學練習三

1.xR，那么(1-|x|)(1+x)>0的一個充分不必要條件是()

A.|x|<1

B.x<1

C.|x|>1

D.x<-1或|x|<1

2.已知實數(shù)a，b，c滿足：a+b+c=0，abc>0，則：的值()

A.一定是正數(shù)

B.一定是負數(shù)

C.可能是0

D.無法確定

3.已知a,b,c是△ABC的三邊，那么方程a2x2-(a2-b2+c2)x+c2=0（）

A.有兩個不相等的實根

B.有兩個相等的實根

C.沒有實數(shù)根

D.要依a，b，c的具體取值確定

4.設0

A.C.5.設a,bR+，則A，B的大小關系是（）

B.D.A.A≥B

B.A≤B

C.A>B

D.A

6.若實數(shù)m，n，x，y滿足m2+n2=a，x2+y2=b，則mx+ny的最大值是（）

A.B.C.D.7.設a，b，cR+，則三個數(shù)

A.都大于2

B.都小于2

（）

C.至少有一個不大于2

D.至少有一個不小于2

8.若a，bR+，滿足a+b+3=ab，則

9.設a>0,b>0.c>0，a+b+c=1，則的取值范圍是_____ 的最大值為_____

10.使不等式

答案：

1.A 2.B 3.C 4.D 5.C 6.B

7.D 8.9.10.a>b>0且a-b>1

都成立的a與b的關系是_____

第四篇：專題1、不等式講義

“登峰”輔導伴你行

專題

1、不等式性質及解不等式講義

類型

一、不等式性質

基本知識點要求：能熟練應用不等式性質.題型

1、不等式性質考查.例1．若?,?滿足??

2??????

2，則2???的取值范圍是（不等式性質）

?b，則2a?b的取值范圍是的范圍.（不等式性質）練習1.若a,b滿足2?a?3and1?b?4且aa2例2．已知?1?a?3and2?b?4，求a?b,a?b,b

練習2.已知?1?a?3and?2?b?4，求a?b,a?b,a2b的范圍.（不等式性質）

2?a?b?4，求2a?3b的取值范圍.題型

2、不等式性質+待定系數(shù)法以及整體構造思想構造題.例3．已知?1?a?b?3and

練習3.已知?1?x?y?1,1?x?y?3，求3x?y的取值范圍.練習4.已知函數(shù)f(x)?ax2?bx(a?0)滿足1?f(?1)?2，2?f(1)?5，求f(?3)的取值范圍.類型

二、解不等式

基本知識點要求：（1）知道不等式、方程及函數(shù)之間的關系；

（2）知道不等式解與方程的根之間的關系；

（3）能用數(shù)軸標根法求解不等式.題型

1、解不等式基本知識考查.例4．解不等式：2x?x?3?0.練習5．解不等式：?x?x?6?0.例5．解不等式：22x?1?0.x?2

x2?3x?2x?1?0.練習7．2?0.練習6．解不等式：2?xx?2x?3

總結高次不等式求解步驟：（1）最高次系數(shù)化正；（2）分式不等式化整式；（3）因式分解；（4）數(shù)軸標根

法寫出答案.題型

2、解含參不等式.例6．解關于x的不等式：(x?2)(ax?2)?0.練習8.關于x的不等式ax?b?0的解集為?1,???，求

練習9.解關于x的不等式：x?(1?a)ax?a?0.總結：（自己填寫）

會當凌絕頂，一覽眾山小——成功者的領地.江西省、南昌市、西湖區(qū)

聯(lián)系電話：***徐（數(shù)學老師）23ax?b?0的解集.x?2

第五篇：高二數(shù)學不等式的證明6

6.3 不等式的證明

（六）教學要求：更進一步掌握不等式的性質，能熟練運用不等式的證明方法：比較法、綜合法、分析法，還掌握其他方法：放縮法、判別式法、換元法等。

教學重點：熟練運用。

教學過程：

一、復習準備：

1.已知x≥4，求證：x?1－

x?2

解法：分析法，先移項再平方。推廣：求x?1－x?2的單調性、值域。2.a、b∈R且a＋b＝1，求證：2a?3＋2b?3≤4（四種解法：估值配項；柯西不等式；均值不等式；分析法）

二、講授新課： 1.教學典型習題：

①出示典型習題：（先不給出方法）

22? Ⅰ.放縮法證明：x、y、z∈R，求證：x?xy?y＋?y2?yz?z2>x＋y＋z

1x2?x?1 Ⅱ.用判別式法證明：已知x∈R，求證 ≤2≤3（另解：拆分法）

3x?x?1 Ⅲ.用換元法證明： 已知a＋b＝4,求證：2≤a±ab＋b≤6 ②先討論用什么方法證明，再引導老師分析總結解題思路，學生試按思路練習：

Ⅰ.放縮法，左邊>(x?2222y2y)＋(z?)2＝… 22x2?x?1 Ⅱ.判別式法，設2＝k，再整理成一元二次方程，利用△≥0而求k范圍。

x?x?1 Ⅲ.三角換元法，設a＝2sinθ，b＝2cosθ，再代入利用三角函數(shù)值域求證。③再討論其它解法： Ⅲ小題，可由已知得到|ab|的范圍，再得到待證式。2.練習：①已知x、y∈R，3x＋4y＝12，求xy的最大值； ②求函數(shù)y＝x＋2?1的值域；（解法：分x－1>0、x－1<0兩種情況；湊配法）x?1③求函數(shù)y＝4x＋1622的最小值。（解法：y＝2(x＋1)+2(x＋1)＋…(x2?1)2

三、鞏固練習：1.設n>1且n∈N，求證：log(n?1)(n＋2)>log(n?2)(n＋3)2.課堂作業(yè)：書P31 2、5題。

（作商比）