第一篇：數(shù)列、極限、數(shù)學歸納法·用數(shù)學歸納法證明不等式
數(shù)列、極限、數(shù)學歸納法·用數(shù)學歸納法證明不等式·教案
證明：（1）當n=1時，左=2，右=2，則等式成立．（2）假設n=k時（k∈N，k≥1），等式成立，即 2+4+6+…+2k=k（k+1）． 當n=k+1時，2+4+6+…+2k+（k+1）
所以n=k+1時，等式也成立．
根據(jù)（1）（2）可知，對于任意自然數(shù)n，原等式都能成立． 生甲：證明過程正確．
生乙：證明方法不是數(shù)學歸納法，因為第二步證明時，沒有應用歸納假設．
師：從形式上看此種證明方法是數(shù)學歸納法，但實質在要證明n=k+1正確時，未用到歸納假設，直接采用等差數(shù)列求和公式，違背了數(shù)學歸納法的本質特點遞推性，所以不能稱之為數(shù)學歸納法．因此告誡我們在運用數(shù)學歸納法證明時，不能機械套用兩個步驟，在證明n=k+1命題成立時，一定要利用歸納假設．
（課堂上講評作業(yè)，指出學生作業(yè)中不妥之處，有利于鞏固舊知識，為新知識的學習掃清障礙，使學生引以為戒，所謂溫故而知新）
（二）講授新課
師：在明確數(shù)學歸納法本質的基礎上，我們來共同研究它在不等式證明中的應用．（板書）例1已知x＞-1，且x≠0，n∈N，n≥2．求證：（1+x）n＞1+nx． 師：首先驗證n=2時的情況．
（板書）證：（1）當n=2時，左邊=（1+x）2=1+2x+x2，右邊=1+2x，因x2＞0，則原不等式成立．
（在這里，一定要強調之所以左邊＞右邊，關鍵在于x2＞0是由已知條件x≠0獲得，為下面證明做鋪墊）
第二篇：用數(shù)學歸納法證明數(shù)列不等式
【例1】（2012全國大綱卷理22）函數(shù)f(x)?x2?2x?3，定義數(shù)列?xn?如下：x1?2，xn?1是過兩點P(4,5)、Qn(xn,f(xn))的直線PQn與x軸交點的橫坐標.（1）證明:2?xn?xn?1?3；（2）求數(shù)列?xn?的通項公式.【證】（1）證：直線PQn的方程為y?5?f(xn)?5(x?4)，即y?5?(xn?2)(x?4)，xn?44x?35令y?0，解得xn?1?4?.?nxn?2xn?2下用數(shù)學歸納法證明2?xn?3：
① 當n?1時，x1?2，所以2?x1?3.② 假設當n?k時結論成立，即2?xk?3，則當n?k?1時，由xk?1?4?11555?xk?1?3，故?xk?1?4?，得4?，即42?23?2xk?2*2?xk?1?3.由①②知，對一切n?N都有2?xn?3.4xn?3?xn2?2xn?3(3?xn)(xn?1)從而xn?1?xn??xn???0，故xn?1?xn.xn?2xn?2xn?2綜上，2?xn?xn?1?3.4x?3x?35(xn?1)（2）解：由（1）知，xn?1?n，則 xn?1?3?n ①，xn?1?1? ②，xn?2xn?2xn?
2①?②，得
?x?3?11xn?1?31xn?3???，故數(shù)列?n是首項為，公比為的等比數(shù)列.?53xn?1?15xn?1x?1?n?n?19?5n?1?1xn?31?1?*
因此，(n?N).?????，解得：xn?n?13?5?1xn?13?5?【例2】已知函數(shù)f(x)?ln(2?x)?ax在開區(qū)間(0，1)內是增函數(shù)．
(Ⅰ)求實數(shù)a的取值范圍；
(Ⅱ)若數(shù)列?an?滿a1?(0,1),an?1?ln(2?an)?an(n?N*)，證明：0?an?an?1?1．(Ⅰ)解：f?(x)??1?a，由于f(x)在(0，1)內是增函數(shù)，2?x1?a?0在x∈∴ f?(x)?0，即 ?(0，1)時恒成立． 2?x1∴ a?? 恒成立，x?2而
－2＜x－2＜－1，11??，x?2211?1，即 ??2x?2∴
a?1即為所求． ∴ ?1?(Ⅱ)證明：① 當n=1時，由題設知a1∈(0，1)． ② 假設當n=k時，不等式成立，即ak∈(0，1)，則 當n=k+1時，由(Ⅰ)知，f(x)=ln(2－x)+x在(0，1)上是增函數(shù)
∴0?f(0)?ln(2?0)?0?ak?1?ln(2?ak)?ak?f(ak)?f(1)?ln(2?1)?1?1，即ak+1∈(0，1)，故n=k+1時命題成立.根據(jù)① ② 知0＜an＜1，n∈N*． 又 ∵ an?1?an?ln(2?an)?ln(2?1)?0，∴ 0?an?an?1?1．
【例3】已知函數(shù)f(x)?x?sinx,數(shù)列{an}滿足：0?a1?1,an?1?f(an),n?1,2,3,證明：，13an.6證明：(Ⅰ)先用數(shù)學歸納法證明0?an?1,n?1,2,3,?(Ⅰ)0?an?1?an?1；(Ⅱ)an?1?① 當n=1時，由已知，結論成立.② 假設當n=k時結論成立，即0?ak?1，因為0?x?1時，f?(x)?1?cosx?0，所以f(x)在(0，1)上是增函數(shù)，又f(x)在[0，1]上連續(xù)，從而f(0)?f(ak)?f(1)，即0?ak?1?1?sin1?1，故當n=k+1時，結論成立.由①②可知，0?an?1對一切正整數(shù)都成立.又因為0?an?1時，an?1?an?an?sinan?an??sinan?0，所以an?1?an，綜上所述0?an?1?an?1.(Ⅱ)設函數(shù)g(x)?sinx?x?13x,0?x?1，6由(Ⅰ)可知，當0?x?1時，sinx?x.x2x2x2x22x??2sin???2()??0, 從而g?(x)?cosx?1?22222所以g(x)在（0，1）上是增函數(shù).又g(0)?0，所以當0?x?1時，g(x)>0成立.13于是g(an)?0，即sinan?an?an?0，613故an?1?an．
【例4】已知函數(shù)f(x)?x?ln?1?x?,數(shù)列?an?滿足0?a1?1, an?1?f?an?;數(shù)列?bn?滿足b1?11,bn?1?(n?1)bn, n?N*.求證: 22（Ⅰ）0?an?1?an?1;
an2;（Ⅱ）an?1?22,則當n≥2時,bn?an?n!.(n!?n?(n?1)?（Ⅲ）若a1?2*解:(Ⅰ)先用數(shù)學歸納法證明0?an?1,n?N.（1）當n=1時,由已知得結論成立;
?2?1)（2）假設當n=k時,結論成立,即0?ak?1.則當n=k+1時,因為0
————①bn?1bn?2b12 an2aaaaa,知:n?1?n, 所以n=2?3由(Ⅱ)an?1?2a1a1a2an2因為a1?anaa?12an?122an?1 , 22, n≥2, 0?an?1?an?1.2a1a2an?1a1n2?a121?a1 所以 an?.222222 由①② 兩式可知: bn?an?n!.【例5】 設函數(shù)f(x)與數(shù)列?an?滿足以下關系： ① a1??，其中?是方程f(x)?x的實根； ② an?1?f(an)； 1).③ f(x)的導數(shù)f?(x)?(0，(Ⅰ)求證：an??； (Ⅱ)判斷an與an?1的大小關系，并證明你的結論.(Ⅰ)證：① 當n?1時，a1??，不等式成立.② 假設當n?k時不等式成立，即ak??，則n?k?1時，∵f?(x)?0，則f(x)遞增.∴ak?1?f(ak)?f(?)??，即n?k?1時不等式也成立.由①、②知，an??對一切n?N都成立.(Ⅱ)解：an?1?an?f(an)?an，設F(x)?f(x)?x，則F?(x)?f?(x)?1?0，∴F(x)遞減，而an??，∴F(an)?F(?)?f(?)???0，即f(an)?an?0，亦即an?1?an?0，*∴an?1?an.【例6】（2005江西）已知數(shù)列{an}的各項都是正數(shù),且滿足: 1an(4?an),n?N.2（1）證明an?an?1?2,n?N;a0?1,an?1?（2）求數(shù)列{an}的通項公式an.解：（1）方法一 用數(shù)學歸納法證明： 13a0(4?a0)?,∴a0?a1?2，命題正確.222°假設n=k時有ak?1?ak?2.1則n?k?1時,ak?ak?1?ak?1(4?ak?1)?ak(4?ak) 221?2(ak?1?ak)?(ak?1?ak)(ak?1?ak) 21?(ak?1?ak)(4?ak?1?ak).2而ak?1?ak?0.4?ak?1?ak?0,?ak?ak?1?0.112又ak?1?ak(4?ak)?[4?(ak?2)]?2.22∴n?k?1時命題正確.由1°、2°知，對一切n∈N時有an?an?1?2.1°當n=1時，a0?1,a1?方法二：用數(shù)學歸納法證明： 1°當n=1時，a0?1,a1? 2°假設n=k時有ak?令f(x)?13a0(4?a0)?,∴0?a0?a1?2； 22?ak?2成立，1x(4?x)，f(x)在[0，2]上單調遞增，所以由假設 2111有：f(ak?1)?f(ak)?f(2),即ak?1(4?ak?1)?ak(4?ak)??2?(4?2)，222也即當n=k+1時 ak?ak?1?2成立，所以由1°、2°知，對一切n?N,有ak?ak?1? 2（2）下面來求數(shù)列的通項：an?1?11an(4?an)?[?(an?2)2?4],所以 222(an?1?2)??(an?2)2 1211221122211?2???2n?12n令bn?an?2,則bn??bn??(?b)???()b????()bn?1n?2n?1222222，2又bn=－1，所以bn??()12n?11n,即an?2?bn?2?()2?1 【拓展題】 【例】、數(shù)列?an?滿足an?12a?3an??，且a1?1.（1）當??1時，求數(shù)列?an?的?nan?12通項公式； （2）若不等式an?1?an對一切n?N恒成立，求?的取值范圍； （3）當?3???1時，證明： *1111?????1?n.1?a11?a21?an2解：（1）當??1時，an?1?2an?1?an?1?1?2(an?1)???an?2n?1.(an?1)2???1*（2）an?1?an?①，要使an?1?an對一切n?N恒成立，an?1(a1?1)2???1??3至少需使a2?a1???0成立????3.a1?12下面先用數(shù)歸法證明：當???3時，an?1(略)，再由①知an?1?an恒成立.所以??[?3,??)為所求.（3）當?3???1時，由(2)知an?1，則由 2a(a?1)?(an?1)???1??1an?1?nn?2an?1??2an?1 an?1an?1?an?1?1?2(an?1)?22(an?1?1)???2n(a1?1)?2n?111?0?an?1?2n??n，1?an21111111從而??????2???n?1?n，等號當且僅當n?11?a11?a21?an2222時成立.（2009安徽理21）首項為正數(shù)的數(shù)列?an?滿足an?1?為奇數(shù)，則對一切n?2,an都是奇數(shù)；（2）若對一切n?N都有an?1?an，求a1的取值范圍.略解：（1）已知a1是奇數(shù)，假設ak?2m?1是奇數(shù)，其中m為正整數(shù)，*12(an?3),n?N*.（1）證明：若a14ak2?3?m(m?1)?1是奇數(shù).（因為m(m?1)是偶數(shù)）則由遞推關系得ak?1?4*根據(jù)數(shù)學歸納法，對任何n?N，an都是奇數(shù).1（2）（方法一）由an?1?an?(an?1)(an?3)知，an?1?an當且僅當an?1或an?3.41?332?3?1；若ak?3，則ak?1??3.另一方面，若0?ak?1,則0?ak?1?44根據(jù)數(shù)學歸納法，0?a1?1,?0?an?1,?n?N*;a1?3?an?3,?n?N*.綜合所述，對一切n?N都有an?1?an的充要條件是0?a1?1或a1?3.*a12?3?a1,得a12?4a1?3?0,于是0?a1?1或a1?3.（方法二）由a2?4an2?3an2?3an?12?3(an?an?1)(an?an?1), an?1?an???，因為a1?0,an?1?4444所以所有的an均大于0，因此an?1?an與an?an?1同號.根據(jù)數(shù)學歸納法，?n?N，an?1?an與a2?a1同號.*因此，對一切n?N都有an?1?an的充要條件是0?a1?1或a1?3.* 數(shù)列等差證明2010江西理數(shù) 2010江西理數(shù)）22.（本小題滿分14分） 證明以下命題： （1）對任一正整a,都存在整數(shù)b,c(b （2）存在無窮多個互不相似的三角形△n，其邊長an，bn，cn為正整數(shù)且an，bn，cn 成等差數(shù)列。 【解析】作為壓軸題，考查數(shù)學綜合分析問題的能力以及創(chuàng)新能力。 （1）考慮到結構要證a?c?2b，；類似勾股數(shù)進行拼湊。 證明：考慮到結構特征，取特值1,5,7滿足等差數(shù)列，只需取b=5a，c=7a，對一切正整數(shù)a均能成立。 結合第一問的特征，將等差數(shù)列分解，通過一個可做多種結構分解的因式說明構成三角形，再證明互不相似，且無窮。 證明：當an，bn，cn成等差數(shù)列，則bn?an?cn?bn，分解得：(bn?an)(bn?an)?(cn?bn)(cn?bn) 選取關于n的一個多項式，4n(n?1)做兩種途徑的分解 ***22222 4n(n2?1)?(2n?2)(2n2?2n)?(2n2?2n)(2n?2)4n(n2?1) ?an?n2?2n?1?對比目標式，構造?bn?n2?1(n?4)，由第一問結論得，等差數(shù)列成立，?c?n2?2n?1?n 考察三角形邊長關系，可構成三角形的三邊。 下證互不相似。 任取正整數(shù)m，n，若△m，△n相似：則三邊對應成比例m2?2m?1m2?1m2?2m?1??，n2?2n?1n2?1n2?2n?1 由比例的性質得： m?1m?1??m?n，與約定不同的值矛盾，故互不相似。n?1n?1 例1 設數(shù)列?xn?滿足0?x1??,xn?1?sinxn?n?1,2,??。（Ⅰ）證明limxn存在，并求該極限； n?? ?xn?1?xn（Ⅱ）計算lim??。n?? ?xn? 解（Ⅰ）用歸納法證明?xn?單調下降且有下界，由0?x1??，得 0?x2?sinx1?x1??，設0?xn??，則 0?xn?1?sinxn?xn??，所以?xn?單調下降且有下界，故limxn存在。 n?? 記a?limxn，由xn?1?sinxn得 x?? a?sina，所以a?0，即limxn?0。 n?? （Ⅱ）解法1 因為 ?sinx?lim??x?0 ?x? 1x?lime x?0 1sinxlnx2x ?lime x?0 1?cosx1? ??? 2x?sinxx? ?xsinx6x2 xcosx?sinx ?lime x?0 2x3 ?lime x?0 ?e ? 又由（Ⅰ）limxn?0，所以 n?? 1xn ?xn?1??sinxn?xn2 lim???lim??n??n??xx?n??n? ?sinx? ?lim??x?0x?? 解法2 因為 1xx?e ? sinx?x ?sinx????x? ? ?sinx?x????1????x?? xsinx?x ???? x3，又因為 limsinx?x1?sinx?x???,lim?1??x?0x36x?0?x? xnxsinx?x?e，??sinx?6所以lim?，?e?x?0?x?1 故 11?x?lim?n?1?n???xn?xn?sinxn??lim??n??x?n? ?sinx??lim??x?0?x?xn1x ?e?1 6. 例1 設數(shù)列?xn?滿足0?x1??,xn?1?sinxn?n?1,2,??。（Ⅰ）證明limxn存在，并求該極限； n??1?xn?1?xn2（Ⅱ）計算lim??。n???xn?解（Ⅰ）用歸納法證明?xn?單調下降且有下界，由0?x1??，得 0?x2?sinx1?x1??，設0?xn??，則 0?xn?1?sinxn?xn??，所以?xn?單調下降且有下界，故limxn存在。 n??記a?limxn，由xn?1?sinxn得 x??a?sina，所以a?0，即limxn?0。 n??（Ⅱ）解法1 因為 ?sinx?lim??x?0?x?1x2?limex?01sinxlnx2x?limex?01?cosx1????2x?sinxx? ?xsinx6x2xcosx?sinx?limex?02x3?limex?0?e?16又由（Ⅰ）limxn?0，所以 n??12xn1?xn?1??sinxn?xn2lim???lim??n??n??xx?n??n?1 ?sinx??lim??x?0x??解法2 因為 1x2x2?e?16sinx?x?sinx????x???sinx?x????1????x??xsinx?x????x3，又因為 limsinx?x1?sinx?x???,lim?1??x?0x36x?0?x?12xnxsinx?x?e，??sinx?6所以 lim?，?e?x?0?x?1故 11?x?lim?n?1?n???xn?2xn?sinxn??lim??n??x?n??sinx??lim??x?0?x?2xn1x2 ?e?16.第三篇：數(shù)列等差證明2010江西理數(shù)
第四篇：數(shù)列極限的證明
第五篇：數(shù)列極限的證明
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