第一篇：2013年10月自考線性代數(shù)真題

2013年10月自考線性代數(shù)真題

說明：在本卷中，A表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，A表示矩陣A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，|A|表示方陣A的行列式，r(A)表示矩陣A的秩。T

*

選擇題部分

注意事項(xiàng)：

1．答題前，考生務(wù)必將自己的考試課程名稱、姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫在答題紙規(guī)定的位置上。

2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題紙上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。不能答在試題卷上。

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共5小題，每小題2分，共10分）

在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其選出并將“答題紙”的相應(yīng)代碼涂黑。錯(cuò)涂、多涂或未涂均無分。1．設(shè)行列式a1a2b1b2?1，a1a2c1c2??2，則

a1a2b1?c1b2?c2?

A.－3 C.1 2．設(shè)4階矩陣A的元素均為3，則r(A)= A.1 C.3 3．設(shè)A為2階可逆矩陣，若A?1B.－1 D.3 B.2 D.4 ??1?3??

?2?5???5?3?C.?? ??21?A.??13?*??，則A= ??25??1B.??2??5D.??23?? 5?3?? ?1?4．設(shè)A為m×n矩陣，A的秩為r，則 A.r=m時(shí)，Ax=0必有非零解 C.r

222B.r=n時(shí)，Ax=0必有非零解 D.r

5．二次型f(xl，x2,x3)=x1?2x2?3x3?8x1x3?12x2x3的矩陣為

?1?A.0???8??1?C.0???4? 0212026?8??12? 3???4??6? 3???1?B.0??0??1?D.?4??0?0?8??212? 03???40??26? 63??非選擇題部分

注意事項(xiàng)：

用黑色字跡的簽字筆或鋼筆將答案寫在答題紙上，不能答在試題卷上。

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）6．設(shè)A為3階矩陣，且|A|=2，則|2A|=______．

?12?7．設(shè)A為2階矩陣，將A的第1行加到第2行得到B，若B=??，則A=______.34??a12??a11a12??a118．設(shè)矩陣A=??，B=??，且r(A)=1，則r（B）=______.aaa?aa?a?2122??11211222?9．設(shè)向量α=(1，0，1)，β=(3，5，1)，則β－2α=________．

T10．設(shè)向量α=(3，－4)，則α的長度||α||=______．

TT11．若向量αl=(1，k)，α2=(－1,1)線性無關(guān)，則數(shù)k的取值必滿足______.12．齊次線性方程組xl+x2+x3=0的基礎(chǔ)解系中所含解向量的個(gè)數(shù)為______．

T

T?122???100?????13．已知矩陣A=212與對(duì)角矩陣D=0?10相似，則數(shù)a=______ ?????221??00a?????14．設(shè)3階矩陣A的特征值為－1，0，2，則|A|=______．

15．已知二次型f(x1,x2,x3)=x1?x2?tx3正定，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是______．

三、計(jì)算題（本大題共7小題，每小題9分，共63分）

222a?b?c16．計(jì)算行列式D=

2ab?a?c2c2a2bc?a?bT

T2b2c.17．已知向量α=（1，2，k），β=?1，?，且βα=3，A=αβ，求(1)數(shù)k的值；

10(2)A．

?11??23??123??12?????18．已知矩陣A=231，B=00，求矩陣X，使得AX=B.?????340???10?????19．求向量組α1=(1,0,2,0), α2=(－1,－1,－2,0), α3=(－3,4,－4,l), α4=（－6,14,T－6,3）的秩和一個(gè)極大線性無關(guān)組，并將向量組中的其余向量由該極大線性無關(guān)組線性表出．

T

T

T?2x?3y?z?0?20．設(shè)線性方程組?2x?y?z?1，問：

?x?y??z?1?(1)λ取何值時(shí)，方程組無解？

(2)λ取何值時(shí)，方程組有解？此時(shí)求出方程組的解．

?001???21．求矩陣A=010的全部特征值與特征向量． ???100???2222．用配方法化二次型f(x1,x2,x3)=2x1?2x2?4x1x3?8x2x3為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用的可逆線性變換．

四、證明題（本題7分）

23．設(shè)向量組α1，α2線性無關(guān)，且β=clα1+c2α2，證明：當(dāng)cl+c2≠1時(shí)，向量組β－α1,β－α2線性無關(guān)．

第二篇：2012年4月自考線性代數(shù)真題及答案

全國2012年4月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)(經(jīng)管類)試題課程代碼：04184

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

a111.設(shè)行列式a21a12a22a32a13?a112a122a222a32?3a13?3a23=（）?3a33D.12 a31A.-12 a23=2,則?a21a33?a31B.-6

C.6 ?120???2.設(shè)矩陣A=?120?,則A*中位于第1行第2列的元素是（）?003???A.-6 B.-3

C.3

D.6

3.設(shè)A為3階矩陣，且|A|=3，則(?A)?1=（）A.?3 B.?1 3C.1 3D.3 4.已知4?3矩陣A的列向量組線性無關(guān)，則AT的秩等于（）A.1 B.2

C.3

D.4 ?100???5.設(shè)A為3階矩陣,P =?210?,則用P左乘A，相當(dāng)于將A（）?001???A.第1行的2倍加到第2行

B.第1列的2倍加到第2列 C.第2行的2倍加到第1行

D.第2列的2倍加到第1列 6.齊次線性方程組?A.1

?0?x1?2x2?3x3的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為（）?x2+x3?x4= 0?B.2

C.3

D.4 7.設(shè)4階矩陣A的秩為3，?1，?2為非齊次線性方程組Ax =b的兩個(gè)不同的解，c為任意常數(shù)，則該方程組的通解為（）A.?1?c?1??22 B.?1??223 5?c?1 C.?1?c?1??22 D.?1??225 3?c?1

8.設(shè)A是n階方陣，且|5A+3E|=0，則A必有一個(gè)特征值為（）A.?5 3B.?C.5D.??100???9.若矩陣A與對(duì)角矩陣D=?0?10?相似，則A3=（）?00?1???A.E B.D

C.A

D.-E

22210.二次型f(x1,x2,x3)=3x1是（）?2x2?x3A.正定的 B.負(fù)定的 C.半正定的 D.不定的

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無分。

111.行列式21146=____________.41636?001??100?????12.設(shè)3階矩陣A的秩為2，矩陣P =?010?，Q =?010?，若矩陣B=QAP，則r(B)=_____________.?100??101?????13.設(shè)矩陣A=??1?4??48?，B=???，則AB=_______________.??14??12?14.向量組?1=(1,1,1,1),?2=(1,2,3,4),?3=(0,1,2,3)的秩為______________.15.設(shè)?1,?2是5元齊次線性方程組Ax =0的基礎(chǔ)解系，則r(A)=______________.?10002???16.非齊次線性方程組Ax =b的增廣矩陣經(jīng)初等行變換化為?01002?，則方程組的通解是______.?0012-2???17.設(shè)A為3階矩陣，若A的三個(gè)特征值分別為1，2，3，則|A|=___________.18.設(shè)A為3階矩陣，且|A|=6，若A的一個(gè)特征值為2，則A*必有一個(gè)特征值為_________.22219.二次型f(x1,x2,x3)=x1的正慣性指數(shù)為_________.?x2?3x322220.二次型f(x1,x2,x3)=x1?2x2?2x3?4x2x3經(jīng)正交變換可化為標(biāo)準(zhǔn)形______________.三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）

35?12?453?321.計(jì)算行列式D =

120120?34?1?30???22.設(shè)A=?210?，矩陣X滿足關(guān)系式A+X=XA,求X.?002???23.設(shè)?，?，?2，?3，?4均為4維列向量，A=（?，?2，?3，?4）和B=（?，?2，?3，?4）為4階方陣.若行列式|A|=4，|B|=1，求行列式|A+B|的值.24.已知向量組?1=(1,2,?1,1)T,?2=(2,0,t,0)T,?3=(0,?4,5,?2)T,?4=(3,?2,t+4,-1)T（其中t為參數(shù)），求向量組的秩和一個(gè)極大無關(guān)組.?x1?x2?2x3?x4?3?25.求線性方程組?x1?2x2?x3?x4?2的通解..（要求用它的一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示）

?2x?x?5x?4x?734?1226.已知向量?1=(1,1,1)T，求向量?2，?3,使?1，?2，?3兩兩正交.四、證明題（本題6分）

27.設(shè)A為m?n實(shí)矩陣，ATA為正定矩陣.證明：線性方程組Ax=0只有零解.全國2012年4月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)(經(jīng)管類)試題答案課程代碼：04184

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

1．D 2.A 3.B 4.C 5.B 6.B 7.A 8.B 9.D 10.D

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無分。

? 2?? 0?? 2?? 0??00?11.16 12.213.?14.2 15.3 16.???k??,k為任意常數(shù) 17.6 ???2???2??00?

???? 0??? 1?2218.3 19.220.y1?4y2

三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）

3?421.解：D =125?12153?3?4??20130?342201120153?301331???5?120?1?1?10?340?4?3212010?1?1?1

013310?4?3212010?1?1?1?10?12????48 00?10?1216001622.解：由A?X?XA，可知X(A?E)?A，則X?A(A?E)?1，?0?0?30?????1且A?E??200?，(A?E)???13?001??0???0??00? 01??120?0??11?1?30??0122??1?????100???10故X?A(A?E)??210???13??3?

?002??001??002???????23.解: A?B?(???,2?2,2?3,2?4)?8[(?,?2,?3,?4)?(?,?2,?3,?4)]?8A?B?40

???1?2?24.解：（?1,?2,?3,?4）=??1??1?1?0???0??0203??1203??12????0?4?2??0?4?4?8??01??t5t?4??0t?25t?7??0t?2????0?2?1??0?2?2?4??00203??1??112??0?03?t3?t??0??000??00?2?1??112?

03?t3?t??000?03??12?

5t?7??00?t?3時(shí)，秩為2，一個(gè)極大無關(guān)組為?1,?2 t?3時(shí)，秩為3，一個(gè)極大無關(guān)組為?1,?2,?3.25.解：對(duì)增廣矩陣作初等行變換

?11213??11213??11213???????A?(A,b)??121?12???01?1?2?1???01?1?2?1?

?21547??0?1121??00000????????10334???

??01?1?2?1?

?00000????x1??3x3?3x4?4同解方程組為?.x3，x4是自由未知量，特解?*?(4,?1,0,0)T

?x2?x3?2x4?1?x1??3x3?3x4導(dǎo)出組同解方程組為?.x3，x4是自由未知量，x?x?2x34?2基礎(chǔ)解系?1?(?3,1,1,0)T，?2?(?3,2,0,1)T，通解為???*?k1?1?k2?2,k1,k2?R.26.解：設(shè)?2=(x1,x2,x3)T，?2與?1正交，則有x1?x2?x3?0，故可取?2==(1,0,-1)T, 設(shè)?3=(y1,y2,y3)T，?3與?1，?2兩兩正交，則?故可取?3=(1,?2,1).四、證明題（本題6分）

27.證明：由于ATA為正定矩陣，則秩（ATA）= n，又秩（A）= 秩（ATA）= n，則線性方程組Ax=0只有零解.T?y1?y2?y3?0.?y1?y3 = 0

第三篇：自學(xué)考試專題：全國09-04自考線性代數(shù)真題參考答案

2009年4月全國自考線性代數(shù)真題參考答案

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)

中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均

無分。

1.A.-2

B.-1

C.1

D.2

答案：C

2.A.A

B.B

C.C

D.D

答案：D

3.A.0

B.1

C.2

D.3

答案：B

4.A.A

B.B

C.C

D.D

答案：A

5.A.必有一個(gè)向量可以表為其余向量的線性組合

B.必有兩個(gè)向量可以表為其余向量的線性組合C.必有三個(gè)向量可以表為其余向量的線性組合D.每一個(gè)向量都可以表為其余向量的線性組合答案：A

6.A.1

B.2

C.3

D.4

答案：C

7.A.A

B.B

C.C

D.D

答案：C



解析：基礎(chǔ)解系必須滿三個(gè)條件:(1)向量組是極大的;(2)向量組是方程解;(3)向量組必須是無關(guān)的.逐一驗(yàn)證選項(xiàng),可知C正確.8.設(shè)A為3階矩陣，且|2A-3E||=0，則A必有一個(gè)特征值為【】

A.A

B.B

C.C

D.D

答案：D

9.A.A

B.B

C.C

D.D

答案：D

10.A.A

B.B



C.C

D.D

答案：B



解析：由二次型正定的性質(zhì):順序主子式全大于零.從而判斷B正確.二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答

案。錯(cuò)填、不填均無分。

1.題中橫線處答案為：___

答案：-4

2.題中橫線處答案為：___

答案：1/6

3.題中橫線處答案為：___

答案：

4.題中橫線處答案為：___

答案：

5.題中橫線處答案為：___

答案：

6.題中橫向處答案為：___

答案：-2



7.題中橫線處答案為：___

答案：1



［解析］方程組系數(shù)矩陣的秩為2,所以解向量的個(gè)數(shù)為3-2=1個(gè).8.已知3階矩陣A的特征值為0，-2，3，且矩陣B與A相似，則|B+E|=___.答案：-4

［解析］由矩陣相似的性質(zhì),|B+E|=(0+1)×＼u65288X1-2）×＼u65288X3+1）=-4.9.題中橫線處答案為：___

答案：-1

［解析］由于A為實(shí)對(duì)稱矩陣，從而A的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交,即1×1+1×k=0從而k=-

1.10.題中橫線處答案為：___

答案：

三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）

1.答案：

2.答案：

3.答案：



4.答案：



5.答案：



6.答案：

四、證明題（本題6分）

1.

第四篇：0907線性代數(shù)真題及答案

全國2009年7月高等教育自學(xué)考試

線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題

課程代碼：04184 試卷說明：在本卷中，AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣；A*表示A的伴隨矩陣;R(A)表示矩陣A的秩；|A|表示A的行列式；E表示單位矩陣。

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的 括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無分。

1.設(shè)A,B,C為同階方陣，下面矩陣的運(yùn)算中不成立的是(C)．．．A.（A+B）T=AT+BT C.A(B+C)=BA+CA a112.已知a21a31a12a22a32a132a11a23=3，那么a21a33?2a312a12a22?2a32B.|AB|=|A||B| D.(AB)T=BTAT 2a13a23=(B)?2a33A.-24 C.-6

B.-12 D.12

3.若矩陣A可逆，則下列等式成立的是（C)A.A=1A* AB.A?0

C.(A2)?1?(A?1)2 D.(3A)?1?3A?1

?41?31?2???02?1???23?4.若A=?，B=，C=2矩陣的??3?12?，則下列矩陣運(yùn)算的結(jié)果為3×??152??????21??是(D)A.ABC C.CBA

B.ACTBT D.CTBTAT

5.設(shè)有向量組A：?1，?2，?3，?4，其中?1，?2，?3線性無關(guān)，則(A)A.?1，?3線性無關(guān)

C.?1，?2，?3，?4線性相關(guān)

B.?1，?2，?3，?4線性無關(guān) D.?2，?3，?4線性相關(guān)

浙04184# 線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題

6.若四階方陣的秩為3，則（B)A.A為可逆陣

C.齊次方程組Ax=0只有零解

B.齊次方程組Ax=0有非零解 D.非齊次方程組Ax=b必有解

7.設(shè)A為m×n矩陣，則n元齊次線性方程Ax=0存在非零解的充要條件是(B)A.A的行向量組線性相關(guān) C.A的行向量組線性無關(guān)

8.下列矩陣是正交矩陣的是（A)0??10?0?10A.???

??00?1???101?1??110B.?2???011??B.A的列向量組線性相關(guān) D.A的列向量組線性無關(guān)

?cos?C.???sin??sin??

cos???????D.?????2202216661063??3?3??

3??3??3??9.二次型f?xTAx(A為實(shí)對(duì)稱陣)正定的充要條件是（D)A.A可逆

C.A的特征值之和大于0

0??k0??10.設(shè)矩陣A=?0k?2?正定，則(C)??0?24??B.|A|>0

D.A的特征值全部大于0

A.k>0 C.k>1 ??1?:D1?k?0;?2?:D2?k00k0?k2?0;0kB.k?0 D.k?1 ?3?D3??k?1k?20k?2?k?k?4k?4??4k?k?1??0

?240?2

4二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無分。

浙04184# 線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題

1??21??1??2????????6?3.11.設(shè)A=（1，3，-1），B=（2，1），則ATB=?63?。

ATB??3??2,?1??1???2????2?1?1??????21012.若131?0,則k?-1。

k2121021021131?131??????2?k?1??k?1?0.?k??1.k?1?1k21k?1?10?120??0?60???*??630?。20013.設(shè)A=?，則A=????2?1?4?????013??120121*?A?200?3??12?0.?A可逆.?A?1?A20A013?1??A*?AA?1.而?A,E3???2?0?0?120?11??②?4?????010?12-14?013?00?1?③320?100??1?②+(-2)?①?00?010???????0?013?001???0?①+(-2)?②?100?0?③+(-1)?②?0???????010?12?003??121???20?100???40??210?13?001??120??-140?141??

120?120??100?0?0?0?60?1???????????010?12-140?.?A?1??12-140?????630?12??001??1611213???1611213???????2?1?4??0?60??0?60?1???????A*?AA?1??12??????630????630?.?12??????2?1?4??2?1?4?14.已知A2-2A-8E=0，則（A+E）-1=?A2?2A?8E?0.??1?A?3E?。5?A2?2A?3E??5E?0?1?5??A?E??A?3E??5E.?11?A?E??A?3E??E?5?A?3E?A?E???????E.??A?E?? 1?A?3E?5浙04184# 線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題

15.向量組?1?(1,1,0,2),?2?(1,0,1,0),?3?(0,1,?1,2)的秩為___2。

將三個(gè)向量的轉(zhuǎn)置向量拼成一個(gè)4?3的矩陣，化簡此矩陣?1?1A???0??210??110??11???③+1?②?+(-1)?①01?②0?110?1④+(-2)?①④+(-2)?②??????????????01?1??001?1?????02?0?22???000??1?.?r?A??2.?0?0?16.設(shè)齊次線性方程Ax=0有解?，而非齊次線性方程且Ax=b有解?,則???是方程組____Ax=b的解。

?x1?x2?0??17.方程組?的基礎(chǔ)解系為?1???1?。

?x2?x3?0?1???___1。18.向量??(3,2,t,1),??(t,?1,2,1)正交,則t?__________?t????1???,????3,2,t,1????3t?2?2t?1?t?1?0.?t?1.?2????1??1?

?10??3b?119.若矩陣A=?與矩陣B=相似，則x=?4?ab?。???3?04??ax?A?B?103b1??4?3x?ab?x??4?ab?.04ax312?32??1??22220?。20.二次型f(x1,x2,x3)?x1?2x2?3x3?x1x2?3x1x3對(duì)應(yīng)的對(duì)稱矩陣是?12??320?3???

三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）1?340403521.求行列式D=的值。

202?276?22

浙04184# 線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題

1?3404035解D?202?276?22④+2?①1?340209040352?2624351?2??1???3?22?2按

解：把所有行向量轉(zhuǎn)置為列向量形成4?4的矩陣，并將其化為簡化階梯形矩陣.?23?54???11?53?????0?26?40?26?4③?①TTT?????A???1T,?2,?3,?4???????11?53??23?54?????3?19?53?19?5??????11?53???11?53???1?②??③+2?①0?26?40?13?2④+3?①2?????????????05?1510??05?1510?????02?6402?64??????10?21??102?1?①+1?②???1?①??③+5?②0?13?201?32④+2?②?1?②?????記為?,?,?,??B.???????1342?0000??0000?????00000000????顯然B是A的簡化階梯形矩陣.易見：B的秩為2，??從而A的秩為2,原向量組的秩為2.易見：B的列向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組為??1,?2?.T?A的列向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組為??1T,?2?;從而??1,?2?是原向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組.24.求?取何值時(shí),齊次方程組 ?(??4)x1?3x2?0?

?4x1?x3?0

??5x??x?x?0123?

有非零解？并在有非零解時(shí)求出方程組的通解。

浙04184# 線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題

解?方程的個(gè)數(shù)與未知量的個(gè)數(shù)相同，?考察系數(shù)矩陣A是否為可逆矩陣.??43A?4?50?01?1??430③+1?②4?101?0按

63????1??解?A的特征方陣?En?A??0??53?.?A的特征方程為?0?6??4?????1?En?A?0063??532??53=??-1????-1?????-1???2???2????-1????2??0???5???-4??18????6??4?6??4得?1=?2=1，?3=-2，為A的兩個(gè)特征值.用來求特征向量的矩陣方程為63??x1??0?????1?x1?6x2?3x3?0???1??????0??53x?0,即齊次線性方程組??E3?A?x?????5?x2?3x3?0.?2????????0??x??0??6??4???6x2????4?x3?03?????屬于?1??2?1的特征向量滿足線性方程組6x2?3x3?0,即x3??2x23個(gè)未知量1個(gè)方程,必有2個(gè)自由未知量,不妨取x1、x2為自由未知量，?1??0??x1??1??0?????令?????或??，則x3?0或?2，于是得2個(gè)線性無關(guān)的特征向量p1??0?，p2??1?.?x2??0??1??0???2???????3x1?6x2?3x3?0?屬于?3??2的特征向量滿足線性方程組為?3x2?3x3?0.,即x1?x2??x3,??6x2?6x3?0?3個(gè)未知量2個(gè)方程,必有1個(gè)自由未知量,不妨取x1為自由未知量，令x1?1,則x2?1,x3??1,?1???于是得1個(gè)線性無關(guān)的特征向量p3??1?.??1???22226.用配方法求二次型f(x1,x2,x3)?x1?4x2?x3?2x1x3?4x2x3的標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出相應(yīng)的線性變換。

222解?二次型f(x1,x2,x3)?x12?4x2?x3?2x1x3?4x2x3??x12?2x1x3?x3???4x22?4x2x3?x32??x322??x1?x3???2x2?x3??x322?x1?y1?y3?y1?x1?x3?1??設(shè)?y2?2x2?x3，即?x2??y2?y3?，2?y?x?33?x3?y3??222可使得f(x1,x2,x3)??x1?x3???2x2?x3??x3?g(y1,y2,y3)?y12?y2?y3.即二次型的標(biāo)準(zhǔn)形；221??y1??x1??10??????此時(shí)相應(yīng)的線性變換x?Py為?x2???012?12??y2?.?x??00?1???3????y3?

浙04184# 線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題

四、證明題（本大題共1小題，6分）

27.證明：若向量組?1,?2,??n線性無關(guān),而?1??1??n,?2??1??2,?3??2??3,?，?n??n?1+?n，則向量組?1,?2,?,?n線性無關(guān)的充要條件是n為奇數(shù)。

證?設(shè)k1?1?k2?2???kn?n?0.將已知條件代入得k1??1??n??k2??1??2??k3??2??3????kn??n?1??n??0.整理得?k1?k2??1??k2?k3??2????kn?1?kn??n?1??kn?k1??n?0.??1,?2,??n線性無關(guān),??k1?k2???k2?k3???kn?1?kn???kn?k1??0.?k1??k2?k3??k4????kn?k1,當(dāng)n為奇數(shù)，則n?1為偶數(shù),則上式為?k1??k2?k3??k4????kn?1?kn??kn?k1.由此?kn??kn?0,?k1?k2?k3?k4???kn?1?kn?0.因此,?1,?2,?,?n線性無關(guān).?反之,若?1,?2,?,?n線性無關(guān),即當(dāng)且僅當(dāng)k1?k2?k3?k4???kn?1?kn?0時(shí),等式k1?1?k2?2???kn?n?0才成立,?k1??1??n??k2??1??2??k3??2??3????kn??n?1??n??0??k1?k2??1??k2?k3??2????kn?1?kn??n?1??kn?k1??n?0??1,?2,??n線性無關(guān),??k1?k2???k2?k3?????kn?1?kn???kn?k1??0?k1??k2?k3??k4????kn?k1,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),令k1??k2?k3??k4????kn?1,則?1??2??3??4????n?1??n?0也成立,這與條件不符.當(dāng)n?為奇數(shù)時(shí),則n?1為偶數(shù),則有k1??k2?k3??k4????kn?1?kn??kn?k1，立得k1?k2?k3?k4???kn?1?kn?0,等式k1?1?k2?2???kn?n?0才成立，這與條件完全相符.證畢.浙04184# 線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題

第五篇：自考《線性代數(shù)》經(jīng)管類2012年04月考試真題及答案

全國2012年4月高等教育自學(xué)考試

線性代數(shù)(經(jīng)管類)試題 課程代碼：04184

說明：在本卷中,A表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，A表示矩陣A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，|A|表示方陣A的行列式，r(A)表示矩陣A的秩.T

*a111.設(shè)行列式a21a12a22a32a13?a112a122a222a32?3a13?3a23=（）?3a33D.12 a31A.-12 a23=2,則?a21a33?a31B.-6

C.6 ?120???2.設(shè)矩陣A=?120?,則A*中位于第1行第2列的元素是（）?003???A.-6 B.-3

C.3

D.6 3.設(shè)A為3階矩陣，且|A|=3，則(?A)?1=（）A.?3 B.?1 3C.1 3D.3 4.已知4?3矩陣A的列向量組線性無關(guān)，則AT的秩等于（）A.1 B.2

C.3

D.4 ?100???5.設(shè)A為3階矩陣,P =?210?,則用P左乘A，相當(dāng)于將A（）?001???A.第1行的2倍加到第2行

B.第1列的2倍加到第2列 C.第2行的2倍加到第1行

D.第2列的2倍加到第1列

?0?x1?2x2?3x36.齊次線性方程組?的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為（）?x+x?x= 0234?A.1 B.2

C.3

D.4 7.設(shè)4階矩陣A的秩為3，?1，?2為非齊次線性方程組Ax =b的兩個(gè)不同的解，c為任意常數(shù)，則該方程組的通解為（）A.?1?c?1??22 B.?1??223 5?c?1 C.?1?c?1??22 D.?1??225 3?c?1

8.設(shè)A是n階方陣，且|5A+3E|=0，則A必有一個(gè)特征值為（）A.?5 3B.?C.5D.??100???9.若矩陣A與對(duì)角矩陣D=?0?10?相似，則A3=（）?001???A.E B.D 222C.A D.-E

10.二次型f(x1,x2,x3)=3x1?2x2?x3是（）

A.正定的 B.負(fù)定的 C.半正定的 D.不定的

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

111.行列式21146=____________.41636?001??100?????12.設(shè)3階矩陣A的秩為2，矩陣P =?010?，Q =?010?，若矩陣B=QAP ，?100??101?????則r(B)=_____________.?1?4??48?13.設(shè)矩陣A=??，B=??，則AB=_______________.?1412????14.向量組?1=(1,1,1,1),?2=(1,2,3,4),?3=(0,1,2,3)的秩為______________.15.設(shè)?1,?2是5元齊次線性方程組Ax =0的基礎(chǔ)解系，則r(A)=______________.?10002???16.非齊次線性方程組Ax =b的增廣矩陣經(jīng)初等行變換化為?01002?，?0012-2???則方程組的通解是__________________________________.17.設(shè)A為3階矩陣，若A的三個(gè)特征值分別為1，2，3，則|A|=___________.18.設(shè)A為3階矩陣，且|A|=6，若A的一個(gè)特征值為2，則A*必有一個(gè)特征值為_________.22219.二次型f(x1,x2,x3)=x1的正慣性指數(shù)為_________.?x2?3x322220.二次型f(x1,x2,x3)=x1?2x2?2x3?4x2x3經(jīng)正交變換可化為標(biāo)準(zhǔn)形______________.三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）

3?421.計(jì)算行列式D =125?1253?3

2010?34?1?30???22.設(shè)A=?210?，矩陣X滿足關(guān)系式A+X=XA,求X.?002???23.設(shè)?，?，?2，?3，?4均為4維列向量，A=（?，?2，?3，?4）和B=（?，?2，?3，?4）為4階方陣.若行列式|A|=4，|B|=1，求行列式|A+B|的值.24.已知向量組?1=(1,2,?1,1)T,?2=(2,0,t,0)T,?3=(0,?4,5,?2)T,?4=(3,?2,t+4,-1)T（其中t為參數(shù)），求向量組的秩和一個(gè)極大無關(guān)組.?x1?x2?2x3?x4?3?25.求線性方程組?x1?2x2?x3?x4?2的通解..?2x?x?5x?4x?734?12（要求用它的一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示）

26.已知向量?1=(1,1,1)T，求向量?2，?3,使?1，?2，?3兩兩正交.四、證明題（本題6分）

27.設(shè)A為m?n實(shí)矩陣，ATA為正定矩陣.證明：線性方程組Ax=0只有零解.