第一篇：高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)經(jīng)驗(yàn)總結(jié)A

高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)經(jīng)驗(yàn)總結(jié)

本人本科時(shí)候讀的是外語專業(yè)，沒有學(xué)過高等數(shù)學(xué)這門課程。在決定考研，尤其是想考經(jīng)濟(jì)類的研究生后，沒有辦法只能從零開始學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)和線性代數(shù)。對于大一入學(xué)的時(shí)候讀工科的同學(xué)來說，即使大一的時(shí)候沒有努力去學(xué)的話，在這個(gè)時(shí)候自學(xué)高等數(shù)學(xué)的知識(shí)也不是什么難事，但是對我這個(gè)從來沒有學(xué)過高等數(shù)學(xué)的門外漢來說，這其中的苦頭可想而知了。第一年考研的時(shí)候就是折在了數(shù)學(xué)上，考了66分，連幾個(gè)的成績都沒有達(dá)到；第二年的時(shí)候經(jīng)過整整一年的努力分?jǐn)?shù)終于提高到了126分，不敢說是不錯(cuò)的成績，對于一個(gè)從來沒有學(xué)過高等數(shù)學(xué)的我來說這已經(jīng)夠了。雖然最后也沒有進(jìn)入自己理想的學(xué)校，畢竟還是調(diào)劑回了我的母校哈爾濱工業(yè)大學(xué)，讀了一個(gè)一般人都不怎么知道的專業(yè)—政治經(jīng)濟(jì)學(xué)。與很多有過相同考研經(jīng)驗(yàn)的同學(xué)相比，我是幸運(yùn)的，我還可以調(diào)劑回自己的母校。在這里要感謝所有曾經(jīng)幫助過我的同學(xué)。

有人講數(shù)學(xué)只要思路通了就可以了，不用費(fèi)太多的功夫去做題。從我的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)來看，這樣的觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的或者說對于沒有數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的同學(xué)來講是坑人的。數(shù)學(xué)不僅僅需要悟性，更多還是需要扎實(shí)的基本功。很多工科專業(yè)的同學(xué)，在他們大一的時(shí)候就已經(jīng)開始學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，并且整個(gè)過程下來做了至少也得有2000道題了吧，這樣的基礎(chǔ)對于我這種從來沒有接觸過高等數(shù)學(xué)的人來說是沒有辦法與之相比的。要想超過他們只能先打到他們的訓(xùn)練的標(biāo)準(zhǔn)才可以。有了相應(yīng)的計(jì)算的基礎(chǔ)、計(jì)算的能力后就要解決解題思路的問題。這種能力建立在第一種能力的基礎(chǔ)之上，試想連基本的計(jì)算都搞不定的，既使有再好的思路，再好的想法也是鏡中花、水中月，都不可能將這種想法轉(zhuǎn)變?yōu)榫砻嫔蠈?shí)實(shí)在在的分?jǐn)?shù)。練習(xí)的重要性在這里就是不言而喻了，希望每一名有志于通過研究生入學(xué)考試?yán)^續(xù)學(xué)習(xí)的同學(xué)一定要將這問題重視起來。

哈爾濱有個(gè)鴻鵬考研輔導(dǎo)學(xué)校，這里的主講老師卜長江老師全國線性代數(shù)學(xué)會(huì)常務(wù)理事，是一位很有思想、很有見地的一位老師；聽他的講授高等數(shù)學(xué)是一種沒學(xué)的享受。他提出了一種FIC的學(xué)習(xí)方法。所謂FIC就是基礎(chǔ)、思想、分類這幾個(gè)英文單詞的首字母?；A(chǔ)包括教材上的各種數(shù)學(xué)原理，這也是整個(gè)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。思想就是針對不同類型的問題應(yīng)用不同的解題方法，全部數(shù)學(xué)問題歸納起來一共就那么幾個(gè)類型，大家可以到網(wǎng)上找來看看。為什么在這里還要強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)的作用呢？因?yàn)樵诖T士研究生入學(xué)考試的試卷當(dāng)中，基本難度的實(shí)體大概占到了70%，中等難度的問題占到了20%，只有10%的問題是難題。試想大家在學(xué)習(xí)的過程中將全部的基本問題都解決了穩(wěn)拿70%的分?jǐn)?shù)就是105分了，中等問題如果再能拿到10%左右的話就可以拿到120分了。數(shù)學(xué)120分的話對于考一般的院校來說已經(jīng)夠用了，但是各位如果有志于全國一流的大學(xué)去讀的話，恐怕這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)就要提高到135分了。

市面上考研的輔導(dǎo)教材可謂是多如牛毛，浩如煙海。在我的復(fù)習(xí)過程中我主要是李永樂老師編寫的那本數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全書為中心展開的，如果你能把這本書做5編以上，正確率達(dá)到90%以上，可以說考任何的地方都沒有問題了。在復(fù)習(xí)的時(shí)候偷了個(gè)懶這本書只做了一遍，然后一直在做考研班的復(fù)習(xí)資料。教材上面的經(jīng)典的例題一定要會(huì)算。我記得我在復(fù)

習(xí)的時(shí)候遇到一個(gè)概率積分的問題，這道題在2010年的研究生入學(xué)考試中就考了，這個(gè)就是書上的經(jīng)典例題的一個(gè)變形，對于書上的這些東西不但要熟記，還要熟練的計(jì)算才行。鴻鵬考研班的復(fù)習(xí)資料可謂都是精品吧，整個(gè)高等數(shù)學(xué)的題不多，但是涵蓋了全部高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容?？佳邪嗟膹?fù)習(xí)資料我大概做了有3邊吧，這個(gè)時(shí)候就差不多要10月底了，這個(gè)時(shí)候開始做400題，這套資料也是李永樂老師編寫的，老師說這套資料的難度不低。剛剛開始做的時(shí)候備受打擊，1天都做不完1套題。后來隨著對有些問題理解的加深，做題的熟讀上來了，熟練的程度提高了，感覺效果還不錯(cuò)。這套題的平均分?jǐn)?shù)我一般維持在110左右。我復(fù)習(xí)的時(shí)候容易分心，經(jīng)常出現(xiàn)溜號(hào)的現(xiàn)象，希望同學(xué)們復(fù)習(xí)的時(shí)候不要像我一樣。

在完成了400題之后就進(jìn)入了沖刺階段，這個(gè)時(shí)候要我報(bào)的數(shù)學(xué)考研沖刺班開班了，我以每天2套題的速度花了5天的時(shí)間將全部的題目完成了。感覺這個(gè)收獲還是非常大，他讓我找到了一種考場的狀態(tài)。在考前的1個(gè)月左右的時(shí)間內(nèi)，我基本上就是真題了，將歷年的真題做了2邊，平均分?jǐn)?shù)維持在了130左右，這樣和我最后在考試中取得的成績來看上下浮動(dòng)沒有超過5分。所以選擇一本好的資料、把真題做好還是非常必要。

關(guān)于數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)資料。推薦同濟(jì)大學(xué)出版社出版的高等數(shù)學(xué)教材，線性代數(shù)的話大家可以找來李永樂老師在考研班上講的視頻來看看，就用本科的時(shí)候上課用的教材就可以了。我的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)用的我們學(xué)校的本科教材，這本教材可以說是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的經(jīng)典教材，我將整本教材的課后題做了大概有4邊的樣子。再就是復(fù)習(xí)全書了。上面這些教材選擇那一本那一套都一樣。因?yàn)檫@些教材講的都是基礎(chǔ)知識(shí)，認(rèn)真看、認(rèn)真理解看那一本的差別都不大。重點(diǎn)推薦考研數(shù)學(xué)的必讀書目高等教育出版社出版的高等數(shù)學(xué)分析，數(shù)的名字我記不太清除了，每年9月份都會(huì)出版。內(nèi)容是針對歷年研究生入學(xué)考試試題進(jìn)行分析，難點(diǎn)解析，上面有很多經(jīng)典的例題。所有的考題都是圍繞他的中心思想來出題的，希望大家重視這個(gè)問題。

關(guān)于復(fù)習(xí)是的心態(tài)。在考研的過程中，我們每一位打算參加這個(gè)考試的同學(xué)從開始準(zhǔn)備考試的那一刻起，壓力就已經(jīng)開始了。面對同樣的壓力有的同學(xué)泰然處之、有的同學(xué)壓力倍至難以專心學(xué)習(xí)。與一般同學(xué)相比，因?yàn)槲覜]有學(xué)習(xí)過數(shù)學(xué)，所以我面臨的壓力可想而知，尤其是當(dāng)看到周圍的同學(xué)都可以很快的完成數(shù)學(xué)，可以有時(shí)間忙其他的東西，這個(gè)時(shí)候更是讓人心慌的。開始的時(shí)候總覺得自己不行，但是當(dāng)仔細(xì)分析了利弊之后，你會(huì)發(fā)現(xiàn)每個(gè)人的情況都是不一樣的，別人的學(xué)習(xí)方法不一定適合你。要找到適合自己的復(fù)習(xí)方法、把握好自己學(xué)習(xí)的節(jié)奏就非常重要了。別人怎么做只可以參考，但是不能照做。在分析完這些因素之后，我堅(jiān)定信心，每天按照自己的復(fù)習(xí)計(jì)劃展開復(fù)習(xí)，不管別人怎么做，也不看別人做什么只關(guān)注每天完成了多少東西，還有多少東西沒有完成，沒有完成的原因是什么，堅(jiān)持每天給自己留出一些思考的時(shí)間?！拔崛杖∥嵘怼泵刻於家词∽约簩W(xué)習(xí)中、生活中、思想中存在的問題，加以總結(jié)，然后改正自身存在的不足。

關(guān)于鍛煉身體?？佳心菚?huì)兒總覺得自己身體還行不錯(cuò)，不用去鍛煉?，F(xiàn)在讀研了發(fā)現(xiàn)自己患上了脂肪肝。無論做什么事情都不要放棄鍛煉身體。鍛煉可以是踢球、打羽毛球、乒乓球等等這些，也可以是跑步。我現(xiàn)在選擇了跑步這項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，每天早上5點(diǎn)半起床，然

后到學(xué)校的體育場，圍著400米的跑道跑10圈，剛好半個(gè)小時(shí)。我選擇這樣的鍛煉方法，一方面可以杜絕睡懶覺的壞毛病，另一方面這樣的鍛煉方法效率比較高。時(shí)間寶貴，試想如果是去打球或者踢球什么的，估計(jì)沒有一個(gè)下午是不夠的。所以這樣在每天做事情效率低的時(shí)候來鍛煉身體，時(shí)間是比較劃算。建議大家也選一種適合自己的鍛煉方式，在考上自己理想的學(xué)校的同時(shí)，也有一個(gè)健康的身體。

最后送大家諸葛亮的《誡子書》“君子之行，靜以修身，儉以養(yǎng)德。非淡泊無以明志，非寧靜無以致遠(yuǎn)。夫才須學(xué)業(yè)，學(xué)須靜也；非學(xué)無以廣才，非志無以成學(xué)。慆慢則不能研精，險(xiǎn)躁則不能理性。年與時(shí)馳，意與歲去，遂成枯落，悲守窮廬，將復(fù)何及！”以此與眾君共勉。

第二篇：高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法及經(jīng)驗(yàn)總結(jié)

高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法及經(jīng)驗(yàn)總結(jié)

大學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)要掌握合適的學(xué)習(xí)方法，因人而異，這里我只是結(jié)合我自己的一些學(xué)習(xí)方法和經(jīng)驗(yàn)供大家參考。

高等數(shù)學(xué)作為高等教育的一門基礎(chǔ)學(xué)科，幾乎對所有的專業(yè)的學(xué)習(xí)都有幫助，對于我們飛行器動(dòng)力工程專業(yè)，高等數(shù)學(xué)是聯(lián)系物理，力學(xué)，以及貫穿于專業(yè)基礎(chǔ)課的一把刃劍和紐帶，對于大一這一年的學(xué)習(xí)尤為重要，只有打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，對于之后學(xué)習(xí)其他的學(xué)科，包括選修課中的工程數(shù)學(xué)的分支（復(fù)變函數(shù)，數(shù)理方程等），都有很大的幫助。

首先了解高等數(shù)學(xué)的組織結(jié)構(gòu)，大一上學(xué)期主要學(xué)習(xí)極限，函數(shù)，以及微分和積分，（空間幾何在下學(xué)期學(xué)），在期末考試中大多數(shù)都集中在積分和微分這部分。極限是積分和微分的基礎(chǔ)，重要的概念和思想在學(xué)習(xí)極限這部分就會(huì)體現(xiàn)出來，有些問題運(yùn)用基本定義就會(huì)迎刃而解，在掌握了基本概念和常用的解題方法后，學(xué)習(xí)起來就會(huì)很輕松；下學(xué)期比較重要，相對于上學(xué)期的內(nèi)容也較豐富和復(fù)雜；對于偏導(dǎo)數(shù)和曲線積分、曲面積分，需要扎實(shí)的微積分思想，此外就是級(jí)數(shù)和微分方程；總之，高等數(shù)學(xué)可以說是積分，微分占據(jù)主要地位。

（一）做題的方法和技巧

學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的過程中必不可少的就是學(xué)習(xí)方法的及時(shí)總結(jié)，理想的情況下就是保證每個(gè)人手中都有一本課外的教輔書（個(gè)人推薦吉米多維奇），在平時(shí)做作業(yè)和做課外題目的過程中，自己會(huì)做的題目也要做到自己的思想和答案的思想進(jìn)行比較，互相補(bǔ)充，遇到好的解題方法要記下來，要記的內(nèi)容是題目，方法和自己的感受；遇到不明白的題目時(shí)不要浮躁，也不要著急先看答案，首先進(jìn)行冷靜的思考，要知道考的內(nèi)容是什么，要用到什么知識(shí)點(diǎn)，然后一步一步看答案，這里我的意思是先看答案的第一步求解的問題是什么，然后停止看答案，想一想答案的這一步對你是否有啟示作用，接下來自己試一試能不能繼續(xù)獨(dú)立往下做，如果不行的話繼續(xù)往下看答案，直到做出來為止，做完后一定做好筆記。

（二）考試后的反思

每次的期中考試和期末考試結(jié)束后，應(yīng)該知道自己在考場上不足的地方在哪里，需要提高的地方在哪里，這里不僅僅是對知識(shí)的掌握程度，更重要的還有考場技巧和心態(tài)的把握；并做好相應(yīng)總結(jié)。期中考試結(jié)束后將卷子上的錯(cuò)題改正過來，將錯(cuò)題記到筆記上（包括解題思想和自己的感受），避免犯同樣的錯(cuò)誤；期末考試卷子不會(huì)發(fā)下來，但是考完后也要反思自己的不足，要記住學(xué)習(xí)不是為了應(yīng)付考試，而是為將來學(xué)習(xí)專業(yè)基礎(chǔ)課以及專業(yè)課。

（三）心態(tài)的養(yǎng)成

作為學(xué)習(xí)理工科的學(xué)生，我們應(yīng)具備的素質(zhì)是切勿浮躁，抵得住寂寞，無論做什么題目，一定做好冷靜的分析后在做，避免走彎路，并注意平時(shí)勤思考習(xí)慣的養(yǎng)成，注意多種方法的比較以及發(fā)散思維的培養(yǎng)。以上我說的在做題是注意將自己的思想和答案的思想做比較就是培養(yǎng)發(fā)散思維的一方面，當(dāng)題目做到一定的數(shù)量時(shí)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)得心應(yīng)手，習(xí)慣成自然，也不學(xué)習(xí)是成就事業(yè)的基石

知不覺做到的舉一反三，這不僅僅是對高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，其他科目也是一樣。總之，做好了以上三大點(diǎn)，我想學(xué)好高等數(shù)學(xué)不會(huì)成問題了。

第三篇：高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

高等數(shù)學(xué)2考試知識(shí)點(diǎn)

總題型：填空（10空），選擇題（5個(gè)），計(jì)算題（A-9,B-8），證明題（2個(gè)）

第8章：填空選擇題型：向量的數(shù)量積和向量積的計(jì)算，運(yùn)算性質(zhì)，兩向量平行與垂直的充分必要條件即向量積為零向量和數(shù)量積為零，兩向量數(shù)量積的模表示以這兩向量為鄰邊的平行四邊形的面積，點(diǎn)到平面的距離公式，旋轉(zhuǎn)曲面方程的特點(diǎn)即出現(xiàn)兩個(gè)變量的平方和且其對應(yīng)系數(shù)相等，球面的一般方程；

計(jì)算題型：根據(jù)直線和平面的關(guān)系求平面方程或直線方程；

第9章：填空選擇題型：多元函數(shù)的定義域，簡單函數(shù)的二重極限計(jì)算，多元函數(shù)的極限、連續(xù)和偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，多元函數(shù)取極值的必要條件；

計(jì)算題型：偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，空間曲線的切線法平面，空間曲面的切平面法線，函數(shù)在已知點(diǎn)沿已知向量方向的方向?qū)?shù)，多元函數(shù)的極值和條件極值；

證明題型：證明與偏導(dǎo)數(shù)有關(guān)的等式；

第10章：填空選擇題型：重積分的性質(zhì)，計(jì)算被積函數(shù)為常數(shù)且積分區(qū)域比較特殊的二重積分或三重積分，二次積分交換積分次序；

計(jì)算題型：二重積分計(jì)算，極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算，三重積分的計(jì)算（球面坐標(biāo)結(jié)合高斯公式），曲頂柱體的體積；

第11章：填空選擇題型：第一第二類曲線曲面積分的性質(zhì)，計(jì)算被積函數(shù)為常數(shù)且積分曲線或積分曲面比較特殊的第一類曲線積分或第一類曲面積分；

計(jì)算題型：曲線型構(gòu)建的質(zhì)量（已知線密度，且曲線為圓?。瑢ψ鴺?biāo)的曲線積分使用格林公式，高斯公式（積分區(qū)域?yàn)榍虻娜胤e分），全微分求積（求原函數(shù)）

第11章：填空選擇題型：級(jí)數(shù)收斂的定義，收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)，簡單級(jí)數(shù)的絕對收斂和條件收斂以及發(fā)散的判定，冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域，冪級(jí)數(shù)的間接展開(利用指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù))，傅里葉級(jí)數(shù)的收斂定理，記住奇偶函數(shù)在對稱區(qū)間的傅里葉級(jí)數(shù)展開為正弦與余弦級(jí)數(shù)；

計(jì)算題型：正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法，一般的級(jí)數(shù)判定其絕對收斂還是條件收斂，冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)，冪級(jí)數(shù)的展開（分式展開，主要利用1/(1-x)的展開式，要注意收斂的范圍）； 證明題型：利用296頁的Weierstrass判別法證明函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是一致收斂的；

第四篇：高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教程

高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)》教程

第一講函數(shù)、連續(xù)與極限

一、理論要求 1.函數(shù)概念與性質(zhì) 2.極限

3.連續(xù)

二、題型與解法 A.極限的求法

函數(shù)的基本性質(zhì)（單調(diào)、有界、奇偶、周期）幾類常見函數(shù)（復(fù)合、分段、反、隱、初等函數(shù)）極限存在性與左右極限之間的關(guān)系 夾逼定理和單調(diào)有界定理

會(huì)用等價(jià)無窮小和羅必達(dá)法則求極限

函數(shù)連續(xù)（左、右連續(xù)）與間斷

理解并會(huì)應(yīng)用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最值、有界、介值）

（1）用定義求

（2）代入法（對連續(xù)函數(shù)，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）變量替換法（4）兩個(gè)重要極限法

（5）用夾逼定理和單調(diào)有界定理求（6）等價(jià)無窮小量替換法（7）洛必達(dá)法則與Taylor級(jí)數(shù)法

（8）其他（微積分性質(zhì)，數(shù)列與級(jí)數(shù)的性質(zhì)）1.（等價(jià)小量與洛必達(dá)）2.已知 解：

（洛必達(dá)）3.（重要極限）4.已知a、b為正常數(shù)，解：令（變量替換）5.解：令（變量替換）6.設(shè)連續(xù)，求

（洛必達(dá)與微積分性質(zhì)）7.已知在x=0連續(xù)，求a 解：令

（連續(xù)性的概念）

三、補(bǔ)充習(xí)題（作業(yè)）1.（洛必達(dá)）

2.（洛必達(dá)或Taylor）3.（洛必達(dá)與微積分性質(zhì)）

第二講導(dǎo)數(shù)、微分及其應(yīng)用

一、理論要求 1.導(dǎo)數(shù)與微分

2.微分中值定理 3.應(yīng)用

二、題型與解法 A.導(dǎo)數(shù)微分的計(jì)算

B.曲線切法線問題 C.導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問題

D.冪級(jí)數(shù)展開問題 導(dǎo)數(shù)與微分的概念、幾何意義、物理意義

會(huì)求導(dǎo)（基本公式、四則、復(fù)合、高階、隱、反、參數(shù)方程求導(dǎo)）會(huì)求平面曲線的切線與法線方程

理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理 會(huì)用定理證明相關(guān)問題

會(huì)用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性與極最值、凹凸性、漸進(jìn)線問題，能畫簡圖 會(huì)計(jì)算曲率（半徑）

基本公式、四則、復(fù)合、高階、隱函數(shù)、參數(shù)方程求導(dǎo) 1.決定，求 2.決定，求

解：兩邊微分得x=0時(shí)，將x=0代入等式得y=1 3.決定，則

4.求對數(shù)螺線處切線的直角坐標(biāo)方程。

解：

5.f(x)為周期為5的連續(xù)函數(shù)，它在x=1可導(dǎo)，在x=0的某鄰域內(nèi)滿足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在（6，f(6)）處的切線方程。解：需求，等式取x->0的極限有：f(1)=0

6.已知，求點(diǎn)的性質(zhì)。解：令，故為極小值點(diǎn)。

7.，求單調(diào)區(qū)間與極值、凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)、漸進(jìn)線。解：定義域

8.求函數(shù)的單調(diào)性與極值、漸進(jìn)線。解：，9.或： 10.求 解： =

E.不等式的證明 11.設(shè)，證：1）令

2）令

F.中值定理問題 12.設(shè)函數(shù)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，求證：在（-1，1）上存在一點(diǎn) 證： 其中

將x=1，x=-1代入有 兩式相減： 13.，求證：

證： 令 令

（關(guān)鍵：構(gòu)造函數(shù)）

三、補(bǔ)充習(xí)題（作業(yè)）1.2.曲線 3.4.證明x>0時(shí)

證：令

第三講不定積分與定積分

一、理論要求 1.不定積分 2.定積分 掌握不定積分的概念、性質(zhì)（線性、與微分的關(guān)系）會(huì)求不定積分（基本公式、線性、湊微分、換元技巧、分部）理解定積分的概念與性質(zhì)

理解變上限定積分是其上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)求法 會(huì)求定積分、廣義積分

會(huì)用定積分求幾何問題（長、面、體）

會(huì)用定積分求物理問題（功、引力、壓力）及函數(shù)平均值

二、題型與解法 A.積分計(jì)算 1.2.3.設(shè)，求 解： 4.B.積分性質(zhì) 5.連續(xù)，,且，求并討論在的連續(xù)性。解：

6.C.積分的應(yīng)用 7.設(shè)在[0，1]連續(xù)，在（0，1）上，且，又與x=1,y=0所圍面積S=2。求，且a=?時(shí)S繞x軸旋轉(zhuǎn)體積最小。解：

8.曲線，過原點(diǎn)作曲線的切線，求曲線、切線與x軸所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)的表面積。

解：切線繞x軸旋轉(zhuǎn)的表面積為

曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)的表面積為

總表面積為

三、補(bǔ)充習(xí)題（作業(yè)）1.2.3.第四講向量代數(shù)、多元函數(shù)微分與空間解析幾何

一、理論要求 1.向量代數(shù) 理解向量的概念（單位向量、方向余弦、模）了解兩個(gè)向量平行、垂直的條件 向量計(jì)算的幾何意義與坐標(biāo)表示

2.多元函數(shù)微分 理解二元函數(shù)的幾何意義、連續(xù)、極限概念，閉域性質(zhì) 理解偏導(dǎo)數(shù)、全微分概念 能熟練求偏導(dǎo)數(shù)、全微分 熟練掌握復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)法 3.多元微分應(yīng)用 4.空間解析幾何 理解多元函數(shù)極值的求法，會(huì)用Lagrange乘數(shù)法求極值 掌握曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線的求法 會(huì)求平面、直線方程與點(diǎn)線距離、點(diǎn)面距離

二、題型與解法

A.求偏導(dǎo)、全微分 1.有二階連續(xù)偏導(dǎo)，滿足，求

解： 2.3.，求

B.空間幾何問題 4.求上任意點(diǎn)的切平面與三個(gè)坐標(biāo)軸的截距之和。解：

5.曲面在點(diǎn)處的法線方程。

C.極值問題

三、補(bǔ)充習(xí)題（作業(yè)）1.2.3.6.設(shè)是由確定的函數(shù)，求的極值點(diǎn)與極值。

第五講多元函數(shù)的積分

一、理論要求 1.重積分 2.曲線積分 熟悉二、三重積分的計(jì)算方法（直角、極、柱、球）

會(huì)用重積分解決簡單幾何物理問題（體積、曲面面積、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）理解兩類曲線積分的概念、性質(zhì)、關(guān)系，掌握兩類曲線積分的計(jì)算方法

熟悉Green公式，會(huì)用平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件

3.曲面積分 理解兩類曲面積分的概念（質(zhì)量、通量）、關(guān)系 熟悉Gauss與Stokes公式，會(huì)計(jì)算兩類曲面積分

二、題型與解法 A.重積分計(jì)算 1.為平面曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周與z=8的圍域。解：

2.為與圍域。（3.，求

(49/20)

B.曲線、曲面積分 4.解：令

5.,。

解：取包含(0,0)的正向，6.對空間x>0內(nèi)任意光滑有向閉曲面S，且在x>0有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)，,求。解：

第六講常微分方程

一、理論要求 1.一階方程 2.高階方程 3.二階線性常系數(shù) 熟練掌握可分離變量、齊次、一階線性、伯努利方程求法 會(huì)求(齊次)(非齊次)(非齊次)

二、題型與解法 A.微分方程求解 1.求通解。（2.利用代換化簡并求通解。（）

3.設(shè)是上凸連續(xù)曲線，處曲率為，且過處切線方程為y=x+1，求及其極值。解：

三、補(bǔ)充習(xí)題（作業(yè)）

1.已知函數(shù)在任意點(diǎn)處的增量。（）2.求的通解。（）3.求的通解。（）4.求的特解。（第七講無窮級(jí)數(shù)

一、理論要求 1.收斂性判別 級(jí)數(shù)斂散性質(zhì)與必要條件

常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、幾何級(jí)數(shù)、p級(jí)數(shù)斂散條件 正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較、比值、根式判別法 交錯(cuò)級(jí)數(shù)判別法 2.冪級(jí)數(shù) 冪級(jí)數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間與收斂域的求法

冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間的基本性質(zhì)（和函數(shù)連續(xù)、逐項(xiàng)微積分）Taylor與Maclaulin展開

3.Fourier級(jí)數(shù) 了解Fourier級(jí)數(shù)概念與Dirichlet收斂定理 會(huì)求的Fourier級(jí)數(shù)與正余弦級(jí)數(shù)

第八講線性代數(shù)

一、理論要求 1.行列式 2.矩陣 會(huì)用按行（列）展開計(jì)算行列式

幾種矩陣（單位、數(shù)量、對角、三角、對稱、反對稱、逆、伴隨）矩陣加減、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置，方陣的冪、方陣乘積的行列式 矩陣可逆的充要條件，會(huì)用伴隨矩陣求逆 矩陣初等變換、初等矩陣、矩陣等價(jià)

用初等變換求矩陣的秩與逆

理解并會(huì)計(jì)算矩陣的特征值與特征向量

理解相似矩陣的概念、性質(zhì)及矩陣對角化的沖要條件 掌握將矩陣化為相似對角矩陣的方法 掌握實(shí)對稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)

3.向量 理解n維向量、向量的線性組合與線性表示

掌握線性相關(guān)、線性無關(guān)的判別

理解并向量組的極大線性無關(guān)組和向量組的秩 了解基變換與坐標(biāo)變換公式、過渡矩陣、施密特方法 了解規(guī)范正交基、正交矩陣的概念與性質(zhì)

4.線性方程組 理解齊次線性方程組有非零解與非齊次線性方程組有解條件 理解齊次、非齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系及通解

掌握用初等行變換求解線性方程組的方法

5.二次型 二次型及其矩陣表示，合同矩陣與合同變換 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形、規(guī)范形及慣性定理

掌握用正交變換、配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法

了解二次型的對應(yīng)矩陣的正定性及其判別法

第九講概率統(tǒng)計(jì)初步

一、理論要求 1.隨機(jī)事件與概率 了解樣本空間（基本事件空間）的概念，理解隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算

會(huì)計(jì)算古典型概率與幾何型概率

掌握概率的加減、乘、全概率與貝葉斯公式

2.隨機(jī)變量與分布 理解隨機(jī)變量與分布的概念 3.二維隨機(jī)變量

4.數(shù)字特征 5.大數(shù)定理 6.數(shù)理統(tǒng)計(jì)概念

7.參數(shù)估計(jì)

8.假設(shè)檢驗(yàn)

第十講總結(jié)

1.極限求解

2.導(dǎo)數(shù)與微分

3.一元函數(shù)積分 理解分布函數(shù)、離散型隨機(jī)變量、連續(xù)型變量的概率密度

掌握0-

1、二項(xiàng)、超幾何、泊松、均勻、正態(tài)、指數(shù)分布，會(huì)求分布函數(shù)

理解二維離散、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布、邊緣分布和條件分布 理解隨機(jī)變量的獨(dú)立性及不相關(guān)概念

掌握二維均勻分布、了解二維正態(tài)分布的概率密度 會(huì)求兩個(gè)隨機(jī)變量簡單函數(shù)的分布

理解期望、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、矩、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的概念

掌握常用分布函數(shù)的數(shù)字特征，會(huì)求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

了解切比雪夫不等式，了解切比雪夫、伯努利、辛欽大數(shù)定理 了解隸莫弗-Laplace定理與列維-林德伯格定理

理解總體、簡單隨機(jī)樣本、統(tǒng)計(jì)量、樣本均值、樣本方差及樣本矩 了解分布、t分布、F分布的概念和性質(zhì)，了解分位數(shù)的概念 了解正態(tài)分布的常用抽樣分布

掌握矩估計(jì)與極大似然估計(jì)法

了解無偏性、有效性與一致性的概念，會(huì)驗(yàn)證估計(jì)量的無偏性 會(huì)求單個(gè)正態(tài)總體的均值和方差的置信區(qū)間

掌握假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟

了解單個(gè)及兩個(gè)正態(tài)總體的均值和方差的假設(shè)檢驗(yàn)

變量替換（作對數(shù)替換），洛必達(dá)法則，其他（重要極限，微積分性質(zhì)，級(jí)數(shù)，等價(jià)小量替換）1.(幾何級(jí)數(shù))2.(對數(shù)替換)3.4.5.6.，求

復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)、參數(shù)方程求導(dǎo) 1.2.，求dy/dx 3.決定函數(shù)，求dy 4.已知，驗(yàn)證 5.,求

1.求函數(shù)在區(qū)間上的最小值。（0）2.3.4.5.6.4.多元函數(shù)微分 1.，求

2.由給出，求證：

3.求在O(0,0),A(1,1),B(4,2)的梯度。4.，求 6.證明滿足 7.求內(nèi)的最值。

5.多元函數(shù)積分 1.求證： 2.3.4.改變積分次序 5.圍域。

6.常微分方程 1.求通解。2.求通解。3.求通解。4.求通解。5.求特解。6.求特解。

《高等數(shù)學(xué)考研題型分析》

填空題：極限（指數(shù)變換，羅必達(dá)）、求導(dǎo)（隱函數(shù)，切法線）、不定積分、二重積分、變上限定積分

選擇題：等價(jià)小量概念，導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，函數(shù)性質(zhì)，函數(shù)圖形，多元極限

計(jì)算題：中值定理或不等式，定積分幾何應(yīng)用，偏導(dǎo)數(shù)及幾何應(yīng)用，常微分方程及應(yīng)用

第五篇：高等數(shù)學(xué)上冊復(fù)習(xí)

第一章復(fù)習(xí)提要 第一節(jié) 映射與函數(shù)

1、注意幾個(gè)特殊函數(shù)：符號(hào)函數(shù)，取整函數(shù)，狄利克雷函數(shù)；這些函數(shù)通常用于判斷題中的反例

2、注意無界函數(shù)的概念

3、了解常用函數(shù)的圖像和基本性質(zhì)（特別是大家不太熟悉的反三角函數(shù)）第二節(jié) 數(shù)列的極限 會(huì)判斷數(shù)列的斂散性 第三節(jié) 函數(shù)的極限

1、函數(shù)極限存在的充要條件：左右極限存在并相等。（重要）

2、水平漸近線的概念，會(huì)求函數(shù)的水平漸近線（p37）。（重要）

3、了解函數(shù)極限的局部有界性、局部保號(hào)性。第四節(jié) 無窮大和無窮小

1、無窮小和函數(shù)極限的關(guān)系：limf(x)?A?f(x)?A??，其中?是無窮小。

x?x0x??

2、無窮大和無窮小是倒數(shù)關(guān)系

3、鉛直漸近線的概念（p41）, 會(huì)求函數(shù)的鉛直漸近線

4、無界與無窮大的關(guān)系：無窮大一定無界，反之不對。

5、極限為無窮大事實(shí)上意味著極限不存在，我們把它記作無窮大只是為了描述函數(shù)增大的這種狀態(tài) 第五節(jié) 極限的運(yùn)算法則

1、極限的四則運(yùn)算法則：兩個(gè)函數(shù)的極限都存在時(shí)才能用。以乘法為例比如f(x)?x,g(x)?但是limf(x)?g(x)?1

x?01。limf(x)?0，limg(x)??。xx?0x?02、會(huì)求有理分式函數(shù)

p(x)的極限（P47 例3-例7）（重要）q(x)x?x0時(shí):若分母q(x0)?0，則極限為函數(shù)值

0型極限，約去公因子 0 若只是分母為零，則極限為無窮大。（p75頁9（1））

x??時(shí)，用抓大頭法，分子、分母同時(shí)約去x的最高次冪。第六節(jié) 極限存在的準(zhǔn)則，兩個(gè)重要極限（重要）

1、利用夾逼準(zhǔn)則求極限： 例 p56也習(xí)題4（1）（2），及其中考試題（B）卷第三題（1）

2、利用兩個(gè)重要極限求其他的極限（p56習(xí)題2）

1sinxsinx?0；lim?1 3 注意下面幾個(gè)極限：limxsin?0；limx?0x??x?0xxx第七節(jié) 無窮小的比較（重要）

1、會(huì)比較兩個(gè)無窮之間的關(guān)系（高階、低階、同階，k 階還是等價(jià)窮小）若分子和分母同時(shí)為零，則為

x22、常見的等價(jià)無窮?。簊inx,tanx,arcsinx~x；1?cosx~

2ex?1~x；(1?x)~1nx n13、若?(x)為無窮小，則sin?(x)~?(x)，(1??(x))n~?(x)n，ln(1??(x))~?(x)，e?(x)?1~?(x)。

4、替換無窮小時(shí)必須是因式

x?0limtanx?sinxx3?limx?x3x?0x?0

應(yīng)該

x2xtanx?sinxtanx(1?cosx)1lim?lim?lim2?

2x?0x?0x?0x3x3x35、會(huì)利用等價(jià)無窮小計(jì)算極限（p60頁習(xí)題4）

第八節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)（重要）

1、函數(shù)在點(diǎn)x0連續(xù) ?limf(x)?f(x0)

x?x0?左連續(xù)limf(x)?f(x0)且

x?x?0f(x)?f(x0)

右連續(xù)lim?x?x02、會(huì)判斷間斷點(diǎn)及其類型。討論分段函數(shù)的連續(xù)性。

3、f(x)在點(diǎn)a連續(xù)?f(x)在點(diǎn)a連續(xù)；但反之不對。

第九節(jié) 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性

初等函數(shù)在其定義域上都是連續(xù)的，因而求某點(diǎn)處極限時(shí)可以直接把點(diǎn)代入求值。

4.注意三個(gè)例題：例6-例8（重要）

5、冪指函數(shù)u(x)v(x)求極限，可以利用等式u(x)v(x)=ev(x)lnu(x)來求。（重要）

6、若含有根式，則分子或者分母有理化（p75頁9（2））是求極限的一種重要方法。（重要）

7、利用分段函數(shù)的連續(xù)性求未知數(shù)的值（如p70頁 6）（重要）第十節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

最大值最小值定理、零點(diǎn)定理、介值定理的內(nèi)容 會(huì)零點(diǎn)定理證明方程根的存在性。（重要）補(bǔ)充說明 請熟悉函數(shù)e當(dāng)x?0?,x?0?,x??時(shí)的極限。第二章復(fù)習(xí)提要

1、導(dǎo)數(shù)的定義

（1）利用導(dǎo)數(shù)的定義求一些極限的值：例如P86頁第6題 例

1、設(shè)f(0)?0,f?(0)?k0,則limf(x)?____.x?0x1x例

2、設(shè)f?(x0)存在，則limf(x0?h)?f(x0)?________.（重要）

hh?0（2）利用左右導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的可導(dǎo)性：P125頁第7題

?sinx,x?0例

3、已知f(x)??，求f?(x)

?x,x?0注意分點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)應(yīng)該用定義來求。（重要）

（3）利用左右導(dǎo)數(shù)求未知數(shù)的值：P87頁第17題（重要）

?sinx,x?0例

4、設(shè)f(x)??為可導(dǎo)的，求a的值

ax,x?0?（4）利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線和法線方程（重要）

（5）可導(dǎo)?連續(xù)，反之不成立！

2、求導(dǎo)法則

（1）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)不要掉項(xiàng)；

（2）冪指函數(shù)u(x)v(x)?ev(x)lnu(x)轉(zhuǎn)化成指數(shù)來求導(dǎo)

3、高階導(dǎo)數(shù)

（1）一般的函數(shù)求到2階即可；（2）幾個(gè)初等函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)：

??(eax)(n)?aneax；y(n)?sin(x?n)；(cosx)(n)?cos(x?n)

22[ln(1?x)](n)?(?1)n?1(n?1)!(1?x)n，(n?1)!(1?x)n[ln(1?x)](n)?(?1)n?1(?1)n(n?1)!(1?x)n??

由上面的求導(dǎo)公式我們?nèi)菀淄瞥鱿铝星髮?dǎo)公式：

1(n)n!()?[ln(1?x)](n?1)?(?1)nn?11?x(1?x)1(n)n!()?[ln(1?x)](n?1)?n?11?x(1?x)(1(n)n!)?[ln(a?x)](n?1)?(?1)nn?1a?x(a?x)1(n)n!)?[ln(1?x)](n?1)?n?1a?x(a?x)((3)二項(xiàng)式定理

(uv)(n)(n?k)(k)??Ckuv nk?0n（4）間接法求高階導(dǎo)數(shù)：

1?x2例

5、求y?的n階導(dǎo)數(shù)：提示y??1?。

1?x1?x（5）注意下列函數(shù)的求導(dǎo)

例

6、求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：P103頁第3題（重要）（1）y?f(x2)；（2）y?ln[f(x)]

4、隱函數(shù)及參數(shù)方程求導(dǎo)（重要）（1）一般方法，兩邊對x球到后解出

dy。dx（2）會(huì)求二階導(dǎo)數(shù)

（3）對數(shù)求導(dǎo)法適用于冪指函數(shù)和連乘或連除的函數(shù)（4）注意參數(shù)方程二階導(dǎo)數(shù)的公式

dydyd()2()?tdydtdx。（重要）??dxdx2dtdxdxdt（5）相關(guān)變化率問題：

根據(jù)題意給出變量x和y之間的關(guān)系；

?

兩邊對t（或者是其他變量）求導(dǎo)

?

dydx和之間的關(guān)系，已知其中一個(gè)求另外一個(gè)。dtdt5、函數(shù)的微分

（1）微分與可導(dǎo)的關(guān)系：可微?可導(dǎo)且dy?f?(x)dx（2）利用微分的形式不變性求隱函數(shù)或顯函數(shù)的微分： 顯函數(shù)的例子見課本的例題；下面給出隱函數(shù)的例子 例

7、設(shè)ysinx?cos(x?y)?0,求dy。解: 利用一階微分形式不變性 , 有

d(ysinx)?d(cos(x?y))?0

sinxdy?ycosxdx?sin(x?y)(dx?dy)?0

dy?ycosx?sin(x?y)dx。

sin(x?y)?sinx（3）近似計(jì)算公式：注意x0的選取原則。(一般不會(huì)考)f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)

第三章：微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用復(fù)習(xí)提要 3.1 微分中值定理（重要）

羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理應(yīng)用： 證明等式，一般通過證明導(dǎo)數(shù)為零

證明不等式：若不等式中不含x，則取x作為輔助函數(shù)的自變量；若含有x，則取t作為輔助函數(shù)的自變量。（重要）

判斷方程的根（存在性用零點(diǎn)定理，唯一性或判斷根的個(gè)數(shù)用中值定理，有時(shí)還要結(jié)合單調(diào)性，見153也習(xí)題6）（重要）

利用輔助函數(shù)和中值定理證明等式（一個(gè)函數(shù)用拉格朗日，二個(gè)用柯西）例1 設(shè)函數(shù)f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(1)?0，證明至少存在一點(diǎn)??(0,1)使得f?(?)??2f(?)?。

證明：上述問題等價(jià)于?f?(?)?2f(?)?0。

令f(x)?x2f(x)，則f(x)在[0,1]上滿足羅爾定理?xiàng)l件，于是少存在一點(diǎn)??(0,1)使得

??(?)?2?f(?)??2f?(?)?0 即有?f?(?)?2f(?)?0。

（5）請熟悉132頁例1.3.2 洛必達(dá)法則（重要）

（1）(其他類型的未定式)最終轉(zhuǎn)化成0?型和型未定式 0?（2）每次用前需判斷

（3）結(jié)合等價(jià)無窮小效果更佳。3.3 泰勒公式

（1）一般方法：求各階導(dǎo)數(shù)代入公式即可；

（2）常見函數(shù)ex,ln(1?x)，sinx,cosx的麥克勞林公式 3.4 函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性（1）會(huì)用列表法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和凹凸區(qū)間（注意一般是閉區(qū)間），拐點(diǎn)。注意不要漏掉導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是單調(diào)區(qū)間的分點(diǎn)； 二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是拐點(diǎn)。（2）利用單調(diào)性證明不等式（重要）（3）利用單調(diào)性判斷方程的根（重要）3.5 極值和最值（重要）

（1）列表法求極值（極值可能點(diǎn)為駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)）（2）最值（找出極值可能點(diǎn)再與端點(diǎn)比較）

（3）對于時(shí)間問題，若極值點(diǎn)唯一，則也為最值點(diǎn)。3.6 函數(shù)圖形的描繪 注意漸近線 3.7 曲率

（1）弧微分公式

（2）曲率和曲率半徑的計(jì)算公式（重要）第四章復(fù)習(xí)提要

4.1 不定積分的概念和性質(zhì)

1、基本積分表

?

2、公式?f(x)dx?f(x)和?f?(x)dx?f(x)?C ??

3、注意如下問題：（填空、選擇、判斷）若e?x是f(x)的原函數(shù)，則?x2f(lnx)dx??若f(x)是e?x的原函數(shù)，則?12x?C 2f(lnx)1dx? ?C0lnx?C xx若f(x)的導(dǎo)數(shù)為sinx，則f(x)的一個(gè)原函數(shù)是（B）。A 1?sinx;B 1?sinx;C 1?cosx;D 1?cosx

4.2 換元積分法（重要）

1、第一換元法的原理：?g(x)dx

把被積函數(shù)g(x)湊成g(x)?f(?(x))??(x)的形式，因而這種方法也稱為湊微分法。

2、一些規(guī)律： ①?f(x)1xdx?2?f(x)(x)??2?f(x)dx

11?f(ax?b)(ax?b)dx?f(ax?b)d(ax?b)

a?a?②?f(ax?b)dx?1③?f(lnx)dx??f(lnx)(lnx)?dx??f(lnx)d(lnx)

x④?sin(2k?1)xcosnxdx??sin2kxcosnxsinxdx???(1?cos2x)cosnxdcosx ⑤?cos(2k?1)kxsinxdx??cosxsinxcosxdx??(1?sinx)sinnxdsinx n2kn2k注：?sin(2k?1)xdx和?cos(2k?1)xsinnxdx可以看做④和⑤的特殊情形。⑥?sin2kxcos2nxdx用公式sin2x?⑦?tanxsecn2k?2n2k1?cos2x1?cos2x和cos2x?降次。22n2kxdx??tanxsecxdtanx??tanx(1?tanx)dtanx

注?sec2kxdx可以看做⑦的特殊情形

⑧?csc2k?2xdx??csc2kxcsc2xdx???(1?cot2x)dcotx

⑨?tan(2k?1)xsecnxdx??tan2kxsecn?1xdsecx??(sec2x?1)secn?1xdsecx ⑩利用積化和差公式：

1cosAcosB?[cos(A?B)?cos(A?B)]

21sinAcosB?[sin(A?B)?sin(A?B)]

21cosAsinB?[sin(A?B)?sin(A?B)]

21sinAsinB?[cos(A?B)?cos(A?B)]

2第二換元法

被積函數(shù)中含有a2?x2，利用代換x?asint,t?(?被積函數(shù)中含有a2?x2，利用代換x?atant,t?(?kk??,)22,)22??被積函數(shù)中含有x2?a2，利用代換x?asect,t?(0,?)（一般要分情況討論）被積函數(shù)為分式，分母次數(shù)比分子次數(shù)高，到代換 利用下列積分公式：

⒃?tanxdx??ln|cosx|?C；⒄?cotxdx?ln|sinx|?C

⒅?secxdx?ln|secx?tanx|?C；⒆?cscxdx?ln|cscx?cotx|?C ⒇?dx1xdx1x?a?arctan?C；（21）?ln?x2?a22ax?a?C aa2?x2a（22）?xdx?arcsin?C；?ln(x?a2?x2)?C（23）?ax2?a2a2?x2dx（24）?dxx2?a2?lnx?x2?a2?C

4.3 分部積分法（重要）

1、分部積分公式：?udv?uv??vdu

2、u的選取原則：反?對?冪?指?三。

這個(gè)原則不是絕對的，如通常?exsinxdx??sinxdex。

3、如果遇到反三角函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的高次冪，通常先換元更容易算。如?(arcsinx)2dxarcsinx?t?t2dsint；

ln2x2?ttdxlnx?t?edt ?x2遇到根式ax?b，先令t?ax?b去根號(hào)。會(huì)做形如例7、8那樣具有典型特點(diǎn)的題目。

4.4 有理函數(shù)的積分（重要）

1、P(x)，先用多項(xiàng)式除法化成真分式； Q(x)P(x)的分解式： Q(x)

2、對Q(x)分解因式，根據(jù)分解結(jié)果用待定系數(shù)法確定x?1x?1AB??：應(yīng)設(shè)

(x?2)(x?3)(x?2)(x?3)x?2x?3 ?x?2x?2ABx?C：應(yīng)設(shè) ???(2x?1)(x2?x?1)(2x?1)(x2?x?1)(2x?1)(x2?x?1)x?2x?2ABx3?Cx2?Dx?E?(2x?1)(x2?x?1)2：應(yīng)設(shè)(2x?1)(x2?x?1)?(2x?1)?(x2?x?1)2

原則就是分子的次數(shù)總是要比分母低一次。

3、三角函數(shù)可以通過如下?lián)Q元法轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)的積分

xxx2tan1?tan22tan2；cosx?2；tanx?2 sinx?xxx1?tan21?tan21?tan2222x令tan?t，則三角函數(shù)就轉(zhuǎn)化成為有理函數(shù)

24.被積函數(shù)含有nax?b或nax?bcx?d，則令t?nax?b或t?nax?bcx?d 幾個(gè)典型題目 P207頁（42）?x?1dxdx，（43）?x?1?x2P211頁例7、8 x2?2x?3補(bǔ)充說明：這一章的內(nèi)容需要大家在掌握一定規(guī)律的前提下多做練習(xí)，方能取得比較好的效果 第五章：定積分

5.1 定積分的概念和性質(zhì)

1、定積分的定義：?f(x)dx?lim?f(?i)?xi

abni??02、定積分的幾何意義：曲邊梯形的面積

3、定積分的性質(zhì)：利用定積分的性質(zhì)判斷積分的取值范圍或比較兩個(gè)積分的大小（p235,10,13）(重要)5.2 微積分基本公式

1、y?f(x),a?x?b的積分上限的函數(shù)（重要）

?(x)??xaf(t)dt,a?x?b

及其導(dǎo)數(shù)：（如p243,5題）（1）??(x)?f(x)

d?(x)f(t)dt?f(?(x))??(x)?adxda（3）?f(t)dt??f(?(x))??(x)

dx?(x)d?(x)（4）?f(t)dt?f(?(x))??(x)?f(?(x))??(x)

dx?(x)

2、利用上面的公式計(jì)算極限、判斷函數(shù)單調(diào)性等： 相應(yīng)例題（p242,例7，8），相應(yīng)習(xí)題（p243-244:習(xí)題9，12，12，14）（重要）（2）

3、牛頓-萊布尼茨公式：函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的一個(gè)原函數(shù)，則

?baf(x)dx?F(b)?F(a)，記作[F(x)]a或F(x)bba

注意：分段函數(shù)(或者帶絕對值的函數(shù))的積分應(yīng)為分段積分的和：典型題目p244，習(xí)題10.5.3 定積分的換元法和分布積分法（重要）

1、第一換元公式：?f[?(x)]??(x)dt??f(t)dt

ab??

2、第二還原公式：?f(x)dx??f[?(t)]??(t)dt

ab??注意：一般來說應(yīng)用第一換元公式，我們一般不需要把新變量寫出來，因而也就

?cos?2不需要寫出新變量的積分限，如?cossinxdx??? 但是應(yīng)用第二換元?。

3??0公式，一般要寫出新變量及其積分限，如

202??3?a??asinta2?x2dx(a?0)?x???a2?2cos2tdt

003、分布積分公式：?u(x)dv(x)??u(x)v(x)?a??v(x)du(x)

baabb說明：無論是還原法還是分布積分法，定積分和不定積分的計(jì)算過程都是相似的。

4、利用下面的公式能幫助我們簡化計(jì)算：（重要）（1）偶倍寄零

?0?0（2）?2f(sinx)dx??2f(cosx)dx（3）?xf(sinx)dx?0??2??0f(sinx)dx（p248, 例6，p270, 10(6)）

（4）設(shè)f(x)是周期為T的連續(xù)函數(shù)：則

?a?Taf(x)dx??f(x)dx；?0Ta?nTaf(x)dx?n?f(x)dx(n?N).(p249，例7，p253，0T1(26))

5、形如例9這樣的積分。5.4 反常積分

1、無窮限的反常積分：設(shè)F(x)是f(x)的原函數(shù)，引入記號(hào)

F(??)?limF(x);F(??)?limF(x)

x???x???則

????a???f(x)dx?F(x)|?a??F(??)?F(a)；??f(x)dx?F(x)|?????F(??)?F(??).b??f(x)dx?F(x)|b????F(b)?F(??)；

??反常積分收斂意味著相應(yīng)的F(??),F(??)存在；特別的積分?F(??),F(??)同時(shí)存在。

????f(x)dx收斂必須注意：對于無窮限積分來說，偶倍寄零原則不在成立！

2、無界函數(shù)的反常積分（瑕積分）：設(shè)F(x)是f(x)的原函數(shù)，則 若b為瑕點(diǎn)，?f(x)dx ??F(x)?a?F(b?)?F(a)；

bab若a為瑕點(diǎn)，則?f(x)dx??F(x)?a?F(b)?F(a?)；

bab若a,b都為瑕點(diǎn)，?f(x)dx ??F(x)?a?F(b?)?F(a?)；

bab則c?(a,b)為瑕點(diǎn)，則?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx??F(x)?c。a??F(x)?caacbcbb反常積分收斂意味著相應(yīng)的F(a?),F(b?)存在；特別的積分?f(x)dx（c?(a,b)ab為瑕點(diǎn)）收斂必須F(c?),F(c?)同時(shí)存在。

說明：由上面的公式看出，反常積分與定積分的計(jì)算方法是一樣的。都是先求原函數(shù)然后代入兩個(gè)端點(diǎn)，只是對于非正常點(diǎn)（如?和瑕點(diǎn)）算的是函數(shù)的極限。

3、換元法也適用于反常積分

4、會(huì)利用下面的兩個(gè)重要反常積分來討論一些函數(shù)的收斂性（重要）

???ap?1???,dx???(a?0)1,p?1xp?p?1?(p?1)a?(b?a)1?qb,q?1dx?? 1?q?a(x?a)q????,q?1?練習(xí)：p260,2題；求積分?bdx的收斂性。

b(x?b)qa5、遇到形如?f(x)dx積分時(shí)，注意[a,b]是否含有瑕點(diǎn)。否則會(huì)得到錯(cuò)誤的結(jié)果：

adx。?1x第六章 定積分的應(yīng)用

6.2 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用

1、平面圖形的面積（直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)下）（重要）

2、體積（特別是旋轉(zhuǎn)體的體積）（重要）

3、三個(gè)弧長公式（重要）

6.3 定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用（做功、水壓力重要，引力了解）如?1