第一篇：AG不等式的證明及其推廣

平均不等式

AG不等式：

1.中學(xué)里面我們稱(chēng)之為基本不等式：

（1）ab?

（2）a?b（a,b?0）2ab??0（a,b同號(hào)）ba

2（3）a+b2?2ab（a,b為實(shí)數(shù)）

1n2.推廣：設(shè)a=(a1,…，an)，ak?0，1?k?n，則An(a)=?ak稱(chēng)為a1，…，an的算術(shù)

nk?1平均值，Gn(a)=na1a2??an稱(chēng)為a1,…，an的幾何平均值

Gn(a)?An(a)，即na1a2??an?a1?a2????an

n

稱(chēng)為AG不等式，當(dāng)且僅當(dāng)a1=a1=…=an時(shí)等號(hào)成立.AG不等式是最重要的基本不等式，利用這個(gè)不等式，可將和的形式縮小為積的形式，或者將積的形式放大為和的形式，因而這可以敘述成兩個(gè)等價(jià)的共軛命題：

（1）其和為S的n個(gè)正數(shù)之積，在這些數(shù)都相等的時(shí)候最大，最大值為(S/n)n.（2）其積為?的n個(gè)正數(shù)之和，在這些數(shù)都相等的時(shí)候最小，最小值為n?2.因此AG不等式有許多獨(dú)特的應(yīng)用價(jià)值，例如在幾何學(xué)中求最大最小問(wèn)題時(shí)，給定表面積的所有長(zhǎng)方體中，正方體具有最大的體積；而給定體積的所有長(zhǎng)方體中，正方體具有最小的表面積等.3.加權(quán)形式的AG不等式：

nnGn(a,q)?An(a,q)，式中Gn(a,q)=?（ak）^qk，An(a,q)=?qkak，qk?0，?qk?1，k?1k?1k?1n通過(guò)對(duì)數(shù)變換可以將這兩種平均聯(lián)系起來(lái)，記lna=(lna1,…，lnan)，則lnGn(a,q)?lnAn(a,q)，即正數(shù)a1，…，an的加權(quán)幾何平均Gn(a,q)的對(duì)數(shù)等于a1，…，an的對(duì)數(shù)lna1,…，lnan的加權(quán)算術(shù)平均.同時(shí)，對(duì)于加權(quán)形式的AG不等式的進(jìn)一步推廣是：設(shè)ajk>0，qk>0，且mnnm?qk?1nk?1，則

?(?(aij)^qk)??(?ajk)^qk，當(dāng)且僅當(dāng)j?1k?1k?1j?1aj1mj1j?1=

aj2mj2j?1=…=

ajn?a?a?aj?1m，（j=1,…，m）

jn時(shí)等號(hào)成立.4.關(guān)于AG不等式的證明：

這里面介紹的是幾個(gè)典型的、簡(jiǎn)潔的和新的精彩的證明方法，為了敘述方便，下面將a1?a2????an記為Gn(a)?An(a)，并設(shè)a1，…，an是不全相等的正

na1?a2????an數(shù)（因?yàn)閍1=a1=…=an時(shí)，等號(hào)成立），與na1a2??an?等價(jià)的是：

nna1a2??an?

若?ak?1nnk?1，則?ak?n;

k?1nn

若?ak?1，則?ak?(k?1k?11n).na1?a2????an成立，容易推出n=2k的n+1821年Cauchy用反向數(shù)學(xué)歸納法給出了一個(gè)精彩的證明：

第一步：假設(shè)n=k時(shí)，na1a2??an?時(shí)候該式也成立：

a1??a2k2k=12（a1?a2????akkak?1?ak?2????a2kk）

?12[(a1?ak)1/k+(ak?1?a2k)1/k]?(a1?akak?1?a2k)1/2k

由此推出n=2時(shí)，na1a2??an?mm

a1?a2????an成立.nm第二步：設(shè)n?2，則比存在r?N，使得n+r=2.An?(n?r)An(a1??an)?(An???An)??[a1?an?An?An]1/(n+r)（有r個(gè)An連n?rn?r乘）=[?Gn?^n??An?^r]1/(n+r).即?An?n+r??Gn?n??An?r.從而An?Gn.另外一種思路是從An?1?Gn?1推出An?Gn成立，事實(shí)上

nAn?Ana1???an?An???a1a2?anAn?1/(n+1)，即?An?n+1?a1?anAn，從而n?1n?1?An?n?a1?an=?Gn?n，即An?Gn.An?

同時(shí)也可以用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明下式的成立

?ak?1nk?1，則?ak?n

k?1n證明如下：n=1時(shí)，命題顯然為真.假設(shè)n?1時(shí)，命題為真，當(dāng)?n?1?時(shí)，若所有的xk?1，則其和等于?n?1?，不然不妨設(shè)x1?1,xn?1?1（對(duì)若干個(gè)xi進(jìn)行一個(gè)排列，把最小的重新定為x1，最大的定為xn?1），我們記y?x1xn?1，這時(shí)便有x2x3?xny?1，由于歸納假設(shè)

x2?x3???xn?y?n ①

另外，x1?xn?1?y?x1?xn?1?x1xn?1?(1?x1)?1?xn?1??1

②

①+②得，x1??xn?1?n?1，因而對(duì)?n?1?的情況也成立，證畢！(Ehlers,1954)

教材大多采用的是利用函數(shù)的凹凸性去證明，這里我們直接證明加權(quán)平均不等式，AG不等式只是其中的一種特殊情形。下證明：Gn(a,q)?An(a,q)，式中

Gn(a,q)=?（ak）^qk，An(a,q)=?qkak，qk?0，k?1k?1nn?qk?1nk?1，證明：注意到如果ak中有等于0時(shí)，不等式自然成立，現(xiàn)在只需要考慮ak都是正數(shù)的情況.因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)e^x?exp(x)為嚴(yán)格的上凸函數(shù)，所以我們有：

n?n?n(ak)^qk=exp???klnak????kexp[ln?ak?]???kak，當(dāng)且僅當(dāng)ak都相等?k?1k?1?k?1?k?1n的時(shí)候成立。

這時(shí)候我們?cè)倭?k?1,k?1,2??,n時(shí)，該式子就是非負(fù)的幾何平均數(shù)不大于n算術(shù)平均數(shù)（AG不等式）

還可以利用Young不等式：a1/p

b1/q??1/p?a??1/q?b，1/p?1/q?1,1?p??，得到

?an?1?1/n·?An?1?(1-1/n)?1?1???1??An?1 nan?1?n?1?1???1??An?1.nan?1?n?1/2n記G??an?1?1/n·?An?1?(1-1/n)，A?則An?1?An?A?AnA?GnG???Gn?1?^(n?1)??An?1?^(n?1)?2，即An?1?Gn?1.證畢?。―iananda）

補(bǔ)充說(shuō)明的是young不等式的證明： Young不等式（p-q不等式）：設(shè)p,q?0,11??1，則當(dāng)1?p??時(shí)，成立 pq11p?|ab|?|a|q|b|q；當(dāng)0?p?1的時(shí)候，不等式反向，當(dāng)且僅當(dāng)|b|?|a|p-1的時(shí)候p等號(hào)成立.證明這個(gè)不等式的方法有許多，這里只給出四種證明的方法：

①代數(shù)方法：利用Bernoulli不等式：x?0,0???1.(x)^??1???x?1?.再取??q

1,x?bq/ap.(Bernoulli不等式的證明很容易，只需要用數(shù)學(xué)歸納法即可證明，這里不再去證明)

②微分法：固定x?0,求一元函數(shù)

??y??1?x?^p?1?y?^q?xy在[0,?)上的極值，?在pq1）時(shí)取到最小值.即??y????y0??0.q?1y0??x0?^?（式中??

③積分法：設(shè)y???x?是[0,a]上嚴(yán)格遞增的連續(xù)函數(shù)，比較面積得 ab?，???x?dx????y?dy,a,b?0（這里的?和?函數(shù)互為反函數(shù)）

00ab然后我們?nèi)??x??xp-1即可證得！

④考慮二元函數(shù)

f(x,y)? xy??x1/py1/q 在凸域D?{?x,y?:x,y?0}上的凸性.pqLagrange乘數(shù)法：求f?x??nx1?xn在條件x1???xn?a下的最大值，作輔助函數(shù)F?x???x1?xn?1/n+?(x1????xn?a).F對(duì)xk求偏導(dǎo)數(shù)F'xk?0，得出

f?x???nkxk,k?1,??,n.即

對(duì)k求和，得到nf?x???n??x1????xn???n?a.即

f(x)???a.由以上兩個(gè)式子，我們可以得到

xk?aa??a.于是f在?,?,?點(diǎn)取得最大值nn??nna1?a??a?a即nx1?xn???x1???xn?.??????，nn?n??n?n

再補(bǔ)充利用四個(gè)個(gè)不等式去證明的方法： 利用不等式exp?x??1?x，得出

nnakak?ak??Gn?1?exp(0)?exp{?n}??exp{?1}???????n.?An?An?k?1Ank?1k?1?An?n利用不等式exp(x)?xe?x?e?，即x?elnx.于是

ak?elnak,k?1,?,n.我們可以選擇權(quán)系數(shù)q?(q1,?,qn),qk?0,且

?qk?1nk?1,使得

Gn(a,q)??(ak)^qk?e.k?1n于是從ak?elnak,k?1,?,n.式子對(duì)k求和，得到

n?n?qkak?e?qklnak?eln?????ak?^qk???e???ak?^qk，這就是加權(quán)平均不等式.k?1k?1k?1?k?1?nn

利用不等式lnx?x?1?x?0?,得到log?akAkak?1,對(duì)k求和得到，Ak?n???ak?n??Gn???nak?Gnakk?1??即log?log^n?nlog()?0.從而我們log()??n?0,??????????AnAnAnk?1?k?1An???An??得到

利用不等式 x[n?(x)^(n?1)]?n?1,x?0.logGnGn?0,即?1.證畢！AnAn?a2???an?a11/(n-1)n?a1??n-1，取x?()，則從不等式上方的不等式得到?An?n?1??An對(duì)上式逐次使用不等式得到：?An?（Akerberg,B.1963）

n

?a3??an??a1a2??n-2???a1a2?an?(Gn)n.證畢！

?n?2?

5.深度的推廣

我們通過(guò)加權(quán)平均不等式來(lái)證明：設(shè)aik?0,k?1,??n,?i?0,i?1,??,m,m???1.ii?1?m?m?n?則有不等式????aik?^?i?????aik?^?i

k?1?i?1?i?1?k?1?n證明：當(dāng)上述右邊等于0時(shí)，顯然左邊也等于0.我們考慮右邊不為0的情況，利用加權(quán)平均不等式，得：

?m??????n??aik?^?iaik??????m????nn?nmmaikaikk?1?i?1????^?i?????i?k?1???i?1?i????nnm??????n???n?k?1i?1k?1i?1i?1i?1aik?aik?aik?aik^?i????????????k?1??k?1??k?1?i?1?k?1n

當(dāng)且僅當(dāng)m個(gè)向量?ai1,??,ain?，i?1,??,m.成比例時(shí)成立.證畢！特殊的情況：

當(dāng)m?2,a1k??xk?p，a2k?(yk)q，?1?11,?2?,?1??2?1時(shí)，這就是 H?lder不等式，pq ?n?1/p?n?1/q

+xkyk?????xk^pyk^q???????k?1?k?1??k?1?n上式中當(dāng)且僅當(dāng)向量?(x1)^p,??,(xn)^p?與向量?(y1)^q,??,(yn)^q?成比例時(shí)等號(hào)成立.再對(duì)上式中取n?2,p?q?2時(shí)就得到Cauchy不等式.當(dāng)且僅當(dāng)?x1,??,xn?和向量?y1,??,yn?成比例時(shí)等號(hào)成立.當(dāng)然還能推導(dǎo)得到Minkowski不等式，這里由于篇幅有限，不再敘述，請(qǐng)感興趣的讀者參考其他書(shū)籍！

第二篇：一道不等式的幾種證明和推廣

龍?jiān)雌诳W(wǎng) http://.cn

一道不等式的幾種證明和推廣

作者：陳兵兵 魏春強(qiáng)

來(lái)源：《學(xué)園》2013年第30期

【摘 要】本文對(duì)一道不等式給出了幾種證明并對(duì)其進(jìn)行了推廣，以期能給大家以參考。

【關(guān)鍵詞】不等式 證明 推廣

【中圖分類(lèi)號(hào)】O178 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674-4810（2013）30-0076-01

第三篇：兩個(gè)常見(jiàn)不等式的證明及推廣

龍?jiān)雌诳W(wǎng) http://.cn

兩個(gè)常見(jiàn)不等式的證明及推廣

作者：姬婷 魏春強(qiáng)

來(lái)源：《學(xué)園》2013年第13期

【摘 要】本文根據(jù)兩個(gè)常見(jiàn)不等式的證明和分析，引發(fā)聯(lián)想，進(jìn)而推廣，得到命題1和命題2。

【關(guān)鍵詞】平均值不等式 冪平均不等式 推廣

【中圖分類(lèi)號(hào)】O12 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674-4810（2013）13-0016-01參考文獻(xiàn)

[1]陳傳理、張同君.競(jìng)賽數(shù)學(xué)教程[M].北京：高等教育出版社，2004

〔責(zé)任編輯：龐遠(yuǎn)燕〕

第四篇：不等式證明

不等式證明

不等式是數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容之一，它是研究許多數(shù)學(xué)分支的重要工具，在數(shù)學(xué)中有重要的地位，也是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，在高考和競(jìng)賽中都有舉足輕重的地位。不等式的證明變化大，技巧性強(qiáng)，它不僅能夠檢驗(yàn)學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度，而且是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)水平的一個(gè)重要標(biāo)志，本文將著重介紹以下幾種不等式的初等證明方法和部分方法的例題以便理解。

一、不等式的初等證明方法

1.綜合法：由因?qū)Ч?/p>

2.分析法：執(zhí)果索因?；静襟E：要證..只需證..，只需證..(1)“分析法”證題的理論依據(jù)：尋找結(jié)論成立的充分條件或者是充要條件。

(2)“分析法”證題是一個(gè)非常好的方法，但是書(shū)寫(xiě)不是太方便，所以我們可利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進(jìn)行表達(dá)。

3.反證法：正難則反。

4.放縮法：將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)證題目的。放縮法的方法有：

(1)添加或舍去一些項(xiàng)，如：

2)利用基本不等式，如：

(3)將分子或分母放大(或縮小)：

5.換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問(wèn)題

化難為易、化繁為簡(jiǎn)，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。

6.構(gòu)造法：通過(guò)構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來(lái)證明不等式。

證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數(shù)學(xué)歸納法仍是證明不等式的最基本方法。

7.數(shù)學(xué)歸納法：數(shù)學(xué)歸納法證明不等式在數(shù)學(xué)歸納法中專(zhuān)門(mén)研究。

8.幾何法：用數(shù)形結(jié)合來(lái)研究問(wèn)題是數(shù)學(xué)中常用的方法，若求證的不等式是幾何不等式或有較明顯的幾何意義時(shí)，可以考慮構(gòu)造相關(guān)幾何圖形來(lái)完成，若運(yùn)用得好，有時(shí)則有神奇的功效。

9.函數(shù)法：引入一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)達(dá)到證明不等式的目的。

10.判別式法：利用二次函數(shù)的判別式的特點(diǎn)來(lái)證明一些不等式的方法。當(dāng)a>0時(shí)，f(x)=ax2+bx+c>0(或<0).△<0(或>0)。當(dāng)a<0時(shí)，f(x)>0(或<0).△>0(或<0)。

二、部分方法的例題

1.換元法

換元法是數(shù)學(xué)中應(yīng)用最廣泛的解題方法之一。有些不等式通過(guò)變量替換可以改變問(wèn)題的結(jié)構(gòu)，便于進(jìn)行比較、分析，從而起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)、化隱蔽為外顯的積極效果。

注意：在不等式的證明中運(yùn)用換元法，能把高次變?yōu)榈痛?，分式變?yōu)檎剑瑹o(wú)理式變?yōu)橛欣硎?，能?jiǎn)化證明過(guò)程。尤其對(duì)含有若干個(gè)變?cè)凝R次輪換式或輪換對(duì)稱(chēng)式的不等式，通過(guò)換元變換形式以揭示內(nèi)容的實(shí)質(zhì)，可收到事半功倍之效。

2.放縮法

欲證A≥B，可將B適當(dāng)放大，即B1≥B，只需證明A≥B1。相反，將A適當(dāng)縮小，即A≥A1，只需證明A1≥B即可。

注意：用放縮法證明數(shù)列不等式，關(guān)鍵是要把握一個(gè)度，如果放得過(guò)大或縮得過(guò)小，就會(huì)導(dǎo)致解決失敗。放縮方法靈活多樣，要能想到一個(gè)恰到好處進(jìn)行放縮的不等式，需要積累一定的不等式知識(shí)，同時(shí)要求我們具有相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思維能力和一定的解題智慧。

3.幾何法

數(shù)形結(jié)合來(lái)研究問(wèn)題是數(shù)學(xué)中常用的方法，若求證的不等式是幾何不等式或有較明顯的幾何意義時(shí)，可以考慮構(gòu)造相關(guān)幾何圖形來(lái)完成，若運(yùn)用得好，有時(shí)則有神奇的功效。

第五篇：不等式證明

不等式的證明

比較法證明不等式

a2?b2a?b?1.設(shè)a?b?0，求證：2.a?b2a?b

2.（本小題滿(mǎn)分10分）選修4—5：不等式選講

（1）已知x、y都是正實(shí)數(shù)，求證：x3?y3?x2y?xy2；

（2?對(duì)滿(mǎn)足x?y?z?1的一切正實(shí)數(shù) x,y,z恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

.??,1?綜合法證明不等式（利用均值不等式）3.已知a?b?c, 求證：??1??? ??114??.a?bb?ca?c

4.設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a+b+c=1，證明：

1（Ⅰ）ab+bc+ac?3；

a2b2c2

???1ca（Ⅱ）b

5.（1）求不等式x?3?2x???1的解集;

121225（a?)?(b?)??a,b?R,a?b?1ab2.（2）已知，求證：

6.若a、b、c是不全相等的正數(shù)，求證：

分析法證明不等式

7.某同學(xué)在證明命題“7??要證明7?3??2”時(shí)作了如下分析，請(qǐng)你補(bǔ)充完整.6?2，只需證明________________,只需證明___________,＋2?9?2，展開(kāi)得9即?,只需證明14?18,________________,所以原不等式:??6?2成立.22?2?6?3,(7?2)?(6?3)，因?yàn)?4?18成立。

a?b?c8.已知a,b,c?R。?3?

9.(本題滿(mǎn)分10分)已知函數(shù)f(x)?|x?1|。

(Ⅰ)解不等式f(x)?f(x?4)?8；{x|x≤－5，或x≥3}(Ⅱ)若|a|?1,|b|?1，且a?0，求證：f(ab)?|a|f().10.（本小題滿(mǎn)分10分）當(dāng)a,b?M??x|?2?x?2?時(shí),證明:2|a+b|＜|4+ab|.反證法證明不等式

11.已知a，b，c均為實(shí)數(shù)，且a=x?2y+2baπππ22，b=y?2z+，c=z?2x+，236

求證：a，b，c中至少有一個(gè)大于0.12.（12分）若x,y?R,x?0,y?0,且x?y?2。求證：1?x和1?y中至少有一個(gè)小于2.yx

放縮法證明不等式

13.證明不等式：?111??11?21?2?3?1

1?2?3??n?2

214.設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，滿(mǎn)足4Sn?ann?N?,且

?1?4n?1,a2,a5,a14構(gòu)成等比數(shù)列．

(1)證明：a2?

(2)求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；an?2n?1

(3)證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有11??a1a2a2a3?11?． anan?12

15.設(shè)數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn.已知a1?1,2Sn12?an?1?n2?n?,n?N*.n33

(Ⅰ)求a2的值；a2?4(Ⅱ)求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；an?n2(Ⅲ)證明:對(duì)一切正整數(shù)n,有數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

16.(本小題滿(mǎn)分12分)若不等式11??

n?1n?2?1a對(duì)一切正整數(shù)n都成立，求正?3n?12411??a1a2?17?.an4

整數(shù)a的最大值，并證明結(jié)論．25

17.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：

．