第一篇：高二不等式復(fù)習(xí)
高二不等式復(fù)習(xí)
本周重點(diǎn)：復(fù)習(xí)不等式一章的整體知識結(jié)構(gòu)
本周難點(diǎn)：進(jìn)一步深化不等式應(yīng)用的思想和方法
本周內(nèi)容：
1、不等式的性質(zhì)是證明不等式和解不等式的基礎(chǔ)。不等式的基本性質(zhì)有：
(1)對稱性或反身性：若a>b，則b (2)傳遞性：若a>b，b>c，則a>c； (3)可加性：，此法則又稱為移項(xiàng)法則： (4)可乘性：a>b，當(dāng)c>0時(shí)，ac>bc：當(dāng)c<0時(shí)，ac 不等式運(yùn)算性質(zhì)： (1)同向相加：若a>b，c>d，則a+c>b+d： (2)正數(shù)同向相乘：若a>b>0，c>d>0，則ac>bd。 特例： (3)乘方法則：若a>b>0，n∈N+，則an>bn； (4)開方法則：若a>b>0，n∈N+，則 ： (5)倒數(shù)法則：若ab>0，a>b，則 掌握不等式的性質(zhì)，應(yīng)注意： (1)條件與結(jié)論間的對應(yīng)關(guān)系，如是 符號還是符號 ： (2)不等式性質(zhì)的重點(diǎn)是不等號方向，條件與不等號方向是緊密相連的。 2、均值不等式：利用完全平方式的性質(zhì)，可得a2+b2≥2ab(a，b∈R)，該不等式可推廣為a2+b2≥2|ab|；或變形為 ； 當(dāng)a,b≥0時(shí)，在具體條件下選擇適當(dāng)?shù)男问健?/p> 3、不等式的證明： (1)不等式證明的常用方法：比較法，公式法，分析法，反證法，換元法，放縮法： (2)在不等式證明過程中，應(yīng)注重與不等式的運(yùn)算性質(zhì)聯(lián)合使用： (3)證明不等式的過程中，放大或縮小應(yīng)適度。 4、不等式的解法： 解不等式是尋找使不等式成立的充要條件，因此在解不等式過程中應(yīng)使每一步的變形都要恒等。 一元二次不等式(組)是解不等式的基礎(chǔ)，一元二次不等式是解不等式的基本題型。利用序軸標(biāo)根法可以解分式及高次不等式。 含參數(shù)的不等式應(yīng)適當(dāng)分類討論。 5、不等式的應(yīng)用相當(dāng)廣泛，如求函數(shù)的定義域，值域，研究函數(shù)單調(diào)性等。在解決問題過程中，應(yīng)當(dāng)善于發(fā)現(xiàn)具體問題背景下的不等式模型。 用基本不等式求分式函數(shù)及多元函數(shù)最值是求函數(shù)最值的初等數(shù)學(xué)方法之一。 研究不等式結(jié)合函數(shù)，數(shù)形結(jié)合思想，等價(jià)變換思想等。 本周例題 例 1、已知f(x)=ax2-c,-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5，試求f(3)的取值范圍。 分析： 從條件和結(jié)論相互化歸的角度看，用f(1)，f(2)的線性組合來表示f(3)，再利用不等式的性質(zhì)求解。 設(shè)f(3)=mf(1)+nf(2) ∴9a-c=m(a-c)+n(4a-c) ∴9a-c=(m+4n)a-(m+n)c ∵-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5 ∴-1≤f(3)≤20 說明： 1.本題也可以先用f(1)，f(2)表示a，c，即代入f(3)，達(dá)到用f(1),f(2)表示f(3)的目的。，然后 2.本題典型錯(cuò)誤是-4≤a-c≤-1，-1≤4a-c≤5中解出a，c的范圍，然后再用不等式的運(yùn)算性質(zhì)求f(3)=9a-c的范圍。錯(cuò)誤的原因是多次運(yùn)用不等式的運(yùn)算性質(zhì)時(shí)，不等式之間出現(xiàn)了不等價(jià)變形。 3.本題還可用線性規(guī)劃知識求解。 例2.設(shè)a>0,b>0，求證： 分析： 法一：比差法，當(dāng)不等式是代數(shù)不等式時(shí)，常用比差法，比差法的三步驟即為函數(shù)單調(diào)性證明的步驟。 ∴左≥右 法二：基本不等式 根據(jù)不等號的方向應(yīng)自左向右進(jìn)行縮小，為了出現(xiàn)右邊的整式形式，用配方的技巧。 ∴兩式相加得： 例3.設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足y+x2=0，0 分析： 說明：本題在放縮過程中，利用了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)知識與不等式是緊密相連的。 例4.已知a，b為正常數(shù)，x，y為正實(shí)數(shù)，且 分析：，求x+y的最小值。 法一：直接利用基本不等式：當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號成立 說明：為了使得等號成立，本題利用了“1”的逆代換。 法二：消元為一元函數(shù) 途徑一：由 ∵x>0,y>0,a>0 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立 途徑二：令 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立 說明：本題從代數(shù)消元或三角換元兩種途徑起到了消元作用。 例5.已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+b (1)解關(guān)于a的不等式f(1)>0； (2)當(dāng)不等式f(x)>0的解集為(-1,3)時(shí)，求實(shí)數(shù)a，b的值。 分析： (1)f(1)=-3+a(6-a)+b=-a2+6a+b-3 ∵f(1)>0 ∴a2-6a+3-b<0 △=24+4b 當(dāng)b≤-6時(shí)，△≤0 ∴f(1)>0的解集為φ 當(dāng)b>-6時(shí)，∴f(1)>0的解集為 (2)∵不等式-3x2+a(6-a)x+b>0的解集為(-1,3) ∴f(x)>0與不等式(x+1)(x-3)<0同解 ∵3x2-a(6-a)x-b<0解集為(-1,3) 例6.設(shè)a,b∈R，關(guān)于x方程x2+ax+b=0的實(shí)根為α，β，若|a|+|b|<1，求證：|α|<1，|β|<1。 分析： 在不等式、方程、函數(shù)的綜合題中，通常以函數(shù)為中心。 法一：令f(x)=x2+ax+b 則f(1)=1+a+b>1-(|a|+|b|)>1-1=0 f(-1)=1-a+b>1-(|a|+|b|)>0 又∵0<|a|≤|a|+|b|<1 ∴-1 ∴f(x)=0的兩根在(-1,1)內(nèi)，即|α|<1，|β|<1 法二： 同理： 說明：對絕對值不等式的處理技巧是適度放縮，如|a|-|b|≤|a+b|及|b|-|a|≤|a±b|的選擇等。 例7.某人乘坐出租車從A地到B地，有兩種方案：第一種方案，乘起步價(jià)為10元，每km價(jià)1.2元的出租車；第二種方案，乘起步價(jià)為8元，每km價(jià)1.4元的出租車，按出租車管理?xiàng)l例，在起步價(jià)內(nèi)，不同型號的出租車行駛的里路是相等，則此人從A地到B地選擇哪一種方案比較適合？ 分析： 設(shè)A地到B地距離為mkm，起步價(jià)內(nèi)行駛的路為akm 顯然，當(dāng)m≤a時(shí)，選起步價(jià)為8元的出租車比較合適 當(dāng)m>a時(shí)，設(shè)m=a+x(x>0)，乘坐起步價(jià)為10元的出租車費(fèi)用為P(x)元，乘坐起步價(jià)為8元的出租車費(fèi)用為Q(x)元，則P(x)=10+1.2x,Q(x)=8+1.4x ∵P(x)-Q(x)=2-0.2x=0.2(10-x) ∴當(dāng)x>0時(shí)，P(x) 當(dāng)x<10時(shí)，P(x)>Q(x)，此時(shí)選起步價(jià)為8元的出租車比較合適 當(dāng)x=10時(shí)，此時(shí)兩種出租車任選 本周練習(xí)： (一)選擇題 1.“a>0且b>0”是的() A 充分而非必要條件 B.必要而非充要條件 C.充要條件 D.既非充分又非必要條件 2.設(shè)a<0，則關(guān)于x的不等式42x2+ax-a2<0的解集為 A.B.C.D.3.若0 A.B.b C.2ab D.a2+b2 4.已知x>0，則 A.f(x)≤2 B.f(x)≥10 C.f(x)≥6 D.f(x)≤3 5.已知，則 A.p>q B.q C.p≥q D.p≤q 6.若|a-c| A.|a-b|<2h B.|a-b|>2h C.|a-b D.|a-b>h 7.關(guān)于x的方程9x+(a+4)·3x+4=0有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 A.B.C.8.若a>0，b>0，且2a+b=1，則的最大值是 D.A.B.C.D.(二)填空題 9.設(shè)a>0，b>0，a，b是常數(shù)，則當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)的最小值是____ 10.周長為的直角三角形面積的最大值為_________ 11.記，則S與1的大小關(guān)系是_______ 12.不等式|x2-2x+3|<|3x-1|的解集為__________ (三)解答題 13.要使不等式對所有正數(shù)x，y都成立，試問k的最小值是多少？ 14.解關(guān)于x的不等式 15.已知a≠0，求證： 16.已知不等式都成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍。 對n∈N+ 17.若a是正實(shí)數(shù)，2a2+3b2=10，求的最值。 18.商店經(jīng)銷某商品，年銷售量為D件，每件商品庫存費(fèi)用為I元，每批進(jìn)貨量為Q件，每次進(jìn)貨所需費(fèi)用為S元，現(xiàn)假定商店在賣完該貨物時(shí)立即進(jìn)貨，使庫存量平均為進(jìn)貨量Q為多大時(shí)，整個(gè)費(fèi)用最??？ 件，問每批 練習(xí)答案： (一)選擇題 1.A 2.A 3.B 4.C 5.A 6.A 7.D 8.A (二)填空題 9.10.11.S<1 12.(1,4) (三)解答題 13.14.當(dāng)a≤-1時(shí)，x∈(-∞,a)∪(-1,2) 當(dāng)-1 當(dāng)a=2時(shí)，x∈(-∞,-1) 當(dāng)a>2時(shí)，x∈(-∞,-1)∪(2,a) 15.當(dāng)|a|≤|b|時(shí)，不等式顯然成立 當(dāng)|a|>|b|時(shí) 左 16.17.18.高二數(shù)學(xué)周末練習(xí)六 1.已知直線ax+by+c=0不經(jīng)過第一象限，且ab>0，則有() (A)c≤0 (B)c≥0 (C)ac≥0 (D)ac≤0 2.直線l的傾斜角是連結(jié)A(3，-5)，B(0，-9)兩點(diǎn)直線傾斜角的兩倍，則l的斜率為() (A) (B) (C) (D) 3.下列方程中表示的圖形為一條直線的是 (D)(A)lgx-lgy=1 (B) (C) 4.設(shè)直線3x+4y-5=0的傾斜角為θ，則它關(guān)于直線x=3對稱直線的傾斜角為() (A)θ (B) (C) (D) 5.三點(diǎn)A(-2，a)，B(3,1)，C(8,11)在同一條直線上，則a=（） (A)-1 (B)-9 (C)3 (D)23 6.若直線L沿x軸負(fù)方向平移3個(gè)單位，再沿y軸正方向平移1個(gè)單位后，又回到原來的位置，那么直線L的斜率是（） (A) (B)-3 (C) (D)3 7.已知A(3,3)，B(-1,5)，直線y=ax+1與線段AB有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a應(yīng)滿足的條件為_____ 8.已知直線，下列命題：(1)直線的傾斜角是 ；(2)不論如何變化，直線不過原點(diǎn)；(3)直線和兩軸都相交時(shí)，可圍成的三角形面積小于1。其中不正確的命題序號是_____ 9.過點(diǎn)A(-3,4)且在兩坐標(biāo)軸上截距之和為12的直線方程是____ 10.直線l過A(3,2)點(diǎn)且與直線x+3y-9=0及x軸圍成等腰三角形，求直線l的方程。 答案： C D D C B A 7.9.x+3y-9=0或4x-y+16=0 10.x-3y+3=0或 或3x+4y-17=0或 8.(1)(3) 高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)學(xué)案第六章 不等式、推理與證明姓名：班級：主備人：趙鎖恩 第四節(jié) A.1B.3C.5D.7 基本不等式 三.基本不等式的應(yīng)用 10.（2011.日照質(zhì)檢）已知正數(shù)a,b,c滿足a?2b?c?1，則 一.基本不等式成立的條件 1.（2011.茂名期末）下列結(jié)論中，正確的序號有：（1）x? ??的最小值為_____ abc 11111.（2012.白山一摸）函數(shù)y?loga(x?3)?1(a?0,且a?1)的圖象恒過定點(diǎn)A，若定點(diǎn)A?2 ；（2）當(dāng)x?0x?（3）當(dāng)x?0且x?1時(shí)，lgx??2；?2xx lgx（4）當(dāng)x?(0,?)時(shí)，sinx?4sinx?4；（5）x2?5x2?4?2 ；（6）2x ?12x?2 二.利用基本不等式求最值 2.（2009.湖南）若x?0，則x?2 x的最小值為________ 3.（2011.重慶）函數(shù)f(x)?x? x?2 (x?2)在x?a處取最小值，則a?_______ 4.（2012.九江模擬）函數(shù)f(x)?x2 ?2x?1x2 ?2x?1,x?(0,3)，則（）A.f(x)有最大值7 4B.f(x)有最小值?1 C.f(x)有最大值1D.f(x)有最小值1 5.（2009.重慶）已知a?0,b?0，則 1a?1 b ?2ab的最小值是（）A.2B.22C.4D.5 6.（2013.福建）若2x ?2y ?1，則x?y的取值范圍是（） A.[0,2]B.[?2,0]C.[?2,??)D.(??,?2] 7.（2011.天津）已知log2a?loga b 2b?1，則3?9的最小值是______ 8.（2011.浙江）若正實(shí)數(shù)x,y滿足x,y滿足x2?y2 ?xy?1，則x?y的最大值是______ 9.（2012.韶關(guān)一摸）當(dāng)點(diǎn)(x,y)在直線x?3y?2?0上移動時(shí)，表達(dá)式3x ?27y ?1的最小值為（） 十年磨劍為一搏，六月試鋒現(xiàn)真我。在直線mx?ny?1?0，其中mn?0，則1m?2 n的最小值為______ 12.(2010山東)若對任意x?0,xx2?3x?1 ?a恒成立，則a的取值范圍是__________________ 13.（2012.大連二模）已知x?0,y?0，且 2x?1 y ?1，若x?2y?m2?2m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A.m?4或m??2B.m?2或m??4C.?2?m?4D.?4?m?2 14.（2012長春模擬）已知M是?ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且??2,?BAC?30?,若?MBC,?MCA,?MAB的面積分別為 114 2，x，y，則x?y的最小值為______ 15.（2012.煙臺二模）設(shè)a,b?R，則“a?b?1”是“4ab?1”的（） A.充分不必要條件B.必要不充分條件 C.充要條件D.既不充分也不必要條件 16.（2008.浙江）已知a?0,b?0，且a?b?2，則（） A.ab? 1B.ab?12222 C.a?b?3 D.a ?b2?2 17.（2010.安徽）若a?0,b?0，且a?b?2，則下列不等式對一切滿足條件的a,b恒成立的是__________________（寫出所有正確命題的序號）（1）ab?1（2）a?b?（3）a ?b2?2（4）a3?b3?3（5）1a ?1b ?2 把奮斗留在今天，把結(jié)果留給命運(yùn)。 《一次不等式與一次不等式組》復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì) 審核：九年級數(shù)學(xué)組 目標(biāo)確定的依據(jù)： 課標(biāo)要求： ⑴結(jié)合具體問題，了解不等式的意義，探索不等式的基本性質(zhì)。 ⑵能解數(shù)字系數(shù)的一元一次不等式，并能在數(shù)軸上表示出解集；會用數(shù)軸確定由兩個(gè)一元一次不等式組成的不等式組的解集。 ⑶能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元一次不等式，解決簡單的問題。中招考點(diǎn)分析： ⑴不等式的性質(zhì)。 ⑵一元一次不等式（組）的解法及解集表示。⑶一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用。學(xué)情分析： 本節(jié)復(fù)習(xí)不等式，學(xué)生基本熟悉卻欠缺靈活，沒有真正用數(shù)學(xué)符號表示實(shí)際問題，培養(yǎng)解決問題的能力。復(fù)習(xí)目標(biāo)： （1）了解不等式的性質(zhì),會進(jìn)行一元一次不等式（組）的解法及解集的運(yùn)算。(2）解與一元一次不等式（組）有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問題。評價(jià)任務(wù);通過基礎(chǔ)知識回顧達(dá)成目標(biāo)一； 通過練習(xí)反饋和直擊中考達(dá)成目標(biāo)二。復(fù)習(xí)過程： 一、基礎(chǔ)知識回顧： 1．有關(guān)概念： ①一般地，用符號“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）連接的式子叫做不等式。 ②能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解.不等式的解不唯一，把所有滿足不等式的解集合在一起，構(gòu)成不等式的解集.③ 求不等式解集的過程叫解不等式.④由幾個(gè)一元一次不等式組所組成的不等式組叫做一元一次不等式組 ⑤不等式組的解集 :一元一次不等式組各個(gè)不等式的解集的公共部分。2．不等式的基本的性質(zhì)： 性質(zhì)1.性質(zhì)2： 性質(zhì)3： 不等式的其他性質(zhì)：傳遞性:若a>b,且b>c,則a>c 3.解不等式的步驟: 1、去分母; 2、去括號; 3、移項(xiàng)合并同類項(xiàng); 4、系數(shù)化為1。4.解不等式組的步驟: 1、解出不等式的解集 2、在同一數(shù)軸表示不等式的解集。5.列一元一次不等式組解實(shí)際問題的一般步驟： （1）審題；（2）設(shè)未知數(shù)，找（不等量）關(guān)系式；（3）設(shè)元，(根據(jù)不等量)關(guān)系式列不等式(組)（4）解不等式組；檢驗(yàn)并作答。 二、?？碱}型： 命題點(diǎn)1 解不等式(組)及其解集表示 1.(南昌)將不等式3x－2＜1的解集表示在數(shù)軸上，2．(懷化)不等式3(x－1)≤5－x的非負(fù)整數(shù)解有()A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 3.(天津8分)解不等式組x＋2≤6 ①3x－2≥2x ②.請結(jié)合題意填空，完成本題的解答． (Ⅰ)解不等式①，得____________；(Ⅱ)解不等式②，得____________；(Ⅲ)把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來：(Ⅳ)原不等式組的解集為____________． 命題點(diǎn)2 一次不等式的實(shí)際應(yīng)用 1.(東營)東營市出租車的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：起步價(jià)8元(即行駛距離不超過3千米都需付8元車費(fèi))，超過3千米以后，每增加1千米，加收1.5元(不足1千米按1千米計(jì))．某人從甲地到乙地經(jīng)過的路程是x千米，出租車費(fèi)為15.5元，那么x的最大值是()命題點(diǎn)3 方程與不等式的實(shí)際應(yīng)用 1.(衢州6分)光伏發(fā)電惠民生，據(jù)衢州晚報(bào)載，某家庭投資4萬元資金建造屋頂光伏發(fā)電站，遇到晴天平均每天可發(fā)電30度，其他天氣平均每天可發(fā)電5度．已知某月(按30天計(jì))共發(fā)電550度．(1)求這個(gè)月晴天的天數(shù)； (2)已知該家庭每月平均用電量為150度．若按每月發(fā)電550度計(jì)，至少需要幾年才能收回成本(不計(jì)其他費(fèi)用，結(jié)果取整數(shù))． 三、練習(xí)反饋： 1.不等式組2x＋2＞x3x＜x＋2的解集是()A.x＞－2 B.x＜1 C.－1＜x＜2 D.－2＜x＜1 2.(2016聊城)不等式組x＋5＜5x＋1x－m＞1的解集是x＞1，則m的取值范圍是()A.m≥1 B.m≤1 C.m≥0 D.m≤0 3.(西寧)某經(jīng)銷商銷售一批電話手表，第一個(gè)月以550元/塊的價(jià)格售出60塊，第二個(gè)月起降價(jià)，以500元/塊的價(jià)格將這批電話手表全部售出，銷售總額超過了5.5萬元．這批電話手表至少有()A.103塊 B.104塊 C.105塊 D.106塊 四、直擊中考 河南近8年考題《試題研究》。1.做《試題研究》練習(xí)2.錯(cuò)題矯正 五、板書設(shè)計(jì)： 一次不等式與一次不等式組復(fù)習(xí) 1.基礎(chǔ)知識回顧概念;2.不等式的基本的性質(zhì)： 3.練習(xí)運(yùn)算: 4.演板： 課后反思： 高二數(shù)學(xué)不等式同步輔導(dǎo)講義 第1講 不等式的證明 一、輔導(dǎo)內(nèi)容 不等式證明的方法與技巧 二、學(xué)習(xí)指導(dǎo) 不等式的證明主要研究對絕對不等式的變形、化簡。其原理是利用不等式的傳遞性從不等式的左端或右端適當(dāng)?shù)胤糯螅ɑ蚩s?。橛叶嘶蜃蠖?。不等式的性質(zhì)是不等式證明的基礎(chǔ)。 不等式證明的常規(guī)方法有：比較法、綜合法、分析法。比較法的研究對象通常是代數(shù)不等式，如整式不等式，分式不等式；綜合法主要是用基本不等式及不等式的性質(zhì)研究非負(fù)實(shí)數(shù)集內(nèi)的絕對值不等式；當(dāng)因題目條件簡單或結(jié)論形式復(fù)雜而無法對不等式下手時(shí)，可考慮用分析法，但應(yīng)注重格式，注意規(guī)范化用語。 根據(jù)題目條件或結(jié)論的特殊形式，證明不等式還有一些技巧方法；換元法、反證法、放縮法、判別式法等。 三、典型例題 【例1】 設(shè)a，b∈R，求證：a+b≥ab+a+b-1。 解題思路分析： 思路一：這是一個(gè)整式不等式，可考慮用比較法，在配方過程應(yīng)體現(xiàn)將a或b看成主元的思想，在這樣的思想下變形，接下來的配方或因式分解相對容易操作。 作差δ=a+b-ab-a-b+1=a-(b+1)a+b-b+1=(a? =(a?b?123)?(b?1)2≥0 2 422222 222 b?123233)?b?b? 2424思路二：注意到不等式兩邊式子a+b與ab的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，聯(lián)想到基本不等式；為了得到左邊的a與b項(xiàng)，應(yīng)用增減項(xiàng)法變形。增加若干項(xiàng)或減少若干項(xiàng)的技巧在本節(jié)應(yīng)用得較為普遍。 因a+b≥2ab，a+1≥2a，b+1≥2b 三式同向相加得：a+b≥ab+a+b-1 思路三：在思路一中，作差δ后得到關(guān)于a的二次三項(xiàng)式，除了用配方法，還可以聯(lián)系二次函數(shù)的知識求解。記f(a)=a-(b+1)a+b-b+1 因二次項(xiàng)系數(shù)為正，△=(b+1)-4(b-b+1)=-3(b-1)≤0 ∴ f(a)≥0 【例2】 已知0 根據(jù)已知條件：a+b+c+abc>0，首先將題目結(jié)論改造為1+ab+bc+ca≥a+b+c+abc，即1+ab+bc+ca-a-b-c-abc≥0。這樣的化簡或變形（變形的目的也是化簡）在絕大多數(shù)解題中都是需要的），而且是必要的。在變形過程中通常注意前后問題的等價(jià)性。 其次在對欲證不等式左邊的化簡時(shí)，應(yīng)從已知條件中尋找思路：由a≤1，b≤1，c≤1得：1-a≥0，1-b≥0，1-c≥0，因此在對1+ab+bc+ca-a-b-c-abc因式分解時(shí)，應(yīng)向1-a，1-b，1-c這三個(gè)因式靠攏，這樣才便于判斷整個(gè)因式的符號。由輪換式的特點(diǎn)，找準(zhǔn)1-a，1-b，1-c中的一個(gè)因式即可。 1+ab+bc+ca-a-b-c-abc =(1-a)+b(a-1)+c(a-1)+bc(1-a)=(1-a)(1-b-c+bc)=(1-a)(1-b)(1-c)≥0 【例3】 設(shè)A=a+d，B=b+c，a，b，c，d∈R+，ad=bc，a=max{a，b，c，d}，試比較A與B的大小。 解題思路分析： 因A、B的表達(dá)形式比較簡單，故作差后如何對因式進(jìn)行變形是本題難點(diǎn)之一。利用等式ad=bc，借助于消元思想，至少可以消去a，b，c，d中的一個(gè)字母。關(guān)鍵是消去哪個(gè)字母，因條件中已知a的不等關(guān)系：a>b，a>c，a>d，故保留a，消b，c，d中任一個(gè)均可。 由ad=bc得：d?bcbcbc?ac A-B=a+d-(b+c)=a? ?b?c?a?b?aaa1?ab?bc?ca≥1。 a?b?c?abc 22222222222 =a?b?c(a?b)(a?b)(a?c)??0 aabc d(b?d)(c?d)bcbc?cd A-B=a?d?b?c? ?d?b?c??(b?d)=ddd下面是判斷b-d與c-d的符號，即比較a、c與d的大?。簯?yīng)從條件a=max{a，b，c，d}及ad=bc出發(fā)才挖掘隱藏條件。又：若不慎消去了a，該怎么辦呢？ 由ad=bc得：a?ac? bdac∵ a>b>0 ∴ >1 即 >1 ∴ c>d，c-d>0 bd由ad=bc得：同理b-d>0 ∴ A-B>0 【例4】 a，b，c∈R，求證：a+b+c≥(a+b+c)。 解題思路分析： 不等號兩邊均是和的形式，利用一次基本不等式顯然不行。不等號右邊為三項(xiàng)和，根據(jù)不等號方向，應(yīng)自左向右運(yùn)用基本不等式后再同向相加。因不等式左邊只有三項(xiàng)，故把三項(xiàng)變化六項(xiàng)后再利用二元基本不等式，這就是“化奇為偶”的技巧。 11左=(2a4?2b4?2c4)?[(a4?b4)?(b4?c4)?(c4?a4)] 21≥(2a2b2?2b2c2?2c2a2)?a2b2?b2c2?c2a2 2發(fā)現(xiàn)縮小后沒有達(dá)到題目要求，此時(shí)應(yīng)再利用不等式傳遞性繼續(xù)縮小，處理的方法與剛才類似。a2b2?b2c2?c2a2?1(2a2b2?2b2c2?2c2a2)24 441?[(a2b2?b2c2)?(b2c2?c2a2)?(c2a2?a2b2)]21≥(2ab2c?2abc2?2a2bc)?ab(a?b?c)2 【例5】（1）a，b，c為正實(shí)數(shù)，求證： 111111??； ??≥ abcabbcaca2b2c2a?b?c??（2）a，b，c為正實(shí)數(shù)，求證：≥。b?ca?ca?b2解題思路分析： （1）不等式的結(jié)構(gòu)與例4完全相同，處理方法也完全一樣。 （2）同學(xué)們可試一試，再用剛才的方法處理該題是行不通的。注意到從左向右，分式變成了整式，可考慮在左邊每一個(gè)分式后配上該分式的分母，利用二元基本不等式后約去分母，再利用不等式可加性即可達(dá)到目的。試一試行嗎？ a2 【例6】 x，y為正實(shí)數(shù)，x+y=a，求證：x+y≥。 2解題思路分析： 思路一；根據(jù)x+y和x+y的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，聯(lián)想到算術(shù)平均數(shù)與平方平均數(shù)之間的不等關(guān)系。x2?y2x?y∵ ≤ 22(x?y)2a2?∴ x?y≥ 222222思路二：因所求不等式右邊為常數(shù)，故可從求函數(shù)最小值的角度去思考。思路一所用的是基本不等式法，這里采用消元思想轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，再用單調(diào)性求解。換元有下列三種途徑： 途徑1：用均值換元法消元： 令 x?aa?m，y??m 22 a2aaa2222則 x?y?(?m)?(?m)?2m?≥ 2222途徑2：代入消元法： 22y=a-x，0 222222222途徑3：三角換元法消元： ?22令 x=acosθ，y=asinθ，θ∈(0，] 222244222222則 x+y=a(cosθ+sinθ)=a[(sinθ+cosθ)-2sinθcosθ] a211222 =a[1-2(sin2θ)]=a(1-sin2θ)≥ 222 注：為了達(dá)到消元的目的，途徑1和途徑3引入了適當(dāng)?shù)膮?shù)，也就是找到一個(gè)中間變量表示x，y。這種引參的思想2是高中數(shù)學(xué)常用的重要方法。 (a?b)2a?b(a?b)2??ab? 【例7】 已知a>b>0，求證：。8a28b解題思路分析： 所證不等式的形式較復(fù)雜（如從次數(shù)看，有二次，一次，1次等），難以從某個(gè)角度著手。故考慮用分析法證明，即2執(zhí)果索因，尋找使不等式成立的必要條件。實(shí)際上就是對所證不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)幕?、變形，?shí)際上這種變形在相當(dāng)多的題目里都是充要的。 a?ba?b?2ab(a?b)2?ab?? 222a?b?(a?b)(a?b)(a?b)2(a?b)2(a?b)2(a?b)2(a?b)2??所證不等式可化為 8a28b∵ a>b>0 ∴ a?b ∴ a?b?0 (a?b)2(a?b)2?1?∴ 不等式可化為： 4a4b2???(a?b)?4a?a?b?2a即要證? 只需證? 2???4b?(a?b)?2b?a?b在a>b>0條件下，不等式組顯然成立 ∴ 原不等式成立 【例8】 已知f(x)=解題思路分析： 不等號兩邊字母不統(tǒng)一，采用常規(guī)方法難以著手。根據(jù)表達(dá)式的特點(diǎn)，借助于函數(shù)思想，可分別求f(a)及g(b)=b-4b+的最值，看能否通過最值之間的大小關(guān)系進(jìn)行比較。 22x?34x?8，求證：對任意實(shí)數(shù)a，b，恒有f(a) 211.2112f(a)?2a?34?82a?8?2a(2)?8a2?82a?82a≤ 82?2a?82a?842?2 令 g(b)=b-4b+∵ 11323 g(b)=(b-2)+≥ 2223?2 ∴ g(b)>f(a)2注：本題實(shí)際上利用了不等式的傳遞性，只不過中間量為常數(shù)而已，這種思路在兩數(shù)大小比較時(shí)曾講過。由此也說明，實(shí)數(shù)大小理論是不等式大小理論的基礎(chǔ)。 【例9】 已知a，b，c∈R，f(x)=ax+bx+c，當(dāng)|x|≤1時(shí)，有|f(x)|≤1，求證： （1）|c|≤1，|b|≤1； （2）當(dāng)|x|≤1時(shí)，|ax+b|≤2。 解題思路分析： 這是一個(gè)與絕對值有關(guān)的不等式證明題，除運(yùn)用前面已介紹的不等式性質(zhì)和基本不等式以外，還涉及到與絕對值有關(guān)的基本不等式，如|a|≥a，|a|≥-a，||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，|a1±a2±?±an|≤|a1|+|a2|+?+|an|。就本題來說，還有一個(gè)如何充分利用條件“當(dāng)|x|≤1時(shí)，|f(x)|≤1”的解題意識。 從特殊化的思想出發(fā)得到： 令 x=0，|f(0)|≤1 即 |c|≤1 當(dāng)x=1時(shí)，|f(1)|≤1；當(dāng)x=-1時(shí)，|f(-1)|≤1 下面問題的解決試圖利用這三個(gè)不等式，即把f(0)，f(1)，f(-1)化作已知量，去表示待求量?！?f(1)=a+b+c，f(-1)=a-b+c 1∴ b?[f(1)?f(?1)] 2111∴ |b|?|f(1)?f(?1)|≤[|f(1)|?|f(?1)|]≤(1?1)≤1 222（2）思路一：利用函數(shù)思想，借助于單調(diào)性求g(x)=ax+b的值域。 2當(dāng)a>0時(shí)，g(x)在[-1，1]上單調(diào)遞增 ∴ g(-1)≤g(x)≤g(1)∵ g(1)=a+1=f(1)-f(0)≤|f(1)-f(0)|≤|f(1)|+|f(0)|≤2 g(-1)=-a+b=f(0)-f(-1)=-[f(-1)-f(0)] ≥-|f(-1)-f(0)|≥-[|f(-1)|+|f(0)|]≥-2 ∴-2≤g(x)≤2 即 |g(x)|≤2 當(dāng)a<0時(shí)，同理可證。思路二：直接利用絕對值不等式 為了能將|ax+b|中的絕對值符號分配到a，b，可考慮a，b的符號進(jìn)行討論。當(dāng)a>0時(shí) |ax+b|≤|ax|+|b|=|a||x|+|b|≤|a|+|b|≤a+|b| 下面對b討論 ① b≥0時(shí)，a+|b|=a+b=|a+b|=|f(1)-f(0)| ≤ |f(1)|+|f(0)|≤2； ② b<0時(shí)，a+|b|=a-b=|a-b|=|f(-1)-f(0)|≤|f(-1)|+f(0)|≤2?！?|ax+b|≤2 當(dāng)a<0時(shí)，同理可證。 評注：本題證明過程中，還應(yīng)根據(jù)不等號的方向，合理選擇不等式，例如：既有|a-b|≥|a|-|b|，又有|a-b|≥|b|-|a|，若不適當(dāng)選擇，則不能滿足題目要求。 同步練習(xí) （一）選擇題 1、設(shè)a，b為正數(shù)，且a+b≤4，則下列各式一定成立的是（）1111111?≤ B、≤?≤ ab44ab211111C、≤?≤1 D、?≥1 2ababA、2、已知a，b，c均大于1，且logac·logbc=4，則下列各式中一定正確的是（）A、ac≥b B、ab≥c C、bc≥a D、ab≤c 3、設(shè)m不等于n, x=m-mn y=nm-n，則x , y的大小關(guān)系為（） A、x>y B、x=y C、y>x D、與m ,n的取植有關(guān) 43344、已知a，b是不相等的正數(shù)，在a、b之間插入兩組數(shù)：x1，x2，?，xn和y1，y2，?，yn，b成等比數(shù)列，并給出下列不等式： ① ② 1a?b2(x1?x2???xn)?ab?()n21nn(x1?x2???xn)?a?b2 ③ y1y2?yn?ab ④ y1y2?yn?na?ba?b2?()22那么，其中為真命題的是（） A、①③ B、①④ C、②③ D、②④ 5、已知a，b，c>0，且a+b>c，設(shè)M= abc，N=，則MN的大小關(guān)系是 ?4?ab?c4?cA、M>N B、M=N C、M 6、已知函數(shù)f(x)=-x-x，x1，x2，x3∈R，且x1+x2>0，x2+x3>0，x3+x1>0，則f(x1)+f(x2)+f(x3)的值（） A、一定大于零 B、一定小于零 C、一定等于零 D、正負(fù)都有可能 111117、若a>0，b>0，x?(?)，y?，z?，則（） 2aba?babA、x≥y>z B、x≥z>y C、y≥x>z D、y>z≥x 8、設(shè)a，b∈R，下面的不等式成立的是（）A、a+3ab>b B、ab-a>b+ab C、（二）填空題 9、設(shè)a>0，b>0，a≠b，則ab與ab的大小關(guān)系是__________。 10、若a，b，c是不全相等的正數(shù)，則(a+b)(b+c)(c+a)______8abc（用不等號填空）。 11、設(shè)n個(gè)正數(shù)x1，x2，?，xn的算術(shù)平均數(shù)是x，若a是不等于x的任意實(shí)數(shù)，并記ab ba22 3aa?12D、a+b≥2(a-b-1)?bb?1p?(x1?x1)2?(x2?x)2???(xn?x)2，q?(x1?a)2?(x2?a)2???(xn?a)2，則p與q大小關(guān)系是__________。 1t?112、當(dāng)0 22nnn13、若a，b，c為Rt△ABC的三邊，其中c為斜邊，則a+b與c（其中n∈N，n>2）的大小關(guān)系是________________。 （三）解答題 14、已知a>0，b>0，a≠b，求證：a?b?ab?ba。 15、已知a，b，c是三角形三邊的長，求 證：1?abc???2。b?ca?ca?b1116、已知a≥0，b≥0，求證：(a?b)2?(a?b)≥aa?ba。 243317、已知a，b為正數(shù)，a+b=2，求證：a+b≤2。 111a8?b8?c818、若a，b，c為正數(shù)，求證：??≤。 abca3b3c3112519、設(shè)a>0，b>0，且a+b=1，求證：(a?)(b?)≥。 ab420、已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求證：a，b，c全為正數(shù)。 第2講 含有絕對值的不等式 一、輔導(dǎo)內(nèi)容 含有絕對值的不等式證明 二、學(xué)習(xí)指導(dǎo) 1、絕對值的性質(zhì) （1）基本性質(zhì)：①x∈R時(shí)，|x|≥x，|x|≥-x；②|x| （2）運(yùn)算性質(zhì)：|ab|=|a||b|，|a|a||?，||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，|a1±a2±?+an|≤|a1|+|a2|+?+|an|。b|b| 222（3）幾何意義：|x-a|表示數(shù)軸上數(shù)x，a對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離。 2、與絕對值有關(guān)的不等式的證明 其方法仍是證明一般不等式的方法，如比較法、綜合法、分析法等，但它除了涉及一般不等式的性質(zhì)外，還經(jīng)常用到剛才所介紹的絕對值的性質(zhì)，特別是||a|-|b||≤|a|±|b|這一條性質(zhì)。 在利用絕對值的性質(zhì)時(shí)，應(yīng)根據(jù)不等號的方向進(jìn)行合理的選擇。 3、含絕對值不等式的證明與解法有較大的差異，在解不等式中，主要是考慮如何去掉絕對值符號；而在證明中，一般不提倡去掉絕對值符號，當(dāng)然，少數(shù)題目例外。 三、典型例題 【例1】 設(shè)|a|<ε,|a-b|<2ε，求證：|b|<3ε。 解題思路分析： 根據(jù)解題的“結(jié)論向條件靠攏”的原則，本題主要思考如何用a，a-b表示b，從而利用|a|及|a-b|的條件得到|b|的范圍。 ∵ b=a-(a-b)∴ |b|=|a-(a-b)|≤|a|+|a-b|<ε+2ε=3ε 注：本題還涉及到了化簡變形中的整體思想，即將a-b看作一個(gè)整體。 實(shí)際上根據(jù)|a-b|的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，也可用絕對值的基本不等式對其縮?。簗|a|-|b||≤|a-b|，關(guān)鍵是不等式的左端是選擇|a|-|b|，還是|b|-|a|，盡管兩個(gè)不等式都成立，但由本題的消元要求，應(yīng)消去a，保留b，故選|b|-|a|≤|a-b|。 ∴ |b|-|a|<2ε 又 |a|<ε ∴ 兩不等式同向相加得|b|<3ε 【例2】 已知f(x)=x-x+c，|x-a|<1，a，c∈R，求證：|f(x)-f(a)|<2(|a|+1)。 求證：|f(x)-f(a)|<2(|a|+1)解題思路分析： 因f的對應(yīng)法則已知，故首先對不等式左邊化簡：|f(x)-f(a)|=|x-x+c-(a-a+c)|=|x-a-x+a|。接下來的變形向條件|x-a|<1靠攏，即湊出因式x-a： |f(x)-f(a)|=|x-a-x+a|=1(x-a)(x+a)-(x-a)|=|x-a||x+a-1|<|x+a-1| 下一步化簡有兩種途徑：從結(jié)論向條件湊，或從條件向結(jié)論湊。 途徑一：|x+a-1|=|x-a+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|≤|x-a|+|2a|+1<1+2|a|+1=2(|a|+1)途徑二：|x+a-1|≤|x|+|a-1|≤|x|+|a|+1 又 |x-a|≥|x|-|a| ∴ |x|-|a|<1 ∴ |x|<|a|+1 ∴ |x+a-1|≤|x|+|a|+1<|a|+1+|a|+1=2(|a|+1)注：途徑二在利用基本不等式|x-a|≥||x|-|a||時(shí)，涉及到是選擇|x-a|≥|x|-|a|，還是|x-a|≥|a|-|x|，應(yīng)根據(jù)與|x|有關(guān)的不等號方向選擇。本題是要將|a|放大，故選擇|x-a|≥|x|-|a|。 |a?b||a||b|? 【例3】 求證≤。 1?|a?b|1?|a|1?|b|解題思路分析： 思路一：三個(gè)分式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)完全一致，可構(gòu)造函數(shù)f(x)=2 222 x，利用f(x)的單調(diào)性放縮。1?xx(x≥0)1?x易證f(x)在[0，+∞）上遞增 令f(x)=∵ 0≤|a+b|≤|a|+|b| ∴ f(|a+b|)≤f(|a|+|b|) ∴ |a?b||a|?|b||a||b|??≤ 1?|a?b|1?|a|?|b|1?|a|?|b|1?|a|?|b||a||a||b||b|??，1?|a|?|b|1?|a|1?|a|?|b|1?|b||a||b||a||b|??? 1?|a|?|b|1?|a|?|b|1?|a|1?|b|根據(jù)結(jié)論要求，采用縮小分母增大分式的放縮技巧 ∵ ∴ ∴ 由不等式傳遞性，原不等式成立 思路二：用|a+b|≤|a|+|b|進(jìn)行放縮。但不等式左邊分式的分子、分母均含有|a+b|，必須轉(zhuǎn)化為只有一項(xiàng)含|a+b|的分式。 ∵ |a+b|≤|a|+|b| 11∴ ≥ |a?b||a|?|b| 1?11|a?b|?1?11|a?b|≤1?11|a|?|b|?|a|?|b| 1?|a|?|b|下同思路一。 【例4】 已知a，b，x∈R，ab≥0，x≠0，求證|ax?解題思路分析： 本題考慮去絕對值符號后進(jìn)行證明。 b|≥2ab。xb思路一：不等號兩邊均為非負(fù)，原不等式?(ax?)2≥(2ab)2 xb2即 ax?2?2ab≥4ab x22b2∵ ax?2≥2a2b2?2ab x22b2∴ ax?2≥4ab x?2ab22b|≥0，|ax|≥0，顯然成立 ab當(dāng)a≠0且b≠0時(shí)，由a、b>0知，(ax)?()>0 x思路二：當(dāng)a=0，或b=0時(shí)，原不等式為|∴ |ax?bbb|?|ax|?||≥2|ax|?||?2|ab|?2ab xxx2 【例5】 已知f(x)=x+ax+b，（1）求f(1)-2f(2)+f(3)；（2）證明|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個(gè)不小于解思路分析： （1）f(1)-f(2)+f(3)=2；問題（2）的求解想辦法利用（1）的結(jié)論。 這是一個(gè)存在性的命題，因正面情形較多，難以確定有幾個(gè)，故采用反證法。 假設(shè)|f(x)|< 1。2111,|f(2)|<，|f(3)|< 222111?2???2 222 則 |f(1)-2f(2)+f(3)|≤|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|< 但 |f(1)-2f(2)+f(3)|=2 由此得到矛盾。 【例6】 已知a，b∈R，|a|>1，|b|>1，且a≠b，求證：| 解題思路分析： 本題用分析法較為方便。 1?ab|>1。a?b1?ab1?ab2|?1?()?1?(1?ab)2?(a?b)2?1?a2b2?a2?b2?0 a?b a?b?(1?a2)(1?b2)?0|∵ |a|>1，|b|>1 ∴ a>1，b>1 ∴ 1-a<0，1-b<0 ∴(1-a)(1-b)>0 ∴ 原不等式成立 【例7】 設(shè)x，y∈R，x+y≤1，求證：|x+2xy-y|≤2。 解題思路分析： 也許有同學(xué)會這樣解： |x+2xy-y|≤|x|+|2xy|+|-y|=x+y+2|xy|≤x+y+x+y=2(x+y)≤2 但放縮過度，不能滿足本題要求。 根據(jù)條件“平方和”的特征，考慮用三角換元法： 令 x=rcosθ，y=rsinθ，|r|≤1 則 |x+2xy-y|=2r|sin(2θ+222222 222 222 2222222?2)|≤2r≤2 4同步練習(xí) （一）選擇題 1、已知函數(shù)f(x)=-2x+1對任意正數(shù)ε，使得|f(x1)-f(x2)|< ε成立的一個(gè)充分但不必要條件是 ?? C、|x1-x2|< D、|x1-x2|>ε 242、a，b是實(shí)數(shù)，則使|a|+|b|>1成立的充分不必要條件是 A、|x1-x2|<ε B、|x1-x2| 3、設(shè)a，b C、|a-b|<||a|-|b|| D、|a-b|<|a|+|b| 4、若a，b∈R，且|a+b|=|a|+|b|，則 ?a?0?a?0A、? B、ab?0 C、? D、ab?0 b?0b?0??11且|b|≥ C、a≥1 D、b<-1 225、已知h>0，命題甲；兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b滿足|a-b|<2h；命題乙：兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b滿足|a-1| C、甲是乙的充要條件 D、甲既不是乙的充分條件又不是乙的必要條件 |a?b| 6、不等式≤1成立的充要條件是 |a|?|b|A、ab≠0 B、a+b≠0 C、ab>0 D、ab<0 7、設(shè)a，b∈R，則|a|<1且|b|<1是ab+1>a+b的 A、充分非必要條件 B、必要非充分條件 C、充要條件 D、既非充分又非必要條件 8、已知函數(shù)f(x)=-2x+1，對于任意正數(shù)ε，使得|f(x1)-f(x2)|<ε成立的一個(gè)充分非必要條件是 A、|x1-x2|<ε B、|x1-x2|< （二）填空題 9、若|x+y|=4，則xy最大值是________。 |a||b|? 10、若a≠b，a≠0，b≠0，則______|a|?|b|（填>、≥、<、≤）。|b||a| 11、a，b∈R，則|a+b|-|a-b|與2|b|的大小關(guān)系是______________。 12、關(guān)于x的不等式|x+2|+|x-1| 22??? C、|x1-x2|< D、|x1-x2|> 23 3（三）解答題 ?2? 13、已知|a+b|<，|a-b| 233cbcb?|x1|?，?|x2|?。baba15、已知f(x)在[0。1]上有意義，且f(0)=f(1)，對于任意不同的x1，x2∈[0，1]，都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|成立，14、已知二次方程ax+bx+c=0（a>0，b>0，c>0）的兩個(gè)實(shí)根x1，x2，求證：2求證：|f(x1)-f(x2)<1。2a2?b2|a|?|b| 16、求證：≥（a，b∈R）。 2217、已知a，b∈R，|a|<1，|b|>1，求證：|1+ab|<|a+b|。 18、已知|a|<1，|b|<1，|c|<1，求證： （1）|ab?c|?1； |1?abc|（2）a+b+c 19、求證 220、已知a，b∈R，且|a|+|b|<1，求證方程x+ax+b=0的兩個(gè)根的絕對值都小于1。 21、在一條筆直的街道上住著7位小朋友，他們各家的門牌分別為3號，6號，15號，19號，20號，30號，39號，這7位小朋友準(zhǔn)備湊在一起玩游戲，問地點(diǎn)選在哪位小朋友家，才能使大家所走的路程和最短？（假定數(shù)字相連的兩個(gè)門牌號碼的房子間的距離相等）。 不等式練習(xí)題 一、選擇題 1、若a,b是任意實(shí)數(shù),且a＞b,則 （）（A）a2＞b 2（B）b11＜1 （C）lg(a-b)＞0 （D）()a＜()b a222、下列不等式中成立的是 （） 1+a≥2(a?0)at?111（C）＜(a＞b) （D）a2≥at(t＞0,a＞0,a?1)ab113、已知a >0,b >0且a +b=1, 則(2?1)(2?1)的最小值為 （） ab（A）lgx+logx10≥2(x＞1) （B） (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 4、已給下列不等式(1)x3+ 3 >2x(x∈R);(2)a5+b5> a3b2+a2b3(a ,b∈R);(3)a2+b2≥2(a－b－1), 其中正確的個(gè)數(shù)為 （） (A)0個(gè) (B)1個(gè) (C)2個(gè) (D)3個(gè) 5、f(n)= n2?1－n , ?(n)=(A)f(n) (B)f(n) (D)g(n) （）2n 6、設(shè)x2+y2 = 1, 則x +y （） (A)有最小值1 (B)有最小值(C)有最小值－1 (D)有最小值－2 7、不等式|x＋5|＞3的解集是 （）(A){x|－8＜x＜8} (B){x|－2＜x＜2}(C){x|x＜－2或x＞2＝ (D){x|x＜－8或x＞－2＝ 8、若a，b，c為任意實(shí)數(shù)，且a＞b，則下列不等式恒成立的是 （）(A)ac＞bc (B)|a＋c|＞|b＋c| (C)a2＞b(D)a＋c＞b＋c x?31x2?2x?329、設(shè)集合M={x|≤0},N={x|x+2x-3≤0},P={x|()≥1},則有 （）x?12（A）M?N=P （B）M?N?P （C）M=P?N （D）M=N=P 10、設(shè)a,b∈R,且a+b=3,則2a+2b的最小值是 （）（A）6 （B） 42（C）22 （D）26 11、若關(guān)于x的不等式ax2＋bx－2＞0的解集是???,???1??1????,???，則ab等于（）2??3?(A)－24 (B)24 (C)14 (D)－14 12、如果關(guān)于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0對一切實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是 （）(A)(??,2] (B)(??,?2) (C)(?2,2] (D)(－2,2) 13、設(shè)不等式f(x)≥0的解集是[1，2]，不等式g(x)≥0的解集為?，則不等式 f(x)?0的解集是 （）g(x)(A)? (B)(??,1)?(2,??) (C)[1，2] (D)R 14、xx的解集是 （）?x?2x?(A)(－2,0) (B)(－2,0) (C)R (D)(－∞,－2)∪(0,+ ∞) 15、不等式3?1?x?3的解集是 （） 3(A)(－∞,1) (B)(33,1) (C)(,1) (D)R 4 4二、填空題 1、若x與實(shí)數(shù)列a1,a2,…,an中各數(shù)差的平方和最小,則x=________.2、不等式xlog1x21?的解集是________.x3、某工廠產(chǎn)量第二年增長率是p1,第三年增長率是p2,第四年增長率是p3且p1＋p2＋p3=m(定值),那么這三年平均增長率的最大值是________.b224、a≥0,b≥0,a＋=1,則a1?b的最大值是________.225、若實(shí)數(shù)x、y滿足xy＞0且x2y=2,則xy＋x2的最小值是________.6、x＞1時(shí)，f(x)=x＋116x的最小值是________，此時(shí)x=________.?2xx?1 7、不等式log4(8x－2x)≤x的解集是________.8、不等式11的解集是________.?xx4?12? 329、命題①：關(guān)于x的不等式(a－2)x＋2(a－2)x－4＜0對x?R恒成立;命題②：f(x)=－(12x－3a－a)是減函數(shù).若命題①、②至少有一個(gè)為真命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.10、設(shè)A={x|x≥ 三、解答題 1,x?R},B={x|2x?1＜3,x?R＝,則D=A∩B=________.xx2?9x?111、解不等式：2≥7.x?2x? 12、解不等式：x4－2x3－3x2＜0.3、解不等式：9x?5≥－2.x2?5x?624、解不等式：9?x?26x?x2＞3.5、解不等式：x?3x?2＞x＋5.6、若x2＋y2=1，求(1＋xy)(1－xy)的最大、最小值。 7、若x,y＞0，求x?yx?y的最大值。 8、已知關(guān)于x的方程x2＋(m2－1)x＋m－2=0的一個(gè)根比－1小，另一個(gè)根比1大，求參數(shù)m的取值范圍。 9、解不等式：loga(x＋1-a)>1.10解不等式8?x?x?3.不等式練習(xí)答案 一、DADCB DDDAB BCBAB 二、1、321m(a1＋a2＋…＋an)2、0＜x＜1或x＞2 3、4、5、3 4n31?5)8、0＜x＜log23 9、-3＜x≤2 6、8,2＋ 37、(0,log2210、－12≤x＜0或1≤x＜4 三、1、[－12,1]∪(1,43) 2、(－1,0)∪(0,3) 3、(－∞,2)∪(3,＋∞) 5、(－∞,－2313)6、1，347、28、－2＜m＜0 9、解：(I)當(dāng)a>1時(shí)，原不等式等價(jià)于不等式組：??x?1?a?0，?x?1?a?a.解得x>2a-1.(II)當(dāng)0 當(dāng)0 或(2)???8?x?0?8?x?(x?3)2?x?3?0 由(1)得3?x?5?212，由(2)得x＜3，故原不等式的解集為??x|x?5?21??2? ? 4、(0,3)第二篇：基本不等式復(fù)習(xí)學(xué)案
第三篇：一次不等式復(fù)習(xí)教案
第四篇：高二_不等式的證明講義
第五篇：高二數(shù)學(xué)不等式練習(xí)題及答案(經(jīng)典)
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