第一篇：第十章____重積分(高等數(shù)學(xué)教案)

高等數(shù)學(xué)教案

重積分

重積分

【教學(xué)目標(biāo)與要求】

1.理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)，知道二重積分的中值定理。2.掌握二重積分的（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）計(jì)算方法。

3.掌握計(jì)算三重積分的（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）計(jì)算方法。

4.會(huì)用重積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、體積、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力等）。

【教學(xué)重點(diǎn)】

1.二重積分的計(jì)算（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）；

2.三重積分的（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）計(jì)算。3.二、三重積分的幾何應(yīng)用及物理應(yīng)用。

【教學(xué)難點(diǎn)】

1.利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分； 2.利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分； 3.物理應(yīng)用中的引力問(wèn)題。

【教學(xué)課時(shí)分配】(10學(xué)時(shí))第1 次課

§１

第2 次課

§2

第3 次課

§3 第4 次課

§4

第5次課

習(xí)題課

【參考書(shū)】

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.《高等數(shù)學(xué)（下）》，第五版.高等教育出版社.[2] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.《高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選解》，第六版.高等教育出版社. [3] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.《高等數(shù)學(xué)習(xí)題全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社

高等數(shù)學(xué)教案

重積分

§10? 1 二重積分的概念與性質(zhì)

【回顧】定積分

設(shè)函數(shù)y?f(x)在區(qū)間[a? b]上非負(fù)、連續(xù)? 求直線x?a、x?b、y?0 及曲線y?f(x)所圍成的曲邊梯形的面積?

(1)分割：用分點(diǎn)a?x0?x1?x2? ? ? ??xn?1?xn ?b把區(qū)間[a? b]分成n個(gè)小區(qū)間?

[x0? x1]? [x1? x2]? [x2? x3]? ? ? ? ? [xn?1? xn ]? 記?xi?xi?xi?1(i?1? 2? ? ? ? ? n)?

(2)代替：任取??i?[xi?1? xi]? 以[xi?1? xi]為底的小曲邊梯形的面積可近似為

f(?i)?xi(i?1? 2? ? ? ? ? n)?

（3）作和：曲邊梯形面積A的近似值為

A??f(?)?x? iii?1nn(4)取極限：記??max{?x1? ?x2?? ? ?? ?xn }? 所以曲邊梯形面積的精確值為

A?lim??0?f(?)?x?

iii?1則

?baf(x)dx?A?lim?f(?i)?xi??0i?1n§10? 1 二重積分的概念與性質(zhì)

一、引例

1? 曲頂柱體的體積V 設(shè)有一立體? 它的底面是xOy面上的閉區(qū)域D? 其側(cè)面為母線平行于z軸的柱面? 其頂是曲面z?f(x? y)非負(fù)連續(xù)? 稱為曲頂柱體?

若立體的頂是平行于xoy面的平面。

體積=底面積?高

現(xiàn)在我們來(lái)討論如何計(jì)算曲頂柱體的體積?

（i）分割：用任意曲線網(wǎng)把D分成n個(gè)小區(qū)域 ：

?? 1? ?? 2? ? ? ? ? ?? n ?

分別以這些小閉區(qū)域的邊界曲線為準(zhǔn)線? 作母線平行于z軸的柱面? 這些柱面把原來(lái)的曲頂柱體分為n個(gè)細(xì)曲頂柱體? 高等數(shù)學(xué)教案

重積分

（ii）代替：在每個(gè)?? i中任取一點(diǎn)(? i ? ? i)? 以f(? i ? ? i)為高而底為?? i的平頂柱體的體積為

f(? i ? ? i)??i

(i?1? 2? ? ? ? ? n)?

（iii）近似和： 整個(gè)曲頂柱體體積V

V??f(?i,?i)??i?

i?1n分割得越細(xì), 則右端的近似值越接近于精確值V, 若分割得“無(wú)限細(xì)”, 則右端近似值會(huì)無(wú)限接近于精確值V.（iv）取極限： 記 ??max{?i的直徑},1?i?n

其中??i的直徑是指??i中相距最遠(yuǎn)的兩點(diǎn)的距離。則

V?lim?f(?i,?i)??i? 其中(?i,?i)???i

??0i?1n2?平面薄片的質(zhì)量?

當(dāng)平面薄板的質(zhì)量是均勻分布時(shí)，質(zhì)量 = 面密度×面積.若平面薄板的質(zhì)量不是均勻分布的.這時(shí), 薄板的質(zhì)量不能用上述公式算, 應(yīng)如何算該薄板的質(zhì)量M? 設(shè)有一平面薄片占有xOy面上的閉區(qū)域D? 它在點(diǎn)(x? y)處的面密度為?(x,y)? 這里?(x,y)非負(fù)連續(xù)? 現(xiàn)在要計(jì)算該薄片的質(zhì)量M?

（i）分割：用任意一組曲線網(wǎng)把D分成n個(gè)小區(qū)域：

?? 1? ?? 2? ? ? ? ? ?? n ?

（ii）代替：把各小塊的質(zhì)量近似地看作均勻薄片的質(zhì)量?

mi??(? i ? ? i)?? i ?

（iii）近似和： 各小塊質(zhì)量的和作為平面薄片的質(zhì)量的近似值?

M???(?i,?i)??i?

i?1n高等數(shù)學(xué)教案

重積分

將分割加細(xì)? 取極限? 得到平面薄片的質(zhì)量（iv）取極限：

記 ??max{?的直徑},i1?i?n

則

M?lim??(?i,?i)??i?

??0i?1n兩個(gè)問(wèn)題的共性：(1)解決問(wèn)題的步驟相同：

“分割, 代替,近似和,取極限”

(2)所求量的結(jié)構(gòu)式相同

曲頂柱體體積:

V?lim?f(?i,?i)??i

??0i?1n平面薄片的質(zhì)量:

M?lim??(?i,?i)??i

??0i?1n二、二重積分的定義及可積性

定義： 設(shè)f(x? y)是有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù)? 將閉區(qū)域D任意分成n個(gè)小閉區(qū)域

?? 1? ?? 2? ? ? ? ? ?? n ?

其中?? i表示第i個(gè)小區(qū)域? 也表示它的面積? 在每個(gè)?? i上任取一點(diǎn)(? i? ?i)? 作和

?f(?i,?i)??i?

i?1n如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值?趨于零時(shí)? 這和的極限總存在? 則稱此極限為函數(shù)f(x? y)在閉區(qū)域D上的二重積分? 記作

??f(x,y)d?? 即

D

lim?f(?i,?i)??i? ??f(x,y)d????0i?1Dnf(x? y)被積函數(shù)? f(x? y)d?被積表達(dá)式? d?面積元素? x? y積分變量? D積分區(qū)域? 積分和?

直角坐標(biāo)系中的面積元素?

如果在直角坐標(biāo)系中用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來(lái)劃分D? 那么除了包含邊界點(diǎn)的一些小閉區(qū)域外? 其余的小閉區(qū)域都是矩形閉區(qū)域? 設(shè)矩形閉區(qū)域??i的邊長(zhǎng)為?xi和?yi? 則??i??xi?yi? 因此在直角坐標(biāo)系中? 有時(shí)也把面積元素d? 記作dxdy? 而把二重積分記作 高等數(shù)學(xué)教案

重積分

??f(x,y)dxdy

D其中dxdy叫做直角坐標(biāo)系中的面積元素?

二重積分的幾何意義? 如果f(x? y)?0? 被積函數(shù)f(x? y)可解釋為曲頂柱體的在點(diǎn)(x? y)處的豎坐標(biāo)? 所以二重積分的幾何意義就是柱體的體積? 如果f(x? y)是負(fù)的? 柱體就在xOy 面的下方? 二重積分的絕對(duì)值仍等于柱體的體積? 但二重積分的值是負(fù)的?

說(shuō)明：當(dāng)函數(shù)f(x? y)在閉區(qū)域D上連續(xù)時(shí)? 則f(x? y)在D上的二重積分必存在。于是我們總假定函數(shù)f(x? y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，所以f(x? y)在D上的二重積分都是存在的。例1.利用二重積分定義計(jì)算：三.二重積分的性質(zhì)

設(shè)D為有界閉區(qū)域，以下涉及的積分均存在。性質(zhì)1 ??xydxdy，其中D?{(x,y)|0?x?1,0?y?1}。

D??[f(x,y)?g(x,y)]d????f(x,y)d????g(x,y)d??

DDD性質(zhì)2 設(shè)k為常數(shù)，則性質(zhì)3 ??kf(x,y)d??k??f(x,y)d?

DD??1?d????d??|D|，其中(|D|為D的面積)?

DD性質(zhì)4 設(shè)D?D1?D2，且D1,D2無(wú)公共內(nèi)點(diǎn)，則

??f(x,y)d????f(x,y)d????f(x,y)d??

DD1D2性質(zhì)5.若在D上? f(x? y)?g(x? y)? 則

??f(x,y)d????g(x,y)d??

DD特殊：（1）若在D上f(x,y)?0，則

??f(x,y)d??0

D

（2）|??f(x,y)d?|???|f(x,y)|d??

DD

這是因?yàn)?|f(x,y)|?f(x,y)?|f(x,y)|

性質(zhì)6 設(shè)M、m分別是f(x? y)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值? |D|為D的面積? 則

高等數(shù)學(xué)教案

重積分

m|D|???f(x,y)d??M|D|?

D

性質(zhì)7(二重積分的中值定理)設(shè)函數(shù)f(x? y)在閉區(qū)域D上連續(xù)? ? 為D的面積? 則在D上至少存在一點(diǎn)(?,?)?D，使

例2.比較下列積分的大小：??f(x,y)d??f(?,?)??

D??(x?y)d?，??(x?y)d?，DD23其中D?{(x,y)|(x?2)2?(y?1)2?2}

小結(jié)

1.二重積分的定義：

n?f(?,?)????f(x,y)d??lim?D?0iii?1i)，(d??dxdy2.二重積分的性質(zhì)（與定積分性質(zhì)相似）

教學(xué)方式及教學(xué)過(guò)程中應(yīng)注意的問(wèn)題

在教學(xué)過(guò)程中要注意二重積分的定義，性質(zhì)以及應(yīng)用，并且要與定積分的定義、性質(zhì)進(jìn)行比較，要結(jié)合實(shí)例，反復(fù)講解。

師生活動(dòng)設(shè)計(jì)

1.比較下列積分值的大小關(guān)系：I1?2x?y?1??|xy|dxdy，I22?|x|?|y|?1??|xy|dxdy，I3??1?1?1?1|xy|dxdy

22(sinx?cosy)d??2，其中D為0?x?1,0?y?1。??D2.證明：1?講課提綱、板書(shū)設(shè)計(jì)

作業(yè) P137: 4（1）（3），5（1）（4）

§10? 2 二重積分的計(jì)算法 高等數(shù)學(xué)教案

重積分

一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分

X??型區(qū)域?

D ?

?1(x)?y??2(x)? a?x?b ?

Y ??型區(qū)域? D ?

?1(x)?y??2(x)? c?y?d ?

混合型區(qū)域?

設(shè)f(x? y)?0?

D?{(x? y)| ?1(x)?y??2(x)? a?x?b}?

此時(shí)二重積分柱體的體積?

對(duì)于x0?[a? b]?

曲頂柱體在x?x0的截面面積為以區(qū)間[?1(x0)? ?2(x0)]為底、以曲線z?f(x0? y)為曲邊的曲邊梯形? 所以這截面的面積為

A(x0)??2(x0)10??f(x,y)d?在幾何上表示以曲面z?f(x? y)為頂? 以區(qū)域D為底的曲頂D??(x)1f(x0,y)dy?

根據(jù)平行截面面積為已知的立體體積的方法? 得曲頂柱體體積為

V?即

V?可記為

?aA(x)dx??a[??(x)b?2(x)a?1(x)bb?2(x)f(x,y)dy]dx?

??f(x,y)d???[?Dbf(x,y)dy]dx?

??f(x,y)d???adx??(x)D1?2(x)f(x,y)dy?

類似地? 如果區(qū)域D為Y ??型區(qū)域?

D ? ?1(x)?y??2(x)? c?y?d ?

則有

??f(x,y)d???dy?Dcd?2(y)?1(y)f(x,y)dx?

例1? 計(jì)算??xyd?? 其中D是由直線y?

1、x?2及y?x所圍成的閉區(qū)域?

D

解? 畫(huà)出區(qū)域D?

方法一?

可把D看成是X??型區(qū)域? 1?x?2? 1?y?x ? 于是

422y2x1xx1293?[?]??

?[x?]dx?(x?x)dxxyd??[xydy]dx11?12???1?124282?12x2D注? 積分還可以寫(xiě)成??xyd???dx?xydy??xdx?ydy?

D11112x2x高等數(shù)學(xué)教案

重積分

解法2? 也可把D看成是Y??型區(qū)域? 1?y?2? y?x?2 ? 于是

422y3x22y29??xyd???1[?yxydx]dy??1[y?2]ydy??1(2y?2)dy?[y?8]1?8? 222D

例2? 計(jì)算??yD1?x2?y2d?? 其中D是由直線y?

1、x??1及y?x所圍成的閉區(qū)域?

解

畫(huà)出區(qū)域D? 可把D看成是X??型區(qū)域? ?1?x?1? x?y?1? 于是

11[(1?x2?y2)2]1dx??11(|x|3?1)dx ??y1?x?yd??dxy1?x?ydyx????1?x3??13??1221122D31???(x3?1)dx??

302

也可D看成是Y??型區(qū)域：?1?y?1? ?1?x

??y1?x2?y2d???ydy?D?1D1y?11?x2?y2dx?

例3 計(jì)算

2xyd?? 其中D是由直線y?x?2及拋物線y?x所圍成的閉區(qū)域?

??

解 積分區(qū)域可以表示為D?D1+D2?

其中D, ?x?y?x? D2: 1?x?4, 2?y?x? 于是 1: 0?x?1

??xyd???dx?D021x?xxydy??dx?14xx?2xydy?

積分區(qū)域也可以表示為D? ?1?y?2? y2?x?y?2? 于是

??xyd????1dy?yDy?222x12[y(y?2)2?y5]dy

?2xydx??[y]y2dy?y?122??126y443152y2

?[?y?2y?]?1?5?

24368討論積分次序的選擇?

例

4求兩個(gè)底圓半徑都等于?的直交圓柱面所圍成的立體的體積?

解

設(shè)這兩個(gè)圓柱面的方程分別為

x2?y2?? 2及x2?z2?? 2? 高等數(shù)學(xué)教案

重積分

利用立體關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱性? 只要算出它在第一卦限部分的體積V1? 然后再乘以8就行了?

第一卦限部分是以D?{(x? y)| 0?y?R2?x2, 0?x??}為底? 以z?R2?x2頂?shù)那斨w?

于是

V?8??DR?xd??8?dx?022RR2?x20R2?x2dy?8?[R2?x2y]0R0R2?x2dx

16R3?

22(R?x)dx??03 二?

利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分

?8R

有些二重積分? 積分區(qū)域D 的邊界曲線用極坐標(biāo)方程來(lái)表示比較方便? 且被積函數(shù)用極坐標(biāo)變量?、? 表達(dá)比較簡(jiǎn)單?

這時(shí)我們就可以考慮利用極坐標(biāo)來(lái)計(jì)算二重積分

lim?f(?i,?i)??i?

??f(x,y)d?? 按二重積分的定義??f(x,y)d????0DnDi?

1下面我們來(lái)研究這個(gè)和的極限在極坐標(biāo)系中的形式?

以從極點(diǎn)O出發(fā)的一族射線及以極點(diǎn)為中心的一族同心圓構(gòu)成的網(wǎng)將區(qū)域D分為n個(gè)小閉區(qū)域? 小閉區(qū)域的面積為?

111222??(?i???i)???i???i??i??i??i?

?i2其中?i表示相鄰兩圓弧的半徑的平均值?

在??i內(nèi)取點(diǎn)(?i , ?i)? 設(shè)其直角坐標(biāo)為(? i? ? i)?

則有

??i?(?i???i)2???i???i2???i?(2?i???i)??i???i

?i??i cos?i? ?i??i sin?i?

lim?f(?i cos?i,?i sin?i)?i ??i??i?

?f(?i,?i)??i???0i?1i?1nn于是 lim??0即

??f(x,y)d????f(?cos?,?sin?)?d?d??

DD若積分區(qū)域D可表示為? 1(?)???? 2(?)?

?????? 高等數(shù)學(xué)教案

重積分

則

??f(?cos?,?sin?)?d?d???d??D??2(?)??1(?)f(?cos?,?sin?)?d??

討論?如何確定積分限?

??f(?cos?,?sin?)?d?d????d??0D2?D0??(?)f(?cos?,?sin?)?d??

??f(?cos?,?sin?)?d?d???d???xe??D2?(?)0f(?cos?,?sin?)?d??

例5? 計(jì)算域? ?y2dxdy? 其中D是由中心在原點(diǎn)、半徑為a 的圓周所圍成的閉區(qū)

解

在極坐標(biāo)系中? 閉區(qū)域D可表示為

0???a ? 0?? ?2? ?

于是 ??e?xD2?y2adxdy???e???d?d???[?e???d?]d? ??[?1e??]0d?

0002D22?a22??(1?e?a)

注? 此處積分

122?022?d???(1?e?a)?

dxdy?

2??e?xD22?y2dxdy也常寫(xiě)成x2?y2?a2??e?x?y2

利用x2?y2?a2?xe???y2dxdy??(1?e?a)計(jì)算廣義積分?e?xdx?

02??2

設(shè)D1?{(x? y)|x2?y2?R2? x?0? y?0}? D2?{(x? y)|x2?y2?2R2? x?0? y?0}?S?{(x? y)|0?x?R? 0?y?R}?

顯然D1?S?D2? 由于e?x

2?y2?0? 從則在這些閉區(qū)域上的二重積分之間有不等式

2??e?xD12?y2dxdy???e?xS?y2dxdy???e?xD22?y2dxdy?

因?yàn)?/p>

??e?xS2?y2dxdy??e?xdx??e?ydy?(?e?xdx)2?

000R2R2R2又應(yīng)用上面已得的結(jié)果有 高等數(shù)學(xué)教案

重積分

??e?xD12?y2dxdy??(1?e?R)?

42??e?xD22?y2dxdy??(1?e?2R)?

42于是上面的不等式可寫(xiě)成?(1?e?R2)?(Re?x2dx)2??(1?e?2R2)?

?404令R???? 上式兩端趨于同一極限

?? 從而??e?x2dx???

?4 02

例6 求球體x2?y2?z2?4a2被圓柱面x2?y2?2ax所截得的（含在圓柱面內(nèi)的部分）立體的體積?

解

由對(duì)稱性? 立體體積為第一卦限部分的四倍?

V?4??D4a2?x2?y2dxdy?

其中D為半圓周y?2ax?x2及x軸所圍成的閉區(qū)域?

在極坐標(biāo)系中D可表示為

0???2a cos? ? 0???于是

V?4 ??

22acos?2d?00??D4a???d?d??4??22??4a2??2?d?

3232?2

?a2?2(1?sin3?)d??a2(?)?

03323

小結(jié)

1.二重積分化為累次積分的方法；

2.積分計(jì)算要注意的事項(xiàng)。

教學(xué)方式及教學(xué)過(guò)程中應(yīng)注意的問(wèn)題

在教學(xué)過(guò)程中要注意二重積分化為累次積分的方法：分直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)，以及在計(jì)算時(shí)要注意事項(xiàng)，要結(jié)合實(shí)例，反復(fù)講解。

師生活動(dòng)設(shè)計(jì)

1.設(shè)f(x)?C[0,1]，且?f(x)dx?A，求I??dx?f(x)f(y)dy。

00x111?2.交換積分順序I??2??2d??acos?0f(r,?)dr，(a?0)

講課提綱、板書(shū)設(shè)計(jì) 高等數(shù)學(xué)教案

重積分

作業(yè) P154: 1(2),(4);2(1),(3);6(2),(4);12(1),(3);13(3),(4);14(1),(2)；15（1）（2）

§10?3

三重積分 一、三重積分的概念

定義 設(shè)f(x? y? z)是空間有界閉區(qū)域?上的有界函數(shù)? 將?任意分成n個(gè)小閉區(qū)域：

?v1? ?v2? ? ? ? ? ?vn

其中?vi表示第i個(gè)小閉區(qū)域? 也表示它的體積? 在每個(gè)?vi上任取一點(diǎn)(?i? ?i? ?i)? 作乘積f(?

i? ? i? ? i)?vi(i?1? 2? ? ? ?? n)并作和

?f(?i,?i,?i)?vi? 如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值?i?1n趨于零時(shí)?

這和的極限總存在?

則稱此極限為函數(shù)f(x? y? z)在閉區(qū)域?上的三重積分? 記作???f(x,y,z)dv?

即

?高等數(shù)學(xué)教案

重積分

lim?f(?i,?i,?i)?vi?

???f(x,y,z)dv???0i?1?n

三重積分中的有關(guān)術(shù)語(yǔ)? ???——積分號(hào)?

f(x? y? z)——被積函數(shù)?

f(x? y? z)dv——被?積表達(dá)式?

dv體積元素?

x? y? z——積分變量?

?——積分區(qū)域?

在直角坐標(biāo)系中? 如果用平行于坐標(biāo)面的平面來(lái)劃分?? 則?vi??xi ?yi?zi ? 因此也把體積元素記為dv ?dxdydz? 三重積分記作

???f(x,y,z)dv????f(x,y,z)dxdydz?

??

當(dāng)函數(shù)f(x? y? z)在閉區(qū)域?上連續(xù)時(shí)? 極限lim?f(?i,?i,?i)?vi是存在的?

??0i?1n因此f(x? y? z)在?上的三重積分是存在的? 以后也總假定f(x? y? z)在閉區(qū)域?上是連續(xù)的?

三重積分的性質(zhì)? 與二重積分類似?

比如

???[c1f(x,y,z)?c2g(x,y,z)]dv?c1???f(x,y,z)dv?c2???g(x,y,z)dv?

???

?1??2???f(x,y,z)dv????f(x,y,z)dv????f(x,y,z)dv?

?1?2?

???dv?V? 其中V為區(qū)域?的體積? 二、三重積分的計(jì)算

1? 利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分

三重積分的計(jì)算? 三重積分也可化為三次積分來(lái)計(jì)算? 設(shè)空間閉區(qū)域?可表為

z1(x? y)?z?z2(x? y)? y1(x)?y?y2(x)? a?x?b?

則

???f(x,y,z)dv???[?z(x,y)?D1z2(x,y)f(x,y,z)dz]d?

?dxb?a?y(x)[?z(x,y)11by2(x)z2(x,y)f(x,y,z)dz]dy f(x,y,z)dz?

?dx?a?y(x)1y2(x)dy?z2(x,y)z1(x,y)高等數(shù)學(xué)教案

重積分

即 ???f(x,y,z)dv??dx??aby2(x)y1(x)dy?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz?

其中D : y1(x)? y? y2(x)? a?x?b? 它是閉區(qū)域?在xOy面上的投影區(qū)域?

提示? 設(shè)空間閉區(qū)域?可表為

z1(x? y)?z?z2(x? y)? y1(x)?y?y2(x)? a?x?b?

計(jì)算???f(x,y,z)dv?

?基本思想?

對(duì)于平面區(qū)域D?

y1(x)?y?y2(x)? a?x?b內(nèi)任意一點(diǎn)(x? y)? 將f(x? y? z)只看作z的函數(shù)? 在區(qū)間[z1(x? y)?

z2(x? y)]上對(duì)z積分? 得到一個(gè)二元函數(shù)F(x? y)?

F(x,y)?z2(x,y)1?z(x,y)f(x,y,z)dz?

然后計(jì)算F(x? y)在閉區(qū)域D上的二重積分? 這就完成了f(x? y? z)在空間閉區(qū)域?上的三重積分?

??F(x,y)d????[?DD1z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]d???dx?aby2(x)y1(x)[?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]dy?

則 ???f(x,y,z)dv???[?z(x,y)?Dz2(x,y)f(x,y,z)dz]d?

z2(x,y)

1?dxb?a?y(x)[?z(x,y)1by2(x)f(x,y,z)dz]dy f(x,y,z)dz?

f(x,y,z)dz?

?dx即

?a?y(x)1y2(x)dy?z2(x,y)z1(x,y)???f(x,y,z)dv??adx?y(x)dy?z(x,y)?11by2(x)z2(x,y)其中D : y1(x)? y? y2(x)? a?x?b? 它是閉區(qū)域?在xOy面上的投影區(qū)域?

例1 計(jì)算三重積分域?

解 作圖? 區(qū)域?可表示為:

0?z?1?x?2y? 0?y?(1?x)? 0?x?1? ???xdxdydz? 其中?為三個(gè)坐標(biāo)面及平面x?2y?z?1所圍成的閉區(qū)?12高等數(shù)學(xué)教案

重積分

于是

???xdxdydz ??0dx??11?x1?x?2y2dyxdz 00?

??0xdx?11?x2(1?x?2y)dy0

111?

??(x?2x2?x3)dx?4048

討論? 其它類型區(qū)域呢?

有時(shí)? 我們計(jì)算一個(gè)三重積分也可以化為先計(jì)算一個(gè)二重積分、再計(jì)算一個(gè)定積分? 設(shè)空間閉區(qū)域??{(x? y? z)|(x? y)?Dz? c1? z?c2}? 其中Dz是豎坐標(biāo)為z 的平面截空間閉區(qū)域?所得到的一個(gè)平面閉區(qū)域? 則有

???f(x,y,z)dv??cdz??f(x,y,z)dxdy?

?1c2Dz2y2z2x

例2 計(jì)算三重積分???zdxdydz? 其中?是由橢球面2?2?2?1所圍成的空間閉

abc?2區(qū)域?

解 空間區(qū)域?可表為: x2?y2?1?z 2? ?c? z?c?

ab2c2于是

????2zzdxdydz ?zdzdxdy??ab?(1?2)z2dz?4?abc3?

?c?c15cD2?c2??zc

練習(xí)：

例3? 將三重積分I????f(x,y,z)dxdydz?化為三次積分? 其中

(1)?是由曲面z?1?x2?y2? z?0所圍成的閉區(qū)域?

(2)?是雙曲拋物面xy?z及平面x?y?1?0? z?0所圍成的閉區(qū)域?

(3)其中?是由曲面z?x2?2y2及z?2?x2所圍成的閉區(qū)域?

例4? 將三重積分I????f(x,y,z)dxdydz?化為先進(jìn)行二重積分再進(jìn)行定積分的形式?

其中?由曲面z?1?x2?y2? z?0所圍成的閉區(qū)域?

2? 利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分

設(shè)M(x? y? z)為空間內(nèi)一點(diǎn)? 并設(shè)點(diǎn)M在xOy面上的投影P 的極坐標(biāo)為P(?? ?)? 則這樣的三個(gè)數(shù)?、?、z就叫做點(diǎn)M的柱面坐標(biāo)? 這里規(guī)定?、?、z的變化范圍為? 高等數(shù)學(xué)教案

重積分

0??

坐標(biāo)面???0? ? ?? 0? z?z0的意義?

點(diǎn)M 的直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系?

?x??cos??

x??cos?? y??sin?? z?z ? ?y??sin?

??z?z

柱面坐標(biāo)系中的體積元素? dv??d?d?dz?

簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)? dxdy??d?d? ? dxdydz?dxdy?dz??d?d? dz?

柱面坐標(biāo)系中的三重積分?

???f(x,y,z)dxdydz????f(?cos?,?sin?,z)?d?d?dz?

??

例5利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分圍成的閉區(qū)域?

解 閉區(qū)域?可表示為?

?2?z?4? 0???2? 0???2??

于是

???zdxdydz? 其中?是由曲面z?x?y與平面z?4所

2????zdxdydz????z?d?d?dz

??1d??(16??4)d? d??d?zdz??0?0??2?02?01164??

??2?[8?2??6]2?026

3?2422?2?

3? 利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分

設(shè)M(x? y? z)為空間內(nèi)一點(diǎn)? 則點(diǎn)M也可用這樣三個(gè)有次序的數(shù)r、?、? 來(lái)確定? 其中 r為原點(diǎn)O與點(diǎn)M間的距離? ?為OM與z軸正向所夾的角? ?為從正z軸來(lái)看自x軸按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)到有向線段OP的角? 這里P為點(diǎn)M在xOy面上的投影? 這樣的三個(gè)數(shù)r、?、??? 叫做點(diǎn)M的球面坐標(biāo)? 這里r、?、? 的變化范圍為

0?r

坐標(biāo)面r?r0? ???0? ???0的意義，點(diǎn)M的直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系?

?x?rsin?cos??

x?rsin?cos?? y?rsin?sin?? z?rcos? ? ?y?rsin?sin?

??z?rcos?高等數(shù)學(xué)教案

重積分

球面坐標(biāo)系中的體積元素?

dv?r2sin?drd?d? ?

球面坐標(biāo)系中的三重積分?

???f(x,y,z)dv????f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcos?)r2sin?drd?d??

??

例6 求半徑為a的球面與半頂角?為的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積?

解 該立體所占區(qū)域?可表示為?

0?r?2acos?? 0????? 0???2??

于是所求立體的體積為

V????dxdydz????r2sin?drd?d???d??d????2??2acos?000r2sin?dr

?2??0?sin?d??2acos?0r2dr

316?a

?33??034cos?sin?d??4?a(1?cosa)?

3提示? 球面的方程為x2?y2?(z?a)2?a2? 即x2?y2?z2?2az? 在球面坐標(biāo)下此球面的方程為r2?2arcos?? 即r?2acos??

小結(jié)

1.三重積分的定義和計(jì)算； 2.換元積分公式。

教學(xué)方式及教學(xué)過(guò)程中應(yīng)注意的問(wèn)題

在教學(xué)過(guò)程中要注意三重積分的定義和計(jì)算以及換元積分公式的應(yīng)用，要結(jié)合實(shí)例，反復(fù)講解。

師生活動(dòng)設(shè)計(jì)

1.將I????f(x,y,z)dv?用三次積分表示，其中?由六個(gè)平面x?0,x?2,y?1,x?2y?4,z?x,z?2所圍成，f(x,y,z)?C(?)。

2.設(shè)?由錐面z?2I???(x?y?z)dv ??x2?y2和球面x2?y2?z2?4所圍成，計(jì)算講課提綱、板書(shū)設(shè)計(jì)

作業(yè) P164: 4，5，7，9（1）高等數(shù)學(xué)教案

重積分

§10? 4 重積分的應(yīng)用

一、曲面的面積

設(shè)曲面S由方程 z?f(x? y)給出? D為曲面S在xOy面上的投影區(qū)域? 函數(shù)f(x? y)在D上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)fx(x? y)和fy(x? y)? 現(xiàn)求曲面的面積A ?

在區(qū)域D內(nèi)任取一點(diǎn)P(x? y)? 并在區(qū)域D內(nèi)取一包含點(diǎn)P(x? y)的小閉區(qū)域d?? 其面積也記為d?? 在曲面S上點(diǎn)M(x? y? f(x? y))處做曲面S的切平面T? 再做以小區(qū)域d?的邊界曲線為準(zhǔn)線、母線平行于z軸的柱面? 將含于柱面內(nèi)的小塊切平面的面積作為含于柱面內(nèi)的小塊曲面面積的近似值? 記為dA? 又設(shè)切平面T的法向量與z軸所成的角為? ? 則

dA?d??1?f2(x,y)?f2(x,y)d??

xycos?這就是曲面S的面積元素?

于是曲面S 的面積為 A???D1?fx2(x,y)?fy2(x,y)d?? 高等數(shù)學(xué)教案

重積分

或

A???D1?(?z)2?(?z)2dxdy?

?x?y

設(shè)dA為曲面S上點(diǎn)M處的面積元素? dA在xOy面上的投影為小閉區(qū)域d?? M在xOy面上的投影為點(diǎn)P(x? y)? 因?yàn)榍嫔宵c(diǎn)M處的法向量為n?(?fx? ?fy? 1)? 所以

dA?|n|d??1?fx2(x,y)?fy2(x,y)d??

提示? dA與xOy面的夾角為(n?^ k)? dAcos(n?^ k)?d??

n?k?|n|cos(n?^ k)?1? cos(n?^ k)?|n|?1?

討論? 若曲面方程為x?g(y? z)或y?h(z? x)? 則曲面的面積如何求？

A?Dyz??1?(?x)2?(?x)2dydz?

?y?z1?(?y2?y2)?()dzdx?

?z?x或

A?Dzx??其中Dyz是曲面在yOz面上的投影區(qū)域?

Dzx是曲面在zOx面上的投影區(qū)域?

例1 求半徑為R的球的表面積?

提示?

?y?z??x?z??z?zR? ? 1?()2?()2??

222222222?x?y?x?yR?x?yR?x?yR?x?y

解 球面的面積A為上半球面面積的兩倍?

上半球面的方程為z?R2?x2?y2? 而

?y?z??x?z?? ?

222222?x?yR?x?yR?x?y所以

A?22x?y2?R2??1?(?z)2?(?z)2

?x?y2?R?d?R dxdy?2R?d??2222200R??R?x?yR0

?22x?y2?R2??

??4?RR2??2 ?4?R2?

例2設(shè)有一顆地球同步軌道通訊衛(wèi)星? 距地面的高度為h?36000km? 運(yùn)行的角速度與高等數(shù)學(xué)教案

重積分

地球自轉(zhuǎn)的角速度相同? 試計(jì)算該通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比值(地球半徑R?6400km)?

二、質(zhì)心

設(shè)有一平面薄片? 占有xOy 面上的閉區(qū)域D? 在點(diǎn)P(x? y)處的面密度為?(x? y)? 假定?(x? y)在D上連續(xù)? 現(xiàn)在要求該薄片的質(zhì)心坐標(biāo)?

在閉區(qū)域D上任取一點(diǎn)P(x? y)? 及包含點(diǎn)P(x? y)的一直徑很小的閉區(qū)域d?(其面積也記為d?)? 則平面薄片對(duì)x軸和對(duì)y軸的力矩(僅考慮大小)元素分別為

dMx?y?(x? y)d?? dMy?x?(x? y)d??

平面薄片對(duì)x軸和對(duì)y軸的力矩分別為

Mx???y?(x,y)d?? My???x?(x,y)d??

DD

設(shè)平面薄片的質(zhì)心坐標(biāo)為(x, y)?平面薄片的質(zhì)量為M? 則有

x?M?My? y?M?Mx ?

于是

x?My?M??x?(x,y)d?D???(x,y)d?D? y?Mx?M??y?(x,y)d?D???(x,y)d?D?

提示? 將P(x? y)點(diǎn)處的面積元素d?看成是包含點(diǎn)P的直徑得小的閉區(qū)域? D上任取一點(diǎn)P(x? y)? 及包含的一直徑很小的閉區(qū)域d?(其面積也記為d?)? 則平面薄片對(duì)x軸和對(duì)y軸的力矩(僅考慮大小)元素分別為

討論? 如果平面薄片是均勻的? 即面密度是常數(shù)? 則平面薄片的質(zhì)心(稱為形心)如何求？

求平面圖形的形心公式為

??xd?

x?D??yd??

y?D??d?D??d?D?

例3 求位于兩圓??2sin? 和??4sin? 之間的均勻薄片的質(zhì)心?

解 因?yàn)殚]區(qū)域D對(duì)稱于y軸? 所以質(zhì)心C(x, y)必位于y軸上? 于是x?0? 高等數(shù)學(xué)教案

重積分

因?yàn)?/p>

2yd???????sin?d?d???sin?d??DD?4sin?02sin??2d??7??

??d????22???12?3??

D??yd?所以y?DD?7??7? 所求形心是C(0, 7)?

3??d?3?

3類似地? 占有空間閉區(qū)域?、在點(diǎn)(x? y? z)處的密度為?(x? y? z)(假寬?(x? y? z)在?上連續(xù))的物體的質(zhì)心坐標(biāo)是

x?1M1? x?(x,y,z)dvy????M?1? y?(x,y,z)dvz????M????z?(x,y,z)dv?

?

其中M?????(x,y,z)dv?

?

例4 求均勻半球體的質(zhì)心?

提示?

?? 0?r?a? 0????? 0???2??

2?2?a???dv???2?2d?00??d??rsin?dr??2sin?d??d??r2dr?2?a?

00003a2???zdv??02d??0??2?42?a1a132d??rcos??rsin?dr??sin2?d??d??rdr??2???

0002420a2?

三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

設(shè)有一平面薄片? 占有xOy面上的閉區(qū)域D? 在點(diǎn)P(x? y)處的面密度為?(x? y)? 假定?(x? y)在D上連續(xù)? 現(xiàn)在要求該薄片對(duì)于x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?

在閉區(qū)域D上任取一點(diǎn)P(x? y)? 及包含點(diǎn)P(x? y)的一直徑很小的閉區(qū)域d?(其面積也記為d?)? 則平面薄片對(duì)于x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的元素分別為

dIx?y2?(x? y)d? ? dI y?x2?(x? y)d? ?

整片平面薄片對(duì)于x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為

Ix???y2?(x,y)d?? Iy???x2?(x,y)d??

DD高等數(shù)學(xué)教案

重積分

例5 求半徑為a 的均勻半圓薄片(面密度為常量?)對(duì)于其直徑邊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?

解 取坐標(biāo)系如圖? 則薄片所占閉區(qū)域D可表示為

D?{(x? y)| x2?y2?a2? y?0} 而所求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量即半圓薄片對(duì)于x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ix ?

Ix????y2d??????2sin2???d?d?

DD

??

?其中M??0sin? d??0?2a4?a2?d?????sin? d?

4031?a4???1Ma2?

4241?a2?為半圓薄片的質(zhì)量?

2類似地? 占有空間有界閉區(qū)域?、在點(diǎn)(x? y? z)處的密度為?(x? y? z)的物體對(duì)于x、y、z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

Ix?

Iy?

Iz????(y2?z2)?(x,y,z)dv?

??22(z?x)?(x,y,z)dv? ??????(x2?y2)?(x,y,z)dv?

?

例6 求密度為?的均勻球體對(duì)于過(guò)球心的一條軸l的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?

解 取球心為坐標(biāo)原點(diǎn)? z軸與軸l重合? 又設(shè)球的半徑為a? 則球體所占空間閉區(qū)域

??{(x? y? z)| x2?y2?z2?a2}?

所求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量即球體對(duì)于z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Iz ?

Iz????(x2?y2)? dv

?

?????(r2sin2? cos2??r2sin2? sin2?)r2sin?drd?d?

?

??8?a5??2a2M?

4rsin?drd?d???d?sin? d?rdr?????0?0?0515?432??3a其中M?4?a3?為球體的質(zhì)量?

3提示?

x2?y2?r2sin2?cos2??r2sin2? sin2??r2sin2??

四、引力

我們討論空間一物體對(duì)于物體外一點(diǎn)P0(x0? y0? z0)處的單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力問(wèn)題? 高等數(shù)學(xué)教案

重積分

設(shè)物體占有空間有界閉區(qū)域?? 它在點(diǎn)(x? y? z)處的密度為?(x? y? z)? 并假定?(x? y? z)在?上連續(xù)?

在物體內(nèi)任取一點(diǎn)(x? y? z)及包含該點(diǎn)的一直徑很小的閉區(qū)域dv(其體積也記為dv)? 把這一小塊物體的質(zhì)量?dv近似地看作集中在點(diǎn)(x? y? z)處? 這一小塊物體對(duì)位于P0(x0? y0? z0)處的單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力近似地為

dF?(dFx,dFy,dFz)

?(G其中?(x,y,z)(x?x0)r3dv,G?(x,y,z)(y?y0)r3dF

dv,G?(x,y,z)(z?z0)r3dv)?

dFx、dFy、dFz為引力元素

在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分量?

r?(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2? G為引力常數(shù)? 將dFx、dFy、dFz在?上分別積分? 即可得Fx、Fy、Fz? 從而得F?(Fx、Fy、Fz)?

例7設(shè)半徑為R的勻質(zhì)球占有空間閉區(qū)域??{(x? y? z)|x2?y2?z2?R2)? 求它對(duì)于位于點(diǎn)M0(0? 0? a)(a>R)處的單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力?

解 設(shè)球的密度為?0? 由球體的對(duì)稱性及質(zhì)量分布的均勻性知Fx=Fy=0, 所求引力沿z軸的分量為

Fz????G?0?z?adv

[x2?y2?(z?a)2]3/ ?G?0??R??RRR(z?a)dzdxdy ??2223/2[x?y?(z?a)]x2?y2?R2?z22?R2?z22

?G?0(z?a)dz?d??0R?d?[??(z?a)]23/20

?2?G?01?1(z?a)()dz ??R22a?zR?2az?a1R(z?a)dR2?2az?a2]

a??R32R

?2G??0(?2R?2R?2)

3a4?R3??1??GM

??G?? 023aa2

?2?G?0[?2R?高等數(shù)學(xué)教案

重積分

其中M?4?R3?0為球的質(zhì)量?

3上述結(jié)果表明? 勻質(zhì)球?qū)η蛲庖毁|(zhì)點(diǎn)的引力如同球的質(zhì)量集中于球心時(shí)兩質(zhì)點(diǎn)間的引力?

小結(jié)

1.曲面面積的計(jì)算；

2.質(zhì)心的計(jì)算；

3.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義和求解。

教學(xué)方式及教學(xué)過(guò)程中應(yīng)注意的問(wèn)題

在教學(xué)過(guò)程中要注意曲面面積的計(jì)算，質(zhì)心的計(jì)算，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義和求解，要結(jié)合實(shí)例，反復(fù)講解。

師生活動(dòng)設(shè)計(jì) 1.設(shè)有一高度為h(t)(t為時(shí)間)的雪堆在融化過(guò)程中,其側(cè)面滿足方程2(x2?y2)，設(shè)長(zhǎng)度單位為厘米, 時(shí)間單位為小時(shí), 已知體積減少的速率與側(cè)z?h(t)?h(t)面積成正比(比例系數(shù) 0.9), 問(wèn)高度為130 cm 的雪堆全部融化需要多少小時(shí)?(2001考研)講課提綱、板書(shū)設(shè)計(jì) 作業(yè) P175: 1，2，4（1），7（1）

高等數(shù)學(xué)教案

重積分

習(xí)題課

一、重積分計(jì)算的基本方法

—— 累次積分法

1.選擇合適的坐標(biāo)系

使積分域多為坐標(biāo)面(線)圍成;被積函數(shù)用此坐標(biāo)表示簡(jiǎn)潔或變量分離.2.選擇易計(jì)算的積分序

積分域分塊要少, 累次積分易算為妙.3.掌握確定積分限的方法

圖示法；列不等式法(從內(nèi)到外: 面、線、點(diǎn))

二、重積分計(jì)算的基本技巧 1.交換積分順序的方法

2.利用對(duì)稱性或重心公式簡(jiǎn)化計(jì)算 3.消去被積函數(shù)絕對(duì)值符號(hào) 4.利用重積分換元公式

三、重積分的應(yīng)用 1.幾何方面

面積(平面域或曲面域), 體積 , 形心 2.物理方面

質(zhì)量, 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量, 質(zhì)心, 引力

3.其它方面

四、例題分析

1.在均勻的半徑為R的圓形薄片的直徑上 , 要接上一個(gè)一邊與直徑等長(zhǎng)的同樣材料的均勻矩形薄片,使整個(gè)薄片的重心恰好落在圓心上 ,問(wèn)接上去的均勻矩形薄片的另一邊長(zhǎng) 高等數(shù)學(xué)教案

重積分

度應(yīng)為多少? 2.計(jì)算積分3.??(x?y)d?，其中D由yD2x2?y22?2x，x?y?4，x?y?12所圍成。

計(jì)算二重積分

DI???(x?xye)dxdy, 其中

（1）D為圓域 x2?y2?1;（2）D由直線y?x,y??1,x?1圍成 P182;6;(1),(3)

第二篇：高等數(shù)學(xué)教案ch 9 重積分

第九章

重積分

教學(xué)目的：

1、理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)，知道二重積分的中值定理。

2、掌握二重積分的（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）計(jì)算方法。

3、掌握計(jì)算三重積分的（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）計(jì)算方法。

4、會(huì)用重積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、體積、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力等）。教學(xué)重點(diǎn)：

1、二重積分的計(jì)算（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）；

2、三重積分的（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）計(jì)算。

3、二、三重積分的幾何應(yīng)用及物理應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)：

1、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分；

2、利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分；

3、物理應(yīng)用中的引力問(wèn)題。

§9? 1 二重積分的概念與性質(zhì) 一、二重積分的概念

1? 曲頂柱體的體積

設(shè)有一立體? 它的底是xOy面上的閉區(qū)域D? 它的側(cè)面是以D的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于z軸的柱面? 它的頂是曲面z?f(x? y)? 這里f(x? y)?0且在D上連續(xù)? 這種立體叫做曲頂柱體? 現(xiàn)在我們來(lái)討論如何計(jì)算曲頂柱體的體積?

首先? 用一組曲線網(wǎng)把D分成n個(gè)小區(qū)域：

?? 1? ?? 2? ? ? ? ? ?? n ?

分別以這些小閉區(qū)域的邊界曲線為準(zhǔn)線? 作母線平行于z軸的柱面? 這些柱面把原來(lái)的曲頂柱體分為n個(gè)細(xì)曲頂柱體? 在每個(gè)?? i中任取一點(diǎn)(? i ? ? i)? 以f(? i ? ? i)為 高而底為?? i的平頂柱體的體積為 ： f(? i ? ? i)??i(i?1? 2? ? ? ? ? n)?

這個(gè)平頂柱體體積之和：V??f(?i,?i)??i?

i?1n可以認(rèn)為是整個(gè)曲頂柱體體積的近似值? 為求得曲頂柱體體積的精確值? 將分割加密? 只需取極限? 即 V?lim?f(?i,?i)??i?

??0i?1n其中?是個(gè)小區(qū)域的直徑中的最大值?

2?平面薄片的質(zhì)量?

設(shè)有一平面薄片占有xOy面上的閉區(qū)域D? 它在點(diǎn)(x? y)處的面密度為?(x? y)? 這里?(x? y)?0且在D上連續(xù)? 現(xiàn)在要計(jì)算該薄片的質(zhì)量M?

用一組曲線網(wǎng)把D分成n個(gè)小區(qū)域

?? 1? ?? 2? ? ? ? ? ?? n ?

把各小塊的質(zhì)量近似地看作均勻薄片的質(zhì)量?

?(? i ? ? i)?? i ?

各小塊質(zhì)量的和作為平面薄片的質(zhì)量的近似值? M???(?i,?i)??i?

i?1nn

將分割加細(xì)? 取極限? 得到平面薄片的質(zhì)量M?lim??(?i,?i)??i?

??0i?1其中?是個(gè)小區(qū)域的直徑中的最大值?

定義 設(shè)f(x? y)是有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù)? 將閉區(qū)域D任意分成n個(gè)小閉區(qū)域

?? 1? ?? 2? ? ? ? ? ?? n ?

其中?? i表示第i個(gè)小區(qū)域? 也表示它的面積? 在每個(gè)?? i上任取一點(diǎn)(? i? ?i)? 作和

n?i?1f(?i,?i)??i?

如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值?趨于零時(shí)? 這和的極限總存在? 則稱此極限為函數(shù)f(x? y)在閉區(qū)域D上的二重積分? 記作??f(x,y)d?? 即

D??Df(x,y)d??lim??0i?1?f(?i,?i)??i?

nf(x? y)被積函數(shù)? f(x? y)d?被積表達(dá)式? d?面積元素? x? y積分變量? D積分區(qū)域? 積分和?

直角坐標(biāo)系中的面積元素?

如果在直角坐標(biāo)系中用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來(lái)劃分D? 那么除了包含邊界點(diǎn)的一些小閉區(qū)域外? 其余的小閉區(qū)域都是矩形閉區(qū)域? 設(shè)矩形閉區(qū)域??i的邊長(zhǎng)為?xi和?yi? 則??i??xi?yi? 因此在直角坐標(biāo)系中? 有時(shí)也把面積元素d? 記作dxdy? 而把二重積分記作

??Df(x,y)dxdy

其中dxdy叫做直角坐標(biāo)系中的面積元素?

二重積分的存在性? 當(dāng)f(x? y)在閉區(qū)域D上連續(xù)時(shí)? 積分和的極限是存在的?

也就是說(shuō)函數(shù)f(x? y)在D上的二重積分必定存在? 我們總假定函數(shù)f(x? y)在閉區(qū)域D上連續(xù)? 所以f(x? y)在D上的二重積分都是存在的?

二重積分的幾何意義? 如果f(x? y)?0? 被積函數(shù)f(x? y)可解釋為曲頂柱體的在點(diǎn)(x? y)處的豎坐標(biāo)? 所以二重積分的幾何意義就是柱體的體積? 如果f(x? y)是負(fù)的? 柱體就在xOy 面的下方? 二重積分的絕對(duì)值仍等于柱體的體積? 但二重積分的值是負(fù)的?

二?

二重積分的性質(zhì)

性質(zhì)1 設(shè)c1、c2為常數(shù)? 則

??[c1f(x,y)?c2g(x,y)]d?D?c1??f(x,y)d??c2??g(x,y)d?DD?

性質(zhì)2如果閉區(qū)域D被有限條曲線分為有限個(gè)部分閉區(qū)域? 則在D上的二重積分等于在各部分閉區(qū)域上的二重積分的和? 例如D分為兩個(gè)閉區(qū)域D1與D2? 則

??Df(x,y)d????f(x,y)d????f(x,y)d??

D1D

2性質(zhì)3 ??1?d????d???(?為D的面積)?

DD

性質(zhì)4 如果在D上? f(x? y)?g(x? y)? 則有不等式

??Df(x,y)d????g(x,y)d?D?

特殊地

|??f(x,y)d?|???|f(x,y)|d??

DD

性質(zhì)5 設(shè)M、m分別是f(x? y)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值? ?為D的面積? 則有

m????Df(x,y)d??M??

性質(zhì)6(二重積分的中值定理)設(shè)函數(shù)f(x? y)在閉區(qū)域D上連續(xù)? ? 為D的面積? 則在D上至少存在一點(diǎn)(?? ?)使得

??Df(x,y)d??f(?,?)??

§9? 2 二重積分的計(jì)算法

一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分

X??型區(qū)域?

D ?

?1(x)?y??2(x)? a?x?b ?

Y ??型區(qū)域?

D ?

?1(x)?y??2(x)? c?y?d ?

混合型區(qū)域?

設(shè)f(x? y)?0?

D?{(x? y)| ?1(x)?y??2(x)? a?x?b}?

此時(shí)二重積分??f(x,y)d?在幾何上表示以曲面z?f(x? y)為頂? 以區(qū)域D為底的D曲頂柱體的體積?

對(duì)于x0?[a? b]?

曲頂柱體在x?x0的截面面積為以區(qū)間[?1(x0)? ?2(x0)]為底、以曲線z?f(x0? y)為曲邊的曲邊梯形? 所以這截面的面積為

A(x0)???2(x0)?1(x0)f(x0,y)dy?

根據(jù)平行截面面積為已知的立體體積的方法? 得曲頂柱體體積為

V??A(x)dx??[?aabb?2(x)?1(x)f(x,y)dy]dx?

即

V???f(x,y)d???[?Dab?2(x)?1(x)f(x,y)dy]dx?

可記為

??Df(x,y)d???dx?ab?2(x)?1(x)f(x,y)dy?

類似地? 如果區(qū)域D為Y ??型區(qū)域?

D ? ?1(x)?y??2(x)? c?y?d ?

則有

??Df(x,y)d???dy?cd?2(y)?1(y)f(x,y)dx?

例1? 計(jì)算??xyd?? 其中D是由直線y?

1、x?2及y?x所圍成的閉區(qū)域?

D

解? 畫(huà)出區(qū)域D?

解法1?

可把D看成是X??型區(qū)域? 1?x?2? 1?y?x ? 于是

??xyd??D21[?xydy]dx??1x21y2x1x4x22912?]1?[x?]1dx??(x3?x)dx?[2212428x2x?

注? 積分還可以寫(xiě)成??xyd???dx?xydy??xdx?ydy?

D1111

2解法2? 也可把D看成是Y??型區(qū)域? 1?y?2? y?x?2 ? 于是

??xyd??D21[?xydx]dy??y2212y3y429x222[y?]ydy??(2y?)dy?[y?]1?12288?

例2? 計(jì)算??y1?x2?y2d?? 其中D是由直線y?

1、x??1及y?x所圍成的閉區(qū)D域?

解

畫(huà)出區(qū)域D? 可把D看成是X??型區(qū)域? ?1?x?1? x?y?1? 于是

??D1111y1?x?yd???dx?y1?x?ydy???[(1?x2?y2)2]1dx??(|x|3?1)dx x??1x3?13?1222211 ??2?(x3?1)dx?1?

301

2也可D看成是Y??型區(qū)域：?1?y?1? ?1?x

??yD1?x?yd???ydy?1221??1y1?x2?y2dx?

例3 計(jì)算??xyd?? 其中D是由直線y?x?2及拋物線y2?x所圍成的閉區(qū)域?

D

解 積分區(qū)域可以表示為D?D1+D2?

其中D1: 0?x?1, ?x?y?x? D2: 1?x?4, 2?y?x? 于是 ??Dxyd???dx?01xx?xydy??dx?14xx?2xydy?

積分區(qū)域也可以表示為D? ?1?y?2? y2?x?y?2? 于是

??Dxyd???dy??12y?2y2xydx??[?121x2y?2y]y2dy?22??1[y(y?2)22?y5]dy

4y621y4352?[?y?2y?]?1?524368?

討論積分次序的選擇?

例

4求兩個(gè)底圓半徑都等于?的直交圓柱面所圍成的立體的體積?

解

設(shè)這兩個(gè)圓柱面的方程分別為

x2?y2?? 2及x2?z2?? 2?

利用立體關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱性? 只要算出它在第一卦限部分的體積V1? 然后再乘以8就行了?

第一卦限部分是以D?{(x? y)| 0?y?R2?x2, 0?x??}為底? 以z?R2?x2頂?shù)那斨w? 于是

V?8??R?xd??8?dx?220RR2?x20R2?x2dy?8?[R2?x2y]0R0R2?x2dx

D

?8?(R2?x2)dx?16R3?

0R3

二?

利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分

有些二重積分? 積分區(qū)域D 的邊界曲線用極坐標(biāo)方程來(lái)表示比較方便? 且被積函數(shù)用極坐標(biāo)變量?、? 表達(dá)比較簡(jiǎn)單?

這時(shí)我們就可以考慮利用極坐標(biāo)來(lái)計(jì)算二重積分??f(x,y)d??

Dn按二重積分的定義??f(x,y)d??limD??0?i?1f(?i,?i)??i?

下面我們來(lái)研究這個(gè)和的極限在極坐標(biāo)系中的形式?

以從極點(diǎn)O出發(fā)的一族射線及以極點(diǎn)為中心的一族同心圓構(gòu)成的網(wǎng)將區(qū)域D分為n個(gè)小閉區(qū)域? 小閉區(qū)域的面積為?

??i?1(?i???i)2???i?1??i2???i?1(2?i???i)??i???i ??i?(?i???i)2???i???i??i??i??i?

其中?i表示相鄰兩圓弧的半徑的平均值?

在??i內(nèi)取點(diǎn)(?i , ?i)? 設(shè)其直角坐標(biāo)為(? i? ? i)?

則有 ?i??i cos?i? ?i??i sin?i?

nn于是 lim即

??0?i?1f(?i,?i)??i?lim??0?i?1f(?i cos?i,?i sin?i)?i ??i??i?

??Df(x,y)d??s,?sin?)?d?d??

??f(?co?D若積分區(qū)域D可表示為

? 1(?)???? 2(?)?

??????

則

??Df(?cos?,?sin?)?d?d???d?????2(?)?1(?)f(?cos?,?sin?)?d??

討論?如何確定積分限?

??Df(?cos?,?sin?)?d?d???d?????(?)0f(?cos?,?sin?)?d??

??Df(?cos?,?sin?)?d?d???22?0d???(?)0f(?cos?,?sin?)?d??

例5? 計(jì)算??e?xD?y2dxdy? 其中D是由中心在原點(diǎn)、半徑為a 的圓周所圍成的閉區(qū)域?

解

在極坐標(biāo)系中? 閉區(qū)域D可表示為

0???a ? 0?? ?2? ? 于是 ?x??eD2?y2dxdy?????e?d?d???D22?0[?e???d?]d? ??0a22?0[?1??2ae]0d? 22?21?a?(1?e)?d???(1?e?a)?

02

注? 此處積分??e?xD2?y2dxdy也常寫(xiě)成x2?y2?a2?x??e2?y2dxdy?

利用x2?y2?a2??e?x2?y2dxdy??(1?e?a2)計(jì)算廣義積分??? 0e?xdx?

2設(shè)D1?{(x? y)|x2?y2?R2? x?0? y?0}?

D2?{(x? y)|x2?y2?2R2? x?0? y?0}?

S?{(x? y)|0?x?R? 0?y?R}?

顯然D1?S?D2? 由于e?x

?x??eD122?y2?0? 從則在這些閉區(qū)域上的二重積分之間有不等式

2?y2dxdy???e?xS?y2dxdy???e?xD22?y2dxdy?

因?yàn)?/p>

?xe??S2?y2dxdy??e?xdx??e?ydy?(?e?xdx)2?

000R2R2R2又應(yīng)用上面已得的結(jié)果有

?x??eD12?y2dxdy??4(1?e?R)2?

?x??eD22?y2dxdy??4(1?e?2R)?

2于是上面的不等式可寫(xiě)成?(1?e?R)?(?e?xdx)2??(1?e?2R)?

2R22404令R???? 上式兩端趨于同一極限

?4? 從而?e?xdx???

??2 02

例6 求球體x2?y2?z2?4a2被圓柱面x2?y2?2ax所截得的（含在圓柱面內(nèi)的部分）立體的體積?

解

由對(duì)稱性? 立體體積為第一卦限部分的四倍?

V?4??4a2?x2?y2dxdy?

D其中D為半圓周y?2ax?x2及x軸所圍成的閉區(qū)域?

在極坐標(biāo)系中D可表示為

0???2a cos? ? 0??? ??

2?于是

V?4??4a2??2?d?d??4?2d??D02acos?04a2??2?d?

?32a2?2(1?sin3?)d??32a2(??2)?

0332?§9?3

三重積分 一、三重積分的概念

定義 設(shè)f(x? y? z)是空間有界閉區(qū)域?上的有界函數(shù)? 將?任意分成n個(gè)小閉區(qū)域

?v1? ?v2? ? ? ? ? ?vn

其中?vi表示第i個(gè)小閉區(qū)域? 也表示它的體積? 在每個(gè)?vi上任取一點(diǎn)(?i? ?i? ?i)? 作乘積f(? i? ? i? ? i)?vi(i?1? 2? ? ? ?? n)并作和?f(?i,?i,?i)?vi? 如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑

i?1n中的最大值?趨于零時(shí)?

這和的極限總存在?

則稱此極限為函數(shù)f(x? y? z)在閉區(qū)域?上的三重積分? 記作???f(x,y,z)dv?

即

?

????f(x,y,z)dv?lim??0i?1?f(?i,?i,?i)?vi?

n

三重積分中的有關(guān)術(shù)語(yǔ)?

???——積分號(hào)?

f(x? y? z)——被積函數(shù)?

f(x? y? z)dv

?——被積表達(dá)式?

dv體積元素?

x? y? z——積分變量?

?——積分區(qū)域?

在直角坐標(biāo)系中? 如果用平行于坐標(biāo)面的平面來(lái)劃分?? 則?vi??xi ?yi?zi ? 因此也把體積元素記為dv ?dxdydz? 三重積分記作

???f(x,y,z)dv????f(x,y,z)dxdyd?z??

當(dāng)函數(shù)f(x? y? z)在閉區(qū)域?上連續(xù)時(shí)? 極限lim?f(?i,?i,?i)?vi是存在的?

??0i?1n因此f(x? y? z)在?上的三重積分是存在的? 以后也總假定f(x? y? z)在閉區(qū)域?上是連續(xù)的?

三重積分的性質(zhì)? 與二重積分類似?

比如

???[c1f(x,y,z)?c2g(x,y,z)]dv?c1?????f(x,y,z)dv?c2???g(x,y,z)dv??

???????f(x,y,z)dv????f(x,y,z)dv????f(x,y,z)dv?

?1?2?1??2dv?V? 其中V為區(qū)域?的體積? 二、三重積分的計(jì)算

1? 利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分

三重積分的計(jì)算? 三重積分也可化為三次積分來(lái)計(jì)算? 設(shè)空間閉區(qū)域?可表為

z1(x? y)?z?z2(x? y)? y1(x)?y?y2(x)? a?x?b?

則

????f(x,y,z)dv???[?Dz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]d?

??dx?aby2(x)y1(x)y2(x)y1(x)[?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]dy f(x,y,z)dz?

f(x,y,z)dz?

??dx?abdy?z2(x,y)z1(x,y)即 ???f(x,y,z)dv??adx?y(x)?1by2(x)dy?z2(x,y)z1(x,y)其中D : y1(x)? y? y2(x)? a?x?b? 它是閉區(qū)域?在xOy面上的投影區(qū)域?

提示?

設(shè)空間閉區(qū)域?可表為

z1(x? y)?z?z2(x? y)? y1(x)?y?y2(x)? a?x?b?

計(jì)算????f(x,y,z)dv?

基本思想?

對(duì)于平面區(qū)域D?

y1(x)?y?y2(x)? a?x?b內(nèi)任意一點(diǎn)(x? y)? 將f(x? y? z)只看作z的函數(shù)? 在區(qū)間[z1(x? y)?

z2(x? y)]上對(duì)z積分? 得到一個(gè)二元函數(shù)F(x? y)?

F(x,y)??三重積分?

z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz?

然后計(jì)算F(x? y)在閉區(qū)域D上的二重積分? 這就完成了f(x? y? z)在空間閉區(qū)域?上的 ??DF(x,y)d????[?Dz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]d???dx?aby2(x)y1(x)[?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]dy?

則 ????f(x,y,z)dv???[?Dz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]d?

??dx?aby2(x)y1(x)y2(x)y1(x)[?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]dy f(x,y,z)dz?

??dx?abdy?z2(x,y)z1(x,y)即

???f(x,y,z)dv??dx??aby2(x)y1(x)dy?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz?

其中D : y1(x)? y? y2(x)? a?x?b? 它是閉區(qū)域?在xOy面上的投影區(qū)域?

例1 計(jì)算三重積分???xdxdydz? 其中?為三個(gè)坐標(biāo)面及平面x?2y?z?1所圍成的?閉區(qū)域?

解 作圖? 區(qū)域?可表示為:

0?z?1?x?2y? 0?y?1(1?x)? 0?x?1?

2于是

???xdxdydz? ??dx?0111?x20dy?1?x?2y0xdz

??xdx?01?x20(1?x?2y)dy2

?14?0(x?2x1?x3)dx?1?

討論? 其它類型區(qū)域呢?

有時(shí)? 我們計(jì)算一個(gè)三重積分也可以化為先計(jì)算一個(gè)二重積分、再計(jì)算一個(gè)定積分? 設(shè)空間閉區(qū)域??{(x? y? z)|(x? y)?Dz? c1? z?c2}? 其中Dz是豎坐標(biāo)為z 的平面截空間閉區(qū)域?所得到的一個(gè)平面閉區(qū)域? 則有

????f(x,y,z)dv??dz??f(x,y,z)dxdy?

c1Dzc

2例2 計(jì)算三重積分???zdxdydz?

2?22x2y其中?是由橢球面2?2?z2?1所圍成的空

abc間閉區(qū)域?

解 空間區(qū)域?可表為: 22y2

x2?2?1?z2? ?c? z?c?

abc于是

????c2cz2dxdydz ??z2dz??dxdy??ab(1?z)z2dz?4?abc3?

?2?cDz?cc1

5練習(xí)

1? 將三重積分I????f(x,y,z)dxdydz化為三次積分? 其中

?

(1)?是由曲面z?1?x2?y2? z?0所圍成的閉區(qū)域?

(2)?是雙曲拋物面xy?z及平面x?y?1?0? z?0所圍成的閉區(qū)域?

(3)其中?是由曲面z?x2?2y2及z?2?x2所圍成的閉區(qū)域?

2? 將三重積分I????f(x,y,z)dxdydz化為先進(jìn)行二重積分再進(jìn)行定積分的形式?

?其中?由曲面z?1?x2?y2? z?0所圍成的閉區(qū)域?

2? 利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分

設(shè)M(x? y? z)為空間內(nèi)一點(diǎn)? 并設(shè)點(diǎn)M在xOy面上的投影P 的極坐標(biāo)為P(?? ?)? 則這樣的三個(gè)數(shù)?、?、z就叫做點(diǎn)M的柱面坐標(biāo)? 這里規(guī)定?、?、z的變化范圍為?

0??

坐標(biāo)面???0? ? ?? 0? z?z0的意義?

點(diǎn)M 的直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系?

x??cos?? y??sin?? z?z ?

?x??cos???y??sin???z?z

柱面坐標(biāo)系中的體積元素? dv??d?d?dz?

簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)? dxdy??d?d? ? dxdydz?dxdy?dz??d?d? dz?

柱面坐標(biāo)系中的三重積分?

???f(x,y,z)dxdydz?????f(?cos?,?sin?,z)?d?d?dz?

??

例3 利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分???zdxdydz? 其中?是由曲面z?x2?y2與平面z?4所圍成的閉區(qū)域?

解 閉區(qū)域?可表示為?

?2?z?4? 0???2? 0???2??

于是

????zdxdydz?????z?d?d?dz2

42?

2??d???d??zdz?1?d???(16??4)d?

002??22006 ?1?2?[8?2?1?6]2???

026

33? 利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分

設(shè)M(x? y? z)為空間內(nèi)一點(diǎn)? 則點(diǎn)M也可用這樣三個(gè)有次序的數(shù)r、?、? 來(lái)確定? 其中

r為原點(diǎn)O與點(diǎn)M間的距離? ?為OM與z軸正向所夾的角? ?為從正z軸來(lái)看自x軸按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)到有向線段OP的角? 這里P為點(diǎn)M在xOy面上的投影? 這樣的三個(gè)數(shù)r、?、? 叫做點(diǎn)M的球面坐標(biāo)? 這里r、?、? 的變化范圍為

0?r

坐標(biāo)面r?r0? ???0? ???0的意義?

點(diǎn)M的直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系?

x?rsin?cos?? y?rsin?sin?? z?rcos? ?

?x?rsin?cos???y?rsin?sin???z?rcos???

球面坐標(biāo)系中的體積元素?

dv?r2sin?drd?d? ?

球面坐標(biāo)系中的三重積分?

????f(x,y,z)dv????f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcos?)r2sin?drd?d???

例4 求半徑為a的球面與半頂角?為的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積?

解 該立體所占區(qū)域?可表示為?

0?r?2acos?? 0????? 0???2??

于是所求立體的體積為

V????dxdyd?z???rsin?drd?d???d??d??2??2??2aco?s000r2sin?dr

?2??sin?d??0?2aco?s0r2dr

16?a3?3?0?4?a34cos?sin?d??(1?cosa)?

提示? 球面的方程為x2?y2?(z?a)2?a2? 即x2?y2?z2?2az? 在球面坐標(biāo)下此球面的方程為r2?2arcos?? 即r?2acos??

§9? 4 重積分的應(yīng)用

元素法的推廣?

有許多求總量的問(wèn)題可以用定積分的元素法來(lái)處理? 這種元素法也可推廣到二重積分的應(yīng)用中? 如果所要計(jì)算的某個(gè)量U對(duì)于閉區(qū)域D具有可加性(就是說(shuō)? 當(dāng)閉區(qū)域D分成許多小閉區(qū)域時(shí)? 所求量U相應(yīng)地分成許多部分量? 且U等于部分量之和)? 并且在閉區(qū)域D內(nèi)任取一個(gè)直徑很小的閉區(qū)域d?時(shí)? 相應(yīng)的部分量可近似地表示為f(x? y)d? 的形式? 其中(x? y)在d?內(nèi)? 則稱f(x? y)d? 為所求量U的元素? 記為dU? 以它為被積表達(dá)式? 在閉區(qū)域D上積分?

U???f(x,y)d??

D這就是所求量的積分表達(dá)式?

一、曲面的面積

設(shè)曲面S由方程 z?f(x? y)給出? D為曲面S在xOy面上的投影區(qū)域? 函數(shù)f(x? y)在D上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)fx(x? y)和fy(x? y)? 現(xiàn)求曲面的面積A ?

在區(qū)域D內(nèi)任取一點(diǎn)P(x? y)? 并在區(qū)域D內(nèi)取一包含點(diǎn)P(x? y)的小閉區(qū)域d?? 其面積也記為d?? 在曲面S上點(diǎn)M(x? y? f(x? y))處做曲面S的切平面T? 再做以小區(qū)域d?的邊界曲線為準(zhǔn)線、母線平行于z軸的柱面? 將含于柱面內(nèi)的小塊切平面的面積作為含于柱面內(nèi)的小塊曲面面積的近似值? 記為dA? 又設(shè)切平面T的法向量與z軸所成的角為? ? 則

d??1?fx2(x,y)?fy2(x,y)d??

dA?cos?這就是曲面S的面積元素?

于是曲面S 的面積為

A???1?fx2(x,y)?fy2(x,y)d??

D或

A???1?(?z)2?(?z)2dxdy?

D?x?y

設(shè)dA為曲面S上點(diǎn)M處的面積元素? dA在xOy面上的投影為小閉區(qū)域d?? M在xOy面上的投影為點(diǎn)P(x? y)? 因?yàn)榍嫔宵c(diǎn)M處的法向量為n?(?fx? ?fy? 1)? 所以

dA?|n|d??1?fx2(x,y)?fy2(x,y)d??

提示? dA與xOy面的夾角為(n?^ k)? dAcos(n?^ k)?d??

n?k?|n|cos(n?^ k)?1? cos(n?^ k)?|n|?1?

討論? 若曲面方程為x?g(y? z)或y?h(z? x)? 則曲面的面積如何求？

A???Dyz1?(?x2?x?)?()2dydz?y?z?y?x

或

A???1?(Dzx?y?z)2?()2dzdx?

其中Dyz是曲面在yOz面上的投影區(qū)域?

Dzx是曲面在zOx面上的投影區(qū)域?

例1 求半徑為R的球的表面積?

解 上半球面方程為z?R2?x2?y2? x2?y2?R2?

因?yàn)閦對(duì)x和對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)在D? x2?y2?R2上無(wú)界? 所以上半球面面積不能直接求出? 因此先求在區(qū)域D1? x2?y2?a2(a?R)上的部分球面面積? 然后取極限?

x2?y2?a2??RR?x?y222dxdy?R?02?d??ardrR?r220

?2?R(R?R2?a2)?

于是上半球面面積為lim2?R(R?R2?a2)?2?R2?

a?R整個(gè)球面面積為

A?2A1?4?R2?

提示?

?z??x?xR?x?y222? ?z??y?yR?x?y222? 1?(?z)2?(?z)2??x?yRR?x?y222?

解 球面的面積A為上半球面面積的兩倍?

上半球面的方程為z?R2?x2?y2? 而

?z??x?xR?x?y222? ?z??y?yR?x?y222?

所以

A?2x2?y2?R2??1?(?z2?z2)?()?x?yR2?R

?2x2?y2?R2??R2?x2?y2R0dxdy?2R?0d???d?R??220

??4?RR2??2 ?4?R2?

例2設(shè)有一顆地球同步軌道通訊衛(wèi)星? 距地面的高度為h?36000km? 運(yùn)行的角速度與地球自轉(zhuǎn)的角速度相同? 試計(jì)算該通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比值(地球半徑R?6400km)?

解 取地心為坐標(biāo)原點(diǎn)? 地心到通訊衛(wèi)星中心的連線為z軸? 建立坐標(biāo)系?

通訊衛(wèi)星覆蓋的曲面?是上半球面被半頂角為?的圓錐面所截得的部分? ?的方程為

z?R2?x2?y2? x2?y2?R2sin2??

于是通訊衛(wèi)星的覆蓋面積為

A???Dxy1?(?z2?z2)?()dxdy??x?y??DxyRR?x?y222dxdy?

其中Dxy?{(x? y)| x2?y2?R2sin2?}是曲面?在xOy面上的投影區(qū)域?

利用極坐標(biāo)? 得

A??d??02?Rsi?nRR2??20?d??2?R?Rsi?n?R2??20d??2?R2(1?co?s)?

由于cos??R? 代入上式得

R?h

A?2?R2(1?R)?2?R2hR?hR?h?

由此得這顆通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積之比為 Ah36?106

???42.5%?

4?R22(R?h)2(36?6.4)?106

由以上結(jié)果可知? 衛(wèi)星覆蓋了全球三分之一以上的面積? 故使用三顆相隔2?3角度的通訊衛(wèi)星就可以覆蓋幾乎地球全部表面?

二、質(zhì)心

設(shè)有一平面薄片? 占有xOy 面上的閉區(qū)域D? 在點(diǎn)P(x? y)處的面密度為?(x? y)? 假定?(x? y)在D上連續(xù)? 現(xiàn)在要求該薄片的質(zhì)心坐標(biāo)?

在閉區(qū)域D上任取一點(diǎn)P(x? y)? 及包含點(diǎn)P(x? y)的一直徑很小的閉區(qū)域d?(其面積也記為d?)? 則平面薄片對(duì)x軸和對(duì)y軸的力矩(僅考慮大小)元素分別為

dMx?y?(x? y)d?? dMy?x?(x? y)d??

平面薄片對(duì)x軸和對(duì)y軸的力矩分別為

Mx???y?(x,y)d?? My???x?(x,y)d??

DD

設(shè)平面薄片的質(zhì)心坐標(biāo)為(x, y)?平面薄片的質(zhì)量為M? 則有

x?M?My? y?M?Mx ?

于是

x?MMy??x?(x,y)d??D???(x,y)d?D? y?MxM??y?(x,y)d??D???(x,y)d?D?

在閉區(qū)域D上任取包含點(diǎn)P(x? y)小的閉區(qū)域d?(其面積也記為d?)? 則

平面薄片對(duì)x軸和對(duì)y軸的力矩元素分別為

dMx?y?(x? y)d?? dMy?x?(x? y)d??

平面薄片對(duì)x軸和對(duì)y軸的力矩分別為

Mx???y?(x,y)d?? My???x?(x,y)d??

DD

設(shè)平面薄片的質(zhì)心坐標(biāo)為(x, y)?平面薄片的質(zhì)量為M? 則有

x?M?My? y?M?Mx ?

于是

x?MMy??x?(x,y)d??D???(x,y)d?D? y?MxM??y?(x,y)d??D???(x,y)d?D?

提示? 將P(x? y)點(diǎn)處的面積元素d?看成是包含點(diǎn)P的直徑得小的閉區(qū)域? D上任取一點(diǎn)P(x? y)? 及包含的一直徑很小的閉區(qū)域d?(其面積也記為d?)? 則平面薄片對(duì)x軸和對(duì)y軸的力矩(僅考慮大小)元素分別為

討論? 如果平面薄片是均勻的? 即面密度是常數(shù)? 則平面薄片的質(zhì)心(稱為形心)如何求？

求平面圖形的形心公式為

??xd?

x?D??yd?? y?D??d?D??d?D?

例3 求位于兩圓??2sin? 和??4sin? 之間的均勻薄片的質(zhì)心?

解 因?yàn)殚]區(qū)域D對(duì)稱于y軸? 所以質(zhì)心C(x, y)必位于y軸上? 于是x?0?

因?yàn)?/p>

??yd?????DD2sin?d?d???sin?d??0?4sin?2sin??2d??7??

22d????2???1?3???D?

??yd?所以y?D??d?D?7?77?? 所求形心是C(0,)?

3?3

3類似地? 占有空間閉區(qū)域?、在點(diǎn)(x? y? z)處的密度為?(x? y? z)(假寬?(x? y? z)在?上連續(xù))的物體的質(zhì)心坐標(biāo)是

x?1M???x?(x,y,z)dv?? y?1M????y?(x,y,z)dv? z?1M???z?(x,y,z)dv?

?

其中M?????(x,y,z)dv?

?

例4 求均勻半球體的質(zhì)心?

解 取半球體的對(duì)稱軸為z軸? 原點(diǎn)取在球心上? 又設(shè)球半徑為a? 則半球體所占空間閉區(qū)可表示為

??{(x? y? z)| x2?y2?z2?a2? z?0}

顯然? 質(zhì)心在z軸上? 故x?y?0?

???z?dv???zdv

z??????dv??????dv??3a8?

故質(zhì)心為(0, 0, 3a)?

8提示? ?? 0?r?a? 0????? 0???2??

2?

????dv??d??202?0d??rsin?dr??sin?d??020a?22?0d??a02?a3rdr?32?

????zdv??02d??0?2?d??a02?a1a4123?

rcos??rsin?dr??sin2?d??d??rdr??2??0024202?

三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

設(shè)有一平面薄片? 占有xOy面上的閉區(qū)域D? 在點(diǎn)P(x? y)處的面密度為?(x? y)? 假定?(x? y)在D上連續(xù)? 現(xiàn)在要求該薄片對(duì)于x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?

在閉區(qū)域D上任取一點(diǎn)P(x? y)? 及包含點(diǎn)P(x? y)的一直徑很小的閉區(qū)域d?(其面積也記為d?)? 則平面薄片對(duì)于x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的元素分別為

dIx?y2?(x? y)d? ? dI y?x2?(x? y)d? ?

整片平面薄片對(duì)于x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為

Ix???y2?(x,y)d?? Iy???x2?(x,y)d??

DD

例5 求半徑為a 的均勻半圓薄片(面密度為常量?)對(duì)于其直徑邊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?

解 取坐標(biāo)系如圖? 則薄片所占閉區(qū)域D可表示為

D?{(x? y)| x2?y2?a2? y?0} 而所求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量即半圓薄片對(duì)于x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ix ?

Ix????y2d??????2sin2???d?d?

DD

???sin? d??20?a0a4?d????43?0sin? d?

2?

?1?a4???1Ma2?

424其中M?1?a2?為半圓薄片的質(zhì)量?

2類似地? 占有空間有界閉區(qū)域?、在點(diǎn)(x? y? z)處的密度為?(x? y? z)的物體對(duì)于x、y、z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

Ix????(y2?z2)?(x,y,z)dv?

?

Iy????(z2?x2)?(x,y,z)dv?

?

Iz????(x2?y2)?(x,y,z)dv?

?

例6 求密度為?的均勻球體對(duì)于過(guò)球心的一條軸l的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?

解 取球心為坐標(biāo)原點(diǎn)? z軸與軸l重合? 又設(shè)球的半徑為a? 則球體所占空間閉區(qū)域

??{(x? y? z)| x2?y2?z2?a2}?

所求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量即球體對(duì)于z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Iz ?

Iz????(x2?y2)? dv

?2222? cos??r2sin? sin?)r2sin?drd?d?

?????(r2sin?2??a82

3?????r4sin?drd?d????d??sin3? d??r4dr??a5??a2M?

?000155其中M?4?a3?為球體的質(zhì)量?

3提示?

x2?y2?r2sin2?cos2??r2sin2? sin2??r2sin2??

四、引力

我們討論空間一物體對(duì)于物體外一點(diǎn)P0(x0? y0? z0)處的單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力問(wèn)題?

設(shè)物體占有空間有界閉區(qū)域?? 它在點(diǎn)(x? y? z)處的密度為?(x? y? z)? 并假定?(x? y? z)在?上連續(xù)?

在物體內(nèi)任取一點(diǎn)(x? y? z)及包含該點(diǎn)的一直徑很小的閉區(qū)域dv(其體積也記為dv)? 把這一小塊物體的質(zhì)量?dv近似地看作集中在點(diǎn)(x? y? z)處? 這一小塊物體對(duì)位于P0(x0? y0? z0)處的單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力近似地為

dF?(dFx,dFy,dFz)

?(G?(x,y,z)(x?x0)r3dv,G?(x,y,z)(y?y0)r3dv,G?(x,y,z)(z?z0)r3dv)?

其中dFx、dFy、dFz為引力元素dF在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分量?

r?(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2? G為引力常數(shù)? 將dFx、dFy、dFz在?上分別積分? 即可得Fx、Fy、Fz? 從而得F?(Fx、Fy、Fz)?

例7設(shè)半徑為R的勻質(zhì)球占有空間閉區(qū)域??{(x? y? z)|x2?y2?z2?R2)? 求它對(duì)于位于點(diǎn)M0(0? 0? a)(a>R)處的單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力?

解 設(shè)球的密度為?0? 由球體的對(duì)稱性及質(zhì)量分布的均勻性知Fx=Fy=0, 所求引力沿z軸的分量為

Fz????G?0?z?adv[x2?y2?(z?a)2]3/2

?G?0?(z?a)dz?RRx2?y2?R2?z??dxdy[x2?y2?(z?a)2]3/22

?G?0?(z?a)dz?d???R0R2?R2?z22?d?[??(z?a)]23/20

R

?2?G?0?(z?a)(1??R1R?2az?a22a?z)dz

?2?G?0[?2R?1?(z?a)dR2?2az?a2]

a?RR

2R3?2G??0(?2R?2R?)

3a24?R31M??G??0?2??G23aa

?

4?R3其中M??03為球的質(zhì)量?

上述結(jié)果表明? 勻質(zhì)球?qū)η蛲庖毁|(zhì)點(diǎn)的引力如同球的質(zhì)量集中于球心時(shí)兩質(zhì)點(diǎn)間的引力?

第三篇：同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)教案第五章 定積分

高等數(shù)學(xué)教案

第五章 定積分

第五章

定積分

教學(xué)目的：

1、理解定積分的概念。

2、掌握定積分的性質(zhì)及定積分中值定理，掌握定積分的換元積分法與分部積分法。

3、理解變上限定積分定義的函數(shù)，及其求導(dǎo)數(shù)定理，掌握牛頓—萊布尼茨公式。

4、了解廣義積分的概念并會(huì)計(jì)算廣義積分。

教學(xué)重點(diǎn)：

1、定積分的性質(zhì)及定積分中值定理

2、定積分的換元積分法與分部積分法。

3、牛頓—萊布尼茨公式。

教學(xué)難點(diǎn)：

1、定積分的概念

2、積分中值定理

3、定積分的換元積分法分部積分法。

4、變上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)?！?? 1 定積分概念與性質(zhì)

一、定積分問(wèn)題舉例

1? 曲邊梯形的面積

曲邊梯形? 設(shè)函數(shù)y?f(x)在區(qū)間[a? b]上非負(fù)、連續(xù)? 由直線x?a、x?b、y?0及曲線y?f(x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形? 其中曲線弧稱為曲邊?

求曲邊梯形的面積的近似值?

將曲邊梯形分割成一些小的曲邊梯形? 每個(gè)小曲邊梯形都用一個(gè)等寬的小矩形代替? 每個(gè)小曲邊梯形的面積都近似地等于小矩形的面積? 則所有小矩形面積的和就是曲邊梯形面積的近似值? 具體方法是? 在區(qū)間[a? b]中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)

a?x0? x1? x2? ? ? ?? xn?1? xn ?b?

把[a? b]分成n個(gè)小區(qū)間

[x0? x1]? [x1? x2]? [x2? x3]? ? ? ? ? [xn?1? xn ]?

它們的長(zhǎng)度依次為?x1? x1?x0 ? ??x2? x2?x1 ? ? ? ? ? ?xn ? xn ?xn?1 ?

經(jīng)過(guò)每一個(gè)分點(diǎn)作平行于y 軸的直線段? 把曲邊梯形分成n個(gè)窄曲邊梯形? 在每個(gè)小區(qū)間 [xi?1? xi ]上任取一點(diǎn)??i ? 以[xi?1? xi ]為底、f(??i)為高的窄矩形近似替代第i個(gè)窄曲邊梯形(i?1? 2? ? ? ? ? n)? 把這樣得到的n個(gè)窄矩陣形面積之和作為所求曲邊梯形面積A的近似值? 即

A?f(??1)?x1? f(??2)?x2?? ? ?? f(??n)?xn??f(?i)?xi?

i?1n

求曲邊梯形的面積的精確值?

顯然? 分點(diǎn)越多、每個(gè)小曲邊梯形越窄? 所求得的曲邊梯形面積A的近似值就越接近曲邊梯天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案

第五章 定積分

形面積A的精確值? 因此? 要求曲邊梯形面積A的精確值? 只需無(wú)限地增加分點(diǎn)? 使每個(gè)小曲邊梯形的寬度趨于零? 記

??max{?x1? ?x2?? ? ?? ?xn }? 于是? 上述增加分點(diǎn)? 使每個(gè)小曲邊梯形的寬度趨于零? 相當(dāng)于令??0? 所以曲邊梯形的面積為

A?lim?f(?i)?xi?

??0i?1n

2? 變速直線運(yùn)動(dòng)的路程

設(shè)物體作直線運(yùn)動(dòng)? 已知速度v?v(t)是時(shí)間間隔[T 1? T 2]上t的連續(xù)函數(shù)? 且v(t)?0? 計(jì)算在這段時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過(guò)的路程S ?

求近似路程?

我們把時(shí)間間隔[T 1? T 2]分成n 個(gè)小的時(shí)間間隔?ti ? 在每個(gè)小的時(shí)間間隔?ti內(nèi)? 物體運(yùn)動(dòng)看成是均速的? 其速度近似為物體在時(shí)間間隔?ti內(nèi)某點(diǎn)??i的速度v(??i)? 物體在時(shí)間間隔?ti內(nèi) 運(yùn)動(dòng)的距離近似為?Si? v(??i)??ti ? 把物體在每一小的時(shí)間間隔?ti內(nèi) 運(yùn)動(dòng)的距離加起來(lái)作為物體在時(shí)間間隔[T 1 ? T 2]內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程S 的近似值? 具體做法是?

在時(shí)間間隔[T 1 ? T 2]內(nèi)任意插入若干個(gè)分點(diǎn)

T 1?t 0? t 1? t 2?? ? ?? t n?1? t n?T 2?

把[T 1 ? T 2]分成n個(gè)小段

[t 0? t 1]? [t 1? t 2]? ? ? ?? [t n?1? t n] ?

各小段時(shí)間的長(zhǎng)依次為

?t 1?t 1?t 0? ?t 2?t 2?t 1?? ? ?? ?t n ?t n ?t n?1?

相應(yīng)地? 在各段時(shí)間內(nèi)物體經(jīng)過(guò)的路程依次為

?S 1? ?S 2? ? ? ?? ?S n?

在時(shí)間間隔[t i?1? t i]上任取一個(gè)時(shí)刻? i(t i?1?? i? t i)? 以? i時(shí)刻的速度v(? i)來(lái)代替[t i?1? t i]上各個(gè)時(shí)刻的速度? 得到部分路程?S i的近似值? 即

?S i? v(? i)??t i

(i?1? 2? ? ? ? ? n)?

于是這n段部分路程的近似值之和就是所求變速直線運(yùn)動(dòng)路程S 的近似值? 即

S??v(?i)?ti?

i?1n

求精確值?

記? ? max{?t 1? ?t 2?? ? ?? ?t n}? 當(dāng)??0時(shí)? 取上述和式的極限? 即得變速直線運(yùn)動(dòng)的路程

S?lim?v(?i)?ti?

??0i?1n

設(shè)函數(shù)y?f(x)在區(qū)間[a? b]上非負(fù)、連續(xù)? 求直線x?a、x?b、y?0 及曲線y?f(x)所圍成的曲邊梯形的面積?

(1)用分點(diǎn)a?x0?x1?x2? ? ? ??xn?1?xn ?b把區(qū)間[a? b]分成n個(gè)小區(qū)間?

[x0? x1]? [x1? x2]? [x2? x3]? ? ? ? ? [xn?1? xn ]? 記?xi?xi?xi?1(i?1? 2? ? ? ? ? n)?

(2)任取??i?[xi?1? xi]? 以[xi?1? xi]為底的小曲邊梯形的面積可近似為

天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案

第五章 定積分

f(?i)?xi(i?1? 2? ? ? ? ? n)? 所求曲邊梯形面積A的近似值為

A??f(?)?x? iii?1nn

(3)記??max{?x1? ?x2?? ? ?? ?xn }? 所以曲邊梯形面積的精確值為

A?lim??0?f(?)?x? iii?1

設(shè)物體作直線運(yùn)動(dòng)? 已知速度v?v(t)是時(shí)間間隔[T 1? T 2]上t的連續(xù)函數(shù)?

且v(t)?0? 計(jì)算在這段時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過(guò)的路程S ?

(1)用分點(diǎn)T1?t0?t1?t2?? ? ??t n?1?tn?T2把時(shí)間間隔[T 1 ? T 2]分成n個(gè)小時(shí)間 段? [t0? t1]? [t1? t2]? ? ? ?? [tn?1? tn] ? 記?ti ?ti?ti?1(i?1? 2? ? ? ? ? n)?

(2)任取?i?[ti?1? ti]? 在時(shí)間段[ti?1? ti]內(nèi)物體所經(jīng)過(guò)的路程可近似為v(?i)?ti

(i?1? 2? ? ? ? ? n)? 所求路程S 的近似值為

S??v(?)?tii?1nni?

(3)記??max{?t1? ?t2?? ? ?? ?tn}? 所求路程的精確值為

S?lim??0?v(?)?t? iii?

1二、定積分定義

拋開(kāi)上述問(wèn)題的具體意義? 抓住它們?cè)跀?shù)量關(guān)系上共同的本質(zhì)與特性加以概括? 就抽象出下述定積分的定義?

定義

設(shè)函數(shù)f(x)在[a? b]上有界? 在[a? b]中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)

a ?x0? x1? x2? ? ? ?? xn?1? xn?b?

把區(qū)間[a? b]分成n個(gè)小區(qū)間

[x0? x1]? [x1? x2]? ? ? ?? [xn?1? xn] ?

各小段區(qū)間的長(zhǎng)依次為

?x1?x1?x0? ?x2?x2?x1?? ? ?? ?xn ?xn ?xn?1?

在每個(gè)小區(qū)間[xi?1? xi]上任取一個(gè)點(diǎn)? i(xi?1? ? i ? xi)? 作函數(shù)值f(? i)與小區(qū)間長(zhǎng)度?xi的乘積

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第五章 定積分

f(? i)??xi(i?1? 2?? ? ?? n)? 并作出和

S??f(?i)?xi?

i?1n記? ? max{?x1? ?x2?? ? ?? ?xn}? 如果不論對(duì)[a? b]怎樣分法? 也不論在小區(qū)間[xi?1? xi]上點(diǎn)? i 怎樣取法? 只要當(dāng)??0時(shí)? 和S 總趨于確定的極限I? 這時(shí)我們稱這個(gè)極限I為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a? b]上的定積分? 記作?af(x)dx?

即

lim?f(?i)?xi? ?af(x)dx???0i?1bnb其中f(x)叫做被積函數(shù)? f(x)dx叫做被積表達(dá)式? x叫做積分變量? a 叫做積分下限? b 叫做積分上限? [a? b]叫做積分區(qū)間?

定義

設(shè)函數(shù)f(x)在[a? b]上有界? 用分點(diǎn)a?x0?x1?x2? ? ? ??xn?1?xn?b把[a? b]分成n個(gè)小區(qū)間? [x0? x1]? [x1? x2]? ? ? ?? [xn?1? xn] ? 記?xi?xi?xi?1(i?1? 2?? ? ?? n)?

任? i?[xi?1? xi](i?1? 2?? ? ?? n)? 作和

S??f(?)?xii?1ni?

記??max{?x1? ?x2?? ? ?? ?xn}? 如果當(dāng)??0時(shí)? 上述和式的極限存在? 且極限值與區(qū)間[a? b]的分法和? i的取法無(wú)關(guān)? 則稱這個(gè)極限為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a? b]上的定積分? 記作即

根據(jù)定積分的定義? 曲邊梯形的面積為A??af(x)dx?

變速直線運(yùn)動(dòng)的路程為S??T2v(t)dt?

1?baf(x)dx?

?baf(x)dx?lim?f(?i)?xi?

??0i?1nbT

說(shuō)明?

(1)定積分的值只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)? 而與積分變量的記法無(wú)關(guān)? 即

?af(x)dx??af(t)dt??af(u)du?

(2)和?f(?i)?xi通常稱為f(x)的積分和?

i?1nbbb

(3)如果函數(shù)f(x)在[a? b]上的定積分存在? 我們就說(shuō)f(x)在區(qū)間[a? b]上可積?

函數(shù)f(x)在[a? b]上滿足什么條件時(shí)? f(x)在[a? b]上可積呢？

定理

1設(shè)f(x)在區(qū)間[a? b]上連續(xù)? 則f(x)在[a? b]上可積?

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第五章 定積分

定理2 設(shè)f(x)在區(qū)間[a? b]上有界? 且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)? 則f(x)在[a? b]上可積?

定積分的幾何意義?

在區(qū)間[a? b]上? 當(dāng)f(x)?0時(shí)? 積分?af(x)dx在幾何上表示由曲線y?f(x)、兩條直線x?a、x?b 與x軸所圍成的曲邊梯形的面積? 當(dāng)f(x)?0時(shí)? 由曲線y ?f(x)、兩條直線x?a、x?b 與x軸所圍成的曲邊梯形位于x軸的下方? 定義分在幾何上表示上述曲邊梯形面積的負(fù)值?

b?abf(x)dx?lim?f(?i)?xi??lim?[?f(?i)]?xi???a[?f(x)]dx?

??0i?1??0i?1nnb

當(dāng)f(x)既取得正值又取得負(fù)值時(shí)? 函數(shù)f(x)的圖形某些部分在x軸的上方? 而其它部分在x軸的下方? 如果我們對(duì)面積賦以正負(fù)號(hào)? 在x軸上方的圖形面積賦以正號(hào)? 在x軸下方的圖形面積賦以負(fù)號(hào)? 則在一般情形下? 定積分?af(x)dx的幾何意義為? 它是介于x軸、函數(shù)f(x)的圖形及兩條直線x?a、x?b之間的各部分面積的代數(shù)和?

b用定積分的定義計(jì)算定積分?

例1.利用定義計(jì)算定積分?0x2dx?

解

把區(qū)間[0? 1]分成n等份??分點(diǎn)為和小區(qū)間長(zhǎng)度為

xi?i(i?1? 2?? ? ?? n?1)? ?xi?1(i?1? 2?? ? ?? n)?

nn

取?i?i(i?1? 2?? ? ?? n)??作積分和 n

1?f(?i)?xi??i?1i?1nn?i2?xi??(i)2?1

ni?1nnn1?i2?13?1n(n?1)(2n?1)?1(1?1)(2?1)?

3?ni?1n66nn

因?yàn)??1? 當(dāng)??0時(shí)? n??? 所以?n

?n12xdx?lim0??0i?11(1?1)(2?1)?1???f(?i)?xi?nlim??6nn

3利定積分的幾何意義求積分:

例2??用定積分的幾何意義求?0(1?x)dx?? 解: 函數(shù)y?1?x在區(qū)間[0? 1]上的定積分是以y?1?x為曲邊??以區(qū)間[0? 1]為底的曲邊梯形的面積? 因?yàn)橐詙?1?x為曲邊??以區(qū)間[0? 1]為底的曲邊梯形是一直角三角形? 其底邊長(zhǎng)及高均為1? 所以 1天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案

第五章 定積分

??0(1?x)dx?2?1?1?2??11

1三、定積分的性質(zhì)

兩點(diǎn)規(guī)定?

(1)當(dāng)a?b時(shí)?

(2)當(dāng)a?b時(shí)? ?af(x)dx?0?

?af(x)dx???bf(x)dx?

bbbab

性質(zhì)

1函數(shù)的和(差)的定積分等于它們的定積分的和(差)即

?a[f(x)?g(x)]dx??af(x)dx??ag(x)dx?

bb 證明:?a[f(x)?g(x)]dx?lim?[f(?i)?g(?i)]?xi

??0i?1nnn

?lim?f(?i)?xi?lim?g(?i)?xi

??0i?1b??0i?1

??af(x)dx??ag(x)dx?

性質(zhì)2 被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面 即

b?akf(x)dx?k?af(x)dx??bnnbbb

這是因?yàn)?akf(x)dx?lim?kf(?i)?xi?klim?f(?i)?xi?k?af(x)dx?

??0i?1??0i?1????????性質(zhì)???如果將積分區(qū)間分成兩部分?則在整個(gè)區(qū)間上的定積分等于這兩部分區(qū)間上定積分之和?即??

?af(x)dx??af(x)dx??cbcbf(x)dx?

這個(gè)性質(zhì)表明定積分對(duì)于積分區(qū)間具有可加性?

值得注意的是不論a ?b ?c的相對(duì)位置如何總有等式

?af(x)dx??af(x)dx??cf(x)dx ?af(x)dx??af(x)dx??bf(x)dx?

天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 cbcbcb成立? 例如? 當(dāng)a

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第五章 定積分

于是有

?af(x)dx??af(x)dx??bf(x)dx??af(x)dx??c?a1dx??adx?b?a?

?af(x)dx?0(a?b)?

?af(x)dx??ag(x)dx(a?b)?

?ag(x)dx??af(x)dx??a[g(x)?f(x)]dx?0?

?af(x)dx??ag(x)dx?

bbbbbbbbbbbbbcccbf(x)dx?

性質(zhì)

4如果在區(qū)間[a b]上f(x)?1 則

性質(zhì)

5如果在區(qū)間[a??b]上 f(x)?0? 則

推論

1如果在區(qū)間[a??b]上 f(x)? g(x)則

這是因?yàn)間(x)?f(x)?0? 從而

所以

推論2 |?af(x)dx|??a|f(x)|dx(a?b)?

這是因?yàn)?|f(x)| ? f(x)? |f(x)|???所以

??a|f(x)|dx??af(x)dx??a|f(x)|dx?

即 |?af(x)dx|??a|f(x)|dx|??

性質(zhì)6 設(shè)M 及m 分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a??b]上的最大值及最小值? 則

m(b?a)??af(x)dx?M(b?a)(a?b)?

證明

因?yàn)?m? f(x)? M ? 所以

從而

m(b?a)??af(x)dx?M(b?a)?

性質(zhì)7(定積分中值定理)

如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a??b]上連續(xù)? 則在積分區(qū)間[a??b]上至少存在一個(gè)點(diǎn)??? 使下式成立? bbbbbbb?

?amdx??af(x)dx??aMdxbbb天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案

第五章 定積分

?af(x)dx?f(?)(b?a)? b這個(gè)公式叫做積分中值公式?

證明

由性質(zhì)6

m(b?a)??af(x)dx?M(b?a)? 各項(xiàng)除以b?a

得

b

m?1?af(x)dx?M?

b?ab再由連續(xù)函數(shù)的介值定理? 在[a??b]上至少存在一點(diǎn)? ? 使

b

f(?)?1?af(x)dx?

b?a于是兩端乘以b?a得中值公式

?af(x)dx?f(?)(b?a)? b

積分中值公式的幾何解釋?

應(yīng)注意? 不論ab? 積分中值公式都成立?

天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案

第五章 定積分

§5? 2 微積分基本公式

一、變速直線運(yùn)動(dòng)中位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系

設(shè)物體從某定點(diǎn)開(kāi)始作直線運(yùn)動(dòng)? 在t時(shí)刻所經(jīng)過(guò)的路程為S(t)? 速度為v?v(t)?S?(t)(v(t)?0)? 則在時(shí)間間隔[T1? T2]內(nèi)物體所經(jīng)過(guò)的路程S可表示為

S(T2)?S(T1)及?T2v(t)dt?

1T即 ?T2v(t)dt?S(T2)?S(T1)?

1T

上式表明? 速度函數(shù)v(t)在區(qū)間[T1? T2]上的定積分等于v(t)的原函數(shù)S(t)在區(qū)間[T1? T2]上的增量?

這個(gè)特殊問(wèn)題中得出的關(guān)系是否具有普遍意義呢？

二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a? b]上連續(xù)? 并且設(shè)x為[a? b]上的一點(diǎn)??我們把函數(shù)f(x)在部分區(qū)間[a? x]上的定積分

?af(x)dx

xx稱為積分上限的函數(shù)? 它是區(qū)間[a? b]上的函數(shù)? 記為 ?(x)??af(x)dx? 或?(x)??af(t)dt?

定理1 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a? b]上連續(xù)? 則函數(shù)

?(x)??af(x)dx

在[a? b]上具有導(dǎo)數(shù)? 并且它的導(dǎo)數(shù)為

x

??(x)?d?af(t)dt?f(x)(a?x

dxxx

簡(jiǎn)要證明

若x?(a? b)? 取?x使x??x?(a? b)?

????(x??x)??(x)??a

??af(t)dt??xxx??xx??xf(t)dt??af(t)dt

xf(t)dt??af(t)dt x天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案

第五章 定積分

??xx??xf(t)dt?f(?)?x?

應(yīng)用積分中值定理? 有???f(?)?x?

其中?在x 與x??x之間? ?x?0時(shí)? ??x ? 于是

??(x)?lim???limf(?)?limf(?)?f(x)?

?x?0?x?x?0??x

若x?a ? 取?x>0? 則同理可證???(x)? f(a)? 若x?b ? 取?x<0? 則同理可證???(x)? f(b)?

定理

2如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a? b]上連續(xù)? 則函數(shù)

?(x)??af(x)dx

就是f(x)在[a? b]上的一個(gè)原函數(shù)?

定理的重要意義? 一方面肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的? 另一方面初步地揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系?

三、牛頓??萊布尼茨公式

定理

3如果函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a? b]上的一個(gè)原函數(shù)? 則

x?af(x)dx?F(b)?F(a)?

xb此公式稱為牛頓??萊布尼茨公式? 也稱為微積分基本公式?

這是因?yàn)镕(x)和?(x)??af(t)dt都是f(x)的原函數(shù)? ?所以存在常數(shù)C? 使

F(x)??(x)?C(C為某一常數(shù))?

由F(a)??(a)?C及?(a)?0? 得C?F(a)? F(x)??(x)?F(a)? 由F(b)??(b)?F(a)? 得?(b)?F(b)?F(a)? 即

?af(x)dx?F(b)?F(a)?

xb

證明? 已知函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)? 又根據(jù)定理2? 積分上限函數(shù)

?(x)??af(t)dt

也是f(x)的一個(gè)原函數(shù)? 于是有一常數(shù)C? 使

F(x)??(x)?C(a?x?b)?

當(dāng)x?a時(shí)? 有F(a)??(a)?C? 而?(a)?0? 所以C?F(a)? 當(dāng)x?b 時(shí)? F(b)??(b)?F(a)?

所以?(b)?F(b)?F(a)? 即

?af(x)dx?F(b)?F(a)? b 為了方便起見(jiàn)? 可把F(b)?F(a)記成[F(x)]ba? 于是天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案

第五章 定積分

a?F(b)?F(a)?

?af(x)dx?[F(x)]bb

進(jìn)一步揭示了定積分與被積函數(shù)的原函數(shù)或不定積分之間的聯(lián)系?

例1.計(jì)算?0x2dx?

解? 由于1x3是x2的一個(gè)原函數(shù)? 所以 1?1213131xdx?[1x3]10??1??0?? 03333

3例2 計(jì)算??1dx2?

1?x

解 由于arctan x是12的一個(gè)原函數(shù)? 所以

1?x

??13 ??(? ?)?7??

dx?[arctanx]3??arctan3?arctan(?1)?134121?x2?

1例3.計(jì)算??21dx?

x

解? 1?2?ln 1?ln 2??ln 2????2xdx?[ln|x|]??11

例4.計(jì)算正弦曲線y?sin x在[0? ?]上與x軸所圍成的平面圖形的面積?

解? 這圖形是曲邊梯形的一個(gè)特例? 它的面積

A??0sinxdx?[?cosx]?0??(?1)?(?1)?2??

例5.汽車(chē)以每小時(shí)36km速度行駛? 到某處需要減速停車(chē)?設(shè)汽車(chē)以等加速度a??5m/s2剎車(chē)? 問(wèn)從開(kāi)始剎車(chē)到停車(chē)? 汽車(chē)走了多少距離？

解

從開(kāi)始剎車(chē)到停車(chē)所需的時(shí)間?

當(dāng)t?0時(shí)? 汽車(chē)速度

v0?36km/h?36?1000m/s?10m/s?

3600剎車(chē)后t時(shí)刻汽車(chē)的速度為

v(t)?v0?at ?10?5t ?

當(dāng)汽車(chē)停止時(shí)? 速度v(t)?0? 從

v(t)?10?5t ?0 得? t?2(s)?

于是從開(kāi)始剎車(chē)到停車(chē)汽車(chē)所走過(guò)的距離為

2?10(m)?

s??0v(t)dt??0(10?5t)dt?[10t?5?1t2]0222?天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案

第五章 定積分

即在剎車(chē)后? 汽車(chē)需走過(guò)10m才能停住?

例6.設(shè)f(x)在[0, ??)內(nèi)連續(xù)且f(x)>0? 證明函數(shù)F(x)?在(0? ??)內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù)?

xx 證明? d?0 tf(t)dt?xf(x)? d?0f(t)dt?f(x)? 故

dxdx?0tf(t)dt

x?0f(t)dtxF?(x)?xf(x)?0f(t)dt?f(x)?0tf(t)dt(?0f(t)dt)xx2xx?f(x)?0(x?t)f(t)dt(?0f(t)dt)x2x?

按假設(shè)? 當(dāng)0?t?x時(shí)f(t)>0?(x?t)f(t)? 0 ? 所以

?0f(t)dt?0? x?0(x?t)f(t)dt?0?

?cosxe?tdtx212從而F ?(x)>0(x>0)? 這就證明了F(x)在(0? ??)內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù)?

例7.求limx?0?

解? 這是一個(gè)零比零型未定式? 由羅必達(dá)法則?

limx?0?cosxe?tdtx2x212limx?0??1cosx?t2edtx2?cosx?limsinxe?1?

x?02x2e2提示? 設(shè)?(x)??1e?tdt? 則?(cosx)??1cosx?t2edt?

dcosxe?t2dt?d?(cosx)?d?(u)?du?e?u2?(?sinx)??sinx?e?cos2x?

dx?1dxdudx

天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案

第五章 定積分

§5? 3 定積分的換元法和分部積分法

一、換元積分法

定理

假設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a? b]上連續(xù)? 函數(shù)x??(t)滿足條件?

(1)?(??)?a ? ?(?)?b?

(2)?(t)在[?? ?](或[?? ?])上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)? 且其值域不越出[a? b]? 則有

?af(x)dx???f[?(t)]??(t)dt?

這個(gè)公式叫做定積分的換元公式?

證明

由假設(shè)知? f(x)在區(qū)間[a? b]上是連續(xù)? 因而是可積的? f [?(t)]??(t)在區(qū)間[?? ?](或[?? ?])上也是連續(xù)的? 因而是可積的?

假設(shè)F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)? 則

b??af(x)dx?F(b)?F(a)?

另一方面? 因?yàn)閧F[?(t)]}??F ?[?(t)]??(t)? f [?(t)]??(t)? 所以F[?(t)]是f [?(t)]??(t)的一個(gè)原函數(shù)? 從而

b??f[?(t)]??(t)dt?F[?(?)]?F[?(?)]?F(b)?F(a)?

因此 ?af(x)dx???f[?(t)]??(t)dt?

例1 計(jì)算?0a2?x2dx(a>0)?

解 ab???0aa2?x2dx 令x?asint ?02acost?acostdt ?

?2?a2222(?a0costdt?1?cos2t)dt

20??天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案

第五章 定積分

22?1?a2?

?a[t?1sin2t]0224?提示? a2?x2?a2?a2sin2t?acost? dx?a cos t ? 當(dāng)x?0時(shí)t?0? 當(dāng)x?a時(shí)t???? 例2 計(jì)算?02cos5xsinxdx?

解 令t?cos x? 則

???20cosxsinxdx???02cos5xdcosx

011 ??1t5dt??0t5dt?[1t6]0?1?

令cosx?t提示? 當(dāng)x?0時(shí)t?1? 當(dāng)x??時(shí)t?0?

2或

?20?cosxsinxdx???02cos5xdcosx 5??2??1cos6??1cos60?1?

??[1cos6x]066266

例3 計(jì)算?0sin3x?sin5xdx?

解 ??0?sin3x?sin5xdx??0sin2x|cosx|dx

?3? ??2sin2xcosxdx???sin2xcosxdx

02?3

??32sin20?xdsinx??3?2?sin2xdsinx

?55?222 ?[sinx]0?[sin2x]??2?(?2)?4?

555525提示? sinx?sinx?sinx(1?sin35323x)?sin2x|cosx|?

在[0, ?]上|cos x|?cos x? 在[?, ?]上|cos x|??cos x?

4例4 計(jì)算?x?2dx?

02x?

1解 ?04x?2dx 令2x?1t2?1?232x?1?t32 ?1?tdt?1?1(t2?3)dt

t2312711122?

?[t3?3t]1?[(?9)?(?3)]?232333天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案

第五章 定積分

2t提示? x??1? dx?tdt? 當(dāng)x?0時(shí)t?1? 當(dāng)x?4時(shí)t?3?

2例5 證明? 若f(x)在[?a? a]上連續(xù)且為偶函數(shù)? 則

??af(x)dx?2?0aaaf(x)dx?

0a

證明 因?yàn)??af(x)dx???af(x)dx??0f(x)dx? 而

所以

??af(x)dx a0令x??t ??af(?t)dt??0f(?t)dt??0f(?x)dx?

a0aa??af(x)dx??0aaf(?x)dx??0f(x)dx

aa

??0[f(?x)?f(x)]dx???a2f(x)dx?2?0f(x)dx?

討論?

若f(x)在[?a? a]上連續(xù)且為奇函數(shù)? 問(wèn)??af(x)dx?？

提示?

若f(x)為奇函數(shù)? 則f(?x)?f(x)?0? 從而

a??af(x)dx??0[f(?x)?f(x)]dx?0?

??aa

例6 若f(x)在[0? 1]上連續(xù)? 證明

(1)?02f(sinx)dx??02f(cosx)dx?(2)?0xf(sinx)dx? ?2??0?f(sinx)dx?

證明(1)令x???t? 則 ?02f(sinx)dx????2??0f[sin(??t)]dt

2?

??2f[sin(??t)]dt??2f(cosx)dx?

002(2)令x???t? 則

?0?0xf(sinx)dx????(??t)f[sin(??t)]dt

????t)]dt??0(??t)f(sint)dt

??0(??t)f[sin（???0f(sint)dt??0tf(sint)dt

天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 ??高等數(shù)學(xué)教案

第五章 定積分

???0f(sinx)dx??0xf(sinx)dx?

所以

???0xf(sinx)dx?2?0? ??f(sinx)dx?

?x2?4?xe x?0

例7 設(shè)函數(shù)f(x)??1? 計(jì)算?1f(x?2)dx?? ?1?x?0??1?cosx

解 設(shè)x?2?t? 則

?14f(x?2)dx???1f(t)dt???1201dt?2te?t2dt

?01?cost220

?[tant]?1?[1e?t]0?tan1?1e?4?1?

22222提示? 設(shè)x?2?t? 則dx?dt? 當(dāng)x?1時(shí)t??1? 當(dāng)x?4時(shí)t?2?

二、分部積分法

設(shè)函數(shù)u(x)、v(x)在區(qū)間[a? b]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)u?(x)、v?(x)? 由

(uv)??u?v ?u v?得u v??u v?u?v ? 式兩端在區(qū)間[a? b]上積分得

ba??au?vdx? 或?audv?[uv]a??avdu? ?auv?dx?[uv]bbbbb這就是定積分的分部積分公式?

分部積分過(guò)程?

ba??avdu?[uv]a??au?vdx? ? ? ? ?

?auv?dx??audv?[uv]bbbbb 例1 計(jì)算? 解 12arcsinxdx? 0

?12arcsinxdx0112?[xarcsinx]0??12xdarcsinx0

?1????02xdx

261?x21? ???021221d(1?x2)

1?x21?22???3?1?

??[1?x]012122 例2 計(jì)算?0exdx?

解 令x?t? 則

1?0e1xdx?2?0ettdt

天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 1高等數(shù)學(xué)教案

第五章 定積分

?2?0tdet

?2[tet] 0 ?2?0etdt

?2e?2[et] 0 ?2?

例3 設(shè)In??02sinnxdx? 證明

(1)當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)? In?n?1?n?3???3?1???

nn?242

2(2)當(dāng)n為大于1的正奇數(shù)時(shí)? In?n?1?n?3???4?2?

nn?2

53證明 In??2sinnxdx01111?????02sinn?1xdcosx

n?1 ?2x] 0?

??[cosxsin???02cosxdsinn?1x

??

?(n?1)?02cos2xsinn?2xdx?(n?1)?02(sinn?2x?sinnx)dx

?(n?1)?02sinn?2xdx?(n?1)?02sinnxdx

?(n?1)I n? 2?(n?1)I n ?

由此得

In?n?1In?2?

n

I2m?2m?1?2m?3?2m?5???3?1I0?

2m2m?22m?442

I2m?1?2m?2m?2?2m?4???4?2I1?

2m?12m?12m?353而I0??02dx??? I1??02sinxdx?1?

2因此

I2m?2m?1?2m?3?2m?5???3?1???

2m2m?22m?4422

I2m?1?2m?2m?2?2m?4???4?2??2m?12m?12m?353? 例3 設(shè)In??02sinnxdx(n為正整數(shù))? 證明

天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 ?????高等數(shù)學(xué)教案

第五章 定積分

I2m?2m?1?2m?3?2m?5???3?1??? 2m2m?22m?442 I2m?1?2m?2m?2?2m?4???4?2? 2m?12m?12m?353 證明 In??02sinnxdx???02sinn?1xdcosx

??[cosxsin?n?1 ?2x] 0???(n?1)?02cos2xsinn?2xdx

?

?(n?1)?02(sinn?2x?sinnx)dx

?(n?1)?02sinn?2xdx?(n?1)?02sinnxdx

?(n?1)I n? 2?(n?1)I n ?

由此得 In?n?1In?2? n

I2m?2m?1?2m?3?2m?5???3?1?I0? 2m2m?22m?442

I2m?1?2m?2m?2?2m?4???4?2?I1? 2m?12m?12m?353特別地 I0??2dx??02???? I1??02sinxdx?1? ?因此

I2m?2m?1?2m?3?2m?5???3?1??? 2m2m?22m?4422

I2m?1?2m?2m?2?2m?4???4?2? 2m?12m?12m?3

53天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案

第五章 定積分

§5? 4 反常積分

一、無(wú)窮限的反常積分

定義1 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a? ??)上連續(xù)? 取b>a ? 如果極限

b???lim?af(x)dx

??b存在? 則稱此極限為函數(shù)f(x)在無(wú)窮區(qū)間[a? ??)上的反常積分? 記作?af(x)dx? 即

?a這時(shí)也稱反常積分?af(x)dx收斂???????f(x)dx?lim?af(x)dx?

b???b

如果上述極限不存在? 函數(shù)f(x)在無(wú)窮區(qū)間[a? ??)上的反常積分?af(x)dx就沒(méi)有意義? 此時(shí)稱反常積分?af(x)dx發(fā)散?

類似地? 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(??? b ]上連續(xù)? 如果極限

a???????lim?af(x)dx(a

bb存在? 則稱此極限為函數(shù)f(x)在無(wú)窮區(qū)間(??? b ]上的反常積分? 記作???f(x)dx? 即

天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案

第五章 定積分

???f(x)dx?alim?f(x)dx?

???a這時(shí)也稱反常積分???f(x)dx收斂??如果上述極限不存在? 則稱反常積分???f(x)dx發(fā)散?

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(??? ??)上連續(xù)? 如果反常積分 bbbb???f(x)dx和?0f(x)dx

都收斂? 則稱上述兩個(gè)反常積分的和為函數(shù)f(x)在無(wú)窮區(qū)間(??? ??)上的反常積分? 記作

0?????f(x)dx? 即

???f(x)dx????f(x)dx??00a???????0??f(x)dx

b

?lim?af(x)dx?lim?0f(x)dx?

b???這時(shí)也稱反常積分???f(x)dx收斂?

如果上式右端有一個(gè)反常積分發(fā)散? 則稱反常積分???f(x)dx發(fā)散?

定義1?

連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a? ??)上的反常積分定義為

?????a??f(x)dx?lim?af(x)dx?

b???b

在反常積分的定義式中? 如果極限存在? 則稱此反常積分收斂???否則稱此反常積分發(fā)散?

類似地? 連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間(??? b]上和在區(qū)間(??? ??)上的反常積分定義為

???f(x)dx?lim?af(x)dx?

a???bb???f(x)dx?lim?af(x)dx?lim?0f(x)dx?

a???b?????0b

反常積分的計(jì)算? 如果F(x)是f(x)的原函數(shù)? 則

?a??f(x)dx?lim?af(x)dx?lim[F(x)]ba

b???b???b

?limF(b)?F(a)?limF(x)?F(a)?

b???x???可采用如下簡(jiǎn)記形式?

類似地 ?a???f(x)dx?[F(x)]?a?limF(x)?F(a)?

x??????F(b)?limF(x)?

???f(x)dx?[F(x)]bx???b天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案

第五章 定積分

????limF(x)?limF(x)?

???f(x)dx?[F(x)]?x???x??????? 例1 計(jì)算反常積分???12dx?

1?x

解 ???

???1?1x2dx?[arctanx]???

?limarctanx?limarctanx

x???x???

? ??(? ?)??? 例2 計(jì)算反常積分?0te?ptdt(p是常數(shù)? 且p>0)?

解 ???0??????te?ptdt?[?te?ptdt]0?[?1?tde?pt]0

p??

?[?1te?pt?1?e?ptdt]0pp??

?[?1te?pt?12e?pt]0pp

?lim[?1te?pt?12e?pt]?12?12?

t???pppp提示? limte?pt?limtpt?lim1pt?0?

t???t???et???pe 例3 討論反常積分?a 解 當(dāng)p?1時(shí)?

當(dāng)p<1時(shí)?

當(dāng)p>1時(shí)? ??1dx(a>0)的斂散性?

xp?a??1dx???1dx?[lnx] ??????

a?axxp?a??1dx?[1x1?p] ??????

a1?pxp?a??1dx?[1x1?p] ???a1?p?

a1?pp?1xp1?p 因此? 當(dāng)p>1時(shí)? 此反常積分收斂? 其值為a? 當(dāng)p?1時(shí)? 此反常積分發(fā)散?

p?

1二、無(wú)界函數(shù)的反常積分

定義

2設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a? b]上連續(xù)? 而在點(diǎn)a的右鄰域內(nèi)無(wú)界? 取?>0? 如果極限

t?alimf(x)dx ??tbb存在? 則稱此極限為函數(shù)f(x)在(a? b]上的反常積分? 仍然記作?af(x)dx? 即

天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案

第五章 定積分

?af(x)dx?tlim??at?bbf(x)dx?

這時(shí)也稱反常積分?af(x)dx收斂?

如果上述極限不存在? 就稱反常積分?af(x)dx發(fā)散?

類似地? 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a? b)上連續(xù)? 而在點(diǎn)b 的左鄰域內(nèi)無(wú)界? 取?>0? 如果極限

t?bbblimf(x)dx ??abt存在? 則稱此極限為函數(shù)f(x)在[a? b)上的反常積分? 仍然記作?af(x)dx? 即

f(x)dx?

?af(x)dx?lim??at?bbt這時(shí)也稱反常積分?af(x)dx收斂? 如果上述極限不存在? 就稱反常積分?af(x)dx發(fā)散?

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a? b]上除點(diǎn)c(a

都收斂? 則定義

cb?af(x)dx??af(x)dx??cf(x)dx?

否則? 就稱反常積分?af(x)dx發(fā)散?

瑕點(diǎn)? 如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)a的任一鄰域內(nèi)都無(wú)界? 那么點(diǎn)a稱為函數(shù)f(x)的瑕點(diǎn)? 也稱為無(wú)界

定義2?

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a? b]上連續(xù)? 點(diǎn)a為f(x)的瑕點(diǎn)? 函數(shù)f(x)在(a? b]上的反常積分定義為 bbcb?af(x)dx?tlim??at?bbf(x)dx?

在反常積分的定義式中? 如果極限存在? 則稱此反常積分收斂???否則稱此反常積分發(fā)散?

類似地?函數(shù)f(x)在[a? b)(b為瑕點(diǎn))上的反常積分定義為

f(x)dx?

?af(x)dx?lim??at?bbt

函數(shù)f(x)在[a? c)?(c? b](c為瑕點(diǎn))上的反常積分定義為

?af(x)dx?tlim??ca?btf(x)dx?limf(x)dx?

??tt?cb反常積分的計(jì)算?

如果F(x)為f(x)的原函數(shù)? 則有

天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案

第五章 定積分

?af(x)dx?tlim??at?bbf(x)dx?lim[F(x)]bt

?t?a

?F(b)?limF(t)?F(b)?limF(x)? ??t?ax?a可采用如下簡(jiǎn)記形式?

a?F(b)?limF(x)?

?af(x)dx?[F(x)]bx?a?b類似地? 有

a?limF(x)?F(a)?

?af(x)dx?[F(x)]bx?b?b當(dāng)a為瑕點(diǎn)時(shí)??af(x)dx?[F(x)]bF(x)?

a?F(b)?lim?x?ab當(dāng)b為瑕點(diǎn)時(shí)??af(x)dx?[F(x)]bF(x)?F(a)?

a?lim?x?bb當(dāng)c(a?c?b)為瑕點(diǎn)時(shí)?

F(x)?F(a)]?[F(b)?limF(x)]?

?af(x)dx??af(x)dx??cf(x)dx?[xlim?cx?c??bcb 例4 計(jì)算反常積分? 解 因?yàn)閘im?x?aa01dx?

2a?x21???? 所以點(diǎn)a為被積函數(shù)的瑕點(diǎn)?

a2?x ?0a1a?limarcsinx?0??? dx?[arcsinx] 0a2x?a?aa2?x2

1例5 討論反常積分??112dx的收斂性?

x

解 函數(shù)12在區(qū)間[?1? 1]上除x?0外連續(xù)? 且lim12???

x?0xx0 0 由于??112dx?[?1]??lim(?1)?1????

1?xxx?0x01即反常積分??112dx發(fā)散? 所以反常積分??112dx發(fā)散?

xx

例6 討論反常積分?a

解 當(dāng)q?1時(shí)?

當(dāng)q?1時(shí)? bbbdx的斂散性?

(x?a)qdx?bdx?[ln(x?a)] b????

a?a(x?a)q?ax?adx?[1(x?a)1?q] b????

a?a(x?a)q1?q天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案

第五章 定積分

當(dāng)q?1時(shí)? dx?[1(x?a)1?q] b?1(b?a)1?q?

a?a(x?1?qa)q1?qb 因此? 當(dāng)q<1時(shí)? 此反常積分收斂? 其值為1(b?a)1?q? 當(dāng)q?1時(shí)? 此反常積分發(fā)散?

1?q

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第五章 定積分

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第五章 定積分

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第四篇：數(shù)學(xué)分析 重積分

《數(shù)學(xué)分析》教案

第二十一章 重積分

教學(xué)目的：1.理解并掌握二重積分的有關(guān)概念及可積條件，進(jìn)而會(huì)計(jì)算二重積分；2.理解三重積分的概念，掌握三重積分的計(jì)算方法，并能應(yīng)用其解決有關(guān) 的數(shù)學(xué)、物理方面的計(jì)算問(wèn)題；

教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：本章的重點(diǎn)是重積分的計(jì)算和格林公式；難點(diǎn)是化重積分為累次積分。

教學(xué)時(shí)數(shù)：22學(xué)時(shí)

§ 1 二重積分概念

一.矩形域上的二重積分 : 從曲頂柱體的體積引入.用直線網(wǎng)分割.定義 二重積分.例1 用定義計(jì)算二重積分

.用直線網(wǎng)

分割該正方形 , 在每個(gè)正方形上取其右上頂點(diǎn)為介點(diǎn).解

.二.可積條件 : D

.大和與小和.Th 1 ，.《數(shù)學(xué)分析》教案

性質(zhì)6

.性質(zhì)7 中值定理.Th 若區(qū)域D 的邊界是由有限條連續(xù)曲線()組成 , 例3 去掉積分

在D上連續(xù) , 則

在D上可積.或

中的絕對(duì)值.§ 2 二重積分的計(jì)算

二.化二重積分為累次積分:

1.矩形域

上的二重積分:

用“ 體積為冪在勢(shì)上的積分”推導(dǎo)公式.2.簡(jiǎn)單域上的二重積分: 簡(jiǎn)推公式, 一般結(jié)果]P219Th9.例1 ，.解法一 P221例3 解法二 為三角形, 三個(gè)頂點(diǎn)為 ,.例2 ,.P221例2.例3 求底半徑為 的兩直交圓柱所圍立體的體積.P222例4.《數(shù)學(xué)分析》教案

解法一(直接計(jì)算積分)曲線AB的方程為

.方向?yàn)樽匀环较虻姆聪?因此

.解法二(用Green公式)補(bǔ)上線段BO和OA(O為坐標(biāo)原點(diǎn)), 成閉路.設(shè)所圍

區(qū)域?yàn)镈, 注意到 D為反向, 以及, 有

.例2 計(jì)算積分 I =, 其中L為任一不包含原點(diǎn)的閉區(qū)域D的邊界(方向任意)P227例2 解 導(dǎo)數(shù))..（和

在D上有連續(xù)的偏,.于是, I =.二.曲線積分與路線無(wú)關(guān)性:

《數(shù)學(xué)分析》教案

;.例6 驗(yàn)證式 P231例4

是恰當(dāng)微分, 并求其原函數(shù).§ 4 二重積分的變量變換:（4時(shí)）

1.二重積分的變量變換公式: 設(shè)變換 的Jacobi , 則

, 其中 是在該變換的逆變換

下平面上的區(qū)域 在

平面上的象.由條件

一般先引出變換

.而 , 這里的逆變換是存在的., 由此求出變換

.例1 ,.P235 例1.註

當(dāng)被積函數(shù)形如 區(qū)域?yàn)橹本€型時(shí), 可試用線性變換 , 積分.《數(shù)學(xué)分析》教案

極坐標(biāo)變換: ,.廣義極坐標(biāo)變換: ,.例4.P240例3.例5(Viviani問(wèn)題)求球體 被圓柱面

所割下立體的體積.P240例4.例6 應(yīng)用二重積分求廣義積分

.P241例5.例7 求橢球體

四.積分換序: 例8 連續(xù).對(duì)積分的體積.P241例6.換序..例9 連續(xù).對(duì)積分

換序..例10 計(jì)算積分

..§ 5 三重積分簡(jiǎn)介

《數(shù)學(xué)分析》教案

例2 , :.解.法一(內(nèi)二外一), 其中 為橢圓域 , 即橢圓域, 其面積為.因此

.同理得 ,.因此.法二(內(nèi)一外二)上下對(duì)稱，為 的偶函數(shù)，1

《數(shù)學(xué)分析》教案

Th 21.13 P247.1.柱坐標(biāo): P248.例4 ，:

.P248例3 2.球坐標(biāo): P249.P 250例4.§ 6 重積分的應(yīng)用

一、曲面的面積

設(shè)曲面方程為

.有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù).推導(dǎo)曲面面積公式 , 或.例1 P253例1`.3-

第五篇：重積分證明題

證明題（共 46 小題）

1、設(shè)函數(shù)f(x,y)和g(x,y)在有界閉域D上連續(xù)，證明

2、設(shè)函數(shù)f(x,y)和g(x,y)在D上連續(xù)，且f(x,y)≤g(x,y),(x,y)?D，利用二重積分定義證明：

3、設(shè)函數(shù)f(x,y)在有界閉域D上連續(xù)，且M，m分別是f(x,y)在D上的最大值與最小值，證明：

其中σ是D的面積。

4、設(shè)函數(shù)f(x,y)在有界閉域D上連續(xù)，證明：

5、設(shè)函數(shù)f(x,y)在有界閉域D上連續(xù)，證明在D上必有點(diǎn)(ξ,η)使得

成立，其中σ是D的面積。

6、設(shè)函數(shù)f(x,y)在有界閉域D上連續(xù)，且D可以分為兩個(gè)閉域D1和D2，證明

7、設(shè)D={(x,y)}｜a≤x≤b,－φ(x)≤y≤φ(x)},試證

其中φ(x)在[a,b]上連續(xù)，f(x),g(y)均在D上連續(xù)，且g(－y)=－g(y).8、設(shè)D={(x,y)｜a≤x≤b,－φ(x)≤y≤φ(x)},試證

[a,b]上連續(xù)，f(x,y)在D上連續(xù)且f(x,－y)=－f(x,y).9、設(shè)f(x,y)是連續(xù)函數(shù)，證明其中a,m為常數(shù)，且a>0.10、設(shè)f(u)為連續(xù)函數(shù)，試證

其中φ(x)在11、設(shè)f(x,y),g(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，且g(x,y)≥0,證明：在D上必有點(diǎn)(ξ,η),使

成立。

12、設(shè)f(x,y)為區(qū)域D：上的連續(xù)函數(shù)，試證

13、利用二重積分的估值性質(zhì)，證明 線－x+y=1,x+y=1及ox軸所圍成的區(qū)域。

其中D是由直

14、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，證明 其中n>0.15、證明：

大于1的自然數(shù)。

16、設(shè)f(x),g(x)在[a,b]上連續(xù)，試用二重積分證明不等式：

17、設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)，證明

18、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，證明不等式

19、設(shè)p(x)是[a,b]上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，f(x),g(x)是[a,b]上的連續(xù)單增函數(shù)，證明

20、設(shè)f(x)是[0,1]上的連續(xù)正值函數(shù)，且f(x)單調(diào)減少，證明不等式：

其中n為

21、設(shè)f(x)是[0,1]上的連續(xù)單增函數(shù)，求證：

22、設(shè)f(u)是連續(xù)函數(shù)，證明

及x=－1所圍成的區(qū)域。

23、設(shè)f(t)為連續(xù)函數(shù)，證明

其中D是由y=x3,y=

124、設(shè)f(t)是連續(xù)函數(shù)，證明

其中A為正常數(shù)，其中a2+b2≠0.25、設(shè)f(t)是連續(xù)函數(shù)，證明

26、設(shè)f(x)在[0,a]上連續(xù)，證明

27、設(shè)f(x)是[a,b]上的連續(xù)正值函數(shù)，試證不等式：

其中D：a≤x≤b,a≤y≤b.28、設(shè)f(u)為可微函數(shù)，且f(0)=0,證明

29、設(shè)Ω為空間有界閉區(qū)域，f(x,y,z)在Ω上連續(xù)，若?(ξ,η,ζ)∈Ω使得任意閉區(qū)域D，D?Ω，都有f(x,y,z)dv=f(ξ,η,ζ)VD,VD為D的體積，試證f(x,y,z)在Ω上是常數(shù)。

30、錐面x2+y2－z2=0將閉區(qū)域x2+y2+z2≤2az(a>0)分割成兩部分，試證其兩部分體積的大小之比為3：1.31、設(shè)D1與D2分別是第一象限由

以及x2+y2≤a2(a>0)所確定的閉區(qū)域，試證：面積關(guān)系式

32、設(shè)Ω是由曲面(a1x+b1y+c1z)2+(a2x+b2y+c2z)2+(a3x+b3y+c3z)2=1所圍的有界閉區(qū)域，,f(x,y,z)在Ω上連續(xù)，試證：?(ξ，η，ζ)∈Ω滿足

.33、設(shè)Ω為單位球體x2+y2+z2≤1,試證可選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換，使得

(a2+b2+c2=1)

34、設(shè)Ω是上半單位球體x2+y2=z2≤1,z≥0,f(x,y,z)在Ω上連續(xù)，試?yán)们蛎孀鴺?biāo)積分方法證明?(ξ，η，ζ)∈Ω使得

222222???f(x,y,z)dv?f(?,?,?)(???)(?????)??.?

35、試證：對(duì)形狀為z=的增速與液面高度成正比。

36、設(shè)Ω為一半橢球體x2+y2+試證：

.(a;b>0)的容器，當(dāng)其液面高度增速為常數(shù)時(shí)，其容積,z≥0.g(u)為一單調(diào)增函數(shù)。

37、試證：在平面薄片關(guān)于所有平行于oy軸的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量中，對(duì)于穿過(guò)重心的軸所得的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最小。

38、設(shè)Ω為由

≤1所確定的立體(0＜a≤b≤c)，其密度函數(shù)ρ=ρ(z)為關(guān)

[(x于z的偶函數(shù)。試證：對(duì)任意的(x0,y0,z0)∈Ω，關(guān)于(x0,y0,z0)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量滿足I(x0,y0,z0)=－x0)2+(y－y0)2+(z－z0)2]ρ(z)dv≤I(0,0,c).39、體密度為ρ(x,y,z)的空間立體Ω關(guān)于(x0,y0,z0)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義為：I(x0,y0,z0)=－x0)2+(y－y0)2+(z－z0)2]ρ(x,y,z)dv.試證：I(x0,y0,z0)≥,其中

[(x

是Ω的重心坐標(biāo)。

40、設(shè)Ω為一有界閉區(qū)域，f(x,y,z)在Ω上連續(xù)。若對(duì)任意Ω1,Ω2

?Ω,其對(duì)應(yīng)體積為V1，V2，只要V1

。試證：f為正常數(shù)。

41、設(shè)f(z)在[－1,1]上有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，試證：

42、設(shè)f(t)為一單調(diào)增函數(shù)，試證：

43、設(shè)f(u)為一單調(diào)增函數(shù)，試證：，其中

a2+b2+c3=1.44、設(shè)f(x,y,z)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，若對(duì)任意閉區(qū)域D1，D1

?

D都有，試證在 D上f(x,y,z)≤0.45、設(shè)Ω為區(qū)域x+y+z≤1,P0(x0,y0,z0)為Ω外的一點(diǎn)，試證：

22。

46、設(shè)f(x,y,z)在有界閉區(qū)域Ω上連續(xù)，若

f(x,y,z)dv=f(x0,y0,z0)·V,V為Ω的體積，試證：當(dāng)f(x0,y0,z0)取到f(x,y,z)的最大值或最小值時(shí)f(x,y,z)在Ω必是一個(gè)常數(shù)。