第一篇：[中考數(shù)學(xué)]析初中幾何題證明中思維受阻原因及教學(xué)策略

析初中幾何題證明中思維受阻原因及教學(xué)策略

對(duì)來(lái)自題目的眾多信息進(jìn)行加工處理,是完成幾何論證的主要工作,也是幾何論證中的關(guān)鍵所在。本文主要對(duì)學(xué)生論證時(shí)思維受阻的原因作些淺析,并著重提出相應(yīng)的教學(xué)對(duì)策。

一、由于不能完整剖析圖形、正確判斷各種信息而引起的思維受阻及其對(duì)策觀察能力、作圖能力、直覺(jué)能力相對(duì)較弱的學(xué)生,他們不能完整地剖析圖形,不能從中找出全部對(duì)證題有用的信息,甚至造成信息錯(cuò)覺(jué),致使思維受阻,表現(xiàn)為: 1.不能作出正確的圖形,這容易曲解題中的正確信息。

對(duì)策:要求學(xué)生(1)作圖時(shí)須按照題設(shè)和題斷所提供的信息,注意“平行”、“直”、“等角”、“中點(diǎn)”等位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系。

(2)注意線段之間、圖形之間的大小比例關(guān)系。2.抓不住圖形中顯示出來(lái)的對(duì)證題有用的信息, 如:相等線段和相等兩角、平行線、全等三角形、特殊四邊形、相似形、對(duì)稱(chēng)形等。

對(duì)策:在不影響圖形清晰度的前提下,可將這些有用信息用一定記號(hào)標(biāo)在圖形上,以增強(qiáng)直觀性,減輕記憶量,也可將這些信息按主次順序或在圖形中的位置順序暫存入頭腦中的信息庫(kù)。3.不能及時(shí)擯棄圖形中顯示出來(lái)的否定的、多余的信息;如這兩角不可能相等,那兩個(gè)三角形不可能全等。

對(duì)策:通過(guò)全面剖視,仔細(xì)觀察圖形中的量和關(guān)系,正確判斷哪些信息是有用的,否定的或多余的。

例

1、如圖,已知:AB=AC,A、C、D在一直線上,CD=BE。求證:EF=FD。

對(duì)證題有用的信息是:∠B=∠ACB,BE=CD,多余的信息是∠ACB+∠BCD=180°,否定的信息是△BEF不全等于△CDF,能力低的學(xué)生容易陷入企圖證明△BEF≌△CDF的“死胡同”。幾何中,“形”是先導(dǎo),正確的圖形常使對(duì)證題有用的信息昭然若揭,反之,不正確的圖形非但不能正確反映有用的信息,還會(huì)干擾正確信息的攝取,以致證題誤入歧途。因此,證題者必須繪制一個(gè)足夠清晰的正確圖形,以便認(rèn)清圖形結(jié)構(gòu),完整剖析其中的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系和相互制約關(guān)系。

二、由于證題策略不當(dāng)而引起的思維受阻及其對(duì)策整體觀念較差的學(xué)生,對(duì)于來(lái)自題目的眾多信息感到紛亂無(wú)序,不善于梳理信息,因而制訂不出正確的證題策略、方案,導(dǎo)致思維受阻。主要表現(xiàn)為:制訂證題策略、“篩選”證題方案的能力較弱,往往無(wú)一定方案或擇錯(cuò)方案。

對(duì)策:把來(lái)自題目的各種有用信息進(jìn)行有目的的組合交錯(cuò),從而萌發(fā)出多種證題方案,而這些初步方案中有真有偽、有優(yōu)有劣,然后再進(jìn)行“篩選”。

例2 已知:△ABC中,∠A=90°,AD為BC上的高。求證:AD+BC>AB+AC。

這里,把各種有用信息:∠BAC =∠ADB =∠ADC=90°,△ABC∽△ABD∽△ACD，BC·AD=AB·AC,……以及三角形中ABAB,AD+ DC>AC,這樣得不出結(jié)論,此方案不行。

方案二:如圖(1)所示,由“BC>AB,AC>AD”取BE= AB, AF= AD,連結(jié)EF、AE,以下只要證得 ∠EFG=90°即可。

方案三:如圖(2)所示,由“BC>AB”,取BE=AB,作EF⊥AC,證得AD=AF便不難得到結(jié)論。此外,還可用“等積法”、“求差法”、“逆證法”、“三角比”等等來(lái)設(shè)計(jì)此題的各種論證方案。

三、由于處理信息欠妥而引起的思維受阻及其對(duì)策對(duì)接收到的信息進(jìn)行處理,是幾何論證的主要過(guò)程,這是一個(gè)反復(fù)使用觀察、比較、分析、綜合、判斷、推理等一系列思維活動(dòng)的過(guò)程。在這過(guò)程中逐步地簡(jiǎn)縮題設(shè)與結(jié)論之間的差距,尋找題設(shè)與結(jié)論的連接點(diǎn),形成證題思路。在此過(guò)程中引起這種思維受阻的 原因主要有: 1.由于證題經(jīng)驗(yàn)不足、模式不多,因此,對(duì)待新的題目感到不知所措對(duì)策:(1)由于新題目往往是舊題目的變形或變異,或是舊題目的延伸與發(fā)展,這就用得著“憑經(jīng)驗(yàn)辦事”(但并不單純依賴(lài)于經(jīng)驗(yàn)),通過(guò)檢索,把貯存在頭腦中的證題經(jīng)驗(yàn)和模式輸出,對(duì)照新、舊題目,找出它們的共同點(diǎn)、相似之處和相異之處,看看已有的經(jīng)驗(yàn)和模式能否移植到新題目上。

(2)把新題目化為一個(gè)與舊題目有著基本聯(lián)系的題目或化為一個(gè)與它等價(jià)的但較簡(jiǎn)單的題目。也可先分別化簡(jiǎn)題目的題設(shè)與結(jié)論再找它與舊題目的聯(lián)系。如:有時(shí)可轉(zhuǎn)向證原題的逆否命題。

例3 已知:⊙O的兩切線l1∥l2。另一切線CD切⊙O于E并交l1、l2于C、D。求證:CE·ED等于定值。

證題經(jīng)驗(yàn)告訴學(xué)生,先移動(dòng)CD,使CD⊥l1,則求得定值是⊙O的半徑r的平方。根據(jù)CE·ED=r2這一形式、特征,檢索證題模式,證題者類(lèi)比地聯(lián)想到直角三角形中的射影定理,但此題涉及的是圓,哪有直角三角形的影蹤?看能否從圖形中分割出具有射影性質(zhì)的直角三角形(模式)?應(yīng)連結(jié)OE。則OE⊥CD,與舊模式吻合。再連結(jié)OC、OD,需要證明 ∠COD=90°,這由題設(shè)“切線l1∥l2”及圓外一點(diǎn)引圓切線的有關(guān)性質(zhì)易得。

2.解題能力低的學(xué)生由于直觀能力、辨異能力較弱,常被錯(cuò)綜復(fù)雜的幾何圖形所迷惑,思維難以逼近題目的內(nèi)核,造成思路中斷對(duì)策:因?yàn)閺?fù)雜圖形通常是由幾個(gè)基本圖形復(fù)合而成的,所以可從復(fù)雜圖形中辨認(rèn)、分離出若干個(gè)基本圖形,或?qū)埲辈蝗幕緢D形補(bǔ)全(這往往是添 輔助線的啟示)。

例

4、已知:AD是△ABC的角平分線,BD⊥AO且交AO延長(zhǎng)線于D,E是BC中點(diǎn)。求證:ED=12(AB-AC)。

此題初看似乎較難入手,但觀察到“AD平分∠且AD⊥BD”,隱現(xiàn)出殘缺的基本圖形: 等腰△ABF,應(yīng)把它補(bǔ)全(見(jiàn)圖3),再觀察到基本圖形(見(jiàn)圖4)并聯(lián)想它的特性,就找到了證題途徑。

四、由于已有的經(jīng)驗(yàn)的干擾,產(chǎn)生負(fù)遷移時(shí)思維受阻的原因及其對(duì)策

1.幾何題題態(tài)各異,每道題都有它區(qū)別于其它題目的特殊性,故常有舊的經(jīng)驗(yàn)和模式與解新題目不相適應(yīng)的情況。這時(shí)的對(duì)策是:克服證法定勢(shì)、探索證題新路。

當(dāng)學(xué)生用某種方法成功地證明了若干問(wèn)題后,他往往傾向于用同樣方法證新題目,這種證法上的心理定勢(shì)必須打破。針對(duì)“新”的題目,證法上要“出新”,不能把“經(jīng)驗(yàn)絕對(duì)化”、“模式固定化”,使知識(shí)和技能產(chǎn)生負(fù)遷移,而要進(jìn)行創(chuàng)造性思維,促進(jìn)正遷移。

2.思維受阻的另一個(gè)重要原因是由于片面地強(qiáng)化了某些基本圖形、定理和公式的“功能”,從而阻礙了對(duì)它們的另一些“新功能”的認(rèn)識(shí)。這時(shí)的對(duì)策是:充分認(rèn)識(shí)新題目及其圖形的特殊性,發(fā)掘它們的“新功能”,克服對(duì)證題有關(guān)的定理、公式的“功能固定性”的不良傾向。

第二篇：初中數(shù)學(xué)幾何證明中考知識(shí)點(diǎn)真題

10．（3分）（2015?攀枝花）如圖，在菱形ABCD中，AB=BD，點(diǎn)E、F分別是AB、AD上任意的點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），且AE=DF，連接BF與DE相交于點(diǎn)G，∴S四邊形BCDG=S四邊形CMGN，S四邊形CMGN=2S△CMG，∵∠CGM=60°，連接CG與BD相交于點(diǎn)H．給出如下幾個(gè)結(jié)論： ①△AED≌△DFB；②S四邊形BCDG=

CG

2；③若AF=2DF，則BG=6GF；④CG與BD一定不垂直；⑤∠BGE的大小為定值．

其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（）

A．4 B． 3

考點(diǎn)： 四邊形綜合題．.分析： ①先證明△ABD為等邊三角形，根據(jù)“SAS”證明△AED≌△DFB；

②證明∠BGE=60°=∠BCD，從而得點(diǎn)B、C、D、G四點(diǎn)共圓，因此∠BGC=∠DGC=60°，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．證明△CBM≌△CDN，所以S四邊形BCDG=S四邊形CMGN，易求后者的面積； ③過(guò)點(diǎn)F作FP∥AE于P點(diǎn)，根據(jù)題意有FP：AE=DF：DA=1：3，則FP：BE=1：6=FG：BG，即BG=6GF； ④因?yàn)辄c(diǎn)E、F分別是AB、AD上任意的點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），且AE=DF，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD中點(diǎn)時(shí)，CG⊥BD；

⑤∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°． 解答： 解：①∵ABCD為菱形，∴AB=AD，∵AB=BD，∴△ABD為等邊三角形，∴∠A=∠BDF=60°，又∵AE=DF，AD=BD，∴△AED≌△DFB，故本選項(xiàng)正確；

②∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，即∠BGD+∠BCD=180°，∴點(diǎn)B、C、D、G四點(diǎn)共圓，∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°，∴∠BGC=∠DGC=60°，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N（如圖1），則△CBM≌△CDN（AAS），∴GM=CG，CM=

CG，∴S四邊形CMGN=2S△CMG=2××CG×CG=

CG2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

③過(guò)點(diǎn)F作FP∥AE于P點(diǎn)（如圖2），∵AF=2FD，∴FP：AE=DF：DA=1：3，∵AE=DF，AB=AD，∴BE=2AE，C．∴ 2 FP：BE=FP：

=1：D6．，∵FP∥AE，∴PF∥BE，∴FG：BG=FP：BE=1：6，即BG=6GF，故本選項(xiàng)正確；

④當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD中點(diǎn)時(shí)（如圖3），由（1）知，△ABD，△BDC為等邊三角形，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD中點(diǎn)，∴∠BDE=∠DBG=30°，∴DG=BG，在△GDC與△BGC中，∴△GDC≌△BGC，∴∠DCG=∠BCG，∴CH⊥BD，即CG⊥BD，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

⑤∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°，為定值，故本選項(xiàng)正確；

綜上所述，正確的結(jié)論有①③⑤，共3個(gè)，故選B．

點(diǎn)評(píng)： 此題綜合考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造出全等三角形，把不規(guī)則圖形的面轉(zhuǎn)化為兩個(gè)全等三角形的面積是解題的關(guān)鍵．

第三篇：中考數(shù)學(xué)幾何證明壓軸題

AB1、如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2.(1)求證：DC=BC;

(2)E是梯形內(nèi)一點(diǎn)，F(xiàn)是梯形外一點(diǎn)，且∠EDC=

∠FBC，DE=BF，試判斷△ECF的形狀，并證

明你的結(jié)論；

(3)在（2）的條件下，當(dāng)BE：CE=1：2，∠DCBEC=135°時(shí)，求sin∠BFE的值.2、已知：如圖，在□ABCD 中，E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，BD是對(duì)角線，AG∥DB交CB的延長(zhǎng)線于G．

（1）求證：△ADE≌△CBF；

（2）若四邊形 BEDF是菱形，則四邊形AGBD

是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論．

F3、如圖13－1，一等腰直角三角尺GEF的兩條直角邊與正方形ABCD的兩條邊分別重合在一起．現(xiàn)正方形ABCD保持不動(dòng)，將三角尺GEF繞斜邊EF的中點(diǎn)O（點(diǎn)O也是BD中點(diǎn)）按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)．

（1）如圖13－2，當(dāng)EF與AB相交于點(diǎn)M，GF與BD相交于點(diǎn)N時(shí)，通過(guò)觀察或測(cè)

量BM，F(xiàn)N的長(zhǎng)度，猜想BM，F(xiàn)N滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

（2）若三角尺GEF旋轉(zhuǎn)到如圖13－3所示的位置時(shí)，線段FE的延長(zhǎng)線與AB的延長(zhǎng)

線相交于點(diǎn)M，線段BD的延長(zhǎng)線與GF的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)N，此時(shí)，（1）中的猜

想還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

A(B(E)圖13－1 圖13－

2圖13－

31.[解析]（1）過(guò)A作DC的垂線AM交DC于M,則AM=BC=2.又tan∠ADC=2,所以DM?

(2)等腰三角形.證明：因?yàn)镈E?DF,?EDC??FBC,DC?BC.所以，△DEC≌△BFC 2?1.即DC=BC.2

所以，CE?CF,?ECD??BCF.所以，?ECF??BCF??BCE??ECD??BCE??BCD?90? 即△ECF是等腰直角三角形.（3）設(shè)BE?k,則CE?CF?

2k，所以EF?.因?yàn)?BEC?135?，又?CEF?45?，所以?BEF?90?.所以BF??3k 所以sin?BFE?k1?.3k3

2.[解析]（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠1＝∠C，AD＝CB，AB＝CD ．

∵點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，∴AE＝11AB，CF＝CD ． 22

∴AE＝CF

∴△ADE≌△CBF ．

（2）當(dāng)四邊形BEDF是菱形時(shí)，四邊形 AGBD是矩形．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC ．

∵AG∥BD，∴四邊形 AGBD 是平行四邊形．

∵四邊形 BEDF 是菱形，∴DE＝BE ．

∵AE＝BE，∴AE＝BE＝DE ．

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．

∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴2∠2＋2∠3＝180°．

∴∠2＋∠3＝90°．

即∠ADB＝90°．

∴四邊形AGBD是矩形 3[解析]（1）BM=FN．

證明：∵△GEF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形，∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF．

又∵∠BOM=∠FON，∴ △OBM≌△OFN ． ∴ BM=FN．

（2）BM=FN仍然成立．

（3）證明：∵△GEF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形，∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF．

∴∠MBO=∠NFO=135°．

又∵∠MOB=∠NOF，∴ △OBM≌△OFN ．∴ BM=FN．

第四篇：中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)幾何證明壓軸題

中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題

幾何證明壓軸題

1、如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2.(1)

求證：DC=BC;

(2)

E是梯形內(nèi)一點(diǎn)，F(xiàn)是梯形外一點(diǎn)，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，試判斷△ECF的形狀，并證明你的結(jié)論；

(3)

在（2）的條件下，當(dāng)BE：CE=1：2，∠BEC=135°時(shí)，求sin∠BFE的值.[解析]

（1）過(guò)A作DC的垂線AM交DC于M,則AM=BC=2.又tan∠ADC=2,所以.即DC=BC.(2)等腰三角形.證明：因?yàn)?所以，△DEC≌△BFC

所以，.所以，即△ECF是等腰直角三角形.（3）設(shè),則，所以.因?yàn)?，又，所?所以

所以.2、已知：如圖，在□ABCD

中，E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，BD是對(duì)角線，AG∥DB交CB的延長(zhǎng)線于G．

（1）求證：△ADE≌△CBF；

（2）若四邊形

BEDF是菱形，則四邊形AGBD是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論．

[解析]

（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠1＝∠C，AD＝CB，AB＝CD

．

∵點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，∴AE＝AB，CF＝CD

．

∴AE＝CF

∴△ADE≌△CBF

．

（2）當(dāng)四邊形BEDF是菱形時(shí)，四邊形

AGBD是矩形．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC

．

∵AG∥BD，∴四邊形

AGBD

是平行四邊形．

∵四邊形

BEDF

是菱形，∴DE＝BE

．

∵AE＝BE，∴AE＝BE＝DE

．

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．

∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴2∠2＋2∠3＝180°．

∴∠2＋∠3＝90°．

即∠ADB＝90°．

∴四邊形AGBD是矩形

3、如圖13－1，一等腰直角三角尺GEF的兩條直角邊與正方形ABCD的兩條邊分別重合在一起．現(xiàn)正方形ABCD保持不動(dòng)，將三角尺GEF繞斜邊EF的中點(diǎn)O（點(diǎn)O也是BD中點(diǎn)）按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)．

（1）如圖13－2，當(dāng)EF與AB相交于點(diǎn)M，GF與BD相交于點(diǎn)N時(shí)，通過(guò)觀察或測(cè)量BM，F(xiàn)N的長(zhǎng)度，猜想BM，F(xiàn)N滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

（2）若三角尺GEF旋轉(zhuǎn)到如圖13－3所示的位置時(shí)，線段FE的延長(zhǎng)線與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)M，線段BD的延長(zhǎng)線與GF的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)N，此時(shí)，（1）中的猜想還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

圖13－2

E

A

B

D

G

F

O

M

N

C

圖13－3

A

B

D

G

E

F

O

M

N

C

圖13－1

A（G)

B（E)

C

O

D（F)

[解析]（1）BM=FN．

證明：∵△GEF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形，∴

∠ABD

=∠F

=45°，OB

=

OF．

又∵∠BOM=∠FON，∴

△OBM≌△OFN

．

∴

BM=FN．

（2）

BM=FN仍然成立．

（3）

證明：∵△GEF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形，∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF．

∴∠MBO=∠NFO=135°．

又∵∠MOB=∠NOF，∴

△OBM≌△OFN

．

∴

BM=FN．

4、如圖，已知⊙O的直徑AB垂直于弦CD于E，連結(jié)AD、BD、OC、OD，且OD＝5。

（1）若，求CD的長(zhǎng)；

（2）若

∠ADO：∠EDO＝4：1，求扇形OAC（陰影部分）的面積（結(jié)果保留）。

[解析]

（1）因?yàn)锳B是⊙O的直徑，OD＝5

所以∠ADB＝90°，AB＝10

在Rt△ABD中，又，所以，所以

因?yàn)椤螦DB＝90°，AB⊥CD

所以

所以

所以

所以

（2）因?yàn)锳B是⊙O的直徑，AB⊥CD

所以

所以∠BAD＝∠CDB，∠AOC＝∠AOD

因?yàn)锳O＝DO，所以∠BAD＝∠ADO

所以∠CDB＝∠ADO

設(shè)∠ADO＝4x，則∠CDB＝4x

由∠ADO：∠EDO＝4：1，則∠EDO＝x

因?yàn)椤螦DO＋∠EDO＋∠EDB＝90°

所以

所以x＝10°

所以∠AOD＝180°－（∠OAD＋∠ADO）＝100°

所以∠AOC＝∠AOD＝100°

5、如圖，已知：C是以AB為直徑的半圓O上一點(diǎn)，CH⊥AB于點(diǎn)H，直線AC與過(guò)B點(diǎn)的切線相交于點(diǎn)D，E為CH中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交BD于點(diǎn)F，直線CF交直線AB于點(diǎn)G.

（1）求證：點(diǎn)F是BD中點(diǎn)；

（2）求證：CG是⊙O的切線；

（3）若FB=FE=2，求⊙O的半徑．

[解析]

(1)證明：∵CH⊥AB，DB⊥AB，∴△AEH∽AFB，△ACE∽△ADF

∴，∵HE＝EC，∴BF＝FD

(2)方法一：連接CB、OC，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°∵F是BD中點(diǎn)，∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO

∴∠OCF=90°,∴CG是⊙O的切線---------6′

方法二：可證明△OCF≌△OBF(參照方法一標(biāo)準(zhǔn)得分)

(3)解：由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC

可證得：FA＝FG，且AB＝BG

由切割線定理得：（2＋FG）2＝BG×AG=2BG2

在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2＝FG2－BF2

由、得：FG2-4FG-12=0

解之得：FG1＝6，F(xiàn)G2＝－2（舍去）

∴AB＝BG＝

∴⊙O半徑為26、如圖，已知O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，3），⊙A的半徑為2．過(guò)A作直線平行于軸，點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)．

（１）當(dāng)點(diǎn)P在⊙O上時(shí)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出它的坐標(biāo)；

（２）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為12，試判斷直線OP與⊙A的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.[解析]

解:

1點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2,3）或（6,3）

2作AC⊥OP,C為垂足.∵∠ACP=∠OBP=,∠1=∠1

∴△ACP∽△OBP

∴

在中，又AP=12-4=8,∴

∴AC=≈1.94

∵1.94<2

∴OP與⊙A相交.7、如圖，延長(zhǎng)⊙O的半徑OA到B，使OA=AB，C

A

B

D

O

E

DE是圓的一條切線，E是切點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作DE的垂線，垂足為點(diǎn)C.求證：∠ACB=∠OAC.[解析]

證明：連結(jié)OE、AE，并過(guò)點(diǎn)A作AF⊥DE于點(diǎn)F，（3分）

∵DE是圓的一條切線，E是切點(diǎn)，∴OE⊥DC，又∵BC⊥DE,∴OE∥AF∥BC.∴∠1=∠ACB，∠2=∠3.∵OA=OE，∴∠4=∠3.∴∠4=∠2.又∵點(diǎn)A是OB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)F是EC的中點(diǎn).∴AE=AC.∴∠1=∠2.∴∠4=∠2=∠1.即∠ACB=∠OAC.8、如圖１，一架長(zhǎng)4米的梯子AB斜靠在與地面OM垂直的墻壁ON上，梯子與地面的傾斜角α為．

1求AO與BO的長(zhǎng)；

2若梯子頂端A沿NO下滑，同時(shí)底端B沿OM向右滑行.①如圖2，設(shè)A點(diǎn)下滑到C點(diǎn)，B點(diǎn)向右滑行到D點(diǎn)，并且AC:BD=2:3，試計(jì)算梯子頂端A沿NO下滑多少米；

②如圖３，當(dāng)A點(diǎn)下滑到A’點(diǎn)，B點(diǎn)向右滑行到B’點(diǎn)時(shí)，梯子AB的中點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng)到P’點(diǎn)．若∠POP’＝，試求AA’的長(zhǎng)．

[解析]

1中,∠O=,∠α=

∴,∠OAB=，又ＡＢ＝4米，∴米.米.--------------

(3分)

2設(shè)在中,根據(jù)勾股定理:

∴

-------------

(5分)

∴

∵　　∴

∴

-------------

(7分)

AC=2x=

即梯子頂端A沿NO下滑了米.----

(8分)

3∵點(diǎn)P和點(diǎn)分別是的斜邊AB與的斜邊的中點(diǎn)

∴，-------------

(9分)

∴-------

(10分)

∴

∴

∵

∴

-----------------------

(11分)

∴-----

(12分)

∴米.--------

(13分)

9.（重慶，10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)A（0，6）、點(diǎn)B（8，0），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始在線段AO上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)O移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始在線段BA上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A移動(dòng),設(shè)點(diǎn)P、Q移動(dòng)的時(shí)間為t秒．

(1)

求直線AB的解析式；(2)

當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ與△AOB相似？

(3)

當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ的面積為個(gè)平方單位？

解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y＝kx＋b

由題意，得

解得

所以，直線AB的解析式為y＝－x＋6．

（2）由AO＝6，BO＝8

得AB＝10

所以AP＝t，AQ＝10－2t

1°

當(dāng)∠APQ＝∠AOB時(shí)，△APQ∽△AOB．

所以　＝

解得　t＝(秒)

2°

當(dāng)∠AQP＝∠AOB時(shí)，△AQP∽△AOB．

所以　＝

解得　t＝(秒)

（3）過(guò)點(diǎn)Q作QE垂直AO于點(diǎn)E．

在Rt△AOB中，Sin∠BAO＝＝

在Rt△AEQ中，QE＝AQ·Sin∠BAO＝(10-2t)·＝8

－t所以，S△APQ＝AP·QE＝t·(8－t)

＝－＋4t＝

解得t＝2（秒）或t＝3（秒）．

（注：過(guò)點(diǎn)P作PE垂直AB于點(diǎn)E也可，并相應(yīng)給分）

點(diǎn)撥：此題的關(guān)鍵是隨著動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，△APQ的形狀也在發(fā)生著變化，所以應(yīng)分情況：①∠APQ＝∠AOB＝90○②∠APQ＝∠ABO．這樣，就得到了兩個(gè)時(shí)間限制．同時(shí)第（3）問(wèn)也可以過(guò)P作

PE⊥AB．

10．（南充，10分）如圖2－5－7，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，對(duì)角線AC上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P（不包括點(diǎn)A和點(diǎn)C）．設(shè)AP＝x，四邊形PBCD的面積為y．

（1）寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系，并確定自變量x的范圍．

（2）有人提出一個(gè)判斷：“關(guān)于動(dòng)點(diǎn)P，⊿PBC面積與⊿PAD面積之和為常數(shù)”．請(qǐng)你說(shuō)明此判斷是否正確，并說(shuō)明理由．

解：（1）過(guò)動(dòng)點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E．

在Rt⊿ABC中，AC＝10，PC＝AC－AP＝10－x．

∵　PE⊥BC，AB⊥BC，∴⊿PEC∽⊿ABC．

故，即

∴⊿PBC面積＝

又⊿PCD面積＝⊿PBC面積＝

即　y，x的取值范圍是0＜x＜10．

（2）這個(gè)判斷是正確的．

理由：

由（1）可得，⊿PAD面積＝

⊿PBC面積與⊿PAD面積之和＝24．

點(diǎn)撥：由矩形的兩邊長(zhǎng)6,8．可得它的對(duì)角線是10，這樣PC＝10－x，而面積y是一個(gè)不規(guī)則的四邊形，所以可以把它看成規(guī)則的兩個(gè)三角形：△PBC、△PCD．這樣問(wèn)題就非常容易解決了.

第五篇：初中數(shù)學(xué)幾何定理的教學(xué)策略的探討

初中數(shù)學(xué)幾何定理的教學(xué)策略的探討

【內(nèi)容摘要】初中階段的數(shù)學(xué)課程中，幾何部分是一個(gè)絕對(duì)的教學(xué)重點(diǎn)，不少知識(shí)也是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)。在幾何內(nèi)容的教學(xué)中，如何能夠讓學(xué)生更好的理解相應(yīng)的幾何定理，這是很多教師都在不斷探究的問(wèn)題。針對(duì)幾何定理的教學(xué)方法的選擇非常重要，教師要選取一些更為合適的教學(xué)方法與教學(xué)理念，并且要以靈活的模式促進(jìn)學(xué)生對(duì)于定理的理解與認(rèn)知。這樣才能夠真正促進(jìn)學(xué)生對(duì)于幾何定理有更好的理解與吸收，并且讓學(xué)生對(duì)于知識(shí)的掌握更加透徹。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué) 教學(xué) 幾何定理 策略

對(duì)于幾何定理的教學(xué)中，教學(xué)策略的有效選擇非常重要。教師要善于將抽象的知識(shí)具象化，將一些具體的內(nèi)容融入到學(xué)生熟悉的生活中加以體驗(yàn)。這會(huì)讓學(xué)生對(duì)于教學(xué)知識(shí)點(diǎn)更容易理解與接受，也能夠化解很多理解上的障礙。在這樣的基礎(chǔ)上才能夠提升知識(shí)教學(xué)的成效。

一、讓學(xué)生在畫(huà)圖中體驗(yàn)幾何定理

讓學(xué)生在畫(huà)圖中來(lái)增進(jìn)對(duì)于幾何定理的體驗(yàn)，這是一種很好的教學(xué)模式，這也會(huì)讓學(xué)生在知識(shí)的應(yīng)用中深化對(duì)于很多定理的理解與吸收。初中階段學(xué)生們接觸到的大部分幾何定理都不算太復(fù)雜，很多知識(shí)點(diǎn)都可以在生活中得以驗(yàn)證。這給學(xué)生的知識(shí)體驗(yàn)提供了很好的平臺(tái)。教師可以創(chuàng)設(shè)一些好的教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生在動(dòng)手作圖的過(guò)程中來(lái)對(duì)于很多定理有更為直觀的感受。同時(shí)，這也是對(duì)于很多定理展開(kāi)有效驗(yàn)證的教學(xué)過(guò)程，這些都會(huì)讓學(xué)生對(duì)于知識(shí)點(diǎn)的掌握更加牢固。

例如，學(xué)到定理“三角形兩邊的和大于第三邊”時(shí)，可以讓學(xué)生用直尺畫(huà)出任意一個(gè)三角形，并測(cè)量出三條邊的長(zhǎng)度，并按照定理進(jìn)行計(jì)算，看結(jié)論是否與定理一致。又比如，學(xué)到定理“兩直線平行，同位角相等”時(shí)，讓同學(xué)們?cè)诩埳袭?huà)出兩條平行的直線，再畫(huà)出一條同時(shí)與兩條直線相交的直線，找出它們的同位角，用量角器進(jìn)行測(cè)量，看結(jié)果是否相同。讓學(xué)生自己來(lái)畫(huà)圖，這首先能夠給學(xué)生的知識(shí)應(yīng)用與實(shí)踐提供良好的空間；同時(shí)，學(xué)生也可以在過(guò)程中對(duì)于很多內(nèi)容展開(kāi)檢驗(yàn)。這些都會(huì)增進(jìn)學(xué)生對(duì)于幾何定理的理解與認(rèn)知，并且能夠讓學(xué)生對(duì)于相應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)有更好的掌握。

二、注重對(duì)于學(xué)生想象力的激發(fā)

初中階段的幾何教學(xué)中學(xué)生們會(huì)逐漸接觸到立體幾何的內(nèi)容，雖說(shuō)很多知識(shí)點(diǎn)并不復(fù)雜，但是，對(duì)于初次接觸的學(xué)生而言還是存在理解上的障礙。在立體幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生的空間想象能力非常重要，這是讓學(xué)生能夠更好的理解很多圖形的特點(diǎn)以及變化規(guī)律的基礎(chǔ)。正是因?yàn)槿绱耍胍罨瘜W(xué)生對(duì)于幾何定理的理解與認(rèn)知，教師要加強(qiáng)對(duì)于學(xué)生想象力的培養(yǎng)，這將會(huì)極大的提升學(xué)生的知識(shí)理解能力。教師可以將具體的知識(shí)點(diǎn)融入到學(xué)生熟悉的生活場(chǎng)景中加以講授，這會(huì)為學(xué)生的想象力提供良好的平臺(tái)，也會(huì)讓學(xué)生對(duì)于很多內(nèi)容有更好的領(lǐng)會(huì)。

幾何定理的理論性和抽象性較強(qiáng)，在教學(xué)中，充分發(fā)揮學(xué)生的想象力也是加強(qiáng)定理記憶的一種好方法。在學(xué)到某些定理時(shí)，可以讓同學(xué)們想一下生活中滿足幾何定理?xiàng)l件的事物，加深同學(xué)們對(duì)這條定理的印象。當(dāng)記不起定理內(nèi)容時(shí)，只要想起相應(yīng)的事物就很容易想起定理的知識(shí)。比如，定理“平行線永遠(yuǎn)不會(huì)相交”的學(xué)習(xí)，就可以想象生活中存在平行關(guān)系的事物，比如平房的屋頂和地面，它們永遠(yuǎn)不會(huì)相交，所以平行線也不可能相交。這些都是很好的教學(xué)范例，能夠極大的促進(jìn)學(xué)生對(duì)于幾何定理的理解與領(lǐng)會(huì)。教師要善于利用一些靈活的教學(xué)方法與教學(xué)模式，這對(duì)于促進(jìn)學(xué)生的知識(shí)吸收將會(huì)很有幫助。

三、生活化幾何定理的教學(xué)

生活化幾何定理的教學(xué)同樣是一個(gè)很好的突破口，這對(duì)于提升學(xué)生的知識(shí)掌握程度將會(huì)起到很大的推動(dòng)。對(duì)于很多抽象的幾何定理，想要讓學(xué)生深化對(duì)其的理解與認(rèn)知，最有效的辦法就是將它融入到學(xué)生們熟悉的生活場(chǎng)景中加以體驗(yàn)。教師可以結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容創(chuàng)設(shè)一些生活化的教學(xué)情境，讓學(xué)生們結(jié)合生活實(shí)例來(lái)對(duì)于相應(yīng)的幾何定理加以認(rèn)知。這首先會(huì)降低知識(shí)理解上的難度，也會(huì)為學(xué)生的知識(shí)領(lǐng)會(huì)提供積極推動(dòng)。在這樣的教學(xué)過(guò)程中才能夠幫助學(xué)生對(duì)于幾何定理有更好的認(rèn)知，這也是提升課堂教學(xué)效率的一種有效方式。

老師在備課時(shí)，要將定理知識(shí)與實(shí)際生活緊密聯(lián)系起來(lái)，用我們生活中最普通的現(xiàn)象解釋難懂的理論知識(shí)。比如，在學(xué)到“兩條直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”這條定理時(shí)，可以利用多媒體課件，向同學(xué)們展示盤(pán)山公路兩次拐彎平行時(shí)的內(nèi)錯(cuò)角圖示，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行多方位、多角度的思考。這種做法也會(huì)激發(fā)同學(xué)們對(duì)生活中類(lèi)似現(xiàn)象的思考，提高他們?cè)谏钪邪l(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)幾何定理的能力。讓幾何定理的教學(xué)與學(xué)生熟悉的生活情境相結(jié)合，這是一種很有效的教學(xué)策略，這也是提升知識(shí)教學(xué)效率的一種有效模式。

結(jié)語(yǔ)

幾何定理的教學(xué)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，如何能夠有效的突破這個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，這需要教師在教學(xué)方法上有靈活選擇。教師可以讓學(xué)生在畫(huà)圖中體驗(yàn)幾何定理，也可以透過(guò)生活化的教學(xué)模式突破學(xué)生理解上的障礙，這些都是很好的教學(xué)模式。培養(yǎng)學(xué)生的想象力也非常重要，這同樣能夠深化學(xué)生對(duì)于幾何定理的理解與認(rèn)知，并且有效提升知識(shí)教學(xué)的效率。

【參考文獻(xiàn)】

[1] 王翠巧.探析初中數(shù)學(xué)幾何教學(xué)方法[J].學(xué)周刊，2013年02期.[2] 吳才鑫.淺析幾何知識(shí)與初中數(shù)學(xué)教學(xué)[J].教育教學(xué)論壇，2013年34期.[3] 丁焱鑫.試談初中數(shù)學(xué)幾何教學(xué)[J].中學(xué)生數(shù)理化（高中版?學(xué)研版），2011年02期.（作者單位：江蘇省鹽城市北蔣實(shí)驗(yàn)學(xué)校）