第一篇：數(shù)列不等式推理與證明

2012年數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品試題第六、七模塊 數(shù)列、不等式、推

理與證明

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．

1．在等比數(shù)列{aa

2n}中，若a3a5a7a9a11＝243，則a的值為()1

1A．9B．1

C．2D．

32．在等比數(shù)列{aaa

n}中，an>an7·a11＝6，a4＋a14＝5，則＋1，且a等于()16

A.23B.32

C16D．－563．在數(shù)列{aa－n}中，a1＝1，當(dāng)n≥2時，an＝1＋aa

n－1n＝()

A.1

nB．n

C.1nD．n2

4．已知0

B．成等比數(shù)列

C．各項(xiàng)倒數(shù)成等差數(shù)列

D．各項(xiàng)倒數(shù)成等比數(shù)列

5．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是()

n-

1A．a(chǎn)n＝2n－1B．a(chǎn)?n?1?

n??n??

C．a(chǎn)n＝n2D．a(chǎn)n＝n)

n2-6n

6．已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的乘積等于Tn＝?的前n項(xiàng)和Sn中的最大值是()

A．S6

B．S

5?1?

??4?

(n∈N*)，bn＝log2an，則數(shù)列{bn}

7．已知a，b∈R，且a>b，則下列不等式中恒成立的是()

?1??1?

A．a(chǎn)>bB.??

?2??2?

ab

C．lg(a－b)>0

aD.b

8．設(shè)a>0，b>0，則以下不等式中不恒成立的是()11?

A．(a＋b)??ab?≥

4B．a(chǎn)3＋b3≥2ab2 D.|a－b|ab

C．a(chǎn)2＋b2＋2≥2a＋2b

9．當(dāng)點(diǎn)M(x，y)在如圖所示的三角形ABC內(nèi)(含邊界)運(yùn)動時，目標(biāo)函數(shù)z＝kx＋y取得最大值的一個最優(yōu)解為(1,2)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）

A．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B．[－1,1]

C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－1,1)

??lg|x|(x<0)10．設(shè)函數(shù)f(x)＝?x，若f(x0)>0，則x0的取值范圍是()

?2－1(x≥0)?

A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．(－∞，－1)∪(0，＋∞)

C．(－1,0)∪(0,1)D．(－1,0)∪(0，＋∞)

a2＋b

211．已知a>b>0，ab＝1，則的最小值是()

a－bA．2C．2D．1

12．下面四個結(jié)論中，正確的是()

A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n＝1,2，…)當(dāng)n＝1時，恒為1 B．式子1＋k＋k2＋…＋kn1(n＝1,2…)當(dāng)n＝1時，恒為1＋k

－

1111111

C．式子＋＋…＋n＝1,2，…)當(dāng)n＝1時，恒為

1231232n＋1

111111

D．設(shè)f(n)＝n∈N*)，則f(k＋1)＝f(k)＋n＋1n＋23n＋13k＋23k＋33k＋4

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中的橫線上． 13．已知Sn是等差數(shù)列{an}(n∈N*)的前n項(xiàng)和，且S6>S7>S5，有下列四個命題：(1)d<0；(2)S11>0；(3)S12<0；(4)數(shù)列{Sn}中的最大項(xiàng)為S11，其中正確命題的序號是________．

14．在數(shù)列{an}中，如果對任意n∈N*都有數(shù)列，k稱為公差比．現(xiàn)給出下列命題：

(1)等差比數(shù)列的公差比一定不為0；(2)等差數(shù)列一定是等差比數(shù)列；

(3)若an＝－3n＋2，則數(shù)列{an}是等差比數(shù)列；(4)若等比數(shù)列是等差比數(shù)列，則其公比等于公差比． 其中正確的命題的序號為________． ＝q，(4)正確． 15．不等式

ax的解集為{x|x<1或x>2}，那么a的值為________． x－

1an＋2－an＋1

k(k為常數(shù))，則稱{an}為等差比

an＋1－an

x≥0??

16．已知點(diǎn)P(x，y)滿足條件?y≤x

??2x＋y＋k≤0k＝________.(k為常數(shù))，若z＝x＋3y的最大值為8，則

三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 17．(10分)(2011·天津市質(zhì)檢)已知等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)為a－1，4,2a，記前n項(xiàng)和為Sn.(1)設(shè)Sk＝2550，求a和k的值；

S(2)設(shè)bn，求b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1的值．

n

18．(12分)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，首項(xiàng)為a1，且2，an，Sn成等差數(shù)列．

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

b(2)若bn＝log2an，cn＝，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.an

2bx

19．(12分)已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x)，a≠0，f(1)＝1，且使f(x)＝2x成立的實(shí)

ax－1數(shù)x只有一個．

(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；

21(2)若數(shù)列{an}滿足a1＝an＋1＝f(an)，bn＝1，n∈N*，證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，3an

并求出{bn}的通項(xiàng)公式；

(3)在(2)的條件下，證明：a1b1＋a2b2＋…＋anbn<1(n∈N*)．

2x??

20．(12分)已知集合A＝?x?x－21?，集合B＝{x|x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0}

?

?

?

(1)求集合A，B；

(2)若B?A，求m的取值范圍．

2a2

21．(12分)解關(guān)于x的不等式：x|x－a|≤(a>0)．

922．(12分)某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品所消耗的電能和煤、所需工人人數(shù)以及所得產(chǎn)值如表所示：

160千度，消耗煤不得超過150噸，怎樣安排甲、乙這兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量，才能使每天所得的產(chǎn)值最大，最大產(chǎn)值是多少．

第二篇：數(shù)列、推理與證明

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數(shù)列、推理與證明

作者：湯小梅

來源：《數(shù)學(xué)金刊·高考版》2014年第03期

為了讓您理清數(shù)列、推理與證明的復(fù)習(xí)要點(diǎn)，理順數(shù)列中的一對姐妹花（等差數(shù)列與等比數(shù)列），成功穿越數(shù)列的應(yīng)用，理透推理與證明的橫向聯(lián)系和縱向延伸，整合知識，提煉破解技巧，現(xiàn)走進(jìn)經(jīng)典例題，通過跟蹤練習(xí)，讓您復(fù)習(xí)數(shù)列、推理與證明so easy，輕松突破數(shù)列、推理與證明的思維瓶頸.

第三篇：數(shù)列與不等式證明專題

數(shù)列與不等式證明專題

復(fù)習(xí)建議：

1．“巧用性質(zhì)、減少運(yùn)算量”在等差、等比數(shù)列的計(jì)算中非常重要，但用“基本量法”并樹立“目標(biāo)意識”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地運(yùn)用條件，又要時刻注意題的目標(biāo)，往往能取得與“巧用性質(zhì)”解題相同的效果2．歸納——猜想——證明體現(xiàn)由具體到抽象，由特殊到一般，由有限到無限的辯證思想．學(xué)習(xí)這部分知識，對培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，計(jì)算能力，熟悉歸納、演繹的論證方法，提高分析、綜合、抽象、概括等思維能力，都有重大意義．

3．解答數(shù)列與函數(shù)的綜合問題要善于綜合運(yùn)用函數(shù)方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想以及特例分析法，一般遞推法，數(shù)列求和及求通項(xiàng)等方法來分析、解決問題．

4．?dāng)?shù)列與解析幾何的綜合問題解決的策略往往是把綜合問題分解成幾部分，先利用解析幾何的知識以及數(shù)形結(jié)合得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后再利用數(shù)列知識和方法求解． 證明方法：（1）先放縮后求和；（2）先求和后放縮(3)靈活運(yùn)用 例1．?dāng)?shù)列?a

2n?n?滿足a1?1,a2?2,an?2?(1?cos2)asin2n?

n?2,n?1,2,3,?.(Ⅰ)求a3,a4,并求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)設(shè)ba2n?

1n?

a,Sn?b1?b2???bn.證明：當(dāng)n?6S?2?1n2n

n.分析：本題給出數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的遞推關(guān)系，且要對n分奇偶性。

解:(Ⅰ)因?yàn)閍cos

2?

1?1,a2?2,所以a3?(1?2)a1?sin2

?

?a1?1?2,a4?(1?cos2?)a2?sin2??2a2?4.一般地，當(dāng)n?2k?1(k?N*)時，a2

k?1)?2k?1?[1?cos

(22]a?sin22k?1

2k?12

? ＝a2k?1?1，即a2k?1?a2k?1?1.所以數(shù)列?a2k?1?是首項(xiàng)為

1、公差為1的等差數(shù)列，因此a2k?1?k.當(dāng)n?2k(k?N*)時，a2k?2k?2?(1?cos

22)a2k?

2k?sin2

2?2a2k.所以數(shù)列?a2k?是首項(xiàng)為

2、公比為2的等比數(shù)列，因此a2k?2k.?故數(shù)列?a?n?1n?的通項(xiàng)公式為an??

2,n?2k?1(k?N*),?n?22,n?2k(k?N*).(Ⅱ)由(Ⅰ)知，ba2n?1n?a?n

12?3n2,Sn??23???n,①2n22222

12S12?23n

n?222?24???2

n?1② 1①-②得，1[1?(1)2]2S1111nn?2?22?23???2n?2n?1??n1n1?2n?1?1?2n?2n?1.2所以S1nn?2

n?2?2n?1?2n?2?2

n.要證明當(dāng)n?6時，S1n(n?2)

n?2?n成立，只需證明當(dāng)n?6時，2n

?1成立.證法一

(1)當(dāng)n = 6時，6?(6?2)26?4864?

34?1成立.(2)假設(shè)當(dāng)n?k(k?6)時不等式成立，即k(k?2)

k

?1.則當(dāng)n=k+1時，(k?1)(k?3)k(k?2)(k?1)(k?2k?1?2k?3)2k(k?2)?(k?1)(k?3)

(k?2)?2k

?1.由(1)、(2)所述，當(dāng)n≥6時，n(n?1)2

2?1.即當(dāng)n≥6時，Sn?2?

1n

.證法二令cn(n?2)n?

22(n?6)，則c(n?1)(n?3)n(n?2)3?n2

n?1?cn?2n?1?22?2

n?1?0.所以當(dāng)n?6時，c6?8n?1?cn.因此當(dāng)n?6時，cn?c6?64?

34?1.于是當(dāng)n?6時，n(n?2)22?1.綜上所述，當(dāng)n?6時，Sn

?2?1

n

.點(diǎn)評：本題奇偶分類要仔細(xì)，第（2）問證明時可采用分析法。

例題2.已知?為銳角，且tan??

2?1，函數(shù)f(x)?x2tan2??x?sin(2??

?

4)，數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1?

2,an?1?f(an).(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；⑵ 求證：an?1?an；

⑶ 求證：

1?11?a?1???1?2(n?2,n?N*)11?a21?an

分析：本題是借助函數(shù)給出遞推關(guān)系，第（2）問的不等式利用了函數(shù)的性質(zhì)，第（3）問是轉(zhuǎn)化成可以裂項(xiàng)的形式，這是證明數(shù)列中的不等式的另一種出路。

解：⑴tan2??

??2tan?2(?1)2

又∵?為銳角 ∴2?? ∴sin(2??)?1∴f(x)?x?x??1

441?tan2?1?(2?1)2

∴a2,a3,?an都大于0∴an?0∴an?1?an2

∴

則S?

1111121212111?(????)??(S?)S????? a22a2a3ana2an?13an?13a22an?1

⑵

an?1?an?an∵a1?

點(diǎn)評：數(shù)列中的不等式要用放縮來解決難度就較大了，而且不容易把握，對于這樣的題要多探索，多角度的思考問題。

⑶

1an?1

?

1111

???2

an?anan(1?an)an1?an111

??1?ananan?1

例題4.已知函數(shù)f(x)?x?ln?1?x?,數(shù)列?an?滿足0?a1?1,∴

111111111111

???????????????2?

an?1?f?an?;數(shù)列?bn?滿足b1?,bn?1?(n?1)bn, n?N*.求證:

1?a11?a21?ana1a2a2a3anan?1a1an?1an?1

∵a?(12)2?12?34, a?(34)2?3

234

?1 ,又∵n?2an?1?an∴an?1?a3?1

∴1?

2?

1a?2∴1?

1n1?a?1???1

?2

?1

11?a21?an

點(diǎn)評：把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成清晰的問題是數(shù)學(xué)中的重要思想，本題中的第（3）問不等式的證明更具有一般性。

例題3.已知數(shù)列?aa?

n?滿足a1?1,n?1?2an?1?n?N?

（Ⅰ）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列?b?1n?滿足4b1?14b24

b3?1

?4bn?1?(an?1)bn，證明：?bn?是等差數(shù)列；

（Ⅲ）證明：

1?1a???1?2?n?N?a? 23an?13

分析：本例（1）通過把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化成等比型的數(shù)列；第（2）關(guān)鍵在于找出連續(xù)三項(xiàng)間的關(guān)系；第（3）問關(guān)鍵在如何放縮 解：（1）?an?1?2an?1，?an?1?1?2(an?1)

故數(shù)列{an?1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列。?ann?1?2n，an?2?1

（2）?4

b1?14

b2?14

b3?1

?4bn?1?(an?1)bn，?4

(b1?b2???bn?n)

?2nbn

2(b1?b2???bn)?2n?nbn①2(b1?b2???bn?bn?1)?2(n?1)?(n?1)bn?1②

②—①得2bn?1

?2?(n?1)bn?1?nbn，即nbn?2?(n?1)bn?1③?(n?1)bn?1?2?nbn?2④ ④—③得2nbn?1

?nbn?nbn?1，即2bn?1?bn?bn?1所以數(shù)列{bn}是等差數(shù)列

（3）?

1a?1111

2n?1?1?2n?1?2?

設(shè)S

?

1n2an?a?1???1，2a3an?1

（Ⅰ）0?a（Ⅱ）aa2nn?1?an?1;n?1?2;

（Ⅲ）若a1?2

則當(dāng)n≥2時,bn?an?n!.分析：第（1）問是和自然數(shù)有關(guān)的命題，可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明；第（2）問可利用函數(shù)的單調(diào)性；第（3）問進(jìn)行放縮。解：(Ⅰ)先用數(shù)學(xué)歸納法證明0?an?1,n?N*.（1）當(dāng)n=1時,由已知得結(jié)論成立;（2）假設(shè)當(dāng)n=k時,結(jié)論成立,即0?ak?1.則當(dāng)n=k+1時,因?yàn)?

1x?1?xx?1

?0,所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù).又f(x)在?0,1?上連續(xù),所以f(0)

?1, 得an?1?an?an?ln?1?an??an??ln(1?an)?0,從而an?1?an.綜上可知0?an?1

?an?1.(Ⅱ)構(gòu)造函數(shù)g(x)=

x2

x2x2

-f(x)=

?ln(1?x)?x, 0g(0)=0.因?yàn)??aa2nn?1,所以g?an??0,即2?f?aa2

nn?>0,從而an?1?2

.(Ⅲ)因?yàn)?/p>

b12b1b

n?11?,n?1?2(n?1)bn,所以bn?0,n?1b?n,所以bba2nbn?1bnn?

b??2?b1

1?n?n!————①由(Ⅱ)an?1?,知:an?1?an,n?1bn?2b122an2

所以

ana?a3?na?a1a2?n?1 ,因?yàn)閍a=

a2aa1?, n≥2, 0?an?1?an?1.1

1a2n?12222

a2?a2

所以

a1a2?an?1?aan

1<

n?

2221<2

n?12n

=

2n

————②由①② 兩式可知:

bn?an?n!.點(diǎn)評：本題是數(shù)列、超越函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的學(xué)歸納法的知識交匯題，屬于難題，復(fù)習(xí)時應(yīng)引起注意。

例題5.已知函數(shù)f(x)=5?2x

16?8x，設(shè)正項(xiàng)數(shù)列?an?滿足a1=l，an?1?f?an?．

(1)試比較a

5n與

4的大小，并說明理由；

(2)設(shè)數(shù)列?b5n

nn?滿足bn=4－an，記Sn=?bi．證明：當(dāng)n≥2時,Sn＜(2－1)．

i?

14分析：比較大小常用的辦法是作差法，而求和式的不等式常用的辦法是放縮法。

解：(1)a2ann?1

?

5?16?8a，因?yàn)閍所以a7

31?1,2?,a3?4

.（2）因?yàn)閍n?0,an?1?0,所以16?8an?0,0?an?2.n8a55?2a48(a55

n5n?n?1?)3an?554?16?8a?4?32(2?a??,因?yàn)??an?0,所以an?1?與a?同號，nn)22?an

4n

4因?yàn)閍51?4??14?0，a5555

2?4?0,a3?4?0,?，an?4?0,即an?4

.（3）當(dāng)n?2時，b531n?4?an?2?2?a?(5?a31

31n?1)???bn?1???bn?1?2bn?1，n?1422?an?122?5

所以bn

?2?bn?1?22?bn?2???2n?1b31?2n?，13?n

(1?2n)

所以Sn?b1?b2???bn?

4?12???????1?

?2??

?1?2?1

(2n?1)

點(diǎn)評：本題是函數(shù)、不等式的綜合題，是高考的難點(diǎn)熱點(diǎn)。

例題6.已知數(shù)列?a*

n?中，a1?1，nan?1?2(a1?a2?...?an)?n?N?

．

（1）求a2,a3,a4；（2）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)an；（3）設(shè)數(shù)列{b1n}滿足b1?

2,b12

n?1?abn?bn，求證：bn?1(n?k)k

分析：條件中有類似于前n項(xiàng)和的形式出現(xiàn)，提示我們應(yīng)該考慮an＝Sn－Sn－1(n≥2)

解：（1）a2?2,a3?3,a4?4（2）nan?1?2(a1?a2?...?an)①

(n?1)an?2(a1?a2?...?an?1)②①—②得nan?1?(n?1)an?2an

即：nan?1

?(n?1)a?1n?1aa3ann，ana?所以aa223n

n?1a...?1...1

?n(n?2)

nna12an?112n?所以a*n

?n(n?N)

（3）由（2）得：b1

?12,b12

n?1?k

bn?bn?bn?bn?1?...?b1?0，所以{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列，故要證：bn?1(n?k)只需證bk?1

若k

?1，則b12?1顯然成立;若k?2，則b?1211?

n?1kbn?bn?k

bnbn?1?bn 所以

1b?1??1,因此：1?(1?1)?...?(1?1)?1??k?1?2?

k?1

n?1bnkbkbkbk?1b2b1b1kk所以bk

?

k

k?1

?1,所以bn?1(n?k)點(diǎn)評：與數(shù)列相關(guān)的不等式證明通常需要“放縮”，而放縮的“度”尤為關(guān)鍵，本題中

1b?(1?1)?...?(1?1)?1,這種拆分方法是數(shù)學(xué)中較高要求的變形.kbkbk?1b2b1b1

例題7.已知不等式

12?13???1n?1

[log2n],其中n為不大于2的整數(shù)，[log2n]表示不超過log2n的最大整數(shù)。設(shè)數(shù)列?a1

n?的各項(xiàng)為正且滿足a1?b(b?0),anan?n?

n?a(n?2,3,4?)，證明：

n?1

an?

2b

2?b[log，n?3,4,5?

2n]

分析：由條件an?111111n

?

nan?a得：

n?1

a??1

?nan?1n

a??n(n?2)

nan?1

11a?

?

1n?1

an?2

n?1

??

a?1?1以上各式兩邊分別相加得： 2a121a?1?1?1???1?1?1?1?1???1

?1?1[log2n](n?3)na1nn?12anbnn?12

b2

=

2?b[log2n]2b? a2b

n?2?b[logn]

(n?3)

2本題由題設(shè)條件直接進(jìn)行放縮，然后求和，命題即得以證明。

例題8.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn?2an?(?1)n，n?1（1）寫出數(shù)列{an}的前三項(xiàng)a1，a2，a5；（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（3）證明：對任意的整數(shù)m?4，有1117

a?????

4a5am8

分析：⑴由遞推公式易求：a1=1,a2=0,a3=2； ⑵由已知得：an

?Sn?Sn?1?2an?(?1)n?2an?1?(?1)n?1（n>1）

化簡得：an?1anan?1anan?1n

?2an?1?2(?1)

(?1)n??2(?1)n?1?2,(?1)n?23??2[(?1)

n?1

?2

3] 故數(shù)列{

an2(?1)n?3}是以?a1?23為首項(xiàng), 公比為?2的等比數(shù)列.故an21

(?1)

n

?3?(?3)(?2)n?1∴a?23[2n?2?(?1)n]∴數(shù)列{a2

n

n}的通項(xiàng)公式為：an?3

[2n?2?(?1)n].⑶觀察要證的不等式，左邊很復(fù)雜，先要設(shè)法對左邊的項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，使之能夠求和。而左邊=

1a?1a???1?3[111

22?1?23?1???2m?2?(?1)

m]，如果我們把上式中的分母中的?1去掉，就可利45am2用等比數(shù)列的前n項(xiàng)公式求和，由于-1與1交錯出現(xiàn)，容易想到將式中兩項(xiàng)兩項(xiàng)地合并起來一起進(jìn)行放縮，嘗試知：

11111

22?1?123?1?122?1

23，23?1?24?1?23?24，因此，可將

?1

保留，再將后面的項(xiàng)兩兩組合后放縮，即可求和。這里需要對m進(jìn)行分類討論，（1）當(dāng)m為偶數(shù)(m?4)時，1a?1???1a?1?(1?1)???(1?1)?1?3(1113?4???m?2)4a5ma4a5a6am?1am

22222

?

13112?2?4(1?137

m?4)?2?8?8（2）當(dāng)m是奇數(shù)(m?4)時，m?1為偶數(shù)，1a?1???1?1?1a?1???1?1?7 4a5ama45a6amam?18

所以對任意整數(shù)m?4，有

a?a???

?7。本題的關(guān)鍵是并項(xiàng)后進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s。45am8

例題9.定義數(shù)列如下：a2

?1?2,an?1?an?an?1,n?N

證明：（1）對于n?N?

恒有a?

n?1?an成立。（2）當(dāng)n?2且n?N，有an?1?anan?1?a2a1?1成立。（3）1?

112a?12006

?

a???1

?1。12a2006

分析：（1）用數(shù)學(xué)歸納法易證。

（2）由a2

n?1?an?an?1得：an?1?1?an(an?1)

?an?1?an?1(an?1?1)??a2?1?a1(a1?1)

以上各式兩邊分別相乘得：an?1?1?anan?1?a2a1(a1?1)，又a1?2

?an?1?anan?1?a2a1?1

（3）要證不等式1?

11122006

?

a????1?1，可先設(shè)法求和：1?1???，1a2a2006a1a2a2006

再進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s。?a111n?1?1?an(an?1)?

aa?a?1?1?

a n?1?1

?

n?1nanan?1n?1?1

?

1111a?????(?1)?(1?1)???(1?1)1a2a2006a1?1a2?1a2?1a3?1a2006?1a2007?1?

1a1?a?1?

?11?2007?1

aa 12?a2006又a?a2006

1a2?a20061

?22006?1?

1a?1?1

2006?原不等式得證。

1a2?a20062

點(diǎn)評：本題的關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)條件裂項(xiàng)求和。

第四篇：數(shù)列不等式的證明

數(shù)列和式不等式的證明策略

羅紅波洪湖二中高三

（九）班周二第三節(jié)（11月13日）

數(shù)列和式不等式的證明經(jīng)常在試卷壓軸題中出現(xiàn)，在思維能力和方法上要求很高，難度很大，往往讓人束手無策，其實(shí)，這類不等式的證明，是有一定的規(guī)律的，利用S1

n?

a1?q

來證明也能事半功倍，下面用幾個例子來簡述數(shù)列和式不等式的證明

S1

n?

a1?q

常用策略。

一、基礎(chǔ)演練：

1、等比數(shù)列{an}，公比為q，則{an}的前n項(xiàng)和Sn為（）

?na1(q?1A．?)

?an

a?1(1?q)1(1?qn)a?

1?q(q?1)B.na1C.1?qD.11?q2、正項(xiàng)等比數(shù)列{an}，公比為q，0?q?1，{an}的前n項(xiàng)和Sn，以下說法正確的是（）A．S1n?

a11?qB.S?a11?qC.Saa

nn?1?qD.Sn?11?q3、正項(xiàng)數(shù)列{a}，{a的前n項(xiàng)和Sa

nn}n，要證明S1n?1?q，其中0?q?1，可以去證明（）A．

an?1?qB.an?1a?qC.an?1?qD.a

n?1a?q nnanan

二、典例精講：

例

1、等比數(shù)列{a1

n}，a1?1,q?2，{an}的前n項(xiàng)和Sn，求證：Sn?2

變式

1、正項(xiàng)等比數(shù)列{an}，{a1n}的前n項(xiàng)和Sn，a1?1,Sn?2恒成立，求證：0?q?

2例

2、已知數(shù)列{an}，an?1

2n

?1，{an}的前n項(xiàng)和S5n，求證：Sn?2(Sn?3?)

aann變式

2、數(shù)列{n?1n}，a?3?23?2n?1，a1?1，{a3

n?1n}的前n項(xiàng)和Sn，求證：Sn? n

2例

3、（09四川理22）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，對任意正整數(shù)n，都有a4?an

n?5Sn?1成立，記bn?1?a(n?N?).n

(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；

(2)記c?

n?b2n?b2n?1(n?N)，{c3

n}的前n項(xiàng)和Tn，求證：Tn?

2變式

3、已知a1n?

?2，求證Sn?(?1)a1?(?1)2a2????????(?1)nan?1

(?2)n?

3三、小結(jié)

四、課后作業(yè)：

1、等比數(shù)列{a1

n}，a1?2,q?

3，{an}的前n項(xiàng)和Sn，求證：Sn?3

2、已知數(shù)列{an}，an?

14n?2，{an}的前n項(xiàng)和Sn，求證：S2

n

?3

第五篇：數(shù)列與推理證明檢測題

2013屆高三寒假作業(yè)數(shù)學(xué)章節(jié)檢測(5)

一 選擇題

()

2．已知等差數(shù)列?an?的前項(xiàng)和為Sn，若M,N,P三點(diǎn)共線，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且?????????ON?aOM?1

5????

aO(P直線MP不過點(diǎn)O)，則S20等于（）6

A．15B．10C．40D．20

3．?dāng)?shù)列{an}中，a1?a2?1,an?2?an?1?an對所有正整數(shù)n都成立，則a10等于()A.3

4B.55

C.89

D.100

24．若數(shù)列{an}中an??n?6n?

7，則其前n項(xiàng)和Sn取最大值時，n?（）

A．3Ｂ．6Ｃ．7

Ｄ．6或7 5．已知數(shù)列?an?

a20=（）

A.0?

6．?dāng)?shù)列?an?滿足：an?2?an?1-an（n?N），且a2?1，若數(shù)列的前2011項(xiàng)之和為2012，則前2012項(xiàng)的和等于

A．0B． 1C．2012 7．用正偶數(shù)按下表排列

D．201

3則2008在第行第列.（）A．第 251 行第 5 列 B．第 251 行第 1列

C．第 250 行第 3 列

D．第 251 行第 5 列或第 252 行第 5列

8．黑白兩種顏色的正六形地面磚塊按如圖的規(guī)律拼成若干個圖案，則第五個圖案中有白色地面磚（）塊.A.21B.22C.20D.23

9．某個命題與正整數(shù)有關(guān)，若當(dāng)n?k(k?N*)時該命題成立，那么可推得當(dāng)n?k?1時該命題也成立，現(xiàn)已知當(dāng)n?5時該命題不成立，那么可推得()

A、當(dāng)n?6時，該命題不成立

C、當(dāng)n?4時，該命題成立 10． 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，稱Tn為數(shù)列a1，a2，?，an

a1，的“理想數(shù)”，已知數(shù)列a1，a2，??，a502的“理想數(shù)”為2012，那么數(shù)列2，?，a2，a502的“理想數(shù)”為（）

A．2010B．2011C．2012D．201

311．一同學(xué)在電腦中打出如下若干個圓：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●?，若依此規(guī)律繼續(xù)下去，得到一系列的圓，則在前2 012個圓中共有●的個數(shù)是（）A．61B．6

2【答案】A

C．63D．6

412．已知數(shù)列?an?的通項(xiàng)為an?

2n?1，Sn為數(shù)列?

an?的前n

數(shù)列

?bn?的前n項(xiàng)和的取值范圍為()

A二 填空題

．設(shè)等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，若a1?0，S5?S12，則當(dāng)Sn取得最大值時，n的值為14n項(xiàng)和Sn

15．若{an}是遞增數(shù)列λ對于任意自然數(shù)n,an?n??n恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍是

【答案】λ>－3

15數(shù)列?a

n?中，Sn?n,某三角形三邊之比為a2:a3:a4，則該三角形最大角為

16在Rt△ABC中，CA⊥CB，斜邊AB上的高為h1圖，在四面體P—ABC中，若PA，PB，PC兩兩垂直，底面ABC上的高為h，則h與PA, PB, PC

有關(guān)系式：．

D

O

三解答題

17．（本小題滿分12分）

等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知對任意的n?N?，點(diǎn)(n,Sn)均在函數(shù)

y?b?r(b?0且b?1,b,r均為常數(shù))的圖像上.x

（1）求r的值；（2）當(dāng)b?

2{bn}的前n項(xiàng)和Tn.18．某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史,下圖（1）、（2）、（3）、（4）她們刺繡最簡單的四個圖案,這些圖案都是由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮;現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第n個圖形包含f(n)個小正方形

（Ⅰ）求出f(5)的值；

（Ⅱ）利用合情推理的“歸納推理思想”，歸納出f(n?1)與f(n)之間的關(guān)系式，并根據(jù)你得到的關(guān)系式求出f(n)的表達(dá)式；

.19.（本小題14分）

在等差數(shù)列{an}中，a10?30,a20?50.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an；(2)令bn?2a

n

?10，證明：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列；

（3）求數(shù)列{nbn}的前n項(xiàng)和Tn.20

（Ⅰ）求f(x)?f(1?x),x?R的值；

(n?N*)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（Ⅲ）若數(shù)列?bn?滿足bn?2n?1?an，Sn是數(shù)列?bn?的前n項(xiàng)和，是否存在正實(shí)數(shù)k，使不等式knSn?4bn對于一切的n?N?恒成立？若存在，請求出k的取值范圍；若不存在，請說明理由．

21．已知數(shù)列?a

n?n項(xiàng)和S

n

（1）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；（222．（本小題滿分14分）已知數(shù)列?an?是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，公差為d，Sn為其前

n項(xiàng)和，且滿足an2?S2n?1，n?N*．?dāng)?shù)列?b

n?和．

（1）求a1、d和Tn；

Tn為數(shù)列?bn?的前n項(xiàng)

n

（2）若對任意的n?N*，不等式?Tn?n?8?(?1)恒成立，求實(shí)數(shù)?的取值范圍；

（3）是否存在正整數(shù)m,n(1?m?n)，使得T1,Tm,Tn成等比數(shù)列？若存在，求出所有

m,n的值；若不存在，請說明理由．