第一篇:含參函數(shù)單調(diào)性
含參數(shù)函數(shù)單調(diào)性 ●基礎(chǔ)知識總結(jié)和邏輯關(guān)系
一、函數(shù)的單調(diào)性
求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法: 1)確定函數(shù)的f(x)的定義區(qū)間;
2)求f'(x),令f'(x)?0,解此方程,求出它在定義區(qū)間內(nèi)的一切實(shí)根;
3)把函數(shù)f(x)的無定義點(diǎn)的橫坐標(biāo)和上面的各實(shí)數(shù)根按由小到大的順序排列起來,然后用這些點(diǎn)把函數(shù)f(x)的定義區(qū)間分成若干個小區(qū)間;
4)確定f'(x)在各個區(qū)間內(nèi)的符號,由f'(x)的符號判定函數(shù)f?x?在每個相應(yīng)小區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.二、函數(shù)的極值
求函數(shù)的極值的三個基本步驟
1)求導(dǎo)數(shù)f'(x);
2)求方程f'(x)?0的所有實(shí)數(shù)根;
3)檢驗f'(x)在方程f'(x)?0的根左右的符號,如果是左正右負(fù)(左負(fù)右正),則f(x)在這個根處取得極大(小)值.三、求函數(shù)最值
1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上的極值;
2)將極值與區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值f(a),f(b)比較,其中最大的一個就是最大值,最小的一個就是最小值.四利用導(dǎo)數(shù)證明不等式
1)利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性來證明不等式
我們知道函數(shù)在某個區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)值大于(或小于)0時,則該函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增(或遞減).因而在證明不等式時,根據(jù)不等式的特點(diǎn),有時可以構(gòu)造函數(shù),用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的單調(diào)性,然后再用函數(shù)單調(diào)性達(dá)到證明不等式的目的.即把證明不等式轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)的單調(diào)性.具體有如下幾種形式:
① 直接構(gòu)造函數(shù),然后用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的增減性;再利用函數(shù)在它的同一單調(diào)遞增(減)區(qū)間,自變量越大,函數(shù)值越大(小),來證明不等式成立.② 把不等式變形后再構(gòu)造函數(shù),然后利用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的單調(diào)性,達(dá)到證明不等式的目的.2)利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值(或值域)后,再證明不等式.導(dǎo)數(shù)的另一個作用是求函數(shù)的最值.因而在證明不等式時,根據(jù)不等式的特點(diǎn),有時可以構(gòu)造函數(shù),用導(dǎo)數(shù)求出該函數(shù)的最值;由當(dāng)該函數(shù)取最大(或最?。┲禃r不等式都成立,可得該不等式恒成立.從而把證明不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問題.含參函數(shù)的單調(diào)性,核心是三個步驟,四個流程:
1)第一步:先求定義域,再求導(dǎo); 2)第二步:準(zhǔn)確求出導(dǎo)數(shù)身給定的參數(shù)范圍】
流程①:最高次項系數(shù)如果含參數(shù),分 “?0;?0;?0” 三種情況依次討論該系數(shù)。(不含參就直接略過)“?0”時,求出參數(shù)的值,代回含參數(shù)的【注意題目本f?(x)之后,按以下四個流程依次走:
f?(x),寫出不f?(x)的最簡潔、直觀的形式;“?0”或“?0”時,把最高次項系數(shù)外
f?(x)?0是否有根。如果方程f?(x)?0沒有提,化簡變形(含因式分解)到最簡潔、直觀的形式,能直接看出根來。流程②:接流程①,判斷方程任何實(shí)根,說明f?(x)?0或f?(x)?0恒成立,f(x)恒定單增或單減,直接f?(x)?0有實(shí)根,全部求出來,寫明“x1?
”,寫結(jié)論;如果方程“x2?
”然后進(jìn)入流程③。
流程③:判斷由②得出的根是否在定義域內(nèi)。(i)定義域內(nèi)沒有根,寫出數(shù)
f?(x),肯定有f?(x)?0或f?(x)?0,說明函
(ii)定義域內(nèi)有且只有一f(x)在定義域內(nèi)恒定單增或單減,直接寫出結(jié)論;
(iii)f(x)單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間;個根,對這個唯一的根進(jìn)行列表,判斷定義域內(nèi)有兩根(包含兩等根或兩異根),那么就進(jìn)入流程④。流程④:在流程③中確定二次函數(shù)型
f?(x)?0在定義域內(nèi)有兩根x1,x2的情況下,討論兩根大?。ā?”,“?”,“?”)。然后列表,依據(jù)表格寫出結(jié)論。
3)第三步:(3)寫綜上所述。對參數(shù)的所有可能取值都要寫出,對應(yīng)結(jié)論相同的時候,參數(shù)范圍必須合并。
【題】討論函數(shù)f(x)?xe(k?0)的單調(diào)區(qū)間?!倦y度】**
kxk2【題】討論函數(shù)f(x)?ln(1?x)?x?x的單調(diào)區(qū)間。
2【難度】*** 【點(diǎn)評】求單調(diào)區(qū)間的步驟(1)確定函數(shù)的定義域,(2)求出f?(x),令f?(x)?0,求出根,求出在定義域內(nèi)所有的根,(3)把函數(shù)的間斷點(diǎn)在橫坐標(biāo)上從小到大排列起來,把定義域分成若干個小區(qū)間,(4)確定f?(x)在每個區(qū)間的正負(fù)號,求出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間。
【題】判斷函數(shù)f(x)?x?4x?alnx的單調(diào)性。【難度】***
2a32x?1的單調(diào)區(qū)間?!绢}】求函數(shù)f(x)?x?ax?42【難度】*** 【題】、求函數(shù)f(x)?e(x?ax?1)(x??2,a?R)的單調(diào)區(qū)間。
【難度】*** 【題】求函數(shù)f(x)?【難度】*** 【題】討論函數(shù)f(x)?kx?2x?ln(2x?1)的單調(diào)性。
x212x?alnx(a?R)的單調(diào)區(qū)間。22
【難度】***
ekx【題】討論函數(shù)f(x)?的單調(diào)性。
x?1【難度】** 【題】討論函數(shù)f(x)?【難度】*** 【題】求函數(shù)f(x)?e(x?ax?1)(x??1,a?R)的單調(diào)區(qū)間?!倦y度】** 【題】求函數(shù)f(x)?e(x?ax?1)(x??3,a?R)的單調(diào)區(qū)間?!倦y度】**
x2x22x?a的單調(diào)性。2(x?1)3利用導(dǎo)數(shù)研究含參變量函數(shù)的最值問題
利用導(dǎo)數(shù)研究含參變量函數(shù)最值的基本思路和大致步驟:
通常是先討論函數(shù)的單調(diào)性,必要時畫出函數(shù)的示意圖,然后進(jìn)行最值的討論。
【題】已知函數(shù)f?x???x?k?ex
?1?求f?x?的單調(diào)區(qū)間;
?2?求f?x?在區(qū)間?0,1?上的最小值.???,k?1?減?k?1,???
??k(2)①k?1,f?x?min【解析】:(1)
②k③1?k?2,f?x?min?(1?k)e
?2,f?x?min??e2k?1
【難度】** f(x)?ax?1(a?0),g(x)?x?bx2當(dāng)a?4b時,求函數(shù)f(x)?g(x)的單調(diào)區(qū)間,并求其在區(qū)間???,?1?上的最大值.【題】已知函數(shù)【難度】*** 【題】已知函數(shù)
313f(x)?x?2x2?3x?1,給定區(qū)間
3,(a?0),試求f(x)在此區(qū)間上的最大值。[a,2a]【難度】***
alnx【題】已知a?0,函數(shù)f(x)?:
x(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)求f(x)在區(qū)間[a,2a]上的最值.【答案】:
elna2①0?a?時,f(x)?f(2a?)max22f(x)min?f(a)?lna
②a?e時,f(mx)a?xf?(a),lan
f(x)min③
ln2a ?f(2a)?2時,2?a?ef(x?m)axaf?(e),ef(x)minln2a ?f(2a)?2af?(e)e,e④?a?2時,f(xm)a?x2f(x)min?f(a)?lna
【難度】*** 【點(diǎn)評】
1?x【題】、已知函數(shù)f(x)?ln(ax?1)?,x?0,a?0
1?x(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若f(x)的最小值為1,求a的取值范圍.【答案】:a?2時,f(x)在[0,??)上單調(diào)遞增 2?a0?a?2時,f(x)在[0,)上單調(diào)遞減
a2?af(x)在(,??)上單調(diào)遞增
aa?2
【難度】***
【題】已知函數(shù):f(x)?x?(a?1)lnx?(a?R),當(dāng)x??1,e?時,求f(x)的最小值;
【答案】當(dāng)1?a?e時,f?x?min?a??a?1?lna?1 當(dāng)a?e時,f?x?min?e??a?1?? 【難度】***
aeaxf(x)?3x?1(a?0),g(x)?x?9x,若f(x)?g(x)上的最大值為28.求實(shí)數(shù)k的取值范圍 【題】已知函數(shù)【難度】***
【題】已知函數(shù)
23f?x??ax?x?bx(其中常數(shù)a,b?R),32g?x??fx??f?x???為奇函數(shù).(1)求f?x?的表達(dá)式;(2)討論g?x?的單調(diào)性,并求g?x?在區(qū)間?1,2?上的最大值與最小值.【答案】
132f?x???x?xg?x?在?1,2?上最大值為
3442,最小值 33【難度】***
1312【題】設(shè)f(x)??x?x?2ax.32
2(1)若f(x)在(,??)上存在單調(diào)遞增區(qū)間,求a的取值范圍;
316(2)當(dāng)0?a?2時,f(x)在[1,4]上的最小值為?,求
3f(x)在該區(qū)間上的最大值。1【答案】a的取值范圍是(?,??)
910f(x)在該區(qū)間上的最大值為.3【難度】****
【題】已知函數(shù)(1)求函數(shù)f(x)?lnx?x2
f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)求函數(shù)f(x)在(0,a],(a?0)上的最大值.2(0,)
2【答案】當(dāng)0?a?時,f(x)在(0,a],(a?0)上的最
22大值為lna?a;
2當(dāng)a?時,f(x)在(0,a],(a?0)上的最大值為2
1?ln2?
2【難度】*** f(x)?1?(1?a)x?x2?x3,其中a?0:
(1)討論f(x)在其定義域上的單調(diào)性;
(2)x?[0,1]時,求f(x)取得最大值和最小值時x的值.【題】設(shè)函數(shù)【難度】*** f(x)?x?ax?bx?c(實(shí)數(shù)a,b,c為常
1數(shù))的圖像過原點(diǎn),且在x?1處的切線為直線y??
2(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)若m?0,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[?m,m]上的最大值.【題】已知函數(shù)【難度】***
32f(x)?x2?ax?3a2lnx(1)討論f(x)的單調(diào)性;【題】設(shè)函數(shù)(2)若a為正常數(shù),求f(x)在區(qū)間(0,t](t?0)上的最小值.【難度】***
第二篇:函數(shù)單調(diào)性
函數(shù)單調(diào)性概念教學(xué)的三個關(guān)鍵點(diǎn) ──兼談《函數(shù)單調(diào)性》的教學(xué)設(shè)計
北京教育學(xué)院宣武分院 彭 林
函數(shù)單調(diào)性是學(xué)生進(jìn)入高中后較早接觸到的一個完全形式化的抽象定義,對于仍然處于經(jīng)驗型邏輯思維發(fā)展階段的高一學(xué)生來講,有較大的學(xué)習(xí)難度。一直以來,這節(jié)課也都是老師教學(xué)的難點(diǎn)。最近,在我區(qū)“青年教師評優(yōu)課”上,聽了多名教師對這節(jié)課不同風(fēng)格的課堂教學(xué),通過對他們教學(xué)案例的研究和思考,筆者認(rèn)為,在函數(shù)單調(diào)性概念的教學(xué)中,關(guān)鍵是把握住如下三個關(guān)鍵點(diǎn)。
關(guān)鍵點(diǎn)1。學(xué)生 學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的認(rèn)知基礎(chǔ)是什么?
在這個內(nèi)容之前,已經(jīng)教學(xué)過一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等簡單函數(shù),函數(shù)的變量定義和映射定義,以及函數(shù)的表示。對函數(shù)是一個刻畫某些運(yùn)動變化數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)概念,也已經(jīng)形成初步認(rèn)識。接踵而來的任務(wù)是對函數(shù)應(yīng)該繼續(xù)研究什么。在數(shù)學(xué)研究中,建立一個數(shù)學(xué)概念的意義就是揭示它的本質(zhì)特征,即共同屬性或不變屬性。對各種函數(shù)模型而言,就是研究它們所描述的運(yùn)動關(guān)系的變化規(guī)律,也就是這些運(yùn)動關(guān)系在變化之中的共同屬性或不變屬性,即“變中不變”的性質(zhì)。按照這種科學(xué)研究的思維方式,使得當(dāng)前來討論函數(shù)的一些性質(zhì),就成為順理成章的、必要的和有意義的數(shù)學(xué)活動。至于在多種函數(shù)性質(zhì)中,選擇這個時機(jī)來討論函數(shù)的單調(diào)性而不是其他性質(zhì),是因為函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)生從已經(jīng)學(xué)習(xí)的函數(shù)中比較容易發(fā)現(xiàn)的一個性質(zhì)。
就中小學(xué)生與單調(diào)性相關(guān)的經(jīng)歷而言,學(xué)生認(rèn)識函數(shù)單調(diào)性可以分為四個階段: 第一階段,經(jīng)驗感知階段(小學(xué)階段),知道一個量隨另一個量的變化而變化的具體情境,如“隨著年齡的增長,我的個子越來越高”,“我認(rèn)識的字越多,我的知識就越多”等。
第二階段,形象描述階段(初中階段),能用抽象的語言描述一個量隨另一個量變化的趨勢,如“y隨著x的增大而減少”。
第三階段,抽象概括階段(高中必修1),能進(jìn)行脫離具體和直觀對象的抽象化、符號化的概括,并通過具體函數(shù),初步體會單調(diào)性在研究函數(shù)變化中的作用。
第四階段,認(rèn)識提升階段(高中選修系列1、2),要求學(xué)生能初步認(rèn)識導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的聯(lián)系。
基于上述認(rèn)識,函數(shù)單調(diào)性教學(xué)的引入應(yīng)該從學(xué)生的已有認(rèn)知出發(fā),建立在學(xué)生初中已學(xué)的一次函數(shù)、二次函數(shù)以及反比例函數(shù)的基礎(chǔ)上,即從學(xué)生熟悉的常見函數(shù)的圖象出發(fā),直觀感知函數(shù)的單調(diào)性,完成對函數(shù)單調(diào)性定義的第一次認(rèn)識.。
讓學(xué)生分別作出函數(shù)數(shù)值有什么變化規(guī)律? 的圖象,并且觀察自變量變化時,函在學(xué)生畫圖的基礎(chǔ)上,引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象,獲得信息:第一個圖象從左向右逐漸上升,y隨x的增大而增大;第二個圖象從左向右逐漸下降,y隨x的增大而減小.然后讓學(xué)生明確,對于自變量變化時,函數(shù)值具有這兩種變化規(guī)律的函數(shù),我們分別稱為增函數(shù)和減函數(shù).第三個函數(shù)圖象的上升與下降要分段說明,通過討論使學(xué)生明確函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的.
在此基礎(chǔ)上,教師引導(dǎo)學(xué)生用自己的語言描述增函數(shù)的定義: 如果函數(shù)在某個區(qū)間上的圖象從左向右逐漸上升,或者如果函數(shù)
在某個區(qū)間上隨自變量x的增大,y也越來越大,我們說函數(shù)在該區(qū)間上為增函數(shù).
關(guān)鍵點(diǎn)2。為什么要用數(shù)學(xué)的符號語言定義函數(shù)的單調(diào)性概念?
對于函數(shù)單調(diào)性概念的教學(xué)而言,有一個很重要的問題,即為什么要進(jìn)一步形式化。學(xué)生在初中已經(jīng)接觸過一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù),對函數(shù)的增減性已有初步的認(rèn)識:隨x增大y增大是增函數(shù),隨x增大y 減小是減函數(shù)。這個觀念對他們而言是易于接受的,很形象,他們會覺得這樣的定義很好,為什么還要費(fèi)神去進(jìn)行符號化呢?如果教師能通過教學(xué)設(shè)計,讓學(xué)生感受到進(jìn)一步符號化、形式化的必要性,造成認(rèn)知沖突,則學(xué)生研究的興趣就會大大提高,主動性也會更強(qiáng)。其實(shí),數(shù)學(xué)概念就是一系列常識不斷精微化的結(jié)果,之所以要進(jìn)一步形式化,完全是數(shù)學(xué)精確性、嚴(yán)密性的要求,因為只有達(dá)到這種符號化、形式化的程度,才可以進(jìn)行準(zhǔn)確的計算,進(jìn)行推理論證。
所以,在教學(xué)中提出類似如下的問題是非常必要的:
右圖是函數(shù)函數(shù)嗎? 的圖象,能說出這個函數(shù)分別在哪個區(qū)間為增函數(shù)和減
對于這個問題,學(xué)生的困難是難以確定分界點(diǎn)的確切位置.通過討論,使學(xué)生感受到用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性雖然比較直觀,但有時不夠精確,需要結(jié)合解析式進(jìn)行嚴(yán)密化、精確化的研究,使學(xué)生體會到用數(shù)量大小關(guān)系嚴(yán)格表述函數(shù)單調(diào)性的必要性,從而將函數(shù)的單調(diào)性研究從研究函數(shù)圖象過渡到研究函數(shù)的解析式.關(guān)鍵點(diǎn)3:如何用形式化的語言定義函數(shù)的單調(diào)性?
從數(shù)學(xué)學(xué)科這個整體來看,數(shù)學(xué)的高度抽象性造成了數(shù)學(xué)的難懂、難教、難學(xué),解決這一問題的基本途徑是順應(yīng)學(xué)習(xí)者的認(rèn)知規(guī)律:在需要和可能的情況下,盡量做到從直觀入手,從具體開始,逐步抽象,即數(shù)學(xué)的思考方式。恰當(dāng)運(yùn)用圖形語言、自然語言和符號化的形式語言,并進(jìn)行三者之間必要的轉(zhuǎn)化,可以說,這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本思考方式。而函數(shù)單調(diào)性這一內(nèi)容正是體現(xiàn)數(shù)學(xué)基本思考方式的一個良好載體,教學(xué)中應(yīng)該充分關(guān)注到這一點(diǎn)。長此以往,便可使學(xué)生在學(xué)習(xí)知識的同時,學(xué)到比知識更重要的東西—學(xué)會如何思考?如何進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考?
一般說,對函數(shù)單調(diào)性的建構(gòu)有兩個重要過程,一是建構(gòu)函數(shù)單調(diào)性的意義,二是通過思維構(gòu)造把這個意義用數(shù)學(xué)的形式化語言加以描述。對函數(shù)單調(diào)性的意義,學(xué)生通過對若干函數(shù)圖象的觀察并不難認(rèn)識,因此,前一過程的建構(gòu)學(xué)習(xí)相對比較容易進(jìn)行。后一過程的進(jìn)行則有相當(dāng)?shù)碾y度,其難就難在用數(shù)學(xué)的符合語言來描述函數(shù)單調(diào)性的定義時,如何才能最大限度地通過學(xué)生自己的思維活動來完成。這其中有兩個難點(diǎn):
(1)“x增大”如何用符號表示;同樣,“f(x)增大”如何用符號表示。(2)“‘隨著’x增大,函數(shù)f(x)‘也’增大”,如何用符號表示。
用數(shù)學(xué)符號描述這兩種數(shù)學(xué)意義的最大要害之處,在于要用數(shù)學(xué)的符號來描述動態(tài)的數(shù)學(xué)對象。
在初中數(shù)學(xué)中,除了學(xué)習(xí)函數(shù)的初級概念,用y=f(x)表示函數(shù)y隨著自變量x的變化而變化時,接觸到一點(diǎn)動態(tài)數(shù)學(xué)對象的數(shù)學(xué)符號表示以外,絕大多數(shù)都是用數(shù)學(xué)符號表示靜態(tài)的數(shù)學(xué)對象。因此,從用靜態(tài)的數(shù)學(xué)符號描述靜態(tài)的數(shù)學(xué)對象,到用靜態(tài)的符號語言刻畫動態(tài)數(shù)學(xué)對象,在思維能力層次上存在重大差異,對剛剛由初中進(jìn)入高中學(xué)習(xí)的學(xué)生而言,無疑是一個很大的挑戰(zhàn)!
因此,在教學(xué)中可以提出如下問題2: 如何從解析式的角度說明
在上為增函數(shù)?
這個問題是形成函數(shù)單調(diào)性概念的關(guān)鍵。在教學(xué)中,教師可以組織學(xué)生先分組探究,然后全班交流,相互補(bǔ)充,并及時對學(xué)生的發(fā)言進(jìn)行反饋、評價,對普遍出現(xiàn)的問題組織學(xué)生討論,在辨析中達(dá)成共識.對于問題2,學(xué)生錯誤的回答主要有兩種:
①在給定區(qū)間內(nèi)取兩個數(shù),例如1和2,因為函數(shù). ,所以
在上為增②可以用0,1,2,3,4,5驗證: 在所以函數(shù)上是增函數(shù)。
對于這兩種錯誤,教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步展開思考。例如,指出回答②試圖用自然數(shù)列來驗證結(jié)論,而且引入了不等式表示不等關(guān)系,但是,只是對有限幾個自然數(shù)驗證不行,只有當(dāng)所有的比較結(jié)果都是一樣的:自變量大時,函數(shù)值也大,才可以證明它是增函數(shù),那么怎么辦?如果有的學(xué)生提出:引入非負(fù)實(shí)數(shù)a,只要證明
就可以了,這就把驗證的范圍由有限擴(kuò)大到了無限。教師應(yīng)適時指出這種驗證也有局限性,然后再讓學(xué)生思考怎樣做才能實(shí)現(xiàn)“任意性”就有堅實(shí)的基礎(chǔ)了。也就是,從給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個自變量,然后求差比較函數(shù)值的大小,從而得到正確的回答: 任意取在,有為增函數(shù). ,即,所以這種回答既揭示了單調(diào)性的本質(zhì),也讓學(xué)生領(lǐng)悟到兩點(diǎn):(1)兩自變量的取值具有任意性;(2)求差比較它們函數(shù)值的大小。至此,學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性有了理性的認(rèn)識.在前面研究的基礎(chǔ)上,引導(dǎo)學(xué)生歸納、抽象出函數(shù)單調(diào)性的定義,使學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般,從具體到抽象的認(rèn)知過程。
教學(xué)中,教師引導(dǎo)學(xué)生用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)符號語言歸納、抽象增函數(shù)的定義,并讓學(xué)生類比得到減函數(shù)的定義.然后指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真閱讀教材中有關(guān)單調(diào)性的概念,對定義中關(guān)鍵的地方進(jìn)行強(qiáng)調(diào).同時設(shè)計了一組判斷題:
判斷題:
①②若函數(shù)③若函數(shù)滿足f(2) 和(2,3)上均為增函數(shù),則函數(shù)在(1,3)上為增函數(shù).④因為函數(shù)減函數(shù).在上都是減函數(shù),所以在上是通過對判斷題的討論,強(qiáng)調(diào)三點(diǎn): ①單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的,離開了定義域和相應(yīng)區(qū)間就談不上單調(diào)性. ②有的函數(shù)在整個定義域內(nèi)單調(diào)(如一次函數(shù)),有的函數(shù)只在定義域內(nèi)的某些區(qū)間單調(diào)(如二次函數(shù)),有的函數(shù)根本沒有單調(diào)區(qū)間(如常函數(shù)). ③函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個區(qū)間A,B上都是增(或減)函數(shù),一般不能認(rèn)為函數(shù)在上是增(或減)函數(shù). 從而加深學(xué)生對定義的理解 北京4中常規(guī)備課 【教學(xué)目標(biāo)】 1.使學(xué)生從形與數(shù)兩方面理解函數(shù)單調(diào)性的概念,初步掌握利用函數(shù)圖象和單調(diào)性定義判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法. 2.通過對函數(shù)單調(diào)性定義的探究,滲透數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法,培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達(dá)能力;通過對函數(shù)單調(diào)性的證明,提高學(xué)生的推理論證能力. 3.通過知識的探究過程培養(yǎng)學(xué)生細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、嚴(yán)謹(jǐn)論證的良好思維習(xí)慣,讓學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象,從特殊到一般,從感性到理性的認(rèn)知過程. 【教學(xué)重點(diǎn)】 函數(shù)單調(diào)性的概念、判斷及證明. 【教學(xué)難點(diǎn)】 歸納抽象函數(shù)單調(diào)性的定義以及根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性. 【教學(xué)方法】 教師啟發(fā)講授,學(xué)生探究學(xué)習(xí). 【教學(xué)手段】 計算機(jī)、投影儀. 【教學(xué)過程】 一、創(chuàng)設(shè)情境,引入課題 課前布置任務(wù): (1)由于某種原因,2008年北京奧運(yùn)會開幕式時間由原定的7月25日推遲到8月8日,請查閱資料說明做出這個決定的主要原因.(2)通過查閱歷史資料研究北京奧運(yùn)會開幕式當(dāng)天氣溫變化情況.課上通過交流,可以了解到開幕式推遲主要是天氣的原因,北京的天氣到8月中旬,平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數(shù)等均開始下降,比較適宜大型國際體育賽事.下圖是北京市今年8月8日一天24小時內(nèi)氣溫隨時間變化的曲線圖.引導(dǎo)學(xué)生識圖,捕捉信息,啟發(fā)學(xué)生思考. 問題:觀察圖形,能得到什么信息? 預(yù)案:(1)當(dāng)天的最高溫度、最低溫度以及何時達(dá)到;(2)在某時刻的溫度; (3)某些時段溫度升高,某些時段溫度降低.在生活中,我們關(guān)心很多數(shù)據(jù)的變化規(guī)律,了解這些數(shù)據(jù)的變化規(guī)律,對我們的生活是很有幫助的. 問題:還能舉出生活中其他的數(shù)據(jù)變化情況嗎? 預(yù)案:水位高低、燃油價格、股票價格等. 歸納:用函數(shù)觀點(diǎn)看,其實(shí)就是隨著自變量的變化,函數(shù)值是變大還是變小. 〖設(shè)計意圖〗由生活情境引入新課,激發(fā)興趣. 二、歸納探索,形成概念 對于自變量變化時,函數(shù)值是變大還是變小,初中同學(xué)們就有了一定的認(rèn)識,但是沒有嚴(yán)格的定義,今天我們的任務(wù)首先就是建立函數(shù)單調(diào)性的嚴(yán)格定義.1.借助圖象,直觀感知 問題1: 分別作出函數(shù)數(shù)值有什么變化規(guī)律? 的圖象,并且觀察自變量變化時,函 預(yù)案:(1)函數(shù) 在整個定義域內(nèi) y隨x的增大而增大;函數(shù) 在整個定義域內(nèi) y隨x的增大而減小. (2)函數(shù)在上 y隨x的增大而增大,在上y隨x的增大而減?。?/p> (3)函數(shù) 在上 y隨x的增大而減小,在上y隨x的增大而減?。?/p> 引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類描述(增函數(shù)、減函數(shù)).同時明確函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的,是函數(shù)的局部性質(zhì). 問題2:能不能根據(jù)自己的理解說說什么是增函數(shù)、減函數(shù)? 預(yù)案:如果函數(shù) 在某個區(qū)間上隨自變量x的增大,y也越來越大,我們說函數(shù) 在某個區(qū)間上隨自變量x的增大,y越來越小,我們在該區(qū)間上為增函數(shù);如果函數(shù)說函數(shù)在該區(qū)間上為減函數(shù). 教師指出:這種認(rèn)識是從圖象的角度得到的,是對函數(shù)單調(diào)性的直觀,描述性的認(rèn)識. 【設(shè)計意圖】從圖象直觀感知函數(shù)單調(diào)性,完成對函數(shù)單調(diào)性的第一次認(rèn)識. 2.探究規(guī)律,理性認(rèn)識 問題1:下圖是函數(shù)和減函數(shù)嗎? 的圖象,能說出這個函數(shù)分別在哪個區(qū)間為增函數(shù) 學(xué)生的困難是難以確定分界點(diǎn)的確切位置. 通過討論,使學(xué)生感受到用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性雖然比較直觀,但有時不夠精確,需要結(jié)合解析式進(jìn)行嚴(yán)密化、精確化的研究. 〖設(shè)計意圖〗使學(xué)生體會到用數(shù)量大小關(guān)系嚴(yán)格表述函數(shù)單調(diào)性的必要性. 問題2:如何從解析式的角度說明 在為增函數(shù)? 22預(yù)案:(1)在給定區(qū)間內(nèi)取兩個數(shù),例如1和2,因為1<2,所以為增函數(shù). (2)仿(1),取很多組驗證均滿足,所以(3)任取,所以 在,因為 為增函數(shù). 在為增函數(shù). 在,即對于學(xué)生錯誤的回答,引導(dǎo)學(xué)生分別用圖形語言和文字語言進(jìn)行辨析,使學(xué)生認(rèn)識到問題的根源在于自變量不可能被窮舉,從而引導(dǎo)學(xué)生在給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個自變量. 【設(shè)計意圖】把對單調(diào)性的認(rèn)識由感性上升到理性認(rèn)識的高度,完成對概念的第二次認(rèn)識.事實(shí)上也給出了證明單調(diào)性的方法,為證明單調(diào)性做好鋪墊.3.抽象思維,形成概念 問題:你能用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號語言表述出增函數(shù)的定義嗎? 師生共同探究,得出增函數(shù)嚴(yán)格的定義,然后學(xué)生類比得出減函數(shù)的定義.(1)板書定義(2)鞏固概念 判斷題: ①. ②若函數(shù) ③若函數(shù) 在區(qū)間 和(2,3)上均為增函數(shù),則函數(shù) 在區(qū)間(1,3)上為增函 . ④因為函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).上都是減函數(shù),所以在 通過判斷題,強(qiáng)調(diào)三點(diǎn): ①單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的,離開了定義域和相應(yīng)區(qū)間就談不上單調(diào)性. ②對于某個具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,可以是整個定義域(如一次函數(shù)),可以是定義域內(nèi)某個區(qū)間(如二次函數(shù)),也可以根本不單調(diào)(如常函數(shù)). ③函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個區(qū)間A,B上都是增(或減)函數(shù),一般不能認(rèn)為函數(shù)在上是增(或減)函數(shù). 思考:如何說明一個函數(shù)在某個區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)? 【設(shè)計意圖】讓學(xué)生由特殊到一般,從具體到抽象歸納出單調(diào)性的定義,通過對判斷題的辨析,加深學(xué)生對定義的理解,完成對概念的第三次認(rèn)識.三、掌握證法,適當(dāng)延展 例 證明函數(shù) 在上是增函數(shù). 1.分析解決問題 針對學(xué)生可能出現(xiàn)的問題,組織學(xué)生討論、交流. 證明:任取 ,設(shè)元 求差 變形,斷號 ∴ ∴ 即 ∴函數(shù) 2.歸納解題步驟 在上是增函數(shù). 定論 引導(dǎo)學(xué)生歸納證明函數(shù)單調(diào)性的步驟:設(shè)元、作差、變形、斷號、定論. 練習(xí):證明函數(shù) 問題:要證明函數(shù) 在區(qū)間 上是增函數(shù),除了用定義來證,如果可以證得對 在上是增函數(shù). 任意的,且有可以嗎? 引導(dǎo)學(xué)生分析這種敘述與定義的等價性.讓學(xué)生嘗試用這種等價形式證明函數(shù)在 〖設(shè)計意圖〗初步掌握根據(jù)定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟.等價形式進(jìn)一步發(fā)展可以得到導(dǎo)數(shù)法,為用導(dǎo)數(shù)方法研究函數(shù)單調(diào)性埋下伏筆. 四、歸納小結(jié),提高認(rèn)識 學(xué)生交流在本節(jié)課學(xué)習(xí)中的體會、收獲,交流學(xué)習(xí)過程中的體驗和感受,師生合作共同完成小結(jié). 1.小結(jié) (1)概念探究過程:直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性.(2)證明方法和步驟:設(shè)元、作差、變形、斷號、定論.(3)數(shù)學(xué)思想方法和思維方法:數(shù)形結(jié)合,等價轉(zhuǎn)化,類比等. 2.作業(yè) 書面作業(yè):課本第60頁習(xí)題2.3 第4,5,6題. 課后探究:(1)證明:函數(shù) 在區(qū)間 上是增函數(shù)的充要條件是對任意的上是增函數(shù).,且 有. (2)研究函數(shù)的單調(diào)性,并結(jié)合描點(diǎn)法畫出函數(shù)的草圖. 《函數(shù)的單調(diào)性》教學(xué)設(shè)計說明 一、教學(xué)內(nèi)容的分析 函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)生在了解函數(shù)概念后學(xué)習(xí)的函數(shù)的第一個性質(zhì),是函數(shù)學(xué)習(xí)中第一個用數(shù)學(xué)符號語言刻畫的概念,為進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)其它性質(zhì)提供了方法依據(jù). 對于函數(shù)單調(diào)性,學(xué)生的認(rèn)知困難主要在兩個方面:(1)要求用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號語言去刻畫圖象的上升與下降,這種由形到數(shù)的翻譯,從直觀到抽象的轉(zhuǎn)變對高一的學(xué)生是比較困難的;(2)單調(diào)性的證明是學(xué)生在函數(shù)內(nèi)容中首次接觸到的代數(shù)論證內(nèi)容,而學(xué)生在代數(shù)方面的推理論證能力是比較薄弱的.根據(jù)以上的分析和教學(xué)大綱的要求,確定了本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn). 二、教學(xué)目標(biāo)的確定 根據(jù)本課教材的特點(diǎn)、教學(xué)大綱對本節(jié)課的教學(xué)要求以及學(xué)生的認(rèn)知水平,從三個不同的方面確定了教學(xué)目標(biāo),重視單調(diào)性概念的形成過程和對概念本質(zhì)的認(rèn)識;強(qiáng)調(diào)判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法的落實(shí)以及數(shù)形結(jié)合思想的滲透;突出語言表達(dá)能力、推理論證能力的培養(yǎng)和良好思維習(xí)慣的養(yǎng)成. 三、教學(xué)過程的設(shè)計 為達(dá)到本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo),突出重點(diǎn),突破難點(diǎn),教學(xué)上采取了以下的措施:(1)在探索概念階段, 讓學(xué)生經(jīng)歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認(rèn)知過程,完成對單調(diào)性定義的三次認(rèn)識,使得學(xué)生對概念的認(rèn)識不斷深入. (2)在應(yīng)用概念階段,通過對證明過程的分析,幫助學(xué)生掌握用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟. (3)考慮到我校學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好、思維較為活躍的特點(diǎn),對判斷方法進(jìn)行適當(dāng)?shù)难诱?,加深對定義的理解,同時也為用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性埋下伏筆. 函數(shù)的單調(diào)性說課稿(市級一等獎)函數(shù)單調(diào)性說課稿 《函數(shù)的單調(diào)性》說課稿(市級一等獎)旬陽縣神河中學(xué) 詹進(jìn)根 我說課的課題是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗教科書 必修1》第二章第三節(jié)——函數(shù)的單調(diào)性。我將根據(jù)新課標(biāo)的理念和高一學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)設(shè)計本節(jié)課的教學(xué)。我從下面三個方面闡述我對這節(jié)課的理解和教學(xué)設(shè)計。 一、教材分析 1、教材內(nèi)容 本節(jié)課是北師大版(必修一)第二章函數(shù)第三節(jié)——函數(shù)的單調(diào)性,本節(jié)課內(nèi)容教材主要學(xué)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性的概念,依據(jù)函數(shù)圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性和應(yīng)用定義證明函數(shù)的單調(diào)性。 2、教材的地位和作用 函數(shù)是本章的核心概念,也是中學(xué)數(shù)學(xué)中的基本概念,函數(shù)貫穿整個高中數(shù)學(xué)課程。在歷年的考題中???,函數(shù)的思想也是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的重要思想。在這一節(jié)中利用函數(shù)圖象研究函數(shù)性質(zhì)的數(shù)形結(jié)合思想將貫穿于整個高中數(shù)學(xué)教學(xué)。 函數(shù)的基本性質(zhì)包括單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性、有界性。而我們今天學(xué)習(xí)的內(nèi)容就是函數(shù)基本性質(zhì)中的一種——單調(diào)性。函數(shù)的單調(diào)性是用代數(shù)方法研究函數(shù)圖象局部變化趨勢的。函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)生初中學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象的基礎(chǔ)上對增減性有一個初步的感性認(rèn)識,是函數(shù)概念的延續(xù)和拓展,又是后續(xù)研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等內(nèi)容的基礎(chǔ),對進(jìn)一步探索、研究函數(shù)的其他性質(zhì)有著示范性的作用,對解決各種數(shù)學(xué)問題有著廣泛作用。此外在比較數(shù)的大小、極限、導(dǎo)數(shù)以及相關(guān)的數(shù)學(xué)綜合問題中也有廣泛的應(yīng)用,它是整個高中數(shù)學(xué)中起著承上啟下作用的核心知識之一。通過對本節(jié)課的學(xué)習(xí),讓學(xué)生領(lǐng)會函數(shù)單調(diào)性的概念、掌握證明函數(shù)單調(diào)性的步驟,并能運(yùn)用單調(diào)性知識解決一些簡單的實(shí)際問題。通過上述活動,加深對函數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識。更主要本節(jié)教學(xué)過程中還滲透了探索發(fā)現(xiàn)、數(shù)形結(jié)合、歸納轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法,這對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識、發(fā)展學(xué)生的思維能力,掌握數(shù)學(xué)的思想方法具有重大意義。 根據(jù)函數(shù)單調(diào)性在整個教材內(nèi)容中的地位和作用,并結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知水平,本節(jié)課教學(xué)應(yīng)實(shí)現(xiàn)如下教學(xué)目標(biāo)。 3、教學(xué)目標(biāo) 知識與技能:理解函數(shù)單調(diào)性和單調(diào)函數(shù)的意義;會判斷和證明簡單函數(shù)的單調(diào)性。 過程與方法:培養(yǎng)從概念出發(fā),進(jìn)一步研究其性質(zhì)的意識及能力;體會感悟數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學(xué)思想。 情感態(tài)度與價值觀:領(lǐng)會用運(yùn)動的觀點(diǎn)去觀察分析事物的方法,培養(yǎng)學(xué)生細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、嚴(yán)謹(jǐn)論證的良好思維習(xí)慣;由合適的例子引發(fā)學(xué)生探求數(shù)學(xué)知識的欲望,突出學(xué)生的主觀能動性,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。 4(教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn): 函數(shù)單調(diào)性的概念,判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性;1 函數(shù)單調(diào)性說課稿 教學(xué)難點(diǎn): 根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性和利用函數(shù)圖像證明單調(diào)性。 二、教法與學(xué)法 1(教學(xué)方法 本節(jié)課是函數(shù)單調(diào)性的起始課,根據(jù)教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生的認(rèn)知水平,本節(jié)課主要采用“創(chuàng)設(shè)情景、問題探究、合作交流、歸納總結(jié)、聯(lián)系鞏固”的教學(xué)方式,這樣既增加了教師與學(xué)生、學(xué)生與學(xué)生之間的交流,又能激發(fā)學(xué)生的求知欲,調(diào)動學(xué)生積極性,使他們思路更加開闊,思維更加敏捷。 2(教學(xué)手段 教學(xué)中使用多媒體輔助教學(xué),目的是充分發(fā)揮其快捷、生動、形象的特點(diǎn),為學(xué)生提供直觀感性的材料,有助于學(xué)生對問題的理解和認(rèn)識。 3(學(xué)法 高一學(xué)生知識上已經(jīng)掌握了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象和基本性質(zhì)等內(nèi)容,但對知識的理解和方法的掌握上不完備,反應(yīng)在解題中就是思維不嚴(yán)密,過程不完整;能力上具備了一定的觀察、類比、分析、歸納能力,但知識整合和主動遷移的能力較弱,數(shù)形結(jié)合的意識和思維的深刻性還需進(jìn)一步培養(yǎng)和加強(qiáng),所以應(yīng)從下面兩方面來提高學(xué)生的水平。 (1)讓學(xué)生利用圖形直觀感受;(2)讓學(xué)生“設(shè)問、嘗試、歸納、總結(jié)、運(yùn)用”,重視學(xué)生的主動參與,注重信息反饋,通過引導(dǎo)學(xué)生多思、多說、多練,使認(rèn)識得到深化。 三、教學(xué)過程 本節(jié)課的教學(xué)過程包括:創(chuàng)設(shè)情境,引入課題;歸納探索,形成概念;鞏固提高,深化概念;歸納小結(jié),提高認(rèn)識.具體過程如下:(一)創(chuàng)設(shè)情境,引入課題 我們知道,函數(shù)是刻畫事物變化的工具。在2003年抗擊非典型肺炎時,衛(wèi)生部門對疫情進(jìn)行了通報。如下圖是北京從4月21日到5月19日期間每日新增病例的變化統(tǒng)計圖。 思考如何用數(shù)學(xué)語言刻畫疫情變化, [設(shè)計意圖]:通過實(shí)際生活中的例子讓學(xué)生對圖像的上升和下降有一個初步感性認(rèn)識,為下一步對概念的理性認(rèn)識作好鋪墊。同時通過多媒體展示,能夠提高學(xué)生的興趣,增強(qiáng)直觀性,拉近數(shù)學(xué)與實(shí)際的距離,感受數(shù)學(xué)源于生活,讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光去關(guān)注生活。函數(shù)單調(diào)性說課稿(二)歸納探索,形成概念 在本階段的教學(xué)中,為使學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)概念的形成與發(fā)展過程和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,加深對函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)的認(rèn)識,我設(shè)計了幾個環(huán)節(jié),引導(dǎo)學(xué)生分別完成對單調(diào)性定義的認(rèn)識.1、提出問題,觀察變化 12問題:分別做出函數(shù)的圖像,指出上面四yxyxyxy,,,,,2,1, x 個函數(shù)圖象在哪個區(qū)間是上升的,在哪個區(qū)間是下降的, 8 688 86466 44422 22-10-5510-10-5510-10-5510-10-5510-2-2-2-2-4-4-4-6-4-6-6-8-6-8-8-8 12 yx,,2yx,,1yx,y,x 通過學(xué)生熟悉的圖像,及時引導(dǎo)學(xué)生觀察,函數(shù)圖像上A點(diǎn)的運(yùn)動情況,引導(dǎo)學(xué)生能用自然語言描述出,隨著增大時圖像變化規(guī)律。讓學(xué)生大膽的去說,x 老師逐步修正、完善學(xué)生的說法,最后給出正確答案。 【設(shè)計意圖】 新課標(biāo)十分注重初中與高中的銜接,注重通過函數(shù)的圖像,研究函數(shù)的基本性質(zhì)。以學(xué)生們熟悉的函數(shù)為切入點(diǎn),盡量做到從直觀入手,順應(yīng)同學(xué)們的認(rèn)知規(guī)律。第三個、第四個函數(shù)圖像的上升與下降要分段說明,通過討論使學(xué)生明確函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的,是函數(shù)的局部性質(zhì)(2、步步深化,形成概念 2觀察函數(shù)y=x隨自變量x 變化的情況,設(shè)置啟發(fā)式問題:(1)在y軸的右側(cè)部分圖象具有什么特點(diǎn),(2)如果在y軸右側(cè)部分取兩個點(diǎn)(x,y),(x,y),當(dāng)x 【設(shè)計意圖】通過啟發(fā)式提問,實(shí)現(xiàn)學(xué)生從“圖形語言”到 “文字語言”到 “符號語言”認(rèn)識函數(shù)的單調(diào)性,實(shí)現(xiàn)“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)換。另外,對“任意性”的理解,我特設(shè)計了問題(2)、(3),達(dá)到步步深入,從而突破難點(diǎn),突出重點(diǎn)的目的。通過對以上問題的分析,從正、反兩方面領(lǐng)會函數(shù)單調(diào)性。師生共同總結(jié)出單調(diào)增函數(shù)的定義,并解讀定義中的關(guān)鍵詞,如:區(qū)間內(nèi),任意,當(dāng)<時,xx12都有<。f(x)f(x)12 仿照單調(diào)增函數(shù)定義,由學(xué)生說出單調(diào)減函數(shù)的定義。3 函數(shù)單調(diào)性說課稿 教師總結(jié)歸納單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間的定義。 注意強(qiáng)調(diào):函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在定義域某個區(qū)間上的局部性質(zhì),也就是說,一個函數(shù)在不同的區(qū)間上可以有不同的單調(diào)性。 【設(shè)計意圖】通過問題的分解,引導(dǎo)學(xué)生步步深入,直至找到最準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言來描述定義。體現(xiàn)從簡單到復(fù)雜、具體到抽象的認(rèn)知過程。在課堂教學(xué)中教師引導(dǎo)學(xué)生探索獲得知識、技能的途徑和方法。通過探索,培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和運(yùn)動變化的觀點(diǎn),同時充分利用圖形的直觀性,滲透了數(shù)形結(jié)合的思想,學(xué)生在探索的過程中品嘗到了自己勞作后的甘甜,感受到耕耘后的豐收喜悅,更激起了學(xué)生的探索創(chuàng)新意識。 3(鞏固提高,深化概念 本環(huán)節(jié)在前面研究的基礎(chǔ)上,加深學(xué)生進(jìn)一步理解函數(shù)單調(diào)性定義本質(zhì),完成對概念的再一次認(rèn)識.練習(xí)1:如下圖給出的函數(shù),你能說出它的函數(shù)值隨自變量值的變化情yx況嗎? 怎樣用數(shù)學(xué)語言表達(dá)函數(shù)值的增減變化呢? 1f(x),例1 說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并指明在該區(qū)間上的單調(diào)性.x 練習(xí)2:判斷下列說法是否正確 (1)定義在R上的函數(shù)滿足,則函數(shù)是R上的增函數(shù)。f(x)f(2),f(1)(2)定義在R上的函數(shù)滿足,則函數(shù)是R上不是減函數(shù)。f(x)f(2),f(1)1(3)已知函數(shù),因為是增函數(shù)。所以函數(shù)fx()y,ff(1)(2),,x,,(4)定義在R上的函數(shù)在,,0,上是增函數(shù),在0,,,上也是增函數(shù),f(x)則函數(shù)是R上的增函數(shù)。 (5)函數(shù)在上都是減函數(shù),所以在 上是減函數(shù)。 例2 畫出函數(shù)的圖像,判斷它的單調(diào)性,并加以證明。f(x),3x,2 通過對上述幾題討論,加深學(xué)生對定義的理解。強(qiáng)調(diào)以下三點(diǎn),完成本階段的教學(xué): ?單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的,離開了定義域和相應(yīng)區(qū)間就談不上單調(diào)性。函數(shù)單調(diào)性說課稿 ?有的函數(shù)在整個定義域內(nèi)單調(diào)(如一次函數(shù)),有的函數(shù)只在定義域內(nèi)的某些區(qū)間單調(diào)(如二次函數(shù)),有的函數(shù)根本沒有單調(diào)區(qū)間(如常函數(shù))。 ?函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個區(qū)間A,B上都是增(或減)函數(shù),一般不能認(rèn)為函數(shù)在上是增(或減)函數(shù)。 【設(shè)計意圖】函數(shù)單調(diào)性定義產(chǎn)生是本節(jié)課的難點(diǎn),難在:如何使學(xué)生從描述性語言過渡到嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言。而對嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言的準(zhǔn)確理解及正確應(yīng)用更是學(xué)生薄弱環(huán)節(jié),這里通過問題研討體現(xiàn)了以學(xué)生為主體,師生互動合作的教學(xué)新理念。例1主要是從圖形上判斷函數(shù)的單調(diào)性;例2主要對數(shù)形結(jié)合,定義法證明函數(shù)的單調(diào)性的只是鞏固與應(yīng)用.(四)歸納小結(jié),提高認(rèn)識 歸納小結(jié)是鞏固新知識不可或缺的環(huán)節(jié)之一,本節(jié)課我采用組織和指導(dǎo)學(xué)生自己談學(xué)習(xí)收獲的方式對所學(xué)知識進(jìn)行歸納,深化對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識,為后續(xù)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)(1(本節(jié)小結(jié) 函數(shù)單調(diào)性定義,判斷函數(shù)單調(diào)性的方法(圖像、定義)在方法層面上,引導(dǎo)學(xué)生回顧判斷,證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟;引導(dǎo)學(xué)生體會探究過程中用到的思想方法和思維方法,如數(shù)形結(jié)合,等價轉(zhuǎn)化,類比等。 2(布置作業(yè) 課后作業(yè)實(shí)施分層設(shè)置,書面作業(yè)、課后思考.作業(yè)布置:教材第38頁的第2,3,5題 思考交流:問題 如果可以證明對任意的,且,有xxab,(,),xx,1212fxfx()(),21,能斷定函數(shù)在上是增函數(shù)嗎? fx()(,)ab,0xx,21 【設(shè)計意圖】:目的是加深學(xué)生對定義的理解,讓學(xué)生體會這種敘述與定義的等價性,而且這種方法進(jìn)一步發(fā)展可以得到導(dǎo)數(shù)法,為今后用導(dǎo)數(shù)方法研究函數(shù)單調(diào)性埋下伏筆。 以上各個環(huán)節(jié),環(huán)環(huán)相扣,層層深入,注意調(diào)動學(xué)生自主探究與合作交流,努力實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo),也使新課標(biāo)理念能夠得到很好的落實(shí)。 各位評委,本節(jié)課我在概念教學(xué)上進(jìn)行了一些嘗試.在教學(xué)過程中,我努力創(chuàng)設(shè)一個探索數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)環(huán)境,通過設(shè)計一系列問題,使學(xué)生在探究問題的過程中,親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的發(fā)生與發(fā)展過程,從而逐步把握概念的實(shí)質(zhì)內(nèi)涵,深入理解概念。函數(shù)單調(diào)性說課稿 附一:板書設(shè)計 函數(shù)的單調(diào)性 一、函數(shù)單調(diào)性的概念 三、例題講解 四、課堂練習(xí) 二、證明函數(shù)單調(diào)性的步驟 例1: 五、布置作業(yè) 例2: 小結(jié)和作業(yè)在多媒體上展示,這樣的板書簡明清楚,重點(diǎn)突出,加深學(xué)生對重點(diǎn)知識的理解和掌握,同時便于記憶,有利于提高教學(xué)效果.6 函數(shù)單調(diào)性說課稿 7 函數(shù)單調(diào)性 一、教學(xué)目標(biāo) 1、建立增(減)函數(shù)及單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間的概念 2、掌握如何從函數(shù)圖象上看出單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性 3、掌握如何利用定義證明一段區(qū)間上的函數(shù)單調(diào)性 二、教學(xué)重難點(diǎn) 1、了解增(減)函數(shù)定義 2、用定義法證明一段區(qū)間上的函數(shù)單調(diào)性 三、教材、學(xué)情分析 單調(diào)性是處于教材《數(shù)學(xué)?必修一》B版第二章第一節(jié),初中對單調(diào)性有著初步感性認(rèn)識,到這節(jié)課我們給單調(diào)性嚴(yán)格的定義。單調(diào)性是對函數(shù)概念的延續(xù)和擴(kuò)展,也是我們后續(xù)研究函數(shù)的基礎(chǔ),可以說,起到了承上啟下的作用。 四、教學(xué)方法 數(shù)形結(jié)合法、講解法 五、教具、參考書 三角尺、PPT、數(shù)學(xué)必修 一、教師教學(xué)用書 六、教學(xué)過程 (一)知識導(dǎo)入 引入廣寧縣一天氣溫變化折線圖 詢問學(xué)生今天的溫度是如何變化的? 學(xué)生答:氣溫先上升,到了14時開始不斷下降。 由此導(dǎo)入函數(shù)圖像的上升下降變化,給出f(x)=x和f(x)=x2的圖像,詢問學(xué)生,這兩個函數(shù)圖象是如何變化的? 學(xué)生答:前一個不斷上升,后一個在y軸左邊下降,在y軸右邊上升。再詢問學(xué)生并提醒學(xué)生回答:從上面的觀察分析,能得出什么結(jié)論? 不同的函數(shù),其圖像的變化趨勢不同,同一函數(shù)在不同區(qū)間上的變化趨勢也不同,函數(shù)圖像的變化規(guī)律就是函數(shù)性質(zhì)的反映。 教師:那么這就是我們要研究的單調(diào)性。 (二)給出定義。 教師:首先我們來看一下一元二次函數(shù)y=x2的圖象的對應(yīng)值表,當(dāng)x從0到5上變化時,y是如何變化的。生:隨著x的增大而增大 教師:那么我們在這段上升區(qū)間中任取兩個x1,x2,x1 教師順勢引導(dǎo)出增函數(shù)的概念,再由增函數(shù)類比畫圖演示,引導(dǎo)出減函數(shù)的概念。強(qiáng)調(diào)增(減)函數(shù)概念,尤其是在區(qū)間內(nèi)任取x1,x2這句話的理解。由增(減)函數(shù)可以引出單調(diào)區(qū)間的定義,不作很詳細(xì)講解。給出例題讓學(xué)生思考作答,進(jìn)一步鞏固知識點(diǎn)。 (三)證明方法 讓學(xué)生們思考例二(思想為用定義法證明一段區(qū)間的單調(diào)性)并嘗試解答,一段時間后教師給學(xué)生講解。 講解完例題后,引導(dǎo)學(xué)生歸納用定義法正明一段區(qū)間的單調(diào)性的方法: 1、設(shè)元。 2、做差。 3、變形。 4、斷號。 5、定論。 (四)鞏固深化 思考:函數(shù)y=1/x 的定義域I是什么?在定義域I上的單調(diào)性是怎樣的? 通過這道問題的講解說明,讓學(xué)生們意識到單調(diào)性是離不開區(qū)間的且單調(diào)區(qū)間不能求并。 (五)課堂小結(jié) 再次對 1、增(減)函數(shù)定義。 2、增(減)函數(shù)的圖象有什么特點(diǎn)?如何根據(jù)圖象指出單調(diào)區(qū)間。 3、怎樣用定義證明函數(shù)的單調(diào)性?三個問題進(jìn)行闡述,牢固學(xué)生記憶和理解。 (六)布置作業(yè)。 函數(shù)單調(diào)性的證明 函數(shù)的單調(diào)性需抓住單調(diào)性定義來證明,這是目前高一階段唯一的方法。 一、證明方法步驟為: ① 在給定區(qū)間上任取兩個自變量x1、x2且x1<x2 ② 將f?x1?與f?x2?作差或作商(分母不為零) ③ 比較差值(商)與0(1)的大小 ④ 下結(jié)論,確定函數(shù)的單調(diào)性。 在做差比較時,我們常將差化為積討論,常用因式分解(整式)、通分(分式)、有理化(無理式)、配方等手段。 二、常見的類型有兩種: (一)已知函數(shù)的解析式: 1例1:證明:函數(shù)f?x?=在x∈(1,+∞)單調(diào)遞減 x- 1例2:證明:函數(shù)f?x?=x+x+1在x∈R時單調(diào)遞增 3[1,+?)時單調(diào)遞增 例3:證明:函數(shù)f?x?=x-1在x∈2 例4:討論函數(shù)f?x?=x+ 1在(1,+?)的單調(diào)性,并求最小值 x-1 例5:求函數(shù)f?x?= x+2的單調(diào)區(qū)間 x-1+?)單調(diào)遞增 練習(xí): 1、證明函數(shù)f?x?=x+(a>0)在(a,2、討論函數(shù)f?x?=1+x-x的單調(diào)性 2ax (二)f?x?抽象函數(shù)的單調(diào)性: 抽象函數(shù)的單調(diào)性關(guān)鍵是抽象函數(shù)關(guān)系式的運(yùn)用,同時,要注意選擇作差還是作商,這一點(diǎn)可觀察題意中與0比較,應(yīng)作差;與1比較,應(yīng)作商。如下三例: 例1:已知函數(shù)滿足x、y∈R時,f(x?y)?f(x)?f(y)恒成立,且當(dāng)x>0時,>0.證明:f(x)在R上單調(diào)遞增.例2:已知函數(shù)滿足x、y∈R時,f(xy)?f(x)?f(y)恒成立,且當(dāng)x>1時,0.證明:f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.例3:已知函數(shù)滿足x、y∈R時,f(xy)?f(x)?f(y)恒成立,且當(dāng)x>1時,1.若f(x)?0.證明:f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.練習(xí): 1、已知函數(shù) f?x?對于任意的x、y∈R,f?x?+f?y?=f?x+y?,且當(dāng)x>0時,f?x?<0;f?1?=-23.f(x)>f(x)>總有(1)求證:f?x?在R上是減函數(shù) (2)求f?x?在[-3,3]上的最大值與最小值 2、已知函數(shù)f?x?的定義域為R,且m、n∈R,恒有f?m?+f?n?=f?m+n?+1,且f?->-?1??=0,當(dāng)x?2?1時,f?x?>0.2(1)求證:f?x?是單調(diào)遞增函數(shù)(2)求f?x?在[-2,2]的最大值與最小值.3、定義在R上的函數(shù)f?x?恒為正,且滿足f?x+y?=f?x?f?y?,當(dāng)x>0時,f?x?>1.(1)證明:f?x?在R上單調(diào)遞增.2(2)若函數(shù)f?x?的定義域為[-1,1]時,解不等式fx-1>f?2x? ?? 4、函數(shù)f?x?的定義域為R,對于任意的a、b∈R皆有f?a?+f?b?=f?a+b?+1,且x>0時,f?x?>1(1)求證:f?x?是R上的增函數(shù) 2(2)若f?4?=5,解不等式f3m-m-2<3 ??3第三篇:函數(shù)的單調(diào)性
第四篇:函數(shù)單調(diào)性教案(簡單)
第五篇:專題:函數(shù)單調(diào)性的證明