第一篇：正余弦定理的證明及其作用

一、余弦定理、正弦定理的證明：Proofs without words。

（1）余弦定理的證明

（2）正弦定理的證明

二、正弦定理、余弦定理的應(yīng)用

（1）證明三角形角平分線定理

（2）證明平行四邊形邊與對(duì)角線的長(zhǎng)度關(guān)系

（3）證明知三邊的三角形面積公式：海倫公式

（4）正弦定理是三角形中的邊與角聯(lián)系的紐帶和橋梁，也就是說，能夠?qū)⑷切沃羞叺年P(guān)系轉(zhuǎn)化為角之間的關(guān)系，也能將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系，這是正弦定理的“靈魂”。

（5）余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理揭示了任意三角形邊角之間的客觀規(guī)律，是解三角形的的重要工具。

第二篇：正、余弦定理的證明----方法種種（本站推薦）

正、余弦定理的證明----方法種種

在解三角形的有關(guān)知識(shí)中，正、余弦定理占有十分重要的地位，是揭示任意三角形邊角之間關(guān)系的兩個(gè)重要定理，它們相輔相成，是一個(gè)不可分割的整體.要想靈活的應(yīng)用正、余弦定理解決有關(guān)三角形問題，必須熟練掌握這兩個(gè)定理的證明，本文歸納了正、余弦定理的幾種常見證明方法，希望能對(duì)同學(xué)們的正、余弦定理的學(xué)習(xí)有所幫助和啟示．

一、正弦定理的證明

正弦定理 在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即

abc??.sinAsinBsinC教材中給出了用三角函數(shù)定義的證明，除此以外還可以用向量法和幾何法來證明正弦定理.證明：方法一（向量法）：如圖（1），△ABC為銳角三角形時(shí)，過A作單位向量j垂直于AB，則j與AB的夾角為??，j與BC的夾角為?B，j與CA的夾角為22?2?A，設(shè)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，∵AB?BC?CA?0，∴j?AB?j?BC?j?CA?j?0?0，即jABcos????????jBCcos??B??jCAcos??A??0.2?2??2?ab?.sinAsinBbcabc???同理可得：,即.sinBsinCsinAsinBsinC∴asinB?bsinA，即當(dāng)△ABC為鈍角三角形（如圖（2））或?yàn)橹苯侨切螘r(shí)，利用同樣的方法可以證得結(jié)論，請(qǐng)同學(xué)們自己證明.（注意：在此證明過程中，要注意兩向量所成的角與三角形內(nèi)角的關(guān)系.）方法二（幾何法）：如圖所示，設(shè)O為△ABC外接圓的圓心，連BO并延長(zhǎng)交

''''⊙O于A,連AC，則A?A或A???A，∴sinA?sinA?'BCa?，'AB2Rabc?2R,同理可證?2R,?2R.sinAsinBsinCabc???2R.故有sinAsinBsinC即方法三（解析法）：如圖，在ABC中，三內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c.以A為原點(diǎn)，AC所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則C點(diǎn)坐標(biāo)是（b,0）.由三角函數(shù)的定義得B點(diǎn)坐標(biāo)是?ccosA,csiaA?,所以CB??ccosA?b,csin?A.將CB平移到起點(diǎn)為原點(diǎn)A，則AD?CB.因?yàn)锳D?CB?a,?DAC????BCA???C, 1 根據(jù)三角函數(shù)的定義知D點(diǎn)坐標(biāo)是acos???C?,asin???C?，即D坐標(biāo)是??acosC,asinC?.所以,所以??acosC,asiC所n?sbc,?s.iAn以AD???acosC,asinC?.又因?yàn)锳D?CB???ccoA??asinC?csinA,即acababc????.同理可證，所以.sinAsinCsinAsinBsinAsinBsinC

二、余弦定理的證明

余弦定理 三角形的任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍，即 a?b?c?2bccosA，b?a?c?2accosB，c?a?b?2abcosC.教材中給出了用向量證明余弦定理的方法，體現(xiàn)了向量在解決三角形度量問題中的作用，另外，還可以用解析法和三角法來證明余弦定理.證明：方法一（解析法）：如圖，以A點(diǎn)為原點(diǎn)，以△ABC的邊AB所在直線為為x軸，以過點(diǎn)A與AB垂直的直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，則A（0，0），C（bcosA,bsinA），B（c,0）, 2由兩點(diǎn)間的距離公式得BC??bcosA?c???bsinA?0?，22222222222a2?b2cos2A?2bccosA?c2?b2sin2A，即a2?b2?c2?2bccosA.同理可證b2?a2?c2?2accosB,c2?a2?b2?2abcosC.方法二（幾何法）：如圖，當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，過C作CD⊥AB于D，則CD?bsinA,BD?AB?AD?c?bcosA.在Rt△BCD中，由勾股定理得BC?CD?BD, 222222即a?bsinA??c?bcosA?.整理得a?b?c?2bccosA.2222同理可證：b?a?c?2accosB,c?a?b?2abcosC.222222CD?bsinA,BD?AD?AB?bcosA?c.當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，如圖，在Rt△BCD中，由勾股定理得BC?CD?BD, 222222即a?bsinA??bcosA?c?.整理得a?b?c?2bccosA.2222同理可證：b?a?c?2accosB,c?a?b?2abcosC.222222 2

第三篇：正余弦定理的多種證明方法

利用向量統(tǒng)一正、余弦定理的證明

正、余弦定理是解三角形強(qiáng)有力的工具，關(guān)于這兩個(gè)定理有好幾種不同的證明方法，［1］人教版中等職業(yè)教育國(guó)家規(guī)劃教材《數(shù)學(xué)》（提高版）是用向量的數(shù)量積（內(nèi)積）給出證明的，如是在證明正弦定理時(shí)用到：作輔助單位向量并對(duì)向量的等式作同一向量的數(shù)量積，這種構(gòu)思方法過于獨(dú)特，不易被初學(xué)者接受。本文通過三角函數(shù)的定義，利用向量相等和向量的模統(tǒng)一正、余弦定理的證明，方法較為簡(jiǎn)單。從本文的證明中又一次顯示數(shù)學(xué)中“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合。

定理：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,則

（1）（正弦定理）==；

（2）（余弦定理）

c2=a2+b2-2abcos C,b2=a2+c2-2accos B,a2=b2+c2-2bccos A。

證明：建立如下圖所示的直角坐標(biāo)系，則A=（0，0）、B=（c,0），又由任意角三角函數(shù)的定義可得：

C=（bcos A,bsin A），以AB、BC為鄰邊作平行四邊形ABCC′，則∠BAC′=π-∠B，∴C′(acos(π-B),asin(π-B))

=C′（-acos B,asin B）。

根據(jù)向量的運(yùn)算：

=（-acos B,asin B），=-=（bcos A-c,bsin A）,（1）由=：得

asin B=bsin A,即

=。

同理可得：=。

∴==。

(2)由=（b-cos A-c）2+(bsin A)2=b2+c2-2bccos A，又||=a,∴a2=b2+c2-2bccos A。

同理：

c2=a2+b2-2abcos C；

b2=a2+c2-2accos B。

第四篇：怎么證明余弦定理

怎么證明余弦定理

證明余弦定理：

因?yàn)檫^C作CD垂直于AB，AD=bcosA;所以(c-bcosA)^2+(bsinA)^2=a^2。

又因?yàn)閎^2-(bcosA)^2=(bsinA)^2，所以(c-x)^2+b^2-(bcosA)^2=a^2，所以c^2-2cbcosA+(bcosA)^2+b^2-(bcosA)^2=a^2，所以c^2-2cbcosA+b^2=a^2，所以c^2+b^2-a^2=2cbcosA，所以cosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc

同理cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac，cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab

2在任意△ABC中,作AD⊥BC.∠C對(duì)邊為c，∠B對(duì)邊為b，∠A對(duì)邊為a-->

BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

勾股定理可知：

AC2=AD2+DC2

b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2

b2=sin2B*c2+a2+cos2B*c2-2ac*cosB

b2=(sin2B+cos2B)*c2-2ac*cosB+a2

b2=c2+a2-2ac*cosB

所以，cosB=(c2+a2-b2)/2ac

2如右圖，在ABC中，三內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c.以A為原點(diǎn)，AC所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，于是C點(diǎn)坐標(biāo)是(b，0)，由三角函數(shù)的定義得B點(diǎn)坐標(biāo)是(ccosA，csinA).∴CB=(ccosA-b，csinA).現(xiàn)將CB平移到起點(diǎn)為原點(diǎn)A，則AD=CB.而|AD|=|CB|=a，∠DAC=π-∠BCA=π-C，根據(jù)三角函數(shù)的定義知D點(diǎn)坐標(biāo)是(acos(π-C)，asin(π-C))即D點(diǎn)坐標(biāo)是(-acosC，asinC),∴AD=(-acosC，asinC)而AD=CB∴(-acosC，asinC)=(ccosA-b，csinA)∴asinC=csinA…………①-acosC=ccosA-b……②由①得asinA=csinC，同理可證asinA=bsinB，∴asinA=bsinB=csinC.由②得acosC=b-ccosA，平方得：a2cos2C=b2-2bccosA+c2cos2A，即a2-a2sin2C=b2-2bccosA+c2-c2sin2A.而由①可得a2sin2C=c2sin2A∴a2=b2+c2-2bccosA.同理可證b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.到此正弦定理和余弦定理證明完畢。3△ABC的三邊分別為a,b,c,邊BC,CA,AB上的中線分別為ma.mb,mc,應(yīng)用余弦定理證明:

mb=(1/2)

mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達(dá)式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

同理可得：

mb=

mc=

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達(dá)式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

證畢。

第五篇：余弦定理證明

余弦定理證明

在任意△ABC中,作AD⊥BC.∠C對(duì)邊為c，∠B對(duì)邊為b，∠A對(duì)邊為a-->

BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

勾股定理可知：

AC2=AD2+DC2

b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2

b2=sin2B*c2+a2+cos2B*c2-2ac*cosB

b2=(sin2B+cos2B)*c2-2ac*cosB+a2

b2=c2+a2-2ac*cosB

所以，cosB=(c2+a2-b2)/2ac

2如右圖，在ABC中，三內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c.以A為原點(diǎn)，AC所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，于是C點(diǎn)坐標(biāo)是(b，0)，由三角函數(shù)的定義得B點(diǎn)坐標(biāo)是(ccosA，csinA).∴CB=(ccosA-b，csinA).現(xiàn)將CB平移到起點(diǎn)為原點(diǎn)A，則AD=CB.而|AD|=|CB|=a，∠DAC=π-∠BCA=π-C，根據(jù)三角函數(shù)的定義知D點(diǎn)坐標(biāo)是(acos(π-C)，asin(π-C))即D點(diǎn)坐標(biāo)是(-acosC，asinC),∴AD=(-acosC，asinC)而AD=CB∴(-acosC，asinC)=(ccosA-b，csinA)∴asinC=csinA…………①-acosC=ccosA-b……②由①得asinA=csinC，同理可證asinA=bsinB，∴asinA=bsinB=csinC.由②得acosC=b-ccosA，平方得：a2cos2C=b2-2bccosA+c2cos2A，即a2-a2sin2C=b2-2bccosA+c2-c2sin2A.而由①可得a2sin2C=c2sin2A∴a2=b2+c2-2bccosA.同理可證b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.到此正弦定理和余弦定理證明完畢。3△ABC的三邊分別為a,b,c,邊BC,CA,AB上的中線分別為ma.mb,mc,應(yīng)用余弦定理證明:

mb=(1/2)

mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達(dá)式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

同理可得：

mb=

mc=

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達(dá)式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

證畢。