第一篇：數(shù)列、極限、數(shù)學(xué)歸納法·歸納、猜想、證明

數(shù)列、極限、數(shù)學(xué)歸納法·歸納、猜想、證明·教案

教學(xué)目標(biāo)

1．對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的認(rèn)識(shí)不斷深化．

2．幫助學(xué)生掌握用不完全歸納法發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再用數(shù)學(xué)歸納法證明規(guī)律的科學(xué)思維方法． 3．培養(yǎng)學(xué)生在觀察的基礎(chǔ)上進(jìn)行歸納猜想和發(fā)現(xiàn)的能力，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生去探求事物的內(nèi)在的本質(zhì)的聯(lián)系． 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

用不完全歸納法猜想出問(wèn)題的結(jié)論，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明． 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

（一）復(fù)習(xí)引入

師：我們已學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)歸納法，知道它是一種證明方法．請(qǐng)問(wèn)：它適用于哪些問(wèn)題的證明？

生：與連續(xù)自然數(shù)n有關(guān)的命題． 師：用數(shù)學(xué)歸納法證明的一般步驟是什么？ 生：共有兩個(gè)步驟：

（1）證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)結(jié)論正確；

（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N，且k≥n0）時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也正確． 師：這兩個(gè)步驟的作用是什么？

生：第（1）步是一次驗(yàn)證，第（2）步是用一次邏輯推理代替了無(wú)數(shù)次驗(yàn)證過(guò)程． 師：這實(shí)質(zhì)上是在說(shuō)明這個(gè)證明具有遞推性．第（1）步是遞推的始點(diǎn)；第（2）步是遞推的依據(jù)．遞推是數(shù)學(xué)歸納法的核心．用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)應(yīng)注意什么？

生：兩個(gè)步驟缺一不可．證第（2）步時(shí)，必須用歸納假設(shè)．即在n=k成立的前提下推出n=k+1成立．

師：只有這樣，才能保證遞推關(guān)系的存在，才真正是用數(shù)學(xué)歸納法證題． 今天，我們一起繼續(xù)研究解決一些與連續(xù)自然數(shù)有關(guān)的命題．請(qǐng)看例1．

（二）歸納、猜想、證明 1．問(wèn)題的提出

師：我們一起來(lái)看兩位同學(xué)的解題過(guò)程．學(xué)生甲的計(jì)算結(jié)果正確，但沒(méi)有猜出來(lái)．學(xué)生乙沒(méi)有求出f（2），f（3），f（4）的值，但猜出了計(jì)算公式，并用數(shù)學(xué)歸納法給予了證明．題目要求求值，還是應(yīng)寫出結(jié)果的，說(shuō)說(shuō)你這么寫的理由吧．

生乙：其實(shí)一開始，我跟學(xué)生甲一樣，先算出了f（2），f（3），f（4）的值，但從-lg 2，0，2lg 2，5lg 2我除發(fā)現(xiàn)了應(yīng)是多少倍的lg2就再無(wú)收獲了，這“多少倍的”從-1，0，2，5實(shí)在無(wú)法斷定，于是我就往回找，從計(jì)算的過(guò)程中，我發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，一高興就忘了寫結(jié)果了．

師：你是怎么從計(jì)算的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律的？ 生乙：我是看f（2），f（3），f（4）每一個(gè)的計(jì)算過(guò)程都是在前一個(gè)結(jié)果的基礎(chǔ)上加上（n-1）lg 2，也就是從n=2，3，4，?分別代入遞推關(guān)系式f（n）=f（n-1）+（n-1）lg 2的求值計(jì)算過(guò)程中得到的．這里算每一個(gè)時(shí)要用前一個(gè)的結(jié)果，寫時(shí)也用它的計(jì)算過(guò)程來(lái)表示，這樣就容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律了．

師：實(shí)際上，他是通過(guò)算式的結(jié)構(gòu)特征作出歸納、推測(cè)的，這種歸納我們不妨稱之為：“猜結(jié)構(gòu)”，而例1那種歸納我們就叫它做“猜結(jié)果”吧．

其實(shí)，我們?cè)诓孪霑r(shí)，往往是先看結(jié)果，從結(jié)果得不出猜想時(shí)，再看過(guò)程，從解題過(guò)程中的式子結(jié)構(gòu)去思考．但不管怎么猜想，都離不開對(duì)題目特征的認(rèn)識(shí)．

學(xué)生乙在用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想時(shí)，注意了兩個(gè)步驟及歸納假設(shè)的使用，證明正確．這個(gè)問(wèn)題解決得非常好．

歸納、猜想、證明是一種科學(xué)的思維方法，重要的解題途徑，它是我們認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的一把鑰匙．

（三）練習(xí)

（四）小結(jié)

（引導(dǎo)學(xué)生一起歸納小結(jié)）

1．歸納、猜想、證明是一個(gè)完整的思維過(guò)程，既需要探求和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，又需要證明所得結(jié)論的正確性．它引導(dǎo)我們?cè)跀?shù)學(xué)的領(lǐng)域中積極探索，大膽猜想，可以充分地發(fā)揮我們的數(shù)學(xué)想象力．同時(shí)又要求我們注意對(duì)所得的一般結(jié)論作嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明． 2．歸納法是一種推理方法，數(shù)學(xué)歸納法是一種證明方法．歸納法幫助我們提出猜想，而數(shù)學(xué)歸納法的作用是證明猜想．在歸納、猜想、證明的過(guò)程中，猜想是關(guān)鍵．我們可以“猜結(jié)果”，也可以“猜過(guò)程”，只要抓住問(wèn)題的本質(zhì)特征、知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，就不難得到猜想．在用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，有時(shí)還可以彌補(bǔ)猜想中的不足．

（五）布置作業(yè)

1．高級(jí)中學(xué)課本《代數(shù)》下冊(cè)（必修）P129第35題．

課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明

利用“歸納、猜想、證明”這一思維方法解題，在課本中雖無(wú)這類例題，但復(fù)習(xí)參考題的最后一道卻屬此類．它對(duì)于學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、提高數(shù)學(xué)修養(yǎng)、發(fā)展數(shù)學(xué)能力的作用重大．

在歸納、猜想、證明中，準(zhǔn)確猜想是關(guān)鍵．因此我們把重點(diǎn)放在了如何猜想．它不僅能幫助學(xué)生使問(wèn)題得以順利解決，而且對(duì)于開發(fā)學(xué)生的想象力、培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、培養(yǎng)新世紀(jì)人材都很有意義．

在例題、習(xí)題、作業(yè)題的配備上，我們認(rèn)為高中的學(xué)習(xí)特點(diǎn)是梯度陡、跨度大、思維能力要求高（較初中而言）．因此在題目的設(shè)置上，我們加大了思維的含量．讓學(xué)生在處理每一個(gè)問(wèn)題，操作每一步時(shí)都必須有所思考，使學(xué)生深切體會(huì)到：數(shù)學(xué)不能死記硬背，也不能生搬硬套．要用數(shù)學(xué)的思想方法觀點(diǎn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、看待數(shù)學(xué)．

本節(jié)安排的這道練習(xí)題．從題目本身看，學(xué)生得不到一個(gè)解題程序，似乎無(wú)從下手．但如果他已掌握了歸納、猜想、證明的思想而不只是方法的話，他就會(huì)有解題意識(shí)與思路．更可從中領(lǐng)略到發(fā)現(xiàn)、觀察、歸納、猜想、證明這一數(shù)學(xué)研究的全過(guò)程，體會(huì)有限與無(wú)限、特殊與一般等辯證關(guān)系．

至于課后思考題，其計(jì)算、猜想都不困難，使學(xué)生對(duì)此題輕松上手．但證明時(shí)的不順利會(huì)引發(fā)他們的思考：照搬例習(xí)題的模式是不行的，它與例習(xí)題的區(qū)別何在？數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)特征是什么？??這些思考不僅有助于學(xué)生解出此題，更有助于學(xué)生從實(shí)質(zhì)上理解數(shù)學(xué)歸納法，抓住其核心——遞推． 這節(jié)課的教學(xué)，我們始終以問(wèn)題為主線，讓學(xué)生的思維由問(wèn)題開始，到問(wèn)題深化．通過(guò)問(wèn)題的研討，幫助學(xué)生從認(rèn)識(shí)上得到提高．逐步由特殊到一般，由具體到抽象，由表面到本質(zhì)，把學(xué)生的思維步步引向深入．從而提高學(xué)生的思維層次與思維水平。

第二篇：數(shù)列極限的證明

例1 設(shè)數(shù)列?xn?滿足0?x1??,xn?1?sinxn?n?1,2,??。（Ⅰ）證明limxn存在，并求該極限；

n??

?xn?1?xn（Ⅱ）計(jì)算lim??。n??

?xn?

解（Ⅰ）用歸納法證明?xn?單調(diào)下降且有下界，由0?x1??，得

0?x2?sinx1?x1??，設(shè)0?xn??，則

0?xn?1?sinxn?xn??，所以?xn?單調(diào)下降且有下界，故limxn存在。

n??

記a?limxn，由xn?1?sinxn得

x??

a?sina，所以a?0，即limxn?0。

n??

（Ⅱ）解法1 因?yàn)?/p>

?sinx?lim??x?0

?x?

1x?lime

x?0

1sinxlnx2x

?lime

x?0

1?cosx1?

???

2x?sinxx?

?xsinx6x2

xcosx?sinx

?lime

x?0

2x3

?lime

x?0

?e

?

又由（Ⅰ）limxn?0，所以

n??

1xn

?xn?1??sinxn?xn2

lim???lim??n??n??xx?n??n?

?sinx?

?lim??x?0x??

解法2 因?yàn)?/p>

1xx?e

?

sinx?x

?sinx????x?

?

?sinx?x????1????x??

xsinx?x

????

x3，又因?yàn)?/p>

limsinx?x1?sinx?x???,lim?1??x?0x36x?0?x?

xnxsinx?x?e，??sinx?6所以lim?，?e?x?0?x?1

故

11?x?lim?n?1?n???xn?xn?sinxn??lim??n??x?n?

?sinx??lim??x?0?x?xn1x ?e?1

6.

第三篇：數(shù)列極限的證明

例1 設(shè)數(shù)列?xn?滿足0?x1??,xn?1?sinxn?n?1,2,??。（Ⅰ）證明limxn存在，并求該極限；

n??1?xn?1?xn2（Ⅱ）計(jì)算lim??。n???xn?解（Ⅰ）用歸納法證明?xn?單調(diào)下降且有下界，由0?x1??，得

0?x2?sinx1?x1??，設(shè)0?xn??，則

0?xn?1?sinxn?xn??，所以?xn?單調(diào)下降且有下界，故limxn存在。

n??記a?limxn，由xn?1?sinxn得

x??a?sina，所以a?0，即limxn?0。

n??（Ⅱ）解法1 因?yàn)?/p>

?sinx?lim??x?0?x?1x2?limex?01sinxlnx2x?limex?01?cosx1????2x?sinxx?

?xsinx6x2xcosx?sinx?limex?02x3?limex?0?e?16又由（Ⅰ）limxn?0，所以

n??12xn1?xn?1??sinxn?xn2lim???lim??n??n??xx?n??n?1

?sinx??lim??x?0x??解法2 因?yàn)?/p>

1x2x2?e?16sinx?x?sinx????x???sinx?x????1????x??xsinx?x????x3，又因?yàn)?/p>

limsinx?x1?sinx?x???,lim?1??x?0x36x?0?x?12xnxsinx?x?e，??sinx?6所以 lim?，?e?x?0?x?1故

11?x?lim?n?1?n???xn?2xn?sinxn??lim??n??x?n??sinx??lim??x?0?x?2xn1x2

?e?16.

第四篇：數(shù)列極限的證明

數(shù)列極限的證明X1=2,Xn+1=2+1/Xn,證明Xn的極限存在，并求該極限 求極限我會(huì)

|Xn+1-A|<|Xn-A|/A 以此類推，改變數(shù)列下標(biāo)可得 |Xn-A|<|Xn-1-A|/A;|Xn-1-A|<|Xn-2-A|/A;……

|X2-A|<|X1-A|/A;向上迭代，可以得到|Xn+1-A|<|Xn-A|/(A^n)2 只要證明{x(n)}單調(diào)增加有上界就可以了。用數(shù)學(xué)歸納法：

①證明{x(n)}單調(diào)增加。

x(2)=√[2+3x(1)]=√5>x(1);設(shè)x(k+1)>x(k)，則

x(k+2)-x(k+1))=√[2+3x(k+1)]-√[2+3x(k)](分子有理化)=[x(k+1)-3x(k)]/【√[2+3x(k+1)]+√[2+3x(k)]】>0。②證明{x(n)}有上界。x(1)=1<4，設(shè)x(k)<4，則

x(k+1)=√[2+3x(k)]<√(2+3*4)<4。3 當(dāng)0 當(dāng)0 構(gòu)造函數(shù)f(x)=x*a^x(0 令t=1/a，則：t>

1、a=1/t 且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)則：

lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x =lim(x→+∞)[x'/(t^x)'](分子分母分別求導(dǎo))=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)=1/(+∞)=0 所以，對(duì)于數(shù)列n*a^n，其極限為0 4 用數(shù)列極限的定義證明

3.根據(jù)數(shù)列極限的定義證明：(1)lim[1/(n的平方)]=0 n→∞

(2)lim[(3n+1)/(2n+1)]=3/2 n→∞

(3)lim[根號(hào)(n+1)-根號(hào)(n)]=0 n→∞

(4)lim0.999…9=1 n→∞ n個(gè)9 5幾道數(shù)列極限的證明題，幫個(gè)忙。。Lim就省略不打了。。

第五篇：數(shù)列極限的證明

數(shù)列極限的證明

X1=2,Xn+1=2+1/Xn,證明Xn的極限存在，并求該極限

求極限我會(huì)

|Xn+1-A|<|Xn-A|/A

以此類推，改變數(shù)列下標(biāo)可得|Xn-A|<|Xn-1-A|/A;

|Xn-1-A|<|Xn-2-A|/A;

……

|X2-A|<|X1-A|/A;

向上迭代，可以得到|Xn+1-A|<|Xn-A|/(A^n)

2只要證明{x(n)}單調(diào)增加有上界就可以了。

用數(shù)學(xué)歸納法：

①證明{x(n)}單調(diào)增加。

x(2)=√=√5>x(1);

設(shè)x(k+1)>x(k)，則

x(k+2)-x(k+1))=√-√(分子有理化)

=/【√+√】>0。

②證明{x(n)}有上界。

x(1)=1<4，設(shè)x(k)<4，則

x(k+1)=√<√(2+3*4)<4。

3當(dāng)0

當(dāng)0

構(gòu)造函數(shù)f(x)=x*a^x(0

令t=1/a，則：t>

1、a=1/t

且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)

則：

lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x

=lim(x→+∞)(分子分母分別求導(dǎo))

=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)

=1/(+∞)

=0

所以，對(duì)于數(shù)列n*a^n，其極限為0

用數(shù)列極限的定義證明

3.根據(jù)數(shù)列極限的定義證明：

(1)lim=0

n→∞

(2)lim=3/2

n→∞

(3)lim=0

n→∞

(4)lim0.999…9=1

n→∞n個(gè)9

5幾道數(shù)列極限的證明題，幫個(gè)忙。。Lim就省略不打了。。

n/(n^2+1)=0

√(n^2+4)/n=1

sin(1/n)=0

實(shí)質(zhì)就是計(jì)算題，只不過(guò)題目把答案告訴你了，你把過(guò)程寫出來(lái)就好了

第一題，分子分母都除以n，把n等于無(wú)窮帶進(jìn)去就行

第二題，利用海涅定理，把n換成x，原題由數(shù)列極限變成函數(shù)極限，用羅比達(dá)法則(不知樓主學(xué)了沒(méi)，沒(méi)學(xué)的話以后會(huì)學(xué)的)

第三題，n趨于無(wú)窮時(shí)1/n=0，sin(1/n)=0

不知樓主覺(jué)得我的解法對(duì)不對(duì)呀limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1=0

lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n^2)=1

limsin(1/n)=lim=lim(1/n)*lim/(1/n)=0*1=0