第一篇：2006年7月全國自考離散數(shù)學(xué)試題試卷真題及答案（精選）

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2006年7月全國自考離散數(shù)學(xué)試題試卷真題

一、單項選擇題（本大題共15小題，每小題1分，共15分）1．下列語句中不是命題的只有（）．A．雞毛也能飛上天？ C．不經(jīng)一事，不長一智。

B．或重于泰山，或輕于鴻毛。D．牙好，胃口就好。

2．從真值角度看，命題公式的全部類型是（）

A．永真式

B．永假式

C．永真式，永假式

D．永真式，永假式，可滿足式

3．設(shè)M（x）：x是人；F（x）：x要吃飯。用謂詞公式表達下述命題：所有的人都要吃飯，其中錯誤的表．．達式是（）A．(?x)(M(x)?F(x))C．(?x)(M(x)?F(x))

B．?(?x)(M(x)??F(x))D．(?x)(?M(x)?F(x))

4．下列公式是前束范式的是（）A．(?x)(?y)(?F(z,x)?G(y))B．(?(?x)F(x)?(?y)G(y))?H(z)C．(?x)F(x,y)?(?y)G(y)D．(?x)(F(x,y)?(?y)G(x,y))5．設(shè)論域為整數(shù)集，下列真值為真的公式是（）A．(?x)(?y)(x?y?0)

B．(?y)(?x)(x?y?0)C．(?x)(?y)(x?y?0)D．?(?x)?(?y)(x?y?0)

6．下列是謂詞演算中的合式公式的是（）

A．(?x)(p(x)??y)

B．(?x)F(x)?G(x,y)

C．(?x)P(x,y)Q(y,z)

D．(?x)?x?P(x,y)．（）A．B． C．D． ．（）

8．下列式子正確的是（）A．（A－B）-C=A-（B∪C）

（）

B．A－（B∪C）=（A－B）∪C C．~（A－B）=~（B－A）D．~（A∩B）?A 9．下列集合對所給的運算是封閉的只有（）

A．非零整數(shù)集合Z*上的除法運算

B．全體n×n實可逆矩陣集合Mn（R）上的矩陣加法和乘法運算 C．全體n×n實矩陣集合Mn（R）上的矩陣加法和乘法運算 D．A={1，2，?，10}，x*y=LCM（x，y），即x，y最小公倍數(shù)

+，*>是環(huán)，則下列說法不正確的是（）10．設(shè)是交換群 A．

B．是半群

+對*是可分配的 D．○11．下列四個格，是分配格的是（）

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12．下列各圖是無向完全圖的是（）

13．下列各有向圖是強連通圖的是（）

14．設(shè)Ｇ是具有n個結(jié)點的無向簡單圖，若在Ｇ中存在一條漢密爾頓路，則Ｇ中每一對結(jié)點的度數(shù)之和與n-1的關(guān)系為（）

A．大于

B．大于等于

C．等于

D．小于

15．設(shè)連通平面圖Ｇ，共有n個結(jié)點，e條邊，r個面，則歐拉證明成立的公式是（）A．e-n+r=2

B．n+r-e=2

C．n-r+e=2

D．n-e-r=2

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。

16．所謂___是指不能再分解的命題，而復(fù)合命題是由一些____經(jīng)過聯(lián)結(jié)詞復(fù)合而成的命題。17．在命題演算中，兩個____的合取、析取、條件、雙條件均為____。

18．使公式(?x)(?y)(A(x)?B(y))?(?x)A(x)?(?y)B(y)成立的條件是____中不含y，____中不含x。19．設(shè)A={1，2，3，4}，R是A上的二元關(guān)系，R={|x/y是素數(shù)}，則domR=_____;ranR=____。20．設(shè)無向圖Ｇ有n個結(jié)點m條邊，每個結(jié)點的度數(shù)為k或k+1，記Nk為度數(shù)等于k的結(jié)點數(shù)，則Nk=_____。如果無向簡單圖C的結(jié)點的度數(shù)均為相同的偶數(shù)，且m=7，則n=____。

21．設(shè)X={1，3，5，9，15，45}，R是X上的整除關(guān)系，則R是X上的偏序，其最大元是___，極小元是____。

22．設(shè)是有界格，a,b?L,若a?b=0,則a=b=_____；若a?b=1,則a=b=____。

2-1-223．設(shè)e是群G上的幺元，若a?G且a=e,則a=____ ,a=__________。24．代數(shù)系統(tǒng)，其中A為命題公式集合。為析取運算?，則中零元素是____，幺元是____。25．樹是不包含_____的___圖。

三、計算題（本大題共6小題，第26、27題各4分，第28、29題各5分，第30、31題各6分，共30分）26．如果論域是集合{a,b,c}，試消去下面公式中的量詞：(?x)(?y)(x?y?0)27．求公式（p?q)?(q?r)的主析取范式。

28．設(shè)A={a,b,c},A上二元關(guān)系R={,,},用關(guān)系矩陣法求最小的自然數(shù)m,n,m

（2）奇數(shù)個頂點，奇數(shù)條邊

（3）偶數(shù)個頂點，奇數(shù)條邊

（4）奇數(shù)個頂點，偶數(shù)條邊

30．下列各整數(shù)集合對于整除關(guān)系“|”都構(gòu)成偏序集，判斷哪些偏序集能構(gòu)成格？并說明理由。1)L={1,2,3,4,5}

2)L={1,2,3,6,12}

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3)L={1,2,3,4,6,9,12,18,36}

4)L={1,2,2,2,?,2} 31．設(shè)A={2，3，5，12，19}，等價關(guān)系R={|x, y?A?x?y(mod 3)},寫出各元素的等價類，并求A/R。

四、證明題（本大題共3小題，第32、33題各6分，第34題8分，共20分）32．用等價變換法證明：(P?Q)?((R?Q)?((P?R)?Q))是永真式。

33．若無向圖G是歐拉圖，G中是否存在割邊？為什么？ 34．設(shè)A是一個集合，X=P（A），R是X上元素之間的包含關(guān)系，試證明是偏序集。（注：P（A）為A的冪集）

五、應(yīng)用題（本大題共2小題，第35題6分，第36題9分，共15分）35．設(shè)有n個村莊要修路，（1）若要使所有村莊之間都有通路，問需在兩村之間至少修幾條路？（2）若要使任意兩村莊之間有一條直接的路，則至少修幾個路？（3）若修一條連接所有村莊的環(huán)路，問有多少種修路方案？ 36．設(shè)有推理：

(a)沒有不守信用的人是可信賴的；

(b)有些可以信賴的人是受過教育的人；

(c)因此有些受過教育的人是守信用的。

試構(gòu)造推理的證明，要求把推理的前提，結(jié)論符號化為謂詞形式，并寫出推理過程。（個體域：人的集合）提示：設(shè)F（x）表示x是守信用的人；G（x）表示x是可信賴的人；H（x）表示x是受過教育的人。

23n 3

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第二篇：2010年7月自考離散數(shù)學(xué)試題及答案

全國2010年7月自學(xué)考試離散數(shù)學(xué)試題

課程代碼：02324

一、單項選擇題（本大題共15小題，每小題1分，共15分）

在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。

1．下列句子不是命題的是（D）．．A．中華人民共和國的首都是北京 C．雪是黑色的

B．張三是學(xué)生 D．太好了！

2．下列式子不是謂詞合式公式的是（B）．．A．（?x）P(x)→R(y)B．(?x)┐P（x）?(?x)(P(x)→Q(x))C．(?x)(?y)(P(x)∧Q(y))→(?x)R(x)D．(?x)(P(x,y)→Q(x,z))∨(?z)R(x,z)3．下列式子為重言式的是（）A．(┐P∧R)→Q C．P∨(P∧Q)

B．P∨Q∧R→┐R D．(┐P∨Q)?(P→Q)4．在指定的解釋下，下列公式為真的是（）A．(?x)(P(x)∨Q(x)),P(x):x=1,Q(x):x=2,論域:{1,2} B．(?x)(P(x)∧Q(x)),P(x):x=1,Q(x):x=2,論域: {1,2} C．(?x)(P(x)→Q(x)),P(x):x>2,Q(x):x=0,論域:{3,4} D．(?x)(P(x)→Q(x)),P(x):x>2,Q(x):x=0,論域:{3,4} 5．對于公式(?x)(?y)(P(x)∧Q(y))→(?x)R(x,y)，下列說法正確的是（）A．y是自由變元 C．(?x)的轄域是R(x, y)

B．y是約束變元

D．(?x)的轄域是(?y)(P(x)∧Q(y))→(?x)R(x,y)6．設(shè)論域為{1,2}，與公式(?x)A(x)等價的是（）A．A(1)∨A(2)C．A(1)∧A(2)

B．A(1)→A(2)D．A(2)→A(1)7．設(shè)Z+是正整數(shù)集，R是實數(shù)集，f:Z+→R, f(n)=log2n ,則f（）A．僅是入射 C．是雙射

B．僅是滿射 D．不是函數(shù)

8．下列關(guān)系矩陣所對應(yīng)的關(guān)系具有反對稱性的是（）

?1?A．?0??10101??1 ?0???1?B．?0??10100??1 ?1??

全國2010年7月自學(xué)考試離散數(shù)學(xué)試題

?0C．?0???10001??1 ?0???1D．?0???10101??0 ?0??9．設(shè)R1和R2是集合A上的相容關(guān)系，下列關(guān)于復(fù)合關(guān)系R1?R2的說法正確的是（）A．一定是等價關(guān)系 C．一定不是相容關(guān)系

10．下列運算不滿足交換律的是（）．．．A．a(chǎn)*b=a+2b C．a(chǎn)*b=|a-b|

B．a(chǎn)*b=min(a,b)D．a(chǎn)*b=2ab B．一定是相容關(guān)系

D．可能是也可能不是相容關(guān)系

11．設(shè)A是偶數(shù)集合，下列說法正確的是（）A．是群 C．是群

B．是群

D．, ,都不是群

12．設(shè)*是集合A上的二元運算，下列說法正確的是（）A．在A中有關(guān)于運算*的左幺元一定有右幺元 B．在A中有關(guān)于運算*的左右幺元一定有幺元 C．在A中有關(guān)于運算*的左右幺元，它們不一定相同 D．在A中有關(guān)于運算*的幺元不一定有左右幺元 13．題13圖的最大出度是（）A．0 C．2 14．下列圖是歐拉圖的是（）

B．1 D．3

15．一棵樹的3個4度點，4個2度點，其它的都是1度，那么這棵樹的邊數(shù)是（）A．13 C．15

B．14 D．16

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。

16．請寫出表示德摩根律的兩個命題公式等價定理___________，___________。

17．n個命題變元的___________稱為小項，其中每個變元與它的否定不能同時出現(xiàn)，但兩者必須___________。18．前提引入規(guī)則：在證明的任何步驟上都可以___________，簡稱___________規(guī)則。

19．自由變元代入規(guī)則是指對某___________出現(xiàn)的個體變元可用個體常元或用與原子公式中所有個體變元不同的個體變元去代入，且___________。20．設(shè)A=?,B={2,4}，則((A)=___________，A×B___________。

21．設(shè)A={1,2,3,4}, A上的二元關(guān)系R={<1,2>,<2,4>,<3,3>},S={<1,3>,<2,4>,<4,2>}，則R2?S=___________，全國2010年7月自學(xué)考試離散數(shù)學(xué)試題

(R)=___________。

22．設(shè)代數(shù)系統(tǒng)是環(huán)，則是___________，是___________。

23．在中，元素2的階為___________，它生成的子群為___________，其中?7為模7乘法。24．設(shè)是一個___________，如果A中任意兩個元素都有___________，則稱為格。25．若一條___________中，所有的___________均不相同，稱為跡。

三、計算題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）

26．給定論域D={1,2}，f(1)=2, f(2)=1, S(1)=F, S(2)=T, G(1,2)=T, G(2,1)=T,在該賦值下，求式子?x(S(f(x))∧G(x, f(x)))的真值。

27．請通過等值演算法求┐(P∧Q)→(P∨Q)的主析取范式。

28．設(shè)A={1,2,3,4}，給定A上二元關(guān)系R={<1,1>,<1,2>,<2,4>,<4,2>}，求R的傳遞閉包。29．對題29圖所示格，找出它的所有的4元子格。

30．用矩陣的方法求題30圖中結(jié)點ui，u5之間長度為2的路徑的數(shù)目。

31．求題31圖的最小生成樹。

四、證明題（本大題共3小題，第32小題8分，第33、34小題各6分，共20分）32．用推理方法證明(A∨B)→(C∧D),(D∨F)→E├A→E。

33．證明：設(shè)是一個群，則對于任意a,b∈G，必存在惟一的x∈G使得a·x=b。34．設(shè)圖G有n個結(jié)點，n+1條邊，證明：G中至少有一個結(jié)點度數(shù)≥3。

五、應(yīng)用題（本大題共2小題，第35小題9分，第36小題6分，共15分）

35．符合化下列命題，并構(gòu)造推理證明：三角函數(shù)都是周期函數(shù)，有些三角函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，所以有些周期函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。

36．兩個等價關(guān)系的并集不一定是等價關(guān)系，試舉例說明。-12

全國2010年7月自學(xué)考試離散數(shù)學(xué)試題

2010年7月全國自考離散數(shù)學(xué)試題參考答案

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第三篇：2010年7月自考離散數(shù)學(xué)試題及答案

一、單項選擇題（本大題共15小題，每小題1分，共15分）

在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。

1．下列句子不是命題的是（D）．．A．中華人民共和國的首都是北京 C．雪是黑色的

B．張三是學(xué)生 D．太好了！

2．下列式子不是謂詞合式公式的是（B）．．A．（?x）P(x)→R(y)B．(?x)┐P（x）?(?x)(P(x)→Q(x))C．(?x)(?y)(P(x)∧Q(y))→(?x)R(x)D．(?x)(P(x,y)→Q(x,z))∨(?z)R(x,z)3．下列式子為重言式的是（）A．(┐P∧R)→Q C．P∨(P∧Q)

B．P∨Q∧R→┐R D．(┐P∨Q)?(P→Q)4．在指定的解釋下，下列公式為真的是（）A．(?x)(P(x)∨Q(x)),P(x):x=1,Q(x):x=2,論域:{1,2} B．(?x)(P(x)∧Q(x)),P(x):x=1,Q(x):x=2,論域: {1,2} C．(?x)(P(x)→Q(x)),P(x):x>2,Q(x):x=0,論域:{3,4} D．(?x)(P(x)→Q(x)),P(x):x>2,Q(x):x=0,論域:{3,4} 5．對于公式(?x)(?y)(P(x)∧Q(y))→(?x)R(x,y)，下列說法正確的是（）A．y是自由變元 C．(?x)的轄域是R(x, y)

B．y是約束變元

D．(?x)的轄域是(?y)(P(x)∧Q(y))→(?x)R(x,y)6．設(shè)論域為{1,2}，與公式(?x)A(x)等價的是（）A．A(1)∨A(2)C．A(1)∧A(2)

B．A(1)→A(2)D．A(2)→A(1)7．設(shè)Z+是正整數(shù)集，R是實數(shù)集，f:Z+→R, f(n)=log2n ,則f（）A．僅是入射 C．是雙射

B．僅是滿射 D．不是函數(shù)

8．下列關(guān)系矩陣所對應(yīng)的關(guān)系具有反對稱性的是（）?101???A．?011?

??100???001???C．?001?

??100???100???B．?011?

??101???101???D．?010?

??100??9．設(shè)R1和R2是集合A上的相容關(guān)系，下列關(guān)于復(fù)合關(guān)系R1?R2的說法正確的是（）A．一定是等價關(guān)系

B．一定是相容關(guān)系

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C．一定不是相容關(guān)系

10．下列運算不滿足交換律的是（）．．．A．a(chǎn)*b=a+2b C．a(chǎn)*b=|a-b|

D．可能是也可能不是相容關(guān)系

B．a(chǎn)*b=min(a,b)D．a(chǎn)*b=2ab

11．設(shè)A是偶數(shù)集合，下列說法正確的是（）A．是群 C．是群

B．是群

D．, ,都不是群

12．設(shè)*是集合A上的二元運算，下列說法正確的是（）A．在A中有關(guān)于運算*的左幺元一定有右幺元 B．在A中有關(guān)于運算*的左右幺元一定有幺元 C．在A中有關(guān)于運算*的左右幺元，它們不一定相同 D．在A中有關(guān)于運算*的幺元不一定有左右幺元 13．題13圖的最大出度是（）A．0 C．2 14．下列圖是歐拉圖的是（）

B．1 D．3

15．一棵樹的3個4度點，4個2度點，其它的都是1度，那么這棵樹的邊數(shù)是（）A．13 C．15

B．14 D．16

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。

16．請寫出表示德摩根律的兩個命題公式等價定理___________，___________。

17．n個命題變元的___________稱為小項，其中每個變元與它的否定不能同時出現(xiàn)，但兩者必須___________。18．前提引入規(guī)則：在證明的任何步驟上都可以___________，簡稱___________規(guī)則。

19．自由變元代入規(guī)則是指對某___________出現(xiàn)的個體變元可用個體常元或用與原子公式中所有個體變元不同的個體變元去代入，且___________。

20．設(shè)A=?,B={2,4}，則((A)=___________，A×B___________。

21．設(shè)A={1,2,3,4}, A上的二元關(guān)系R={<1,2>,<2,4>,<3,3>},S={<1,3>,<2,4>,<4,2>}，則R2?S=___________，(R-1)2=___________。

22．設(shè)代數(shù)系統(tǒng)是環(huán)，則是___________，是___________。

23．在中，元素2的階為___________，它生成的子群為___________，其中?7為模7乘法。24．設(shè)是一個___________，如果A中任意兩個元素都有___________，則稱為格。25．若一條___________中，所有的___________均不相同，稱為跡。

全國2010年7月自學(xué)考試離散數(shù)學(xué)試題

三、計算題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）

26．給定論域D={1,2}，f(1)=2, f(2)=1, S(1)=F, S(2)=T, G(1,2)=T, G(2,1)=T,在該賦值下，求式子?x(S(f(x))∧G(x, f(x)))的真值。

27．請通過等值演算法求┐(P∧Q)→(P∨Q)的主析取范式。

28．設(shè)A={1,2,3,4}，給定A上二元關(guān)系R={<1,1>,<1,2>,<2,4>,<4,2>}，求R的傳遞閉包。29．對題29圖所示格，找出它的所有的4元子格。

30．用矩陣的方法求題30圖中結(jié)點ui，u5之間長度為2的路徑的數(shù)目。

31．求題31圖的最小生成樹。

四、證明題（本大題共3小題，第32小題8分，第33、34小題各6分，共20分）32．用推理方法證明(A∨B)→(C∧D),(D∨F)→E├A→E。

33．證明：設(shè)是一個群，則對于任意a,b∈G，必存在惟一的x∈G使得a·x=b。34．設(shè)圖G有n個結(jié)點，n+1條邊，證明：G中至少有一個結(jié)點度數(shù)≥3。

五、應(yīng)用題（本大題共2小題，第35小題9分，第36小題6分，共15分）

35．符合化下列命題，并構(gòu)造推理證明：三角函數(shù)都是周期函數(shù)，有些三角函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，所以有些周期函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。

36．兩個等價關(guān)系的并集不一定是等價關(guān)系，試舉例說明。

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第四篇：全國2008年4月自考離散數(shù)學(xué)試題

全國2008年4月自考離散數(shù)學(xué)試題

課程代碼：02324

一、單項選擇題(本大題共15小題，每小題1分，共15分)

在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。

1.設(shè)P：天下大雨,Q：他在室內(nèi)運動,命題“除非天下大雨，否則他不在室內(nèi)運動”可符合化為（）

A.?P∧QB.?P→Q C.?P→?QD.P→?Q

2.下列命題聯(lián)結(jié)詞集合中，是最小聯(lián)結(jié)詞組的是（）

A.{?，}B.{?，∨，∧} C.{?，∧}D.{∧，→}

3.下列命題為假命題的是（）

A.如果2是偶數(shù)，那么一個公式的析取范式惟一

B.如果2是偶數(shù)，那么一個公式的析取范式不惟一

C.如果2是奇數(shù)，那么一個公式的析取范式惟一

D.如果2是奇數(shù)，那么一個公式的析取范式不惟一

4.謂詞公式 x(P(x)∨yR(y))→Q(x))中變元x是（）

A.自由變元B.約束變元

C.既不是自由變元也不是約束變元D.既是自由變元也是約束變元

5.若個體域為整數(shù)減，下列公式中值為真的是（）

A.xy(x+y=0)B.y x(x+y=0)C.x y(x+y=0)D.?xy(x+y=0)

6.下列命題中不正確的是（）

A.x∈{x}-{{x}}B.{x}?{x}-{{x}}

C.A={x}∪x,則x∈A且x?AD.A-B=??A=B

7.設(shè)P={x|(x+1)2≤4}，Q={x|x2+16≥5x},則下列選項正確的是（A.P?QB.P?Q C.Q?PD.Q=P

8.下列表達式中不成立的是（）

A.A∪(B?C)=(A∪B)?(A∪C)B.A∩(B?C)=(A∩B)?(A∩C)C.(A?B)×C=(A×C)?(B×C)D.(A-B)×C=(A×C)-(B×C)9.半群、群及獨異點的關(guān)系是（）

A.{群}?{獨異點}?{半群}B.{獨異點}?{半群}?{群} C.{獨異點}?{群}?{半群}D.{半群}?{群}?{獨異點} 10.下列集合對所給的二元運算封閉的是（）

A.正整數(shù)集上的減法運算

B.在正實數(shù)的集R+上規(guī)定為ab=ab-a-b a,b∈R+ C.正整數(shù)集Z+上的二元運算為xy=min(x,y)x,y∈Z+ D.全體n×n實可逆矩陣集合Rn×n上的矩陣加法

11.設(shè)集合A={1，2，3}，下列關(guān)系R中不是等價關(guān)系的是（）A.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>}

B.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<3,2>,<2,3>}）

C.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}

D.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>,<2,3>,<3,2>} 12.下列函數(shù)中為雙射的是（）

A.f：Z→Z,f(j)=j(mod)B.f：N→N,f(j)= C.f：Z→N,f(j)=|2j|+1D.f：R→R,f(r)=2r-15

13.設(shè)集合A={a,b, c}上的關(guān)系如下，具有傳遞性的是（）

A.R={,,,}B.R={,} C.R={,,,}D.R={}

14.含有5個結(jié)點，3條邊的不同構(gòu)的簡單圖有（）

A.2個B.3個

C.4個D.5個

15.設(shè)D的結(jié)點數(shù)大于1，D=是強連通圖，當且僅當（）

A.D中至少有一條通路B.D中至少有一條回路

C.D中有通過每個結(jié)點至少一次的通路D.D中有通過每個結(jié)點至少一次的回路

二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。

16.設(shè)A={1,2,3}，B={3,4,5}，則A?A=___________，A?B=___________。

17.設(shè)A={1,2,3,4,5}，R?A×A，R={<1,2>，<3,4>,<2,2>}，則R的自反閉包r(R)=__________。

對稱閉包t(R)=__________。

18.設(shè)P、Q為兩個命題，德摩根律可表示為_____________，吸收律可表示為____________。

19.對于公式 x(P(x)∨Q(x))，其中P(x)∶x=1,Q(x)∶x=2,當論域為{1,2}時，其真值為_____________ ,當論域為{0,1,2}時，其真值為_____________。

20.設(shè)f∶R→R,f(x)=x+3,g∶R→R,g(x)=2x+1,則復(fù)合函數(shù) ,。

21.3個結(jié)點可構(gòu)成_________個不同構(gòu)的簡單無向圖，可構(gòu)成________個不同構(gòu)的簡單有向圖。

22.無向圖G=如左所示，則G的最大度

Δ(G)=_____________，G的最小度δ(G)=_____________。

23.設(shè)圖G,V={v1,v2,v3,v4},若G的鄰接矩陣，則deg-(v1)=_ ________, deg+(v4)=____________。

24.格L是分配格，當且僅當L既不含有與_______同構(gòu)的子格，也不含有與______同格的子格。

25.給定集合A={1,2,3,4,5}，在集合A上定義兩種關(guān)系：R={<1,2>,<3,4>,<2,2>}, S={<4,2>,<2,5>,<3,1>,<1,3>}，則。

三、計算題（本大題共5小題，第26、27題各5分，第28、29題各6分，第30題8分，共30分）

26.設(shè)A={a,b,c,d}，A上的等價關(guān)系R={,,,}∪IA，畫出R的關(guān)系圖，并求出A中各元素的等價類。

27.構(gòu)造命題公式?（P∨Q）（?P∧Q）的真值表。

28.求下列公式的主析取范式和主合取范式：P→（（Q→P）∧（?P∧Q））

29.設(shè)A={a, b, c, d, e}，R為A上的關(guān)系，R={，，, , ,, }∪IA，試畫的哈斯圖，并求A中的最大元，最小元，極大元，極小元。

30.給定圖G如圖所示，（1）G中長度為4的路有幾條？其中有幾條回路？（2）寫出G的可達矩陣。

四、證明題（本大題共3小題，第31、32題各6分，第33題8分，共20分）

31.設(shè)（L，≤）是格，試證明： a, b, c ∈L, 有a∧（b∨c）≥（a∧b）∨（a∧c）；

a∨（b∧c）≤（a∨b）∧（a∨c）。

32.設(shè)R是A上的自反和傳遞關(guān)系，如下定義A上的關(guān)系T，使得 x, y∈A，∈T ∈R∧(y, x)∈R。

證明T是A上的等價關(guān)系。

33.設(shè)有G=, V的結(jié)點數(shù)|V|=n，稱該圖為n階圖，若從結(jié)點vi到vj存在路，證明從vi到vj必存在長度小于等于n-1的一條路。

五、應(yīng)用題（本大題共2小題，第34題7分，第35題8分，共15分）

34.構(gòu)造下面推理的證明。

每個喜歡步行的人都不喜歡坐汽車，每個人或者喜歡坐汽車或者喜歡騎自行車。有的人不喜歡騎自行車，因而有的人不喜歡步行。

35.今要將6人分成3組（每組2個人）去完成3項任務(wù)。已知每個人至少與其余5個人中的3個人能相互合作。

（1）能否使得每組的2個人都能相互合作？

（2）你能給出幾種不同的分組方案？

《離散數(shù)學(xué)》試題及答案3

一、填空題設(shè)集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 則A?(B)＝ __________________________.2.設(shè)有限集合A, |A| = n, 則 |?(A×A)| = __________________________.3.設(shè)集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 則從A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中雙射的是__________________________.4.已知命題公式G＝?(P?Q)∧R，則G的主析取范式是_______________________________

__________________________________________________________.5.設(shè)G是完全二叉樹，G有7個點，其中4個葉點，則G的總度數(shù)為__________，分枝點數(shù)為________________.6 設(shè)A、B為兩個集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 則從A?B＝_________________________;A?B＝_________________________;A－B＝ _____________________.7.設(shè)R是集合A上的等價關(guān)系，則R所具有的關(guān)系的三個特性是______________________, ________________________, _______________________________.8.設(shè)命題公式G＝?(P?(Q?R))，則使公式G為真的解釋有__________________________，_____________________________, __________________________.9.設(shè)集合A＝{1,2,3,4}, A上的關(guān)系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 則R1?R2 = ________________________,R2?R1 =____________________________,R12 =________________________.10.設(shè)有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 則| |?(A?B)| = _____________________________.11 設(shè)A,B,R是三個集合，其中R是實數(shù)集，A = {x |-1≤x≤1, x?R}, B = {x | 0≤x < 2, x?R},則A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ ,.13.設(shè)集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，則R以集合形式(列舉法)記為___________ _______________________________________________________.14.設(shè)一階邏輯公式G = xP(x)?xQ(x)，則G的前束范式是__________________________ _____.15.設(shè)G是具有8個頂點的樹，則G中增加_________條邊才能把G變成完全圖。

16.設(shè)謂詞的定義域為{a, b},將表達式xR(x)→xS(x)中量詞消除，寫成與之對應(yīng)的命題公式是__________________________________________________________________________.17.設(shè)集合A＝{1, 2, 3, 4}，A上的二元關(guān)系R＝{(1,1),(1,2),(2,3)}, S＝{(1,3),(2,3),(3,2)}。則R?S＝_____________________________________________________, R2＝______________________________________________________.二、選擇題 設(shè)集合A={2,{a},3,4}，B = {{a},3,4,1}，E為全集，則下列命題正確的是()。

(A){2}?A(B){a}?A(C)??{{a}}?B?E(D){{a},1,3,4}?B.設(shè)集合A={1,2,3},A上的關(guān)系R＝{(1,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)}，則R不具備().(A)自反性(B)傳遞性(C)對稱性(D)反對稱性 設(shè)半序集(A,≤)關(guān)系≤的哈斯圖如下所示，若A的子集B = {2,3,4,5},則元素6為B的()。

(A)下界(B)上界(C)最小上界(D)以上答案都不對下列語句中，()是命題。

(A)請把門關(guān)上(B)地球外的星球上也有人

(C)x + 5 > 6(D)下午有會嗎？ 設(shè)I是如下一個解釋：D＝{a,b}, 則在解釋I下取真值為1的公式是().(A)xyP(x,y)(B)xyP(x,y)(C)xP(x,x)(D)xyP(x,y).6.若供選擇答案中的數(shù)值表示一個簡單圖中各個頂點的度，能畫出圖的是().(A)(1,2,2,3,4,5)(B)(1,2,3,4,5,5)(C)(1,1,1,2,3)(D)(2,3,3,4,5,6).7.設(shè)G、H是一階邏輯公式，P是一個謂詞，G＝xP(x), H＝xP(x),則一階邏輯公式G?H是().(A)恒真的(B)恒假的(C)可滿足的(D)前束范式.設(shè)命題公式G＝?(P?Q)，H＝P?(Q??P)，則G與H的關(guān)系是()。

(A)G?H(B)H?G(C)G＝H(D)以上都不是.9 設(shè)A, B為集合，當()時A－B＝B.(A)A＝B(B)A?B(C)B?A(D)A＝B＝?.設(shè)集合A = {1,2,3,4}, A上的關(guān)系R＝{(1,1),(2,3),(2,4),(3,4)}, 則R具有()。

(A)自反性(B)傳遞性(C)對稱性(D)以上答案都不對下列關(guān)于集合的表示中正確的為()。

(A){a}?{a,b,c}(B){a}?{a,b,c}(C)??{a,b,c}(D){a,b}?{a,b,c} 12 命題xG(x)取真值1的充分必要條件是().(A)對任意x，G(x)都取真值1.(B)有一個x0，使G(x0)取真值1.(C)有某些x，使G(x0)取真值1.(D)以上答案都不對.13.設(shè)G是連通平面圖，有5個頂點，6個面，則G的邊數(shù)是().(A)9條(B)5條(C)6條(D)11條.14.設(shè)G是5個頂點的完全圖，則從G中刪去()條邊可以得到樹.(A)6(B)5(C)10(D)4.15.設(shè)圖G的相鄰矩陣為，則G的頂點數(shù)與邊數(shù)分別為().(A)4, 5(B)5, 6(C)4, 10(D)5, 8.三、計算證明題

1.設(shè)集合A＝{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12}，R為整除關(guān)系。

(1)畫出半序集(A,R)的哈斯圖；

(2)寫出A的子集B = {3,6,9,12}的上界，下界，最小上界，最大下界；

(3)寫出A的最大元，最小元，極大元，極小元。

2.設(shè)集合A＝{1, 2, 3, 4}，A上的關(guān)系R＝{(x,y)| x, y?A 且 x ? y}, 求

(1)畫出R的關(guān)系圖；

(2)寫出R的關(guān)系矩陣.3.設(shè)R是實數(shù)集合，?,?,?是R上的三個映射，?(x)= x+3, ?(x)= 2x, ?(x)＝ x/4,試求復(fù)合映射???，???, ???, ???，?????.4.設(shè)I是如下一個解釋：D = {2, 3}, abf(2)f(3)P(2, 2)P(2, 3)P(3, 2)P(3, 3)32320011

試求(1)P(a, f(a))∧P(b, f(b));(2)xy P(y, x).5.設(shè)集合A＝{1, 2, 4, 6, 8, 12}，R為A上整除關(guān)系。

(1)畫出半序集(A,R)的哈斯圖；

(2)寫出A的最大元，最小元，極大元，極小元；

(3)寫出A的子集B = {4, 6, 8, 12}的上界，下界，最小上界，最大下界.6.設(shè)命題公式G = ?(P→Q)∨(Q∧(?P→R)), 求G的主析取范式。

7.(9分)設(shè)一階邏輯公式：G =(xP(x)∨yQ(y))→xR(x)，把G化成前束范式.9.設(shè)R是集合A = {a, b, c, d}.R是A上的二元關(guān)系, R = {(a,b),(b,a),(b,c),(c,d)},(1)求出r(R), s(R), t(R)；

(2)畫出r(R), s(R), t(R)的關(guān)系圖.11.通過求主析取范式判斷下列命題公式是否等價：

(1)G =(P∧Q)∨(?P∧Q∧R)

(2)H =(P∨(Q∧R))∧(Q∨(?P∧R))

13.設(shè)R和S是集合A＝{a, b, c, d}上的關(guān)系，其中R＝{(a, a),(a, c),(b, c),(c, d)}, S＝{(a, b),(b, c),(b, d),(d, d)}.(1)試寫出R和S的關(guān)系矩陣；

(2)計算R?S, R∪S, R－1, S－1?R－1.四、證明題

1.利用形式演繹法證明：{P→Q, R→S, P∨R}蘊涵Q∨S。

2.設(shè)A,B為任意集合，證明：(A-B)-C = A-(B∪C).3.(本題10分)利用形式演繹法證明：{?A∨B, ?C→?B, C→D}蘊涵A→D。

4.(本題10分)A, B為兩個任意集合，求證：

A－(A∩B)=(A∪B)－B.參考答案

一、填空題

1.{3};{{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.2..3.?1= {(a,1),(b,1)}, ?2= {(a,2),(b,2)},?3= {(a,1),(b,2)}, ?4= {(a,2),(b,1)};?3, ?4.4.(P∧?Q∧R).5.12, 3.6.{4}, {1, 2, 3, 4}, {1, 2}.7.自反性；對稱性；傳遞性.8.(1, 0, 0),(1, 0, 1),(1, 1, 0).9.{(1,3),(2,2),(3,1)};{(2,4),(3,3),(4,2)};{(2,2),(3,3)}.10.2m?n.11.{x |-1≤x < 0, x?R};{x | 1 < x < 2, x?R};{x | 0≤x≤1, x?12.12;6.13.{(2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6)}.14.x(?P(x)∨Q(x)).15.21.16.(R(a)∧R(b))→(S(a)∨S(b)).17.{(1, 3),(2, 2)};{(1, 1),(1, 2),(1, 3)}.二、選擇題

1.C.2.D.3.B.4.B.5.D.6.C.7.C.8.A.9.D.10.B.11.B.13.A.14.A.15.D

三、計算證明題

1.(1)

(2)B無上界，也無最小上界。下界1, 3;最大下界是3.(3)A無最大元，最小元是1，極大元8, 12, 90+;極小元是1.2.R = {(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.(1)

(2)

3.(1)???＝?(?(x))＝?(x)+3＝2x+3＝2x+3.(2)???＝?(?(x))＝?(x)+3＝(x+3)+3＝x+6,(3)???＝?(?(x))＝?(x)+3＝x/4+3,(4)???＝?(?(x))＝?(x)/4＝2x/4 = x/2，(5)?????＝??(???)＝???+3＝2x/4+3＝x/2+3.4.(1)P(a, f(a))∧P(b, f(b))= P(3, f(3))∧P(2, f(2))= P(3, 2)∧P(2, 3)= 1∧0 = 0.(2)xy P(y, x)= x(P(2, x)∨P(3, x))

R}.6 =(P(2, 2)∨P(3, 2))∧(P(2, 3)∨P(3, 3))=(0∨1)∧(0∨1)= 1∧1 = 1.5.(1)

(2)無最大元，最小元1，極大元8, 12;極小元是1.(3)B無上界，無最小上界。下界1, 2;最大下界2.6.G = ?(P→Q)∨(Q∧(?P→R))= ?(?P∨Q)∨(Q∧(P∨R))=(P∧?Q)∨(Q∧(P∨R))=(P∧?Q)∨(Q∧P)∨(Q∧R)

=(P∧?Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(?=(P∧?Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧?R)∨(?P∧Q∧R)= m3∨m4∨m5∨m6∨m7 = ?(3, 4, 5, 6, 7).7.G =(xP(x)∨yQ(y))→xR(x)= ?(xP(x)∨yQ(y))∨xR(x)=(?xP(x)∧?yQ(y))∨xR(x)=(x?P(x)∧y?Q(y))∨zR(z)= xyz((?P(x)∧?Q(y))∨R(z))

9.(1)r(R)＝R∪IA＝{(a,b),(b,a),(b,c),(c,d),(a,a),(b,b),(c,c),(d,d)}, s(R)＝R∪R－1＝{(a,b),(b,a),(b,c),(c,b)(c,d),(d,c)}，t(R)＝R∪R2∪R3∪R4＝{(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(b,a),(b,b),(b,c),(b,d),(c,d)}；

(2)關(guān)系圖:

11.G＝(P∧Q)∨(?P∧Q∧R)

＝(P∧Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(?P∧Q∧R)＝m6∨m7∨m3 ＝?(3, 6, 7)

H =(P∨(Q∧R))∧(Q∨(?P∧R))＝(P∧Q)∨(Q∧R))∨(?P∧Q∧R)

＝(P∧Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(?P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(?P∧Q∧R)＝(P∧Q∧?R)∨(?P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)＝m6∨m3∨m7 ＝?(3, 6, 7)

G,H的主析取范式相同，所以G = H.13.(1)

P∧Q∧R)7

(2)R?S＝{(a, b),(c, d)}，R∪S＝{(a, a),(a, b),(a, c),(b, c),(b, d),(c, d),(d, d)}, R－1＝{(a, a),(c, a),(c, b),(d, c)}, S－1?R－1＝{(b, a),(d, c)}.四 證明題

1.證明：{P→Q, R→S, P∨R}蘊涵Q∨S(1)P∨RP

(2)?R→PQ(1)(3)P→QP

(4)?R→QQ(2)(3)(5)?Q→RQ(4)(6)R→SP

(7)?Q→SQ(5)(6)(8)Q∨SQ(7)

2.證明：(A-B)-C =(A∩~B)∩~C = A∩(~B∩~C)= A∩~(B∪C)= A-(B∪C)

3.證明：{?A∨B, ?C→?B, C→D}蘊涵A→D(1)AD(附加)(2)?A∨BP(3)BQ(1)(2)(4)?C→?BP(5)B→CQ(4)(6)CQ(3)(5)(7)C→DP(8)DQ(6)(7)(9)A→DD(1)(8)

所以 {?A∨B, ?C→?B, C→D}蘊涵A→D.4.證明：A－(A∩B)= A∩~(A∩B)＝A∩(~A∪~B)

＝(A∩~A)∪(A∩~B)＝?∪(A∩~B)＝(A∩~B)＝A－B

而(A∪B)－B =(A∪B)∩~B

=(A∩~B)∪(B∩~B)=(A∩~B)∪?

= A－B

所以：A－(A∩B)=(A∪B)－B.8

1.離散數(shù)學(xué)試題及答案2 離散數(shù)學(xué)試題

一.多重選擇填空題

(本題包括16個空格，每個空格3分，共48分。每道小題都可能有一個以上的正確選項，須選出所有的正確選項，不答不得分，多選、少選或選錯都將按比例扣分。)1．命題公式(P∧(P→Q))→Q是_____式。

(1)重言(2)矛盾(3)可滿足(4)非永真的可滿足 2．給定解釋I=(D,)=(整數(shù)集，{f(x,y):f(x,y)=x-y；g(x,y):g(x,y)=x+y；P(x,y):x

(1)100(2)99(3)2048(4)1024(5)512 4．集合Ａ={x|x是整數(shù)，<30}，Ｂ={x|x是質(zhì)數(shù)，x<20}，C={1,3,5}，則① =_____;② =_____;③ =_____;④ =_____。(1){1,2,3,5}(2)(3){0}(4){1,3,5,7,11,13,17,19}(5){1,3,5,7}(6){7,11,13,17,19} 5．設(shè)A、B、C是集合，下列四個命題中，_____在任何情況下都是正確的。(1)若A B且B∈C，則A∈C(2)若A B且B∈C，則A C(3)若A∈B且B C，則A C(4)若A∈B且B C，則A∈C 6．設(shè)集合Ａ={a,b,c,d,e,f,g}，Ａ的一個劃分 ={{a,b},{c,d,e},{f,g}}，則 所對應(yīng)的等價關(guān)系有_____個二元組。

(1)14(2)15(3)16(4)17(5)8(6)49(7)512 7．S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，≤是S上的整除關(guān)系。S的子集Ｂ＝{2,4,6｝，則在(S，≤)中，Ｂ的最大元是_____；Ｂ的最小元是_____；Ｂ的上確界是_____；Ｂ的下確界是_____。

(1)不存在的(2)36(3)24(4)12(5)6(6)1(7)2 8．設(shè)有有限布爾代數(shù)(B,+,*,’,0,1)，則 =_____能成立。(1)1(2)2(3)3(4)4(5)5(6)8(7)9 9．G={0,1,2,?,n}，n∈N，定義 為模n加法，即x y=(x+y)mod n，則代數(shù)系統(tǒng)(G，)_____。

(1)是半群但不是群(2)是無限群(3)是循環(huán)群(4)是變換群(5)是交換群

10．n個結(jié)點、m條邊的無向連通圖是樹當且僅當m=_____。(1)n+1(2)n(3)n-1(4)2n-1 二請給出命題公式 的主析取范式。(10分)三假設(shè)下列陳述都是正確的：(1)學(xué)生會的每個成員都是學(xué)生并且是班干部；

(2)有些成員是女生。問是否有成員是女班干部？請將上述陳述和你的結(jié)論符號化，并給出你的結(jié)論的形式證明。(10分)四設(shè)R和S是集合Ｘ上的等價關(guān)系,則S∩R必是等價關(guān)系。(10分)

參考答案

一、1.1、3 2.4 3.4 4.1；4；2；2 5.4 6.4 7.1；7；4；7 8.2、4、6 9.3、4 10.3

二、分析：求給定命題公式的主析取范式與主合取范式，通常有兩種方法——列表法和等值演算法。(1)列表法

列出給定公式的真值表，其真值為真的賦值所對應(yīng)的極小項的析取，即為此公式的主析取范式。(2)等值演算法 在等值演算中，首先將公式中的蘊涵聯(lián)結(jié)詞和等價聯(lián)結(jié)詞化去，使整個公式化歸為析取范式，然后刪去其中所有的永假合取項，再將析取式中重復(fù)出現(xiàn)的合取項合并和合并合取項中相同的命題變元，最后對合取項添加沒有出現(xiàn)的命題變元，就是合取 ,經(jīng)過化簡整理，即可得到主析取范式。解：（1）列表法 設(shè)

000011111 001010100 010010100 011110100 100001000 101000010 110000010 111100111 根據(jù)真值表中 真值為1的賦值所對應(yīng)的極小項的析取，即為 的主析取范式。由表可知

（2）等值演算

三、解：有成員是女班干部。

將命題符號化，個體域為全總個體域。

：x是學(xué)生會的成員。：x是學(xué)生 ：x是班干部 ：x是女性 前提：，結(jié)論： 證明： ① P ② ES①，e為額外變元 ③ P ④ T③ ⑤ T② ⑥ T② ⑦ T④⑤⑥ ⑧ T② ⑨ T⑤⑦⑧ ⑩ EG⑨

離散數(shù)學(xué)試題及答案1

離散數(shù)學(xué)考試試題（A卷及答案）

一、（10分）某項工作需要派A、B、C和D 4個人中的2個人去完成，按下面3個條件，有幾種派法？如何派？

(1)若A去，則C和D中要去1個人；

(2)B和C不能都去；

(3)若C去，則D留下。

解 設(shè)A：A去工作；B：B去工作；C：C去工作；D：D去工作。則根據(jù)題意應(yīng)有：A?C?D，?(B∧C)，C??D必須同時成立。因此

(A?C?D)∧?(B∧C)∧(C??D)

?(?A∨(C∧? D)∨(?C∧D))∧(?B∨?C)∧(?C∨?D)

?(?A∨(C∧? D)∨(?C∧D))∧((?B∧?C)∨(?B∧?D)∨?C∨(?C∧?D))?(?A∧?B∧?C)∨(?A∧?B∧?D)∨(?A∧?C)∨(?A∧?C∧?D)

∨(C∧? D∧?B∧?C)∨(C∧? D∧?B∧?D)∨(C∧? D∧?C)∨(C∧? D∧?C∧?D)

∨(?C∧D∧?B∧?C)∨(?C∧D∧?B∧?D)∨(?C∧D∧?C)∨(?C∧D∧?C∧?D)

?F∨F∨(?A∧?C)∨F∨F∨(C∧? D∧?B)∨F∨F∨(?C∧D∧?B)∨F∨(?C∧D)∨F

?(?A∧?C)∨(?B∧C∧? D)∨(?C∧D∧?B)∨(?C∧D)?(?A∧?C)∨(?B∧C∧? D)∨(?C∧D)?T

故有三種派法：B∧D，A∧C，A∧D。

二、（15分）在謂詞邏輯中構(gòu)造下面推理的證明：某學(xué)術(shù)會議的每個成員都是專家并且是工人，有些成員是青年人，所以，有些成員是青年專家。

解：論域：所有人的集合。()： 是專家；()： 是工人；()： 是青年人；則推理化形式為：

(()∧())，()(()∧())下面給出證明：

(1)()P

(2)(c)T(1)，ES(3)(()∧())P

(4)(c)∧(c)T(3)，US(5)(c)T(4)，I

(6)(c)∧(c)T(2)(5)，I

11(7)(()∧())T(6)，EG

三、（10分）設(shè)A、B和C是三個集合，則A?B??(B?A)。

證明：A?B?x(x∈A→x∈B)∧x(x∈B∧x?A)?x(x?A∨x∈B)∧x(x∈B∧x?A)??x(x∈A∧x?B)∧?x(x?B∨x∈A)??x(x∈A∧x?B)∨?x(x∈A∨x?B)??(x(x∈A∧x?B)∧x(x∈A∨x?B))??(x(x∈A∧x?B)∧x(x∈B→x∈A))??(B?A)。

四、（15分）設(shè)A＝{1，2，3，4，5}，R是A上的二元關(guān)系，且R＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>}，求r(R)、s(R)和t(R)。

解 r(R)＝R∪IA＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<1，1>，<2，2>，<3，3>，<4，4>，<5，5>}

s(R)＝R∪R－1＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<1，2>，<4，2>，<4，3>}

R2＝{<2，2>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，1>，<5，5>，<5，4>} R3＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<5，4>}

R4＝{<2，2>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，1>，<5，5>，<5，4>}＝R2

t(R)＝ Ri＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<2，2>，<5，1>，<5，4>，<5，5>}。

五、（10分）R是非空集合A上的二元關(guān)系，若R是對稱的，則r(R)和t(R)是對稱的。

證明 對任意的x、y∈A，若xr(R)y，則由r(R)＝R∪IA得，xRy或xIAy。因R與IA對稱，所以有yRx或yIAx，于是yr(R)x。所以r(R)是對稱的。

下證對任意正整數(shù)n，Rn對稱。

因R對稱，則有xR2y?z(xRz∧zRy)?z(zRx∧yRz)?yR2x，所以R2對稱。若 對稱，則x y?z(x z∧zRy)?z(z x∧yRz)?y x，所以 對稱。因此，對任意正整數(shù)n，對稱。

對任意的x、y∈A，若xt(R)y，則存在m使得xRmy，于是有yRmx，即有yt(R)x。因此，t(R)是對稱的。

六、（10分）若f：A→B是雙射，則f－1：B→A是雙射。

證明 因為f：A→B是雙射，則f－1是B到A的函數(shù)。下證f－1是雙射。

對任意x∈A，必存在y∈B使f(x)＝y(tǒng)，從而f－1(y)＝x，所以f－1是滿射。

對任意的y1、y2∈B，若f－1(y1)＝f－1(y2)＝x，則f(x)＝y(tǒng)1，f(x)＝y(tǒng)2。因為f：A→B是函數(shù)，則y1＝y(tǒng)2。所以f－1是單射。

綜上可得，f－1：B→A是雙射。

七、（10分）設(shè)是一個半群，如果S是有限集，則必存在a∈S，使得a*a＝a。

證明 因為是一個半群，對任意的b∈S，由*的封閉性可知，b2＝b*b∈S，b3＝b2*b∈S，?，bn∈S，?。

因為S是有限集，所以必存在j＞i，使得 ＝。令p＝j(luò)－i，則 ＝ *。所以對q≥i，有 ＝ *。

因為p≥1，所以總可找到k≥1，使得kp≥i。對于 ∈S，有 ＝ * ＝ *(*)＝?＝ *。

令a＝，則a∈S且a*a＝a。

八、（20分）（1）若G是連通的平面圖，且G的每個面的次數(shù)至少為l(l≥3)，則G的邊數(shù)m與結(jié)點數(shù)n有如下關(guān)系：

m≤(n－2)。

證明 設(shè)G有r個面，則2m＝ ≥lr。由歐拉公式得，n－m＋r＝2。于是，m≤(n－2)。

（2）設(shè)平面圖G＝是自對偶圖，則| E|＝2(|V|－1)。

證明 設(shè)G*＝是連通平面圖G＝的對偶圖，則G*? G，于是|F|＝|V*| 12 ＝|V|，將其代入歐拉公式|V|－|E|＋|F|＝2得，|E|＝2(|V|－1)。

離散數(shù)學(xué)考試試題（B卷及答案）

一、（10分）證明(P∨Q)∧(P?R)∧(Q?S)S∨R

證明 因為S∨R??R?S，所以，即要證(P∨Q)∧(P?R)∧(Q?S)?R?S。

(1)?R 附加前提

(2)P?R P

(3)?P T(1)(2)，I(4)P∨Q P

(5)Q T(3)(4)，I(6)Q?S P(7)S T(5)(6)，I(8)?R?S CP(9)S∨R T(8)，E

二、（15分）根據(jù)推理理論證明：每個考生或者勤奮或者聰明，所有勤奮的人都將有所作為，但并非所有考生都將有所作為，所以，一定有些考生是聰明的。

設(shè)P(e)：e是考生，Q(e)：e將有所作為，A(e)：e是勤奮的，B(e)：e是聰明的，個體域：人的集合，則命題可符號化為：x(P(x)?(A(x)∨B(x)))，x(A(x)?Q(x))，?x(P(x)?Q(x))x(P(x)∧B(x))。

(1)?x(P(x)?Q(x))P

(2)?x(?P(x)∨Q(x))T(1)，E(3)x(P(x)∧?Q(x))T(2)，E(4)P(a)∧?Q(a)T(3)，ES(5)P(a)T(4)，I(6)?Q(a)T(4)，I

(7)x(P(x)?(A(x)∨B(x))P

(8)P(a)?(A(a)∨B(a))T(7)，US(9)A(a)∨B(a)T(8)(5)，I(10)x(A(x)?Q(x))P

(11)A(a)?Q(a)T(10)，US(12)?A(a)T(11)(6)，I(13)B(a)T(12)(9)，I

(14)P(a)∧B(a)T(5)(13)，I(15)x(P(x)∧B(x))T(14)，EG

三、（10分）某班有25名學(xué)生，其中14人會打籃球，12人會打排球，6人會打籃球和排球，5人會打籃球和網(wǎng)球，還有2人會打這三種球。而6個會打網(wǎng)球的人都會打另外一種球，求不會打這三種球的人數(shù)。

解 設(shè)A、B、C分別表示會打排球、網(wǎng)球和籃球的學(xué)生集合。則：

|A|＝12，|B|＝6，|C|＝14，|A∩C|＝6，|B∩C|＝5，|A∩B∩C|＝2，|(A∪C)∩B|＝6。

因為|(A∪C)∩B|＝(A∩B)∪(B∩C)|＝|(A∩B)|＋|(B∩C)|－|A∩B∩C|＝|(A∩B)|＋5－2＝6，所以|(A∩B)|＝3。于是|A∪B∪C|＝12＋6＋14－6－5－3＋2＝20，＝25－20＝5。故，不會 13 打這三種球的共5人。

四、（10分）設(shè)A1、A2和A3是全集U的子集，則形如 Ai?(Ai?為Ai或)的集合稱為由A1、A2和A3產(chǎn)生的小項。試證由A1、A2和A3所產(chǎn)生的所有非空小項的集合構(gòu)成全集U的一個劃分。

證明 小項共8個，設(shè)有r個非空小項s1、s2、?、sr(r≤8)。

對任意的a∈U，則a∈Ai或a∈，兩者必有一個成立，取Ai?為包含元素a的Ai或，則a∈ Ai?，即有a∈ si，于是U? si。又顯然有 si?U，所以U＝ si。

任取兩個非空小項sp和sq，若sp≠sq，則必存在某個Ai和 分別出現(xiàn)在sp和sq中，于是sp∩sq＝?。

綜上可知，{s1，s2，?，sr}是U的一個劃分。

五、（15分）設(shè)R是A上的二元關(guān)系，則：R是傳遞的?R*R?R。

證明(5)若R是傳遞的，則∈R*R?z(xRz∧zSy)?xRc∧cSy，由R是傳遞的得xRy，即有∈R，所以R*R?R。

反之，若R*R?R，則對任意的x、y、z∈A，如果xRz且zRy，則∈R*R，于是有∈R，即有xRy，所以R是傳遞的。

六、（15分）若G為連通平面圖，則n－m＋r＝2，其中，n、m、r分別為G的結(jié)點數(shù)、邊數(shù)和面數(shù)。

證明 對G的邊數(shù)m作歸納法。

當m＝0時，由于G是連通圖，所以G為平凡圖，此時n＝1，r＝1，結(jié)論自然成立。

假設(shè)對邊數(shù)小于m的連通平面圖結(jié)論成立。下面考慮連通平面圖G的邊數(shù)為m的情況。

設(shè)e是G的一條邊，從G中刪去e后得到的圖記為G?，并設(shè)其結(jié)點數(shù)、邊數(shù)和面數(shù)分別為n?、m?和r?。對e分為下列情況來討論：

若e為割邊，則G?有兩個連通分支G1和G2。Gi的結(jié)點數(shù)、邊數(shù)和面數(shù)分別為ni、mi和ri。顯然n1＋n2＝n?＝n，m1＋m2＝m?＝m－1，r1＋r2＝r?＋1＝r＋1。由歸納假設(shè)有n1－m1＋r1＝2，n2－m2＋r2＝2，從而(n1＋n2)－(m1＋m2)＋(r1＋r2)＝4，n－(m－1)＋(r＋1)＝4，即n－m＋r＝2。

若e不為割邊，則n?＝n，m?＝m－1，r?＝r－1，由歸納假設(shè)有n?－m?＋r?＝2，從而n－(m－1)＋r－1＝2，即n－m＋r＝2。

由數(shù)學(xué)歸納法知，結(jié)論成立。

七、（10分）設(shè)函數(shù)g：A→B，f：B→C，則：

(1)fog是A到C的函數(shù)；

(2)對任意的x∈A，有fog(x)＝f(g(x))。

證明(1)對任意的x∈A，因為g：A→B是函數(shù)，則存在y∈B使∈g。對于y∈B，因f：B→C是函數(shù)，則存在z∈C使∈f。根據(jù)復(fù)合關(guān)系的定義，由∈g和∈f得∈g*f，即∈fog。所以Dfog＝A。

對任意的x∈A，若存在y1、y2∈C，使得、∈fog＝g*f，則存在t1使得∈g且∈f，存在t2使得∈g且∈f。因為g：A→B是函數(shù)，則t1＝t2。又因f：B→C是函數(shù)，則y1＝y(tǒng)2。所以A中的每個元素對應(yīng)C中惟一的元素。

綜上可知，fog是A到C的函數(shù)。

(2)對任意的x∈A，由g：A→B是函數(shù)，有∈g且g(x)∈B，又由f：B→C是函數(shù)，得∈f，于是∈g*f＝fog。又因fog是A到C的函數(shù)，則可寫為fog(x)＝f(g(x))。

八、（15分）設(shè)是的子群，定義R＝{|a、b∈G且a－1*b∈H}，則R是G中的一個等價關(guān)系，且[a]R＝aH。

證明 對于任意a∈G，必有a－1∈G使得a－1*a＝e∈H，所以∈R。

若∈R，則a－1*b∈H。因為H是G的子群，故(a－1*b)－1＝b－1*a∈H。所以∈R。

若∈R，∈R，則a－1*b∈H，b－1*c∈H。因為H是G的子群，所以(a－1*b)*(b－1*c)＝a－1*c∈H，故∈R。

綜上可得，R是G中的一個等價關(guān)系。

對于任意的b∈[a]R，有∈R，a－1*b∈H，則存在h∈H使得a－1*b＝h，b＝a*h，于是b∈aH，[a]R?aH。對任意的b∈aH，存在h∈H使得b＝a*h，a－1*b＝h∈H，∈R，故aH?[a]R。所以，[a]R＝aH。

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一、填空 20%（每小題2分）

1．設(shè)（N：自然數(shù)集，E???+ 正偶數(shù)）則。

2．A，B，C表示三個集合，文圖中陰影部分的集合表達式為。

3．設(shè)P，Q 的真值為0，R，S的真值為1，則的真值=。

4．公式 的主合取范式為。

5．若解釋I的論域D僅包含一個元素，則 在I下真值為。

6．設(shè)A={1，2，3，4}，A上關(guān)系圖為

則 R2 =。

7．設(shè)A={a，b，c，d}，其上偏序關(guān)系R的哈斯圖為

則 R=。

8．圖 的補圖為。

9．設(shè)A={a，b，c，d}，A上二元運算如下：

* a b c d a b c d a b c d b c d a c d a b d a b c

那么代數(shù)系統(tǒng)的幺元是，有逆元的元素為，它們的逆元分別為。

10．下圖所示的偏序集中，是格的為。

二、選擇 20%（每小題 2分）

1、下列是真命題的有（）

A． ； B． ；

C． ； D．。

2、下列集合中相等的有（）

A．{4，3} ；B．{，3，4}；C．{4，3，3}；D． {3，4}。

3、設(shè)A={1，2，3}，則A上的二元關(guān)系有（）個。

A． 23 ； B． 32 ； C． ； D．。

4、設(shè)R，S是集合A上的關(guān)系，則下列說法正確的是（）

A．若R，S 是自反的，則 是自反的；

B．若R，S 是反自反的，則 是反自反的；

C．若R，S 是對稱的，則 是對稱的；

D．若R，S 是傳遞的，則 是傳遞的。

5、設(shè)A={1，2，3，4}，P（A）（A的冪集）上規(guī)定二元系如下

則P（A）/ R=（）

A．A ；B．P(A)；C．{{{1}}，{{1，2}}，{{1，2，3}}，{{1，2，3，4}}}；

D．{{ }，{2}，{2，3}，{{2，3，4}}，{A}}

6、設(shè)A={，{1}，{1，3}，{1，2，3}}則A上包含關(guān)系“ ”的哈斯圖為（）

7、下列函數(shù)是雙射的為（）

A．f : I E , f(x)= 2x ； B．f : N N N, f(n)= ；

C．f : R I , f(x)= [x] ； D．f :I N, f(x)= | x |。

（注：I—整數(shù)集，E—偶數(shù)集，N—自然數(shù)集，R—實數(shù)集）

8、圖 中 從v1到v3長度為3 的通路有（）條。

A． 0； B． 1； C． 2； D． 3。

9、下圖中既不是Eular圖，也不是Hamilton圖的圖是（）

10、在一棵樹中有7片樹葉，3個3度結(jié)點，其余都是4度結(jié)點則該樹有（）個4度結(jié)點。

A．1； B．2； C．3； D．4。

三、證明 26%

1、R是集合X上的一個自反關(guān)系，求證：R是對稱和傳遞的，當且僅當 < a, b> 和在R中有<.b , c>在R中。（8分）

2、f和g都是群到< G2, *>的同態(tài)映射，證明是的一個子群。其中C=(8分)

3、G=(|V| = v，|E|=e)是每一個面至少由k（k 3）條邊圍成的連通平面圖，則，由此證明彼得森圖（Peterson）圖是非平面圖。（11分）

四、邏輯推演 16%

用CP規(guī)則證明下題（每小題 8分）

1、2、五、計算 18%

1、設(shè)集合A={a，b，c，d}上的關(guān)系R={ ,< b , a > ,< b, c > , < c , d >}用矩陣運算求出R的傳遞閉包t(R)。（9分）

2、如下圖所示的賦權(quán)圖表示某七個城市 及預(yù)先算出它們之間的一些直接通信線路造價，試給出一個設(shè)計方案，使得各城市之間能夠通信而且總造價最小。（9分）

試卷一答案：

一、填空 20%（每小題2分）

1、{0，1，2，3，4，6}；

2、；

3、1；

4、； 5、1；

6、{<1,1>, <1,3>, <2,2>, <2,4> }；

7、{,,,,} IA ；

8、9、a ；a , b , c ,d ；a , d , c , d ；

10、c;

二、選擇 20%（每小題 2分）

題目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

答案 C D B、C C A D C A D B A

三、證明 26%

1、證：

“ ” 若 由R對稱性知，由R傳遞性得

“ ” 若，有 任意，因 若 所以R是對稱的。

若，則 即R是傳遞的。

2、證，有，又

★ ★

★ < C , ★> 是 < G1 , ★>的子群。

3、證：

①設(shè)G有r個面，則，即。而 故 即得。（8分）

②彼得森圖為，這樣 不成立，所以彼得森圖非平面圖。（3分）

二、邏輯推演 16%

1、證明：

① P（附加前提）

② T①I ③ P

④ T②③I ⑤ T④I ⑥ T⑤I ⑦ P

⑧ T⑥⑦I ⑨ CP

2、證明

① P（附加前提）

② US①

③ P ④ US③

⑤ T②④I ⑥ UG⑤

⑦ CP

三、計算 18%

1、解：，t(R)={ , , < a , c> , , , < b ,b > , < b , c.> , < b , d > , < c , d > }

2、解： 用庫斯克（Kruskal）算法求產(chǎn)生的最優(yōu)樹。算法略。結(jié)果如圖：

樹權(quán)C(T)=23+1+4+9+3+17=57即為總造價。

第五篇：離散數(shù)學(xué)試題+答案

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一、單項選擇題(本大題共15小題，每小題1分，共15分)在每小題列出的四個選項中只有一個選項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母填在題后的括號內(nèi)。1.一個連通的無向圖G，如果它的所有結(jié)點的度數(shù)都是偶數(shù)，那么它具有一條（）A.漢密爾頓回路

B.歐拉回路 C.漢密爾頓通路

D.初級回路

2.設(shè)G是連通簡單平面圖，G中有11個頂點5個面，則G中的邊是（）A.10

B.12

C.16

D.14 3.在布爾代數(shù)L中，表達式(a∧b)∨(a∧b∧c)∨(b∧c)的等價式是（）A.b∧(a∨c)B.(a∧b)∨(a’∧b)C.(a∨b)∧(a∨b∨c)∧(b∨c)D.(b∨c)∧(a∨c)4.設(shè)i是虛數(shù)，·是復(fù)數(shù)乘法運算，則G=<{1,-1,i,-i},·>是群，下列是G的子群是（）A.<{1},·>

B.〈{-1},·〉

C.〈{i},·〉

D.〈{-i},·〉

5.設(shè)Z為整數(shù)集，A為集合，A的冪集為P(A),+、-、/為數(shù)的加、減、除運算，∩為集合的交運算，下列系統(tǒng)中是代數(shù)系統(tǒng)的有（）A.〈Z，+，/〉

B.〈Z，/〉 C.〈Z，-，/〉

D.〈P(A)，∩〉 6.下列各代數(shù)系統(tǒng)中不含有零元素的是（）A.〈Q，*〉Q是全體有理數(shù)集，*是數(shù)的乘法運算

B.〈Mn(R),*〉,Mn(R)是全體n階實矩陣集合，*是矩陣乘法運算 C.〈Z，?〉，Z是整數(shù)集，?定義為x?xy=xy,?x,y∈Z D.〈Z，+〉，Z是整數(shù)集，+是數(shù)的加法運算

7.設(shè)A={1,2,3}，A上二元關(guān)系R的關(guān)系圖如下： R具有的性質(zhì)是 A.自反性 B.對稱性 C.傳遞性 D.反自反性

8.設(shè)A={a,b,c}，A上二元關(guān)系R={〈a,a〉，〈b,b〉〈,a,c〉}，則關(guān)系R的對稱閉包S(R)是（）A.R∪IA

B.R

C.R∪{〈c,a〉}

D.R∩IA 9.設(shè)X={a,b,c},Ix是X上恒等關(guān)系，要使Ix∪{〈a,b〉，〈b,c〉，〈c,a〉，〈b,a〉}∪R為X上的等價關(guān)系，R應(yīng)?。ǎ〢.｛〈c,a〉，〈a,c〉｝

B.{〈c,b〉，〈b,a〉} C.{〈c,a〉，〈b,a〉}

D.{〈a,c〉，〈c,b〉} 10.下列式子正確的是（）A.?∈?

B.???

C.{?}??

D.{?}∈?

11.設(shè)解釋R如下：論域D為實數(shù)集，a=0,f(x,y)=x-y,A(x,y):x

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D.(?x)(?y)(A(x,y)→A(f(x,a),a))12.設(shè)B是不含變元x的公式，謂詞公式(?x)(A(x)→B)等價于（）A.(?x)A(x)→B

B.(?x)A(x)→B C.A(x)→B

D.(?x)A(x)→(?x)B 13.謂詞公式(?x)(P(x,y))→(?z)Q(x,z)∧(?y)R(x,y)中變元x（）A.是自由變元但不是約束變元 B.既不是自由變元又不是約束變元 C.既是自由變元又是約束變元 D.是約束變元但不是自由變元

14.若P：他聰明；Q：他用功；則“他雖聰明，但不用功”，可符號化為（）A.P∨Q

B.P∧┐Q

C.P→┐Q

D.P∨┐Q 15.以下命題公式中，為永假式的是（）A.p→(p∨q∨r)

B.(p→┐p)→┐p C.┐(q→q)∧p

D.┐(q∨┐p)→(p∧┐p)

二、填空題(每空1分，共20分)16.在一棵根樹中，僅有一個結(jié)點的入度為______，稱為樹根，其余結(jié)點的入度均為______。17.A={1,2,3,4}上二元關(guān)系R={〈2，4〉，〈3，3〉，〈4，2〉}，R的關(guān)系矩陣MR中m24=______,m34=______。18.設(shè)〈s,*〉是群，則那么s中除______外，不可能有別的冪等元；若〈s,*〉有零元，則|s|=______。19.設(shè)A為集合，P(A)為A的冪集，則〈P(A)，是格，若x,y∈P(A),則x,y最大下界是______，?〉最小上界是______。

20.設(shè)函數(shù)f:X→Y,如果對X中的任意兩個不同的x1和x2，它們的象y1和y2也不同，我們說f是______函數(shù)，如果ranf=Y，則稱f是______函數(shù)。

21.設(shè)R為非空集合A上的等價關(guān)系，其等價類記為〔x〕R。?x,y∈A，若〈x,y〉∈R，則 〔x〕R與〔y〕R的關(guān)系是______，而若〈x,y〉?R，則〔x〕R∩〔y〕R=______。

22.使公式(?x)(?y)(A(x)∧B(y))?(?x)A(x)∧(?y)B(y)成立的條件是______不含有y，______不含有x。23.設(shè)M(x):x是人，D(s):x是要死的，則命題“所有的人都是要死的”可符號化為(?x)______,其中量詞(?x)的轄域是______。24.若H1∧H2∧?∧Hn是______，則稱H1,H2,?Hn是相容的，若H1∧H2∧?∧Hn是______，則稱H1,H2,?Hn是不相容的。

25.判斷一個語句是否為命題，首先要看它是否為，然后再看它是否具有唯一的。

三、計算題(共30分)26.(4分)設(shè)有向圖G=(V,E)如下圖所示，試用鄰接矩陣方法求長度為2的路的總數(shù)和回路總數(shù)。

27.(5)設(shè)A={a,b},P(A)是A的冪集，?是對稱差運算，可以驗證

是群。設(shè)n是正整數(shù)，求({a}-1{a})n?{a}-nn{a}n 28.(6分)設(shè)A={1,2,3,4,5},A上偏序關(guān)系

R={〈1，2〉，〈3，2〉，〈4，1〉，〈4，2〉，〈4，3〉，〈3，5〉，〈4，5〉}∪IA;

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(1)作出偏序關(guān)系R的哈斯圖

(2)令B={1,2,3,5}，求B的最大，最小元，極大、極小元，上界，下確界，下界，下確界。29.(6分)求┐(P→Q)?(P→┐Q)的主合取范式并給出所有使命題為真的賦值。

30.(5分)設(shè)帶權(quán)無向圖G如下，求G的最小生成樹T及T的權(quán)總和，要求寫出解的過程。

31.(4分)求公式┐((?x)F(x,y)→(?y)G(x,y))∨(?x)H(x)的前束范式。

四、證明題(共20分)32.(6分)設(shè)T是非平凡的無向樹，T中度數(shù)最大的頂點有2個，它們的度數(shù)為k(k≥2),證明T中至少有2k-2片樹葉。

33.(8分)設(shè)A是非空集合，F(xiàn)是所有從A到A的雙射函數(shù)的集合，?是函數(shù)復(fù)合運算。

證明：〈F, ?〉是群。

34.(6分)在個體域D={a1,a2,?，an}中證明等價式：

(?x)(A(x)→B(x))?(?x)A(x)→(?x)B(x)

五、應(yīng)用題(共15分)35.(9分)如果他是計算機系本科生或者是計算機系研究生，那么他一定學(xué)過DELPHI語言而且學(xué)過C++語言。只要他學(xué)過DELPHI語言或者C++語言，那么他就會編程序。因此如果他是計算機系本科生，那么他就會編程序。請用命題邏輯推理方法，證明該推理的有效結(jié)論。

36.(6分)一次學(xué)術(shù)會議的理事會共有20個人參加，他們之間有的相互認識但有的相互不認識。但對任意兩個人，他們各自認識的人的數(shù)目之和不小于20。問能否把這20個人排在圓桌旁，使得任意一個人認識其旁邊的兩個人?根據(jù)是什么?

參考答案

一、單項選擇題(本大題共15小題，每小題1分，共15分)

1.B

2.D

3.A

4.A

5.D

6.D

7.D

8.C

9.D

10.B

11.A

12.A

13.C

14.B

15.C

二、填空題 16.0 17.1

0 18.單位元

19.x∩y

x∪y 20.入射

滿射

21.［x］R=［y］R

 22.A(x)

B(y)23.(M(x)→D(x))

M(x)→D(x)

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24.可滿足式

永假式(或矛盾式)25.陳述句

真值

三、計算題

?1100??1010???26.M=??

1011????0011???2?2?M=??2??1110?111???

121?011??M2ij?18,ij?6 ?M2i?1??i?1j?144

G中長度為2的路總數(shù)為18，長度為2的回路總數(shù)為6。

27.當n是偶數(shù)時，?x∈P(A),xn=?

當n是奇數(shù)時，?x∈P(A),xn=x

于是：當n是偶數(shù)，(｛a｝-1｛b｝｛a｝)n?｛a｝-n｛b｝n｛a｝n

=??(｛a｝-1)n｛b｝n｛a｝n=?????

當n是奇數(shù)時，(｛a｝-1｛b｝｛a｝)n?｛a｝-n｛b｝n｛a｝n

=｛a｝-1｛b｝｛a｝?(｛a｝-1)n｛b｝n｛a｝n

=｛a｝-1｛b｝｛a｝?｛a｝-1｛b｝｛a｝=? 28.(1)偏序關(guān)系R的哈斯圖為

(2)B的最大元：無，最小元：無；

極大元：2，5，極小元：1，3

下界：4，下確界4；

上界：無，上確界：無

29.原式?(┐(P→Q)→(P→┐Q))∧((P→┐Q)→┐(P→Q))

((P→Q)∨(P→┐Q))∧(┐(P→┐Q)∨┐(P→Q))

(┐P∨Q∨┐P∨┐Q)∧(┐(┐P∨┐Q)∨(P∧┐Q))

(┐(P∧┐Q)∨(P∧┐Q))

(P∧Q)∨(P∧┐Q)

P∧(Q∨┐Q)

P∨(Q∧┐Q)

(P∨Q)∧(P∨┐Q)

命題為真的賦值是P=1,Q=0和P=1,Q=1

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30.令e1=(v1,v3)，e2=(v4,v6)

e3=(v2,v5)，e4=(v3,v6)

e5=(v2,v3)，e6=(v1,v2)

e7=(v1,v4)，e8=(v4,v3)

e9=(v3,v5)，e10=(v5,v6)

令ai為ei上的權(quán)，則

a1

取a1的e1∈T,a2的e2∈T,a3的e3∈T,a4的e4∈T,a5的e5∈T,即，T的總權(quán)和=1+2+3+4+5=15 31.原式?┐(?x1F(x1,y)→?y1G(x,y1))∨?x2H(x2)

(換名)

?┐?x1?y1(F(x1,y)→G(x,y1))∨?x2H(x2)

??x1?y1┐(F(x1,y1)→G(x,y1))∨?x2H(x2)

??x1?y1?x2(┐(F(x1,y1)→G(x,y1))∨H(x2)

四、證明題

32.設(shè)T中有x片樹葉，y個分支點。于是T中有x+y個頂點，有x+y-1 條邊，由握手定理知T中所有頂點的度數(shù)之的

x?y

?d(vi)=2(x+y-1)。

i?又樹葉的度為1，任一分支點的度大于等于2

且度最大的頂點必是分支點，于是

x?y

?d(vi)≥x·1+2(y-2)+k+k=x+2y+2K-4 i?1

從而2(x+y-1)≥x+2y+2k-4

x≥2k-2 33.從定義出發(fā)證明：由于集合A是非空的，故顯然從A到A的雙射函數(shù)總是存在的，如A上恒等函數(shù)，因此F非空

(1)?f,g∈F,因為f和g都是A到A的雙射函數(shù)，故f?g也是A到A的雙射函數(shù)，從而集合F關(guān)于運算?是封閉的。

(2)?f,g,h∈F,由函數(shù)復(fù)合運算的結(jié)合律有f?(g?h)=(f?g)?h故運算?是可結(jié)合的。

(3)A上的恒等函數(shù)IA也是A到A的雙射函數(shù)即IA∈F,且?f∈F有IA?f=f?IA=f,故IA是〈F，?〉中的幺元

(4)?f∈F,因為f是雙射函數(shù)，故其逆函數(shù)是存在的，也是A到A的雙射函數(shù)，且有f?f-1=f-1?f=IA,因此f-1是f的逆元

由此上知〈F，?〉是群

34.證明(?x)(A(x)→B(x))? ?x(┐A(x)∨B(x))

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?(┐A(a1)∨B(a1))∨(┐A(a2)∨B(a2))∨?∨(┐A(an)∨B(an)))

?(┐A(a1)∨A(a2)∨?∨┐A(an)∨(B(a1)∨B(a2)∨?∨(B(an))

?┐(A(a1)∧A(a2)∧?∧A(an))∨(┐B(a1)∨B(a2)∨?∨(B(an))

?┐(?x)A(x)∨(?x)B(x)?(?x)A(x)→(?x)B(x)

五、應(yīng)用題

35.令p：他是計算機系本科生

q：他是計算機系研究生

r：他學(xué)過DELPHI語言

s:他學(xué)過C++語言

t:他會編程序

前提：(p∨q)→(r∧s),(r∨s)→t

結(jié)論：p→t

證①p

P(附加前提)

②p∨q

T①I

③(p∨q)→(r∧s)

P(前提引入)

④r∧s

T②③I

⑤r

T④I

⑥r(nóng)∨s

T⑤I

⑦(r∨s)→t

P(前提引入)

⑧t

T⑤⑥I 36.可以把這20個人排在圓桌旁，使得任一人認識其旁邊的兩個人。

根據(jù)：構(gòu)造無向簡單圖G=,其中V={v1,v2,?，V20}是以20個人為頂點的集合，E中的邊是若任兩個人vi和vj相互認識則在vi與vj之間連一條邊。

?Vi∈V,d(vi)是與vi相互認識的人的數(shù)目，由題意知?vi,vj∈V有d(vi)+d(vj)?20,于是G中存在漢密爾頓回路。

設(shè)C=Vi1Vi2?Vi20Vi1是G中一條漢密爾頓回路，按這條回路的順序按其排座位即符合要求。