第一篇：含參函數(shù)單調(diào)性

含參數(shù)函數(shù)單調(diào)性 ●基礎(chǔ)知識總結(jié)和邏輯關(guān)系

一、函數(shù)的單調(diào)性

求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法: 1)確定函數(shù)的f(x)的定義區(qū)間；

2)求f'(x)，令f'(x)?0，解此方程，求出它在定義區(qū)間內(nèi)的一切實(shí)根；

3)把函數(shù)f(x)的無定義點(diǎn)的橫坐標(biāo)和上面的各實(shí)數(shù)根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點(diǎn)把函數(shù)f(x)的定義區(qū)間分成若干個小區(qū)間；

4)確定f'(x)在各個區(qū)間內(nèi)的符號，由f'(x)的符號判定函數(shù)f?x?在每個相應(yīng)小區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.二、函數(shù)的極值

求函數(shù)的極值的三個基本步驟

1)求導(dǎo)數(shù)f'(x)；

2)求方程f'(x)?0的所有實(shí)數(shù)根；

3)檢驗f'(x)在方程f'(x)?0的根左右的符號，如果是左正右負(fù)（左負(fù)右正），則f(x)在這個根處取得極大（小）值.三、求函數(shù)最值

1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上的極值；

2)將極值與區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值f(a),f(b)比較，其中最大的一個就是最大值，最小的一個就是最小值.四利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

1）利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性來證明不等式

我們知道函數(shù)在某個區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)值大于（或小于）0時，則該函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增（或遞減）.因而在證明不等式時，根據(jù)不等式的特點(diǎn)，有時可以構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的單調(diào)性,然后再用函數(shù)單調(diào)性達(dá)到證明不等式的目的.即把證明不等式轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)的單調(diào)性.具體有如下幾種形式：

① 直接構(gòu)造函數(shù)，然后用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的增減性；再利用函數(shù)在它的同一單調(diào)遞增（減）區(qū)間，自變量越大，函數(shù)值越大（小），來證明不等式成立.② 把不等式變形后再構(gòu)造函數(shù),然后利用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的單調(diào)性，達(dá)到證明不等式的目的.2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值（或值域）后，再證明不等式.導(dǎo)數(shù)的另一個作用是求函數(shù)的最值.因而在證明不等式時，根據(jù)不等式的特點(diǎn)，有時可以構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)求出該函數(shù)的最值；由當(dāng)該函數(shù)取最大（或最?。┲禃r不等式都成立，可得該不等式恒成立.從而把證明不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問題.含參函數(shù)的單調(diào)性，核心是三個步驟，四個流程：

1）第一步：先求定義域，再求導(dǎo)； 2）第二步：準(zhǔn)確求出導(dǎo)數(shù)身給定的參數(shù)范圍】

流程①：最高次項系數(shù)如果含參數(shù)，分 “?0；?0；?0” 三種情況依次討論該系數(shù)。（不含參就直接略過）“?0”時，求出參數(shù)的值，代回含參數(shù)的【注意題目本f?(x)之后，按以下四個流程依次走：

f?(x)，寫出不f?(x)的最簡潔、直觀的形式；“?0”或“?0”時，把最高次項系數(shù)外

f?(x)?0是否有根。如果方程f?(x)?0沒有提，化簡變形（含因式分解）到最簡潔、直觀的形式，能直接看出根來。流程②：接流程①，判斷方程任何實(shí)根，說明f?(x)?0或f?(x)?0恒成立，f(x)恒定單增或單減，直接f?(x)?0有實(shí)根，全部求出來，寫明“x1?

”，寫結(jié)論；如果方程“x2?

”然后進(jìn)入流程③。

流程③：判斷由②得出的根是否在定義域內(nèi)。（i）定義域內(nèi)沒有根，寫出數(shù)

f?(x)，肯定有f?(x)?0或f?(x)?0，說明函

（ii）定義域內(nèi)有且只有一f(x)在定義域內(nèi)恒定單增或單減，直接寫出結(jié)論；

（iii）f(x)單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間；個根，對這個唯一的根進(jìn)行列表，判斷定義域內(nèi)有兩根（包含兩等根或兩異根），那么就進(jìn)入流程④。流程④：在流程③中確定二次函數(shù)型

f?(x)?0在定義域內(nèi)有兩根x1,x2的情況下，討論兩根大?。ā?”，“?”，“?”）。然后列表，依據(jù)表格寫出結(jié)論。

3）第三步：（3）寫綜上所述。對參數(shù)的所有可能取值都要寫出，對應(yīng)結(jié)論相同的時候，參數(shù)范圍必須合并。

【題】討論函數(shù)f(x)?xe(k?0)的單調(diào)區(qū)間?！倦y度】**

kxk2【題】討論函數(shù)f(x)?ln(1?x)?x?x的單調(diào)區(qū)間。

2【難度】*** 【點(diǎn)評】求單調(diào)區(qū)間的步驟（1）確定函數(shù)的定義域，（2）求出f?(x)，令f?(x)?0，求出根，求出在定義域內(nèi)所有的根，（3）把函數(shù)的間斷點(diǎn)在橫坐標(biāo)上從小到大排列起來，把定義域分成若干個小區(qū)間，（4）確定f?(x)在每個區(qū)間的正負(fù)號，求出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間。

【題】判斷函數(shù)f(x)?x?4x?alnx的單調(diào)性。【難度】***

2a32x?1的單調(diào)區(qū)間?！绢}】求函數(shù)f(x)?x?ax?42【難度】*** 【題】、求函數(shù)f(x)?e(x?ax?1)(x??2,a?R)的單調(diào)區(qū)間。

【難度】*** 【題】求函數(shù)f(x)?【難度】*** 【題】討論函數(shù)f(x)?kx?2x?ln(2x?1)的單調(diào)性。

x212x?alnx(a?R)的單調(diào)區(qū)間。22

【難度】***

ekx【題】討論函數(shù)f(x)?的單調(diào)性。

x?1【難度】** 【題】討論函數(shù)f(x)?【難度】*** 【題】求函數(shù)f(x)?e(x?ax?1)(x??1,a?R)的單調(diào)區(qū)間?！倦y度】** 【題】求函數(shù)f(x)?e(x?ax?1)(x??3,a?R)的單調(diào)區(qū)間?！倦y度】**

x2x22x?a的單調(diào)性。2(x?1)3利用導(dǎo)數(shù)研究含參變量函數(shù)的最值問題

利用導(dǎo)數(shù)研究含參變量函數(shù)最值的基本思路和大致步驟：

通常是先討論函數(shù)的單調(diào)性，必要時畫出函數(shù)的示意圖，然后進(jìn)行最值的討論。

【題】已知函數(shù)f?x???x?k?ex

?1?求f?x?的單調(diào)區(qū)間；

?2?求f?x?在區(qū)間?0,1?上的最小值.???,k?1?減?k?1,???

??k（2）①k?1,f?x?min【解析】：（1）

②k③1?k?2,f?x?min?(1?k)e

?2，f?x?min??e2k?1

【難度】** f(x)?ax?1(a?0)，g(x)?x?bx2當(dāng)a?4b時，求函數(shù)f(x)?g(x)的單調(diào)區(qū)間，并求其在區(qū)間???,?1?上的最大值.【題】已知函數(shù)【難度】*** 【題】已知函數(shù)

313f(x)?x?2x2?3x?1，給定區(qū)間

3，（a?0），試求f(x)在此區(qū)間上的最大值。[a,2a]【難度】***

alnx【題】已知a?0，函數(shù)f(x)?：

x（1）討論f(x)的單調(diào)性；

（2）求f(x)在區(qū)間[a,2a]上的最值.【答案】：

elna2①0?a?時，f(x)?f(2a?)max22f(x)min?f(a)?lna

②a?e時，f(mx)a?xf?(a)，lan

f(x)min③

ln2a ?f(2a)?2時，2?a?ef(x?m)axaf?(e)，ef(x)minln2a ?f(2a)?2af?(e)e，e④?a?2時，f(xm)a?x2f(x)min?f(a)?lna

【難度】*** 【點(diǎn)評】

1?x【題】、已知函數(shù)f(x)?ln(ax?1)?,x?0,a?0

1?x(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若f(x)的最小值為1，求a的取值范圍.【答案】：a?2時，f(x)在[0,??)上單調(diào)遞增 2?a0?a?2時，f(x)在[0,)上單調(diào)遞減

a2?af(x)在(,??)上單調(diào)遞增

aa?2

【難度】***

【題】已知函數(shù)：f(x)?x?(a?1)lnx?(a?R),當(dāng)x??1,e?時，求f(x)的最小值；

【答案】當(dāng)1?a?e時，f?x?min?a??a?1?lna?1 當(dāng)a?e時，f?x?min?e??a?1?? 【難度】***

aeaxf(x)?3x?1(a?0),g(x)?x?9x，若f(x)?g(x)上的最大值為28.求實(shí)數(shù)k的取值范圍 【題】已知函數(shù)【難度】***

【題】已知函數(shù)

23f?x??ax?x?bx（其中常數(shù)a,b?R），32g?x??fx??f?x???為奇函數(shù).(1)求f?x?的表達(dá)式；(2)討論g?x?的單調(diào)性，并求g?x?在區(qū)間?1,2?上的最大值與最小值.【答案】

132f?x???x?xg?x?在?1,2?上最大值為

3442，最小值 33【難度】***

1312【題】設(shè)f(x)??x?x?2ax.32

2（1）若f(x)在(,??)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的取值范圍；

316（2）當(dāng)0?a?2時，f(x)在[1,4]上的最小值為?，求

3f(x)在該區(qū)間上的最大值。1【答案】a的取值范圍是(?,??)

910f(x)在該區(qū)間上的最大值為.3【難度】****

【題】已知函數(shù)(1)求函數(shù)f(x)?lnx?x2

f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)求函數(shù)f(x)在(0,a],(a?0)上的最大值.2(0,)

2【答案】當(dāng)0?a?時，f(x)在(0,a],(a?0)上的最

22大值為lna?a;

2當(dāng)a?時，f(x)在(0,a],(a?0)上的最大值為2

1?ln2?

2【難度】*** f(x)?1?(1?a)x?x2?x3，其中a?0:

（1）討論f(x)在其定義域上的單調(diào)性；

（2）x?[0,1]時，求f(x)取得最大值和最小值時x的值.【題】設(shè)函數(shù)【難度】*** f(x)?x?ax?bx?c(實(shí)數(shù)a,b,c為常

1數(shù))的圖像過原點(diǎn)，且在x?1處的切線為直線y??

2(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)若m?0，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[?m,m]上的最大值.【題】已知函數(shù)【難度】***

32f(x)?x2?ax?3a2lnx(1)討論f(x)的單調(diào)性;【題】設(shè)函數(shù)(2)若a為正常數(shù)，求f(x)在區(qū)間(0,t](t?0)上的最小值.【難度】***

第二篇：函數(shù)單調(diào)性

函數(shù)單調(diào)性概念教學(xué)的三個關(guān)鍵點(diǎn) ──兼談《函數(shù)單調(diào)性》的教學(xué)設(shè)計

北京教育學(xué)院宣武分院 彭 林

函數(shù)單調(diào)性是學(xué)生進(jìn)入高中后較早接觸到的一個完全形式化的抽象定義，對于仍然處于經(jīng)驗型邏輯思維發(fā)展階段的高一學(xué)生來講，有較大的學(xué)習(xí)難度。一直以來，這節(jié)課也都是老師教學(xué)的難點(diǎn)。最近，在我區(qū)“青年教師評優(yōu)課”上，聽了多名教師對這節(jié)課不同風(fēng)格的課堂教學(xué)，通過對他們教學(xué)案例的研究和思考，筆者認(rèn)為，在函數(shù)單調(diào)性概念的教學(xué)中，關(guān)鍵是把握住如下三個關(guān)鍵點(diǎn)。

關(guān)鍵點(diǎn)1。學(xué)生 學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的認(rèn)知基礎(chǔ)是什么？

在這個內(nèi)容之前，已經(jīng)教學(xué)過一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等簡單函數(shù)，函數(shù)的變量定義和映射定義，以及函數(shù)的表示。對函數(shù)是一個刻畫某些運(yùn)動變化數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)概念，也已經(jīng)形成初步認(rèn)識。接踵而來的任務(wù)是對函數(shù)應(yīng)該繼續(xù)研究什么。在數(shù)學(xué)研究中，建立一個數(shù)學(xué)概念的意義就是揭示它的本質(zhì)特征，即共同屬性或不變屬性。對各種函數(shù)模型而言，就是研究它們所描述的運(yùn)動關(guān)系的變化規(guī)律，也就是這些運(yùn)動關(guān)系在變化之中的共同屬性或不變屬性，即“變中不變”的性質(zhì)。按照這種科學(xué)研究的思維方式，使得當(dāng)前來討論函數(shù)的一些性質(zhì)，就成為順理成章的、必要的和有意義的數(shù)學(xué)活動。至于在多種函數(shù)性質(zhì)中，選擇這個時機(jī)來討論函數(shù)的單調(diào)性而不是其他性質(zhì)，是因為函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)生從已經(jīng)學(xué)習(xí)的函數(shù)中比較容易發(fā)現(xiàn)的一個性質(zhì)。

就中小學(xué)生與單調(diào)性相關(guān)的經(jīng)歷而言，學(xué)生認(rèn)識函數(shù)單調(diào)性可以分為四個階段： 第一階段，經(jīng)驗感知階段（小學(xué)階段），知道一個量隨另一個量的變化而變化的具體情境，如“隨著年齡的增長，我的個子越來越高”，“我認(rèn)識的字越多，我的知識就越多”等。

第二階段，形象描述階段（初中階段），能用抽象的語言描述一個量隨另一個量變化的趨勢，如“y隨著x的增大而減少”。

第三階段，抽象概括階段（高中必修1），能進(jìn)行脫離具體和直觀對象的抽象化、符號化的概括，并通過具體函數(shù)，初步體會單調(diào)性在研究函數(shù)變化中的作用。

第四階段，認(rèn)識提升階段（高中選修系列1、2），要求學(xué)生能初步認(rèn)識導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的聯(lián)系。

基于上述認(rèn)識，函數(shù)單調(diào)性教學(xué)的引入應(yīng)該從學(xué)生的已有認(rèn)知出發(fā)，建立在學(xué)生初中已學(xué)的一次函數(shù)、二次函數(shù)以及反比例函數(shù)的基礎(chǔ)上，即從學(xué)生熟悉的常見函數(shù)的圖象出發(fā)，直觀感知函數(shù)的單調(diào)性，完成對函數(shù)單調(diào)性定義的第一次認(rèn)識.。

讓學(xué)生分別作出函數(shù)數(shù)值有什么變化規(guī)律？ 的圖象，并且觀察自變量變化時，函在學(xué)生畫圖的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象，獲得信息：第一個圖象從左向右逐漸上升，y隨x的增大而增大；第二個圖象從左向右逐漸下降，y隨x的增大而減小.然后讓學(xué)生明確，對于自變量變化時，函數(shù)值具有這兩種變化規(guī)律的函數(shù)，我們分別稱為增函數(shù)和減函數(shù).第三個函數(shù)圖象的上升與下降要分段說明，通過討論使學(xué)生明確函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的．

在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生用自己的語言描述增函數(shù)的定義： 如果函數(shù)在某個區(qū)間上的圖象從左向右逐漸上升，或者如果函數(shù)

在某個區(qū)間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數(shù)在該區(qū)間上為增函數(shù)．

關(guān)鍵點(diǎn)2。為什么要用數(shù)學(xué)的符號語言定義函數(shù)的單調(diào)性概念？

對于函數(shù)單調(diào)性概念的教學(xué)而言，有一個很重要的問題，即為什么要進(jìn)一步形式化。學(xué)生在初中已經(jīng)接觸過一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，對函數(shù)的增減性已有初步的認(rèn)識：隨x增大y增大是增函數(shù)，隨x增大y 減小是減函數(shù)。這個觀念對他們而言是易于接受的，很形象，他們會覺得這樣的定義很好，為什么還要費(fèi)神去進(jìn)行符號化呢？如果教師能通過教學(xué)設(shè)計，讓學(xué)生感受到進(jìn)一步符號化、形式化的必要性，造成認(rèn)知沖突，則學(xué)生研究的興趣就會大大提高，主動性也會更強(qiáng)。其實(shí)，數(shù)學(xué)概念就是一系列常識不斷精微化的結(jié)果，之所以要進(jìn)一步形式化，完全是數(shù)學(xué)精確性、嚴(yán)密性的要求，因為只有達(dá)到這種符號化、形式化的程度，才可以進(jìn)行準(zhǔn)確的計算，進(jìn)行推理論證。

所以，在教學(xué)中提出類似如下的問題是非常必要的：

右圖是函數(shù)函數(shù)嗎？ 的圖象,能說出這個函數(shù)分別在哪個區(qū)間為增函數(shù)和減

對于這個問題，學(xué)生的困難是難以確定分界點(diǎn)的確切位置．通過討論，使學(xué)生感受到用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結(jié)合解析式進(jìn)行嚴(yán)密化、精確化的研究,使學(xué)生體會到用數(shù)量大小關(guān)系嚴(yán)格表述函數(shù)單調(diào)性的必要性，從而將函數(shù)的單調(diào)性研究從研究函數(shù)圖象過渡到研究函數(shù)的解析式.關(guān)鍵點(diǎn)3：如何用形式化的語言定義函數(shù)的單調(diào)性？

從數(shù)學(xué)學(xué)科這個整體來看，數(shù)學(xué)的高度抽象性造成了數(shù)學(xué)的難懂、難教、難學(xué)，解決這一問題的基本途徑是順應(yīng)學(xué)習(xí)者的認(rèn)知規(guī)律：在需要和可能的情況下，盡量做到從直觀入手，從具體開始，逐步抽象，即數(shù)學(xué)的思考方式。恰當(dāng)運(yùn)用圖形語言、自然語言和符號化的形式語言，并進(jìn)行三者之間必要的轉(zhuǎn)化，可以說，這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本思考方式。而函數(shù)單調(diào)性這一內(nèi)容正是體現(xiàn)數(shù)學(xué)基本思考方式的一個良好載體，教學(xué)中應(yīng)該充分關(guān)注到這一點(diǎn)。長此以往，便可使學(xué)生在學(xué)習(xí)知識的同時，學(xué)到比知識更重要的東西—學(xué)會如何思考？如何進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考？

一般說，對函數(shù)單調(diào)性的建構(gòu)有兩個重要過程，一是建構(gòu)函數(shù)單調(diào)性的意義，二是通過思維構(gòu)造把這個意義用數(shù)學(xué)的形式化語言加以描述。對函數(shù)單調(diào)性的意義，學(xué)生通過對若干函數(shù)圖象的觀察并不難認(rèn)識，因此，前一過程的建構(gòu)學(xué)習(xí)相對比較容易進(jìn)行。后一過程的進(jìn)行則有相當(dāng)?shù)碾y度，其難就難在用數(shù)學(xué)的符合語言來描述函數(shù)單調(diào)性的定義時，如何才能最大限度地通過學(xué)生自己的思維活動來完成。這其中有兩個難點(diǎn)：

（1）“x增大”如何用符號表示；同樣，“f(x)增大”如何用符號表示。（2）“‘隨著’x增大，函數(shù)f(x)‘也’增大”，如何用符號表示。

用數(shù)學(xué)符號描述這兩種數(shù)學(xué)意義的最大要害之處，在于要用數(shù)學(xué)的符號來描述動態(tài)的數(shù)學(xué)對象。

在初中數(shù)學(xué)中，除了學(xué)習(xí)函數(shù)的初級概念，用y=f(x)表示函數(shù)y隨著自變量x的變化而變化時，接觸到一點(diǎn)動態(tài)數(shù)學(xué)對象的數(shù)學(xué)符號表示以外，絕大多數(shù)都是用數(shù)學(xué)符號表示靜態(tài)的數(shù)學(xué)對象。因此，從用靜態(tài)的數(shù)學(xué)符號描述靜態(tài)的數(shù)學(xué)對象，到用靜態(tài)的符號語言刻畫動態(tài)數(shù)學(xué)對象，在思維能力層次上存在重大差異，對剛剛由初中進(jìn)入高中學(xué)習(xí)的學(xué)生而言，無疑是一個很大的挑戰(zhàn)！

因此，在教學(xué)中可以提出如下問題2： 如何從解析式的角度說明

在上為增函數(shù)？

這個問題是形成函數(shù)單調(diào)性概念的關(guān)鍵。在教學(xué)中，教師可以組織學(xué)生先分組探究，然后全班交流，相互補(bǔ)充，并及時對學(xué)生的發(fā)言進(jìn)行反饋、評價，對普遍出現(xiàn)的問題組織學(xué)生討論，在辨析中達(dá)成共識.對于問題2，學(xué)生錯誤的回答主要有兩種：

①在給定區(qū)間內(nèi)取兩個數(shù)，例如1和2，因為函數(shù)． ,所以

在上為增②可以用0，1，2，3，4，5驗證： 在所以函數(shù)上是增函數(shù)。

對于這兩種錯誤，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步展開思考。例如，指出回答②試圖用自然數(shù)列來驗證結(jié)論，而且引入了不等式表示不等關(guān)系，但是，只是對有限幾個自然數(shù)驗證不行，只有當(dāng)所有的比較結(jié)果都是一樣的：自變量大時，函數(shù)值也大，才可以證明它是增函數(shù)，那么怎么辦？如果有的學(xué)生提出：引入非負(fù)實(shí)數(shù)a，只要證明

就可以了，這就把驗證的范圍由有限擴(kuò)大到了無限。教師應(yīng)適時指出這種驗證也有局限性，然后再讓學(xué)生思考怎樣做才能實(shí)現(xiàn)“任意性”就有堅實(shí)的基礎(chǔ)了。也就是，從給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個自變量,然后求差比較函數(shù)值的大小，從而得到正確的回答: 任意取在,有為增函數(shù)． ,即，所以這種回答既揭示了單調(diào)性的本質(zhì)，也讓學(xué)生領(lǐng)悟到兩點(diǎn)：(1)兩自變量的取值具有任意性；(2)求差比較它們函數(shù)值的大小。至此，學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性有了理性的認(rèn)識.在前面研究的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生歸納、抽象出函數(shù)單調(diào)性的定義，使學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般，從具體到抽象的認(rèn)知過程。

教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)符號語言歸納、抽象增函數(shù)的定義，并讓學(xué)生類比得到減函數(shù)的定義.然后指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真閱讀教材中有關(guān)單調(diào)性的概念,對定義中關(guān)鍵的地方進(jìn)行強(qiáng)調(diào).同時設(shè)計了一組判斷題：

判斷題：

①②若函數(shù)③若函數(shù)滿足f(2)

和(2,3)上均為增函數(shù)，則函數(shù)在(1,3)上為增函數(shù)．④因為函數(shù)減函數(shù).在上都是減函數(shù)，所以在上是通過對判斷題的討論，強(qiáng)調(diào)三點(diǎn)：

①單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，離開了定義域和相應(yīng)區(qū)間就談不上單調(diào)性． ②有的函數(shù)在整個定義域內(nèi)單調(diào)(如一次函數(shù))，有的函數(shù)只在定義域內(nèi)的某些區(qū)間單調(diào)(如二次函數(shù))，有的函數(shù)根本沒有單調(diào)區(qū)間(如常函數(shù))．

③函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個區(qū)間A,B上都是增（或減）函數(shù)，一般不能認(rèn)為函數(shù)在上是增（或減）函數(shù)．

從而加深學(xué)生對定義的理解

北京4中常規(guī)備課

【教學(xué)目標(biāo)】

1．使學(xué)生從形與數(shù)兩方面理解函數(shù)單調(diào)性的概念，初步掌握利用函數(shù)圖象和單調(diào)性定義判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法．

2．通過對函數(shù)單調(diào)性定義的探究，滲透數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達(dá)能力；通過對函數(shù)單調(diào)性的證明，提高學(xué)生的推理論證能力．

3．通過知識的探究過程培養(yǎng)學(xué)生細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、嚴(yán)謹(jǐn)論證的良好思維習(xí)慣，讓學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認(rèn)知過程．

【教學(xué)重點(diǎn)】 函數(shù)單調(diào)性的概念、判斷及證明．

【教學(xué)難點(diǎn)】 歸納抽象函數(shù)單調(diào)性的定義以及根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性． 【教學(xué)方法】 教師啟發(fā)講授，學(xué)生探究學(xué)習(xí)． 【教學(xué)手段】 計算機(jī)、投影儀． 【教學(xué)過程】

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題 課前布置任務(wù)：

(1)由于某種原因，2008年北京奧運(yùn)會開幕式時間由原定的7月25日推遲到8月8日，請查閱資料說明做出這個決定的主要原因.(2)通過查閱歷史資料研究北京奧運(yùn)會開幕式當(dāng)天氣溫變化情況.課上通過交流，可以了解到開幕式推遲主要是天氣的原因，北京的天氣到8月中旬，平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數(shù)等均開始下降，比較適宜大型國際體育賽事.下圖是北京市今年8月8日一天24小時內(nèi)氣溫隨時間變化的曲線圖.引導(dǎo)學(xué)生識圖，捕捉信息，啟發(fā)學(xué)生思考． 問題：觀察圖形，能得到什么信息？

預(yù)案：(1)當(dāng)天的最高溫度、最低溫度以及何時達(dá)到；(2)在某時刻的溫度；

(3)某些時段溫度升高，某些時段溫度降低.在生活中，我們關(guān)心很多數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，了解這些數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，對我們的生活是很有幫助的．

問題：還能舉出生活中其他的數(shù)據(jù)變化情況嗎？ 預(yù)案：水位高低、燃油價格、股票價格等．

歸納：用函數(shù)觀點(diǎn)看，其實(shí)就是隨著自變量的變化，函數(shù)值是變大還是變小． 〖設(shè)計意圖〗由生活情境引入新課，激發(fā)興趣．

二、歸納探索，形成概念

對于自變量變化時，函數(shù)值是變大還是變小，初中同學(xué)們就有了一定的認(rèn)識，但是沒有嚴(yán)格的定義，今天我們的任務(wù)首先就是建立函數(shù)單調(diào)性的嚴(yán)格定義.1．借助圖象，直觀感知

問題1：

分別作出函數(shù)數(shù)值有什么變化規(guī)律？ 的圖象，并且觀察自變量變化時，函

預(yù)案：(1)函數(shù)

在整個定義域內(nèi) y隨x的增大而增大；函數(shù)

在整個定義域內(nèi) y隨x的增大而減小．

(2)函數(shù)在上 y隨x的增大而增大，在上y隨x的增大而減?。?/p>

(3)函數(shù) 在上 y隨x的增大而減小，在上y隨x的增大而減?。?/p>

引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類描述(增函數(shù)、減函數(shù))．同時明確函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，是函數(shù)的局部性質(zhì)．

問題2：能不能根據(jù)自己的理解說說什么是增函數(shù)、減函數(shù)? 預(yù)案：如果函數(shù)

在某個區(qū)間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數(shù)

在某個區(qū)間上隨自變量x的增大，y越來越小，我們在該區(qū)間上為增函數(shù)；如果函數(shù)說函數(shù)在該區(qū)間上為減函數(shù)．

教師指出：這種認(rèn)識是從圖象的角度得到的，是對函數(shù)單調(diào)性的直觀，描述性的認(rèn)識． 【設(shè)計意圖】從圖象直觀感知函數(shù)單調(diào)性，完成對函數(shù)單調(diào)性的第一次認(rèn)識． 2．探究規(guī)律，理性認(rèn)識

問題1：下圖是函數(shù)和減函數(shù)嗎？ 的圖象,能說出這個函數(shù)分別在哪個區(qū)間為增函數(shù)

學(xué)生的困難是難以確定分界點(diǎn)的確切位置．

通過討論，使學(xué)生感受到用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結(jié)合解析式進(jìn)行嚴(yán)密化、精確化的研究．

〖設(shè)計意圖〗使學(xué)生體會到用數(shù)量大小關(guān)系嚴(yán)格表述函數(shù)單調(diào)性的必要性． 問題2：如何從解析式的角度說明

在為增函數(shù)？

22預(yù)案：(1)在給定區(qū)間內(nèi)取兩個數(shù)，例如1和2，因為1<2,所以為增函數(shù)．

(2)仿(1)，取很多組驗證均滿足，所以(3)任取，所以

在,因為

為增函數(shù)．

在為增函數(shù)．

在,即對于學(xué)生錯誤的回答，引導(dǎo)學(xué)生分別用圖形語言和文字語言進(jìn)行辨析,使學(xué)生認(rèn)識到問題的根源在于自變量不可能被窮舉，從而引導(dǎo)學(xué)生在給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個自變量．

【設(shè)計意圖】把對單調(diào)性的認(rèn)識由感性上升到理性認(rèn)識的高度,完成對概念的第二次認(rèn)識．事實(shí)上也給出了證明單調(diào)性的方法，為證明單調(diào)性做好鋪墊.3．抽象思維，形成概念

問題：你能用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號語言表述出增函數(shù)的定義嗎?

師生共同探究，得出增函數(shù)嚴(yán)格的定義，然后學(xué)生類比得出減函數(shù)的定義．(1)板書定義(2)鞏固概念 判斷題：

①．

②若函數(shù)

③若函數(shù) 在區(qū)間

和(2,3)上均為增函數(shù)，則函數(shù)

在區(qū)間(1,3)上為增函

．

④因為函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).上都是減函數(shù)，所以在

通過判斷題，強(qiáng)調(diào)三點(diǎn)：

①單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，離開了定義域和相應(yīng)區(qū)間就談不上單調(diào)性． ②對于某個具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以是整個定義域(如一次函數(shù))，可以是定義域內(nèi)某個區(qū)間(如二次函數(shù))，也可以根本不單調(diào)(如常函數(shù))．

③函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個區(qū)間A,B上都是增（或減）函數(shù)，一般不能認(rèn)為函數(shù)在上是增（或減）函數(shù)．

思考：如何說明一個函數(shù)在某個區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)? 【設(shè)計意圖】讓學(xué)生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出單調(diào)性的定義，通過對判斷題的辨析，加深學(xué)生對定義的理解，完成對概念的第三次認(rèn)識.三、掌握證法，適當(dāng)延展

例 證明函數(shù)

在上是增函數(shù)．

1．分析解決問題

針對學(xué)生可能出現(xiàn)的問題，組織學(xué)生討論、交流．

證明：任取 ，設(shè)元

求差

變形，斷號

∴

∴

即

∴函數(shù)

2．歸納解題步驟

在上是增函數(shù)．

定論

引導(dǎo)學(xué)生歸納證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：設(shè)元、作差、變形、斷號、定論．

練習(xí)：證明函數(shù)

問題：要證明函數(shù)

在區(qū)間

上是增函數(shù)，除了用定義來證，如果可以證得對

在上是增函數(shù)．

任意的，且有可以嗎? 引導(dǎo)學(xué)生分析這種敘述與定義的等價性．讓學(xué)生嘗試用這種等價形式證明函數(shù)在

〖設(shè)計意圖〗初步掌握根據(jù)定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟．等價形式進(jìn)一步發(fā)展可以得到導(dǎo)數(shù)法，為用導(dǎo)數(shù)方法研究函數(shù)單調(diào)性埋下伏筆．

四、歸納小結(jié)，提高認(rèn)識

學(xué)生交流在本節(jié)課學(xué)習(xí)中的體會、收獲，交流學(xué)習(xí)過程中的體驗和感受，師生合作共同完成小結(jié)．

1．小結(jié)

(1)概念探究過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性．(2)證明方法和步驟：設(shè)元、作差、變形、斷號、定論．(3)數(shù)學(xué)思想方法和思維方法：數(shù)形結(jié)合，等價轉(zhuǎn)化，類比等． 2．作業(yè)

書面作業(yè)：課本第60頁習(xí)題2.3 第4，5，6題． 課后探究：(1)證明：函數(shù)

在區(qū)間

上是增函數(shù)的充要條件是對任意的上是增函數(shù)．，且

有．

(2)研究函數(shù)的單調(diào)性，并結(jié)合描點(diǎn)法畫出函數(shù)的草圖．

《函數(shù)的單調(diào)性》教學(xué)設(shè)計說明

一、教學(xué)內(nèi)容的分析

函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)生在了解函數(shù)概念后學(xué)習(xí)的函數(shù)的第一個性質(zhì)，是函數(shù)學(xué)習(xí)中第一個用數(shù)學(xué)符號語言刻畫的概念，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)其它性質(zhì)提供了方法依據(jù)． 對于函數(shù)單調(diào)性，學(xué)生的認(rèn)知困難主要在兩個方面：（1）要求用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號語言去刻畫圖象的上升與下降，這種由形到數(shù)的翻譯，從直觀到抽象的轉(zhuǎn)變對高一的學(xué)生是比較困難的；（2）單調(diào)性的證明是學(xué)生在函數(shù)內(nèi)容中首次接觸到的代數(shù)論證內(nèi)容，而學(xué)生在代數(shù)方面的推理論證能力是比較薄弱的．根據(jù)以上的分析和教學(xué)大綱的要求，確定了本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)．

二、教學(xué)目標(biāo)的確定

根據(jù)本課教材的特點(diǎn)、教學(xué)大綱對本節(jié)課的教學(xué)要求以及學(xué)生的認(rèn)知水平，從三個不同的方面確定了教學(xué)目標(biāo)，重視單調(diào)性概念的形成過程和對概念本質(zhì)的認(rèn)識；強(qiáng)調(diào)判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法的落實(shí)以及數(shù)形結(jié)合思想的滲透；突出語言表達(dá)能力、推理論證能力的培養(yǎng)和良好思維習(xí)慣的養(yǎng)成．

三、教學(xué)過程的設(shè)計

為達(dá)到本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，教學(xué)上采取了以下的措施：（1）在探索概念階段, 讓學(xué)生經(jīng)歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認(rèn)知過程，完成對單調(diào)性定義的三次認(rèn)識,使得學(xué)生對概念的認(rèn)識不斷深入．

（2）在應(yīng)用概念階段,通過對證明過程的分析，幫助學(xué)生掌握用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟．

（3）考慮到我校學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好、思維較為活躍的特點(diǎn)，對判斷方法進(jìn)行適當(dāng)?shù)难诱?，加深對定義的理解，同時也為用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性埋下伏筆．

第三篇：函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)的單調(diào)性說課稿(市級一等獎)函數(shù)單調(diào)性說課稿 《函數(shù)的單調(diào)性》說課稿(市級一等獎)旬陽縣神河中學(xué) 詹進(jìn)根

我說課的課題是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗教科書 必修1》第二章第三節(jié)——函數(shù)的單調(diào)性。我將根據(jù)新課標(biāo)的理念和高一學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)設(shè)計本節(jié)課的教學(xué)。我從下面三個方面闡述我對這節(jié)課的理解和教學(xué)設(shè)計。

一、教材分析

1、教材內(nèi)容

本節(jié)課是北師大版(必修一)第二章函數(shù)第三節(jié)——函數(shù)的單調(diào)性，本節(jié)課內(nèi)容教材主要學(xué)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性的概念，依據(jù)函數(shù)圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性和應(yīng)用定義證明函數(shù)的單調(diào)性。

2、教材的地位和作用

函數(shù)是本章的核心概念，也是中學(xué)數(shù)學(xué)中的基本概念，函數(shù)貫穿整個高中數(shù)學(xué)課程。在歷年的考題中?？?，函數(shù)的思想也是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的重要思想。在這一節(jié)中利用函數(shù)圖象研究函數(shù)性質(zhì)的數(shù)形結(jié)合思想將貫穿于整個高中數(shù)學(xué)教學(xué)。

函數(shù)的基本性質(zhì)包括單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性、有界性。而我們今天學(xué)習(xí)的內(nèi)容就是函數(shù)基本性質(zhì)中的一種——單調(diào)性。函數(shù)的單調(diào)性是用代數(shù)方法研究函數(shù)圖象局部變化趨勢的。函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)生初中學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象的基礎(chǔ)上對增減性有一個初步的感性認(rèn)識，是函數(shù)概念的延續(xù)和拓展，又是后續(xù)研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等內(nèi)容的基礎(chǔ)，對進(jìn)一步探索、研究函數(shù)的其他性質(zhì)有著示范性的作用，對解決各種數(shù)學(xué)問題有著廣泛作用。此外在比較數(shù)的大小、極限、導(dǎo)數(shù)以及相關(guān)的數(shù)學(xué)綜合問題中也有廣泛的應(yīng)用，它是整個高中數(shù)學(xué)中起著承上啟下作用的核心知識之一。通過對本節(jié)課的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生領(lǐng)會函數(shù)單調(diào)性的概念、掌握證明函數(shù)單調(diào)性的步驟，并能運(yùn)用單調(diào)性知識解決一些簡單的實(shí)際問題。通過上述活動，加深對函數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識。更主要本節(jié)教學(xué)過程中還滲透了探索發(fā)現(xiàn)、數(shù)形結(jié)合、歸納轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，這對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識、發(fā)展學(xué)生的思維能力，掌握數(shù)學(xué)的思想方法具有重大意義。

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性在整個教材內(nèi)容中的地位和作用，并結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知水平，本節(jié)課教學(xué)應(yīng)實(shí)現(xiàn)如下教學(xué)目標(biāo)。

3、教學(xué)目標(biāo)

知識與技能:理解函數(shù)單調(diào)性和單調(diào)函數(shù)的意義;會判斷和證明簡單函數(shù)的單調(diào)性。

過程與方法:培養(yǎng)從概念出發(fā)，進(jìn)一步研究其性質(zhì)的意識及能力;體會感悟數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學(xué)思想。

情感態(tài)度與價值觀:領(lǐng)會用運(yùn)動的觀點(diǎn)去觀察分析事物的方法，培養(yǎng)學(xué)生細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、嚴(yán)謹(jǐn)論證的良好思維習(xí)慣;由合適的例子引發(fā)學(xué)生探求數(shù)學(xué)知識的欲望，突出學(xué)生的主觀能動性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。

4(教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn): 函數(shù)單調(diào)性的概念，判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性;1 函數(shù)單調(diào)性說課稿 教學(xué)難點(diǎn): 根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性和利用函數(shù)圖像證明單調(diào)性。

二、教法與學(xué)法 1(教學(xué)方法 本節(jié)課是函數(shù)單調(diào)性的起始課，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生的認(rèn)知水平，本節(jié)課主要采用“創(chuàng)設(shè)情景、問題探究、合作交流、歸納總結(jié)、聯(lián)系鞏固”的教學(xué)方式，這樣既增加了教師與學(xué)生、學(xué)生與學(xué)生之間的交流，又能激發(fā)學(xué)生的求知欲，調(diào)動學(xué)生積極性，使他們思路更加開闊，思維更加敏捷。

2(教學(xué)手段

教學(xué)中使用多媒體輔助教學(xué)，目的是充分發(fā)揮其快捷、生動、形象的特點(diǎn)，為學(xué)生提供直觀感性的材料，有助于學(xué)生對問題的理解和認(rèn)識。

3(學(xué)法

高一學(xué)生知識上已經(jīng)掌握了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象和基本性質(zhì)等內(nèi)容，但對知識的理解和方法的掌握上不完備，反應(yīng)在解題中就是思維不嚴(yán)密，過程不完整;能力上具備了一定的觀察、類比、分析、歸納能力，但知識整合和主動遷移的能力較弱，數(shù)形結(jié)合的意識和思維的深刻性還需進(jìn)一步培養(yǎng)和加強(qiáng)，所以應(yīng)從下面兩方面來提高學(xué)生的水平。

(1)讓學(xué)生利用圖形直觀感受;(2)讓學(xué)生“設(shè)問、嘗試、歸納、總結(jié)、運(yùn)用”，重視學(xué)生的主動參與，注重信息反饋，通過引導(dǎo)學(xué)生多思、多說、多練，使認(rèn)識得到深化。

三、教學(xué)過程

本節(jié)課的教學(xué)過程包括:創(chuàng)設(shè)情境，引入課題;歸納探索，形成概念;鞏固提高，深化概念;歸納小結(jié)，提高認(rèn)識.具體過程如下:(一)創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

我們知道，函數(shù)是刻畫事物變化的工具。在2003年抗擊非典型肺炎時，衛(wèi)生部門對疫情進(jìn)行了通報。如下圖是北京從4月21日到5月19日期間每日新增病例的變化統(tǒng)計圖。

思考如何用數(shù)學(xué)語言刻畫疫情變化, [設(shè)計意圖]:通過實(shí)際生活中的例子讓學(xué)生對圖像的上升和下降有一個初步感性認(rèn)識，為下一步對概念的理性認(rèn)識作好鋪墊。同時通過多媒體展示，能夠提高學(xué)生的興趣，增強(qiáng)直觀性，拉近數(shù)學(xué)與實(shí)際的距離，感受數(shù)學(xué)源于生活,讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光去關(guān)注生活。函數(shù)單調(diào)性說課稿(二)歸納探索，形成概念

在本階段的教學(xué)中，為使學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)概念的形成與發(fā)展過程和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，加深對函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)的認(rèn)識，我設(shè)計了幾個環(huán)節(jié),引導(dǎo)學(xué)生分別完成對單調(diào)性定義的認(rèn)識.1、提出問題，觀察變化

12問題:分別做出函數(shù)的圖像，指出上面四yxyxyxy,，，，，2,1， x 個函數(shù)圖象在哪個區(qū)間是上升的，在哪個區(qū)間是下降的, 8 688 86466 44422 22-10-5510-10-5510-10-5510-10-5510-2-2-2-2-4-4-4-6-4-6-6-8-6-8-8-8 12 yx,，2yx，，1yx,y,x 通過學(xué)生熟悉的圖像，及時引導(dǎo)學(xué)生觀察，函數(shù)圖像上A點(diǎn)的運(yùn)動情況，引導(dǎo)學(xué)生能用自然語言描述出，隨著增大時圖像變化規(guī)律。讓學(xué)生大膽的去說，x 老師逐步修正、完善學(xué)生的說法，最后給出正確答案。

【設(shè)計意圖】 新課標(biāo)十分注重初中與高中的銜接，注重通過函數(shù)的圖像，研究函數(shù)的基本性質(zhì)。以學(xué)生們熟悉的函數(shù)為切入點(diǎn)，盡量做到從直觀入手，順應(yīng)同學(xué)們的認(rèn)知規(guī)律。第三個、第四個函數(shù)圖像的上升與下降要分段說明，通過討論使學(xué)生明確函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，是函數(shù)的局部性質(zhì)（2、步步深化，形成概念 2觀察函數(shù)y=x隨自變量x 變化的情況，設(shè)置啟發(fā)式問題:(1)在y軸的右側(cè)部分圖象具有什么特點(diǎn),(2)如果在y軸右側(cè)部分取兩個點(diǎn)(x，y)，(x，y)，當(dāng)x

【設(shè)計意圖】通過啟發(fā)式提問，實(shí)現(xiàn)學(xué)生從“圖形語言”到 “文字語言”到 “符號語言”認(rèn)識函數(shù)的單調(diào)性，實(shí)現(xiàn)“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)換。另外，對“任意性”的理解，我特設(shè)計了問題(2)、(3)，達(dá)到步步深入，從而突破難點(diǎn)，突出重點(diǎn)的目的。通過對以上問題的分析，從正、反兩方面領(lǐng)會函數(shù)單調(diào)性。師生共同總結(jié)出單調(diào)增函數(shù)的定義，并解讀定義中的關(guān)鍵詞，如:區(qū)間內(nèi)，任意，當(dāng)<時，xx12都有<。f(x)f(x)12 仿照單調(diào)增函數(shù)定義，由學(xué)生說出單調(diào)減函數(shù)的定義。3 函數(shù)單調(diào)性說課稿

教師總結(jié)歸納單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間的定義。

注意強(qiáng)調(diào):函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在定義域某個區(qū)間上的局部性質(zhì)，也就是說，一個函數(shù)在不同的區(qū)間上可以有不同的單調(diào)性。

【設(shè)計意圖】通過問題的分解，引導(dǎo)學(xué)生步步深入，直至找到最準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言來描述定義。體現(xiàn)從簡單到復(fù)雜、具體到抽象的認(rèn)知過程。在課堂教學(xué)中教師引導(dǎo)學(xué)生探索獲得知識、技能的途徑和方法。通過探索，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和運(yùn)動變化的觀點(diǎn)，同時充分利用圖形的直觀性，滲透了數(shù)形結(jié)合的思想，學(xué)生在探索的過程中品嘗到了自己勞作后的甘甜，感受到耕耘后的豐收喜悅，更激起了學(xué)生的探索創(chuàng)新意識。

3(鞏固提高，深化概念

本環(huán)節(jié)在前面研究的基礎(chǔ)上，加深學(xué)生進(jìn)一步理解函數(shù)單調(diào)性定義本質(zhì)，完成對概念的再一次認(rèn)識.練習(xí)1:如下圖給出的函數(shù)，你能說出它的函數(shù)值隨自變量值的變化情yx況嗎?

怎樣用數(shù)學(xué)語言表達(dá)函數(shù)值的增減變化呢? 1f(x),例1 說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并指明在該區(qū)間上的單調(diào)性.x 練習(xí)2:判斷下列說法是否正確

(1)定義在R上的函數(shù)滿足，則函數(shù)是R上的增函數(shù)。f(x)f(2),f(1)(2)定義在R上的函數(shù)滿足，則函數(shù)是R上不是減函數(shù)。f(x)f(2),f(1)1(3)已知函數(shù)，因為是增函數(shù)。所以函數(shù)fx()y,ff(1)(2)，，x，，(4)定義在R上的函數(shù)在，,0,上是增函數(shù)，在0,，,上也是增函數(shù)，f(x)則函數(shù)是R上的增函數(shù)。

(5)函數(shù)在上都是減函數(shù)，所以在

上是減函數(shù)。

例2 畫出函數(shù)的圖像，判斷它的單調(diào)性，并加以證明。f(x),3x，2 通過對上述幾題討論，加深學(xué)生對定義的理解。強(qiáng)調(diào)以下三點(diǎn)，完成本階段的教學(xué): ?單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，離開了定義域和相應(yīng)區(qū)間就談不上單調(diào)性。函數(shù)單調(diào)性說課稿

?有的函數(shù)在整個定義域內(nèi)單調(diào)(如一次函數(shù))，有的函數(shù)只在定義域內(nèi)的某些區(qū)間單調(diào)(如二次函數(shù))，有的函數(shù)根本沒有單調(diào)區(qū)間(如常函數(shù))。

?函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個區(qū)間A,B上都是增(或減)函數(shù)，一般不能認(rèn)為函數(shù)在上是增(或減)函數(shù)。

【設(shè)計意圖】函數(shù)單調(diào)性定義產(chǎn)生是本節(jié)課的難點(diǎn)，難在:如何使學(xué)生從描述性語言過渡到嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言。而對嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言的準(zhǔn)確理解及正確應(yīng)用更是學(xué)生薄弱環(huán)節(jié)，這里通過問題研討體現(xiàn)了以學(xué)生為主體，師生互動合作的教學(xué)新理念。例1主要是從圖形上判斷函數(shù)的單調(diào)性;例2主要對數(shù)形結(jié)合，定義法證明函數(shù)的單調(diào)性的只是鞏固與應(yīng)用.(四)歸納小結(jié)，提高認(rèn)識

歸納小結(jié)是鞏固新知識不可或缺的環(huán)節(jié)之一，本節(jié)課我采用組織和指導(dǎo)學(xué)生自己談學(xué)習(xí)收獲的方式對所學(xué)知識進(jìn)行歸納，深化對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識，為后續(xù)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)(1(本節(jié)小結(jié)

函數(shù)單調(diào)性定義，判斷函數(shù)單調(diào)性的方法(圖像、定義)在方法層面上，引導(dǎo)學(xué)生回顧判斷，證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟;引導(dǎo)學(xué)生體會探究過程中用到的思想方法和思維方法，如數(shù)形結(jié)合，等價轉(zhuǎn)化，類比等。

2(布置作業(yè)

課后作業(yè)實(shí)施分層設(shè)置，書面作業(yè)、課后思考.作業(yè)布置:教材第38頁的第2，3，5題 思考交流:問題 如果可以證明對任意的，且，有xxab,(,),xx,1212fxfx()(),21，能斷定函數(shù)在上是增函數(shù)嗎? fx()(,)ab,0xx,21 【設(shè)計意圖】:目的是加深學(xué)生對定義的理解，讓學(xué)生體會這種敘述與定義的等價性，而且這種方法進(jìn)一步發(fā)展可以得到導(dǎo)數(shù)法，為今后用導(dǎo)數(shù)方法研究函數(shù)單調(diào)性埋下伏筆。

以上各個環(huán)節(jié)，環(huán)環(huán)相扣，層層深入，注意調(diào)動學(xué)生自主探究與合作交流，努力實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，也使新課標(biāo)理念能夠得到很好的落實(shí)。

各位評委，本節(jié)課我在概念教學(xué)上進(jìn)行了一些嘗試.在教學(xué)過程中，我努力創(chuàng)設(shè)一個探索數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)環(huán)境,通過設(shè)計一系列問題,使學(xué)生在探究問題的過程中，親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的發(fā)生與發(fā)展過程，從而逐步把握概念的實(shí)質(zhì)內(nèi)涵,深入理解概念。函數(shù)單調(diào)性說課稿 附一:板書設(shè)計 函數(shù)的單調(diào)性

一、函數(shù)單調(diào)性的概念

三、例題講解

四、課堂練習(xí)

二、證明函數(shù)單調(diào)性的步驟 例1:

五、布置作業(yè) 例2: 小結(jié)和作業(yè)在多媒體上展示，這樣的板書簡明清楚，重點(diǎn)突出，加深學(xué)生對重點(diǎn)知識的理解和掌握，同時便于記憶，有利于提高教學(xué)效果.6 函數(shù)單調(diào)性說課稿 7

第四篇：函數(shù)單調(diào)性教案(簡單)

函數(shù)單調(diào)性

一、教學(xué)目標(biāo)

1、建立增（減）函數(shù)及單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間的概念

2、掌握如何從函數(shù)圖象上看出單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性

3、掌握如何利用定義證明一段區(qū)間上的函數(shù)單調(diào)性

二、教學(xué)重難點(diǎn)

1、了解增（減）函數(shù)定義

2、用定義法證明一段區(qū)間上的函數(shù)單調(diào)性

三、教材、學(xué)情分析

單調(diào)性是處于教材《數(shù)學(xué)?必修一》B版第二章第一節(jié)，初中對單調(diào)性有著初步感性認(rèn)識，到這節(jié)課我們給單調(diào)性嚴(yán)格的定義。單調(diào)性是對函數(shù)概念的延續(xù)和擴(kuò)展，也是我們后續(xù)研究函數(shù)的基礎(chǔ)，可以說，起到了承上啟下的作用。

四、教學(xué)方法

數(shù)形結(jié)合法、講解法

五、教具、參考書

三角尺、PPT、數(shù)學(xué)必修

一、教師教學(xué)用書

六、教學(xué)過程

（一）知識導(dǎo)入

引入廣寧縣一天氣溫變化折線圖

詢問學(xué)生今天的溫度是如何變化的？

學(xué)生答：氣溫先上升，到了14時開始不斷下降。

由此導(dǎo)入函數(shù)圖像的上升下降變化，給出f（x）=x和f（x）=x2的圖像，詢問學(xué)生，這兩個函數(shù)圖象是如何變化的？

學(xué)生答：前一個不斷上升，后一個在y軸左邊下降，在y軸右邊上升。再詢問學(xué)生并提醒學(xué)生回答：從上面的觀察分析，能得出什么結(jié)論？

不同的函數(shù)，其圖像的變化趨勢不同，同一函數(shù)在不同區(qū)間上的變化趨勢也不同，函數(shù)圖像的變化規(guī)律就是函數(shù)性質(zhì)的反映。

教師：那么這就是我們要研究的單調(diào)性。

（二）給出定義。

教師：首先我們來看一下一元二次函數(shù)y=x2的圖象的對應(yīng)值表，當(dāng)x從0到5上變化時，y是如何變化的。生：隨著x的增大而增大

教師：那么我們在這段上升區(qū)間中任取兩個x1，x2，x1

教師順勢引導(dǎo)出增函數(shù)的概念，再由增函數(shù)類比畫圖演示，引導(dǎo)出減函數(shù)的概念。強(qiáng)調(diào)增（減）函數(shù)概念，尤其是在區(qū)間內(nèi)任取x1，x2這句話的理解。由增（減）函數(shù)可以引出單調(diào)區(qū)間的定義，不作很詳細(xì)講解。給出例題讓學(xué)生思考作答，進(jìn)一步鞏固知識點(diǎn)。

（三）證明方法

讓學(xué)生們思考例二（思想為用定義法證明一段區(qū)間的單調(diào)性）并嘗試解答，一段時間后教師給學(xué)生講解。

講解完例題后，引導(dǎo)學(xué)生歸納用定義法正明一段區(qū)間的單調(diào)性的方法：

1、設(shè)元。

2、做差。

3、變形。

4、斷號。

5、定論。

（四）鞏固深化

思考：函數(shù)y=1/x 的定義域I是什么？在定義域I上的單調(diào)性是怎樣的？

通過這道問題的講解說明，讓學(xué)生們意識到單調(diào)性是離不開區(qū)間的且單調(diào)區(qū)間不能求并。

（五）課堂小結(jié)

再次對

1、增（減）函數(shù)定義。

2、增（減）函數(shù)的圖象有什么特點(diǎn)？如何根據(jù)圖象指出單調(diào)區(qū)間。

3、怎樣用定義證明函數(shù)的單調(diào)性？三個問題進(jìn)行闡述，牢固學(xué)生記憶和理解。

（六）布置作業(yè)。

第五篇：專題：函數(shù)單調(diào)性的證明

函數(shù)單調(diào)性的證明

函數(shù)的單調(diào)性需抓住單調(diào)性定義來證明，這是目前高一階段唯一的方法。

一、證明方法步驟為：

① 在給定區(qū)間上任取兩個自變量x1、x2且x1＜x2 ② 將f?x1?與f?x2?作差或作商（分母不為零）

③ 比較差值（商）與0（1）的大小 ④ 下結(jié)論，確定函數(shù)的單調(diào)性。

在做差比較時，我們常將差化為積討論，常用因式分解（整式）、通分（分式）、有理化（無理式）、配方等手段。

二、常見的類型有兩種：

（一）已知函數(shù)的解析式：

1例1：證明：函數(shù)f?x?=在x∈（1，+∞）單調(diào)遞減

x-

1例2：證明：函數(shù)f?x?=x+x+1在x∈R時單調(diào)遞增

3[1，+?）時單調(diào)遞增 例3：證明：函數(shù)f?x?=x-1在x∈2

例4：討論函數(shù)f?x?=x+

1在（1，+?）的單調(diào)性，并求最小值 x-1

例5：求函數(shù)f?x?= x+2的單調(diào)區(qū)間 x-1+?）單調(diào)遞增 練習(xí)：

1、證明函數(shù)f?x?=x+（a＞0）在（a，2、討論函數(shù)f?x?=1+x-x的單調(diào)性

2ax

（二）f?x?抽象函數(shù)的單調(diào)性：

抽象函數(shù)的單調(diào)性關(guān)鍵是抽象函數(shù)關(guān)系式的運(yùn)用，同時，要注意選擇作差還是作商，這一點(diǎn)可觀察題意中與0比較，應(yīng)作差；與1比較，應(yīng)作商。如下三例：

例1：已知函數(shù)滿足x、y∈R時，f(x?y)?f(x)?f(y)恒成立，且當(dāng)x＞0時，＞0.證明：f(x)在R上單調(diào)遞增.例2：已知函數(shù)滿足x、y∈R時，f(xy)?f(x)?f(y)恒成立，且當(dāng)x＞1時，0.證明：f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.例3：已知函數(shù)滿足x、y∈R時，f(xy)?f(x)?f(y)恒成立，且當(dāng)x＞1時，1.若f(x)?0.證明：f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.練習(xí)：

1、已知函數(shù)

f?x?對于任意的x、y∈R，f?x?+f?y?=f?x+y?，且當(dāng)x＞0時，f?x?＜0；f?1?=-23.f(x)＞f(x)＞總有（1）求證：f?x?在R上是減函數(shù)

（2）求f?x?在[-3，3]上的最大值與最小值

2、已知函數(shù)f?x?的定義域為R，且m、n∈R，恒有f?m?+f?n?=f?m+n?+1，且f?-＞-?1??=0，當(dāng)x?2?1時，f?x?＞0.2（1）求證：f?x?是單調(diào)遞增函數(shù)（2）求f?x?在[-2,2]的最大值與最小值.3、定義在R上的函數(shù)f?x?恒為正，且滿足f?x+y?=f?x?f?y?，當(dāng)x＞0時，f?x?＞1.（1）證明：f?x?在R上單調(diào)遞增.2（2）若函數(shù)f?x?的定義域為[-1,1]時，解不等式fx-1＞f?2x?

??

4、函數(shù)f?x?的定義域為R，對于任意的a、b∈R皆有f?a?+f?b?=f?a+b?+1，且x＞0時，f?x?＞1（1）求證：f?x?是R上的增函數(shù)

2（2）若f?4?=5，解不等式f3m-m-2＜3

??3