第一篇：余弦定理及其證明

余弦定理及其證明

1.三角形的正弦定理證明：

步驟1.在銳角△ABC中，設(shè)三邊為a，b，c。作CH⊥AB垂足為點H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到

a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC

步驟2.證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

如圖，任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

a/SinA=BC/SinD=BD=2R

類似可證其余兩個等式。

2.三角形的余弦定理證明：

平面幾何證法：

在任意△ABC中

做AD⊥BC.∠C所對的邊為c，∠B所對的邊為b，∠A所對的邊為a

則有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

根據(jù)勾股定理可得：

AC^2=AD^2+DC^

2b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2

b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB

b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2

b^2=c^2+a^2-2ac*cosB

cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac

3在△ABC中，AB=c、BC=a、CA=b

則c^2=a^2+b^2-2ab*cosC

a^2=b^2+c^2-2bc*cosA

b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

下面在銳角△中證明第一個等式，在鈍角△中證明以此類推。

過A作AD⊥BC于D，則BD+CD=a

由勾股定理得：

c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^

2所以c^2=(AD)^2-(CD)^2+b^2

=(a-CD)^2-(CD)^2+b^2

=a^2-2a*CD+(CD)^2-(CD)^2+b^2

=a^2+b^2-2a*CD

因為cosC=CD/b

所以CD=b*cosC

所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosC

題目中^2表示平方。

2談?wù)?、余弦定理的多種證法

聊城二中魏清泉

正、余弦定理是解三角形強有力的工具，關(guān)于這兩個定理有好幾種不同的證明方法.人教A版教材《數(shù)學(xué)》(必修5)是用向量的數(shù)量積給出證明的，如是在證明正弦定理時用到作輔助單位向量并對向量的等式作同一向量的數(shù)量積，這種構(gòu)思方法過于獨特，不易被初學(xué)者接受.本文試圖通過運用多種方法證明正、余弦定理從而進一步理解正、余弦定理，進一步體會向量的巧妙應(yīng)用和數(shù)學(xué)中“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合.定理：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,則

(1)(正弦定理)==;

(2)(余弦定理)

c2=a2+b2-2abcosC,b2=a2+c2-2accosB,a2=b2+c2-2bccosA.一、正弦定理的證明

證法一：如圖1，設(shè)AD、BE、CF分別是△ABC的三條高。則有

AD=b?sin∠BCA，BE=c?sin∠CAB，CF=a?sin∠ABC。

所以S△ABC=a?b?csin∠BCA

=b?c?sin∠CAB

=c?a?sin∠ABC.證法二：如圖1，設(shè)AD、BE、CF分別是△ABC的3條高。則有

AD=b?sin∠BCA=c?sin∠ABC，BE=a?sin∠BCA=c?sin∠CAB。

證法三：如圖2，設(shè)CD=2r是△ABC的外接圓的直徑，則∠DAC=90°，∠ABC=∠ADC。

證法四：如圖3，設(shè)單位向量j與向量AC垂直。

因為AB=AC+CB，所以j?AB=j?(AC+CB)=j?AC+j?CB.因為j?AC=0，j?CB=|j||CB|cos(90°-∠C)=a?sinC，j?AB=|j||AB|cos(90°-∠A)=c?sinA.二、余弦定理的證明

法一：在△ABC中，已知，求c。

過A作，在Rt中，法二：，即：

法三：

先證明如下等式：

⑴

證明：

故⑴式成立，再由正弦定理變形，得

結(jié)合⑴、有

即.同理可證

.三、正余弦定理的統(tǒng)一證明

法一：證明：建立如下圖所示的直角坐標系，則A=(0，0)、B=(c,0)，又由任意角三角函數(shù)的定義可得：C=(bcosA,bsinA)，以AB、BC為鄰邊作平行四邊形ABCC′，則∠BAC′=π-∠B，∴C′(acos(π-B),asin(π-B))=C′(-acosB,asinB).根據(jù)向量的運算：

=(-acosB,asinB)，=-=(bcosA-c,bsinA),(1)由=：得

asinB=bsinA,即

=.同理可得：=.∴==.(2)由=(b-cosA-c)2+(bsinA)2=b2+c2-2bccosA，又||=a,∴a2=b2+c2-2bccosA.同理：

c2=a2+b2-2abcosC;

b2=a2+c2-2accosB.法二：如圖5，,設(shè)軸、軸方向上的單位向量分別為、，將上式的兩邊分別與、作數(shù)量積，可知，即

將(1)式改寫為

化簡得b2-a2-c2=-2accosB.即b2=a2+c2-2accosB.(4)

第二篇：怎么證明余弦定理

怎么證明余弦定理

證明余弦定理：

因為過C作CD垂直于AB，AD=bcosA;所以(c-bcosA)^2+(bsinA)^2=a^2。

又因為b^2-(bcosA)^2=(bsinA)^2，所以(c-x)^2+b^2-(bcosA)^2=a^2，所以c^2-2cbcosA+(bcosA)^2+b^2-(bcosA)^2=a^2，所以c^2-2cbcosA+b^2=a^2，所以c^2+b^2-a^2=2cbcosA，所以cosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc

同理cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac，cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab

2在任意△ABC中,作AD⊥BC.∠C對邊為c，∠B對邊為b，∠A對邊為a-->

BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

勾股定理可知：

AC2=AD2+DC2

b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2

b2=sin2B*c2+a2+cos2B*c2-2ac*cosB

b2=(sin2B+cos2B)*c2-2ac*cosB+a2

b2=c2+a2-2ac*cosB

所以，cosB=(c2+a2-b2)/2ac

2如右圖，在ABC中，三內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是a、b、c.以A為原點，AC所在的直線為x軸建立直角坐標系，于是C點坐標是(b，0)，由三角函數(shù)的定義得B點坐標是(ccosA，csinA).∴CB=(ccosA-b，csinA).現(xiàn)將CB平移到起點為原點A，則AD=CB.而|AD|=|CB|=a，∠DAC=π-∠BCA=π-C，根據(jù)三角函數(shù)的定義知D點坐標是(acos(π-C)，asin(π-C))即D點坐標是(-acosC，asinC),∴AD=(-acosC，asinC)而AD=CB∴(-acosC，asinC)=(ccosA-b，csinA)∴asinC=csinA…………①-acosC=ccosA-b……②由①得asinA=csinC，同理可證asinA=bsinB，∴asinA=bsinB=csinC.由②得acosC=b-ccosA，平方得：a2cos2C=b2-2bccosA+c2cos2A，即a2-a2sin2C=b2-2bccosA+c2-c2sin2A.而由①可得a2sin2C=c2sin2A∴a2=b2+c2-2bccosA.同理可證b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.到此正弦定理和余弦定理證明完畢。3△ABC的三邊分別為a,b,c,邊BC,CA,AB上的中線分別為ma.mb,mc,應(yīng)用余弦定理證明:

mb=(1/2)

mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

同理可得：

mb=

mc=

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

證畢。

第三篇：余弦定理證明

余弦定理證明

在任意△ABC中,作AD⊥BC.∠C對邊為c，∠B對邊為b，∠A對邊為a-->

BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

勾股定理可知：

AC2=AD2+DC2

b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2

b2=sin2B*c2+a2+cos2B*c2-2ac*cosB

b2=(sin2B+cos2B)*c2-2ac*cosB+a2

b2=c2+a2-2ac*cosB

所以，cosB=(c2+a2-b2)/2ac

2如右圖，在ABC中，三內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是a、b、c.以A為原點，AC所在的直線為x軸建立直角坐標系，于是C點坐標是(b，0)，由三角函數(shù)的定義得B點坐標是(ccosA，csinA).∴CB=(ccosA-b，csinA).現(xiàn)將CB平移到起點為原點A，則AD=CB.而|AD|=|CB|=a，∠DAC=π-∠BCA=π-C，根據(jù)三角函數(shù)的定義知D點坐標是(acos(π-C)，asin(π-C))即D點坐標是(-acosC，asinC),∴AD=(-acosC，asinC)而AD=CB∴(-acosC，asinC)=(ccosA-b，csinA)∴asinC=csinA…………①-acosC=ccosA-b……②由①得asinA=csinC，同理可證asinA=bsinB，∴asinA=bsinB=csinC.由②得acosC=b-ccosA，平方得：a2cos2C=b2-2bccosA+c2cos2A，即a2-a2sin2C=b2-2bccosA+c2-c2sin2A.而由①可得a2sin2C=c2sin2A∴a2=b2+c2-2bccosA.同理可證b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.到此正弦定理和余弦定理證明完畢。3△ABC的三邊分別為a,b,c,邊BC,CA,AB上的中線分別為ma.mb,mc,應(yīng)用余弦定理證明:

mb=(1/2)

mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

同理可得：

mb=

mc=

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

證畢。

第四篇：余弦定理證明過程

在△ABC中，設(shè)BC＝a，AC＝b，AB＝c，試根據(jù)b，c，A來表示a。 分析：由于初中平面幾何所接觸的是解直角三角形問題，所以應(yīng)添加輔助線構(gòu)造直角三角形，在直角三角形內(nèi)通過邊角關(guān)系作進一步的轉(zhuǎn)化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在Rt△BDC中，邊a可利用勾股定理用CＤ、ＤB表示，而CD可在Rt△AＤC中利用邊角關(guān)系表示，DB可利用AB－AD轉(zhuǎn)化為AD，進而在Rt△AＤC內(nèi)求解。

解：過C作CD⊥AB，垂足為D，則在Rt△CＤB中，根據(jù)勾股定理可得： a2＝CＤ2＋BＤ2

∵在Rt△AＤC中，CＤ2＝b2－AＤ2



又∵BＤ2＝（c－AＤ）2＝c2－2c·AＤ＋AＤ2

∴a2＝b2－AＤ2＋c2－2c·AＤ＋AＤ2＝b2＋c2

－2c·AＤ 又∵在Rt△AＤC中，AD＝b·cosA ∴a2＝b2＋c2－2bccosA類似地可以證明b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC

第五篇：余弦定理證明過程

余弦定理證明過程

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

證畢。

2在任意△ABC中,作AD⊥BC.∠C對邊為c，∠B對邊為b，∠A對邊為a-->

BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

勾股定理可知：

AC2=AD2+DC2

b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2

b2=sin2B*c2+a2+cos2B*c2-2ac*cosB

b2=(sin2B+cos2B)*c2-2ac*cosB+a2

b2=c2+a2-2ac*cosB

所以，cosB=(c2+a2-b2)/2ac

2如右圖，在ABC中，三內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是a、b、c.以A為原點，AC所在的直線為x軸建立直角坐標系，于是C點坐標是(b，0)，由三角函數(shù)的定義得B點坐標是(ccosA，csinA).∴CB=(ccosA-b，csinA).現(xiàn)將CB平移到起點為原點A，則AD=CB.而|AD|=|CB|=a，∠DAC=π-∠BCA=π-C，根據(jù)三角函數(shù)的定義知D點坐標是(acos(π-C)，asin(π-C))即D點坐標是(-acosC，asinC),∴AD=(-acosC，asinC)而AD=CB∴(-acosC，asinC)=(ccosA-b，csinA)∴asinC=csinA…………①-acosC=ccosA-b……②由①得asinA=csinC，同理可證asinA=bsinB，∴asinA=bsinB=csinC.由②得acosC=b-ccosA，平方得：a2cos2C=b2-2bccosA+c2cos2A，即a2-a2sin2C=b2-2bccosA+c2-c2sin2A.而由①可得a2sin2C=c2sin2A∴a2=b2+c2-2bccosA.同理可證b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.到此正弦定理和余弦定理證明完畢。3△ABC的三邊分別為a,b,c,邊BC,CA,AB上的中線分別為ma.mb,mc,應(yīng)用余弦定理證明:

mb=(1/2)

mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

同理可得：

mb=

mc=

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

證畢。