第一篇：課例設(shè)計：勾股定理的驗證及簡單應(yīng)用
課例設(shè)計：股定理的驗證及簡單應(yīng)用
●山東省博興縣純化鎮(zhèn)中學(xué) 張海生 郵編：256507 設(shè)計說明: 本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是人教2005版八年級數(shù)學(xué)下冊 P72-75《18.1勾股定理》.一、教學(xué)目標(biāo)
1、知識目標(biāo)：
（１）經(jīng)歷用拼圖法（“演段算法”）驗證勾股定理的過程，進(jìn)一步理解掌握勾股定理；
（２）了解勾股定理的歷史，初步掌握勾股定理的簡單應(yīng)用.２、能力目標(biāo)：
經(jīng)歷觀察、歸納、猜想和驗證的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程，發(fā)展合情合理的推理能力，溝通數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，體會形數(shù)結(jié)合的思想； ３、情感目標(biāo)：
（１）通過對勾股定理歷史的了解和實例應(yīng)用，體會勾股定理的文化價值.（２）通過獲得成功的經(jīng)驗和克服困難的經(jīng)歷，增進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心；對比介紹我國古代和西方數(shù)學(xué)家關(guān)于勾股定理的研究，對學(xué)生進(jìn)行愛國主義教育.二、教學(xué)重點、難點
拼圖驗證勾股定理蘊涵著如“數(shù)形結(jié)合”等豐富的數(shù)學(xué)思想，同時還關(guān)注學(xué)生是否能與同伴進(jìn)行有效的合作交流，關(guān)注學(xué)生是否積極的進(jìn)行思考，關(guān)注學(xué)生能否探索出解決問題的方法，為了使這些要求在課堂中得到較好的體現(xiàn)，本節(jié)課重點確定為：通過拼圖驗證勾股定理及其在數(shù)學(xué)發(fā)展史中的作用；在勾股定理的應(yīng)用過程中使學(xué)生獲得一些研究問題與合作交流的方法經(jīng)驗.其中利用“數(shù)形結(jié)合”的方法驗證勾股定理是本節(jié)難點.三、教學(xué)實錄
１、創(chuàng)設(shè)情境 引入勾股定理
教師：上課開始，先請同學(xué)們欣賞一棵“美麗的勾股樹”.漂亮嗎？
學(xué)生：哇！太漂亮了！
（幾何畫板課件展示動態(tài)上圖，同時閃爍畫圈圖形，這足以讓學(xué)生震憾.第一步“預(yù)設(shè)”成功.創(chuàng)設(shè)的“美麗”卻又“神秘”情境，能夠充分地調(diào)動不同層次學(xué)生的“有意識注意”及積極主動性，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)愿望和參與動機，體驗 “數(shù)學(xué)的美”.）
教師：再請同學(xué)們欣賞伴隨著我們的課本封面，從電腦中飛出的“弦圖”.學(xué)生：課本封面？?。ㄓ械膶W(xué)生翻閱課本封面，說明對于此雖然“熟視”卻又“無睹”.但是此時學(xué)生好像有所悟.以“課本封面弦圖”創(chuàng)設(shè)情境，再一次讓學(xué)生經(jīng)歷和感受“生活處處是數(shù)學(xué)”.）
教師：這兩個圖形中蘊藏著反映自然界規(guī)律的一條重要結(jié)論，它歷史悠久，在數(shù)學(xué)的發(fā)展中起著重要的作用，現(xiàn)實中也有廣泛的應(yīng)用——勾股定理.（課件閃爍突出“弦圖”，并從圖片中分離出如上兩圖形.引出課題.）
2、勾股定理的探索及驗證(1)猜想結(jié)論
教師：如圖1、2所示，已知直角三角形的兩條直角邊是a、b，斜邊長為c，猜想一下它的三邊之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？并運用圖形驗證你與同伴找到的結(jié)論.學(xué)生：a2+b2=c2??勾股定理.（大部分學(xué)生幾乎脫口而出.這也意味著學(xué)生已經(jīng)預(yù)習(xí)，并且明確了老師前一環(huán)節(jié)所創(chuàng)設(shè)情境的目的.顯然教師“預(yù)設(shè)”不成功.根據(jù) “課堂現(xiàn)場”發(fā)生的情況，適時調(diào)整“預(yù)案”，舍去“發(fā)現(xiàn)結(jié)論”教師的啟發(fā)，轉(zhuǎn)為“結(jié)論驗證”故事學(xué)生的講解，以使教學(xué)活動收到更好的效果.）
教師：非常正確，是勾股定理.相信大家，已經(jīng)閱讀過有關(guān)勾股定理的知識！有誰能給同學(xué)們講一下？！（順?biāo)浦郏?/p>
(2)學(xué)生講解 驗證結(jié)論
學(xué)生1：相傳2500年前，古希臘著名的數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯，有一次在朋友家做客時，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面(如右圖)中反映了直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系.相傳為了慶祝這一定理的發(fā)現(xiàn)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派殺了一百頭牛酬謝供奉神靈，因此這個定理又叫做“百牛定理”.進(jìn)而我們也可以借助于“畢達(dá)哥拉斯”的方法，將圖1放在方格紙中進(jìn)行驗證：直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.（學(xué)生很自信并爭先恐后的給學(xué)生介紹.教師同時展示“預(yù)案”中的課件片段如圖3.）
學(xué)生2：我知道：還有古巴比倫人在三千多年前也了解到這條定理.學(xué)生3：你們是不是有點“崇洋媚外”了.其實，我國早在三千多年前商高與周公的一段對話中就提到了“勾三，股四，弦五”，所以曾一度把它叫做“商高定理”或“勾股弦定理”.我國古代的數(shù)學(xué)家們不僅很早發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理，而且嘗試對勾股定理進(jìn)行理論
性的證明.最早對勾股定理進(jìn)行
證明的是三國時期的數(shù)學(xué)家趙爽.他在注解數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》提到，勾股術(shù)(即勾股的計算方法)是禹在治理洪水計算水位差的過程中發(fā)現(xiàn)的.趙爽創(chuàng)造了一幅“勾股圓方圖” 即我們的圖2來證明勾股定理，后來人們稱它為“趙爽弦圖”.我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較
長的邊稱為股，斜邊稱為弦，所以，把它叫做勾股定理（師展示圖4）
學(xué)生4：2002年在北京召開了第24屆國際數(shù)學(xué)家大會，“趙爽弦圖” 還成為大會會徽的圖案呢?。◣熣故緢D5）.教師：太棒了！看來同學(xué)們是縱覽古今中外，悉知勾股定理.老師真心希望同學(xué)們在學(xué)習(xí)知識的同時，還要注意這些故事的人文價值.畢達(dá)哥拉斯告訴我們：看似平淡無奇的現(xiàn)象有時卻蘊藏著深刻的道理.趙爽給我們展示的我國的古代文明，相信現(xiàn)代文明下的你們，將來一定能發(fā)揚中華民族的智慧更好、更快、更強的建設(shè)我們的國家！學(xué)生：呵呵.（學(xué)生笑了）
(3)驗證結(jié)論
教師：其實“趙爽弦圖”?? 學(xué)生5：老師，對于畢達(dá)哥拉斯的方法?我?我不是很明白??您看??（話沒說完，被學(xué)生的提問打斷了.筆者愕然，完全出乎意料之外，“預(yù)設(shè)”又一次失敗.）教師：別著急！大家一塊幫幫他吧！（學(xué)生1和同小組內(nèi)的學(xué)生主動與學(xué)生5交流.其他的學(xué)生也交流起來！“這里應(yīng)該沒有什么問題？還是放手讓學(xué)生合作探究出現(xiàn)的問題吧.說不定能碰撞出現(xiàn)思維的火花！”）教師：可以了嗎？你能給大家介紹一下交流的結(jié)果嗎？ 學(xué)生5：對于畢達(dá)哥拉斯的方法：由于等腰直角三角形是一種特殊的直角三角形.我們在一張學(xué)案紙上作出一
個等腰直角三角形，并分別以此直角三角形的三邊為邊向形外作三個正方形.按圖6將藍(lán)色小正方形分①、②、③、④剪下，然后拼成在紅色大正方形上，正好覆蓋，說明面積相等.即等腰直角三角形直角邊的平方和等于斜邊的平方.還可以按圖7將①、②、③、④拼在紅色大正方形周圍進(jìn)行驗證.對于一般的直角三角形如圖8也可以不利用網(wǎng)格線直接計算面積，而是直接把圖形進(jìn)行“割”和“補”驗證.最大的正方形的面積是由以c為邊長的正方形和四個直角三角形組成，即（a+b）22= c+4×1/2ab，進(jìn)而驗222證得出a+b=c.（學(xué)生實物投影展示自己的作圖）教師：“人多力量大，眾人拾柴火焰高”，“團(tuán)隊”的力量是無窮的.學(xué)習(xí)也是如此，對于不懂的問題一定要知道“合作”.其實老師剛才要講的就是這種驗證的方法.“趙爽弦圖”是我國“演段算法”的起源.所謂“演段算法”，就是把圖形作適當(dāng)?shù)?“分割”，然后進(jìn)行 “移補湊合”而使問題得到解決的一種數(shù)學(xué)方法.這種方法對于大家應(yīng)該不陌生，因為在學(xué)習(xí)整式的運算，中平方差公式、完全平方公式就是用拼222圖如圖推出(a+b)=a+2ab+b的.（課堂上老師大膽的放手讓學(xué)生合作探究出現(xiàn)的問題，也許 是“教師的課堂智慧”吧.）
教師：再來展示一下古代數(shù)學(xué)家趙爽的證明思路.由（3）圖知c= 1/2 ab×4+(b-a)，化簡得c=a+b.（學(xué)生點頭微笑，為趙爽的證明所折服.）正因為此，“趙爽弦圖”才成為2002年在北京召開的了第24屆國際數(shù)學(xué)家大會會徽圖案.（學(xué)生又一次點頭.可能是為古代數(shù)學(xué)家的聰明才智所動容.）2
222
2(3)拓廣、延伸驗證
教師：數(shù)學(xué)家確實偉大！其實數(shù)學(xué)家就在我們身邊！學(xué)生：呵呵，不可能.（學(xué)生驚喜，但有點懷疑“老師是
激勵我們嗎？還是……”）
教師：學(xué)生5的圖8中就有一種簡單的方法.學(xué)生：不會吧！（就連學(xué)生老師學(xué)生1也不相信.此時教師只是在學(xué)生5的圖8上輕輕一畫，如圖9.）學(xué)生：真的是!學(xué)生5真是不得了！（學(xué)生5的笑容表明：自信心提高了?。?/p>
教師：相信自己就是數(shù)學(xué)家！中國數(shù)學(xué)的發(fā)展還要靠大家的努力！加油！
教師：勾股定理的驗證方法不勝枚舉，據(jù)統(tǒng)計有400多種，僅由盧米斯1940年編寫的《畢達(dá)哥拉斯定理》一書就搜集了370種證明方法.參與尋求方法的不僅是數(shù)學(xué)家還有總統(tǒng)呢！1876年4月1日，美國俄亥俄州共和黨議員加菲爾德，頗有興趣地《在新英格蘭教育雜志》上發(fā)表了勾股定理的一個證明方法.據(jù)他說，這是一種思維體操，并且還調(diào)皮地聲稱，他的這個證明是得到兩黨議員“一致贊同的”.由于1881年加菲爾德當(dāng)上了美國第二十屆總統(tǒng)，這樣，他曾提出的那個證明也就成了數(shù)學(xué)史上的一段佳話.學(xué)生: 能給我們介紹一下這位總統(tǒng)的證明方法嗎? 師：可以.如圖10所示.這就是這位總統(tǒng)用兩個全等的直角三角形拼出的圖形，大家不妨與上面的方法用全等的4個直角三角形
拼出來的圖形對比一下，看有什么聯(lián)系.學(xué)生：總統(tǒng)拼出的圖形恰好是上面方法拼出的大正方形的一半.教師： 同學(xué)們不妨自己從圖10中推導(dǎo)出勾股定理.學(xué)生6：圖10形整體上拼成一個直角梯形.所以它的面積有兩種表示方法: 既可以表示為 1/2(a+b)×
2(a+b)，又可以表示為 1/2 ab×2+ 1/2 c.對比兩種表示
2方法可得 1/2(a+b)×(a+b)=1/2 ab×2+ 1/2 c.化簡，222
可得a+b=c.教師：很好.同學(xué)們?nèi)绻信d趣的話，不妨自己也去尋找?guī)追N證明勾股定理的方法.（可以指導(dǎo)學(xué)生在Internet網(wǎng)查詢?yōu)g覽或到圖書室查找相關(guān)資料；也可以給學(xué)生準(zhǔn)備的閱讀資料《勾股定理的證明》作為學(xué)案附件.）
教師：好，前面同學(xué)們驗證了直角三角形三邊滿足的222
關(guān)系a+b=c.那么銳角三角形或鈍角三角形的三邊是否也滿足這一關(guān)系呢?.觀察圖11，用數(shù)格子的方法判斷圖中兩個三角形的三邊關(guān)系是否也滿足.教師：圖11中的△ABC和△A′B′C′是什么三角形? 學(xué)生：不難看出△ABC中，∠BCA>90°.△ A′B′C′中，三個內(nèi)角都是銳角，所以△ABC是鈍角三角形，△A′B′C′是銳角三角形.教師：△ ABC的三邊上“長”出三個正方形.誰來幫老師數(shù)一下每個正方形含有幾個小格子? 學(xué)生7：以b為邊長的正方形含有9個小格子，所以這個正方形的面積b 2=9個單位面積；以a為邊長的正方形中含有8個小格子，所以這個正方形的面積a2
=8個單位面積；以c為邊長的正方形中含有29個小格子，所以這個正方形的面積c2=29個單位面積.a2+b2=9+8=17，而c2=29，所以在鈍角三角形ABC中，a2+b2≠c2.教師：那么在銳角三角形A′B′C′中又如何呢? 學(xué)生：以a為邊長的正方形含5個小格子，所以a2
=5個單位面積；以b為邊長的正方形含有8個小格子，所以b2=8個單位面積；以c為邊長的正方形含9個小格子，所以c2=9個單位面積.而a2+b2
=5+8=13≠9，所以在銳角三角形 A′B′C′中，a2+b2≠c2
.(4)歸納定理 驗證繼續(xù)
教師：通過對上面兩個圖形的討論我們可進(jìn)一步認(rèn)識到，只有在直角三角形中，三邊a、b、c才有a2+b2=c
2(2 其中a、b是直角邊，c為斜邊)這樣的關(guān)系成立.（板書勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2）.學(xué)生8：老師，我發(fā)現(xiàn)在鈍角三角形ABC中，雖然a2+b2≠c2，但它們之間也有一種關(guān)系: a2+b2
教師：同學(xué)們對于勾股定理的探究與驗證非常成功！也知道了勾股定理是研究了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.其實大家不知道發(fā)現(xiàn)了沒有，勾股定理就在我們的生活中，并且應(yīng)用非常廣泛.例題：健媽媽買了一部29英寸（74厘米）的電視機.曉健量了電視機的屏幕后，發(fā)現(xiàn)屏幕只有58厘米長和46厘米寬，他覺得一定是售貨員搞錯了.你同意他的想法嗎？你能解釋這是為什么嗎？
學(xué)生1：由于29英寸的電視機指的是其屏幕對角線長為74厘米.因此抽象出圖形直角△ABC，其中AB=74.如果在△ABC中AC=46，BC=58，利用勾股定理得到：AB2= AC2+ BC，進(jìn)一步求得AB的值，即可驗證售貨員是否搞錯了.4、反悟課堂 簡記收獲
教師：太棒了！看來這節(jié)課，同學(xué)們不僅有效的探究、驗證了勾股定理，而且能夠運用勾股定理解決生活中的問題！相信一定收獲頗豐！與同伴交流一下，并將自己的所得寫在數(shù)學(xué)日記中.（日記摘錄：①本節(jié)課探索、驗證直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.②還利用勾股定理，解決生活中的問題.③方法歸納：一是數(shù)方格看圖找關(guān)系，利用面積不變的方法；二是用直角三角形三邊表示正方形的面積，“割補演段算法”.④知道了關(guān)于勾股定理相關(guān)歷史、驗證方法和人文價值.⑤我們一定要學(xué)習(xí)趙爽等古人的智慧，為我國數(shù)學(xué)的發(fā)展做出點貢獻(xiàn).⑥查閱資料知道：目前世界上許多科學(xué)家正在試圖尋找其他星球的“人”，為此向宇宙發(fā)出了許多信號，如地球上人類的語言、音樂、各種圖形等．我國數(shù)學(xué)家華羅庚曾建議，發(fā)射一種反映勾股定理的圖形，如果宇宙人是“文明人”，那么他們一定會識別這種語言的．這個事實可以說明勾股定理的重大意義．尤其是在兩千年前，是非常了不起的成就．勾股定理還有一個名字叫做“驢橋定理”，但是在課堂上老師沒有講到……）
5、帶著勾股定理 走進(jìn)生活
作業(yè)1：圖（甲）所示，一個梯子AB長2.5m，頂端A靠在墻AC上，這時梯子下端B與墻角C的距離為1.5m，梯子滑動后停在DE的位置上，如圖3（乙）所示，測得BD長為0.5m，求梯子頂端A下落了多少m.作業(yè)2：Internet網(wǎng)查詢?yōu)g覽有關(guān)勾股定理的知識 作業(yè)3：探究“勾股樹”的奧秘.（與情境引入部分前后呼應(yīng).）
作者簡介：
張海生，男，中學(xué)二級數(shù)學(xué)教師.山東省博興縣初中數(shù)學(xué)教學(xué)能手.從教10年來，教學(xué)成績優(yōu)異.撰寫的多篇教育教學(xué)論文發(fā)表在《中國教師報》、《基礎(chǔ)教育參考》、《上海教育》、《德育報》、《新課程研究》、《中國中學(xué)生報》、《現(xiàn)代教育導(dǎo)報》等國家、省級報刊雜志上.如《淺談現(xiàn)代教育技術(shù)中的媒體應(yīng)用問題》2006年發(fā)表于《基礎(chǔ)教育參考》雜志，《再談教材中的折疊問題》2007.3發(fā)表于《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考.初中版》，還有《讓數(shù)學(xué)課堂沖滿濃郁的文學(xué)色彩》發(fā)表在山東省教師教育學(xué)會會刊《創(chuàng)新教育》2008年第一輯發(fā)表等；輔導(dǎo)類文章200余篇發(fā)表在《中學(xué)生數(shù)理化》、《中學(xué)生數(shù)學(xué)》、《數(shù)學(xué)輔導(dǎo)報》、《少年智力開發(fā)報.數(shù)學(xué)專頁》、《學(xué)苑新報》、《數(shù)學(xué)周報》上.并有50多個課件收錄在教育部信息技術(shù)在教學(xué)中的應(yīng)用重大課題研究成果《華夏教育軟件系列中學(xué)數(shù)學(xué)多媒體課件人教課標(biāo)版課時課件》中.2007年參與了市級課題“十一五”重點課題“實施教學(xué)案一體化 促進(jìn)師生共同發(fā)展”的研究.山東省博興縣純化鎮(zhèn)中學(xué)
張海生 郵編：256507 E-MAIL: zhanghaisheng200412@yahoo.com.cn 聯(lián)系電話:***
第二篇：勾股定理的驗證教學(xué)設(shè)計
課題學(xué)習(xí)：利用拼圖驗證勾股定理
初四 王江波
教學(xué)目標(biāo)：
1．經(jīng)歷綜合運用已有知識解決問題的過程，在此過程中加深對勾股定理的認(rèn)識。
2．經(jīng)歷不同的拼圖方法驗證勾股定理的過程，體驗解決同一問題方法的多樣性，進(jìn)一步體會勾股定理的文化價值。
3．通過豐富有趣的拼圖活動，經(jīng)歷觀察、比較、拼圖、計算、推理交流等過程，發(fā)展空間觀念和有條理地思考和表達(dá)的能力，獲得一些研究問題與合作交流的方法與經(jīng)驗。
4．通過獲得成功的體驗和克服困難的經(jīng)歷，增進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心。通過豐富有趣拼的圖活動增強對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。教學(xué)重點：
拼圖驗證勾股定理 教學(xué)難點：
利用“五巧板”拼出不同圖形進(jìn)行驗證勾股定理。教學(xué)方法：
小組交流合作 學(xué)生動手操作 教師利用多媒體課件演示 課前準(zhǔn)備：
學(xué)生：根據(jù)課本制作“五巧板”模型 教師：制作幾何畫板演示課件 教學(xué)過程：
一、導(dǎo)入新課：
勾股定理是數(shù)學(xué)史上一個非常寫生要的定理，早在3600多年前，古巴比倫人就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了勾股定理，我國約在3000多年前發(fā)現(xiàn)了勾股定理，而在西方，2000多年前的畢達(dá)格拉斯學(xué)派道德證明了勾股定理，所以在國際上一般把它稱之為畢達(dá)格拉斯定理，傳說畢達(dá)格拉斯學(xué)派在發(fā)現(xiàn)了勾股定理以后宰了100頭牛慶祝，所以又稱為“百牛定理”。
勾股定理是數(shù)學(xué)史上證明方法最多的一個定理，有一千多種證法，總體上可分為三大類：一是通過嚴(yán)密的理論推導(dǎo)證明，由于知識所限，我們這里不做研究；二是通過一些圖形的面積計算進(jìn)行驗證，比如我們在前面接觸過的一個證法，如圖：
由學(xué)生根據(jù)圖形回答： bac(a?b)?222122ab?4?c22a?2ab?ba?b2?2ab?c2
?c 三國時期吳國數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注解時，創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，也稱為“弦圖”，這是我國對勾股定理最早的證明。2002年世界數(shù)學(xué)家大會在北京召開，這屆大會會標(biāo)的中央圖案正是經(jīng)過藝術(shù)處理的“弦圖”，標(biāo)志著中國古代數(shù)學(xué)成就。你能根據(jù)這幅弦圖來說明勾股定理嗎？
學(xué)生思考作答： cbacc2?122ab?4?(b?a)22222?2ab?a?b?2ab?c2
a?b上面的第一幅圖也是畢達(dá)格拉斯用來說明勾股定理的圖形，不過它是通過另一種簡單的方式來驗證的，如圖：
bac
他通過圖形的移動拼接，左圖中的空白部分與右圖中空白部分的面積是相同的，而左圖中的空白部分面積是c2,右圖中空白部分的面積是a2+b2，所以有a2+b2=c2，這種方法簡單明了，這也就是勾股定理證明中的第三類：利用拼圖驗證。我們這一節(jié)課就通過自己的努力，來感受一下拼圖驗證勾股定理的奧妙。
二、新授：
1．教師介紹“五巧板”的制作方法及特點，學(xué)生拿出準(zhǔn)備好的硬紙板制作的“五巧板”。步驟：做一個Rt△ABC，以斜邊AB為邊向內(nèi)做正方形ABDE，并在正方形內(nèi)畫圖，使DF⊥BI，CG=BC，HG⊥AC，這樣就把正方形ABDE分成五部分①②③④⑤。
沿這些線剪開，就得到了一幅五巧板.通過制作方法不難看出，這五塊板組合成的面積就是c2，我們只要能通過這五塊板組合成兩個邊長分別為a、b的正方形，就可以驗證勾股定理。
2．學(xué)生活動：利用五巧板拼成兩個邊長分別為a、b的正方形。（給學(xué)生充分的時間進(jìn)行拼圖、思考、交流經(jīng)驗，對于有困難的學(xué)生教師要給予適當(dāng)引導(dǎo)。）
25431 3．演示學(xué)生的拼圖并加以點撥：
1、3可以拼在一起，2、4、5可以拼在一起。
4．用上面的兩幅五巧板，還可共同拼出其它圖形，在圖形中既可看出5塊板拼成的邊長為c的正方形，還能看出邊長為a、b的正方形，從而驗證勾股定理。如圖，教師演示一個，然后學(xué)生親自實踐，小組合作操作，加深對五巧板拼圖驗證勾股定理的理解，在學(xué)生有結(jié)果時加以展示。（這個問題要給予學(xué)生充足的時間和空間進(jìn)行討論和拼圖，教師在這要引導(dǎo)適度，不要限制學(xué)生思維，同時鼓勵學(xué)生在拼圖過程中進(jìn)行交流合作。）
2c54abcba413a5、在學(xué)生完成上面拼圖過程后，教師進(jìn)一步介紹幾種拼圖驗證勾股定理的方法：
（1）青朱出入圖：我們中國古人利用拼圖驗證勾股定理的方法，這只是其中一種，還有多種分割拼接的方式，課后同學(xué)們可以自己試試看。BIAHCA
（2）達(dá)芬奇的證明方法：
（3）西方出現(xiàn)的一種拼圖證法：
三、課堂總結(jié)
從這節(jié)課中你有哪些收獲？
（教師應(yīng)給予學(xué)生充分的時間鼓勵學(xué)生暢所欲言，只要是學(xué)生的感受和想法，教師要多鼓勵、多肯定。最后，教師要對學(xué)生所說的進(jìn)行全面的總結(jié)。）
在學(xué)生總結(jié)的基礎(chǔ)上給學(xué)生課件展示勾股樹，激發(fā)學(xué)生的興趣。
四、檢測：下面是美國總統(tǒng)伽菲爾德對勾股定理的一個證法的圖形，你能利用這個圖形來說明勾股定理嗎？
ba ccba
第三篇：14.1.2 勾股定理的驗證及簡單應(yīng)用(說課稿)
八年級數(shù)學(xué)上
14.1.2
勾股定理的驗證及簡單應(yīng)用
新甸一初中
肜合雨
14.1.2
勾股定理的驗證及簡單應(yīng)用
一、教材分析
1、教材所處的地位與作用
勾股定理是反映自然界規(guī)律的一條重要結(jié)論，它歷史悠久，在數(shù)學(xué)的發(fā)展中起著重要的作用，現(xiàn)實中有廣泛的應(yīng)用。勾股定理的發(fā)現(xiàn)、驗證及應(yīng)用蘊涵著豐富的文化價值。它從邊的角度進(jìn)一步對直角三角形的特征進(jìn)行了刻畫。
本節(jié)是學(xué)生經(jīng)歷了勾股定理的發(fā)現(xiàn)這一探索過程后的進(jìn)一步學(xué)習(xí)，它的主要內(nèi)容是對勾股定理的拼圖驗證及簡單應(yīng)用。教材一開始要求學(xué)生運用四個全等的直角三角形進(jìn)行拼圖，來驗證勾股定理的正確性，并不失時機地給學(xué)生介紹“弦圖”，通過它讓學(xué)生體會勾股定理的文化價值，在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生利用勾股定理來解決一些實際問題。
2、教學(xué)重、難點的確定
教學(xué)重、難點：重點：通過拼圖驗證勾股定理及勾股定理的應(yīng)用過程，使學(xué)生獲得一些研究問題與合作交流的方法經(jīng)驗。難點：利用數(shù)形結(jié)合的方法驗證勾股定理?！驹O(shè)計意圖】
關(guān)注學(xué)生是否能與同伴進(jìn)行有效的合作交流； 關(guān)注學(xué)生是否積極的進(jìn)行思考；
關(guān)注學(xué)生能否探索出解決問題的方法。
本節(jié)知識通過 “ 拼圖實踐—探索驗證—分析結(jié)果—運用定理 ” 等活動過程，使學(xué)生進(jìn)一步理解勾股定理，并從中學(xué)會思考，學(xué)會探索，學(xué)會運用，學(xué)會交流，體會知識反映出來的豐富的文化內(nèi)涵，指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識現(xiàn)實世界中蘊涵著的數(shù)學(xué)信息。
二、教學(xué)目標(biāo)的確定
教學(xué)目標(biāo)是一堂課的中心任務(wù)，它只有在豐富多彩的數(shù)學(xué)活動中才能充分實現(xiàn)。一堂課的教學(xué)目標(biāo)應(yīng)全面、適度、明確、具體，便于檢測。據(jù)此特定目標(biāo)為： 【知識目標(biāo)】
（１）經(jīng)歷用拼圖法驗證勾股定理的過程，進(jìn)一步理解掌握勾股定理；（２）了解勾股定理的歷史，初步掌握勾股定理的簡單應(yīng)用?！灸芰δ繕?biāo)】
經(jīng)歷觀察、歸納、猜想和驗證的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程，發(fā)展合情合理的推理能力，溝通數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，體會形數(shù)結(jié)合的思想； 【情感目標(biāo)】
（１）通過對勾股定理歷史的了解和實例應(yīng)用，體會勾股定理的文化價值。
（２）通過獲得成功的經(jīng)驗和克服困難的經(jīng)歷，增進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心。
三、教學(xué)方法的選擇： 數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想和方法必須由學(xué)生在現(xiàn)實的數(shù)學(xué)活動實踐中理解和發(fā)展；因此在教學(xué)中，以學(xué)生為本位，充分挖掘教材的空間，為學(xué)生搭建動手實踐、自主探索、合作交流的平臺；注重讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的形成過程，充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，并通過這個過程，使學(xué)生體驗學(xué)習(xí)成功的樂趣，在積極的思維中獲取知識，發(fā)展能力。
四、教學(xué)程序的設(shè)計
1、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課
情境的創(chuàng)設(shè)能夠充分地調(diào)動學(xué)生的積極主動性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)愿望和參與動機，是引導(dǎo)學(xué)生主動學(xué)習(xí)的前提。
初步體會勾股定理的文化價值，為下一步的拼圖作鋪墊。
2、自主實踐，探索驗證
《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)?！币虼耍趯W(xué)習(xí)中要求學(xué)生分學(xué)習(xí)小組，動手實踐，積極思考，獲得技能與解決問題的方法。關(guān)注學(xué)生動手實踐,關(guān)注學(xué)生主動探索與合作交流,關(guān)注學(xué)生積極思考,給學(xué)生思維表達(dá)的時間、空間，讓學(xué)生經(jīng)歷探索知識的過程，并在這個過程中得到發(fā)展.兩種拼圖方案：
3、應(yīng)用定理，解決問題
數(shù)學(xué)源于實踐，運用于實踐；
開放性處理教材，鼓勵學(xué)生充分地發(fā)表意見，表現(xiàn)自我，讓學(xué)生在教師營造的“創(chuàng)新土壤”中成為主人；
給學(xué)生思維以廣闊的空間，培養(yǎng)學(xué)生從多角度運用所學(xué)知識尋求解決問題的能力。
4、鞏固、延伸、拓展
《課程標(biāo)準(zhǔn)》要求我們的學(xué)生學(xué)會“嘗試從不同的角度尋求解決問題的方法，并能有效地解決問題．”同時又提出“不同的人在數(shù)學(xué)上有不同的發(fā)展．”
練習(xí)上我立足于鞏固，著眼于發(fā)展，同時兼顧差異，滿足少數(shù)同學(xué)渴望發(fā)展的要求．
5、欣賞體會，豐富自我
向?qū)W生展示勾股定理的有關(guān)史料． 【設(shè)計意圖】
讓學(xué)生更好地體會勾股定理的豐富內(nèi)涵與文化背景，陶冶情操，豐富自我，從中得到深層次的發(fā)展．
第四篇：驗證勾股定理的證明
驗證勾股定理的證明—拼圖的應(yīng)用
幾何學(xué)里有一個非常重要的定理，在我國叫 “勾股定理”或“商高定理”，在國外叫“畢達(dá)哥拉斯定理”。相傳畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)這個定理后欣喜若狂，宰了100頭牛大肆慶賀了許多天，因此這個定理也叫“百牛定理”。勾股定理不僅是最古老的數(shù)學(xué)定理之一，也是數(shù)學(xué)中證法最多的一個定理。但是，在現(xiàn)實中，有什么方法，可以證明勾股定理呢？看著三角形的邊邊角角讓我想到七巧板，拼圖。
于是我動手做了幾個五巧板，如下圖：
b 然后，利用這些五巧板我做了以下實驗：
1）用兩副五巧板，將其中的一副拼成一個以c為邊長的正方形；將另一副拼成兩個邊長分別為a、b的正方形。
523 b 4 5a
S1、S2、S3、S4、S5組成；
S1、S3組成；
S2、S4、S5
2）用上面的兩副五巧板，還可以拼出如下所示的圖形：5 353
a
通過上面兩個實驗，利用現(xiàn)實生活得物體驗證了勾股定理，使我對這個定理的理解和應(yīng)用有了更深的體會。
第五篇：《勾股定理的應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計
《勾股定理的應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計
——解決立體圖形表面上最短路線的問題
貞豐縣第二中學(xué) 李政法
一、內(nèi)容及內(nèi)容解析
1、內(nèi)容
勾股定理的應(yīng)用——解決立體圖形表面上最短路線的問題。
2、內(nèi)容解析
本節(jié)課是勾股定理在立體圖形中的一個拓展，在初中階段，勾股定理在求兩點間的距離時，溝通了幾何圖形和數(shù)量關(guān)系，發(fā)揮了重要的作用，在中考中有席之地。啟發(fā)學(xué)生對空間的認(rèn)知，為將來學(xué)習(xí)空間幾何奠定基礎(chǔ)。
二、教學(xué)目標(biāo)
1、能把立體圖形根據(jù)需要部分展開成平面圖形，再構(gòu)建直角三角形，利用兩點間線段最短勾股定理求最短路徑徑問題。
2、學(xué)會觀察圖形，勇于探索圖形間的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念;在將實際問題抽象成幾何圖形過程中，提高分析問題、解決問題的能力及滲透數(shù)學(xué)建模的思想。
3、通過有趣的問題提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣;在解決實際問題的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的合作交流能力，體驗數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實用性，增強自信心，體現(xiàn)成功感。
三、教學(xué)重難點
【重點】：探索、發(fā)現(xiàn)立體圖形展開成平面圖形，利用兩點間線段最短勾股定理求最短路徑徑問題。
【難點】：尋找長方體中最短路線。
四、教學(xué)方法
本課采用學(xué)生自主探索歸納教學(xué)法。教學(xué)中，學(xué)生充分運用多媒體資源及大量的實物教具和學(xué)具，通過觀察、思考、操作，歸納。
五、教學(xué)過程
【復(fù)習(xí)回顧】
右圖是濕地公園長方形草坪一角，有人避開拐角在草坪內(nèi)走出了一條小路，問這么走的理論依據(jù)是什么？若兩步為1m，他們僅僅少走了幾步？
目的：1、復(fù)習(xí)兩點之間線段最短及勾股定理，為新課做準(zhǔn)備；2、激起學(xué)生保護(hù)環(huán)境意識和對社會主義核心價值觀“文明、友善”的踐行。
思考：
如圖，立體圖形中從點A到點B處，如何找到最短路線呢？
目的：引出課題。
【臺階中的最值問題】
三級臺階示意圖如圖所示，每級臺階的長、寬、高分別為5dm、3dm和1dm，請你想一想，一只螞蟻從點 A 出發(fā)，沿著臺階面爬行到點 B，爬行的最短路線是多少？
老師活動：如果A、B兩點在同一個平面上，直接連接兩點即可求出最短路。但現(xiàn)在A、B兩點不在同一個平面上，你們會怎樣解決？（若學(xué)生想不到把立體圖形展成平面圖形時，適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生用轉(zhuǎn)化思想，把立體展開為平面）。
學(xué)生活動：學(xué)生獨立完成，得出最短路線，完成解答過程；上臺展示。
目的：學(xué)生能正確選擇出最短路線，能否用流暢簡潔的語言展示。
【小結(jié)】
展——>立體展開成平面
找——>找起點和終點
連——>連接起點和終點
構(gòu)——>構(gòu)建直角三角形
算——>運用勾股定理
目的：1、學(xué)生根據(jù)梯子模型，動手體驗、感知，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣和幫助理解知識；
2.培養(yǎng)學(xué)生獨立學(xué)習(xí)、歸納、排除能力。
【長方體中的最值問題】
如圖，一只螞蟻從長方體的頂點 A 出發(fā)，沿長方體的表面爬到對角頂點 B 處（三條棱長如圖所示)，怎樣走路線最短？最短路線長為多少？
活動一
教師活動：根據(jù)臺階中獲得的經(jīng)驗，你會怎樣解決這個問題？
學(xué)生活動：小組合作探究螞蟻爬行的最短路線，充分討論后，展示，匯總各小組的答案（上臺展示）；
目的：在臺階的基礎(chǔ)上提升難度變?yōu)殚L方體，學(xué)生由淺入深，此環(huán)節(jié)培養(yǎng)學(xué)生小組合作交流能力。
活動二
教師活動：若把高、底長、寬換成a、b、c.學(xué)生活動：在全班范圍內(nèi)討論每種方案的路線計算方法，通過具體計算，比較，總結(jié)得出最短路線，結(jié)論：當(dāng)長方體最長棱單獨作為一直角邊，較短的兩邊組成另一直角邊時，距離最短。即當(dāng)a>b>c時，最短為：
.目的：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決問題的最佳方法，學(xué)以致用。
【看誰算得又對又快】
1、在長2cm、寬1cm、高是4cm的長方體紙箱外部，一只螞蟻從頂點A沿表面爬到B點，爬行最短的路線為 cm.
2、在長、寬都是3cm、高是8cm的長方體紙箱外部，用一根繩子把點A、點B連接起來，那么繩子的長度至少需要是 cm.3、如圖是一個棱長為5的正方體，那么點A到點B的最短距離是。若棱長為a時，那么點A到點B的最短距離是。
目的：1.進(jìn)行課堂檢驗，及時反饋，進(jìn)行彌補；
2.從一般（長方體）到特殊（正方體）的轉(zhuǎn)化。
【課堂小結(jié)】
目的：1．回顧問題的處理方法，知識形成，有效整合；2．培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想、方法，數(shù)學(xué)素養(yǎng)。
【作業(yè)：必做題】
如圖,圓柱體玻璃杯的底面直徑為6 cm ,高為10 cm ,在杯內(nèi)壁離杯口2 cm 的點 B 處有一滴蜂蜜，此時與點 B 相對的外壁點 A 處有一只螞蟻，則螞蟻從點 A 出發(fā)去點 B 處吃蜂蜜,則螞蟻爬行的最短路程。（π取3 ,杯壁厚度不計）
【提高題】
1、如圖，長方體的高為5cm，底面長為4cm，寬為1cm.點M離點B21cm.（1）點若一只螞蟻沿長方體外表面從點M爬到點D1，則爬行的最短路程是多少？
![”“](”/d/file/p/2022/03-17/321120fd044ed98106d1ac55bc480c1c.jpeg"/)
目的：1.有效鞏固知識點，增強知識的理解和運用；
2.分層作業(yè)滿足不同層次學(xué)生，讓部分學(xué)生在已有的經(jīng)驗上進(jìn)行提高題變式的理解，給部分學(xué)生留思考空間，體驗獲取知識的成就感。
【板書設(shè)計】
點擊咨詢 